一、初一数学一元一次方程解答题压轴题精选(难)
1.如图1,O为直线AB上一点,过点O作射线OC,∠AOC=30°,将一直角三角板(∠M=30°)的直角顶点放在点O处,一边ON在射线OA上,另一边OM与OC都在直线AB的上方.
(1)将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周.如图2,经过t秒后,OM恰好平分∠BOC.①求t的值;②此时ON是否平分∠AOC?请说明理由;
(2)在(1)问的基础上,若三角板在转动的同时,射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周,如图3,那么经过多长时间OC平分∠MON?请说明理由;
(3)在(2)问的基础上,经过多长时间OC平分∠MOB?请画图并说明理由.
【答案】(1)解:①∵∠AON+∠BOM=90°,∠COM=∠MOB,
∵∠AOC=30°,
∴∠BOC=2∠COM=150°,
∴∠COM=75°,
∴∠CON=15°,
∴∠AON=∠AOC﹣∠CON=30°﹣15°=15°,
解得:t=15°÷3°=5秒;
②是,理由如下:
∵∠CON=15°,∠AON=15°,
∴ON平分∠AOC
(2)解:15秒时OC平分∠MON,理由如下:
∵∠AON+∠BOM=90°,∠CON=∠COM,
∵∠MON=90°,
∴∠CON=∠COM=45°,
∵三角板绕点O以每秒3°的速度,射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转,
设∠AON为3t,∠AOC为30°+6t,
∵∠AOC﹣∠AON=45°,
可得:6t﹣3t=15°,
解得:t=5秒
(3)解:OC平分∠MOB
∵∠AON+∠BOM=90°,∠BOC=∠COM,
∵三角板绕点O以每秒3°的速度,射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转,
设∠AON为3t,∠AOC为30°+6t,
∴∠COM为(90°﹣3t),
∵∠BOM+∠AON=90°,
可得:180°﹣(30°+6t)= (90°﹣3t),
解得:t=23.3秒;
如图:
【解析】【分析】(1)①根据∠AON+∠BOM=90°,∠COM=∠MOB,及平角的定义∠BOC=2∠COM=150°,故∠COM=75°,根据角的和差得出∠CON=15°从而得到AON=∠AOC ﹣∠CON=30°﹣15°=15°,根据旋转的速度,就可以算出t的值了;②根据∠CON=15°,∠AON=15°,即可得出ON平分∠AOC ;
(2)15秒时OC平分∠MON,理由如下:∠AON+∠BOM=90°,∠CON=∠COM,从而得出∠CON=∠COM=45°,又三角板绕点O以每秒3°的速度,射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转,设∠AON为3t,∠AOC为30°+6t,根据∠AOC﹣∠AON=45°得出含t的方程,求解得出t的值;
(3)根据∠AON+∠BOM=90°,∠BOC=∠COM,及三角板绕点O以每秒3°的速度,射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转,故设∠AON为3t,∠AOC为30°+6t,从而得到∠COM
为(90°﹣3t),又∠BOM+∠AON=90°,从而得出含t的方程,就能解出t的值。
2.今年夏天,我州某地区遭受罕见的水灾,“水灾无情人有情”,州里某单位给该地区某中学捐献一批饮用水和蔬菜共320件,其中饮用水比蔬菜多80件。
(1)求饮用水和蔬菜各有多少件。
(2)现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆,一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往受灾地区某中学。已知每辆甲型货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件,每辆乙型货车最多可装饮用水和蔬菜各20件,则该单位安排甲、乙两种货车时有几种方案?请你帮忙设计出来。
(3)在(2)的条件下,如果甲型货车每辆需付运费400元,乙型货车每辆需付运费360元。该单位应选择哪种方案可使运费最少?最少运费是多少元?
【答案】(1)解:设蔬菜有x件,根据题意得
解得:
答:蔬菜有件、饮用水有件
(2)解:设安排甲种货车a辆,根据题意得
解得:
∵a为正整数
∴或或
∴有三种方案:①甲种货车2辆,乙种货车6辆;
②甲种货车3辆,乙种货车5辆;
③甲种货车4辆,乙种货车4辆
(3)解:方案①:(元)
方案②:(元)
方案③:(元)
∵
∴选择方案①可使运费最少,最少运费是元
【解析】【分析】(1)设蔬菜有x件,根据题意列出方程,求出方程的解,即可求解;(2)设安排甲种货车a辆,根据题意列出不等式组,求出不等式组的解集,由a为正整数,得出a为2或3或4,即可求出有三种方案;
(3)分别求出三种方案的运费,即可求解.
3.约定:上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数.
示例:如图1,即4+3=7,观察图2,求:
(1)用含x的式子分别表示m和n;
(2)当y=-7时,求n的值。
【答案】(1)解:根据约定的方法可得:
m=x+2x=3x;
n=2x+3;
(2)解:x+2x+2x+3=m+n=y
当y=-7时,5x+3=-7
解得x=-2.
∴n=2x+3=-4+3=-1
【解析】【分析】(1)根据约定:上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数,分别列式即可;
(2)根据约定可得m+n=y,代入上题的关系整理可得关于x的一元一次方程,解出x, 代入n的表达式求值即可.
4.已知数轴上A.B两点对应的数分别为?4和2,点P为数轴上一动点,其对应的数为x.
(1)若点P到点A.点B的距离相等,写出点P对应的数;
(2)数轴上是否存在点P,使点P到点A.点B的距离之和为10?若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由;
(3)若点A点B和点P(点P在原点)同时向右运动,它们的速度分别为2、1、1个长度单位/分,问:多少分钟后P点到点A点B的距离相等?(直接写出结果)
【答案】(1)解:∵A、B两点对应的数分别为?4和2,
∴AB=6,
∵点P到点A. 点B的距离相等,
∴P到点A. 点B的距离为3,
∴点P对应的数是?1
(2)解:存在;
设P表示的数为x,
①当P在AB左侧,PA+PB=10,
?4?x+2?x=10,
解得x=?6,
②当P在AB右侧时,
x?2+x?(?4)=10,
解得:x=4
(3)解:∵点B和点P的速度分别为1、1个长度单位/分,
∴无论运动多少秒,PB始终距离为2,
设运动t分钟后P点到点A. 点B的距离相等,
|?4+2t|+t=2,
解得:t=2
【解析】【分析】(1)根据点P到点A、点B的距离相等,结合数轴可得答案;(2)此题要分两种情况:①当P在AB左侧时,②当P在AB右侧时,然后再列出方程求解即可;(3)根据题意可得无论运动多少秒,PB始终距离为2,且P在B的左侧,因此A也必须在A的左侧,才有P点到点A、点B的距离相等,设运动t分钟后P点到点A、点B 的距离相等,表示出AP的长,然后列出方程即可.
5.一根长80厘米的弹簧,一端固定,如果另一端挂上物体,那么在正常情况下物体的质量每增加1千克可使弹簧增长2厘米。
(1)正常情况下,当挂着千克的物体时,弹簧的长度是多少厘米?
(2)正常情况下,当挂物体的质量为6千克时,弹簧的长度是多少厘米?
(3)正常情况下,当弹簧的长度是120厘米时,所挂物体的质量是多少千克?
(4)如果弹簧的长度超过了150厘米时,弹簧就失去弹性,问此弹簧能否挂质量为40千克的物体?为什么?
【答案】(1)解:由题意得:y=80+2x,
答:弹簧的长度是(80+2x)厘米
(2)解:∵y=80+2x,
∴当x=6时,y=80+2×6=92,
答:弹簧的长度是92厘米
(3)解:∵y=80+2x,
∴当y=120时,120=80+2x,
∴x=20,
答:所挂物体的质量是20千克。
(4)解:∵y=80+2x,
∴当x=40时,y=80+2×40=160(厘米)>150(厘米)
∴此弹簧不能挂质量为40千克的物体.
【解析】【分析】(1)由题意,物体的质量每增加1千克可使弹簧增长2厘米,于是可知物体的质量与弹簧的长度有关系.弹簧的长度=弹簧的原长+伸长的长度;弹簧伸长的长度=物体的质量×2厘米;根据这个关系可求解;
(2)把x=6代入(1)中的关系式计算即可求解;
(3)把y=120代入(1)中的关系式计算即可求解;
(4)同理可求解.
6.某县外出的农民工准备集体包车回家过春节,如果单独租用45座客车若干辆,刚好坐满;如果单独租用60座客车,可少租1辆,且余15个座位.
(1)求准备包车回家过春节的农民工人数;
(2)已知租用45座客车的租金为每辆车5000元,60座客车的租金为每辆车6000元,问租用哪种客车更合算?请说明理由.
【答案】(1)解:设需单独租45座客车x辆,依题意得
45x=60(x-1)-15
解这个方程,得 x=5
则45x=45×5=225
答:准备回家过春节的农民工有225人
(2)解:由(1)知,需租5辆45座客车或4辆60座客车;
而租5辆45座客车的费用为 5×5000=25000(元),
租4辆60座客车的费用为4×6000=24000(元).
故,租4辆60座客车更合算
【解析】【分析】(1)设需单独租45座客车x辆,根据单独租用45座客车若干辆,刚好坐满;如果单独租用60座客车,可少租1辆,且余15个座位列出方程解出答案即可;(2)根据(1)知,需租5辆45座客车或4辆60座客车和租用45座客车的租金为每辆车5000元,60座客车的租金为每辆车6000元,求出答案即可。
7.甲乙两人相约元旦一起到某书店购书,恰逢该书店举办全场9.5折的新年优惠活动.甲乙两人在该书店共购书15本,优惠前甲平均每本书的价格为20元,乙平均每本书的价格为25元,优惠后甲乙两人的书费共323元.
(1)问甲乙各购书多少本?
(2)该书店凭会员卡当日可以享受全场8.5折优惠,办理一张会员卡需交20元工本费.如果甲乙两人付款前立即合办一张会员卡,那么比两人不办会员卡购书共节省多少钱?
【答案】(1)解:设甲购书x本,则乙购书(15﹣x)本,
根据题意得:[20x+25(15﹣x)]×0.95=323,
解得:x=7,
∴15﹣x=8.
答:甲购书7本,乙购书8本
(2)解:(20×7+25×8)×0.85+20=309(元),
323﹣309=14(元).
答:办会员卡比不办会员卡购书共节省14元钱
【解析】【分析】(1)设甲购书x本,则乙购书(15﹣x)本,根据两人买书共消费了323元列出方程,求解即可;(2)先求出办会员卡购书一共需要多少钱,再用323元减去这个钱数即可.
8.仔细阅读下列材料.
“分数均可化为有限小数或无限循环小数”,反之,“有限小数或无限小数均可化为分数”.
例如: =1÷4=0.25; = =8÷5=1.6; =1÷3= ,反之,0.25= = ;1.6= = = .那么,怎么化成分数呢?
解:∵ ×10=3+ ,∴不妨设 =x,则上式变为10x=3+x,解得x= ,即 = ;∵ = ,设 =x,则上式变为100x=2+x,解得x= ,
∴ = =1+x=1+ =
(1)将分数化为小数: =________, =________;
(2)将小数化为分数:=________;=________。
(3)将小数化为分数,需要写出推理过程.
【答案】(1)1.8;
(2)
;
(3)解:设 =x,则100x=95+x,解得:x= =1+ =
【解析】【解答】(1)9÷5=1.8,22÷7= ;(2)设0. x,根据题意得:10x=5+x,解得:x ;
设0. x,则10x=6+x,解得:x .
.
故答案为:.
【分析】(1)由已学过的知识可知:分数均可化为有限小数或无限循环小数;是一个
有限小数,是一个无限循环小数;
(2)由阅读材料可求解;
(3)由阅读材料可知,设循环节为x,即 =x,由材料可得方程 100x=95+x,解方程即可求解。
9.对于三个数a,b,c,用 b,表示a,b,c这三个数的平均数,用 b,表示a,b,c这三个数中最小的数,如: 2,, 2, .
(1)若,求x的值;
(2)已知, 0,,是否存在一个x值,使得
0,若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)解:由题意:,
,
解得: .
(2)解:由题意:,
若,则 .
解得 .
此时与条件矛盾;
若,则 .
解得 .
此时与条件矛盾;
不存在.
【解析】【分析】(1)由,结合题意得,解之可得;(2)由,再分和两种情况分别求解可得.
10.小明和父母打算去某火锅店吃火锅,该店在网上出售“ 元抵元的全场通用代金券”(即面值元的代金券实付元就能获得),店家规定代金券等同现金使用,一次消费最多可用张代金券,而且使用代金券的金额不能超过应付总金额.
(1)如果小明一家应付总金额为元,那么用代金券方式买单,他们最多可以优惠多少元:
(2)小明一家来到火锅店后,发现店家现场还有一个优惠方式: 除锅底不打折外,其余菜品全部折.小明一家点了一份元的锅底和其他菜品,用餐完毕后,聪明的小明对比两种优惠,选择了现场优惠方式买单,这样比用代金券方式买单还能少付元.问小明一家实际付了多少元?
【答案】(1)解:
∴最多购买并使用两张代金券,
最多优惠元
(2)解:设小明一家应付总金额为元,
当时,由题意得, .
解得: (舍去).
当时,由题意得, .
解得: (舍去).
当时,由题意得, .
解得: .
∴ .
答:小明一家实际付了元
【解析】【分析】(1)根据,即最多购买并使用两张代金券,即可得到答案;(2)设小明一家应付总金额为元,则对应付金额进行分析,然后列式进行计算,即可得到答案.
11.某城市开展省运会,关心中小学生观众,门票价格优惠规定见表.某中学七年级甲、乙两个班共86人去省运会现场观看某一比赛项目,其中乙班人数多于甲班人数,甲班人数不少于35人.如果两班都以班级为单位分别团体购买门票,则一共应付8120元.
购票张数 1~40张 41~80张 81张(含81张)以上
平均票价(元/张) 100 90 80
买门票能节省多少钱?
(2)问甲、乙两个班各有多少名学生?
(3)如果乙班有m(0<m<20,且m为整数)名学生因事不能参加,试就m的不同取值,直接写出最省钱的购买门票的方案?
【答案】(1)解:一起购买门票,所需费用为:80×86=6880(元),
能节省8120﹣6880=1240(元),
答:联合起来购买门票能节省1240元钱
(2)解:设甲班有x人,
86×90=7740(元),
7740<8120,
∴35≤x≤40,40<86﹣x≤80,
根据题意得:100x+90(86﹣x)=8120,
解得:x=38,
86﹣x=48,
答:甲班有38人,乙班有48人
(3)解:若0<m<6时,此时总人数大于等于81人,则最省钱的购买门票的方案为:购买(86﹣m)张,
当m≥6时,若90(86﹣m)>81×80,解得:m<14,
即6≤m<14时,最省钱的购买门票的方案是:购买81张,
若90(86﹣m)=81×80,解得:m=14,
即m=14时,最省钱的购买门票的方案是:购买81张或72张,
若14<m<20时,最省钱的购买门票的方案为:购买(86﹣m)张,
综上可知:当0<m<6或14<m<20时,购买(86﹣m)张最省钱,
当m=14时,购买72或81张最省钱,
当6≤m<14时,购买81张最省钱
【解析】【分析】(1)依据表格中的数据计算出联合购票的钱数,与分别购买团体票的钱数之间的差为节省出来的钱;(2)依题意设甲班有x人,并且x≥35,确定x的取值范
围,假设两班人数都是41人到80人之间,则方程无解;因为乙班人数多于甲班人数,所以甲班人数在35≤x≤40 乙班人数在40<86﹣x≤80,列方程解方程即可.(3)依据题意分类讨论:①总人数在81人以上时,即0<m<6时,求出(86﹣m)张;②当总人数小于81,当总价款又大于团购81张的总价款时,即6≤m<14时,按81张购买即可;③当总人数小于81,当平均票价为90元的总价款等于团购81张的总价款时,即m=14时,有两种方式购买81张或72张;④当总人数小于81,平均票价为90元是最省钱方式,即14<m<20时,得出(86﹣m)张.
12.如图,已知数轴上点A表示的数为6,B是数轴上一点,且AB=10.动点P从点O出发,以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,设运动时间为t(t>0)秒.
(1)写出数轴上点B表示的数;当t=3时,OP=________
(2)动点R从点B出发,以每秒8个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,若点P,R同时出发,问点R运动多少秒时追上点P?
(3)动点R从点B出发,以每秒8个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,若点P,R同时出发,问点R运动多少秒时PR相距2个单位长度?
【答案】(1)18
(2)解:设点R运动x秒时,在点C处追上点P,则OC=6x,BC=8x,∵BC-OC=OB,∴8x-6x=4,解得:x=2,∴点R运动2秒时,在点C处追上点P
(3)解:设点R运动x秒时,PR=2.分两种情况:一种情况是当点R在点P的左侧时,8x=4+6x-2即x=1;另一种情况是当点R在点P的右侧时,8x=4+6x+2即x=3.
【解析】【解答】(1)解:OB=AB-OA=10-6=4,所以数轴上点B表示的数是-4,OP=3×6=18
【分析】(1)先求出OB的长,即得点B表示的数;利用路程=速度×时间,可求出OP的长.
(2)设点R运动x秒时,可得OC=6x,BC=8x,由BC-OC=OB列出方程,求出x的值即可.
(3)设点R运动x秒时,PR=2.分两种情况:①当点R在点P的左侧时,②当点R在点P的右侧时,分别求出x的值即可.