第六章 实数单元 期末复习测试综合卷检测试卷
第六章实数单元期末复习测试综合卷检测试卷
一、选择题
1．设[x]表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），则
[1
]+[2]+[3]+…+[36]=（）
A．132 B．146 C．161 D．666
2．有一个数阵排列如下：
1 2 4 7 11 16 22
3 5 8 12 17 23
6 9 13 18 24
10 14 19 25
15 20 26
21 27
28
则第20行从左至右第10个数为（）
A．425B．426C．427D．428
3．若a2=(-5)2，b3=(-5)3，则a+b的值是（）
A．0或-10或10 B．0或-10 C．-10 D．0
4．按照下图所示的操作步骤，若输出y的值为22，则输入的值x为（）
A．3 B．-3 C．±3 D．±9
5．实数3
10,25）
A3
10325
< 31025 < C3 10253 < << 6．下列各组数的大小比较正确的是() A56B3πC．5.329D． 3.1 -＞﹣3.1 7．33 x y，则x和y的关系是( )． A．x＝y＝0B．x和y互为相反数 C．x和y相等D．不能确定 8．3的平方根是（） A．3B．9 C3D．±9 9．下列各组数中互为相反数的是（） A．32 (3) -B．﹣|2|2） C3838-D．﹣2和1 2 10．下列运算中，正确的是（） A ．93=± B ．382= C ．|4|2-=- D ．2(8)8-=- 二、填空题 11．如图所示，把半径为2个单位长度的圆形纸片放在数轴上，圆形纸片上的A 点对应原点，将圆形纸片沿着数轴无滑动地逆时针滚动一周，点A 到达点A′的位置，则点A′表示的数是_______． 12．[x )表示小于x 的最大整数，如[2.3)=2，[-4)=-5，则下列判断：①[3 8 5 -)= 8-；②[x ) –x 有最大值是0；③[x ) –x 有最小值是-1；④x 1-≤[x ) 根据你发现的规律，取每行的第8个数，并求出它们的和_______（要求写出最后的计算结果）． 14．若x +1是125的立方根，则x 的平方根是_________． 15．已知M 是满足不等式36a -<< 的所有整数的和，N 是满足不等式x ≤ 372 2 -的最大整数，则M ＋N 的平方根为________． 16．按如图所示的程序计算：若开始输入的值为64，输出的值是_______． 17．用⊕表示一种运算，它的含义是：1(1)(1) x A B A B A B ⊕= ++++，如果5 213 ⊕= ，那么45⊕= __________． 18．按下面的程序计算： 若输入n=100，输出结果是501；若输入n=25，输出结果是631，若开始输入的n 值为正整数，最后输出的结果为656，则开始输入的n 值可以是________． 19．如果某数的一个平方根是﹣5，那么这个数是_____． 20．比较大小： 51 -__________0.5．（填“>”“<”或“=”） 三、解答题 21．规定：求若干个相同的有理数（均不等于 0）的除法运算叫做除方，如 2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈 3 次方，”（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作：“（﹣3）的圈 4 次方”．一般地，把个记作 a ?，读作 “a 的圈 n 次方” （初步探究） （1）直接写出计算结果：2③ ，（﹣ 12 ）③ ． （深入思考） 2④2 1111112222222?? =???=?= ??? 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试，仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．5⑥；（﹣12 ）⑩ ． （3）猜想：有理数 a （a ≠0）的圈n （n ≥3）次方写成幂的形式等于多少． (4)应用：求（-3）8×（-3）⑨ -（﹣12）9×（﹣12 ）⑧ 22．观察下列各式： 11 1122-? =-+； 11112323-?=-+； 11113434-?=-+； … (1)你发现的规律是_________________.(用含n 的式子表示； (2)用以上规律计算：1111223????-? +-?+ ? ?????11113420172018????-?+???+-? ? ????? 23．对于实数a ，我们规定：用符号??a a ??a 为a 的根整 数，例如：93?=?，10=3． (1)仿照以上方法计算：4=______；26=_____． (2)若1x =，写出满足题意的x 的整数值______． 如果我们对a 连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次 3= →=1，这时候结果为1． (3)对100连续求根整数，____次之后结果为1． (4)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是____． 24．观察下列等式： 111122=-?，1112323=-?，111 3434 =-? ， 将以上三个等式两边分别相加得：11111111112233422334++=-+-+-???=13 144 -= （1）猜想并写出： 1 n(n 1) + = ． （2）直接写出下列各式的计算结果： ①1111 (12233420152016) ++++????= ； ② 1111 ...122334(1) n n ++++????+= ； （3）探究并计算：1111 (24466820142016) ++++????． 25．探究： () ()( ) 211132432222122222222-=?-?=-==-= = …… （1）请仔细观察，写出第5个等式； （2）请你找规律，写出第n 个等式； （3）计算：22018201920202222-2++???++． 26．观察下列两个等式：112- 2133=?+，22 5-5133 =?+，给出定义如下：我们称使等式 1a b ab -=+ 成立的一对有理数a ，b 为“共生有理数对”，记为（a ，b ），如：数对（2， 13），（5，2 3 ），都是“共生有理数对”． （1）数对（-2，1），（3， 1 2 ）中是“共生有理数对”吗？说明理由． （2）若（m ，n ）是“共生有理数对”，则（-n ，-m ）是“共生有理数对”吗？说明理由． 【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除 一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 分析：先计算出1.52，2.52，3.52，4.52，5.52，即可得出中有2个1，4个2，6个3，8个4，10个5，6个6，从而可得出答案． 详解：1.52=2.25，可得出有2个1； 2.52=6.25，可得出有4个2； 3.52=12.25，可得出有6个3； 4.52=20.25，可得出有8个4； 5.52=30.25，可得出有10个5； 则剩余6个数全为6. 故=1×2+2×4+3×6+4×8+5×10+6×6=146. 故选：B. 点睛本题考查了估算无理数的大小. 2．B 解析：B 【解析】 试题解析：寻找每行数之间的关系，抓住每行之间的公差成等差数列， 便知第20行第一个数为210，而每行的公差为等差数列， 则第20行第10个数为426， 故选B. 3．B 解析：B 【分析】 直接利用平方根和立方根的计算得出答案. 【详解】 ∵a 2=(-5)2 ，b 3=(-5)3, ∴a=±5,b=-5, ∴a+b=0或-10，故选B. 【点睛】 本题考查了平方根和立方根，掌握平方根和立方根的性质是关键． 4．C 解析：C 【分析】 根据操作步骤列出方程，然后根据平方根的定义计算即可得解. 【详解】 由题意得：23522x -=， ∴29x =， ∵2 (39)±=， x=±， ∴3 故选：C. 【点睛】 此题考查平方根的定义，求一个数的平方根，利用平方根的定义解方程，正确理解计算的操作步骤得到方程是解题的关键. 5．D 解析：D 【分析】 先把3化成二次根式和三次根式的形式，再把3做比较即可得到答案. 【详解】 解：∵3== ∴3=< 3=> <<， 3 故D为答案. 【点睛】 本题主要考查了实数的大小比较，能熟练化简二次根式和三次根式是解题的关键，当二次根式和三次根式无法再化简时，可把整数化成二次根式或者三次根式的形式再做比较. 6．A 解析：A 【分析】 正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】 ， ∴选项A符合题意； ， ∴选项B不符合题意； ∵5.3 ∴选项C不符合题意； -＜﹣3.1， ∵ 3.1 ∴选项D不符合题意． 故选A． 【点睛】 此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 7．B 解析：B 【解析】 分析：先移项，再两边立方，即可得出x=-y，得出选项即可． 详解： , = ∴x=-y， 即x、y互为相反数， 故选B． 点睛：考查了立方根，相反数的应用，解此题的关键是能得出x=-y． 8．A 解析：A 【分析】 直接根据平方根的概念即可求解． 【详解】 解：∵（2＝3， ∴3的平方根是为． 故选A． 【点睛】 本题主要考查了平方根的概念，比较简单． 9．B 解析：B 【分析】 根据相反数的定义，找到只有符号不同的两个数即可． 【详解】 解：A3，3 B、﹣||，﹣||）两数互为相反数，故本选项正确； C22 D、﹣2和1 2 两数不互为相反数，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】 考查了相反数的定义：要知道，只有符号不同的两个数互为相反数．10．B 解析：B 【分析】 根据平方根及立方根的定义逐一判断即可得答案． 【详解】 ，故该选项运算错误， 2 =，故该选项运算正确， 2 =，故该选项运算错误， 8 =，故该选项运算错误， 故选：B． 【点睛】 本题考查平方根、算术平方根及立方根，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；其中正的平方根叫做这个数的算术平方根；一个数的立方根只有一个． 二、填空题 11．-4 【解析】 解：该圆的周长为2π×2=4π，所以A′与A的距离为4π，由于圆形是逆时针滚动，所以A′在A的左侧，所以A′表示的数为-4π，故答案为-4π． 解析：-4π 【解析】 解：该圆的周长为2π×2=4π，所以A′与A的距离为4π，由于圆形是逆时针滚动，所以A′在A的左侧，所以A′表示的数为-4π，故答案为-4π． 12．③，④ 【分析】 ①[x) 示小于x的最大整数，由定义得[x)x≤[x)+1，[)<<-8，[)=-9即可， ②由定义得[x)x变形可以直接判断， ③由定义得x≤[x)+1，变式即可判断， ④由定义 解析：③，④ 【分析】 ①[x) 示小于x的最大整数，由定义得[x) 3 8 5 -)< 3 8 5 -<-8，[ 3 8 5 -)=-9即可， ②由定义得[x) ③由定义得x≤[x)+1，变式即可判断， ④由定义知[x) 由定义知[x) ①[ 3 8 5 -)=-9①不正确， ②[x)表示小于x的最大整数，[x) ③x≤[x)+1，[x)-x≥-1，[x)–x有最小值是-1，③正确， ④由定义知[x) 由x≤[x)+1变形的x-1≤[x)， ∵[x) -≤[x) ∴x1 ④正确． 故答案为：③④． 【点睛】 本题考查实数数的新规定的运算，阅读题给的定义，理解其含义，掌握性质[x) 13．515 【分析】 由已知条件可得：①中各数都符合2n的形式，②中各数比①中对应数字大3，按此规律即可求得①、②中第8个数的值，再求和即可． 【详解】 根据题意可知，①中第8个数为28=256；②第8 解析：515 【分析】 由已知条件可得：①中各数都符合2n的形式，②中各数比①中对应数字大3，按此规律即可求得①、②中第8个数的值，再求和即可． 【详解】 根据题意可知，①中第8个数为28=256；②第8个数为28+3=259， 故它们的和为256+259=515， 故答案为：515． 【点睛】 考查了要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，解题关键是找出①②中各数间的规律． 14．±2 【分析】 先根据立方根得出x的值，然后求平方根． 【详解】 ∵x+1是125的立方根 ∴x+1=，解得：x=4 ∴x的平方根是±2 故答案为：±2 【点睛】 本题考查立方根和平方根，注意一个正 解析：±2 【分析】 先根据立方根得出x的值，然后求平方根． 【详解】 ∵x+1是125的立方根 ∴x=4 ∴x的平方根是±2 故答案为：±2 【点睛】 本题考查立方根和平方根，注意一个正数的平方根有2个，算术平方根只有1个．15．±2 【分析】 首先估计出a的值，进而得出M的值，再得出N的值，再利用平方根的定义得出答案． 【详解】 解：∵M是满足不等式－的所有整数a的和， ∴M＝－1＋0＋1＋2＝2， ∵N是满足不等式x≤的 解析：±2 【分析】 首先估计出a的值，进而得出M的值，再得出N的值，再利用平方根的定义得出答案．【详解】 < 解：∵M a ∴M＝－1＋0＋1＋2＝2， ∵N是满足不等式x ∴N＝2， ∴M＋N＝±2． 故答案为：±2． 【点睛】 此题主要考查了估计无理数的大小，得出M，N的值是解题关键． 16．【分析】 根据运算顺序，先求算术平方根，再求立方根，最后求算术平方根，可得答案． 【详解】 解：＝8，＝2，2的算术平方根是， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握 【分析】 根据运算顺序，先求算术平方根，再求立方根，最后求算术平方根，可得答案． 【详解】 82，2， ． 【点睛】 本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握算术平方根和立方根的意义是解题关键． 17．【分析】 按照新定义的运算法先求出x ，然后再进行计算即可. 【详解】 解：由 解得：x=8 故答案为. 【点睛】 本题考查了新定义运算和一元一次方程，解答的关键是根据定义解一元一次方程，求得x 的 解析： 1745 【分析】 按照新定义的运算法先求出x ，然后再进行计算即可. 【详解】 解：由1521=21(21)(11)3 x ⊕=++++ 解得：x=8 18181745==45(41)(51)93045 ⊕= +++++ 故答案为 1745 . 【点睛】 本题考查了新定义运算和一元一次方程，解答的关键是根据定义解一元一次方程，求得x 的值. 18．131或26或5. 【解析】 试题解析：由题意得，5n+1=656， 解得n=131， 5n+1=131， 解得n=26， 5n+1=26， 解得n=5. 解析：131或26或5. 【解析】 试题解析：由题意得，5n+1=656， 解得n=131， 5n+1=131， 解得n=26， 5n+1=26， 解得n=5. 19．25 【分析】 利用平方根定义即可求出这个数. 【详解】 设这个数是x（x≥0），所以x＝（-5）2＝25. 【点睛】 本题解题的关键是掌握平方根的定义. 解析：25 【分析】 利用平方根定义即可求出这个数. 【详解】 设这个数是x（x≥0），所以x＝（-5）2＝25. 【点睛】 本题解题的关键是掌握平方根的定义. 20．＞ 【分析】 首先把两个数采用作差法相减，根据差的正负情况即可比较两个实数的大小．【详解】 ∵， ∵-2＞0， ∴＞0． 故＞0.5． 故答案为：＞. 【点睛】 此题考查实数大小比较，解题关键在于 解析：＞ 【分析】 首先把两个数采用作差法相减，根据差的正负情况即可比较两个实数的大小．【详解】 1 2 ＞0， ∴ 2 2 ＞0． ＞0.5． 故答案为：＞. 【点睛】 此题考查实数大小比较，解题关键在于掌握比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等． 三、解答题 21．（1）1 2 ，-2；（2）（ 1 5 ）4，（﹣2）8；（3） n-2 1 a ?? ? ?? ；（4） 7 -2 8 . 【分析】 （1）分别按公式进行计算即可； （2）把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果； （3）结果前两个数相除为1，第三个数及后面的数变为1 a ，则a?=a×( 1 a )n-1； （4）将第二问的规律代入计算，注意运算顺序．【详解】 解：（1）2③=2÷2÷2=1 2 ，（﹣ 1 2 ）③=﹣ 1 2 ÷（﹣ 1 2 ）÷（﹣ 1 2 ）=﹣2； （2）5⑥=5×1 5 × 1 5 × 1 5 × 1 5 × 1 5 =（ 1 5 ）4，同理得；（﹣ 1 2 ）⑩=（﹣2）8； （3）a?=a×1 a × 1 a ×…× n-2 11 a a ?? = ? ?? ； (4)（-3）8×（-3）⑨-（﹣1 2 ）9×（﹣ 1 2 ）⑧ =（-3）8×（ 1 - 3 ）7 -（﹣ 1 2 ）9×（-2）6 =-3-(-1 2 )3 =-3+1 8 = 7 -2 8 . 【点睛】 本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序． 22．（1） 1111 11 n n n n -?=-+ ++ ；（2） 2017 2018 - 【分析】 （1）由已知的等式得出第n个式子为 1111 11 n n n n -?=-+ ++ ； （2）根据规律将原式中的积拆成和的形式，运算即可.【详解】 （1）∵第1个式子为 11 11 22 -?=-+ 第2个式子为 1111 2323 -?=-+ 第3个式子为 1111 3434 -?=-+ …… ∴第n个式子为 1111 11 n n n n -?=-+ ++ 故答案为： 1111 11 n n n n -?=-+ ++ （2）由（1）知：原式 1111111 (1)()()() 2233420172018 =-++-++-++???+-+ 1 1 2018 =-+ 2017 2018 =- 【点睛】 本题考查有理数的混合运算以及数字规律，分析题目，找出规律是解题关键. 23．（1）2；5；（2）1，2，3；（3）3；（4）255 【分析】 （1 （2）根据定义可知x＜4，可得满足题意的x的整数值； （3）根据定义对120进行连续求根整数，可得3次之后结果为1； （4）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案． 【详解】 解：（1）∵22=4， 62=36，52=25, ∴5 ＜6， ∴ ]=[2]=2，]=5， 故答案为2，5； （2）∵1 2=1，22=4，且]＝1， ∴x=1，2，3， 故答案为1，2，3； （3）第一次： ， 第二次：， 第三次：， 故答案为3； （4）最大的正整数是255， 理由是：∵，，]=1， ∴对255只需进行3次操作后变为1， ∵ ，，]=2，]=1， ∴对256只需进行4次操作后变为1， ∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255， 故答案为255． 【点睛】 本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的平方数的计算能力． 24．（1）11 1 n n - + ；（2）①2015 2016 ；② 1 n n+ ；（3）1007 4032 . 【分析】 （1）观察所给的算式可得：分子为1，分母为两个相邻整数的分数可化为这两个整数的倒 数之差，由此即可解答；（2）根据所得的规律把各分数进行转化，再进行分数的加减运算即可解答；（3）先提取1 4 ，类比（2）的运算方法解答即可． 【详解】 （1）()11n n + =11 1 n n -+； （2）① 1111...12233420152016++++????=11111122334-+-+-+…+1120152016-=112016-=20152016 ； ② ()1111...1223341n n ++++????+=11111122334-+-+-+…+111n n -+=111 n -+=1 n n +； （3）1111...24466820142016++++???? =14（1111 ...12233410071008++++????）， =14（11111122334-+-+-+…+11 10071008-）， = 14（111008-）， =14×10071008 =10074032. 【点睛】 本题考查了有理数的运算，根据题意找出规律是解决问题的关键. 25．（1）655552222122-=?-?=；（2）12222122n n n n n +--=??=；（3）-2 【分析】 （1）直接根据规律即可得出答案； （2）根据前3个式子总结出来的规律即可求解； （3）利用规律进行计算即可． 【详解】 解（1）26﹣25＝2×25﹣1×25＝25 ， （2）2n +1﹣2n ＝2×2n ﹣1×2n ＝2n ， （3）21+22+…+22018+22019﹣22020＝21+22+…+22018+（22019﹣22020）＝21+22+…+22018﹣22019＝21+22+…+22017+（22018﹣22019）＝…＝21﹣22＝-2． 【点睛】 本题主要考查有理数的运算与规律探究，找到规律是解题的关键． 26．(1) (?2,1)不是“共生有理数对”， 1 3, 2 ?? ? ?? 是“共生有理数对”；理由见详解. (2)(?n,?m)是“共生有理数对”，理由见详解.【分析】 （1）根据“共生有理数对”的定义即可判断；（2）根据“共生有理数对”的定义即可判断；【详解】 (1)?2?1=?3，?2×1+1=1， ∴?2?1≠?2×1+1， ∴(?2,1)不是“共生有理数对”， ∵ 1515 3,31 2222 -=?+=， ∴ 11 331 22 -=?+， ∴( 1 3, 2 )是“共生有理数对”； (2)是. 理由：? n?(?m)=?n+m， ?n?(?m)+1=mn+1 ∵(m,n)是“共生有理数对” ∴m?n=mn+1 ∴?n+m=mn+1 ∴(?n,?m)是“共生有理数对”， 【点睛】 考查有理数的混合运算，整式的加减—化简求值，等式的性质，读懂题目中“共生有理数对”的定义是解题的关键.