数学分析21.3格林公式、曲线积分与路线的无关性(含习题及参考答案)
第二十一章 重积分
3格林公式、曲线积分与路线的无关性
一、格林公式
概念：当区域D 的边界L 由一条或几条光滑曲线所组成时，规定边界曲线的正方向为：当人沿边界行走时，区域D 总在他的左边. 与正方向相反的方向称为负方向，记为-L.
定理21.11：若函数P(x,y), Q(x,y)在闭区域D 上连续，且有连续的一阶偏导数，则有格林公式：
?????? ?
???-??D d y P x Q σ=?+L Qdy Pdx . L 为区域D 的边界曲线，并取正方向.
证：根据区域D 的不同形状，可分三种情形来证明： (1)若区域D 既是x 型区域，又是y 型区域(如图1)，即 平行于坐标轴的直线和L 至多交于两点，该区域D 可表示为： φ1(x)≤y ≤φ2(x), a ≤x ≤b 或ψ1(x)≤x ≤ψ2(x), c ≤y ≤d.
这里y=φ1(x)和y=φ2(x)分别为曲线⌒ACB 和⌒AEB 的方程, x=ψ1(x)和x=ψ2(x) 分别为曲线⌒CAE 和⌒CBE
的方程, ∴??
??D
d x Q
σ=????)()(21y y d c dx x Q dy ψψ=?d c dy y y Q )),((2ψ-?d c dy
y y Q )),((1ψ
=??
CBE dy y x Q ),(-??
CAE dy y x Q ),(=??
CBE dy y x Q ),(+??
EAC dy y x Q ),(=?L dy y x Q ),(.
同理可证：-??
??D
d y P
σ=?L dx y x P ),(. 即有?????? ?
???-??D d y P x Q σ=?+L Qdy Pdx . (2)若区域D 是一条按段光滑的闭曲线围成(如图2)，
则先用几段光滑曲线将D 分成有限个既是x 型又是y 型的子区域，
然后逐块按(1)得到它们的格林公式，相加即可.
图2中区域D 可分成三个既是x 型又是y 型的区域D 1,D 2,D 3，则有
???
???
?
???-??D d y P x Q σ=?????? ????-??1D d y P x Q σ+?????? ????-??2D d y P x Q σ+?????? ????-??3D d y P x Q σ =?+1
L Qdy Pdx +?+2
L Qdy Pdx +?+3
L Qdy Pdx =?+L Qdy Pdx
.
(3)若区域D 由几条闭曲线所围成(如图3)， 可适当添加直线AB, CE,把区域转化为(2)的情况处理.
图D 的边界线由AB,L 2,BA,⌒AFC ,CE,L 3,EC 及⌒CGA
构成. 由(2)知 ?????? ?
???-??D d y P x Q σ=??
? ??+++++++?
????
????
?
CGA EC l CE AFC
BA l AB
32(Pdx+Qdy)
=()???++1
3
2
L L L (Pdx+Qdy)=?+L Qdy Pdx .
注：格林公式可写为：??
??
??D
d Q
P y x σ=?+L Qdy Pdx .
例1：计算?AB xdy ，其中曲线AB 为半径为r 的圆在第一象限部分. 解：如图，对半径为r 的四分之一圆域D 应用格林公式有
??-D d σ=?-L xdy =?OA xdy +?AB xdy +?BO xdy =?AB xdy . ∴?AB xdy =??-D
d σ=-41πr 2
.
例2：计算I=?+-L
y x ydx
xdy 2
2, 其中L 为任一不包含原点的闭区域的边界线.
解：???? ??+??22y x x x =2222
2)(y x x y +-, ???
? ??+-??2
2y x y y =2222
2)(y x x y +- 在上述区域D 上连续且有界，∴????
??
?????? ??+-??-???? ??+??D
d y
x y
x y x x x σ22
22=0. 由格林公式可得I=0.
注：在格林公式中，令P=-y, Q=x ，则得到一个计算平面区域D 的面积S D 的公式：S D =??D
d σ=
?-L ydx xdy 2
1
.
例3：如图，计算抛物线(x+y)2=ax (a>0)与x 轴所围的面积.
解：曲线⌒AMO
由函数y=x ax -, x ∈[0,a]， 直线OA 为直线y=0， ∴S D =
?-ydx xdy 21=?-OA ydx xdy 21+??-AMO ydx xdy 21=??-AMO ydx xdy 21
=dx x ax ax a
x a ???
????--???? ??-0)(1221=dx ax a ?-02121=dx x a a
?
4=6
2
a .
二、曲线积分与路线的无关性
概念：若对于平面区域D 上任一封闭曲线，皆可不经过D 以外的点而连续收缩于属于D 的某一点，则称此平面区域为单连通区域，否则称为复连通区域。单连通区域也可以描述为：
D 内任一封闭曲线所围成的区域内只含有D 中的点。或通俗地讲，
单连通区域是没有“洞”的区域，复连通区域是有“洞”的区域.
定理21.12：设D 是单连通闭区域，若函数P(x,y)，Q(x,y)在D 内连续，且具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价： (1)沿D 内任一按段光滑封闭曲线L ，有?+L Qdy Pdx =0;
(2)对D 中任一按段光滑曲线L ，曲线积分?+L Qdy Pdx 与路线无关，只与L 的起点及终点有关;
(3)Pdx+Qdy 是D 内某一函数u(x,y)的全微分，即在D 内有du=Pdx+Qdy; (4)在D 内处处成立
x
Q
y P ??=??. 证：(1)?(2)如图1，⌒ARB 与⌒ASB
为联结点A,B 的任意两条按段光滑曲线，
由(1)推得?+AB Qdy Pdx =??
+ARB Qdy Pdx +??
+BSA Qdy
Pdx
=??
+ARB Qdy Pdx -??
+ASB Qdy Pdx =0.
∴??
+ARB Qdy Pdx =??
+ASB Qdy Pdx .
(2)?(3)如图2，设A(x 0,y 0)为D 内某一定点，B(x,y)为D 内任意一点. 由(2)，曲线积分与路线的选择无关，∴当B(x,y)在D 内变动时， 其积分值是B(x,y)的函数，即有u(x,y)=?+AB Qdy Pdx .
取△x 充分小，使(x+△x,y)∈D ，则函数u(x,y)对于x 的偏增量
u(x+△x,y)-u(x,y)=?+AC Qdy Pdx -?+AB Qdy Pdx . ∵在D 内曲线积分与路线无关， ∴?+AC Qdy Pdx =?+AB Qdy Pdx +?+BC Qdy Pdx .
又直线段BC 平行于x 轴，∴dy=0，由积分中值定理可得：
△u= u(x+△x,y)-u(x,y)=?+BC Qdy Pdx
=??+x
x x
dx y x P ),(=P(x+θ△x,y)△x, 0<θ<1.
根据P(x,y)在D 上连续知，x u ??=x u x ??→?0lim =),(lim 0
y x x P x ?+→?θ=P(x,y). 同理可证
y
u
??=Q(x,y). ∴du=Pdx+Qdy. (3)?(4)设存在函数u(x,y)，使得du=Pdx+Qdy, 则
P(x,y)=x u ??，Q(x,y)=y u ??，∴y P ??=y x u ???2，x Q ??=x
y u
???2.
∵P(x,y), Q(x,y)在区域D 内具有一阶连续偏导数，∴y x u ???2x
y u
???2.
∴在D 内每一点都有
y P ??=x
Q ??. (4)?(1)设L 为D 内任一按段光滑封闭曲线，记L 所围的区域为σ. 由D 为单连通区域，∴σ含在D 内. ∵
y P ??=x
Q
??, 由格林公式有 ?+L Qdy Pdx =?????? ?
???-??σσd y P x Q =0.
∴以上四个条件互相等价.
注：1、若P(x,y), Q(x,y)满足定理21.12的条件，则二元函数 u=(x,y)=?+AB Qdy Pdx =?+)
,(),(0
),(),(y x B y x A dy y x Q dx y x P 具有性质
du=Pdx+Qdy ，所以称u(x,y)为Pdx+Qdy 的一个原函数. 2、设I,J 是区间, P(x,y), Q(x,y)在D=I ×J 上有连续偏导数， 且
x
Q y P ??=??处处成立，则任取(x 0,y 0)∈D, 如图： 取路线为折线ABC ，由定理21.12，有
u(x,y)=??+x x y
y dy y x Q dx y x P 0
),(),(0是Pdx+Qdy 的一个原函数；同理
取路线AB ’C, u(x,y)=??+x x y
y dy y x Q dx y x P 0
),(),(0也是Pdx+Qdy 的原函数.
例4：试用曲线积分求(2x+siny)dx+(xcosy)dy 的一个原函数 解：∵
)sin 2(y x y +??=cosy=)cos (y x x
??
, ∴可取(x 0,y 0)=(0,0)，有 u(x,y)=??+x
y
ydy x xdx 00cos 2=x 2+xsiny 或u(x,y)=?+x
dx y x 0)sin 2(=x 2+xsiny.
习题
1、应用格林公式计算下列曲线积分：
(1)?+-+L dy y x dx y x )()(222，其中L 是以A(1,1), B(3,2), C(2,5)为顶点的三角形，方向取正向；
(2)?-+-AB x x dy m y e dx my y e )cos ()sin (，其中m 为常数，AB 为由(a,0)到(0,0)经过圆x 2+y 2=ax 上半部的路线. 解：(1)如图：AB ：y=
2
1
+x , AC ：y=4x-3, BC ：y=-3x+11 2)(y x y +??=2x+2y; )]([22y x x
+-??=-2x. ?
+-+L
dy y x dx y x )()(222=??---D
d y x x σ)222(=-??+D
d y x σ
)24(
=-??-++2
1342
1)24(x x dy y x dx -??+-++3
21132
1)24(x x dy y x dx
=-???????+-+-2
124359863)1(14dx x x x x -????
???+-++-322448326635)3(14dx
x x x x =-?+-2
1
2435
154119dx x x +?-+322
44839821dx
x x
=-
448342454133435423112833-
++-+=-32
46.
(2)
y ??(e x siny-my)=e x cosy-m, x
??
(e x cosy-m)=e x cosy. ?
?
-+-AB
x x dy
m y e dx my y e )cos ()sin (
=m ??D
d σ-?-+-AB x
x
dy m y e dx my y e )cos ()sin (=82πma .
2、应用格林公式计算下列曲线所围的平面面积： (1)星形线：x=acos 3t, y=asin 3t ；(2)双纽线：(x 2+y 2)2=a 2(x 2-y 2).
解：(1)S=?-L ydx xdy 2
1
=
?
π
20
2
2
2sin cos 23tdt a =8
32π
a .
(2)双纽线的坐标标方程为：r 2=a 2cos2θ，x=r(θ)cos θ, y=r(θ)sin θ. 由双纽线的对称性，
S=?-L ydx xdy 21=?-??
?????
??-442cos sin 2sin 2cos 2cos cos 2cos ππθθθθθθθa a a -θθθθθθθθd a a a ??????? ??--2cos cos 2sin 2sin 2cos sin 2cos =θθπ
πd a ?-4
4
22cos =a 2.
3、证明：若L 为平面上封闭曲线, l 为任意方向向量，则?∧
L ds n l ),cos(=0, 其中n 为曲线L 的外法线方向.
证法一：设l 与n 的方向余弦分别为cos α, cos β与),cos(∧
x n ,),cos(∧
y n , 则 ?∧L
ds n l ),cos(=?∧
∧+L
ds
y n x n )],cos(cos ),cos([cos βα
=?∧
∧
+L ds x t y t )],cos(cos ),cos([cos βα, t 为L 上点的切线方向.
由第一、二型曲线积分的关系，有
?∧
∧+L
ds x t y t )],cos(cos ),cos([cos βα=?+L
dy dx αβcos cos .
又由格林公式得：?+L dy dx αβcos cos =??????
?
???-??D d y x σβαcos cos . ∵y
x ??-??β
αcos cos =0，∴?∧L ds n l ),cos(=0. 证法二：∵l 为任意方向向量，可取坐标系，使x 轴的正向i 与l 一致， 则),cos(∧
n i =dy, 结合格林公式有?∧L ds n l ),cos(=?∧
L ds n i ),cos(=?L dy =??D
d σ0=0.
4、求积分值I=?∧
∧+L ds y n y x n x )],cos(),cos([，其中L 为包围有界区域的封闭曲线，n 为L 的外法线方向.
解：I=?∧
∧+L ds y n y x n x )],cos(),cos([=?-L ydx xdy =??D
d σ2=2σ, σ为L 所围面积.
5、验证下列积分与路线无关，并求它们的值： (1)?--)
1,1()0,0())((dy dx y x ；
(2)?---)
,()0,0(22)sin cos 2()sin cos 2(y x dy y x x y dx x y y x ； (3)?-)
2,1()
1,2(2
x
xdy
ydx ，沿在右半平面的路线； (4)?++)
8,6()
0,1(2
2
y
x ydy xdx ，沿不通过原点的路线；
(5)?+)
2,1()1,2()()(dy y dx x ψ?，其中φ(x), ψ(y)为连续函数.
证：(1)?--)
1,1()0,0())((dy dx y x =?---)
1,1()0,0()()(dy y x dx y x =?-+-)
1,1()0,0()()(dy x y dx y x . ∵
)(x y x
-??
=)(y x y -??=-1，∴积分与路径无关. 取路径y=x,
?
--)
1,1()
0,0())((dy dx y x =?1
00dx =0.
(2)
)sin cos 2(2y x x y x
-??
=-2ysinx-2xsiny; )sin cos 2(2x y y x y
-??
=-2xsiny-2ysinx; ∵
)sin cos 2(2y x x y x
-??
=)sin cos 2(2x y y x y -??, ∴积分与路径无关.
取路径(0,0)→(0,x)→(x,y),
?
---)
,()
0,0(22)sin cos 2()sin cos 2(y x dy
y x x y dx x y y x
=?x xdx 02+?-y
dy y x x y 02)sin cos 2(=x 2+y 2cosx+x 2cosy-x 2=y 2cosx+x 2cosy. (3)
x x 1-??=21x ; 2x y y ??=2
1x
; ∵x x 1-??=2x y
y ??, ∴积分与路径无关. 且?-)
2,1()
1,3(2
x xdy ydx =???? ??-)2,1()1,2(x y d =)
2,1()
1,2(x y
-=2
3
-.
(4)当(x,y)≠(0,0)时，全微分d 22y x +=2
2y
x ydy xdx ++, ∴积分与路径无关.
且?++)
8,6()
0,1(2
2
y
x ydy xdx =?+)
8,6()0,1(2
2
y x d =)8,6()
0,1(2
2
y
x +=9.
(5)∵φ(x), ψ(y)为连续函数,
∴F(x)=?x
du u 2)(?与G(y)=?y
dv v 1)(ψ分别是φ(x), ψ(y)的原函数.
于是d[F(x)+G(y)]=dF(x)+dG(y)=φ(x)dx+ψ(y)dy, ∴积分与路径无关. 且
?
+)
2,1()
1,2()()(dy y dx x ψ?=[F(x)+G(y)]
)2,1()1,2(
=F(1)+G(2)-F(2)-G(1)=?1
2)(dx x ?+?2
1)(dy y ψ.
6、求下列全微分的原函数： (1)(x 2+2xy-y 2)dx+(x 2-2xy-y 2)dy ； (2)e x [e y (x-y+2)+y]dx+e x [e y (x-y)+1]dy ；
(3)f(22y x +)xdx+f(22y x +)ydy. 解：(1)x
??(x 2
-2xy-y 2)=2x-2y; y ??(x 2+2xy-y 2)=2x-2y;
∵
x
??(x 2
-2xy-y 2)=y ??(x 2+2xy-y 2), ∴积分与路径无关. 其原函数为
u=?--+-+)
,(),(22220
)2()2(y x y x dy y xy x dx y xy x +c
=??--+-+y
y
x x dy y xy x dx y xy x 0
)2()2(222
002+c =333032
020220202020020303y y xy xy y x y x x y x y x y x y x x --+--++--+-+c
=3
332
23y xy y x x --++C. (2)
x
??e x [e y
(x-y)+1]=e x [e y (x-y)+1]+e x e y =e x [e y (x-y+1)+1]; y
??e x [e y
(x-y+2)+y]=e x [e y (x-y+2)-e y +1]=e x [e y (x-y+1)+1]; ∵
x
??e x [e y
(x-y)+1]=y ??e x [e y (x-y+2)+y], ∴积分与路径无关. 其原函数为
u=?+-+++-)
,()0,0(]1)([])2([y x y x y x dy y x e e dx y y x e e +c
=??+-++y
y x x
x dy y x e e dx x e 00]1)([)2(+c
=y
x y y x y y x y y x x x x x y e e e ye e e xe e xe 0
00000++-+++c
=y e e e e ye e xe e xe e xe x x x x y x x y x x x +-+--+-+1+c=y e e e y x x y x ++-)1(+C. (3)f(22y x +)xdx+f(22y x +)ydy. ∵
x ??f(22y x +)y=22y
x f xy +'
=y ??f(22y x +)x; ∴积分与路径无关.
令du=f(22y x +)xdx+f(22y x +)ydy=2
1
f(22y x +)yd(x 2+y 2). ∴u=?dv v f )(21
(v=x 2+y 2
).
7、为了使曲线积分?+L xdy ydx y x F ))(,(与积分路线无关，可微函数F(x,y)应满足怎样的条件？ 解：P=yF(x,y), Q=xF(x,y)，x Q ??=F(x,y)+x x
F ??; y P
??=F(x,y)+y y F ??.
当x Q ??=y P ??时, 曲线积分与积分路线无关, x x
F
??=y y F ??.
8、计算曲线积分dy m e y dx my e y x AMB x ])([])([-'+-???，其中φ(x)和φ’(x)为连续函数，AMB 为连接点A(x 1,y 1)和点B(x 2,y 2)的任何路线，但与线段AB 围成已知大小为S 的面积. 解：P=φ(y)e x -my,
y P ??=φ’(y)e x -m; Q=φ’(y)e x -m, x
Q
??=φ’(y)e x , 原式=()Qdy Pdx AB BA AMB ++++???=??+++AB AMB Qdy Pdx Qdy Pdx
=±???++????
????-??AB D Qdy Pdx dxdy y P x Q
=±mS+?--'+)
,(),(221
1
))()((y x y x x x mdy mydx dy e y dx e y ??
=±mS+?----)
,(),(1
21
2221
1
)(y x y x x dy y y x x my
mdy e y d ?
=±mS+))((2
)()()(121212121
2
x x y y m
y y m e y e y x x -+-
---??.
9、设函数f(u)具有一阶连续导数，证明对任何光滑封闭曲线L ，有
?
+L
xdy ydx xy f ))((=0.
证：∵
x ??xf(xy)=f(xy)+xyf ’(xy)=x
??
yf(xy)均连续，由格林公式有： ?
+L
xdy ydx xy f ))((=???????
???-??D dxdy y x yf y P xy xf x ),()(=0.
10、设函数u(x,y)在由封闭的光滑曲线L 所围的区域D 上具有二阶连
续偏导数，证明：?????? ?
???+??D d y u x u σ2222=???L ds n u
，其中n u ??是u(x,y)沿L 外法线方向n 的方向导数.
证：由ds x n ),cos(∧
=dy, ds y n ),cos(∧
=-dx, 得
???L ds n u =???
??????+??∧∧L ds y n y u
x n x u ),cos(),cos(=???+?-L dy x u dx dy u ， 根据题设知
x u ??,y
u
??在D 上具有连续导数，由格林公式知： ???+?-L dy x u dx dy u =?????? ????+??D d y u x u σ2222; ∴?????? ?
???+??D d y u x u σ2222=???L ds n u .
数学分析公式
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
格林公式及其在曲线积分求解中的应用
南昌工程学院 《数分选讲》课程设计题目格林公式及其在曲线积分求解中的应用 课程名称数分选讲 系院理学院 专业信息与计算科学 班级2012级1班 学生姓名魏志辉 学号2012101316 指导教师禹海雄 设计起止时间：2015年6月11日至2015年6月15日
什么是曲线积分？？ 1.设L为xOy平面上的一条光滑的简单曲线弧,f(x,y)在L上有界，在L上任意插 入一点列M1,M2,M3…,Mn 把L 分成n个小弧段ΔLi的长度为ds，又Mi(x,y)是L上的任一点，作乘积f(x,y)i*ds,并求和即Σf(x,y)i*ds，记λ=max(ds) ，若Σf(x,y)i*ds的极限在当λ→0的时候存在，且极限值与L的分法及Mi在L的取法无关，则称极限值为f(x,y)在L上对弧长的曲线积分，记为：∫f(x,y)*ds ； 其中f(x,y)叫做被积函数，L叫做积分曲线，对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分。 2.曲线积分的类别: 曲线积分分为：对弧长的曲线积分（第一类曲线积分） 对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分） 两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号33。 3.两种曲线积分的联系： 对弧长的曲线积分和对坐标轴的曲线积分是可以互相转化的，利用弧微分公式ds=√[1+(dy/dx)^2]*dx; 或者ds=√[1+(dx/dy)^2]*dy;这样对弧长的曲线积分都可以转换成对 坐标轴的曲线积分了。
数学分析
数学分析 有理数 无理数 集合 函数 绝对值 不等式 三角形 区域 邻域确界原理 确界 上确界 下确界 开区间 闭区间 有界集 自变量 因变量 符号函数 定义域 值域复合函数 反函数 初等函数 常量函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数反三角函数有界函数 单调函数 奇函数 偶函数 周期函数 数列极限 收敛数列 发散数列 唯一性 有界性 保号性保不等式性Mathematical analysis Rational number irrational A collection of function The absolute value inequality triangle area neighborhood World indeed principle World indeed supremum infimum Open interval Closed interval Bounded set The independent variables The dependent variable Symbolic function domain domain Composite function Inverse function Elementary function Constant function Power function Exponential function Logarithmic function Trigonometric functions Inverse trigonometric function Bounded function Monotonic function Odd function Even functions Periodic function Sequence limit Convergent sequence Divergent series uniqueness boundedness Protecting, Protecting the inequality 保不等式性 迫敛性 四则运算法则 子列 单调数列 单调有界定理 自然对数 致密性定理 柯西收敛准则 函数极限 单侧极限 局部有界性 海涅定理 无穷小量 有界量 高阶无穷小量 等价无穷小量 无穷大量 渐近线 连续性 可去间断点 跳跃间断点 分段函数 介值性定理 一致连续性 导数和微分 单侧导数 导函数 极大值 极小值 费马定理 稳定点 链式法则 光滑曲线 高阶导数 莱布尼茨公式 微分 可微函数 高阶微分 微分中值定理 罗尔定理 拉格朗日中值定理 Protecting the inequality Forced convergence property Four algorithms The child columns Monotone sequence Monotony is defined Natural logarithm Compactness theorem Cauchy convergence criteria Function limit Unilateral limit Local boundedness Heine theorem dimensionless A bounded amount High order dimensionless Equivalent infinite small infinity asymptote continuity To go discontinuities Jump discontinuity point Piecewise function Intermediate value theorem Uniform continuity Derivative and differential Unilateral derivative Derived function The maximum minimum Fermat's theorem The stable point The chain rule Smooth curve Higher derivative Leibniz formula differential Differential function High order differential Differential mean value theorem Roller's theorem Lagrange mean value theorem
泰勒公式及其在解题中的应用
本科生毕业设计（论文） （ 2014届） 设计（论文）题目泰勒公式及其在解题中应用 作者周立泉 分院理工分院用数学1001班 指导教师（职称）徐华（讲师） 专业班级数学与应用数学） 论文字数 8000 论文完成时间 2014年4月3日 杭州师范大学钱江学院教学部制
泰勒公式及其在解题中应用 数学与应用数学1001班周立泉指导教师徐华 摘要：泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它的基础思想是运用多项式来逼近一个已知函数，而该多项式的系数由给定的函数的各阶导数决定．本文主要归纳了其在证明不等式、等式，求极限，求近似值等各方面的应用． 关键词：泰勒公式;数学分析;导数 Taylor Formula and Its Application in Solving Problem Mathematics and Applied Mathematics class 1001 ZhouLiQuan Instructor: XuHua Abstract：Taylor's formula is an important equation of mathematical analysis, it is the basic idea is to use polynomial approximation to a known function, and the polynomial coefficients given by the derivatives of the function determined. This paper describes the method to prove the Taylor formula,summarized in inequalities, find the limit,the approximate value and the other applications. Keyword:Taylor's formula;Mathematical analysis; derivative.
常见泰勒公式展开式
泰勒公式 泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。 泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容历史发展 泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具。 18世纪早期英国牛顿学派最优秀的代表人物之一的数学家泰勒( Brook T aylor)，其主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书中陈述了他于1712年7月给他老师梅钦信中提出的著名定理——泰勒定理。1717年,泰勒用泰勒定理求解了数值方程。泰勒公式是从格雷戈里——牛顿差值公式发展而来，它是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑,在已知函数某一点各阶导数的前提下,泰勒公式可以利用这些导数值作为系数构建一个多项式来近似该函数在这一点的邻域中的值。1772年，拉格朗日强调了泰勒公式的重要性，称其为微分学基本定理，但是泰勒定理的证明中并没有考虑级数的收敛性，这个工作直到19世纪20年代，才由柯西完成。泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都
可以展开成幂级数，因此，人们称泰勒为有限差分理论的奠基者。 泰勒公式是数学分析中重要的内容，也是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有独特的优势。利用泰勒公式可以将非线性问题化为线性问题，且具有很高的精确度，因此其在微积分的各个方面都有重要的应用。泰勒公式可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。
数学分析公式定理111章
第一章 变量与函数 §1 函数的概念 一 变量 变量、常量、实数性质、区间表示 二 函数 １．定义１ 设,X Y R ?，如果存在对应法则f ，使对x X ?∈，存在唯一的一个数y Y ∈与之对应，则称f 是定义在数集X 上的函数，记作:f X Y →(|x y →).也记作|()x f x →。习惯上称x 自变量， y 为因变量。函数f 在点x 的函数值，记为()f x ，全体函数值的集合称为函数f 的值域，记作()f X . {}()|(),f X y y f x x X ==∈。 ２．注 （1） 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域。 例：1）()1,,f x x R =∈ {}()1,\0.g x x R =∈（不相同，对应法则相同，定义域不同） 2）()||,,x x x R ?=∈ ().x x R ψ= ∈（相同，对应法则的表达形式不同） 。 （2）函数的记号中的定义域Ｄ可省略不写，而只用对应法则f 来表示一个函数。即“函 数()y f x =”或“函数f ”。 （3）“映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于a D ∈，()f a 称为映射f 下a 的 象。a 称为()f a 的原象。 3. 函数的表示方法 1 主要方法：解析法（分式法）、列表法和图象法。 2 可用“特殊方法”来表示的函数。 分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示。 例： 1,0sgn 0,01,0x x x x >?? ==??-，则称f 为X 上的严格减函数。
曲线积分和格林公式学习总结
高 数 作 业 姓名：徐艳涛 班级：电子商务1133 学号：201161102348
曲线积分和格林公式学习总结 §1对弧长的曲线积分 1．1由例子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质，然后介绍将对弧长的曲线积分 化为定积分的计算方法。 1、引例：求曲线形构件的质量 最后举例巩固计算方法的掌握。 2、s z y x f d ),,(? Γ 为第一类曲线积分，其中Γ为曲线，被积函数 ) ,,(z y x f 中的点) ,,(z y x 位于曲线Γ上，即),,(z y x 必须满足Γ对应的方程，222dz dy dx ds ++=是弧微分、弧长元素。 若Γ是封闭曲线，则第一类曲线积分记为s z y x f d ),,(?Γ 3、第一类曲线积分的应用： 1）、曲线Γ的长s=s d ?Γ 2）、若空间曲线形物体的线密度为),,(z y x f ，Γ∈),,(z y x ，则其质量M ds z y x f ),,(?Γ = ; 质心坐标为),,(z y x ，其中M ds z y x zf z M ds z y x yf y M ds z y x xf x ),,(,),,(,),,(???Γ Γ Γ = = = ; 对x 轴的转动惯量ds z y x f z y Ix ),,()(2 2 += ?Γ 4、第一类曲线积分的计算方法： 若空间曲线Γ参数方程为：?? ? ??===)() () (t z z t y y t x x ，β α ≤≤t ，则dt t z t y t x ds 222)]('[)]('[)]('[++=， s z y x f d ),,(?Γ =? β α )) (),(),((t z t y t x f t t z t y t x d )]('[)]('[)]('[2 2 2 ++。 例1 计算? Γ ds z y x )(2 2 2 ++，其中Γ：t x cos =，t y sin =，t z =，π 20≤≤t 解 因为222z y x ++=222sin cos t t t ++=21t +，dt dt t t ds 21)(cos )sin (22=++-=, 所以? Γ ds z y x )(2 22++) 3 82(22)1(3 2 20 πππ + = += ?dt t 例2 ?Γds y ||，其中Γ为球面2 2 2 2 =++z y x 与平面y x =的交线； 解 Γ的参数方程为t z t y x sin 2,cos = ==，π 20≤≤t ，dt dt z y x ds 2'''222=++=， 根据对称性得到? L ds y ||=2 4d cos 24 2 =?t t π 例3 计算?Γ ds z y x )(2 2 2 ++，其中:Γ???? ?==+1 222z a y x )0(>a 解 Γ:?? ? ??===1sin cos z t a y t a x ,π20≤≤t ,dt t z t y t x ds 222)]('[)]('[)]('[++=adt dt t t a =+=)cos (sin 222 ∴ ?Γ ds z y x )(2 22++) 1(2)1(2 2 20 +=+= ?a a adt a ππ
数学分析泰勒公式(一)
§3.泰勒公式 [教学目的]掌握Taylor 公式，并能应用它解决一些有关的问题。 [教学要求]（1）深刻理解Taylor 定理，掌握Taylor 公式，熟悉两种不同余项的Taylor 公式及其之间的差异； （2）掌握并熟记一些常用初等函数和Taylor 展开公式，并能加以应用。（3）会用带Taylor 型余 项的Taylor 公式进行近似计算并估计误差；会用代Peanlo 余项的Taylor 公式求某些函数的极限。 [教学重点]Taylor 公式 [教学难点]Taylor 定理的证明及应用。 [教学方法]系统讲授法。 [教学程序] 引言 不论在近似计算或理论分析中，我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数，这将会带来很大的方便。一般来说，最简单的是多项式，因为多项式是关于变量加、减、乘的运算，但是，怎样从一个函数本身得出我们所需要的多项式呢？ 上一节中，讨论过“微分在近似计算中的应用”从中我们知道，如果函数f 在点0x 可导，则有有限存在公式； 0000()()()()0() f x f x f x x x x x '=+-+-即在0x 附近，用一次多项式1000()()()()p x f x f x x x '=+-逼近函数f(x)时，其误差为00()x x -。 然而，在很大场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为00()x x -，其中n 为多项式次数。为此，有如下的n 次多项式： 0100()()()n n n p x a a x x a x x =+-++- 易见： 00()n a p x =，01()1!n p x a '=，02()2!n p x a ''=，…，()0()! n n n p x a n =（多项式的系数由其各阶导数在0x 的取值唯一确定）。 对于一般的函数，设它在0x 点存在直到n 阶导数，由这些导数构造一个n 次多项式如下： ()00000()()()()()()1!! n n n f x f x T x f x x x x x n '=+-++- 称为函数f 在点0x 处泰勒多项式，()n T x 的各项函数，()0()! k f x k （k ＝1,2,…,n ）称为泰勒系数。问题当用泰勒多项式逼近f(x)时，其误差为0()()0(())n n f x T x x x -=-1、带有皮亚诺余项的泰勒公式 定理1若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()0(())n n f x T x x x =+-，即()000000()()()()()()0(())1!! n n n f x f x f x f x x x x x x x n '=+-++-+-
曲线积分和格林公式
什么是曲线积分？？ 1. 设L为xOy平面上的一条光滑的简单曲线弧,f(x,y)在L上有界， 在L上任意插入一点列M1,M2,M3…,Mn 把L 分成n个小弧段ΔLi的长度为ds，又Mi(x,y)是L上的任一点，作乘积f(x,y)i*ds,并求和即Σ f(x,y)i*ds，记λ=max(ds) ，若Σ f(x,y)i*ds的极限在当λ→0的时候存在，且极限值与L的分法及Mi在L的取法无关，则称极限值为f(x,y)在L上对弧长的曲线积分，记为：∫f(x,y)*ds ； 其中f(x,y)叫做被积函数，L叫做积分曲线，对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分。 2.曲线积分的类别: 曲线积分分为：对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分） 两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx 或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号33。 3.两种曲线积分的联系： 对弧长的曲线积分和对坐标轴的曲线积分是可以互相转化的，利用弧微分公式ds=√[1+(dy/dx)^2]*dx;
）在推广之后都是以曲线积分的形式出现（）。曲线积分在物理学中是很重要的工具，例如计算电场或重力场中的做功，或量子力学中计算粒子出 4.格林公式 【定理】设闭区域由分段光滑的曲线围成,函数及在上具有一阶连续偏导数,则有 (1) ∮cP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫∫D(dQ/dx-dP/dy)dxdy 其中是的取正向的边界曲线. 公式(1)叫做格林(green)公式. 【证明】先证
历年试题数学分析
河南大学2002年硕士研究生招生入学考试数学分析 一、计算下列各题（每题5分，共50分）： 1、22111 22 2lim 111 333 n x n →∞++++++L L ; 2 、2arcsin 2a x y a = ()0a >,求y '; 3、()1ln ln ln x dx x ?? + ???? ?; 4、20 sin x e xdx π ?; 5 、计算广义积分2 1 ?; 6、求幂级数()1 35 n n n x n ∞ =-?∑的收敛区间; 7、设,y x z x =求 ,z z x y ????; 8、展开函数()()cos 2 x f x x ππ=-≤≤为傅里叶级数; 9、计算二重积分2 2,:2,,1D x dxdy D x y x xy y ===??所围成; 10、应用格林公式计算22 C xy dy x ydx -? ?,式中C 为按逆时针方向绕圆周22x y a +=一圈的路径. 二、(10)求函数()()2 012x y x x dx =--?的极值，并求其图形上的拐点. (下缺) 河南大学2003年硕士研究生招生入学考试数学分析 一、完成以下各题(每小题8分,共48分)
1、()() 23ln 1lim ln 1x x x e e →∞ ++; 2、设()2 ln 1arctan x t y t t ?=+??=-??,求22,dy d y dx dx ; 3 、计算广义积分2 ,02 π α π α<< ?; 4、将()11x f x x -= +展成x 的幂级数,并确定收敛区间; 5、计算()?()2y y AB e x dx xe y dy ++-?,其中? AB 是经过()()()0,0,0,1,1,2A C B 的任一光滑圆弧; 6、求函数()243 1 x f x x += +的极大值和极小值. 二、(12分)求由方程()22ln 0xz xyz xyz -+=所确定的函数(),z f x y =的全微分. 三、(12分)展开函数 为余弦级数. 四、(12分)求曲线22y x =与4y x =-所围区域的面积. 五、(12分)计算二重积分()D x y dxdy +??,其中D 是圆22x y x y +≤+外部. 六、(12分)证明微积分学基本定理:若函数()f x 在[],a b 上连续,则 ()()[],,x a x f t dt t a b Φ=∈? 在[],a b 上可导,且有()()x f x 'Φ=. 七、(12分)证明曲线1xy =上任一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为一常数. 八、(10分)若()f x '在[],a b 上连续，对任意正整数n ，令 证明：（1）()()()1 1 ;k k n x k x k r n f x f x dx -==-????∑? （2）()1 2 1;2k k x k x b a x x dx n --?? -= ??? ?
格林公式及其应用
格林公式及其应用 摘 要： 格林公式把二重积分化为曲线积分，从而简化了计算的过程。 在介绍格林公式之前先引入平面区域连通性概念。 设D 为一平面区域，如果区域D 内任意区域所围成的部分都属于D ，则称D 为平面单连通区域，否则称为复连通区域。 关键词 闭区域D ；格林公式；积分与路径的关系；曲线积分；二重积分； 引言 格林公式是英国数学家格林发明，他通过这个公式来求关于面积、二重积分、第二类曲线积分与路径的关系等问题。其定义是：设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数P （x,y ）及Q （x,y ）在D 上具有一阶连续偏导函数，则有 ??? +=??-??L D Qdy Pdx dxdy y P x Q ）（ ，其中L 是D 的取正向边界曲线 格林公式转化的物理意义： 二重积分——第二类曲线积分 将一物体计算体积的值转化为计算绕该物体地面一周所做的功 定理1 设闭区域D 由分段光滑曲线L 围成，函数P （x ，y ）及函数Q （x ，y ） 在D 上具有一阶连续偏导数，则有 D D Q P Pdx Qdy dxdy x y +??? ??+=- ????????D y dxdy x P Q ???=??? 其中L 是D 的取正向的边界曲线，此公式即为格林公式 证明: (1)若区域D 既是-X 型又是-Y 型,即平行于坐标轴的直线和L 至多交于两 点. }),()(),{(21b x a x y x y x D ≤≤≤≤=??}),()(),{(21d y c y x y y x D ≤≤≤≤=ψψ dx x Q dy dxdy x Q y y d c D ??????=??)()(21ψψ ??-=d c d c dy y y Q dy y y Q )),(()),((12ψψ x x x
数学分析
2020年本科插班生考试大纲 （校考专业课：数学分析） Ⅰ考试性质 普通高等学校本科插班生（又称专插本）招生考试是由专科毕业生参加的选拔性考试。高等学校根据考生的成绩，按照已确定的招生计划，德、智、体全面衡量，择优录取。因此，本科插班生考试应有较高信度、效度、必要的区分度和适当的难度。 Ⅱ考试内容及要求 第一章 实数集与函数 一、实数（识记） 实数及其性质；绝对值与不等式。 二、数集·确界原理（识记） 区间与邻域；有界集，确界原理。 三、函数概念（理解、掌握） 函数的定义，函数的表示法，函数的四则运算，复合函数，反函数，基本初等函数和初等函数。 四、具有某些特性的函数（理解、掌握） 有界函数，单调函数，奇函数和偶函数，周期函数。 第二章 数列极限 一、数列极限的概念（理解、掌握） 数列极限的N -ε定义；无穷小数列的定义。 二、收敛数列的性质（识记、理解） 唯一性、有界性、保号性、保不等式性、迫敛性、四则运算法则。 三、数列极限存在的条件（理解） 单调有界定理；Cauchy 收敛准则。 第三章 函数极限 一、函数极限的概念（理解、掌握） x 趋于∞时函数的极限（M -ε定义）；x 趋于0x 时函数的极限(δε-)。 二、函数极限的性质（理解、掌握） 唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性、迫敛性、四则运算法则。 三、函数极限存在的条件（理解） 归结原则；单调有界定理；Cauchy 准则。 四、两个重要极限（理解、应用） 五、无穷小量与无穷大量（识记） 无穷小量，无穷小量阶的比较；无穷大量。 1lim(1)x x e x →∞+=。sin lim 1x x x →∞=；
数学分析复习资料及公式大全.docx
导数公式: = scc 2 x / 2 (cfgx)'= -cscr (secx)r = secx ?tgx (esc x\ = - esc x ? etgx (a x \ = a x \na (arccosx)'=——/ yjl-x 2 — 2 I n = Jsin" xdx = jcos M xdx 0 (log. x\ = 1 x\na (arcctgx)f = 1 l + x 2 基本积分表： ygxdx = - ln|cos x +C ^ctgxdx = ln|sin x +C jscc xdx = ln|scc 兀 + fgx + C Jese xdx = ln|csc x - etgx + C 1 x =—arctg — +C a a = ±lnl dx cos 2 x dx sin 2 x |sec 2 xdx = tgx + C jese 2 xdx = -etgx + C dx ~2 2 a +x dx 2 7 x -er dx a 2 -x 2 dx \la 2 -x 2 x-a 2ci \x + a\ 1 , ci + x 厂 =——In ---- + C 2a a-x = = arcsin —+ C a jsec x ? tgxdx = sec x + C |cscx-c/gxJx = -esex + C ia x dx = ———C J Inez jshxdx = chx + C ^chxdx = shx + C J 岛 T 777 " ^x 2 +a 2 dx = — y/x 2 + a 2 + — ln(x + y/x 2 +a 2 ) + C 2 _________ ____________________ 2 JVx 2 -a 2d x = ~ J 兀2 _ — In 兀 + — cz 厶 + C JJ/ x = *罷 三角函数的有理式积分： 2 一 + — arcsin — + C 2 a sinx = 2u l + u 2 cosx = 1 -M 2 1 + w 2 U=tg 2 dx = 2du l + w 2 (arctgx)f = 1 l + x 2 /r 2 (arcsin x)f
曲线积分与格林公式学习总结
曲线积分与 格林公式学习总结 王德才 201121102340 电子商务1133班
一、 曲线积分 1定义：设L 为xOy 平面上的一条光滑的简单曲线弧,f(x,y)在L 上有界，在L 上任意插入一点列M1,M2,M3…,Mn 把L 分成 n 个小弧段ΔLi 的长度为ds ，又Mi(x,y)是L 上的任一点，作乘积f(x,y)i*ds,并求和即Σ f(x,y)i*ds ，记λ=max(ds) ，若Σ f(x,y)i*ds 的极限在当λ→0的时候存在，且极限值与L 的分法及Mi 在L 的取法无关，则称极限值为f(x,y)在L 上对弧长的曲线积分，记为：∫f(x,y)*ds ；其中f(x,y)叫做被积函数，L 叫做积分曲线，对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分。 2、对弧长的曲线积分：s z y x f d ),,(?Γ 为第一类曲线积分，其中Γ为曲线，被积函数) ,,(z y x f 中的点),,(z y x 位于曲线Γ上，即),,(z y x 必须满足Γ对应的方程，222dz dy dx ds ++=是弧微分、弧长元素。 若Γ是封闭曲线，则第一类曲线积分记为s z y x f d ),,(?Γ （1）第一类曲线积分的应用： 1）、曲线Γ的长s=s d ?Γ 2）、若空间曲线形物体的线密度为),,(z y x f ，Γ∈),,(z y x ，则其质量M ds z y x f ),,(?Γ =; 质心坐标为),,(z y x ，其中M ds z y x zf z M ds z y x yf y M ds z y x xf x ),,(,),,(,),,(???Γ Γ Γ ===; 对x 轴的转动惯量ds z y x f z y Ix ),,()(22+=?Γ （2）第一类曲线积分的计算方法： 若空间曲线Γ参数方程为：?? ? ??===)()() (t z z t y y t x x ，βα≤≤t ，则dt t z t y t x ds 222)]('[)]('[)]('[++=， s z y x f d ),,(?Γ=?β α))(),(),((t z t y t x f t t z t y t x d )]('[)]('[)]('[222++。 例1 计算? Γ ds z y x )(222++，其中Γ：t x cos =，t y sin =，t z =，π20≤≤t 解 因为222z y x ++=222sin cos t t t ++=21t +，dt dt t t ds 21)(cos )sin (22=++-=, 所以? Γ ds z y x )(2 22++)3 82(22)1(3 2 20 πππ +=+= ?dt t 3第一类曲线积分 （1 ）公式：= 应用前提: 1）曲线L 光滑,方程可以写成为:
数学分析10.4--二元函数的泰勒公式
§10.4 二元函数的泰勒公式 一.高阶偏导数 二元函数=z f ),(y x 的两个（一阶）偏导函数x z ??， y z ?? 仍是x 与y 的二元函数。若 他们存在关于x 和y 的偏导数，即 x ??（ x z ??）， y ??（ x z ??）， x ??（ y z ??）， y ??（ y z ??）. 称它们是二元函数=z f ),(y x 的二阶偏导（函）数.二阶偏导数至多有22 个。通常将 x ??（x z ??）记为 2 2 x z ??或' 'xx f ),(y x . y ??（ x z ??）记为 y x z ???2 或' 'xy f ),(y x . (混合偏导数) x ??（y z ??）记为 x y x ???2 或' 'yx f ),(y x . (混合偏导数) y ??（y z ??）记为 22 y z ??或' 'yy f ),(y x . 一般地，二元函数=z f ),(y x 的1-n 阶偏导数的偏导数称为二元函数的n 阶偏导数. 二元函数的n 阶偏导数至多有2n 个.二元函数z=f (x,y)的n 阶偏导数的符号与二阶偏导数类似.例如,符号 k k n n y x z ???-或 ) (n y x k k n f -),(y x 表示二元函数=z f ),(y x 的n 阶偏导数，首先对x 求k n -阶偏导数,其次对y 求k 阶偏导数. 二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 类似可定义三元函数、一般n 元函数的高阶偏导数. 例1 求函数332 2 3 3 ++-=xy y x y x z 的二阶偏导数. 解 x z ??=2 3 2 63y xy y x +-， y z ??=xy x y x 2332 23+-. 2 2 x z ??=y xy 663 -.
数学分析21.3格林公式、曲线积分与路线的无关性(含习题及参考答案)
第二十一章 重积分 3格林公式、曲线积分与路线的无关性 一、格林公式 概念：当区域D 的边界L 由一条或几条光滑曲线所组成时，规定边界曲线的正方向为：当人沿边界行走时，区域D 总在他的左边. 与正方向相反的方向称为负方向，记为-L. 定理21.11：若函数P(x,y), Q(x,y)在闭区域D 上连续，且有连续的一阶偏导数，则有格林公式： ?????? ? ???-??D d y P x Q σ=?+L Qdy Pdx . L 为区域D 的边界曲线，并取正方向. 证：根据区域D 的不同形状，可分三种情形来证明： (1)若区域D 既是x 型区域，又是y 型区域(如图1)，即 平行于坐标轴的直线和L 至多交于两点，该区域D 可表示为： φ1(x)≤y ≤φ2(x), a ≤x ≤b 或ψ1(x)≤x ≤ψ2(x), c ≤y ≤d. 这里y=φ1(x)和y=φ2(x)分别为曲线⌒ACB 和⌒AEB 的方程, x=ψ1(x)和x=ψ2(x) 分别为曲线⌒CAE 和⌒CBE 的方程, ∴?? ??D d x Q σ=????)()(21y y d c dx x Q dy ψψ=?d c dy y y Q )),((2ψ-?d c dy y y Q )),((1ψ =?? CBE dy y x Q ),(-?? CAE dy y x Q ),(=?? CBE dy y x Q ),(+?? EAC dy y x Q ),(=?L dy y x Q ),(. 同理可证：-?? ??D d y P σ=?L dx y x P ),(. 即有?????? ? ???-??D d y P x Q σ=?+L Qdy Pdx . (2)若区域D 是一条按段光滑的闭曲线围成(如图2)， 则先用几段光滑曲线将D 分成有限个既是x 型又是y 型的子区域，
数学分析17.4多元函数微分学之泰勒公式与极值问题
第十七章 多元函数微分学 4泰勒公式与极值问题 一、高价偏导数 概念1：二元函数z=f(x,y)的二阶偏导数有如下四种情形： (1)??? ??????x z x =22x z ??=f xx (x,y); (2)??? ??????x z y =y x z 2???=f xy (x,y); (3)???? ??????y z x =x y z 2???=f yx (x,y); (4)??? ? ??????y z y =22y z ??=f yy (x,y). 二元函数z=f(x,y)的三阶偏导数有共有八种情形，如： ???? ??????22x z x =33x z ??=3x f (x,y)；???? ??????22x z y =y x z 23???=y x 2f (x,y)；…… 例1：求函数z=e x+2y 的所有二阶偏导数和2 3x y z ???. 解：∵z x =e x+2y ; z y =2e x+2y ; ∴z xx =e x+2y ; z xy =2e x+2y ; z yx =2e x+2y ; z yy =4e x+2y ;23x y z ???=???? ???????x y z x 2=2e x+2y . 例2：求函数z=arctan x y 的所有二阶偏导数. 解：∵z x =22x y 1x y -?? ? ??+=-22y x y +; z y =2x y 1x 1? ?? ??+=22y x x +; ∴z xx =222)y (x 2x y +; z xy =-222222)y (x y 2y x +-+=2222 2)y (x x y +-; z yx =222222)y (x x 2y x +-+=2 222 2) y (x x y +-; z yy =-222)y (x 2x y +.
6.3泰勒公式
§6.3 泰勒公式 教学章节：第六章 微分中值定理及其应用——§6.3 泰勒公式 教学目标：掌握Taylor 公式,并能应用它解决一些有关的问题. 教学要求：（1）深刻理解Taylor 定理,掌握Taylor 公式,熟悉两种不同余项的Taylor 公式及其 之间的差异；（2）掌握并熟记一些常用初等函数和Taylor 展开公式,并能加以应用.（3）会用带Taylor 型余项的Taylor 公式进行近似计算并估计误差；会用代Peanlo 余项的Taylor 公式求某些函数的极限. 教学重点：Taylor 公式 教学难点：Taylor 定理的证明及应用. 教学方法：系统讲授法. 教学过程： 引 言 不论在近似计算或理论分析中,我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数,这将会带来很大的方便.一般来说,最简单的是多项式,因为多项式是关于变量加、减、乘的运算,但是,怎样从一个函数本身得出我们所需要的多项式呢？ 上一节中,讨论过“微分在近似计算中的应用”从中我们知道,如果函数f 在点0x 可导,则有有限存在公式； 0000()()()()0()f x f x f x x x x x '=+-+- 即在0x 附近,用一次多项式1000()()()()p x f x f x x x '=+-逼近函数f(x)时,其误差为00()x x -. 然而,在很大场合,取一次多项式逼近是不够的,往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近,并要求误差为00()x x -,其中n 为多项式次数.为此,有如下的n 次多项式： 0100()()()n n n p x a a x x a x x =+-++- 易见： 00()n a p x =,01()1!n p x a '= ,02()2!n p x a ''=,…,() 0() ! n n n p x a n =（多项式的系数由其各阶导数在0x 的取值唯一确定）. 对于一般的函数,设它在0x 点存在直到n 阶导数,由这些导数构造一个n 次多项式如下：
数学分析公式
数学分析公式 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(221 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 π π