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圆周角定理教案25

圆周角定理教案25
圆周角定理教案25

教学过程设计设球员们只能在

《圆周角与圆心角的关系》教学设计详案

《圆周角与圆心角的关系》教学设计 秭归县郭家坝中学颜昭英 教学目标: (一)教学知识点 (1)理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征; (2)理解圆周角与圆心角的关系,并能熟练地运用它们进行论证和计算,,有机渗透的“由特殊到一般”思想、“分类”思想、“化归”思想。 (二)能力训练要求 通过圆周角概念的形成,渗透数学建模的思想,使学生经历数学建模的过程,形成建模的方法; 引导学生主动地通过:观察、实验、猜想、验证“圆周角与圆心角的关系”,培养学生的合情推理能力、实践能力与创新精神,从而提高数学素养; 通过圆周角定理的证明,有机渗透的“由特殊到一般”思想、“分类”思想、“化归”思想、使学生了解分类、转化、归纳等数学思想方法。 (三)情感态度与价值观 运用实例分析,使学生认识到数学与实际生活有着紧密的联系,学会用数学的眼光看待生活中的实际问题。 在证明圆周角定理的过程中,通过小组讨论、展示各自所画图形这一环节,在合作探究中培养学生的协作意识,体现交流的价值; 通过“观察——测量——证明”这三个环节的活动,让学生意识到,观察测量发现的规律只是建立在统计的基础上,而定理的形成须严谨的数理论证。 教学重点: 圆周角的概念和圆周角定理 经历探索“圆周角与圆心角的关系”的过程,了解“圆周角与圆心角的关系” 教学难点: 了解圆周角的分类、用化归思想合情推理验证“圆周角与圆心角的关系” 圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想。

教学方法: 以学生的活动为主线,以突出重点、突破难点、发展学生数学素养为目的,采用以“探究式教学法”为主,讲授法、发现法、分组交流合作法、启发式教学法、多媒体辅助教学等多种方法相结合。 学法 在动手实践、自主探索、合作交流活动中发现新知和发展能力,使观察、实验、猜想、验证、归纳、推理贯穿整个学习过程。 教具 圆规、直尺、投影仪、课件 教学过程: 一、视频分析,导入新课 师:大家对足球比赛一定不陌生,现在我们就一起来看一段足球射门的片段。 播放“小角度射门”的视频片段,引导学生注意解说员强调的“小角度射门”。 师:这是一个精彩的进球,以至于解说员最后特别强调“小角度射门得手”,大家知道他为什么要强调“小角度”吗? 学生讨论,给出解释: 射门的角度越小,进球的难度就越大。 师:可见,数学知识能够解释生活中的很多现象,也能解决生活中的很多问题。比如说,人眼看物体有个特点,“远小近大”,通过物理知识的学习,大家也一定知道,这是因为同一个物体离人眼越远,它对人眼所成的视角越小,离人眼越近,对人眼所成的视角越大。 现在我们尝试利用角的知识来分析一下,歌剧院中座椅摆放的问题。 二、图片展示,引入圆周角的概念 (一)、展示歌剧院的图片 师:首先让我们欣赏几张著名歌剧院的室内图片,请同学们注意观察一下,

垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习

垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习 1.已知:AB交圆O于C、D,且AC=BD.你认为OA=OB吗?为什么? 2. 如图所示,是一个直径为650mm的圆柱形输油管的横截面,若油面宽AB=600mm,求油面的最大深度。 600 3. 如图所示,AB是圆O的直径,以OA为直径的圆C与圆O的弦AD相交于点E。你认为图中有哪些相等的线段?为什么? A D B O C E 4.如图所示,OA是圆O的半径,弦CD⊥OA于点P,已知OC=5,OP=3,则弦CD=____________________。 5. 如图所示,在圆O中,AB、AC为互相垂直且相等的两条弦,OD ⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D、E,若AC=2cm,则圆O的半径为____________cm。 6. 如图所示,AB是圆O的直径,弦CD⊥AB,E为垂足,若AB=9,BE=1,则CD=_________________。

C A P O D C E O A D B 7. 如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,以AC为直径作圆与斜边交于点P,则BP的长为________________。 8. 如图所示,四边形ABCD内接于圆O,∠BCD=120°,则∠BOD=____________度。 9.如图所示,圆O的直径为10,弦AB的长为6,M是弦AB上的一动点,则线段的OM的长的取值范围是() A. 3≤OM≤5 B. 4≤OM≤5 C. 3<OM<5 D. 4<OM<5 10.下列说法中,正确的是() A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内 B. 圆的半径垂直于圆的切线 C. 圆周角等于圆心角的一半 D. 等弧所对的圆心角相等 11.若圆的一条弦把圆分成度数的比为1:3的两条弧,则劣弧所对的圆周角等于() A. 45° B. 90° C. 135° D. 270° 12. 如图所示,A、B、C三点在圆O上,∠AOC=100°,则∠ABC 等于() A. 140° B. 110° C. 120° D. 130°

《圆周角定理的证明》优秀教学设计(教案)

《圆周角定理的证明》教学设计 一、创设情境,引入新课 师生活动:教师演示课件或图片:展示一个圆柱形的海洋馆.并出示海洋馆的横截面示意图,提出问题.学生通过观察分析和理解问题. 设计意图:从生活中的实际问题入手,使学生认识到数学总是与现实问题密不可分.引导学生对图形的观察和发现,激发学生的好奇心和求知欲. 二、任务驱动,探究规律 学生动手画圆,在圆上任取一条劣弧,作这条劣弧所对的圆心角和圆周角,然后用量角器测量这些角。回答下列问题: (1)同弧(弧AB)所对的圆心角∠AOB与圆周角∠ACB的大小关系是怎样的? (2)同弧(弧AB)所对的圆周角∠ACB与圆周角∠ADB的大小关系是怎样的? 师生活动: 学生利用度量工具(量角器或几何画板)动手实验,进行度量,发现结论.教师再利用几何画板从动态的角度进行演示,验证学生的发现. 设计意图:让学生亲自动手,利用度量工具(如量角器、几何画板)进行实验、观察、猜想、分析、验证,得出结论: 同弧所对的圆周角的度数没有变化,并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半. 三、动手操作,验证猜想 拿出课前准备的圆形纸片,在⊙O上任取一个圆周角∠BAC,将圆对折,使折痕经过圆心O 和∠BAC的顶点A.回答问题: (1)在圆上任取一个圆周角,观察圆心与圆周角的位置关系有几种情况? (2)当圆心在圆周角的一边上时,如何证明活动2中所发现的结论? (3)另外两种情况如何证明,可否转化成第一种情况呢? 师生活动:教师演示圆心与圆周角的三种位置关系.学生写出已知、求证,完成证明. 具体做法:1.学生分组讨论三类图形的已知、求证。2.要求其中的四个小组证明第二类图形,另外的四个小组证明第三类图形。3.师生归纳总结出圆周角定理,并且几何符号表示圆周角定理。 设计意图:让学生对所发现的结论进行证明.培养学生严谨的治学态度.问题(1)的设计是让学生通过动手探索,学会运用分类讨论的数学思想研究问题.问题(2)、(3)的提出是让学生学会运用化归思想将问题转化,并启发培养学生创造性的解决问题. 四、巩固练习,学以致用

圆周角定理

学科教师辅导讲义 学员编号:年级:初三课时数:3 学员姓名:辅导科目:数学学科教师: 授课类型T(同步知识主题) C (专题方法主题)T (学法与能力主题)授课日期及时段 教学内容 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦想等,所对的弦的弦心距相等. 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 基本方法归纳:正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系:在同圆或等圆中,①圆心角相等,②所对的弧相等,③所对的弦相等,三项“知一推二”,一项相等,其余二项皆相等. 注意问题归纳:这源于圆的旋转不变性,即:圆绕其圆心旋转任意角度,所得图形与原图形完全重合 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等. 推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径. 推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形. 基本方法归纳:在解圆的有关问题时,常常需要添加辅助线,构成直径所对的圆周角,这种基本技能技巧一定要掌握. 注意问题归纳:①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形.利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化.②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”---圆心角转化.③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角,在运用定理时不要忽略了这个条件,把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.

圆周角的概念: 【例1】如图,∠BAC是圆周角的是() 变式:1、如图,图中哪些角是圆周角,哪些不是圆周角?请说明理由。 圆周角定理: 【例2-1】如图,AB是⊙O的直径,∠AOC=110°,则∠D等于() 【例2-2】已知圆中一条弦的长度等于它的半径,求此弦所对圆周角的度数。 2,则⊙O的半径为()变式:1、如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠B=60°,OP⊥AC于点P,OP=3

圆心角圆周角垂径定理及其应用

第一课时辅导讲义

4、圆周角定理及其推论(重点) 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧; 推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。 推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三 角形。 即:在△ABC中,∵OC=OA=OB ∴△ABC是直角三角形或∟C=90° 5.垂径定理的应用(难点) (1)垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的的弧, 垂径定理的表现形式:如图5-2-8所示, 推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即: ①AB是直径②AB CD ⊥③CE DE =④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 C B A O O E D C B A

考点一:圆心角,弧,弦的位置关系 例1、(2006?)如图,BE是半径为6的圆D的1/4圆周,C点是BE上的任意一点,△ABD是等边三角形,则四边形ABCD的周长P的取值围是() 例2、有下列说法:①等弧的长度相等;②直径是圆中最长的弦;③相等的圆心角对的弧相等;④圆中90°角所对的弦是直径;⑤同圆中等弦所对的圆周角相等.其中正确的有() 例3、(2007?)如图,AB是⊙O的直径,AB=AC,BC交⊙O于点D,AC交⊙O于点E,∠BAC=45°,给出下列五个结论:①∠EBC=22.5°;②BD=DC;③AE=2EC;④劣弧AE是劣孤DE的2倍;⑤AE=BC.其 中正确结论的序号是 例4.(2005?江)如图所示,⊙O半径为2,弦BD=2√3,A为弧BD的中点,E为弦AC的中点,且 在BD上,则四边形ABCD的面积为 考点二:圆周角定理 例1如图,三角形ABC中,∠A=60°,BC为定长,以BC为直径的⊙O分别交AB,AC于点D,E.连接DE,已知DE=EC.下列结论:①BC=2DE;②BD+CE=2DE.其中一定正确的有() 例2、(2011?)一个圆形人工湖如图所示,弦AB是湖上的一座桥,已知桥AB长100m,测得圆周角

垂径定理-圆周角与圆心角的关系

圆 目录 一.圆的定义及相关概念 二.垂经定理及其推论 三.圆周角与圆心角 四.圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五.圆内接四边形 六.会用切线, 能证切线 七.切线长定理 八.三角形的内切圆 九.了解弦切角与圆幂定理(选学)十.圆与圆的位置关系 十一.圆的有关计算 十二.圆的基础综合测试 十三.圆的终极综合测试

一.圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1: 圆的对称性:圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2: 确定圆的条件;圆心和半径 ①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小; ②不在同一条直线上的三点确定一个圆; 考点3: 弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。 弦心距:圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧:圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆,优弧、劣弧三种。 (请务必注意区分等弧,等弦,等圆的概念) 弓形:弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高:弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 (请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形,对应两个弓高) 固定的已经不能再固定的方法: 求弦心距,弦长,弓高,半径时通常要做弦心距,并连接圆心和弦的一个端点,得到直角三角形。如下图: 考点4: 三角形的外接圆:

锐角三角形的外心在 ,直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。 考点5 点和圆的位置关系 设圆的半径为r ,点到圆心的距离为d , 则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外?d >r ;②点在圆上?d=r ;③点在圆内? d <r ; 【典型例题】 例1 在⊿ABC 中,∠ACB =90°,AC =2,BC =4,CM 是AB 边上的中线,以点C 为圆心,以5为半径作圆,试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系,并说明你的理由。 例2.已知,如图,CD 是直径,?=∠84EOD , 的度数。 例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ,最大为8cm ,则这圆的半径是_________cm 。 例4 在半径为5cm 的圆中,弦AB ∥CD ,AB=6cm ,CD=8cm ,则AB 和CD 的距离是多少? 例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ,已知AE=6cm ,EB=2cm, 30=∠CEA , 求CD 的长. A B D C O · E

圆周角定理及其推论.pdf

通海路中学九年级数学教案课题:圆周角及其推论(1) 教学目标1、掌握圆周角定理,并会熟练运用这些知识进行有关的计算; 2、培养观察、分析及解决问题的能力及逻辑推理能力; 3、培养添加辅助线的能力和思维的广阔性 教学重点:圆周角定理及其推论的应用. 教学难点:熟练应用圆周角定理及其推论以及辅助线的添加. 个性设计一、自主学习 1、学习内容:教材p49--52页. 2、自学时间:5--10分钟. 3、自学检测:自学中遇到的问题做标记,完成教材p52页练习. 二、合作交流 1、知识点一:圆周角的定义 定义:顶点在______,并且两边都和圆______的角叫圆周角. 2、知识点二:圆周角定理 圆周角定理: 几何语言: 练习: 1.如图,已知A,B,C三点都在⊙O上,∠AOB=60°,则∠ACB=_______. 2.如图,点A,B,C在⊙O上,∠ACB=30°,则cos∠ABO的值是_______. 3.如图,A,B,C是半径为6的⊙O上三个点,若∠BAC=45°,则弦BC=_______. 3、知识点三:圆周角定理的推论(1) 在同圆(或等圆)中,同弧或等弧所对的圆周角____,相等的圆周角所对的弧也____练习: 4.如图,A、B、C三点在⊙O上,且△ABC是等边三角形,动点P在圆周的劣弧AB上,且不与A、B重合,则∠BPC等于() A、30° B、60° C、90° D、45° 5.如图,在⊙O中,弦AB、CD相交于点P,若∠A=30°,∠APD=70°,则∠B=____. 6.如图,A、B、C、D是⊙O上的四个点,AB=BC,BD交AC于点E,连接CD、AD,若∠BAC=25°,则∠ADC=______.

圆周角和圆心角定理

《圆周角和圆心角的关系》第1课时教学设计

教学过程设计说明 [师]前面我们学习了与圆有关的哪种角?它有什么特点?请同学们画一个圆心角. 回顾旧知,导入新课[生]学习了圆心角,它的顶点在圆心.创设问题设置悬念,激发学生学[师]圆心是圆中一个特殊的点,当角的顶点在圆情境习欲望。心时,就有圆心角.这样角与圆两种不同的图形产生了联系,在圆中还有比较特殊的点吗?如果有,把这样的点作为角的顶点,会是怎样的图形? [师]同学们请观察下面的图(1).(出示投影片 )A.13.3在通过射门游戏引入圆周角的概念。 [师]图中的∠ABC,顶点在什么位置?角的两边有什么特点? [生]∠ABC的顶点B在圆上,它的两边分别和圆 有另一个交点.(通过学生观察,类比得到定义)探索新知 圆周角(angle in a circular segment)定义:顶点在圆上,并且角的两边和圆相交的角. [师]请同学们考虑两个问题:认识 概念 顶点在圆上的角是圆周角吗?(1) 圆和角的两边都相交的角是圆周角吗?(2) 请同学们画图回答上述问题. [师]通过画图,相互交流,讨论认清圆周角概念让学生认识圆周角的两的本质特征,从而总结出圆周角的两个特征:个重要特征。 (1)角的顶点在圆上; (2)两边在圆内的部分是圆的两条弦. 试列举一些反例让学生进行辨析。 )1(出示投影片一试 [师]在图(1)中,当球员在B、D、E处射门时, 他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关 系? 我们知道,在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.那么,在同圆或等圆中,相等的弧所 对的圆周角有什么关系?联想建构[师]请同学们动手画出⊙O中弧AC所对的圆心角和圆周角.观察弧AC所对的圆周角有几个?提出这一问题意在引起 它们的大小有什么关系?你是通过什么方法得到学生思考,为本节活动的?弧AC所对的圆心角和所对的圆周角之间有埋下伏笔。什么关系? 验[生] 弧AC所对的圆周角有无数个.通过测量的证猜方法得知:弧AC所对的圆周角相等,所对的圆想周角都等于它所对的圆心角的一半. (教师用几何画板展示变化中的圆周角与圆心角的关系) [师]对于有限次的测量得到的结论,必须通过其 论证,怎么证明呢?说说你的想法,并与同伴交流. [生]互相讨论、交流,寻找解题途径. [师生共析]能否考虑从特殊情况入手试一下.(学

圆周角定理及推论

一、圆周角定理:一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半已知在⊙O中,∠BOC与圆周角∠BAC对同弧BC,求证:∠BOC=2∠BAC。 以下分五种情况证明 【证明】情况1:当圆心O在∠BAC的内部时: 图1 连接AO,并延长AO交⊙O于D 解:OA=OB=OC(OA、OB、OC是半径) ∴∠BAD=∠ABO,∠CAD=∠ACO(等腰三角形底角相等) ∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD ∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD (∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角,而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 和) ∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC 【证明】情况2:当圆心O在∠BAC的外部时: 图2 连接AO,并延长AO交⊙O于D,连接OB、OC。解:OA=OB=OC(OA、OB、OC是半径) ∴∠BAD=∠ABO,∠CAD=∠ACO(等腰三角形底角相等) ∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD ∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD (∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角,而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 和)

∴∠BOC=∠COD-∠BOD=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC 【证明】情况3:当圆心O在∠BAC的一边上时,即A、O、B在同一直线上时: 图3 ∵OA、OC是半径 解:∴OA=OC ∴∠BAC=∠OCA() ∴∠BOC=∠BAC+∠OCA=2∠BAC (三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和,由AB为平角180°、三角形△AOC内角和为180°得到。) 【证明】情况4:圆心角等于180°: 圆心角∠AOB=180°,圆周角是∠ACB,∵∠OCA=∠OAC= 2 1∠BOC(BC弧) ∠OCB=∠OBC= 2 1 ∠AOC(AC弧) ∴∠OCA+∠OCB=(∠BOC+∠AOC)/2=90度∴∠AO B2=∠ACB 【证明】情况5:圆心角大于180°: 图5 圆心角是(360°-∠AOB),圆周角是∠ACB,延长CO交园于点E, ∠CAE=∠CBE=90°(圆心角等于180°) ∴∠ACB+∠AEB=180°,即∠ACB=180°-∠AEB ∵∠AOB=2∠AEB ∴360°-∠AOB=2(180°-∠AEB)=2∠ACB 二、圆周角定理的推论: 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。其他推论? ①圆周角度数定理,圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半?。 E

圆(垂径定理、圆心角、圆周角)基础题练习

圆(垂径定理、圆心角、圆周角)基础题练习 1如图所示,在⊙O中,CD是直径,AB是弦,AB⊥CD于M,CD=15cm,OM:OC=3:5,求弦AB的长. 2.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,如果AB=20,CD=16,那么线段OE的长为 3.如图,同心圆中,大圆的弦AB被小圆三等分,OP为弦心距,如果PD=2cm,那么BC=________cm. 4.如图,OA=OB,AB交⊙O于点C、D,AC与BD是否相等?为什么? 5.如图所示,已知在⊙O中,半径OC垂直弦AB于D,证明:AC=BC 6.已知,如图,△ABC内接于⊙O,∠A=30°,BC=4cm,求⊙O的直径 7.如图,是一个直径为650㎜的圆柱形输油管的横截面,若油面宽AB=600㎜,求油面的最 大深度. 8.已知:如图,△ABC内接于⊙0,AE⊥BC,AD平分∠BAC.求证:∠DAE=∠DAO. 圆心角、圆周角 1.如图,⊙O的直径CD过弦EF的中点G,∠EOD=40°,求∠DCF的度数

5.如图,图中相等的圆周角有 A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 6.如图,∠A是⊙O的圆周角,∠A=60°,则∠OBC的度数为________度. 7.如图示,∠BAC是⊙O的圆周角,且∠BAC=45°,BC=2,试求⊙O的半径大小. 8.已知:如图,点D的坐标为(0,6),过原点O,D点的圆交x轴的正半轴于A点.圆周角∠OCA=30°,求A点的坐标. 9.如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC=4,求⊙O的直径. 10如图,已知:AB、CD是⊙O的两条弦,且AB=CD,求证:AC=BD 11.已知AB为⊙O的直径,AC为弦,OD∥BC,交AC于D,BC=4cm. (1)求证:AC⊥OD;(2)求OD的长. 12.如图,OA⊥BC,∠AOB=50°,试求∠ADC的大小 如图,⊙O中,弦AB=CD.求证:∠AOC=∠BOD 13.如图,⊙O中,OA⊥BC,∠CDA=35°,求∠AOB的度数. . 14.如图,⊙O的直径CD过弦EF的中点G,∠EOD=40°,求∠DCF的度数.

圆周角教学设计

新人教版初中数学九上圆周角教学设计 湖北省谷城县城关镇中心学校宋光艳一、内容和内容解析 本节教学内容源于人教版九年级上册“24.1.4圆周角”,属于“空间与图形”领域中“圆”的内容。 圆心角、圆周角是与圆有关的角,圆周角是在垂径定理、圆心角及弧、弦、圆心角的关系定理的基础上学习的。圆周角定理及其推论对于角的计算、证明角相等、弧、弦相等以及证明圆中三角形相似等数学问题提供了十分便捷的方法和思路。 圆周角定理的证明,采用完全归纳法,通过分类讨论,把一般问题转化为特殊情况来证明,渗透了分类讨论和一般到特殊的化归思想,使学生学会化未知为已知、化复杂为简单、化一般为特殊或化特殊为一般的思考方法,提高学生分析问题和解决问题的能力,进一步发展学生的逻辑思维能力和演绎推理能力。 教学过程中,应注意积极创设问题情境,突出图形性质的探索过程,垂视直观操作和逻辑推理的有机结合,通过多种手段,如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来发现和探索圆心角与圆周角、圆周角之间的数量关系,同时还要求学生能对发现的性质进行证明,使直观操作和逻辑推理有机的整合在一起,使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续。 基于上述分析,确定本节教学重点是: 直观操作与推理论证相结合,探索并论证圆周角定理及其推论,发展推理能力,渗透分类讨论和化归等数学思想和方法。 二、目标和目标解析 1.理解圆周角的定义。通过与圆心角的类比,明确圆周角的两个特征:①顶点在圆上; ②两边都与圆相交,会在具体情景中辨别圆周角。 2.掌握圆周角定理及其推论。经历操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动,体验圆周角定理的探索过程,发展学生的逻辑思维能力和推理论证以及用几何言语表达的能力;提高运用数学解决实际问题的意识和能力,同时对学生进行辩证唯物主义的教育。 3.通过对圆周角定理的论证,渗透分类讨论、化归等数学思想和方法。 4.引导学生对图形进行观察、研究、添加辅助线,激发学生的好奇心和求知欲,并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验,培养学习的自信心。 三、问题诊断分析 教师教学可能存在的问题:(1)创设问题情景,以具体的实际问题为载体,引导学生对概念和性质的学习是新课程倡导的教学方法,在本课中要求列举一些典型的、贴近学生生活实际的例子是不容易做到的;(2)不能设计有效的数学问题,使学生通过有思维含量的数学问题,展开有效的数学教学活动,引导学生积极地探索圆周角的性质,发展学生的教学思维;(3)过分强调知识的获得,忽略了数学思想和方法的渗透;(4)对学生学习过程中所体现出来的态度和情感关注不够,以至于不能很好地激发好奇心和求知欲,体验成功的乐趣,培养自信心。 学生学习中可能出现的问题:(1)对圆柱形海洋馆的构造缺乏了解,致使不能很好地理解视角、圆周角等概念;(2)对完全归纳法、分类讨论等数学思想和方法理解有困难;(3)一般到特殊的转化、辅助线的添加、论证过程的书写等都将是学生学习过程中的弱点。

垂径定理、圆周角与圆心角

圆1 一、知识点 1、旋转不变性:圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;圆是 中心对称图形,对称中心是圆心. 在同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,这四组量中的任意一组相等,那么它所对应的其他各组分别相等. 2、轴对称:圆是轴对称图形,经过圆心的任一直线都是它的对称轴. 3、圆是轴对称图形,经过圆心的每一条都是它的对称轴。(因为直径是线段,而对称轴是直线,所以不能说“圆的对称轴是直径”,而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成:“圆的对称轴是经过圆心的每一条直线”。) 4、、垂径定理:垂直于弦的直径这条弦,并且弦所对的弧。(这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段,其本质是过“圆心”。) 5、推论:(1)平分弦(不是直径)的直径,并且平分弦所对的两条弧。 (2)弦的垂直平分线经过,并且平分弦所对的两条弧。 (3)平分弦所对的一条弧的直径,弦且平分弦所对的另一条弧。 推论:圆的两条平行弦所夹弧。 6、与圆有关的角 (1)圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角. 圆心角的性质:圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角:顶点在圆上,两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质: ①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. ②同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径;半圆或直径所对的圆周角为直角. ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补;外角等于它的内对角. 7、垂径定理及推论: ①垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心,且平分弦对的两条弧. ④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心,且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 二、例题 (泸州市2008年)如图1,正方形ABCD是⊙O的内接正方形,点P在劣弧CD上不同于点C得到任意一点,则∠BPC的度数是() A.45 B.60 C.75 D.90 2.(PA切⊙O于A,PO交⊙O于B,若PA=6,PB=4,则⊙O的半径是()`

最新数学湘教版初中九年级下册2.2.2第1课时圆周角定理与推论1公开课教学设计

2.22 圆周角 第1课时圆周角定理与推论1 1.理解圆周角的概念,学会识别圆周角; 2.在实际操作中探索圆的性质,了解圆周角与圆心角的关系,并能应用其进行简单的计算与证明;(重点) 3.在探索过程中,体会观察、猜想的思维方法,在定理的证明过程中,体会化归和分类讨论的数学思想和归纳的方法. 一、情境导入 你喜欢看足球比赛吗?你踢过足球吗?第十九届世界杯决赛于2014年在巴西举行,共有自世界各地的32支球队参加赛事,共进行64场比赛决定冠军队伍. 比赛中如图所示,甲队员在圆心O处,乙队员在圆上处,丙队员带球突破防守到圆上处,依然把球传给了甲,你知道为什么吗?你能用数学知识解释一下吗? 二、合作探究 探究点一:圆周角的概念 下列图形中的角是圆周角的是( ) 解析:观察可以发现只有选项B中的角的顶点在圆周上,且两边都和圆相交.所以它是圆周角.故选B 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题 探究点二:圆周角定理与推论1 【类型一】利用圆周角定理求角 如图,AB是⊙O的直径,,D为圆上两点,∠AO=130°,则∠D等于( ) A.25° B.30°

.35° D .50° 解析:本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系.∵∠AO =130°,∠AOB =180°,∴∠BO =50°,∴∠D =25°故选A 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题 【类型二】 利用圆周角定理的推论1求角 (2015·莆田中考)如图,在⊙O 中,(AB ︵)=(A ︵ ),∠AOB =50°,则∠AD 的度数是( ) A .50° B .40° .30° D .25° 解析:∵连接O ,在⊙O 中,(AB ︵ )=(A ︵ ),∴∠AO =∠AOB ∵∠AOB =50°,∴∠AO =50°,∴∠AD =错误!∠AO =25°故选D 方法总结:本题考查的是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键. 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题 三、板书设计 教学过程中,强调圆周角定理得出的理论依据,使学生熟练掌握并会学以致用

垂径定理圆周角与圆心角的关系复习题

【知识点总结】 1.圆是 到定点的距离等于定长 的所有点组成的图形. 2.圆是轴对称图形,它的直径所在的直线都是对称轴;又时中心对称图形,它的中心是圆心. 3.垂径定理:(图1)垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧. 推论1:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧 推论2:平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 4.圆心角定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等. 关于弦的问题,常常需要过圆心作弦的垂线段,这是一条非常重要的辅助线。 圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形,便将问题转化为直角三角形的问题。 5.顶点在圆周上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 6.圆周角定理: 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 也可以理解为:一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍;圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;?90的圆周角所对的弦是直径. 8.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的弧也相等。 圆易错点 1.注意考虑点的位置 在解决点与圆的有关问题时,应注意对点的位置进行分类,如点在圆内圆外、点在优弧劣弧等. 例1.点P 到⊙O 上的最近距离为cm 3,最远距离为cm 5,则⊙O 的半径为 cm . 例2.BC 是⊙O 的一条弦, ?=∠120BOC ,点A 是⊙O 上的一点(不与B 、C 重合),则BAC ∠的度数为 . 2.注意考虑弦的位置 在解决与弦有关的问题时,应对两条的位置进行分类,即注意位于圆心同侧和异侧的分类. 图3 图4

例3.在半径cm 5为的圆中,有两条平行的弦,一条为cm 8,另一条为cm 6,则这两条平行弦的距离是 . 例4.AB 是⊙O 的直径,AC 、AD 是⊙O 的两条弦,且?=∠30BAC ,?=∠45BAD ,则CAD ∠的度数为 . 考点1:基本概念和性质 考查形式:主要考查圆的对称性、直径与弦的关系、等弧等有关命题,常以选择题的形式出现. 例5.有下列四个命题:①直径是弦;②经过三个点一定可以作圆;③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等;④半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的有( ). A .4个 B .3个 C . 2个 D . 1个 考点2:圆心角与圆周角的关系 例6.如图1,A 、B 、C 为⊙O 上三点,若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度. B A A (1) (2) (3) 例7..如图2,AB 是⊙O 的直径, BC BD =,∠A=25°,则∠BOD 的度数为________. 例8..如图3,AB 是半圆O 的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______. 考点3:垂径定理 考查形式:主要考查借助垂径定理的解决半径、弧、弦、弦心距之间的计算和证明,填空题、选择题或解答题中都经常出现它的身影.解决是应注意作出垂直于弦的半径或弦心距,构造直角三角形进行解决. 例9.如图,在⊙O 中,有折线OABC ,其中8=OA ,12=AB ,?=∠=∠60B A ,则弦BC 的长为( )。 A.19 B.16 C.18 D.20 1.下列命题中,正确命题的个数为( ). ①平分弦的直径垂直于弦;②圆周角的度数等于圆心角度数的一半;③?90的圆周角所对的弦是直;④圆周角相等,则它们所对的弧相等. A .1个 B .2个 C . 3个 D . 4个 2.下列说法中,正确的是( ) A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内 B. 圆的半径垂直于圆的切线 C

圆周角定理及推论

1 / 6 24.1.4圆周角 第1课时圆周角定理及推论 教学内容 1.圆周角的概念. 2.圆周角定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,?都等于这条弦所对的圆心角的一半. 推论: 半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用. 教学目标 1.了解圆周角的概念. 2.理解圆周角的定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,?都等于这条弧所对的圆心角的一半. 3.理解圆周角定理的推论: 半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90?°的圆周角所对的弦是直径. 4.熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用. 设置情景,给出圆周角概念,探究这些圆周角与圆心角的关系,运用数学分类思想给予逻辑证明定理,得出推导,让学生活动证

明定理推论的正确性,最后运用定理及其推导解决一些实际问题.重难点、关键 2 / 6 1.重点: 圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题. 2.难点: 运用数学分类思想证明圆周角的定理. 3.关键: 探究圆周角的定理的存在. 教学过程 一、复习引入 (学生活动)请同学们口答下面两个问题. 1.什么叫圆心角? 2.圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢? 老师点评: (1)我们把顶点在圆心的角叫圆心角. (2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有 一组量相等,?那么它们所对的其余各组量都分别相等. 刚才讲的,顶点在圆心上的角,有一组等量的关系,如果顶点不在圆心上,它在其它的位置上?如在圆周上,是否还存在一些等量关系呢?这就是我们今天要探讨,要研究,要解决的问题.二、探索新知

问题: 如图所示的⊙O,我们在射门游戏中,设 E、F是球门,?设球员们只能在所在的⊙O其它位置射门,如图所示的 3 / 6 A、B、C点.通过观察,我们可以发现像∠ EAF、∠ EBF、∠ECF这样的角,它们的顶点在圆上,?并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题. 1.一个弧上所对的圆周角的个数有多少个? 2.同弧所对的圆周角的度数是否发生变化? 3.同弧上的圆周角与圆心角有什么关系? (学生分组讨论)提问二、三位同学代表发言. 老师点评: 1.一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个. 2.通过度量,我们可以发现,同弧所对的圆周角是没有变化的.3.通过度量,我们可以得出,同弧上的圆周角是圆心角的一半.下面,我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化,?并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.” (1)设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径,如图所示

圆周角的概念及定理

教学时间课题24.1.4 圆周角课型新授课 教学目标知识和能力 1.了解圆周角与圆心角的关系. 2.探索圆周角的性质和直径所对圆周角的特征. 3.能运用圆周角的性质解决问题. 过程和方法 1.通过观察、比较,分析圆周角与圆心角的关系,发展学生合情推理能力和演绎推理能力. 2.通过观察图形,提高学生的识图能力. 3.通过引导学生添加合理的辅助线,培养学生的创造力. 4.学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中,学会运用分类讨论的数学思想、转化的数学思想解决问题. 情感态度 价值观引导学生对图形的观察发现,激发学生的好奇心和求知欲,并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验,建立学习的自信心. 教学重点探索圆周角与圆心角的关系,发现圆周角的性质和直径所对圆周角的特征. 教学难点发现并论证圆周角定理. 教学准备教师多媒体课件 问题与情境师生行为设计意图 [活动1 ] 演示课件或图片: 问题1 如图:同学甲站在圆心O的位置,同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C,他们的视角( 和)有什么关系? 问题2 如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E,他们的视角( 和)和同学乙的视角相同吗? 教师演示课件或图片:展示一个圆柱形的海洋馆. 教师解释:在这个海洋馆里,人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物. 教师出示海洋馆的横截面示意图,提出问题. 教师结合示意图,给出圆周角的定义.利用几何画板演示,让学生辨析圆周角,并引导学生将问题1、问题2中的实际问题转化成数学问题:即研究同弧( )所对的圆心角( )与圆周角( )、同弧所对的圆周角( 、、等)之间的大小关系.教师引导学生进行探究. 教师关注: 1.问题的提出是否引起了学生的兴趣; 2.学生是否理解了示意图; 3.学生是否理解了圆周角的定义; 4.学生是否清楚了要研究的数学问题. 从生活中的实际问题入手,使学生认识到数学总是与现实问题密不可分,人们的需要产生了数学. 将实际问题数学化,让学生从一些简单的实例中,不断体会从现实世界中寻找数学模型、建立数学关系的方法. 引导学生对图形的观察,发现,激发学生的好奇心和求知欲,并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验,建立学习的自信心. [活动2] 问题1同弧(弧AB)所对的圆心角∠AOB 与圆周角∠ACB的大小关系是怎样的?

圆周角定理教案

圆周角定理教案 一、复习: 1.什么叫圆心角? 2.圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢? (1)我们把顶点在圆心的角叫圆心角. (2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,?那么它们所对的其余各组量都分别相等. 二、探索新知,合作探究 (活动一)创设情景,提出问题 教师演示课件或图片:展示一个圆柱形 的海洋馆.教师解释:在这个海洋馆里,人 们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内 的海洋动物.教师出示海洋馆的横截面示意 图,提出问题. 活动任务:圆周角定义 教师引导语预设: (1)角的顶点在什么地方 (2)角的两边和圆什么关系? (活动二)探索同弧所对的圆周角与圆心角的关系、同弧所对的圆周角之间的关系 (1):如图:同学甲站在圆心的位置,同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位 置,他们的视角(和)有什么关系? 同弧上的圆周角是圆心角的一半. 教师抛出问题:可以给同弧所对的圆周角分类吗? 问题1:在圆上任取一个圆周角,观察圆心与圆周角的位置关系有几种情况? 问题2:当圆心在圆周角的一边上时,如何证明探究中 所发现的结论? 问题3:(2)如图,圆周角∠ABC的两边AB AC在圆心0的两侧,那么∠BAC= 1/2∠BOC吗?

(3)如上图,圆周角∠ABC的两边AB、AC在圆心O的同侧,那么∠BAC= ∠BOC 吗? 从(1)、(2)、(3),我们可以总结归纳出圆周角定理: 在同圆或等圆中,同弧等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.(板书) 三、课堂巩固 如图,点A、B、C、D在同一个圆上,四边形的对角线把4个内角分成8个角,这些角中哪些是相等的角? 补充练习:(要求独立完成) (1)如图,已知圆心角∠AOB=100°,求圆周角∠ACB、∠ADB的度数? 学生预设:1:学生能发现∠ACB、∠ADB与∠AOB的关系 教师引导语预设:如果不画图,结果又怎样? (2)一条弦分圆为1:4两部分,求这弦所对的圆周角的度数? 四、课堂小结 问题:本节课你学到了什么知识?从中得到了什么启发? (1)从知识、探索过程及方法上总结。 (2)从练习上总结解题方法。

圆周角与圆心角的关系 优质课评选教案

2011 -2012学年第2 学期 圆周角与圆心角(第一课时) 教 案 所在学校:棉湖二中 授课教师:王琼纯 使用教材:北师大版义务教育课程标准实验教材

圆周角与圆心角的关系(第一课时) 授课人:王琼纯 教材:北师大版义务教育课程标准实验教材 一.教学目标: 1.知识与技能 理解掌握圆周角的概念及圆周角与圆心角的关系 2.过程与方法 经历对圆周角定理的探索、证明的过程,养成自主探究,合作交流的学习习惯。学会以特殊情况为基础,通过转化来解决一般性问题的方法,体会归纳、类比、分类讨论的数学思想。 3.情感与价值观 让学生在主动探索、合作交流的过程中获得成功的愉悦,培养学生独立思考,善于总结的学习习惯。 二.教学重、难点: 重点:理解掌握圆周角的概念及圆周角定理 难点:圆周角定理的证明及证明时分类讨论的必要性 三.教学方法:(教法、学法) 以探究式教学法为主,发现法、分组交流合作法、启发式教学法等多种方法相结合,四.教具准备 教师:多媒体课件、圆规、三角板等 学生:探究活动纸。直尺、圆规、量角器等 五.教学过程设计 (一)创设情境,导入新课 展示多媒体课件:以一段足球赛视频导入新课 思考:单从数学角度分析,进球跟什么有关?运动员甲应该自己射门还是把球传给运动员乙射门(单从角度考虑)?O、B两个位置的张角相同吗? 过渡:两个位置的张角大小有什么关系?我们带着这个问题进入今天的学习。 (板书):圆周角与圆心角的关系

(二)教授新课: 1.圆周角的定义 (从情景图中抽象出几何图形,根据图形回答下列问题) 思考:①什么是圆心角?图中哪些是圆心角?你能类比圆心角给出圆周角定义吗? ②顶点在图上的角是圆周角吗?两边与圆相交的角是圆周角吗? 总结:顶点在圆心上且两边与圆相交的角是圆心角。 圆周角定义:顶点在圆上,两边与圆相交的角就是圆周角。(板书)练习一:判断下列哪些角是圆周角?哪些不是?为什么? A B C D E E G H 2.圆周角与圆心角的关系 (1)探究活动一:大胆猜想

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