函数的单调性
函数的单调性
一、 函数单调性的的判断方法
除了用差分法（又称定义法）判断函数的单调性外，常用的方法还是有以下几种： 1.直接法
直接法就是利用我们熟知的正比例函数、一次函数、反比例函数的单调性，直接判断函数的单调性，并写出它们的单调区间，熟记以下几种函数的单调性：
(1)正比例函数(0)y kx k =≠：
○
1当0k >时，函数y kx =在定义域R 上是增函数；○2当0k <时，函数y kx =在定义域R 上是减函数.
(2)反比例函数(0)k
y k x
=≠：
○1当0k >时，函数k
y x
=的单调递减区间是(,0),(0,)-∞+∞，不存在单调递增区间；○2当0k <时，函数k
y x
=的单调递增区间是(,0),(0,)-∞+∞，不存在单调递增区
间.
(3)一次函数(0)y kx b k =+≠：
○
1当0k >时，函数y kx b =+在定义域R 上是增函数；○2当0k <时，函数y kx b =+在定义域R 上是减函数.
（4）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠： ○1当0a >时，函数2
y ax bx c =++的图像开口向上，
单调递减区间是(,]2b
a
-∞-，单调递增区间是[,)2b
a -
+∞；○2当0a <时，函数2y ax bx c =++的图像开口向下，单调递增区间是(,]2b a -∞-，单调递减区间是[,)2b
a
-+∞.
注意：3()y f x x ==在定义域R 上是增函数，其图像如右图：
2.图像法
画出函数图象，根据其图像的上升或下降趋势判断函数的单调性. 3.运算性质法
（1）函数()()f x af x 与，当0a >时有相同的单
调性，当0a <时有相反的单调性；如函数()f x x =与3()3f x x -=-的单调性相反，函
数()
f x x
=与3()3
f x x
=的单调性相同；
（2）当函数()
f x恒为正（或恒为负）时()
f x与
1
()
f x
有相反的单调性，如：函
数
1
()0
f x
x
=->((,0))
x∈-∞是递增函数，则
11
1
()
x
f x
x
==-
-
在区间(,0)
-∞是递减函
数；
（3）若()0
f x≥，则()
f x
与如：函数2
()234
f x x x
=++，
在定义域R上，()0
f x>，且()
f x是
3
(,]
4
-∞-上的递减函数，是
3
[,)
4
-+∞上的递增函
数，所以函数=
3
(,]
4
-∞-上的递减函数，是
3
[,)
4
-+∞上的递增函数；
（4）若()
f x，()
g x的单调性相同，则()()
f x
g x
+的单调性与()
f x，()
g x的单调性相同.如
211
()
x
F x x
x x
-+
==-+，令
1
(),()
f x x
g x
x
=-=，即
()()()
F x f x g x
=+，因为函数()
f x在R上单调递减，()
g x的单调递减区间是(,0),(0,
-∞+∞），所以函数
211
()
x
F x x
x x
-+
==-+的单调递减区间是
(,0),
-∞(0,+∞）；
(5) 若()
f x，()
g x的单调性相反，则()()
f x
g x
-的单调性与()
f x的相同.因为
()
g x
-与()
f x的单调性相同，所以()()
f x
g x
-的单调性与()
f x的相同.
二、抽象函数单调性的判定
没有具体函数解析式的函数，我们称为抽象函数，判断抽象函数单调性是一类重要的题型，其解法采用差分法.
实例1已知定义在(0,)
+∞上的函数()
f x对任意,(0,)
x y∈+∞，恒有
()()()
f xy f x f y
=+，且当01
x
<<时()0
f x>，判断()
f x在(0,)
+∞上的单调性.
解设,(0,),0
x x h h
+∈+∞>，则()()()[()]
x
f x h f x f x h f x h
x h
+-=+-?+
+
()[()()]()
x x
f x h f f x h f
x h x h
=+-++=-
++
.
01,()0,()0x x x f f x h x h x h
<
<∴>∴-<+++，()()0f x h f x ∴+-<，所以函数 ()f x 在(0,)+∞上的单调递减.
二、 复合函数单调性的判定方法
求复合函数(())y f g x =的单调性的步骤：
（1） 求出函数的定义域；
（2） 明确构成复合函数的简单函数（所谓简单函数即我们熟知其单调性的函数）:(),()y f u u g x ==;
（3） 确定简单函数的单调性；
（4） 若这两个函数同增或同减（单调性相同），则(())y f g x =为增函数；若这两个函数一增一减（单调性相异）则(())y f g x =为减函数简记为“同增异减”.
实例2 求函数()f x =
解：由解析式得2340x x +-≥，即函数的定义域为{|41}x x x ≤-≥或.令
234t x x =+-，则y =y t =是增函数，而234t x x =+-在(,4]-∞上是减函数，
在[1,)+∞上是增函数，∴函数()f x =的递增区间为[1,)+∞，递减区间为
(,4]-∞.
三、 单调性的应用
1. 用函数的单调性比较大小
利用函数的单调性及自变量的大小可以比较两个函数值的大小，即已知函数
()y f x =在定义域的某个区间上为增函数，若对区间内的任意两个值12,x x 且
12x x <，则12()()f x f x <.减函数也有类似的性质.
示例3 已知函数()y f x =在[0,)+∞上是减函数，试比较3
()4
f 与2(1)f a a -+的大
小.
解：221331()244a a a -+=-+≥，3
4
∴与21a a -+都在区间[0,)+∞内.
又()y f x =在区间[0,)+∞上是减函数，23
()(1).4
f f a a ∴≥-+
注意：解答这类型的题目首先要判断函数的自变量是否在所给区间内.
示例4 已知()f x 是定义在[1,1]-上的增函数，且(1)(13)f x f x -<-，求x 的取值范围.
解
()f x 是定义在[1,1]-上的增函数，且(1)(13)f x f x -<-，∴可得不等式组
111,1131,113,x x x x -≤-≤??-≤-≤??-<-?即02,
20,31.2
x x x ?
?≤≤?
?
≤≤?
?
?
在利用单调性求最值或值域时要注意以下结论：
（1） 若()f x 在定义域[,]a b 是增函数，则当x a =时，()f x 取得最小值()f a 当
x b =，()f x 取得最大值()f b 如图2.
（2） 若()f x 在定义域[,]a b 是减函数，则当x a =时，()f x 取得最大值()f a ，当
x b =，()f x 取得最小值()f b 如图3.
（3）已知函数(),[,],y f x x a b a c b =∈<<，如果()f x 在[,]a c 上是单调递增（减）函数，在[,]c b 上是单调递减（增）函数，则()f x 在x c =时取得最大（小）值，在x a =或x b =时取得最小（大）值，如下图
4,5.
示例5 求函数32y x =-.
解：令()32f x x =-，()g x =，则()()y f x g x =-.由题意得函数的定义域
为(,2]-∞.
()32f x x =-在(,2]-∞上递增，()g x =
在(,2]-∞上递减，但
()g x -=(,2]-∞上递增，∴32y x =-(,2]-∞上为递增函数，∴当2x =时，y 有最大值4.
注意：研究函数最值时，先求定义域，再判断其单调性. 3.利用单调性求参数的取值 举例应用：课本40页例3 4.解含“f ”的不等式
根据函数()y f x =在某区间上的单调性及函数值的大小，可以求自变量的取值范围即已知函数()y f x =在定义域内的某个区间上为增函数，若12()(),f x f x <则12x x <；若已知函数()y f x =在定义域内的某个区间上为减函数， 若12()(),f x f x <则12x x >，就是增（减）函数定义的逆应用.
示例6 已知函数()y f x =是R 上的减函数，且(23)(56)f x f x ->-，求实数x 的取值范围.
解：函数()y f x =是R 上的减函数，且(23)(56)f x f x ->-，
2356x x ∴-<+，(3,)x ∴∈-+∞.
函数的定义域和值域
一、复合函数的定义域
复合函数(())y f g x =的定义域，是函数()g x 的定义域中，使中间变量()u g x =属于函
数()f u 的定义域全体. 示例1 若函数()f x 的定义域为[1,4]，求函数(4)f x +的定义域.
解：函数()f x 的定义域为[1,4]，∴使得(4)f x +有意义的条件是
144x ≤+≤,即30x -≤≤，则(4)f x +的定义域为[3,0]-.
注意：这类型的题目简记为“对应法则相同，括号内的取值范围相同”. 示例2
已知f 的定义域为[0,3]，求函数()f x 的定义域.
解题分析：函数f 和()f x 中的x
并不是同一个量，若设u =
f 变成()f u ，那么u 的取值范围才是函数()f x 的定义域，即“对应法则相同，括号内的取值范围相同”.
解：
f 的定义域为[0,3]，03x ∴≤≤
，则
函数()f x
的定义域为.
二、求函数值域的常用方法
1.公式法：适用于初中所学的一次函数、二次函数、反比例函数及以后学习的基
本初等函数，形如ax b y cx d +=+（0c ≠且分式不可约）的值域为{|}a
y y c ≠.
示例3 求函数31
1
x y x -=+的值域
解：函数311x y x -=+，∴331y ≠≠，∴31
1x y x -=
+的值域为{|3}y y ≠.
2.图像法：适用于能画出图像的函数.如
225((,2])y x x x =--∈-∞的图像如右图所示，所以值域为[6,)-+∞.
3.不等式性质法（包括配方法、分离常数法、
有界性法）适用于解析式只含“一个”x 或通过变形能化成只出现“一个”x 的函数，如1||,y x =-由||0x ≥，则1||1x -≤，可得
(,1]y ∈-∞；又如2
211
172()24
y x x x =
=-+-+，因为2177()244x -+≥，
所以214
0177()24
x <
≤-+
，所以4(0,]7y ∈.
示例4求函数23
()(221)1
x f x x x x -=
-≤≤≠-+且的值域 解：232(1)55
()2111
x x f x x x x -+-===-+++，由221x x -≤≤≠-且，得 11310x x -≤+≤+≠且.
令1t x =+，则130t t -≤≤≠且.结合反比例函数5
y t
=-的图像可知，当
130t t -≤≤≠且，即[1,0)(0,3]t ∈-时，555
53t t
-≤--≥或.
∴5555131x x -
≤--≥++或.515()2()27131
f x f x x x =-≤=-≥++或. ∴23()(221)1x f x x x x -=
-≤≤≠-+且的值域为1
-][7,)3
∞+∞（，. 4.换元法：适用于无理式中含自变量的函.
示例5
求函数y x =+.
解：函数的定义域是{|1}x x ≤.
t =，则[0,)t ∈+∞，2+1x t =-，
22212(21)2(1)2y t t t t t ∴=-++=--++=--+，0t ≥，
结合二次函数的图像2y ∴≤，∴原函数的值域为
∞（-，2]. 注意：解这类型的题目要注意函数的定义域,在利用换元法求函数值域时，一定要注意新变量t 的取值范围，若忽视了这点，就容易造成错误.
5.判别式法：适用于形如22(,)ax bx c
y a d dx ex f
++=++不全为零且分式不可约的函数.
示例6 求函数22247
23
x x y x x +-=++的值域.
解：由22247
23
x x y x x +-=++得2(2)2(2)370y x y x y -+-++=，当2y =时，方程无解；
当2y ≠时，要使关于x 的方程有解，必须24(2)4(2)(37)0y y y ?=---+≥， 解得9
2.2
y -≤<
∴原函数的值域为9
2
[-，2).
6.方程思想（包括判别式法、反解法）适用于可解出x 的解析式的函数.
示例7 求函数2
2
11x y x -=+的值域
解：由22
11x y x
-=+得2
(1)10y x y ++-=，当1y =-时，方程无解：当1y ≠-时，要使关于x 的方程有解，必须04(1)(1)0y y ?=-+-≥，解得11y -≤≤.
∴原函数的值域为[-1，1].
示例7：求函数31
1
x y x -=+的值域.
解：由31
1x y x -=
+得1(1)31(3)103
y y x x y x y x y ++=-?-++=?=--， 只要30,3y y -≠≠即，就有1
3
y x y +=-
-. ∴原函数的值域为{y |3}y ≠.
函数单调性讲解及常见类型(整理)
函数的单调性 题型一 判断、讨论、证明函数的 单调性 1 判断函数 y=x- 1 在其定义域上的单调性。 x 2 讨论并证明 y=x+ 1 在定义域上的单调性。 x 3 定义在R 上的函数 f （x ）对任意不相等实数 a ，b 总有 f （a ）- f （b ） >0成立，则必有 a -b A 、函数 f （x ）是先增加后减小 B 、函数 f （x ）是先减小后增加 C 、f （x ）在R 上是增函数 D 、f （x ）在 R 上是减函数 4已知 f （x ） =（2k +1）x + b 在实数R 是减函数，则k 的取值范围为（ ） 5 已知函数 f （x ） = x 2 +bx +c ,x （0,+）是单调函数，则实数b 的取值范围为（ ） A .b 0. B .b 0 C .b 0 D , b 0 6 已知 f （x ） = x 2 -2（1-a ）x + 2在（- ,4］上是减函数，求实数a 的取值范围。 题型二 抽象函数的单调性 1、已知 f （x ）是定义在［-1,1］上的增函数，且 f （x-2）
题型四用图形讨论函数单调性 1 函数y=|x—3|—|x+1|的单调递减区间是。 2画出函数y=-x2+2x +3的图像，并指出函数的单调区间. 3 画出函数y=|x| 的图像，并判断其单调性。 4画出函数y=|x2+2x-1|的图像，并指出其在R 上的单调性。 题型五基本初等函数的单调性问题 1.设函数y = x2-4x+3,x[1,4]，则f（x）的最小值和最大值为（） A.-1 ，3 B.0 ，3 C.-1，4 D.-2，0 2．函数f（x）=—x2+2（a—1）x+2 在（—∞，4）上是增函数，则a 的范围是 A 、a≥5 B 、a≥3 C、a≤3 D、a≤—5
必修一函数的单调性专题讲解(经典)
第一章 函数的基本性质之单调性 一、基本知识 1．定义：对于函数)(x f y =，对于定义域内的自变量的任意两个值21,x x ，当 21x x <时，都有 ))()()(()(2121x f x f x f x f ><或，那么就说函数)(x f y =在这个区间上是增（或减）函数。 重点 2．证明方法和步骤： （1） 取值：设21,x x 是给定区间上任意两个值，且21x x <； （2） 作差：)()(21x f x f -； （3） 变形：（如因式分解、配方等）； （4） 定号：即0)()(0)()(2121<->-x f x f x f x f 或； （5） 根据定义下结论。 3．常见函数的单调性 时， 在R 上是增函数；k<0时， 在R 上是减函数 （2），在（—∞，0），（0，+∞）上是增函数， （k<0时），在（—∞，0），（0，+∞）上是减函数， （3）二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ， 当0>a 时函数)(x f 在对称轴a b x 2- =的左侧单调减小，右侧单调增加； 当0 函数的单调性 知识梳理 1. 单调性概念 一般地，设函数()f x 的定义域为I ： （1）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数； （2）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数. 2. 单调性的判定方法 （1）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （2）定义法步骤； ①取值：设12,x x 是给定区间内的两个任意值，且12x x < (或12x x >)； ②作差：作差12()()f x f x -，并将此差式变形（注意变形到能判断整个差式符号为止）； ③定号：判断12()()f x f x -的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论； ④下结论：根据定义得出其单调性. （3）复合函数的单调性： 当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 3. 单调区间的定义 如果函数()y f x =，在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间． 例题精讲 【例1】下图为某地区24小时内的气温变化图． (1)从左向右看，图形是如何变化的？ (2)在哪些区间上升哪些区间下降？ 解：（1）从左向右看，图形先下降，后上升，再下降； （2）在区间[0,4]和[14,24]下降，在区间[4,14]下降。 【例2】画出下列函数的图象，观察其变化规律： （1）f (x )=x ; ①从左至右图象上升还是下降 ②在区间(-∞，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？ 函数的单调性 学习目标（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应 用函数的基本性质解决一些问题。 （2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和 单调性定义判断、证明函数单调性的方法． （3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。 重点与难点 （1）判断或证明函数的单调性； （2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。 学习过程 【学习导航】 知识网络 学习要求 1. 从特殊到一般,掌握增函数、减函数、单调区间的概念; 2. 会根据图像说出函数的单调区间,并能指出其增减性; 3. 会用定义证明一些简单函数的单调性. 自学评价 观察函数x x f =)(，2 )(x x f =的图象 从左至右看函数图象的变化规律: (1). x x f =)(的图象是_________的， 2)(x x f =的图象在y 轴左侧是______的，2)(x x f =的图象在y 轴右侧是_______的. (2). x x f =)(在),(+∞-∞上，f （x ）随着x 的增大而___________;2 )(x x f =在]0,(-∞ 上， f （x ）随着x 的增大而_______;2 )(x x f =在),0(+∞上，f （x ）随着x 的增大而________. 一、 函数的单调性 1．单调函数的定义 （1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。 函数的单调性 单调性的定义 定义法证明函数的单调性 增函数 减函数 单调区间 x y 0 x y 0 x x f =)( 2)(x x f = 1.函数的单调性：在某个区间( a,b )内，如果f (x) . 0 ,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果f (x) ：：：0，那么函数y = f(x)在这个区间内单调递减?如果f(x)=0,那么函数y = f(x)在这个区间上是常数函数? 注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x)亠0，f (x) . 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的充分不必要条件? 2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为 负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正. 一般地，当函数 y = f(x)在点沧处连续时，判断f(X。)是极大(小)值的方法是： (1)如果在X。附近的左侧f ' (x) 0 ，右侧f'(x)：：： ，那么f(X0)是极大值. (2)如果在X o附近的左侧f '(X)：：：0 ,右侧f'(x) 0，那么f(X0)是极小值. 注：导数为0的点不一定是极值点 知识点一：导数与函数的单调性 方法归纳： 在某个区间(a,b )内，如果f (x) ?0,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果「(x) ：：：0，那 么函数y二f(x)在这个区间内单调递减?如果f (x) =0，那么函数y二f(x)在这个区间上是常数函数?注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x) _ 0 , f (x) 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的 充分不必要条件? 例1】(B类)已知函数f(x)=x3 bx2 cx d的图象过点P(0, 2)，且在点M(-1, f(-1))处的切线方程为6x「y ?7 = 0 ? (I)求函数y = f(x)的解析式；(n)求函数y=f(x)的单调区间? 【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上?函数f(x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0 ；函数 f (x)在区间［a,b］上递减可得：f'(x) E0. 3 【例2】(A类)若f(x)二ax x在区间［—1,1］上单调递增，求a的取值范围? 【解题思路】利用函数 f (x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0;函数f(x)在区间［a,b］上递减可得： f '(x)岂0.得出恒成立的条件，再利用处理不等式恒成立的方法获解 a 【例 3 】(B 类)已知函数f(x)=l nx,g(x) (a 0),设F(x^ f (x) - g(x). x (I)求函数F(x)的单调区间； 1.3.1函数的单调性 题型一、利用函数的图象确定函数的单调区间 例1.作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间 （1）12-=x y ; （2）322++-=x x y ; （3）2 )2(1-++=x x y ; （4）969622++++-=x x x x y 相应作业1：课本P32第3题. 题型二、用定义法证明函数的单调性 用定义法证明函数的单调性步骤：取值 作差变形 定号 下结论 ?取值，即_____________________________； ?作差变形,作差____________,变形手段有__________、_____、_____、_______等； ?定号，即____________________________________________________________; ④下结论，即______________________________________________________。 例2.用定义法证明下列函数的单调性 （1）证明：1)(3 +-=x x f 在()+∞∞-,上是减函数. ▲定义法证明单调性的等价形式： 设[]b a x x ,21∈、，21x x ≠,那么 [])(0) ()(0)()()(2 1212121x f x x x f x f x f x f x x ?>--? >--在[]b a ,上是增函数； [])(0) ()(0)()()(2 1212121x f x x x f x f x f x f x x ?<--? <--在[]b a ,上是减函数. (2)证明：x x x f -+=1)(2在其定义域内是减函数； （3）证明：21 )(x x f = 在()0,∞-上是增函数； 法一： 作差 法二：作商 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用． 2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意： 研究函数单调性必须先求函数的定义域， 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并！ 知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 1 2 2.单调性、单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意： 1、《名师一号》P16 问题探究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？ (1)定义中x 1，x 2具有任意性，不能是规定的特定值． (2)函数的单调区间必须是定义域的子集； (3)定义的两种变式： 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1 3 1212 ()() 0-<-f x f x x x ? f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2、《名师一号》P16 问题探究 问题2 单调区间的表示注意哪些问题？ 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D ，且x 1 第14课时函数的单调性（一） 【学习目标】 1．理解增函数．减函数的概念，掌握判断某些函数增减性的方法； 2．培养学生的判断推理能力和数形结合，辩证思维的能力． 【课前导学】 【复习回顾】 1.函数有哪几个要素？ 2.函数的定义域怎样确定？怎样表示？ 3.函数的表示方法常见的有哪几种？各有什么优点？ 4.区间的表示方法. 前面我们学习了函数的概念．表示方法以及区间的概念，今天我们来研究函数的另一性质（导入课题，板书课题）． 【课堂活动】 一．建构数学： 1.引例：观察y=x2的图象，回答下列问题： 问题1：函数y=x2的图象在y轴右侧的部分是上升的，说明什么？ ?随着x的增加，y值在增加． 问题2：怎样用数学语言表示呢？ ?设x1．x2∈[0，+)∞，得y1=f(x1), y2=f(x2).当x1 2.2.1导数与函数的单调性 基础巩固题： 1.函数f(x)= 21 ++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） A.0 函数单调性的判定方法 1.判断具体函数单调性的方法 对于给出具体解析式的函数，由函数单调性的定义出发，本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种： 1.1 定义法 首先我们给出单调函数的定义。一般地，设f 为定义在D 上的函数。若对任何1x 、 D x ∈2，当21x x <时，总有 (1))()(21x f x f ≤，则称f 为D 上的增函数，特别当成立严格不等)()(21x f x f <时，称f 为D 上的严格增函数； (2))()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数，特别当成立严格不等式)()(21x f x f > 时，称f 为D 上的严格减函数。 给出函数单调性的定义，我们就可以利用函数单调性的定义来判定及证明函数的单调性。用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。利用定义来证明函数 )(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤： （1）设元，任取1x ,D x ∈2且21x x <； （2）作差)()(21x f x f -； （3）变形（普遍是因式分解和配方）； （4）断号（即判断)()(21x f x f -差与0的大小）； （5）定论（即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性）。 例1.用定义证明)()(3R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。 证明：设1x ,),(2+∞-∞∈x ，且21x x <，则 ).)(()()()(212 221123132323121x x x x x x x x a x a x x f x f ++-=-=+--+-=- 由于04 3)2(2 2221212221>++ =++x x x x x x x ，012>-x x 则0))(()()(212 2211221>++-=-x x x x x x x f x f ，即)()(21x f x f >，所以)(x f 在() +∞∞-,上是减函数。 例2.用定义证明函数x k x x f + =)()0(>k 在),0(+∞上的单调性。 证明：设1x 、),0(2+∞∈x ，且21x x <，则 )()()()(221121x k x x k x x f x f +-+ =-)()(2 121x k x k x x -+-= )( )(211221x x x x k x x -+-=)()(212121x x x x k x x ---=))((2 12121x x k x x x x --=， 又210x x <<所以021<-x x ，021>x x ， 当1x 、],0(2k x ∈时021≤-k x x ?0)()(21≥-x f x f ，此时函数)(x f 为减函数； 当1x 、),(2+∞∈k x 时021>-k x x ?0)()(21<-x f x f ，此时函数)(x f 为增函数。 综上函数x k x x f + =)()0(>k 在区间],0(k 内为减函数；在区间),(+∞k 内为增函数。 此题函数)(x f 是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于k x x -21与0的大小关系)0(>k 不是明确的，因此要分段讨论。 用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数21,x x 当 21x x <时，容易得出)(1x f 与)(2x f 大小关系的函数。在解决问题时，定义法是最直 接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种方法思路比较清晰，但通常过程比较繁琐。 1.2 函数性质法 函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我 常见函数性质汇总及简单评议对称变换 常数函数 f (x )=b (b ∈R) 1）、y=a 和 x=a 的图像和走势 2）、图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线 一次函数 f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R) 1)、两种常用的一次函数形式:斜截式—— 点斜式—— 2）、对斜截式而言，k 、b 的正负在直角坐标系中对应的图像走势： 3）、|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓 4）、定 义 域：R 值域：R 单调性：当k>0时 ；当k<0时 奇 偶 性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性； 例题：y=f （x ）; y=g （x ）都有反函数，且f （x-1）和g -1 (x)函数的图像关于y=x 对称，若g （5）=2016，求）= 周 期 性：无 5）、一次函数与其它函数之间的练习 1、常用解题方法： b 反比例函数 f (x )= x k (k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f (x )的图象分别在第一、第三 象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线； 既是中心对成图形也是轴对称图形 定 义 域：),0()0,(+∞-∞ 值 域：),0()0,(+∞-∞ 单 调 性：当k> 0时；当k< 0时 周 期 性：无 奇 偶 性：奇函数 反 函 数：原函数本身 补充：1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个——⑴直接带入，利用二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此） 3、反函数变形（如右图） 1）、y=1/（x-2）和y=1/x-2的图像移动比较 2）、y=1/(-x)和y=-（1/x ）图像移动比较 3）、f (x )= d cx b ax ++ (c ≠0且 d ≠0)（补充一下分离常数） （对比标准反比例函数，总结各项内容） 二次函数 一般式：)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 顶点式：)0()()(2 ≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f 图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为 ，顶点坐标为 ②当0>a 时，开口向上，有最低点 当00时，函数图象与x 轴有两个交点（ ）；当<0时，函数图象与x 轴有一个交点（ ）；当=0时，函数图象与x 轴没有交点。 ④)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 关系 )0()(2 ≠=a ax x f 定 义 域：R 值 域：当0>a 时，值域为（ ）；当0a 时；当0 《判断函数在x=x。处可导性的步骤》 利用知识：左右导数。 本人正读高中，知能浅薄，自行探究，若有疏漏请见谅。 【第一步】~~将原函数化成当x ＜x。与x＞x。的"分段函数".（像y=x2这样，分段之后两个式子一样的也要写出来）； 【第二步】~~将这两个式字都化成两个等价的、可用公式方便地求导的式子.（若原本很完美就省略这步）； 【第三步】~~根据求导公式对每个式子进行求导。求导过程中，只着手式子，不用看定义域怎样。定义域照抄下来； 【第四步】 分类讨论···㈠若此时y′为常数，则比较y′左是否等于y′右······························?如果y′左=y′右=这个常数，则说y=f（x）在x=x。处可导····················?如果y′左≠y′右，则说y=f（x）在x=x。处不可导 ···㈡若此时y′为含x代数式，则看当把x=x。代入时有无意义··············?有意义，则代入x=x。后比较y′左与y′右·····①相同，可导②不相同，不可导···············?无意义，不可导。 【【例题演示】】 第一题 ··············判断y=｜X|在x=0处是否可导.·············· 【第一步】y=｜X|等价于y=-x x＜0 y=x x＞0 【第二步】省略 【第三步】y′=（｜X|）′等价于y′左= -1 x＜0 y′右= 1 x＞0 【第四步】 其为常数，又由于两个常数不等，即左右导数不等，所以y=｜X|在x=0处是否不可导。 第二题 ··············判断y=x2在x=0处是否可导····（X的平方）············ 【第一步】y=x2等价于 y=x2 x＜0 y=x2 x＞0 函数的单调性 一、教学目标：理解函数单调性的定义，会用函数单调性解决一些问题． 二、教学重点：函数单调性的判断和函数单调性的应用． 三、教学过程： （一）主要知识： 1、函数单调性的定义； 2、判断函数单调性（求单调区间）的方法： （1）从定义入手（2）从导数入手（3）从图象入手（4）从熟悉的函数入手 （5）从复合函数的单调性规律入手注：先求函数的定义域 3、函数单调性的证明：定义法；导数法。 4、一般规律 （1）若f(x),g(x)均为增函数，则f(x)+g(x)仍为增函数； （2）若f(x)为增函数，则-f(x)为减函数； （3）互为反函数的两个函数有相同的单调性； （4）设()[]x g f y =是定义在M 上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则()[]x g f y =在M 上是 减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则()[]x g f y =在M 上是增函数。 （二）主要方法： 1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集； 2．判断函数的单调性的方法有：（1）用定义；（2）用已知函数的单调性；（3）利用函数的导数． 3．注意函数的单调性的应用；4．注意分类讨论与数形结合的应用． （三）例题分析： 例1．（1）求函数2 0.7log (32)y x x =-+的单调区间； （2）已知2()82,f x x x =+-若2()(2)g x f x =-试确定()g x 的单调区间和单调性． 解：（1）单调增区间为：(2,),+∞单调减区间为(,1)-∞， （2）2 2 2 ()82(2)(2)g x x x =+---4228x x =-++，3 ()44g x x x '=-+， 令 ()0g x '>，得1x <-或01x <<，令 ()0g x '<，1x >或10x -<< ∴单调增区间为(,1),(0,1)-∞-；单调减区间为(1,),(1,0)+∞-． 例2．设0a >，()x x e a f x a e = + 是R 上的偶函数． （1）求a 的值；（2）证明()f x 在(0,)+∞上为增函数． 例3．若()f x 为奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(2)0f -=，则()0x f x ?<的解集为 (,2)(2,) -∞-+∞ ． 例4．已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有 1 21 2()()()f x x f x f x ?=+，且当 1x >时()0,(2)1f x f >=， （1）求证：()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）解不等式2 (21)2f x -<． 解：（1）令121x x ==，得(1)2(1)f f =，∴(1)0f =，令121x x ==-，得∴(1)0f -=， ∴()(1)(1)()()f x f x f f x f x -=-?=-+=，∴()f x 是偶函数． （2）设210x x >>，则221111 ()()()()x f x f x f x f x x -=? -22111 1 ()( )()( )x x f x f f x f x x =+-= 高一数学同步测试（6）—函数的单调性 一、选择题： 1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是 （ ） A ．y =2x ＋1 B ．y =3x 2＋1 C ．y = x 2 D ．y =2x 2 ＋x ＋1 2．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数， 则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．25 3．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(0， 2 1) B ．( 2 1，＋∞) C ．(－2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根 6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ） A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数 C ．在区间(－2，0)上是增函数 D ．在区间(0，2)上是增函数 7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 |f (x ＋1)|＜1的解集的补集是 （ ） A ．(－1，2) B ．(1，4) C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞） D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞） 8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5 －t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是 （ ） A ．]1,(],0,(-∞-∞ B ．),1[],0,(+∞-∞ C ．]1,(),,0[-∞+∞ D ),1[),,0[+∞+∞ (一)判断函数单调性的基本方法 Ⅰ、定义法： 定义域判断函数单调性的步骤：取值、作差（或商）变形、定号、判断。例1：已知函数f(x)=x3+x,判断f(x)在(-∞，+∞)上的单调性并证明 Ⅱ、直接法（一次函数、二次函数、反比例函数的单调可直接说出）： 在公共区间内，增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数 例2：判断函数y=-x+1+1/x在（0，+∞）内的单调性 Ⅲ、图像法： 说明：⑴单调区间是定义域的子集 ⑵定义x 1、x 2 的任意性 ⑶代数：自变量与函数值同大或同小→单调增函数 自变量与函数相对→单调减函数 例3：y＝|x2＋2x－3| 练习： (二) 函数单调性的应用 Ⅰ、利用函数单调性求连续函数的值域（最值） 根据增函数减函数的定义我们可得到如下结论： （1）若 f(x)在某定义域[a,b]上是增函数，则当x=a 时, f(x) 有最小值f(a)，当 x=b 时, f(x)有最大值 f(b)。 （2）若 f(x)在某定义域[a,b]上是减函数，则当x=a 时, f(x) 有最大值f(a)，当 x=b 时, f(x)有最小值 f(b)。 例1：求下列函数的值域 (1)y=x 2-6x+3, x ∈[-1,2] (2)y=-x 2+2x+2, x ∈[-1,4] 练习题： 1.已知函数f(x)在区间[a,c]上单调减小，在区间[c,b]上单调增加,则f(x)在 [a,b]上的最小值是 ( ) 2.数f(x)=4x 2-mx+5在区间[-2,+∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是 ( ) 3、( )有函数13+--=x x y 存在、最大值、最小值都不，最小值、最大值，最小值、最大值，最小值、最大值D C B A 4 -44 -00 4 4、](()()的值域为 时，函数当1435,02+-=∈x x x f x ()()][()()]()][5,5,323205,0f c D f f C f f B f f A 、、、、、????? ? ??????????? ?? 5、求函数y=-x-6+ 的值域 x -1 判断函数单调性的常见方法 一、函数单调性的定义： 一般的，设函数y=f(X)的定义域为A,I?A，如对于区间内任意两个值X1、X2， 1）、当X1 =(x1-x2)(x12+x22+x1x2+1) =(x1-x2)[﹙x1+1/2x2﹚2+1+3/4x22] ∵x1、x2?(-∞，+∞)，x1 函数（一） 单调性 一、 基础知识 1、 增函数：设函数()f x 的定义域为I,如果对于I 内某个区间D 的任意两个自变量12,x x ，当12 x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数，区间D 叫做函数的增区间。 2、 减函数：设函数()f x 的定义域为I,如果对于I 内某个区间D 的任意两个自变量12,x x ，当12 x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数，区间D 叫做函数的减区间。 3、 单调性：如果函数()f x 在区间D 上式增函数或者减函数，那么就是函数()f x 在这一区间上具有 单调性，区间D 叫做函数的单调区间。 4、 单调区间：指的是函数具有单调性的最大取值区间。 5、证明单调性的步骤：做差→变形→判号→得结论。 6、单调函数的组合：某两个单调函数在同一区间内的加减后所得函数单调性 增函数+ 增函数=增函数，减函数+减函数=减函数， 增函数—减函数=增函数，减函数—增函数=减函数 奇函数?奇函数=偶函数，偶函数?偶函数=偶函数 奇函数?偶函数=奇函数 二、习题精练 1、（1）证明函数2()f x x x =+在)+∞上递增 （2）证明函数2()f x x x =-在()0,+∞上递增。 2、（1）找出函数223y x x =-++的增区间 （2）找出223y x x =-++的减区间 3、（1）函数[)2()485,f x x kx =--+∞在区间上单调递增，求实数k 的取值范围。 （2）函数[)2()485,f x x kx =--+∞的增区间为，求实数k 的取值范围。 4、（1）已知函数{22,12,1 ()x ax x ax x f x -+<+≥=是R 上的增函数，求a 的范围 （2）已知函数 {2(4),2416,2()x a x x ax x f x -<+-≥=是R 上的增函数，求a 的范围 5、求函数21y x =- 函数的单调性与最值 复习: 按照列表、描点、连线等步骤画出函数2 x y =的图像、 图像在y 轴的右侧部分就是上升的,当在区间[0,+∞)上取值时,随着x 的增大,相应的y 值也随着增大,如果取21,x x ∈[0,+∞),得到11()y f x =,2()y f x =,那么当1x <2x 时,有1y <2y 、这时就说函数y =2 ()f x x =在[0,+ ∞)上就是增函数、 图像在y 轴的左侧部分就是下降的,当x 在区间[0,+∞)上取值时,随着x 的增大,相应的y 值反而随着减小,如果取21,x x ∈[0,+∞),得到11()y f x =,2()y f x =,那么当 1x <2x 时,有12y y <。这时就说函数y =2()f x x =在[0,+ ∞)上就是减函数、 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 (2)单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上就是增函数或减函数,那么称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意: (1)函数的单调性也叫函数的增减性; (2)注意区间上所取两点x 1,x 2的任意性; (3)函数的单调性就是对某个区间而言的,它就是一个局部概念。 (4)若函数()f x 在其定义内的两个区间A 、B 上都就是单调增(减)函数,一般不能认简单地认为 ()f x 在区间A B 上就是增(减)函数、 例如1 ()f x x = 在区间(,0)-∞上就是减函数,在区间(0,)+∞上也就是减函数,但不能说它在定义域(,0)(0,)-∞+∞上就是减函数、 (3)用定义法判断函数的单调性: ①定义域取值;任取x 1,x 2∈D,且x 1函数的单调性知识点总结与题型归纳
高一函数单调性完整版
知识点一-导数与函数的单调性
1.3.1函数的单调性例题
函数的单调性 知识点与题型归纳
函数的单调性(一)
导数与函数的单调性练习题
函数单调性的判定方法
高中的常见函数图像及基本性质
判断函数可导性的步骤【微积分】
函数的单调性题型归纳
函数的单调性练习题
函数单调性方法和各种题型
判断函数单调性的常见方法
必修一函数的单调性1(含答案)
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