2019届高考数学专题17圆锥曲线的几何性质
培优点十七 圆锥曲线的几何性质
1．椭圆的几何性质
例1：如图，椭圆()22
22+10x y a b a b =>>的上顶点、左顶点、左焦点分别为B 、A 、F ，中
心为O 3
，则:ABF BFO S S =△△（ ） A ．(23:3 B ．()
233:3
C ．()
23:2
D ．()
233:2
【答案】B
【解析】由ABF ABO BFO S S S =-△△△，得()():::ABF BFO ABO BFO BFO S S S S S ab bc bc =-=-△△△△△ 而
3
c a =
()
:233:3ABF BFO S S =△△，故选B ． 2．抛物线的几何性质
例2：已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线:1l x =-，点M 在抛物线C 上，点M 在直线:1l x =-上的射影为A ，且直线AF 的斜率为3MAF △的面积为（ ） A 3B ．3C ．43D ．83【答案】C 【解析】
设准线l 与x 轴交于点N ，所以2FN =，因为直线AF 的斜率为3-60AFN ∠=?，所以4AF =，
由抛物线定义知，MA MF =，且60MAF AFN ∠=∠=?，所以MAF △是以4为边长的正三2
3443=．故选C ． 3．双曲线的几何性质
例3：已知点P 是双曲线2213664
x y -=的右支上一点，M ，N 分别是圆()2
2104x y ++=和
()
2
2101x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为_________．
【答案】15
【解析】在双曲线22
13664
x y -=中，6a =，8b =，10c =，
()110,0F ∴-，()210,0F ，12212PF PF a -==，
11MP PF MF ≤+，22PN PF NF ≥-，112215PM PN PF MF PF NF ∴-≤+-+=．
一、单选题
1．抛物线()220y px p =>上的动点Q 到其焦点的距离的最小值为1，则p =（ ） A ．12
B ．1
C ．2
D ．4
【答案】C
【解析】抛物线()220y px p =>上的动点Q 到其焦点的距离的最小值即到准线的最小值， 很明显满足最小值的点为抛物线的顶点，据此可知：
12
p
=，2p ∴=．本题选择C 选项． 2．设点1F ，2F 是双曲线2
2
13y x -=的两个焦点，点P 是双曲线上一点，若1234PF PF =，
则12PF F △的面积等于（ ） A ．3B ．315 C ．45D ．210【答案】B
【解析】据题意，124
3
PF PF =
，且122PF PF -=，解得18PF =，26PF =． 又124F F =，在12PF F △中由余弦定理，得2
2
2
1212
1212
7cos 28
PF PF F F F PF PF PF +-∠==
． 从而2121215sin 1cos F PF F PF ∠=-∠，所以12115683152PF F S =??=△，故选B ． 3．经过椭圆2222x y +=的一个焦点作倾斜角为45?的直线l ，交椭圆于M ，N 两点，设O 为坐标原点，则OM ON ?等于（ ） A ．3- B ．13±
C ．13-
D ．12
-
【答案】C
【解析】椭圆方程为2
212
x y +=，2a =，1b =，1c =，取一个焦点()1,0F ，则直线方程
为1y x =-，
代入椭圆方程得2340x x -=，()0,1M -，41,33N ??
???，所以13OM ON =?-，故选C ．
对点增分集训
4．过抛物线()20y mx m =>的焦点作直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PQ 中点的横坐标为3，5
4
PQ m =，则m =（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
【答案】B
【解析】设PQ 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，线段PQ 中点的横坐标为3，则12
32
x x +=，125
644
m PQ x x p m =++=+
=，由此解得6m =．故选B ． 5．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是
边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ） A ．2
213x y -=
B ．2
2
13
y x -=
C ．221412
x y -=
D ．221124
x y -=
【答案】B
【解析】双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF
△是边长为2的
等边三角形（O 为原点），可得2c =，3b
a =，即223
b a =，2223
c a a -=，解得1a =，3b
双曲线的焦点坐标在x 轴，所得双曲线的方程为2
2
13
y x -=，故选B ．
6．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道
Ⅲ绕月飞行．已知椭圆轨道I 和Ⅱ的中心与F 在同一直线上，设椭圆轨道I 和Ⅱ的长半轴长
分别为1a ，2a ，半焦距分别为1c ，2c ，则有（ ） A ．
12
12
c c a a =
B ．1122a c a c -<-
C ．
12
12
c c a a >
D ．1122a c a c ->-
【答案】C
【解析】设圆形轨道Ⅲ的半径为R ，1122a c a c R -=-=，
11111
1c a R R a a a -==-，
22222
1c a R R a a a -==-， 由12a a >知
12
12
c c a a >
，故选C ． 7．已知双曲线22
1:14x C y -=，双曲线()22222:10x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，
M 是双曲线2C 的一条渐近线上的点，且2OM MF ⊥，O 为坐标原点，若216OMF S =△，且双
曲线1C ，2C 的离心率相同，则双曲线2C 的实轴长是（ ） A ．32 B ．4 C ．8 D ．16
【答案】D
【解析】双曲线221:14x C y -=5
，设()2,0F c ，双曲线2C 一条渐近线方程为
b
y x a
=，
可得222
F M b a b =
=+，即有22OM c b a =-，
由216OMF S =△，可得1
162
ab =，即32ab =，又222a b c +=，且5c a =
解得8a =，4b =，45c =16．故选D ．
8．已知F 是抛物线2:2C y x =的焦点，N 是x 轴上一点，线段FN 与抛物线C 相交于点M ， 若2FM MN =，则FN =（ ） A ．1 B ．1
2
C ．52
D ．58
【答案】D
【解析】由题意得点F 的坐标为10,8??
???，设点M 的坐标()00,x y ，点N 的坐标(),0a ，
所以向量：00,18FM x y ?
?=- ???，()00,MN a x y =--，
由向量线性关系可得：03x a =，00124y y -=-，解得：01
12
y =， 代入抛物线方程可得：06x =6a =， 由两点之间的距离公式可得：5
8
FN =．故选D ．
9．已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22
2222222
:10,0x y C a b a b -=>>有相同的焦点
1F ，2F ，
点P 是曲线1C 与2C 的一个公共点，1e ，2e 分别是1C 和2C 的离心率，若12PF PF ⊥，则22
12
4e e +的最小值为（ ） A ．9
2
B ．4
C ．52
D ．9
【答案】A
【解析】由题意设焦距为2c ，椭圆长轴长为12a ，双曲线实轴为22a ， 令P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义1222PF PF a =-，① 由椭圆定义1212PF PF a +=，②
又∵12PF PF ⊥，∴2
2
2
124PF PF c +=，③ 22+①②，得2
222121244PF PF a a +=+，④
将④代入③，得222122a a c +=， ∴22222
2
2112
2222121224559
4222
22a a c c e e a a a a +=+=++≥+=，故选A ．
10．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，A ，B ，C 为抛物线C 上三点，当FA FB FC ++=0时，
称ABC △为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．3个 D ．无数个
【答案】D
【解析】抛物线方程为24y x =，A ，B ，C 为曲线C 上三点， 当FA FB FC ++=0时，F 为ABC △的重心，
用如下办法构造ABC △，连接AF 并延长至D ，使1
2
FD AF =
， 当D 在抛物线内部时，设()00,D x y ，若存在以D 为中点的弦BC ， 设()11,B m n ，()22,C m n ，
则1202m m x +=，1202n n y +=，
12
12
BC n n k m m -=-，
则211
222
44n m n m ?==????，两式相减化为()1212124n n n n m m -+=-，
12120
2
BC n n k m m y -=
=-，所以总存在以D 为中点的弦BC ，所以这样的三角形有无数个，故选D ．
11．已知双曲线()22122:10,0x y a b a b Γ-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，椭圆22
2:1
34x y Γ+=的离心率为e ，直线MN 过点2F 与双曲线交于M ，N 两点，若112cos cos F MN F F M ∠=∠，且11F M e F N
=，则双曲线1Γ的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）
A ．30?，150?
B ．45?，135?
C ．60?，120?
D ．15?，165?
【答案】C 【解析】
由题112cos cos F MN F F M ∠=∠，112F MN F F M ∴∠=∠，1122MF F F c ∴==， 由双曲线的定义可得| 21|222MF MF a c a =-=-，
∵椭圆222:134x y Γ+=的离心率为：431
2e -=
=，∴1112F M e F N =＝，14NF c ∴=，242NF c a =-，
在12MF F △中，由余弦定理的()()
2
22
124224cos 22222c c a c c a
F F M c c a c
+---∠=
=
??-， 在12NF F △中，由余弦定理可得：()()
()
2
22
2212442164cos 224222c c a c a c ac
F F N c c a c c a +--+-∠=
=
??--， ∵1212πF F M F F N ∠+∠=，1212cos cos 0F F M F F N ∴∠+∠=，即()
2240222c a a c ac
c c c a -+-+=-， 整理得，
设双曲线的离心率为1e ，2113720e e ∴-+=，解得12e =或1
3
（舍）．
∴222
4a b a +=，22
3a b ∴=，即3b a =3y x =±，
∴渐近线的倾斜角为60?，120?．故选C ．
12．已知P 为椭圆22143
x y +=上一个动点，过点P 作圆()2
211x y ++=的两条切线，切点分
别是A ，B ，则PA PB ?的取值范围为（ ）
A ．3,2??
+∞????
B ．356,29??
????
C ．56223,9?
?-???
?
D ．)
223,?+∞?
【答案】C
【解析】如图，由题意设2APB θ∠=，则1
tan PA PB θ
==， ∴211cos2cos2cos2cos21cos2tan PA PB PA PB θ
θθθθθ
+?==
?=?-，
设cos2t θ=，则()()()122
132********t t PA PB t t t
t t
+?=
=-+
-≥-?=---， 当且仅当2
11t t
-=
-，即12t =cos212θ= 又当点P 在椭圆的右顶点时，1sin 3θ=，∴27
cos212sin 9θθ=-=，
此时PA PB ?最大，且最大值
7
1756979919
+
?=-． ∴PA PB ?的取值范围是56223,9?
?????，故选C ．
二、填空题
13．已知过抛物线22y x =-的焦点F 3A 、B 两点，则AF BF AB
?=__________．
【答案】1
2
【解析】由22y x =-知1p =，由焦点弦性质
112+2AF BF p
==， 而
1111+22
+AF BF AF BF p AB
AF BF
AF BF
??===
=．
14．已知椭圆2
221x y a +=的左、右焦点为1F 、2F ，点1F 关于直线y x =-的对称点P 仍在椭
圆上，
则12PF F △的周长为__________． 【答案】222
【解析】设()1,0F c -，()()2,00F c c >，
1F 关于直线y x =-的对称点P 坐标为()0,c ，
点P 在椭圆上，则：
220
1c a
+=，则1c b ==，2222a b c =+=，则2a 故12PF F △的周长为：12122222PF PF F F a c ++=+=．
15．P 为双曲线22
149
x y -=右支上一点，1F ，2F 分别为双曲线的左、
右焦点，且120PF PF ?=，直线2PF 交y 轴于点A ，则1AF P △的内切圆半径为__________． 【答案】2
【解析】∵12PF PF ⊥，1APF △的内切圆半径为r ， ∴112PF PA AF r -+=，∴2122PF a PA AF r -++=， ∴2124AF AF r =--，
∵由图形的对称性知：21AF AF =，∴2r =．故答案为2．
16．已知直线l 与椭圆()22
2210,0x y a b a b +=>>相切于第一象限的点()00,P x y ，且直线l 与x
轴、y 轴分别交于点A 、B ，当AOB △(O 为坐标原点)的面积最小时，1260F PF ∠=?(1F 、
2F 是椭圆的两个焦点)，若此时在12PF F △中，12F PF ∠3
，则实数m 的值是__________． 【答案】5
2
【解析】由题意，切线方程为
002
2
1x y x y a
b
+
=，
直线l 与x 轴分别相交于点A ，B ，20,0a A x ??∴ ???，2
0,
b B y ?? ???
，22
0012AOB a b S x y ∴=?
△， 2200002
2
21x y x y ab a b +
=≥
，0012x y ab ∴≥，AOB S ab ∴≥△，当且仅当002
x y a b ==时， AOB △（O 为坐标原点）的面积最小，
设1PF x =，2PF y =，
由余弦定理可得2222443c x y xy a xy =+-=-，24
3xy b ∴=，
12213sin 602PF F S xy ∴=
?=△，201322c y ∴??=，
2032b y ∴==，6c ∴=，15
a ∴=
， 12F PF ∠3，2
131********x y ∴??+??=， )21332a x y ∴+，22
133153229a a b ∴=， 52m ∴=，故答案为52
．
三、解答题
17．设常数2t >．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0F ，直线l ：x t =，曲线Γ：()280,0y x x t y =≤≤≥．l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B ．P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB
上的动点．
（1）用t 表示点B 到点F 距离；
（2）设3t =，2FQ =，线段OQ 的中点在直线FP ，求AQP △的面积；
（3）设8t =，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点
P 的坐标；
若不存在，说明理由．
【答案】（1）2t +；（273
（3）存在，2455P ? ??
． 【解析】（1）方法一：由题意可知：设()
,22B t t ，
则()2282BF t t t =
-+=+，∴2BF
t =+；
方法二：由题意可知：设()
,22B t t ， 由抛物线的性质可知：22
p
BF t t =+
=+，∴2BF t =+； （2）()2,0F ，2FQ =，3t =，则1FA =，
∴3AQ =，∴(2Q ，设OQ 的中点D ，322D ? ??
，
3
023322
QF
k -==--PF 方程：)32y x =--， 联立)2328y x y x
=--=?????，整理得：2320120x x -+=， 解得：2
3
x =
，6x =（舍去），∴AQP △的面积1773323S ==；
（3）存在，设2,8y P y ?? ???，2,8m E m ?? ???，则22
8162
8
PF y y
k y y ==--，2168FQ y k y -=， 直线QF 方程为()21628y y x y -=-，∴()22
164838284Q y y y y y --=-=，248384y Q y ??- ???，，
根据FP FQ FE +=，则22486,84y y E y ??
++ ???
， ∴2
22488648y y y ????+=+ ?
?????
，解得：216
5y =， ∴存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上，且2455P ? ??
．
18．与椭圆相交于A 、B 两点，2F 关于直线1l 的对称点E 在椭圆上．斜率为1-的直线2l 与线段AB 相交于点P ，与椭圆相交于C 、D 两点． （1）求椭圆的标准方程；
（2）求四边形ACBD 面积的取值范围． 【答案】（1）22184x y +=；
（2）3232,93??
???
．
【解析】（1）由椭圆焦距为4，设()12,0F -，()22,0F ，连结1EF ，设12EF F α∠=， 则tan b c
α=
，又222a b c =+，得sin b a α=，cos c
a α=，
()12122sin9012||sin sin 90F F c a c
e b c a EF EF b c a
a a
αα?∴=
=====++?-++， 解得2
2
2a bc c b c =+?==，2
8a =，所以椭圆方程为22
184
x y +=．
（2）设直线2l 方程：y x m =-+，()11,C x y 、()22,D x y ， 由22184x y y x m +==-+??
???，得2234280x mx m -+-=，所以122
1243283x x m m x x +=-=
???????
， 由（1）知直线1l ：y x =，代入椭圆得226,633A ??-- ???，226,633B ??
???，得83AB =， 由直线2l 与线段AB 相交于点P ，得446,633m ??∈-
???
， ()()
222
2121212428164228212933
m m CD x x x x x x m -=-=+-=-=-+，
而21l k =-与11l k =，知21l l ⊥，211631229
ACBD S AB CD m ∴=
?=-+， 由446,633m ??∈-
???，得232,03m ??-∈- ???，所以2163323212,993m ??
-+∈ ???， 四边形ACBD 面积的取值范围3232,93??
???
．