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圆有关的计算和证明

圆有关的计算和证明
圆有关的计算和证明

圆的有关计算和证明专题复习

圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题,此题完成情况的好坏对解决

后面问题的发挥有重要的影响,所以解决好此题比较关键。

1、如图,AB 是⊙O 的直径,点E 为BC 的中点,AB =4,∠BED =120°,则图中阴

影部分的面积之和为___________。

(第1题图) (第2题图)

2、如图,以等边三角形ABC 的BC 边为直径画半圆,分别交AB 、AC 于点E 、D ,

DF 是圆的切线,过点F 作BC 的垂线交BC 于点G .若AF 的长为2,则FG 的长为( )

A .4

B .

C .6

D .

3.如图,AC 是O ⊙的直径,PA ,PB 是O ⊙的切线,A ,B 为切点,AB =6,PA =5. 求(1)O ⊙的半径; (2)sin BAC 的值. ⊥

C

B C

4.如图,AB 是半圆的直径,O 为圆心,

(1)判断直线PD 是否为⊙O (2)如果∠BDE = 60°,PD =3,求

5.(2011?临沂)如图.以O 为圆心的圆与△AOB 的边AB 相切于点C .与OB 相交于点D ,且OD=BD ,己知sinA=,

AC=.

(1)求⊙O 的半径: (2)求图中阴影部分的面积.

C

B

A

6.如图,点A .B .C 分别是⊙O 上的点,∠B =60°,AC =3,CD 是⊙O 的直径,P 是CD 延长线上的一点,且AP =AC .

(1)求证:AP 是⊙O 的切线;

(2)求PD 的长.

7.如图,在△ABC 中,∠ACB=o 90, E 为BC 上一点,以CE 为直径作⊙O,AB 与⊙

O 相切于点D ,连接CD,若BE=OE=2. (1)求证:∠A=2∠DCB ;

(2)求图中阴影部分的面积(结果保留 和根号)。

B

P

8.如图,AB 是⊙O 的直径,BD 是⊙O 的弦,延长BD 到点C ,使DC =BD ,连接AC ,过点D 作DE ⊥AC ,垂足为E . (1)求证:AB =AC ;

(2)求证:DE 为⊙O 的切线;

(3)若⊙O 的半径为5,∠BAC =60°,求DE 的长.

9.如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是弦,直线EF 经过点C ,AD EF ⊥于点D ,.DAC BAC =∠∠

(1)求证:EF 是⊙O 的切线; (2)求证:AB AD AC ?=2;

(3)若⊙O 的半径为2,30ACD =∠°,求图中阴影部分的面积.

C

B

D

中考《圆》有关的证明和计算

半径,证垂直”,难点在于如何证明两线垂直 例1 如图,在△ ABC中,AB=AC,以AB为直径的O O交BC于D,交AC于E, B为切点的切线交OD延长线于F. 求证:EF与O O相切. 例2 如图,AD是/ BAC的平分线,P为BC延长线上一点,且PA=PD. 求证:PA与O O相切. 证明一:作直径AE,连结EC. ?/ AD是/ BAC的平分线, ???/ DAB= / DAC. ?/ PA=PD , ???/ 2=Z 1+ / DAC. ???/ 2=Z B+ / DAB , ???/ 仁/ B. 又???/ B= / E, ???/ 仁/ E ?/ AE是O O的直径, ?AC 丄EC,/ E+ / EAC=90°. ???/ 1 + / EAC=90°. 即OA丄PA. ? PA与O O相切. 证明二:延长AD交O O于E,连结OA , OE. ?/ AD是/ BAC的平分线, ?BE=C1E, c ? OE 丄BC. ?/ E+/ BDE=900. ?/ OA=OE , ? / E=/ 1.

例5 如图,AB 是O O 的直径,CD 丄AB ,且 OA 2=OD ? OP. 求证:PC 是O O 的切线. 说明: 求证: ?/ PA=PD , ???/ PAD= / PDA. 又???/ PDA= / BDE, ???/ 1 + Z PAD=90 0 即OA 丄PA. ? PA 与O O 相切 此题是通过证明两角互余,证明垂直的,解题中要注意知识的综合运用 如图,AB=AC , AB 是O O 的直径,O O 交BC 于D , DM 与O O 相切. 例4 如图,已知:AB 是O O 的直径,点 C 在O O 上,且/ CAB=30°, BD=OB , D 在AB 的延长线上 求证:DC 是O O 的切线

圆中的证明与计算

圆中的证明与计算及圆与三角形、四边形 知识点圆中的重要知识点 【知识梳理】 1、圆中的重要概念 2、圆中的重要定理 3、易与圆结合的其他知识 【例题精讲一】垂径定理 例1.1、如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,CD⊥AB于点E,点G在直径DF的延长线上,∠D=∠G=30°。(1)求证:弧CF=弧BC;(2)若CD=6,分别求BE、GF的长。

(1)求证:AD=AN;(2)若AB=2 4,ON=1,求⊙O的半径。 3、如图,AB是⊙O的直径,C、P是弧AB上两点,AB=13,AC=5。 (1)如图(1),若点P是弧AB的中点,求PA的长;(2)如图(2),若点P是弧BC的中点,求PA的长。

【课堂练习】 1、如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点H,E为AB延长线上一点,CE交⊙O于F,连接BF。 (1)求证:BF平分∠DFE;(2)若EF=DF,BE=5,CH=3,求⊙O半径。 2、如图,在△ABC中,∠C=90°,D是BC边上一点,以DB为直径的⊙O经过AB的中点E,交AD的延长线于点F,连接EF。 (1)求证:∠BAD=∠F;(2)若EF=25,AC=4,求⊙O的半径。

【例题精讲二】圆周角定理 例2.1、如图,CD为⊙O的直径,AB、AC为弦,且∠ADC=∠DAB+∠ACD,AB交CD于E。 (1)求证:AB=AC;(2)若DE=2,CE=10,求AC的长。 2、在△ABC中,以AC边为直径的⊙O交BC于点D,在AD上取一点E使∠EBC=∠DEC,延长BE依次交AC于G,交⊙O于H。 (1)求证:AC⊥BH;(2)若∠ABC=45°,AC=10,BD=8,求CE的长。

中考数学总复习专题六圆的有关证明与计算试题新人教版

专题六圆的有关证明与计算 圆的切线的判定与性质 【例1】(2016·临夏州)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,BD=DC,过点D作DE⊥AC,垂足为E,⊙O经过A,B,D三点. (1)求证:AB是⊙O的直径; (2)判断DE与⊙O的位置关系,并加以证明; (3)若⊙O的半径为3,∠BAC=60°,求DE的长. 分析:(1)连接AD,证AD⊥BC可得;(2)连接OD,利用中位线定理得到OD与AC平行,可证∠ODE为直角,由OD为半径,可证DE与圆O相切;(3)连接BF,先证三角形ABC为等边三角形,再求出BF的长,由DE为三角形CBF中位线,即可求出DE的长. 解:(1)连接AD,∵AB=AC,BD=DC,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴AB为圆O的直径 (2)DE与圆O相切,证明:连接OD,∵O,D分别为AB,BC的中点,∴OD为△ABC的中位线,∴OD∥AC,∵DE⊥AC,∴DE⊥OD,∵OD为圆的半径,∴DE与圆O相切 (3)∵AB=AC,∠BAC=60°,∴△ABC为等边三角形,∴AB=AC=BC=6,连接BF,∵AB为圆O的直径,∴∠AFB=∠DEC=90°,∴AF=CF=3,DE∥BF,∵D为BC的中点,∴E为CF的中点,即DE为△BCF中位线,在Rt△ABF中,AB=6,AF=3,根据勾股定理得BF=错误!=3错误!,则DE=错误!BF=错误! 圆与相似 【例2】(2016·泸州)如图,△ABC内接于⊙O,BD为⊙O的直径,BD与AC相交于点H,AC的延长线与过点B的直线相交于点E,且∠A=∠EBC. (1)求证:BE是⊙O的切线; (2)已知CG∥EB,且CG与BD,BA分别相交于点F,G,若BG·BA=48,FG=2,DF=2BF,求AH的值. 分析:(1)证∠EBD=90°即可;(2)由△ABC∽△CBG得错误!=错误!,可求出BC,再由△BFC∽△BCD得BC2=BF·BD,可求出BF,再求出CF,CG,GB,通过计算发现CG=AG,可证CH=CB,即可求出AC. 解:(1)连接CD,∵BD是直径,∴∠BCD=90°,即∠D+∠CBD=90°,∵∠A=∠D,∠A=∠EBC,∴∠CBD+∠EBC=90°,∴BE⊥BD,∴BE是⊙O切线 (2)∵CG∥EB,∴∠BCG=∠EBC,∴∠A=∠BCG,又∵∠CBG=∠ABC,∴△ABC∽△ CBG,∴BC BG =\f(AB,BC),即BC2=BG·BA=48,∴BC=4错误!,∵CG∥EB,∴CF⊥BD,∴△BFC∽△BCD,∴BC2=BF·BD,∵DF=2BF,∴BF=4,在Rt△BCF中,CF= \r(BC2-FB2)=42,∴CG=CF+FG=5错误!,在Rt△BFG中,BG=错误!=3错误!,∵

圆的有关证明与计算题专题

A B 《圆的证明与计算》专题研究 圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题,此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响,所以解决好此题比较关键。 一、考点分析: 1.圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆. (2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等. 2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到. 二、考题形式分析: 主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线;第2问主要是与圆有关的计算:①求线段长(或面积);②求线段比;③求角度的三角函数值(实质还是求线段比)。 三、解题秘笈: 1、判定切线的方法: (1)若切点明确,则“连半径,证垂直”。 常见手法有:全等转化;平行转化;直径转化;中线转化等;有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直; (2)若切点不明确,则“作垂直,证半径”。 常见手法:角平分线定理;等腰三角形三线合一,隐藏角平分线; 总而言之,要完成两个层次的证明:①直线所垂直的是圆的半径(过圆上一点);②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例:(1)如图,AB是⊙O的直径,BC⊥AB,AD∥OC交⊙O于D点,求证:CD为⊙O的切线; (2)如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O,交斜边AC于D,点E为BC的中点,连结DE,求证:DE是⊙O 的切线. (3)如图,以等腰△ABC的一腰为直径作⊙O,交底边BC于D,交另一腰于F,若DE⊥AC于E(或E为CF中点),求证:DE是⊙O的切线. (4)如图,AB是⊙O的直径,AE平分∠BAF,交⊙O于点E,过点E作直线ED⊥AF,交AF的延长线于点D,交AB 的延长线于点C,求证:CD是⊙O的切线. 2、与圆有关的计算: 计算圆中的线段长或线段比,通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合,形式复杂,无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系,选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化,找出所求线段与已知线段的关系,从而化未知为已知,解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有:

中考专题复习与圆有关的计算与证明

中考专题复习——与圆有关的计算与证明 【中考要求及命题趋势】 1、理解圆的基本概念与性质。 2、求线段与角和弧的度数。 3、圆与相似三角形、全等三角形、三角函数的综合题。 4、直线和圆的位置关系。 5、圆的切线的性质和判定。 6、三角形内切圆以及三角形内心的概念。 7、圆和圆的五种位置关系。 8、两圆的位置关系与两个圆半径的和或差与圆心距之间的关系式。两圆相切、相交的性质。 9、掌握弧长、扇形面积计算公式。 10、理解圆柱、圆锥的侧面展开图。 11、掌握圆柱、圆锥的侧面积和全面积计算。 2010年中考将继续考查圆的有关性质,其中圆与三角形相似(全等)。三角函数的小综合题为考查重点;直线和圆的关系作为考查重点,其中直线和圆的位置关系的开放题、探究题是考查重点;继续考查圆与圆的位置五种关系。对弧长、扇形面积计算以及圆柱、圆锥的侧面积和全面积的计算是考查的重点。 【应试对策】 圆的综合题,除了考切线、弦切角必须的问题。一般圆主要和前面的相似三角形,和前面大的知识点接触。直线和圆以前的部分是重点内容,后面扇形的面积、圆锥、圆柱的侧面积,这些都是必考的,后面都是一些填空题和选择题,考查对扇形面积公式、圆锥、圆柱的侧面积的公式记忆。圆这一章重要的概念、定理先掌握、后应用,掌握之后,再掌握一些解题思路和解题方法。 第一:有三条常用辅助线,一是圆心距,二是直径圆周角,第三条是切线径。第二:有几个分析思路:弧、常与圆周角互相转换;那么怎么去应用,就根据题目条件而定。 【复习要点】 1、圆的有关概念: (1)圆上任意两点间的部分叫弧,______的弧叫优弧,________的弧称为劣弧。 (2)______________________的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径。 (3)_________________的角叫做圆心角;顶点在圆上且两边____________的角叫做圆周角。 2、圆的对称性: (1)圆是轴对称图形,其对称轴是_____ ____;(2)圆是中心对称图形,其对称中心是_________。3、垂径定理及推论 垂径定理:垂直于弦的直径_________弦,并且平分____________________。 推论:平分弦(不是直径)的直径_____这条弦,并且平分__________________ 4、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等,它们所对应的其余各组量也相等。如图所示: AB,CD是⊙O的两条弦,OE,OF为AB,CD的弦心距,根据圆心角,弧,弦和弦心距 C

圆的证明与计算

以圆为背景的证明、动态探究题 1. 如图,在Rt△ABC中,ZABC=90 °,点M是AC的中点,以AB为直径作O O 分别交AC, BM于点D , E. (1) 求证:MD=ME (2) _______________________________________________ 填空:①若 AB=6,当AD=2DM 时,DE= __________________________ ; ②连接0D,OE,当/A的度数为_____________ 时,四边形ODME是菱形. 2. 如图,CD是GO的直径,且CD=2cm,点P为CD的延长线上一点,过点P 作GO的切线PA,PB,切点分别为点A,B. (1)连接AC,若GAPO=30。,试证明CACP是等腰三角形; (2)填空: ①当DP= cm时,四边形AOBD是菱形; ②当DP= _______ cm时,四边形AOBP是正方形.

3?如图,AB是半圆0的直径,点P是半圆上不与点A, B重合的一个动点,延长BP到点C,使PC= PB, D是AC的中点,连接PD, P0. (1)求证:△CDP^△OB; (2)填空: ①若AB = 4,则四边形AOPD的最大面积为__________________ ; ②连接0D,当Z PBA的度数为_______ 时,四边形BPDO是菱形. 4. 如图,在。0中,AB是。0的直径,AC是。0的弦,过点C作。0的切线

交BA 的延长线于点P ,连接BC. (1)求证:/ PCA= ZB; (2)已知Z P=40 °,AB=12cm,点Q 在优弧AC 上,从点A 开始以n cm/s 的速度 逆时针运动到点C 停止(点Q 与点A 、C 不重合),设运动时间为ts. 5. 如图,在 Rt △ABC 中,Z ACB=90 °以AC 为直径的。O 与AB 边交于点D,过 点D 作。O 的切线交BC 于点E 连接OE,。O 的半径为 3 。 (1)求证:OE//AB; ① 当t= ② 当t= 时,以点A 、Q 、B 、C 为顶点的四边形面积最大 时,△ABQ 与A ABC 全等。 (2)①当BC= ________ 时, ②当BC= _______ 时, 四边形ODEC 是正方形 AD=3DE.

圆的有关证明及计算

2015圆的有关证明及计算 1.如图,直线AB与O O相切于点A,弦CD // AB,E,F为圆上的两点,且/ CDE= / ADF .若 O 0的半径为2j2 , CD=4.求弦EF的长. 2.如图,直线I与半径为4的O 0相切于点A, P是O 0上的一个动点(不与点A重合),过点P作PB丄I,垂足为B,连接PA.设PA=x, PB=y. 求(X- y)的最大值. 3.如图,已知AB为O 0的直径,AB=2, AD和BE是圆0的两条切线,A、B为切点,过 圆上一点C作O 0的切线CF,分别交AD、BE于点M、N, 求AM的长. 4.如图,O O的直径AB为10cm,弦BC为5cm, D、E分别是/ ACB的平分线与O 0, AB 的交点,P为AB延长线上一点,且PC=PE. (1)求AC、AD的长;

(2)试判断直线PC与O 0的位置关系,并说明理由. P

5.如图,点D在O O的直径AB的延长线上,点C在O O上,AC=CD , / ACD=120 ° (1)求证:CD是O O的切线; (2)若O O的半径为2,求图中阴影部分的面积. 6.如图,O O与RtA ABC的斜边AB相切于点D,与直角边AC相交于E、F两点,连结DE , 已知/ B=30 ° O O的半径为12,弧DE的长度为4 n 求证:DE // BC; (2) 若AF=CE,求线段BC的长度. 7.如图,在RtA ABC中,/ ACB=90 °以AC为直径作O O交AB于点D,连接CD . (1)求证:/ A=/ BCD ; (2)若M为线段BC上一点,试问当点M在什么位置时,直线DM与O O相切?并说明理由.

中考数学专题训练圆的证明与计算(含答案)

圆的证明与计算 1.如图,已知△ABC 内接于△O , P 是圆外一点,P A 为△O 的切线,且P A =PB ,连接 OP ,线段 AB 与线段 OP 相交于点D . (1)求证:PB 为△O 的切线; (2)若P A =4 5PO ,△O 的半径为10,求线段 PD 的长. 第1题图 (1)证明:△△△△△△OA △OB △ 第1题解图 △P A △PB △OA △OB △OP △OP △ △△OAP △△OBP (SSS)△ △△OAP △△OBP △ △P A △△O △△△△ △△OAP △90°△ △△OBP △90°△ △OB △△O △△△△ △PB △△O △△△△

△△Rt△AOP △△OA △PO 2 △△4 5PO △2△10△ △△PO △50 3△ △cos△AOP △AO OP △OD AO △ △OD △6△ △PD △PO △OD △32 3. 2. △△△△△ABC △△AB △AC △△D △BC △△△△△AD △DC △△A △B △D △△△△O △AE △△O △△△△△△DE . △1△△△△AC △△O △△△△ △2△△cos C △3 5△AC △24△△△△AE △△. 第2题图 (1)证明:△AB △AC △AD △DC △ △△C △△B △△DAC △△C △ △△DAC △△B △ △△△E △△B △ △△DAC △△E △ △AE △△O △△△△ △△ADE △90°△ △△E △△EAD △90°△ △△DAC △△EAD △90°△ △△EAC △90°△

△OA △△O △△△△ △AC △△O △△△△ (2)解:△△△△△△D △DF △AC △△F △ 第2题解图 △DA △DC △ △CF △1 2AC △12△ △Rt△CDF △△△cos C △CF CD △3 5△ △DC △20△ △AD △20△ △Rt△CDF △△△△△△△△1622==CF CD DF -△ △△ADE △△DFC △90°△△E △△C △ △△ADE △△DFC △ △AE DC △AD DF △ △AE 20△1620 △△△AE △25△ △△O △△△AE △25. 3.如图,在△ABC 中,AB =BC ,以AB 为直径作△O ,交BC 于点D ,交AC 于点E ,过点E 作△O 的切线EF ,交BC 于点F . (1)求证:EF △BC ; (2)若CD =2,tan C =2,求△O 的半径.

圆的证明和计算

圆的证明和计算 题型一:图形主要以圆和三角形(多为等腰三角形或直角三角形)组成; 依据所给条件判定圆的切线或已知圆的切线,求图中线段长度或角的度数; 主要考查知识有切线的判定、切线的性质、勾股定理、等腰三角形性质、直角三角形性质(斜边中线等于斜边一半、30°所对直角边等于斜边一半等)及解决圆的问题中常加辅助线(已知切线连半径、见直径想直角等)等等。 教材原型题:(基本图形为圆和等腰三角形) 1、(P45页例1)已知:如图,直线AB 经过⊙O 上的点C ,并且OA=OB ,CA=CB 。 求证:直线AB 是⊙O 的切线。 2、(P73页第4题)如图,AB 与⊙O 相切于点C ,OA=OB ,⊙O 的直径为8cm ,AB=10cm ,求OA 长. 3、(P45页练习1)如图,AB 是⊙O 的直径,∠ABT=45°,AT=AB , 求证:AT 是⊙O 的切线。 配套练习:(1、2、3、4题针对原型题1、2; 5、6、7、8针对原型题3) 1、(2009新疆乌鲁木齐市)如图5,在ABC △中,AB AC =,以AB 为直径的O ⊙交BC 于点M ,MN AC ⊥ 于点N . (1)求证MN 是O ⊙的切线; (2)若1202BAC AB ∠==° ,,求图中阴影部分的面积. 2、(2009年漳州)如图,点D 在O ⊙的直径AB 的延长线上,点C 在O ⊙上,AC CD =,30D ∠=°, (1)求证:CD 是O ⊙的切线; (2)若O ⊙的半径为3,求BC 的长.(结果保留π) 3、(08福建厦门23题)已知:如图,ABC △中,AB AC =,以AB 为直 径的O 交BC 于点P ,PD AC ⊥于点D . (1)求证:PD 是O 的切线; (2)若1202CAB AB ∠==,,求BC 的值. O B A B

2018届中考数学复习专题题型(七)--圆的有关计算与证明

(2017浙江衢州第19题)如图,AB 为半圆O 的直径,C 为BA 延长线上一点,CD 切半圆O 于点D 。连结OD ,作BE ⊥CD 于点E ,交半圆O 于点F 。已知CE=12,BE=9[来源:学#科#网Z#X#X#K] (1)求证:△COD ∽△CBE ; (2)求半圆O 的半径r 的长 : 试题解析: (1)∵CD 切半圆O 于点D , ∴CD ⊥OD , ∴∠CDO=90°, ∵BE ⊥CD , ∴∠E=90°=∠CDO , 又∵∠C=∠C , ∴△COD ∽△CBE . (2)在Rt △BEC 中,CE=12,BE=9, ∴22CE BE +=15, ∵△COD ∽△CBE . ∴OD OC BE BC =,即15915r r -=, 解得:r= 458. 考点:1. 切线的性质;2.相似三角形的判定与性质. 2.(2017山东德州第20题)如图,已知Rt ΔABC,∠C=90°,D 为BC 的中点.以AC 为直径的圆O 交AB 于点E. (1)求证:DE 是圆O 的切线. (2)若AE:EB=1:2,BC=6,求AE 的长.

(1)如图所示,连接OE,CE ∵AC是圆O的直径 ∴∠AEC=∠BEC=90° ∵D是BC的中点 ∴ED=1 2 BC=DC ∴∠1=∠2 ∵OE=OC ∴∠3=∠4 ∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD ∵∠ACD=90° ∴∠OED=90°,即OE⊥DE 又∵E是圆O上的一点 ∴DE是圆O的切线.

考点:圆切线判定定理及相似三角形 3.(2017甘肃庆阳第27题)如图,AN 是⊙M 的直径,NB ∥x 轴,AB 交⊙M 于点C . (1)若点A (0,6),N (0,2),∠ABN=30°,求点B 的坐标; (2)若D 为线段NB 的中点,求证:直线CD 是⊙M 的切线. (1)∵A 的坐标为(0,6),N (0,2), ∴AN=4, ∵∠ABN=30°,∠ANB=90°, ∴AB=2AN=8, ∴由勾股定理可知:223AB AN -=, ∴B (32). (2)连接MC ,NC ∵AN 是⊙M 的直径, ∴∠ACN=90°, ∴∠NCB=90°,

与圆有关的证明与计算

与圆有关的证明与计算 1.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,点D 、E 、F 分别在AC 、BC 、AB 的边上,以AF 为直径的⊙O 恰好经过点D 、E ,且DE =EF . (1)求证:BC 是⊙O 的切线; (2)若∠B =30°,求CE CD 的值. 第1题图 (1)证明:如解图,连接OD ,OE ,DF , ∵AF 是⊙O 的直径, ∴∠ADF =90°, ∵∠C =90°, ∴DF ∥BC , ∵DE =EF , ∴DE ︵=EF ︵, ∴OE ⊥DF , ∴OE ⊥BC , ∵OE 是⊙O 的半径, ∴BC 是⊙O 的切线; 第1题解图 (2)解:∵∠B =30°,且OE ⊥BC , ∴∠BOE =60°, ∵OE =OF , ∴△OEF 是等边三角形, ∴∠OEF =60°, 又∵DE =EF ,OE ⊥DF , ∴∠OED =∠OEF =60°, ∴∠CED =30°, ∴∠CDE =60°, 在Rt △CDE 中, ∵tan ∠CDE =tan60°=CE CD =3,

∴ CE CD = 3. 2.如图,在Rt △BGF 中,∠F =90°,AB 是⊙O 的直径,⊙O 交BF 于点E ,交GF 于点D ,AE ⊥OD 于点C ,连接BD . (1)求证:GF 是⊙O 的切线; (2)若OC =2,AE =43,求∠DBF 的度数. 第2题图 (1)证明:∵AB 是⊙O 的直径,∴∠AEB =90°, 又∵∠F =90°, ∴∠AEB =∠F ,∴AE ∥GF , ∵AE ⊥OD ,∴OD ⊥GF , ∵OD 是⊙O 的半径, ∴GF 是⊙O 的切线; (2)解:∵OD ⊥AE , ∴AC =CE =1 2AE =23, ∵OA =OB , ∴OC 是△ABE 的中位线, ∴BE =2OC =4, ∴在Rt △AOC 中,OA =OC 2+AC 2=22+(23)2=4, ∵∠CEF =∠DCE =∠F =90°, ∴四边形CDFE 是矩形, ∴DF =CE =23,EF =CD =OD -OC =4-2=2, ∴BF =BE +EF =4+2=6, ∴tan ∠DBF =DF BF =236=3 3, ∴∠DBF =30°. 3.如图,点C 是⊙O 的直径AB 的延长线上一点,点D 在⊙O 上,且∠DAC =30°,∠BDC =1 2∠ABD . (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若OF ∥AD 分别交BD 、CD 于点E 、F ,BD =2,求OE 、CF 的长.

【通用版】2018届中考数学专题提升(12)与圆的切线有关的计算与证明(含答案)

专题提升(十二)与圆的切线有关的计算与证明 类型之一与切线的性质有关的计算或证明 【经典母题】 如图Z12-1,⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P,C为切点,若∠P =30°,⊙O的半径为1,则PB的长为__1__. 图Z12-1 经典母题答图 【解析】如答图,连结OC. ∵PC为⊙O的切线,∴∠PCO=90°, 在Rt△OCP中,∵OC=1,∠P=30°, ∴OP=2OC=2, ∴PB=OP-OB=2-1=1. 【思想方法】(1)已知圆的切线,可得切线垂直于过切点的半径;(2)已知圆的切线,常作过切点的半径,得到切线与半径垂直. 【中考变形】 [2017·天津]已知AB是⊙O的直径,AT是⊙O的切线,∠ABT=50°,BT交⊙O于点C,E是AB上一点,延长CE交⊙O于点D. (1)如图Z12-2①,求∠T和∠CDB的大小; (2)如图②,当BE=BC时,求∠CDO的大小.

图Z12-2 解:(1)如答图①,连结AC, ∵AT是⊙O的切线,AB是⊙O的直径, ∴AT⊥AB,即∠TAB=90°, ∵∠ABT=50°,∴∠T=90°-∠ABT=40°, 由AB是⊙O的直径,得∠ACB=90°, ∴∠CAB=90°-∠ABC=40°,∴∠CDB=∠CAB=40°; 中考变形答图①中考变形答图② (2)如答图②,连结AD, 在△BCE中,BE=BC,∠EBC=50°, ∴∠BCE=∠BEC=65°,∴∠BAD=∠BCD=65°, ∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD=65°, ∵∠ADC=∠ABC=50°, ∴∠CDO=∠ODA-∠ADC=65°-50°=15°. 【中考预测】 [2017·宿迁]如图Z12-3,AB与⊙O相切于点B,BC为⊙O的弦,OC⊥OA,OA与BC相交于点P.

圆的证明与计算

以圆为背景的证明、动态探究题 1.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点M是AC的中点,以AB为直径作⊙O 分别交AC,BM于点D,E. (1)求证:MD=ME (2)填空:①若AB=6,当AD=2DM时,DE=___________; ②连接OD,OE,当∠A的度数为____________时,四边形ODME是菱形. 2.如图,CD是⊙O的直径,且CD=2cm,点P为CD的延长线上一点,过点P 作⊙O的切线PA,PB,切点分别为点A,B. (1)连接AC,若⊙APO=30°,试证明⊙ACP是等腰三角形; (2)填空: ①当DP= cm时,四边形AOBD是菱形; ②当DP=________cm时,四边形AOBP是正方形.

3.如图,AB是半圆O的直径,点P是半圆上不与点A,B重合的一个动点,延长BP到点C,使PC=PB,D是AC的中点,连接PD,PO. (1)求证:△CDP≌△POB; (2)填空: ①若AB=4,则四边形AOPD的最大面积为_________________; ②连接OD,当∠PBA的度数为________时,四边形BPDO是菱形. 4.如图,在⊙O中,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的弦,过点C作⊙O的切线

交BA的延长线于点P,连接BC. (1)求证:∠PCA=∠B; (2)已知∠P=40°,AB=12cm,点Q在优弧AC上,从点A开始以πcm/s的速度逆时针运动到点C停止(点Q与点A、C不重合),设运动时间为ts. ①当t=________时,以点A、Q、B、C为顶点的四边形面积最大。 ②当t=________时,△ABQ与△ABC全等。 5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O与AB边交于点D,过点D作⊙O的切线交BC于点E,连接OE,⊙O的半径为3。 (1)求证:OE∥AB; (2)①当BC=_________时,四边形ODEC是正方形。 ②当BC=_________时,AD=3DE.

与圆的切线有关的计算与证明(2)

与圆的切线有关的计算与证明(1) 类型之一与切线的性质有关的计算或证明 【经典母题】 如图Z12- 1,0 O的切线PC交直径AB的延长线于点P, C为切点,若/ P =30°,0 O的半径为1,贝U PB的长为1 . 图Z12- 1 经典母题答图 【解析】如答图,连结0C. ??PC 为O O 的切线,.?./PC0 = 90 在RtSCP 中,??OC= 1,/P = 30°, ??0P= 20C= 2, ??PB= OP- 0B= 2- 1= 1. 【思想方法】(1)已知圆的切线,可得切线垂直于过切点的半径;⑵已知圆的切线,常作过切点的半径,得到切线与半径垂直. 【中考变形】 [2017天津]已知AB是O 0的直径,AT是O 0的切线,/ ABT= 50°, BT交O0于点C, E是AB上一点,延长CE交O 0于点D. (1) 如图Z12-2①,求/ T和/CDB的大小; (2) 如图②,当BE= BC时,求/ CD0的大小.

解:⑴如答图①,连结AC , ??AT 是。O 的切线,AB 是。O 的直径, ??AT 丄 AB ,即/ TAB = 90°, ? 50°,?d 90°-/ ABT = 40 由AB 是O O 的直径,得/ ACB = 90° ? Q AB = 90°』ABC = 40°,/-CDB =/CAB = 40°; ⑵如答图②,连结AD , 在厶 BCE 中,BE = BC ,/ EBC = 50 ? / BCE =/BEC = 65°, ?/ BAD = /BCD = 65 ? OA = OD ,?/ ODA =/ OAD = 65 ? / ADC =/ ABC = 50°, ? / CDO =/ ODA -/ADC = 65°- 50°= 15 【中考预测】 [2017宿迁]如图Z12-3, AB 与。O 相切于点B , BC 为。O 的弦,OC 丄OA , OA 与BC 相交于点 P. 图 Z12- 2 中考变形答图① 中考变形答图②

圆的证明与计算专题

2012中考数学复习《圆的证明与计算》专题 圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题,此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响,所以解决好此题比较关键。 一、考点分析: 1.圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆. (2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等. 2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到. 二、考题形式分析: 主要以解答题的形式出现,圆与相似圆与面积圆与切线动态圆 三、解题秘笈: 1、判定切线的方法: (1)若切点明确,则“连半径,证垂直”。 常见手法有:全等转化;平行转化;直径转化;中线转化等;有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直; (2)若切点不明确,则“作垂直,证半径”。 常见手法:角平分线定理;等腰三角形三线合一,隐藏角平分线; 总而言之,要完成两个层次的证明:①直线所垂直的是圆的半径(过圆上一点);②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线. 2、与圆有关的计算: 计算圆中的线段长或线段比,通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合,形式复杂,无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系,选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化,找出所求线段与已知线段的关系,从而化未知为已知,解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有:(1)构造思想:如:①构建矩形转化线段;②构建“射影定理”基本图研究线段(已知任意两条线段可求其它所有线段长);③构造垂径定理模型:弦长一半、弦心距、半径;④构造勾股定理模型;⑤构造三角函数. (2)方程思想:设出未知数表示关键线段,通过线段之间的关系,特别是发现其中的相等关系建立方程,解决问题。 (3)建模思想:借助基本图形的结论发现问题中的线段关系,把问题分解为若干基本图形的问题,通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论,进而找出隐藏的线段之间的数量关系。

圆的计算与证明

圆的计算与证明 1.如图,已知AB是⊙O的直径,PB切⊙O于点B,过点B作BC⊥PO于点D,交⊙O于点C,连接AC、PC (1)求证:PC是⊙O的切线; (2)若∠BPC=60°,PB=3,求阴影部分面积. 2.如图,已知AB为⊙O的直径,CD切⊙O于C点,弦CF⊥AB于E点,连结AC.(1)求证:∠ACD=∠ACF; (2)当AD⊥CD,BE=2cm,CF=8cm,求AD的长. 3.如图,O为∠MBN角平分线上一点,⊙O与BN相切于点C,连结CO并延长交BM于点A,过点A作AD⊥BO于点D. (1)求证:AB为⊙O的切线; (2)若BC=6,tan∠ABC=,求AD的长.

4.如图,直线MN交⊙O于A,B两点,AC是⊙O直径,∠CAM的平分线交⊙O于点D,过点D 作DE⊥MN于点E. (1)求证:DE是⊙O的切线; (2)若DE=6cm,AE=3cm,求⊙O的半径. 5.如图,AB是⊙O的直径,弦DE垂直平分半径OA,C为垂足,弦DF与半径OB相交于点P,连接EF、EO.若DE=2,∠DP A=45°. (1)求⊙O的半径; (2)求图中阴影部分及△PBF的面积. 6.如图,AB是⊙O直径,弦CD⊥AB于点E,过点C作DB的垂线,交AB的延长线于点G,垂足为点F,连结AC. (1)求证:AC=CG; (2)若CD=8,OG=10,求⊙O的半径.

7.如图,射线PG平分∠EPF,O为射线PG上一点,以O为圆心,13为半径作⊙O,分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D,连结OA,且OA∥PE. (1)求证:AP=AO; (2)若弦AB=24,求OP的长. 8.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,O为△ABC角平分线的交点,以OC为半径的⊙O交△ABC 于D、E、F、G. (1)求证:CD=EF; (2)若⊙O的半径为4,AE=2,求AB的长. 9.如图,在圆O中,弦AB=8,点C在圆O上(C与A,B不重合),连接CA、CB,过点O分别作OD⊥AC,OE⊥BC,垂足分别是点D、E. (1)求线段DE的长; (2)点O到AB的距离为3,求圆O的半径.

浙江省中考数学总复习 专题提升五 与圆有关的证明与计算

专题提升五 与圆有关的证明与计算 一、选择题 1.(2016·邵阳)如图所示,AB 是⊙O 的直径,点C 为⊙O 外一点,CA ,CD 是⊙O 的切线,A ,D 为切点,连结BD ,AD ,若∠ACD =30°,则∠DBA 的大小是( D ) A .15° B .30° C .60° D .75° ,第1题图) ,第2题图) 2.(2016·潍坊)如图,在平面直角坐标系中,⊙M 与x 轴相切于点A(8,0),与y 轴分别交于点B(0,4)和点C(0,16),则圆心M 到坐标原点O 的距离是( D ) A .10 B .8 2 C .413 D .241 3.(2016·昆明)如图,AB 为⊙O 的直径,AB =6,AB ⊥弦CD ,垂足为G ,EF 切⊙O 于点B ,∠A =30°,连结AD ,OC ,BC ,下列结论不正确的是( D ) A .EF ∥CD B .△COB 是等边三角形 C .CG =DG D.BC ︵的长为3 2 π ,第3题图) ,第4题图) 4.(2016·枣庄)如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB ,∠CDB =30°,CD =23,则阴影部分的面积为( D ) A .2π B .π C.π3 D.2 3 π 二、填空题 6.(2016·黔西南州)如图,AB 是⊙O 的直径,CD 为弦,CD ⊥AB 于E ,若CD =6,BE =1,则⊙O 的直径为__10__. ,第6题图) ,第7题图) 7.(2016·青岛)如图,AB 是⊙O 的直径,C ,D 是⊙O 上的两点,若∠BCD =28°,则∠ABD =__62°__. 8.(2016·成都)如图,△ABC 内接于⊙O ,AH ⊥BC 于点H ,若AC =24,AH =18,⊙O 的 半径OC =13,则AB =__39 2 __.

(完整版)圆的证明与计算(精编版)

《圆的证明与计算》专题讲解 圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题,此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响,所以解决好此题比较关键。 圆的有关证明 一、圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆. (2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等. 2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周

角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到. 二、考题形式分析: 主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线;第2问主要是与圆有关的计算:①求线段长(或面积);②求线段比;③求角度的三角函数值(实质还是求线段比)。 知识点一:判定切线的方法: (1)若切点明确,则“连半径,证垂直”。 常见手法有:全等转化;平行转化;直径转化;中线转化等;有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直; (2)若切点不明确,则“作垂直,证半径”。 常见手法:角平分线定理;等腰三角形三线合一,隐藏角平分线; 总而言之,要完成两个层次的证明:①直线所垂直的是圆的半径(过圆上一点);②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例: 方法一:若直线l过⊙O上某一点A,证明l是⊙O的切线,只需

《圆的证明与计算》专题讲解

《圆的证明与计算》专题讲解 圆的有关证明 一、圆中的重要定理: (1) 圆的能义:主要是用来证明四点共圆. (2) 垂径定理:主要是用来证明一一弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3) 三者之间的关系圧理:主要是用来证明一一弧相等、线段相等、圆心角相等. (4) 圆周角性质泄理及其推轮:主要是用来证明一一直角、角相等、弧相等. (5) 切线的性质定理:主要是用来证明一一垂直关系. (6) 切线的判定眾理:主要是用来证明直线是圆的切线. (7) 切线长定理:线段相等、垂直关系、角相等. 2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化?这在圆中的证明和讣算中经常用到. 知识点一:判定切线的方法: (1>若切点明确,则“连半径,证垂直”。 常见手法有:全等转化:平行转化:直径转化:中线转化等:有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直: (2)若切点不明确,则“作垂直,证半径”。 常见手法:角平分线泄理;等腰三角形三线合一,隐藏角平分线: 总而言之,要完成两个层次的证明:①直线所垂直的是圆的半径(过圆上一点);②直线与半径的关系是互相垂直。任证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线?例: 方法一:若直线1过OO上某一点A,证明I是OO的切线,只需连OA,证明OA丄1就行了,简称“连半径,证垂直”,难点在于如何证明两线垂直. 例1如图,在Z\ABC中,AB=AC,以AB为直径的00交BC于D,交AC于E, B为切点的切线交0D延长线于F. 求证:EF与OO相切. 例2如图,已知:AB是的直径,点C在€)0上,且ZCAB=30°, BD=0B, D在AB 的延长线上. 求证:DC是00的切线

中考数学专题训练圆的证明与计算

圆的证明与计算 1.如图,已知△ABC内接于⊙O,P是圆外一点,PA为⊙O的切线,且PA =PB,连接OP,线段AB与线段OP相交于点D. (1)求证:PB为⊙O的切线; (2)若PA=4 5 PO,⊙O的半径为10,求线段PD的长. 第1题图(1)证明:如解图,连接OA、OB, 第1题解图∵PA=PB,OA=OB,OP=OP, ∴△OAP≌△OBP(SSS), ∴∠OAP=∠OBP, ∵PA为⊙O的切线, ∴∠OAP=90°, ∴∠OBP=90°, ∵OB为⊙O的半径,

(2)解:∵PA =4 5PO ,⊙O 的半径为10, ∴在Rt △AOP 中,OA =PO 2-(45 PO )2=10, 解得PO = 503 , ∴cos ∠AOP =AO OP =OD AO , ∴OD =6, ∴PD =PO -OD =32 3 . 2. 如图,在△ABC 中,AB =AC ,点D 为BC 上一点,且AD =DC ,过A ,B ,D 三点作⊙O ,AE 是⊙O 的直径,连接DE . (1)求证:AC 是⊙O 的切线; (2)若cos C =3 5 ,AC =24,求直径AE 的长. 第2题图 (1)证明:∵AB =AC ,AD =DC , ∴∠C =∠B ,∠DAC =∠C , ∴∠DAC =∠B , 又∵∠E =∠B , ∴∠DAC =∠E , ∵AE 是⊙O 的直径, ∴∠ADE =90°, ∴∠E +∠EAD =90°, ∴∠DAC +∠EAD =90°,

∴AE ⊥AC , ∵OA 是⊙O 的半径, ∴AC 是⊙O 的切线; (2)解:如解图,过点D 作DF ⊥AC 于点F , 第2题解图 ∵DA =DC , ∴CF =1 2 AC =12, 在Rt △CDF 中,∵cos C =CF CD =3 5 , ∴DC =20, ∴AD =20, 在Rt △CDF 中,由勾股定理得1622==CF CD DF -, ∵∠ADE =∠DFC =90°,∠E =∠C , ∴△ADE ∽△DFC , ∴AE DC =AD DF , 即 AE 20=16 20 ,解得AE =25, 即⊙O 的直径AE 为25. 3.如图,在△ABC 中,AB =BC ,以AB 为直径作⊙O ,交BC 于点D ,交AC 于点E ,过点E 作⊙O 的切线EF ,交BC 于点F . (1)求证:EF ⊥BC ; (2)若CD =2,tan C =2,求⊙O 的半径.

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