初三数学总复习圆
初三数学总复习
圆的有关概念和性质
【知识梳理】
1.圆的有关概念和性质
(1) 圆的有关概念
①圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆,其中定点为圆心，定长为半径.
②弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧.
③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径.
(2）圆的有关性质
①圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心.
②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
推论:平分弦（不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧，两条弦中有一组量相等,那
么它们所对应的其余各组量都分别相等．
推论：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;直径所对的圆周角是直角;90”的圆周角所对的弦是直径．
④三角形的内心和外心
?：确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定一个圆.
?:三角形的外心:三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.
?:三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心
2.与圆有关的角
（１）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数．
（2）圆周角：顶点在圆上,两边分别和圆相交的角，叫圆周角。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．
(３）圆心角与圆周角的关系:
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
(4）圆内接四边形:顶点都在国上的四边形，叫圆内接四边形.
圆内接四边形对角互补,它的一个外角等于它相邻内角的对角．
【课前练习】
1．如图,Ａ、Ｂ、C是⊙O上的三点,∠BAC＝30°则∠BＯC的大小是( )
A．60○B．４5○ C.３0○ D.1５○
2.如图，C是⊙O上一点,Ｏ是圆心.若∠AＯB＝５０°,则∠C的度数为（ )
Ａ.３５○B．5０○ C.1０5○D．１50○
3.如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、Ｂ、Ｃ、D、E五等分圆,
则∠A+∠B＋∠Ｃ+∠D＋∠Ｅ的度数是（ )
Ａ.180° B.１5 0°Ｃ.1３5° D.120°
4.如图,PA、ＰB是⊙O的切线，切点分别为Ａ、B,点C在
⊙Ｏ上．如果∠P=５0○,那么∠ACB等于（）
A．40○ B.50○ C.65○Ｄ．13０○
5．如图,在⊙O中，已知∠AＣB=∠CDB=60○ ,AC=3，则△ＡBC的周长是_______
6.“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁冲，
不知大小,以锯锯之，深一寸，锯道长一尺,间径几何”.用数学语言可表
述为如图，CD为⊙Ｏ的直径，弦AB⊥CＤ于点E，CE＝1寸，AＢ=１0寸,则直
径CＤ的长为（ )
A．12.５寸 B．13寸 C．25寸Ｄ．２6寸
７.如图,在⊙Ｏ中,弦ＡB=１．8m，圆周角∠ACB＝30○,
则⊙O的直径等于＿_＿______cm.
8.在半径为１的圆中，弦AB、AＣ分别是3和2，
则∠BAＣ的度数为
9.如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在AMB上,
则∠Ｃ的度数是____＿__．
10.如图，四边形ABCＤ内接于⊙O,若∠BOＤ＝1０0°,则∠ＤAB的度数为（ )
A.５0°Ｂ.80°Ｃ．100° D.１３０°
1１．如图，四边形AＢＣD为⊙O的内接四边形,点E在CＤ的延长线上，
如果∠BＯＤ=1２0°，那么∠ＢＣＥ等于( ）
A.３0°Ｂ.60°C．90°D．1２0°
１２.某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为更换管道,需确定管道圆形截面的半径,如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.
(1)请你补全这个输水管道的圆形截面;
(2)若这个输水管道有水部分的水面宽ＡB=16ｃm，水面最深地方的高度为４,求这个圆形截面的半径.
B
点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系
【知识梳理】
1.点与圆的位置关系:有三种:点在圆外，点在圆上，点在圆内.
设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆外?d>ｒ.点在圆上?d=r.点在圆内?d<ｒ．2．直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离．
设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d，则直线与圆相交?ｄ＜r,直线与圆相切?ｄ=r，直线与圆相离?d＞ｒ
3.圆与圆的位置关系
(1）同一平面内两圆的位置关系:
①相离:如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离．
②若两个圆心重合,半径不同观两圆是同心圆.
③相切:如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切．
④相交：如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交.
（2)圆心距：两圆圆心的距离叫圆心距.
(3)设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R和r,则
①两圆外离?d>R+r;有4条公切线;②两圆外切?d=Ｒ＋r;有３条公切线;
③两圆相交?R-r ④两圆内切?d=Ｒ－r（R＞ｒ)有1条公切线;⑤两圆内含?d＜R—r（Ｒ＞r）有0条公切线. （注意：两圆内含时,如果ｄ为０,则两圆为同心圆) 4.切线的性质和判定 (1)切线的定义：直线和圆有唯一公共点的直线和圆相切时，这条直线叫做圆的切线. (２)切线的性质:圆的切线垂直于过切点的直径. (3)切线的判定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线. １.两个同心圆的半径分别为1ｃm和2ｃm,大圆的弦AB与小圆相切,那么AB=（） Ａ.3 B.23Ｃ．3 Ｄ.4 2.已知⊙O1和⊙O２相外切,且圆心距为1０cm, 若⊙O１的半径为3cm,则⊙O２的半径 cm． 3.两圆既不相交又不相切,半径分别为3和5,则两圆的圆心距d的取值范围是( ) A．d＞8 B．0＜d≤２ C.２ D.0≤d<2或d＞８ 4.已知半径为3ｃm，4cｍ的两圆外切,那么半径为6ｃm 且与这两圆都外切的圆共有＿__个. 5．已知⊙O1和⊙Ｏ２的半径分别为3ｃｒn和5 cｍ，两圆的圆心距是６ｃm, 则这两圆的位置关系是( ) Ａ.内含 B.外离 C．内切 D.相交 6.如图,PＡ为⊙Ｏ的切线,A为切点,PO交⊙O于点Ｂ,PA＝4， ＯＡ=３,则cｏｓ∠APO的值为（） 3344 A B C D .... 4553 7.如图,已知PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点, ＡC是⊙O的直径，∠P＝4０°,则∠BAC度数是（) A．70°B．40° C．５０° D.2０° 8.在△ＡBC中，∠C=9０°,AC=3cｍ，ＢC＝4ｃm，CM是中线,以C为圆心，以3cm长为半径画圆， 则对Ａ、B、C、M四点，在圆外的有_＿_______,在圆上的有____＿＿__,在圆内的有___＿＿___．9．已知半径为３ cm,４cm的两圆外切，那么半径为6 ｃm且与这两圆都外切的圆共 有_＿____＿＿_个． 10.已知两圆的半径分别为3 ｃm和４cm，圆心距为1cｍ， 那么两圆的位置关系是( ） A.相离 B.相交 C.内切 D.外切 11.如图，A、B是⊙上的两点，AC是⊙Ｏ的切线，∠Ｂ=65○， 则∠ＢAＣ等于（） A.3５○B．２5○ C.50○ D.65○ 12.已知两圆的圆心距是3,两圆的半径分别是方程x2-3x+2=0的两个根， 那么这两个圆的位置关系是( ） A.外离Ｂ.外切 C.相交D．内切 13.如图，已知两同心圆，大圆的弦ＡB切小圆于M，若环形的面积为９π,求ＡＢ的长. 14．如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，∠APB=90°,OP=4，求⊙Ｏ的半径． 15.如图，△ＡBO中，OＡ＝ OB,以O为圆心的圆经过AB中点C,且分别交ＯA、ＯＢ于点E、F. （1）求证:AB是⊙Ｏ切线; (2)若△ABO腰上的高等于底边的一半，且AB=4错误!，求ECF的长 16.如图,CB、CＤ是⊙Ｏ的切线,切点分别为B、D,CD的延长线与⊙O的直径ＢＥ的延长线交于A点，连O Ｃ,ＥD. （１)探索ＯC与ＥD的位置关系,并加以证明； （2）若OD＝4，ＣD=6，求ｔan∠ADE的值. A C B O 17.如图,⊙O 的半径为1,过点A(２,0）的直线切⊙O 于点Ｂ,交y 轴于点C (1）求线段AB 的长 (2)求以直线AC 为图象的一次函数的解析式 18.如图，经过原点Ｏ的⊙P 与、轴分别交于A 、B 两点， 点C 是劣弧 上一点,则∠AC Ｂ=( ） A. 80° B. ９0° C ． 100° D. 无法确定 1９．如图,ＡB 是⊙O 的弦，AC 是⊙Ｏr 切线,A 为切点，B Ｃ经过圆心. 若∠Ｂ＝２0°，则∠Ｃ的大小等于( ） A ．20° Ｂ．2５° C ． 40° D ．5０° 20.如图,正六边形AB ＣＤEF 内接于⊙O ,若直线ＰA 与⊙Ｏ相切于点 Ａ，则∠P ＡＢ=（ ) A.３0°?Ｂ.3５° C.45° D.６0° 21．如图Ａ，B ,C 是⊙Ｏ上的三个点，若，则等于（ ） （A) 50° ?（B ） 8０° （C) 100° (D) 1３0° 2２.如图，已知在⊙Ｏ中，AB 是弦,半径ＯC ⊥AB ,垂足为点D ，要使四边 形ＯACB 为菱形，还需要添加一个条件,这个条件可以是( ） A 、ＡD ＝ＢD B 、OD ＝CD C 、∠CAD =∠CBD D 、∠OC Ａ=∠O ＣB 23.如图,ＡＢ为⊙Ｏ直径，已知为∠DCB ＝２0o ，则∠ＤBA 为( ) A 、 Ｂ、 C 、 D 、 C O A B x y 第10题 D O B A C 2４.如图，A Ｂ是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ,则下列结论中不成立．．．的是( ) A ．∠A ﹦∠D B.C Ｅ﹦ＤE C ．∠ＡＣB ﹦90° Ｄ．CE ﹦BD 25. 如图, 中，ＡB ＝5,ＢC=3,AC=4,以点C 为圆心的圆与AB 相切, 则☉C 的半径为( ） (Ａ）2．３? ?(B ）2.4 （Ｃ)2.5???(Ｄ）2.6? ２6. 已知, 是⊙O 的一条直径 ，延长 至 点,使 ， 与⊙O 相切于点,若 ,则劣弧 的长为 . 27． 如图所示,AB 是⊙O 的直径,点C 为⊙O 外一点,CA, CD 是⊙Ｏ的切线，A ，Ｄ为切点,连接BD,A Ｄ.若∠ACD=30°, 则∠DＢA 的大小是（ ) A .15° B .30° C ．60° Ｄ．７5° ①已知Rt ⊿ABC 中，∠Ｃ=9０°,AB=3,BC=４,⊿ＡＢC 内切圆半径为 ②已知⊿AB Ｃ中,°,A Ｂ=２,BC=３，AC=2，⊿ＡBC 内切圆半径为 ２8．已知圆锥的侧面积等于cm ２ ，母线长10cm ， 则圆锥的高是 cm. ２9.一个圆锥的底面半径为1厘米，母线长为2厘米， 则该圆锥的侧面积是 （结果保留π）。 30.已知A 点的坐标为（-1,3），将A 点绕坐标原点顺时针90°， 则点A 的对应点的坐标为 3１.圆心角为１２0°的扇形的半径为3， 则这个扇形的面积为 ３2．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O, ⊙Ｏ的半径为１,则 的长为 ．33. 用一个圆心角为120°,半径为6 的扇形作一个圆锥的侧面,这个圆锥的底面圆的半径是 . 34.如图，点A ，B ，C 在⊙Ｏ上，ＣＯ的延长线交A Ｂ于点D ，∠Ａ=５0°， ∠Ｂ＝30°,则∠AD Ｃ的度数为 ． ３5. 如图，边长为40 c ｍ的等边三角形硬纸片，小明剪下与边BC 相切的扇形ＡE Ｆ,切点为D,点Ｅ，F 分别在AB,A Ｃ上，做成圆锥形圣诞帽（重叠部分忽略不计),则圆锥形圣诞帽的底面圆的半径是( ) A ． １0 3 错误! cm B ．错误! cm C .错误! ｃm Ｄ.错误!错误! cm ３６.如图，在□AＢＣD 中，AD =2，AB ＝4，∠A =30°，以点Ａ为圆心, AD 的长为半径画弧交A Ｂ于点E ，连接CE ,则阴影部分的面积是_______ 37.如图,在边长为4的正方形ＡB ＣＤ中,先以点A 为圆心， AD 的长为半径画弧，再以ＡB 边的中点为圆心,A Ｂ长的 一半为半径画弧,则两弧之间的阴影部分面积是_＿＿ __ 3８．如图,P 为⊙Ｏ 外一点,PA 、PB 是⊙Ｏ 的切线,Ａ、B 为切点,已知 P Ａ=3，∠P＝6０°,则图中阴影部分的面积为 ． 3９.如图，ＡＣ⊥BC ，AC=BC=４,以ＢC 为直径作半圆,圆心为点O ．以点C 为圆心, BC 为半径作弧AB,过点Ｏ作AC 的平行线交两弧于点D ，E ，则阴影部分的面积是＿__＿＿__ 40.如图,扇形AOB 中,半径OA=2，∠AOB＝１２0°,C 是弧AB 的中点， 连接ＡC 、B Ｃ，则图中阴影部分面积是 ( ) A ．4233π-; B.2233π-； C ．433π-; D ．233 π-; 41.如图, ⊙O 的半径是２,直线ｌ与⊙O 相交于A 、B 两点,M 、N 是⊙O 上的两个动点，且在直线ｌ的异侧,若∠ＡMB ＝45°,则四边形MA ＮB 面积的最大值是 ． 42.如图,ＡB 切⊙O 于点B,OA=2，∠OAB＝30°,弦 BC∥OA，劣弧 BC 的弧长为 ．(结果保留π) 43.如图，在平面直角坐标系x Ｏy 中，直线ｙ= x 经过点Ａ，作ＡB ⊥x 轴于点Ｂ,将⊿AB Ｏ绕点B 逆时针旋转60°得到⊿C ＢD,若点Ｂ的坐标为 (２，0），则点C 的坐标为A 44.如图，AB 为⊙O 的直径，ＡB ＝6，ＡＢ⊥弦CD,垂足为点G ，EF 切⊙O 于点Ｂ,∠A=３０°，连接ＡD,OC ，ＢC ，下列结论不正确的是( ) Ａ.EF ∥C Ｄ B ．△C ＯＢ是等边三角形 C ．C Ｇ＝DG Ｄ．＼ｏ(B Ｃ，︵ ）的长为错误!π 4５.如图,A Ｂ是⊙O 的直径，弦C Ｄ⊥AＢ于点E ，∠CDB=３０°， ⊙Ｏ的半径为5 cm ，则圆心Ｏ到弦ＣD 的距离为( ) A .＼f(5,２) cm B ．3 c ｍ C .３＼r(3） cm Ｄ.6 c ｍ ４6.如图，P Ａ、PB 、AB 都与⊙Ｏ相切，∠Ｐ＝６0°，则∠ＡO Ｂ等于（ ） A ．5０° Ｂ.60°? C.70° D.70° 47．如图,从一块直径为24cm 的圆形纸片上剪出一个圆心角为90° 的扇形A ＢC,使点Ａ，Ｂ,C 在圆周上,将剪下的扇形作为一个 圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆的半径是（ ） A.1２cm Ｂ．6cm C.３cm D.２ｃm 48.如图，矩形ABCD 中,AB =4，ＢC =3，连接A Ｃ,⊙Ｐ和⊙Q 分别是△A ＢC 和△Ａ ＤＣ的内切圆,则PQ 的长是( ) A.＼f(5,2) B. 5 C.＼ｆ(＼r(,5）,２) D．2＼ｒ（,2) 49.如图,正六边形ABCDEF内接于⊙Ｏ，半径为4，则这个正六边形的边心距ＯM和弧ＢC的长分别为( ） ５0.如图,已知半圆Ｏ的直径AＢ＝4,沿它的一条弦折叠.若折叠后的 圆弧与直径AB相切于点D,且ＡD:ＤB＝3:1，则折痕ＥF的长_＿___＿__ . 51.如图，⊙Ｏ是△ABC的外接圆,直径ＡD=４,∠ＡBＣ=∠DAC， 则ＡC的长为_______. 52.如图,圆O的直径AＢ为13cｍ，弦ＡC为５cm,∠ＡＣＢ的平分线交圆 O于点D，则CD的长是__＿__＿＿_＿___cｍ． ５３.、已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长20πcm, 则此扇形的半径是___＿__＿_ cm，面积是________ cｍ2 . 54.、如图，△ＡＢC是⊙O的内接三角形,AD是⊙O的直径, ∠AＢC=５0°,则∠ＣAD=___＿＿_＿＿. 55、若一个圆锥的侧面积是它底面积的２倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是＿_＿＿＿__＿. 56、已知一圆锥的底面半径为1cm,母线长为4cm,则它的侧面积为＿____＿__cm2(结果保留π）. 57.如图,⊙的半径为2，点到直线的距离为３,点是直线 上的一个动点， 切⊙于点，则 的最小值是( ） A. 13 B.5 Ｃ. 3 D ．２ 5８.如图,AD 是⊙O 的直径,弦BC ⊥A Ｄ于E ，AB ＝ＢＣ=12,则ＯC= . 59.如图,正方形ABCD 中，分别以B 、Ｄ为圆心,以正方形的边长 a 为半径画弧,形成树叶形(阴影部分）图案，则树叶形图案的 周长为【 】 A. a π? Ｂ. 2a π?C. 12a π ? D. 3a 6０.如图，如果从半径为5ｃm 的圆形纸片上剪去 圆周的一个扇形,将留下的扇形围成一个圆锥(接缝 处不重叠),那么这个圆锥的高是 ｃm. 61．如图,在Rt △ＡBC 中,斜边AB=2２,∠Ａ＝4５°，把△ABC 绕点B 顺时 针旋转6０°到△A ′BC ′的位置,则顶点Ｃ经过的路线长为__＿__＿_＿. 6２.如图，A Ｂ是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB,垂足为点Ｃ,交⊙O 于点D ， 点E 在⊙O 上． (１）若∠ＡOD ＝５2°,求∠DEB 的度数； (2）若OC ＝3，OA ＝5,求AB 的长． 63.如图，AB 是半圆Ｏ的直径，C ,Ｄ是半圆O 上的两点,且OD //B Ｃ,OD 与ＡC 交于点E ． (1）若∠B =70°,求∠C ＡD 的度数; (2)若AB =４,AC =3，求DE 的长. 6４.如图，一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度A Ｂ=80 m ，桥拱到水面的 最大高度为2０ ｍ. (1)求桥拱的半径. (２)现有一艘宽60 m，顶部截面为长方形且高出水面9 ｍ的轮船要经过这座拱桥，这艘轮船能顺利通过吗？请说明理由． 65．如图,⊙Ｏ的直径AB=４，∠AＢC=30°3D是线段ＢC?的中点。 （1）试判断点D与⊙Ｏ的位置关系,并说明理由； （2)过点Ｄ作ＤE⊥AC,垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线。 66．如图,点D在⊙O的直径ＡB的延长线上，点C在⊙O上,ＡC=CD,∠ACD＝１２0°. （1）求证:CD是⊙Ｏ的切线; (2)若⊙O的半径为2,求图中阴影部分的面积． ６7.如图，AB是⊙O的直径,点Ｃ，D在圆上,且四边形AＯＣD是平行四边形，过点Ｄ作⊙O的切线,分别交OA的延长线与ＯC的延长线于点E,F，连接BＦ. (1)求证：BＦ是⊙Ｏ的切线； (2）已知⊙O的半径为1,求ＥF的长. 6８.如图，AB为⊙Ｏ的直径，PD切⊙O于点C,与BＡ的延长线交于点D,ＤE⊥PO交PO的延长线于点Ｅ， 连接PB,∠EDB＝∠ＥPB. (1）求证:PB是圆O的切线; （２)若ＰB=6,ＤB＝８，求⊙Ｏ的半径. 69.如图,ＡB是⊙O的直径,点C,D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥ＡD，交ＡD的延长线于点E. (１)求证：CE是⊙O的切线； (２)判断四边形ＡOCD是否为菱形?并说明理由. 70.如图，AＢ为⊙O的直径,C、D为⊙O上的两点，∠BAC=∠DAＣ，过点Ｃ做直线EＦ⊥AＤ，交AD的延长线于点E，连接BC． (1）求证：EF是⊙O的切线; (2）若DE＝1，ＢC=2,求劣弧的长． 71.如图,在Rt△ABC中,∠BAC＝90°． (1)先作∠ACB的平分线交AＢ边于点P，再以点P为圆心，PＡ长为半径作⊙P;(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) （2）请你判断(1）中BC与⊙P的位置关系，并证明你的结论． 72．如图9所示，点O在∠ＡPB的平分线上,⊙O与PA相切于点C. (１)求证:直线ＰＢ与⊙O相切 （2)ＰO的延长线与⊙O交于点E,若⊙O的半径为3,PC=4. 求弦CE的长． 73．已知:如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且ＢC=6cｍ，AC=8cm,∠ABD=45o.（1）求ＢＤ的长;(２)求图中阴影部分的面积． ７4．已知,如图,直线MN交⊙O于A,B两点,ＡＣ是⊙O的直径，DＥ切⊙O于点Ｄ，且ＤE⊥MN于点E．（1）求证:AD平分∠ＣAM. (2）若DE=６,AE＝3，求⊙O的半径． 75.如图，已知ＡB是⊙O的直径，点Ｃ,Ｄ在⊙O上,点E在⊙O外,∠EAＣ=∠Ｂ． (1）求证:直线AE是⊙O的切线； （2)若∠D=６0°,AB=6时,求劣弧 AC的长（结果保留π). 76．如图,在△ＡＢC中，∠C=９0°，∠BＡC的平分线交BC于点D,点O在ＡB上,以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D,分别交ＡC,AB于点E,F. （1)试判断直线BＣ与⊙O的位置关系,并说明理由; (２)若BＤ=2＼ｒ(3)，ＢF=２，求阴影部分的面积(结果保留π)． 77.如图，点B、Ｃ、D都在半径为6的⊙O上，过点C作ＡC∥BＤ交OB的延长线于点A,连接CD，已知∠ＣDB=∠OＢD=３0°. (1）求证:AC是⊙O的切线; (2）求弦BD的长； (3）求图中阴影部分的面积． 人教版九年级数学上册圆知识点归纳及练习含 答案 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】 圆 24.1.1圆 知识点一圆的定义 圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。第二种：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。 比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。 知识点二圆的相关概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。 （2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （3）等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。 （4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。 24.1.2垂直于弦的直径 知识点一圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 知识点二垂径定理 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为CD，AB是弦，且CD⊥AB， A B AM=BM 垂足为M AC=BC AD=BD D 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 如上图所示，直径CD与非直径弦AB相交于点M， CD⊥ABAM=BMAC=BC AD=BD 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。 24.1.3弧、弦、圆心角 知识点弦、弧、圆心角的关系（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。 （3）注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。 九年级数学上册 圆 几何综合（提升篇）（Word 版 含解析） 一、初三数学 圆易错题压轴题（难） 1．如图，二次函数y=x 2-2mx+8m 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边且OA≠OB ),交y 轴于点C ，且经过点（m ，9m ）,⊙E 过A 、B 、C 三点。 （1）求这条抛物线的解析式； （2）求点E 的坐标； （3）过抛物线上一点P （点P 不与B 、C 重合）作PQ ⊥x 轴于点Q ，是否存在这样的点P 使△PBQ 和△BOC 相似？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由 【答案】（1）y=x 2 +2x-8（2）（-1，- 72）（3）（-8，40），（-15 4，-1316），（-174 ，-25 16 ） 【解析】 分析：（1）把(),9m m 代入解析式，得：22289m m m m -+=，解这个方程可求出m 的值； （2）分别令y =0和x =0，求出OA ，OB ，O C 及AB 的长，过点E 作EG x ⊥轴于点 G ,EF y ⊥轴于点F ,连接CE ，AE ,设OF =GE =a ,根据AE CE = ，列方过程求出a 的值， 从而求出点E 的坐标； （3）设点P (a , a 2+2a -8)， 则2 28,2PQ a a BQ a =+-=-，然后分PBQ ∽CBO 时 和PBQ ∽BCO 时两种情况，列比例式求出a 的值，从而求出点P 的坐标. 详解：（1）把(),9m m 代入解析式，得：22289m m m m -+= 解得：121,0m m =-=（舍去） ∴228y x x =+- 一．圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1： 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2： 确定圆的条件；圆心和半径 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点3： 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念） 弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 （请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高） 固定的已经不能再固定的方法： 求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图： 考点4： 三角形的外接圆： 锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。 考点5 点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d， 则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外?d ＞r ；②点在圆上?d=r ；③点在圆? d ＜r ； 【典型例题】 例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。 例2．已知，如图，CD 是直径，?=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。 例3 ⊙O 平面一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。 例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是多少？ 例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm, 30=∠CEA ， 求CD 的长． 例6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，求BAC ∠的度数． A B D C O · E 圆 目录 圆的定义及相关概念 垂经定理及其推论 圆周角与圆心角 圆心角、弧、弦、弦心距关系定理 圆内接四边形 会用切线, 能证切线 切线长定理 三角形的内切圆 了解弦切角与圆幂定理（选学） 圆与圆的位置关系 圆的有关计算 一．圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1： 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2： 确定圆的条件；圆心和半径 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点3： 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念） 弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 （请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高） 固定的已经不能再固定的方法： 求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图： 考点4： 三角形的外接圆： 锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在,钝角三角形的外心在。 考点5 点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d， 则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外?d＞r；②点在圆上?d=r；③点在圆内? d＜r； 【典型例题】 例1 在⊿ABC中，∠ACB=90°,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系，并说明你的理由。 例2．已知，如图，CD是直径，? = ∠84 EOD，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数。 M A B C 2013—2014学年九年级数学（上）周末辅导资料（10） 理想文化教育培训中心 学生姓名：_______ 得分： _____ 一、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 如图,在⊙O 中，直径C D 垂直弦AB 于E 点， 则有 AE ＝_____,AD ＝________,C A =_________。 垂径定理小结：⑴ 垂直弦；⑵平分弦；⑶平分弧;只要有一个结论成立，其他两个都成立。 例1：（1）如图（1）,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB,垂足为E,如果AB=20,CD=16, 那么线段OE 的长为（ ） A 、10 B 、8 C 、6 D 、4 （2）如图（2），已知⊙O 的半径为5，弦AB =6，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的长可能是（ ） A ．2.5 B ．3.5 C ．4.5 D ．5.5 （3）高速公路的隧道和桥梁最多．图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ） A ．5 B ．7 C ． 375 D ．37 7 （4）（2013?广安）如图4，已知半径OD 与弦AB 互相垂直，垂足为点C ，若AB=8cm ，CD=3cm ，则圆O 的半径为 （ ） （5）如图，已知⊙O 的半径为2，弦BC 的长为，点A 为弦BC 所对优弧上任意一点（B ，C 两点除外）。 ⑴求∠BAC 的度数； ⑵求△ABC 面积的最大值. 二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系： 图（2） 图3 定理：在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 例2：（1）（2013?常州）如图1，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC=． （2）（2013?内江）如图2，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（） ．cm cm cm (3) （2013?宜昌）如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（） ． 图1 图2 图3 图4 （4）（2013?苏州）如图4，AB是半圆的直径，点D是AC的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（） 三、圆周角定理 圆周角定理: 一条弧所对的周角等于它所对圆心角的一半。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦直径． 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角是直角三角形． 圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补，任何一个外角都等于它的内对角。 例3：（1）如图（1），在⊙O中，∠AOB＝102°，则∠APB＝。 （2）如图（2），在⊙O中，∠AOB＝100°，则∠ACB＝。 （3）（2013?自贡）如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A的半径为（） A、3； B、4； C、4； D、 5 九年级上册数学圆章节知 识点总结 Prepared on 21 November 2021 与圆相关的基本知识和计算 一、知识梳理： （一）：圆及圆的有关概念 1.圆：到顶点的距离等于定长的点的集合叫做圆； 2.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的叫做劣弧； 3.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，它是圆的最长的弦； 4.等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆；等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧； 5.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；圆周角：顶点在圆上且两边与圆相交的角叫做圆周角； （二）圆的有关性质： 1.对称性：圆是中心对称图形，其对称中心是圆心；圆是轴对称图形，其对称轴是直径所在的直线； 2.垂径定理及其推论： （1）、垂径定理：垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧； （2）、推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；3.圆心角、弧、弦之间的关系 （1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；（2）推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等、所对的弦相等。在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等、所对的弧相等。 4.圆周角与圆心角的关系 （1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半； （2）推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，0 90的圆周角所对的弦是直径； 5.圆内接四边形对角互补。 （三）点与圆的位置关系 1、点和圆的位置关系 如果圆的半径为r，已知点到圆心的距离为d，则可用数量关系表示位置关系． (1)d＞r点在圆外；(2)d=r点在圆上；(3)d＜r点在圆内． 2、确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆． （四）直线与圆的位置关系 1、(1)直线与圆的位置关系有关概念 ①相交与割线：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线． ②切线与切点：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点． ③相离，当直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． (2)用数量关系判断直线与圆的位置关系 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么： (1)直线l和⊙O相交d＜r(如图(1)所示)； (2)直线l和⊙O相切d=r(如图(2)所示)； (3)直线l和⊙O相离d＞r(如图(3)所示)． 2、切线 (1)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径． (3)切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长． (4)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角． （五）三角形的外接圆和内切圆 1、三角形的外接圆 （1）定义：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆． 欢迎来主页下载---精品文档 九年级数学第二十四章圆测试题（A） 一、选择题（每小题3分，共33分） ，最aO上的点的最大距离为·资阳）若⊙O所在平面内一点P到⊙1．（2005 ），则此圆的半径为（小距离为b（a>b）b?baa?．A B．221 ——A图24ba?a?b ba?a?b或或 D ．C．22，则弦的长为3到弦AB的距离OM1A—，⊙O的直径为10，圆心O2．（2005·浙江）如图24—）AB的长是（ ．8 DC．7 B．6 A．4 ）°，则∠BOC的度数为（3．已知点O为△ABC的外心，若∠A=80120°D．80°C．160°A．40°B．）OBC的度数为（，△ABC内接于⊙O，若∠A=40°，则∠4．如 图24—A—270°D．°C．50°A．20°B．40 4 —AA——3 图图24—A—242 图24—5 —A—图24 点钉OB在O—3，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、5．如图24—A个OE=8个单位，OF=6在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度）单位，则圆的直径为（B．10个单位A．12个单位 15个单位D．个单位C．1 ）等于（°，则∠A 为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠B=60—6．如图24A—4，AB°D．30．50°C．40°A．80°B、PA 于点E，分别交A、B，CD切⊙O，—A—5P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于7．如图24 ）的周长为（、D，若PA=5，则△PCDPB于点C10 D．7 C．8 ．A．5 B，为防雨需在粮仓顶部铺上，母线长为3m8．若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为4m ）油毡，则这块油毡的面积是（ 圆 目录 一．圆的定义及相关概念 二．垂经定理及其推论 三．圆周角与圆心角 四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形 六．会用切线, 能证切线 七．切线长定理 八．三角形的内切圆 九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系 十一．圆的有关计算 十二．圆的基础综合测试 十三．圆的终极综合测试 一．圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1： 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2： 确定圆的条件；圆心和半径 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点3： 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念） 弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 （请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高） 固定的已经不能再固定的方法： 求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图： 考点4： 三角形的外接圆： 锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。 考点5 点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ， 则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外?d ＞r ；②点在圆上?d=r ；③点在圆内? d ＜r ； 【典型例题】 例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。 例2．已知，如图，CD 是直径，?=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A M A B C 初中数学试卷 金戈铁骑整理制作 圆 章节测试 时间:40分钟 满分:120分 姓名: 得分: 一、选择题（本大题共9小题，共54分） 1. 如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，则侧面积为（ ） A. 4π B. 6π C. 12π D. 16π 2. 一个扇形的弧长是10πcm ，面积是60πcm 2，则此扇形的圆心角的度数是（ ） A. 300° B. 150° C. 120° D. 75° 3. 下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 4. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上位于AB 异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD 互余的角是（ ） A. ∠ADC B. ∠ABD C. ∠BAC D. ∠BAD 5. 如图，在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，连接OC ，若∠ACO =30°，则∠BOC 的度数是（ ） A. 30° B. 45° C. 55° D. 60° 6.如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12， OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（） A. 26π B. 13π C. D. 7.如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的 对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（） A. B. 2- C. 2- D. 4- 8.如图，在半径为4的⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，垂足为点E，∠AOB=90°， 则阴影部分的面积是（） A. 4π-4 B. 2π-4 C. 4π D. 2π 初三数学 有关圆的经典例题 1. 在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。132O AB AC BAC 分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB 与AC 有不同的位置关系。 解：由题意画图，分AB 、AC 在圆心O 的同侧、异侧两种情况讨论， 当AB 、AC 在圆心O 的异侧时，如下图所示， 过O 作OD ⊥AB 于D ，过O 作OE ⊥AC 于E ， ∵，，∴，AB AC AD AE = == = 32322 2 ∵，∴∠，OA OAD AD OA == =132 cos cos ∠OAE AE OA = = 22 ∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°， 当AB 、AC 在圆心O 同侧时，如下图所示， 同理可知∠OAD=30°，∠OAE=45°， ∴∠BAC=15° 点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。 例2. 如图：△ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上，⊙O 的半径为R ，⊙O 与AC 交于D ， 如果点既是的中点，又是边的中点，D AB AC ? （1）求证：△ABC 是直角三角形； ()22 求的值AD BC 分 析 ： ()1由为的中点，联想到垂径定理的推论，连结交于，D AB OD AB F ? 则AF=FB ，OD ⊥AB ，可证DF 是△ABC 的中位线； （2）延长DO 交⊙O 于E ，连接AE ，由于∠DAE=90°，DE ⊥AB ，∴△ADF ∽△，可得·，而，，故可求DAE AD DF DE DF BC DE R AD BC 2 2 122=== 解：（1）证明，作直径DE 交AB 于F ，交圆于E ∵为的中点，∴⊥，D AB AB DE AF FB ? = 又∵AD=DC ∴∥，DF BC DF BC = 12 ∴AB ⊥BC ，∴△ABC 是直角三角形。 （2）解：连结AE ∵DE 是⊙O 的直径 ∴∠DAE=90° 而AB ⊥DE ，∴△ADF ∽△EDA ∴ ，即·AD DE DF AD AD DE DF ==2 ∵，DE R DF BC ==21 2 ∴·，故AD BC R AD BC R 2 2 == 例3. 如图，在⊙O 中，AB=2CD ，那么（ ） A A B CD B AB CD ..?>? ? 圆中的基本概念及定理（讲义） 课前预习 在小学的时候，我们知道“一中同长”表示的是圆，中心称为，固定的线段长称为，还知道半径为r 的圆的周长为，面积为 ． 在七年级我们学习了圆的另外一种说法：平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆．固定的端点O 称为圆心，线段OA 称为半径． 一条弧AB 和经过这条弧的两条半径OA，OB 所组成的图形叫做扇形．顶点在圆心的角叫做圆心角． 知识点睛 1.在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个 端点A 所形成的图形叫做．其固定的端点O叫做，线段OA 叫做．以点O 为圆心的圆，记作，读作“圆O”． 2.圆中概念： 弧：，弧包括和； 弦：； 圆周角：； 圆心角：； 弦心距：； 等圆：； 等弧：． 3.圆的对称性： 圆是轴对称图形，其对称轴是； 圆是中心对称图形，其对称中心为．4.圆中基本定理： *（1）垂径定理： ．推论： ．（2）四组量关系定理：在中，如果 、、、 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． （3）圆周角定理：．推论1：． 推论2：， ．推论3：． 注：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边 形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆． 圆中处理问题的思路： ①找圆心，连半径，转移边； ②遇弦，作垂线，垂径定理配合勾股定理建等式； ③遇直径，找直角，由直角，找直径； ④由弧找角，由角看弧． C D A R B 精讲精练 1. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB ，垂足为 M ，下列结论不一定成立 的是（ ） ︵ ︵ A ．CM =DM B ． C B =B D C ．∠ACD =∠ADC D ．OM =MB 第 1 题图 第 2 题图 2. 如图，⊙O 的弦 AB 垂直平分半径 OC ，若 AB = 的半径为 ． ，则⊙O 3. 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是 10 mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8 mm ，如图所示，则这个小圆孔的宽口 AB 的长度为 mm ． 第 3 题图 第 4 题图 4. 如图，圆拱桥桥拱的跨度 AB =12 m ，桥拱高 CD =4 m ，则拱桥的直径为 ． 5. 如图，在⊙O 中，直径 CD 垂直于弦 AB ，垂足为 E ，连接 OB ， CB ．已知⊙O 的半径为 2，AB = 2 ，则∠BCD = ． 6 3 24.1.1 圆 知识点一圆的定义 o叫作圆圆的定义：第一种：在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点 心，线段0A叫作半径。第二种：圆心为0,半径为r的圆可以看成是所有到定点0的距离等于定长r的点的集合。 比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长， 也就确定了圆。 知识点二圆的相关概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。 （2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（ 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。 （4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。 24.1.2垂直于弦的直径 知识点一圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 知识点二垂径定理 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为CD, AB是弦，且CDLAE， C ~|M A B AM=BM 垂足为M AC=BC AD=BD D 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如 上图所示，直径CD与非直径弦AB相交于点M CDLABAM=BMAC=BC AD=BD 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。 24.1.3弧、弦、圆心角 知识点弦、弧、圆心角的关系（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相 等，所对的弦也相等。 （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。 （3）注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心 圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。 24.1.4圆周角 知识点一圆周角定理 九年级数学第二十四章圆测试题（A ） 一、选择题（每小题3分，共33分） 1．（2005·资阳）若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的 最大距离为a ，最小距离为b （a>b ），则此圆的半径为（ ） A ．2b a + B ．2 b a - C ．2 2b a b a -+或 D ．b a b a -+或 2．（2005·浙江）如图24—A —1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 3．已知点O 为△ABC 的外心，若∠A=80°，则∠BOC 的度数为（ ） A ．40° B ．80° C ．160° D ．120° 4．如图24—A —2，△ABC 内接于⊙O ，若∠A=40°，则∠OBC 的度数为（ ） A ．20° B ．40° C ．50° D ．70° 图24—A 5．如图24—A —3，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ） A ．12个单位 B ．10个单位 C ．1个单位 D ．15个单位 6．如图24—A —4，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠B=60°，则∠A 等于（ ） A ．80° B ．50° C ．40° D ．30° 7．如图24—A —5，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交PA 、PB 于点C 、D ，若PA=5，则△PCD 的周长为（ ） A ．5 B ．7 C ．8 D ．10 8．若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为4m ，母线长为3m ，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，则这块油毡的面积是（ ） A ．26m B ．26m π C ．212m D ．212m π 9．如图24—A —6，两个同心圆，大圆的弦AB 与小圆相切 于点P ，大圆的弦CD 经过点P ，且CD=13，PC=4，则两圆 组成的圆环的面积是（ ） A ．16π B ．36π C ．52π D ．81π 第11讲与圆有关的位置关系 知识定位 讲解用时：3分钟 A、适用范围：人教版初三，基础偏上 B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们首先学习与圆有 关的三类位置关系：点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系，重点掌握各种与圆位置关系的判断方法，其次学习切线的有关性质与判定以及切线长定理及应用，能够结合已知题意证明相关切线，最后掌握圆的外接三角形与三角形内切圆概念。本节课的重点是三类位置关系的判断方法以及切线的性质与判定定理，属于中考重点内容，也是难点之一，希望同学们能够好好学习，扎实基础。 知识梳理 讲解用时：25分钟 与圆有关的位置关系 （1）点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有3种，设⊙Ｏ的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有： ⊙点P在圆外⊙ｄ＞r ⊙点P在圆上⊙d=r ⊙点P在圆内⊙ｄ＜r 注意： 点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆 心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系。 （2）直线与圆的位置关系 直线和圆的3种位置关系： ⊙相离：一条直线和圆没有公共点； ⊙相切：一条直线和圆只有一个公共点，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点； ⊙相交：一条直线和圆有两个公共点，这条直线叫圆的割线； 判断直线和圆的位置关系： ⊙直线l和⊙Ｏ相交⊙ｄ＜r ⊙直线l和⊙Ｏ相切⊙d=r ⊙直线l和⊙Ｏ相离⊙ｄ＞r （3）圆与圆的位置关系 ⊙外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部； ⊙外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部； ⊙相交：两个圆有两个公共点； ⊙内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部； ⊙内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部。 判断圆和圆的位置关系： ⊙两圆外离⊙ｄ＞R+r； ⊙两圆外切⊙d=R+r； ⊙两圆相交⊙Ｒ﹣r＜d＜R+r（R≥ｒ）； ⊙两圆内切⊙d=R﹣r（R＞r）； ⊙两圆内含⊙ｄ＜R﹣r（R＞r）． 九年级数学第二十四章圆测试题（A） 时间：45分钟分数：100分 一、选择题（每小题3分，共33分） 1 .若O O所在平面内一点P到O O上的点的最大距离为10, A . 14 B . 6 C . 14 或6 D. 7 或3 2. 如图24—A —1 , O O的直径为10,圆心O到弦AB的距离 A . 4 B . 6 C . 7 I 3. 已知点O ABC的外心，若/ A=80 A . 40 4. 如图 A . 20° B . 80 24—A — 2, B . C. 160° △ ABC内接于O 最小距离为 OM的长为 4则此圆的半径为（ 3,则弦AB 的长是 D . 8 ，则/ BOC的度数为（ D. 120° 若/ A=40 °，则/ OBC的度数为（ O 图24—A — 4 图24—A — 3 小明同学设计了一个测量圆直径的工具， 垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上， A . 12个单位 B . 10个单位 6. 如图 A . 80° 7. 如图 PB于点 A . 5 24—A —4, AB为O O的直径，点 B. 50° C. 40 ° 24—A —5, P 为O O 外一点， 5 .如图24—A —3, 标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起， 读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ D . 15个单位 ，则/ A等于（） 并使它们保持 ） PA 、 C、D，若PA=5，则△ PCD的周长为( B . 7 C . 8 D . 10 C . 1个单位 C 在O O 上，若/ B=60 ° D . 30° PB分别切O O于A、B, ) CD切O O于点E,分别交PA、 &若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为 毡，则这块油毡的面积是（） 4m，母线长为3m，为防雨需在粮仓顶部铺上油 A . 6m2 C . 12m22 D . 12二 m 9.如图24—A —6,两个同心圆，大圆的弦AB 点P,且 CD=13 , PC=4，则两圆组成的圆环的面积是（ A. 16 n B . 36 n 10 .已知在△ ABC中， 10 A . 3 11.如图 C、D E、 C. 52 n AB=AC=13 , 与小圆相切于点P,大圆的弦CD经过） D. 81 n BC=10，那么△ ABC的内切圆的半径为（ 12 B . 5 24—A —7,两个半径都是4cm的圆外切于点C, 一只蚂蚁由点A开始依A、B、 F、C、G A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这 C. 2 径上不断爬行，直到行走2006 n cm后才停下来， A . D 点 B . E 点 C . F 点D 二、填空题（每小题3分，共30分） 12 .如图24—A —8,在O O中，弦AB等于O 则蚂蚁停的那一个点为（ .G点 O的半径，0C丄AB交O O于点C,则 8段路 ） 1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE?CA． （1）求证：BC=CD； （2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD =，求DF的长． 2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K． （1）求证：KE=GE； （2）若=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长． 3.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为点D ，直线DC 与AB 的延长线相交于点P ，弦CE 平分∠ACB ，交AB 于点F ，连接BE ． (1)求证：AC 平分∠DAB ； (2)求证：△PCF 是等腰三角形； (3)若tan ∠ABC= 3 4，BE=72，求线段PC 的长． 4. 5.已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC，连结DE，DE=。 （1）求证：AM·MB=EM·MC；（2）求EM的长；（3）求sin∠EOB的值。 6.如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知 ∠EAT=30°，AE=3，MN=2． （1）求∠COB的度数； （2）求⊙O的半径R； （3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比． 圆练习题 1.如图，已知线段OA 交⊙O 于点B ，且OB ＝AB ，点P 是⊙O 上的一个动点，那么∠OAP 的最大值是( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 2.如图，已知AB 是⊙O 的直径，AD 切⊙O 于点A ，点C 是EB ︵ 的中点，则下列结论不成立的是( ) A. OC ∥AE B. EC ＝BC C. ∠DAE ＝∠ABE D. AC ⊥OE 3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的⊙P 的圆心P 的坐标为(－3，0)，将⊙P 沿x 轴正方向平移，使⊙P 与y 轴相切，则平移的距离为( ) A. 1 B. 1或5 C. 3 D. 5 4.若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为( ) A. 6，3 2 B. 32，3 C. 6，3 D. 62，32 5.已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为2 cm 和3 cm ，若O 1O 2＝7 cm ，则⊙O 1和⊙O 2的位置关系是( ) A. 外离 B. 外切 C. 内切 D. 相交 6在同一平面直角坐标系中有5个点：A(1，1)，B(－3，－1)，C(－3，1)，D(－2，－2)， E(0，－3)． (1)画出△ABC 的外接圆⊙P ，并指出点D 与⊙P 的位置关系． (2)若直线l 经过点D(－2，－2)，E(0，－3)，判断直线l 与⊙P 的位置关系． 7如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，切点为D ，CD 与AB 的延长线交于点C ，∠A ＝30°，给出下面3个结论：①AD ＝CD ；②BD ＝BC ；③AB ＝2BC ，其中正确结论的个数是( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 九年级数学第二十四章圆测试题（A ） 一、选择题（每小题3分，共33分） 1．（2005·资阳）若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b （a>b ），则此圆的半径为（ ） A ． 2b a + B ．2b a - C ．2 2b a b a -+或 D ．b a b a -+或 2．（2005·浙江）如图24—A —1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦 AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 3．已知点O 为△ABC 的外心，若∠A=80°，则∠BOC 的度数为（ ） A ．40° B ．80° C ．160° D ．120° 4．如图24—A —2，△ABC 内接于⊙O ，若∠A=40°，则∠OBC 的度数为（ ） A ．20° B ．40° C ．50° D ．70° 5．如图24—A —3，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ） A ．12个单位 B ．10个单位 C ．1个单位 D ．15个单位 6．如图24—A —4，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠B=60°，则∠A 等于（ ） A ．80° B ．50° C ．40° D ．30° 7．如图24—A —5，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交PA 、PB 于点C 、D ，若PA=5，则△PCD 的周长为（ ） A ．5 B ．7 C ．8 D ．10 8．若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为4m ，母线长为3m ，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，则这块油毡的面积是（ ） A ．2 6m B ．2 6m π C ．2 12m D ．2 12m π 9．如图24—A —6，两个同心圆，大圆的弦AB 与小圆相切于点P ，大圆的弦CD 经过点P ，且CD=13，PC=4，则两圆组成的圆环的面积是（ ） A ．16π B ．36π C ．52π D ．81π 10．已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，那么△ABC 的内切圆的半径为（ ） A ．310 B ．5 12 C ．2 D ． 3 图24—A — 5 图24—A — 6 图24—A — 1 图24—A — 2 图24—A — 3 图24—A —4 四点共圆（一） 模块一辅助圆思想 模块二四点共圆的判定（一） 模块一：辅助圆思想 平面几何中有很多题目的背景中并没有出现圆，但是如果能够适当添加辅助圆，能让题目解起来变得十分简单，因此，辅助圆思想是学习四点共圆的基础． 则 OC __________ （2）如图 2-2，在 △ ABC 中， ?ACB 90?， AC= BC ，点 P 为△ABC 外一点（ P 与 C 在直线 AB 异侧），且 ?APB 45?．设点 P 关于 AB 的对称点为 E ，连接 PE 、CE ，试判定线段 AB 与 CE 的数 量关系，并给予证明． 1）如图 1-1，四边形 ABCD 中， AB AC BAC ___________ ． AD ，若 CAD 76 ， BDC 13 ，则 CBD 2）如图 1-2，已知四边形 ABCD ，AB//CD ，AB AC AD a ， BC b ，且 2a b ，求 BD 的值． 1）如图 2-1，平面上有四个点 A 、O 、B 、C ，其中 AOB 120 ， ACB 60 ，AO BO ，AB 2 3 ， D 图 1-1 图 2-1 E 例题3 如图，E，B，A，F 四点共线，点 D 是等边三角形ABC的边AC的中点，点P是直线AB 上异于A，B 的一个动点，且满足CPD 30 ，则( A．点B．点 P 一定在射线P一定在线段BE 上AB 上 例题 4 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD 线于F．求证：E、F、B、K 四点共 AB于K．E为劣弧AC 上的一点，连接AE交DC延长AB 上 AB 上 《圆》 圆是常见的几何图形， 是平面几何中基本的图形之一，它具有独特的性质。本章是在学生在小学学过的圆的知识的基础上，系统研究圆的概念和性质，点与圆、 直线与圆的位置关系、正多边形和圆的关系，以及圆的弧长与面积的计算等问题。 本小节是圆这一章的第一节课，主要是研究圆的概念及其相关概念，本节内容是继续研究圆的性质的基础。教材一开始是让学生观察生活中有关圆的形象的物体，结合小学学过的有关圆的知识，通过用圆规画圆的方法导入圆的定义的。圆的定义方法有两种，一种是描述性定义，一种是集合性定义。圆的描述性定义，要让学生用自己的语言尝试表述，教师可以引导学生通过观察画加深理解；圆的集合定义，应通过观察、体会画圆的过程，引导学生从圆和点两个方面去思考得出圆的集合定义。得出圆的定义后，接着介绍圆心、半径、弦、直径、弧、半圆、等圆、等弧等相关性质。教材中的例1是证明四点共圆，只要证明矩形的四个顶点到对角线的交点距离相等即可，进一步让学生体会圆的集合定义的应用。 【知识与能力目标】 1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念； 2.了解等圆、等弧的概念。 【过程与方法目标】 从感受圆在生活中大量存在到圆的概念的形成过程中，让学生体会圆的不同定义方法，感受圆和实际生活的联系。 【情感态度价值观目标】 在探索圆的概念的过程中让学生体会数学知识无处不在，感受生活中处处有数学。 【教学重点】 对圆的两种定义的理解。 【教学难点】 对圆的集合定义的理解。 多媒体课件、教具等。 一、创设情境，引入新课 问题1 观察下列图形，你能从中找出它们的共同特征吗？ 追问：你能再举出一些生活中类似的实例吗？ 设计意图：让学生观察图形，感受圆和实际生活的密切联系，为学习圆的相关概念打下基础，同时还可以激发学生的学习热情。 二、探索新知，形成概念 问题2 观察下列画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？人教版九年级数学上册圆知识点归纳及练习含答案完整版
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