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(完整版)第四章习题与复习题(线性空间)----高等代数

习题5. 1

1．判断全体n 阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间． 2．全体正实数R +, 其加法与数乘定义为 ,,k a b ab k a a a b R k R

+⊕==∈∈o 其中判断R +按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间.

3. 全体实n 阶矩阵，其加法定义为

A B AB BA ⊕=-

按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间. 4．在22P ?中，{}2222/0,,W A A A P W P ??==∈判断是否是的子空间.

习题5.2

1．讨论22P ?中

1234111111,,,111111a a A A A A a a ????????==== ? ? ? ?????????

的线性相关性.

2．在4R 中，求向量1234ααααα在基,,,下的坐标.其中

1234010011001111ααααα?????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?== ? ? ? ? ?- ? ? ? ? ?-??????????

2111，=，=，=，3010

2212342347P ααααα???????????

= ? ? ? ?

?-??????????

110-11-1103.在中求在基=，=，=，=下的坐标.11100000 4．已知3R 的两组基

（Ⅰ）： 123111ααα?????? ? ? ?

? ? ? ? ? ???????

11=，=0，=0-11

（Ⅱ）：123121βββ?????? ? ? ?

? ? ? ? ? ???????

23=，=3，=443

（1）求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵；

（2）已知向量123123,,,,,αααααβββ??

? ???

1在基下的坐标为0求在基下的坐标-1；

（3）已知向量123123,,,,,βββββααα?? ?

? ???

1在基下的坐标为-1求在基下的坐标2;

（4）求在两组基下坐标互为相反数的向量γ. 5．已知P [x ]4的两组基

（Ⅰ）：2321234()1()()1()1f x x x x f x x x f x x f x =+++=-+=-=，，，

（Ⅱ）：2323321234()()1()1()1g x x x x x x x x x x x x x =++=++=++=++，g ，g ，g （1）求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵；（2）求在两组基下有相同坐标的多项式f (x ).

习题5.3

证明线性方程组

12345123451

234536420

22353056860

x x x x x x x x x x x x x x x +--+=??

+--+=??--+-=? 的解空间与实系数多项式空间3[]R x 同构.

习题5.4

1．求向量()1,1,2,3α=- 的长度.

2．求向量()()1,1,0,12,0,1,3αβ=-=与向量之间的距离. 3．求下列向量之间的夹角

（1） ()()10431211αβ==--,,,，,,, （2） ()()12233151αβ==,,,，,,,

（3）()()1,1,1,2311,0αβ==-，，，

3．设αβγ，,为n 维欧氏空间中的向量，证明: (,)(,)(,)d d d αβαγγβ≤+.

习题5.5

1．在4R 中，求一个单位向量使它与向量组

()()()1,1,1,11,1,1,11,1,1,1321--=--=--=ααα，，正交.

2．将3R 的一组基1231101,2,1111ααα??????

? ? ?

===- ? ? ? ? ? ???????

化为标准正交基.

3．求齐次线性方程组

123451

23530

0x x x x x x x x x +-+-=??

+-+=? 的解空间的一组标准正交基.

3．设1α,2α ,… ,n α 是n 维实列向量空间n R 中的一组标准正交基, A 是n 阶正交矩阵,证明: 1αA ,2αA ,… ,n A α 也是n R 中的一组标准正交基． 5．设123,,ααα是3维欧氏空间V 的一组标准正交基, 证明

1123212331231

11(22),(22),(22)333

βαααβαααβααα=+-=-+=--

也是V 的一组标准正交基.

习题四 (A)

一、填空题

1．当k 满足时，()()()31211,2,1,2,3,,3,,3k k R ααα===为的一组基. 2．由向量()1,2,3α=所生成的子空间的维数为 .

3．()()()()3123,,1,3,5,6,3,2,3,1,0R αααα====中的向量371在基下的坐标为 . 4. ()()()3123123,,2,1,3,1,0,1,2,5,1R εεεααα=-=-=---中的基到基的过渡矩阵为 .

5. 正交矩阵A 的行列式为 .

6．已知5元线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为3, 则该方程组的解空间的维数为 . ()()()()412342,1,1,1,2,1,,,3,2,1,,4,3,2,11,a a a R a αααα====≠7.已知不是的基且a 则满

足 .

二、单项选择题

1．下列向量集合按向量的加法与数乘不构成实数域上的线性空间的是( ). （A ） (){}

R x x x x V n n ∈=,,0,,0,111Λ （B ） ()

{}R x x x x x x x V i n n ∈=+++=,0,,,212

2ΛΛ （C ） ()

{}R x x x x x x x V i n n

∈=+++=

,1,,,212

3ΛΛ

(D) (){}411,0,,0,0V x x R =∈L

2.331,23P A ??? ?

= ? ???

在中由生成的子空间的维数为（）. (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 331231223311223311223123123123123

,,( )() ,, ()2,23,3

() ,,2 () ,2322,355R R A B C D ααααααααααααααααααααααααααααααα++-+++++++++-++-3.已知是的基,则下列向量组是的基.

33123122313122331122313122313

,, () ,, () 2,2,2() ,, () 2,2,2R R A B C D ααααααααααααααααααααααααααα++++++------4.已知是的基,则下列向量组（）不是的基. 5．n 元齐次线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为r , 该方程组的解空间的维数为s, 则( ).

(A) s=r (B) s=n -r (C) s>r (D) s

(A) 一定不可逆 (B) 一定可逆 (C) 不一定可逆 (D) 是正交矩阵

(B)

1．已知4R 的两组基（Ⅰ）： 1234, αααα,,

（Ⅱ）：11234223433444,βααααβαααβααβα=+++=++=+=,, ( 1 )求由基（Ⅱ）到（Ⅰ）的过渡矩阵； ( 2 )求在两组基下有相同坐标的向量.

31231231312312232313

3123123123123123,, ,, ,

, (1),, ,, ,, ;(3) 2 ,,R R αααβββββαααββααββααββββββαααααααβββ+=+++=++=+=+-2.已知是的基,向量组满足证明是的基;

(2)求由基到基的过渡矩阵求向量在基下的坐标.

12341234123412341234123412002100,,,,0012002121001100,,,,003500121,,2 2R ααααββββααααββββααααααααα????????

? ? ? ? ? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ? ? ?????????

? ? ???=++-3.设的两组基,与=，，

且由基,到基,的过渡矩阵为（）求基,；

（）求向量1234,,ββββ在基,下的坐标.

22212332

4. ()1,()12,()123[]()6914f x x x f x x x f x x x P x f x x x =++=++=++=++证明是线性空间的一组基,并求在这组基下的坐标.

5．当a 、b 、c 为何值时，矩阵A

= 00010a b

c ??

? ? ? ?

是正交阵.

6．设 α 是n 维非零列向量, E 为n 阶单位阵, 证明:T T E A αααα）（/2-

=为正交矩阵. 7．设T E A αα2-=, 其中12,,,T

n a a a α=L （）, 若 ααT = 1. 证明A 为正交阵.

8. , , , 0.A B n A B A B =-+=设均为阶正交矩阵且证明

高等代数II期末考试试卷及答案A卷

高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷）一、填空题（每小题3分，共15分） 1、线性空间[]P x 的两个子空间的交() ()11L x L x -+= 2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基，由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下的坐标是 3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵，则A 与B 的关系是 4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()2 1,,1,λλ λ+ 则其特征矩阵E A λ-的标准形是 5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1、（）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间；（B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间；（C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；（D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。 2、（）设是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：

（A ）的核是零子空间的充要条件是是满射；（B ）的核是V 的充要条件是是满射；（C ）的值域是零子空间的充要条件是是满射；（D ）的值域是V 的充要条件是是满射。 3、（）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0; A A B A λλ≠是一个非零常数； ()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。 4、（）设实二次型 f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为： 222 1122...n n y y y λλλ+++，则其中的12,,...n λλλ是： ()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。 5、（）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当标准形是： ()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---?? ?? ?? ? ? ? --- ? ? ? ? ? ?---?????? ()D 以上各情形皆有可能。三、是非题（每小题2分，共10分）（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“?”） 1、（）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}1 20V V = 则12V V V =⊕。 2、（）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下的矩阵是一对角矩阵。

高等代数(下)期终考试题及答案(B卷)

高等代数(下）期末考试试卷及答案（B 卷）一．填空题（每小题3分，共21分） 1. 223[]-2-31,(-1),(-1)P x x x x x 在中,在基下的坐标为 2. 设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,, ,n λλλ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为 . 3.'=n 在数域P 上的线性空间P[x]中,定义线性变换:(,则的值域())()A A f x f x A ()-n P[x]= ,的核(0)= 1A A A 4．已知3阶λ-矩阵A （λ）的标准形为21 0 00 00 0λλλ?? ? ? ?+?? ，则A （λ）的不变因子________________________； 3阶行列式因子 D 3 =_______________. 5. 若4阶方阵A 的初等因子是（λ-1）2，（λ-2），（λ-3），则A 的若当标准形 J= 6.在n 维欧氏空间V 中，向量ξ在标准正交基12,,,n ηηη下的坐标是 12(,,,)n x x x ，那么(,)i ξη＝ 7. 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是．二. 选择题( 每小题2分，共10 分) 1.( ) 已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间，则dim(V)为 (A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4 2. ( ) 下列哪个条件不是n 阶复系数矩阵A 可对角化的充要条件 (A) A 有n 个线性无关的特征向量； (B) A 的初等因子全是1次的； (C) A 的不变因子都没有重根； (D) A 有n 个不同的特征根； 3．( ) 设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A

第七章线性变换总结篇(高等代数)

第 7章线性变换 7.1知识点归纳与要点解析一．线性变换的概念与判别 1.线性变换的定义数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换，如果对V 中任意的元素,αβ和数域P 中的任意数k ，都有：()()()σαβσασβ+=+，()()k k σασα=。注：V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。 2.线性变换的判别设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换，那么： σ为V 的线性变换?()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+?∈?∈ 3.线性变换的性质设V 是数域P 上的线性空间，σ为V 的线性变换，12s ,,,,V αααα?∈。性质1. ()()00,σσαα==-; 性质2. 若12s ,, ,ααα线性相关，那么()()()12s ,, ,σασασα也线性相关。性质3. 设线性变换σ为单射，如果12s ,, ,ααα线性无关，那么()()()12s ,, ,σασασα 也线性无关。注：设V 是数域P 上的线性空间，12,,,m βββ，12,,,s γγγ是V 中的两个向量组，如果： 11111221221122221122s s s s m m m ms s c c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=++ + 记：

()()112111222 2121212,,,,, ,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ?? ? ? = ? ??? 于是，若()dim V n =，12,, ,n ααα是V 的一组基，σ是V 的线性变换， 12,, ,m βββ是 V 中任意一组向量，如果： ()()()11111221221122221122n n n n m m m mn n b b b b b b b b b σβααασβααασβααα=+++=+++=++ + 记： ()()()()()1212,,,,m m σβββσβσβσβ= 那么： ()()1121 112222121212,,,,, ,m m m n n n mn b b c b b c b b c σβββααα?? ? ? = ? ??? 设112111222212m m n n mn b b c b b c B b b c ?? ? ? = ? ??? ，12,,,m ηηη是矩阵B 的列向量组，如果12,,,r i i i ηηη是 12,, ,m ηηη的一个极大线性无关组，那么()()() 12 ,r i i i σβσβσβ就是 ()()()12,m σβσβσβ的一个极大线性无关组，因此向量组()()()12,m σβσβσβ的秩等于秩()B 。 4. 线性变换举例（1）设V 是数域P 上的任一线性空间。零变换： ()00,V αα=?∈；恒等变换：(),V εααα=?∈。幂零线性变换：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换，如果存在正整数m ，使得σ =m 0，就称σ为幂零变换。

大一第二学期高数期末考试题(含答案)

大一第二学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ．　求，，设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x

高等代数北大版教案-第3章线性方程组

------------------------------------------------------------------------------------------------------------第三章线性方程组 §1消元法一授课内容：§1消元法二教学目的：理解和掌握线性方程组的初等变换，同解变换，会用消元法解线性方程组. 三教学重难点：用消元法解线性方程组. 四教学过程：所谓的一般线性方程组是指形式为 ???????=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ....................................................22112222212111212111 （1）的方程组，其中n x x x ,,,21Λ代表n 个未知量，s 是方程的个数，ij a （s i ,,2,1Λ=，n j ,,2,1Λ=）称为方程组的系数，j b （s j ,,2,1Λ=）称为常数项. 所谓方程组（1）的的一个解就是指由n 个数组成的有序数组（n k k k ,,,21Λ），当 n x x x ,,,21Λ分别用 n k k k ,,,21Λ 代入后，（1）中每个等式变为恒等式，方程组（1）的解的全体称为它的解集合. 解方程组实际上就是找出它的全部解，或则说，求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的. 显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个方程组就基本上确定了，确切的说，线性方程组（1）可以用如下的矩阵

高等代数试题附答案

科目名称：《高等代数》姓名：班级：考试时间：120分钟考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为。 2、向量组 ()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩为，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是，特征向量分别为。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（）

5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变换。其中),,,()(24232221x x x x =ξδ。（） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（） 7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。（） 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。（） 9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是 )(2R M 的子空间。（） 10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。（）三、明证题（每小题××分，共31分） 1、设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换，证明：A 可逆当且仅当n A A A εεε,,,21 线性无关。（10） 2、设δ是n 维欧氏空间V 的一个线性变幻，证明：如果δ是对称变幻， 2δ=l 是单位变幻，那么δ是正交变换。（11） 3、设V 是一个n 维欧氏空间，证明：如果21,W W 都是V 得子空间，那么() ⊥⊥⊥ =+2121W W W W 。（10）四、计算题（每小题8分，共24分） 1、求矩阵??? ? ? ??---=466353331A 的特征根与特征向量，并求满秩矩阵P 使得AP P 1-为对角形矩阵。 2、求一个正交矩阵U ，使得AU U '使对角形式，其中

高等代数教案第四章线性方程组

第四章线性方程组一综述线性方程组是线性代数的主要内容之一.本章完满解决了关于线性方程组的三方面的问题,即何时有解、有解时如何求解、有解时解的个数,这在理论上是完美的. 作为本章的核心问题是线性方程组有解判定定理（相容性定理）,为解决这个问题,从中学熟知的消元法入手,分析了解线性方程组的过程的实质是利用同解变换,即将方程的增广矩阵作行变换和列的换法变换化为阶梯形（相应得同解方程组）,由此相应的简化形式可得出有无解及求其解.为表述由此得到的结果,引入了矩阵的秩的概念,用它来表述相容性定理.其中实质上也看到了一般线性方程组有解时,也可用克莱姆法则来求解（由此得所谓的公式解——用原方程组的系数及常数项表示解）.内容紧凑,方法具体.其中矩阵的秩的概念及求法也比较重要,也体现了线性代数的重要思想（标准化方法）. 线性方程组内容的处理方式很多,由于有至少五种表示形式,其中重要的是矩阵形式和线性形式,因而解线性方程组的问题与矩阵及所谓线性相关性关系密切；本教材用前者（矩阵）的有关问题讨论了有解判定定理,用后者讨论了（有无穷解时）解的结构.实际上线性相关性问题是线性代数非常重要的问题,在以后各章都与此有关.另外,从教材内容处理上来讲,不如先讲矩阵及线性相关性,这样关于线性方程组的四个问题便可同时讨论. 二要求掌握消元法、矩阵的初等变换、秩、线性方程组有解判定定理、齐次线性方程组的有关理论. 重点：线性方程组有解判别法,矩阵的秩的概念及求法. 4.1 消元法一教学思考本节通过具体例子分析解线性方程组的方法——消元法,实质是作方程组的允许变换（同解变换）化为标准形,由此得有无解及有解时的所有解.其理论基础是线性方程组的允许变换（换法、倍法、消法）是方程组的同解变换.而从形式上看,施行变换的过程仅有方程组的系数与常数项参与,因而可用矩阵（线性方程组的增广矩阵）表述,也就是对（增广）矩阵作矩阵的行（或列换法）初等变换化为阶梯形,进而化为标准阶梯形,其体现了线性代数的一种重要的思想方法——标准化的方法. 二内容要求主要分析消元法解线性方程组的过程与实质,以及由同解方程组讨论解的情况（存在性与个数）,为下节作准备,同时指出引入矩阵的有关问题（初等变换等）的必要性,矩阵的初等变换和方程组的同解变换间的关系. 三教学过程 1．引例：解方程组???? ?????=++=++=++2534233351 3121321321321x x x x x x x x x （1）定义：我们把上述三种变换叫做方程组的初等变换,且依次叫换法变换、倍法变换、消法变换. 2．消元法的理论依据 3．转引在上面的讨论中,我们看到在对方程组作初等变换时,只是对方程组的系数与常数项进行了运算,而未知数没有参加运算,也就是说线性方程组有没有解以及有什么样的解完全决定于它的系数和常数项,因此在讨论线性方程组时,主要是研究它的系数和常数项.因而消元法的过程即用初等变换把方程组化为阶梯形方程组,来解决求解问题,此可转用另一种形式表述.为此引入：

高等代数第四章线性变换

第四章线性变换习题精解 1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1）在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3）在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4）在P 3 中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5）在P[x ]中，A )1()(+=x f x f 6）在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ= 8）在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是. 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是. 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α. 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β A =)(αk A ),,(321kx kx kx ),,2() ,,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-= = k A )(α 故A 是P 3 上的线性变换. 5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f 故A 为][x P 上的线性变换. 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g ) A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 7)不是.例如取a=1,k=I,则

习题与复习题详解(线性空间)----高等代数

习题5. 1 1．判断全体n 阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间．答是．因为是通常意义的矩阵加法与数乘, 所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性. 由n 阶实对称矩阵的性质知，n 阶实对称矩阵加n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵，数乘n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵, 所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭, 构成实数域上的线性空间. 2．全体正实数R +, 其加法与数乘定义为 ,,k a b ab k a a a b R k R +⊕==∈∈o 其中判断R +按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间. 答是. 设,R λμ∈. 因为,a b R a b ab R + + ?∈?⊕=∈, ,R a R a a R λλλ++?∈∈?=∈o , 所以R + 对定义的加法与数乘运算封闭. 下面一一验证八条线性运算规律 (1) a b ab ba b a ⊕===⊕; (2) ()()()()()a b c ab c ab c abc a bc a b c ⊕⊕=⊕====⊕⊕; (3) R +中存在零元素1, ?a R +∈, 有11a a a ⊕=?=; (4) 对R +中任一元素a ，存在负元素1n a R -∈, 使111a a aa --⊕==; (5)11a a a ==o ; (6)()()a a a a a λ μμλμλμλλμ??==== ??? o o o o ; (7) ()a a a a a a a a λμμμλλλμλμ++===⊕=⊕o o o ; 所以R +对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间. 3. 全体实n 阶矩阵，其加法定义为按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间. 答否. A B B A ∴⊕⊕与不一定相等. 故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则（１）, 全体实n 阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实数域上的线性空间. 4．在22P ?中，{}2222/0,,W A A A P W P ??==∈判断是否是的子空间.

高等代数试题及答案

中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷

授课教师命题教师或命题负责人签字年月日院系负责人签字年月日共 2 页第 2 页

中国海洋大学 XXXX-XXXX 学年第X 学期期末考试试卷五(10分)证明：设A 为n 级矩阵,()g x 是矩阵A 的最小多项式,则多项式()f x 以A 为根的充要条件是()g x |()f x . 六(10分)设V 是数域P 上的n 维线性空间,A B ,是V 上的线性变换，且=AB BA .证明:B 的值域与核都是A 的不变子空间. 七(10分)设2n 阶矩阵a b a b A b a b a ??????? ? =? ?? ??????? O N N O ,a b ≠,求A 的最小多项式. 八(10分)设f 是数域P 上线性空间V 上的线性变换,多项式()(),p x q x 互素,且满足 ()()0p f q f =(零变换) 求证：()()()(),ker ,ker V W S W p f S q f =⊕==

中国海洋大学 2007-2008学年第2学期期末考试数学科学学院《高等代数》试题(A 卷)答案一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解：A =???? ????????1111111111111111， 3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： 11111 ,,,)'2222α＝( ，2α＝， 3α＝，4'α＝. 所以正交阵1 212 102610 2 T ?????? ?=??- ?? ???????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 010011 0n E D E -???? ? ??? ??== ????? ?????? O O O ，D 为循环阵， 00n k k k E D E -?? = ??? ，(k E 为k 阶单位阵) 则2 1 ,,,,n n D D D D E -=L 在P 上线性无关.

高等代数北大版教案-第6章线性空间

第六章线性空间 §1 集合映射一授课内容:§1 集合映射二教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算,求和号与乘积号的定义. 三教学重点:集合映射的有关定义. 四教学难点:集合映射的有关定义. 五教学过程: 1.集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念定义:(集合的交、并、差) 设S 是集合,A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集,记作B A ?；把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集,记做B A ?；从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集,记做B A \. 定义:(集合的映射) 设A 、B 为集合.如果存在法则f ,使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素(记做)(a f ),则称f 是A 到B 的一个映射,记为 ).(,:a f a B A f → 如果B b a f ∈=)(,则b 称为a 在f 下的像,a 称为b 在f 下的原像.A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像,记做)(A f ,即 {}A a a f A f ∈=|)()(. 若,'A a a ∈≠?都有),'()(a f a f ≠ 则称f 为单射.若 ,B b ∈?都存在 A a ∈,使得b a f =)(,则称f 为满射.如果f 既是单射又是满射,则称f 为双射,或称一一对应. 2.求和号与求积号 (1)求和号与乘积号的定义为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号. 设给定某个数域K 上n 个数n a a a ,,,21 ,我们使用如下记号:

高等代数试题库上课讲义

高等代数试题库

《高等代数》试题库一、选择题 1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（）。 A ．零多项式 B ．零次多项式 C ．本原多项式 D ．不可约多项式 2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （）。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．以下命题不正确的是（）。 A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则； B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域； C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式； D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式 4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。 A . 充分 B . 充分必要 C .必要 D ．既不充分也不必要 5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。 A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f = B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ± C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈?，有)()()(x h x g x f D .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f 6．对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为 D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。 A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立 7．下面论述中, 错误的是( ) 。

高等代数线性变换自测题

线性变换自测题一、填空题（每小题3分，共18分） 1．σ是22?F 上的线性变换，若??? ? ??=100 71 )(A σ，则=-)3(A σ ． 2．σ：22R R →，)0,2(),(y x y x +-=σ；τ：22R R →，) ,3(),(y x y y x + -=τ，则=+),)((y x τσ ．=),)((y x τσ ．=-),)(2(y x σ ． 3．设???? ? ?=2231 A ，则向量???? ??11是A 的属于特征值的特征向量． 4．若???? ? ??--=10 0001 011 A 与???? ? ? ?--10101 01k k B 相似，则k = ． 5．设三阶方阵A 的特征多项式为322)(2 3 +--=λλλλf ，则=||A ． 6．n 阶方阵A 满足A A =2，则A 的特征值为．二、判断说明题（每小题5分，共20分） 1．n 阶方阵A 至少有一特征值为零的充分必要条件是0||=A ． 2．已知1 -=PBP A ，其中P 为n 阶可逆矩阵，B 为一个对角矩阵．则A 的特征向量与P 有关． 3．σ为V 上线性变换，n ααα,,,21 为V 的基，则)(,),(),(21n ασασασ 线性无关． 4．α为V 上的非零向量，σ为V 上的线性变换，则} )(|{)(1 αησηασ==-是 V 的子空间．三、计算题（每小题14分，共42分） 1．设??? ? ? ? ?----=a A 3 3242 111 与??? ? ? ??=b B 0 0020 002 相似．（1）求b a ,的值；（2）求可逆矩阵，使B AP P =-1．

高等代数北大版课程教案-第3章线性方程组

第三章线性方程组 §1消元法一授课内容：§1消元法二教学目的：理解和掌握线性方程组的初等变换，同解变换，会用消元法解线性方程组. 三教学重难点：用消元法解线性方程组. 四教学过程：所谓的一般线性方程组是指形式为 ???????=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ....................................................22112222212111212111 （1）的方程组，其中n x x x ,,,21Λ代表n 个未知量，s 是方程的个数，ij a （s i ,,2,1Λ=，n j ,,2,1Λ=）称为方程组的系数，j b （s j ,,2,1Λ=）称为常数项. 所谓方程组（1）的的一个解就是指由n 个数组成的有序数组（n k k k ,,,21Λ），当 n x x x ,,,21Λ分别用 n k k k ,,,21Λ 代入后，（1）中每个等式变为恒等式，方程组（1）的解的全体称为它的解集合. 解方程组实际上就是找出它的全部解，或则说，求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的. 显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个方程组就基本上确定了，确切的说，线性方程组（1）可以用如下的矩阵 ?????? ? ??s sn s s n n b b b a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛΛ21212222111211 来表示. 在中学代数里，我们学习过用加减消元法和代入消元法解二元，三元

2019高数(下)试题及答案

第二学期期末考试试卷一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是（）（A ）通过y 轴（B ）通过x 轴（C ）垂直于y 轴（D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的（）（A ）充要条件（B ）充分但非必要条件（C ）必要但非充分条件（D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（）（A ）e （B ）()e dx dy +

（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（）（A ）敛散性不确定（B ）发散（C ）条件收敛（D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（）（A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==，求该平面方程．四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数，试求z x ??和2z x y ???．五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???，其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤．六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，

线性方程组的矩阵求法.

线性方程组的矩阵求法摘要：关键词：第一章引言矩阵及线性方程组理论是高等代数的重要内容, 用矩阵方法解线性方程组又是人们学习高等代数必须掌握的基本技能,本文将给出用矩阵解线性方程组的几种方法，通过对线性方程组的系数矩阵（或增广矩阵）进行初等变换得到其解，并列举出几种用矩阵解线性方程组的简便方法。第二章用矩阵消元法解线性方程组第一节预备知识定义1：一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫作这个矩阵的秩。定理1：初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组。定义2：定义若阶梯形矩阵满足下面两个条件：（1）B的任一非零行向量的第一个非零分量（称为的一个主元）为1；（2）B中每一主元是其所在列的唯一非零元。则称矩阵为行最简形矩阵。第二节 1．对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于对它的增广矩

阵施行一个对应的行初等变换，而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵，因此，我们将要通过花间矩阵来讨论化简线性方程组的问题。这样做不但讨论起来比较方便，而且能给我们一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次都把未知量写出来。下面以一般的线性方程组为例，给出其解法：（1） 11112211 21122222 1122 , , . n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++= +++= +++ = 根据方程组可知其系数矩阵为：（2） 11121 21222 12 n n m m mn a a a a a a a a a ?? ? ? ? ? ??? 其增广矩阵为：（3） 111211 212222 12 n n m m mn m a a a b a a a b a a a b ?? ? ? ? ? ??? 根据（2）及矩阵的初等变换我们可以得到和它同解的线性方程组，并很容易得到其解。定理2：设A是一个m行n列矩阵

高等代数-第四章-线性变换

广东海洋大学第二学期高数试题与答案

广东海洋大学 2014—2015学年第二学期《高等数学》课程试题课程号：考试 A 卷闭卷一 . 填空（3×8=24分） 1. 设}{1,2,1-=a ，}{0,1,x b =→ ，→ ⊥b a ，则=x 2. 设}{1,0,2-=a ，}{0,1,0=→b ，则=?b a 3. 曲面222y x z +=在点)2,1,1(处的切平面方程为 4. 将xoz 平面上的曲线14 2 2 =- z x 绕x 轴旋转一周所得的旋转曲面的方程为 5. 函数)3ln(22y x z ++=的驻点为 6.设L 为连接)0,1(-到点)1,0(的直线段，则=-?ds x y L ) ( 7.幂级数∑ ∞ =1 3 n n n x 的收敛半径为 8.微分方程x e y 3-=''的通解为=y 二 .计算题（7×2=14分） 1. 设)ln(22y x y z +=，求dz . 2.设函数),(y x f z =是由方程333a x yz z =+-所确定的具有连续偏导数的函数，求22,x z x z ????. 三 .计算下列积分（7×4=28分）姓名：学号：试题共 5 页加白纸 3 张密封线 GDOU-B-11-302

1. dxdy x y D )(2 ?? -，其中D 是由0=y , 2x y =及1=x 所围成的闭区域。 2.证明曲线积分dy xy x dx y xy )2()2(2) 1,1()0.0(2-+-?在整个xoy 平面内与路径无关，并计算积分值。 3. 计算 ??∑ -+-+-dxdy z dzdx y dydz x )3()2()1(, 其中∑是球面 9222=++z y x 的外侧。 4.计算dxdy y x D ?? ++2 211，其中D 是由2522≤+y x 围成的闭区域。四 .计算题（7×4=28分） 1. 判别级数 2 1 21)1(n n n +-∑∞ = 是否收敛若收敛，是绝对收敛还是条件收敛 2. 将函数3 1 )(-=x x f 展开为x 的幂级数。 3. 求微分方程 62=+y dx dy 满足初始条件20 ==x y 的特解。 4.求微分方程x e y y ='+''的通解。五.证明 ??? -= π π π000 )()()(y dx x f x dx x f dy （6分） 2014-2015学年第二学期《高等数学》A 卷（参考答案及评分标准课程号：19221101×2 一、填空（3×8=24分） 1. 2-； 2. }{ 2,0,1 ； 3. 02=-+z y x ； 4. 4.14 2 22 =+- z y x ；

高等代数第七章线性变换复习讲义

第七章线性变换一.线性变换的定义和运算 1.线性变换的定义（1）定义：设V是数域p上的线性空间，A是V上的一个变换，如果对任意α，β∈V和k∈P都有A（α＋β）=A（α）+A（β），A（kα）=kA（α）则称A为V的一个线性变换。（2）恒等变换（单位变换）和零变换的定义：ε（α）=α，ο（α）=0，任意α∈V. 它们都是V的线性变换。（3）A是线性变换的充要条件：A（kα+lβ）=kA(α)+lA(β),任意α，β∈V，k，l∈P. 2.线性变换的性质设V是数域P上的线性空间，A是V的线性变换，则有（1）A（0）=0；（2）A（-α）=-A（α），任意α∈V；（3）A（∑kiαi）=ΣkiA（α），α∈V，ki∈P，i=1,…,s;（4）若α1，α2，…,αs∈V,且线性相关，则A（α1），A （α2），…,A(αs)也线性相关，但当α1，α2，…,α s线性无关时，不能推出A（α1），A（α2），…,A(α

s)线性无关。 3.线性变换的运算

4.线性变换与基的关系（1）设ε1，ε2，…,εn是线性空间v的一组基，如果线性变换A和B在这组基上的作用相同，即Aεi=Bεi，i=1,2，…,n,则有A=B. （2）设ε1，ε2，…,εn是线性空间v的一组基，对于V 中任意一组向量α1，α2，…,αn,存在唯一一个线性变换A 使Aεi=αi,i=1,2，…,n. 二．线性变换的矩阵 1.定义：设ε1，ε2，…,εn是数域P上n维线性空间v的一组基，A是V中的一个线性变换，基向量的像可以被基线性表出 Aε1=a11ε1+a21ε2+…an1εn Aε2=a12ε1+a22ε2+…an2εn …… Aεn= a1nε1+a2nε2+…annεn 用矩阵表示就是A（ε1，ε2，…,εn）=（ε1，ε2，…,εn）A,其中 a 11 a 12 …… a 1n a 21 a 22 …… a 2n A= …… a n1 a n2 …… a nn 称为A在基ε1，ε2，…,εn下的矩阵。 2.线性变换与其矩阵的关系（1）线性变换的和对应于矩阵的和；（2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；（3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；