向量的数量积练习
平面向量三、向量的数量积
1、若a 、b 、c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定成立的是（ ） A. (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ) B. (a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c C. m(a ＋b )＝m a ＋m b D. (a ·b )·c ＝a ·(b ·c )
2、设向量a ＝（1，cos θ）与b ＝（－1， 2cos θ）垂直，则cos2θ等于（ ）
A.
22 B. 12 C. 0 D. －1 3、设x ∈R ，向量a ＝（x ，1），b ＝（1，－2），且a ⊥b ，则|a ＋b |等于（ ）
A. 5
B. 10
C. 25
D. 10 4、如果a ·b ＝a ·c ，且a ≠0，那么（ ） A. b ＝c B. b ＝λc C. b ⊥c D. b ，c 在a 方向上的投影相等 5、已知|a |＝1，|b |＝6，a ·（b －a ）＝2，则向量a 与向量b 的夹角是（ ） A. π6 B. π4 C. π3 D. π2 6、已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为120°，a ＋b ＋c ＝0，则a 与c 的夹角为（ ） A. π6 B. π4 C. π3 D. π2
7、等边△ABC 的边长为2，平面内一点M 满足CM →＝13CB →＋12
CA →，则MA →·MB →等于（ ） A. 139 B. －139 C. 89 D. －89 8、已知a ＝(－3，2)，b ＝(－1，0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值___ 9、已知向量a ，b 满足（a ＋2b ）·（a －b ）＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为
10、已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝ 11、已知向量a ＝(sinθ，1)，b ＝(1，－cosθ)，θ∈(0，π)．且a ⊥b ，则θ＝____． 12. 已知向量a 、b 的夹角为45°，且|a |＝4，????12a ＋b ·(2a －3b )＝12，则|b |＝____；b 在a 方向上的投影等于__ __。 13、在△ABC 中，2AB AC AB AC uu u r uu u r uu u r uu u r g =-=，22_____AB AC +=uu u r uu u r
14、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o .如图所示，点C 在
以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+ 其中,x y R ∈,则x y +的最大值是
________.
15、已知△ABC 的外接圆的圆心为O 且半径为1，若
3OA →＋4OB →＋5OC →＝0，则OA →·BC →＝ .
16、已知AB →＝（6，1），BC →＝（x ，y ），CD →＝（－2，
－3），若BC →∥DA →，AC →⊥BD →.
（1）求x 、y 的值；
（2）求四边形ABCD 的面积。
17、（1）已知平面向量a ，b ，|a |＝1，b ＝（2，0），a ⊥（a －2b ），求|2a ＋b |的值； （2）已知三个向量a 、b 、c 两两所夹的角都为120°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，求向量a ＋b ＋c 与向量a 的夹角。
18、已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sinB ，sinA)，p ＝(b －2，a －2)． （1）若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形； （2）若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3
，求△ABC 的面积．
19、已知向量a ＝(cosx ，sinx)，b ＝(－cosx ，cosx)，c ＝(－1，0)． （1）若x ＝π6，求向量a 与c 的夹角； （2）当x ∈????π2，9π8时，求函数f(x)＝2a ·
b ＋1的最大值．
非零向量a ＝（sin θ，1），b ＝（0，cos θ），a －b 所在直线的倾斜角为α. （1）若a 与b 共线，求θ的值；
（2）当θ∈（0，π）时，求证：α＝θ2
.
平面直角坐标系下，点P （x ，y ）满足?????x －y －2≤0，y －2≤0，x ＋2y －5≥0，
线段AB 是圆x 2＋（y ＋2）2＝1
的任意一条直径，求PA →·PB →的最大值.
14、设21,e e 为单位向量,非零向量R y x e y e x ∈+=,,21,若21,e e 的夹角为6π,最大值等于________.
对任意两个非零的平面向量α和β，定义α°β＝α·ββ·β
.若平面向量a ，b 满足|a|≥|b|＞0，a 与b 的夹角θ∈????0，π4，且a°b 和b°a 都在集合????
??n 2|n ∈Z 中，则a°b 等于（ ） A. 12 B. 1 C. 32 D. 52
平面向量数量积练习题
平 面 向 量 数 量 积 练 习 题 一.选择题 1.下列各式中正确的是 （ ） （1）(λ·a ) ·b =λ·(a b )=a · (λb ), （2）|a ·b |= | a |·| b |, （3）(a ·b )· c = a · (b ·c ), （4）(a +b ) · c = a ·c +b ·c A ．（1）（3） B ．（2）（4） C ．（1）（4） D ．以上都不对. 2.在ΔABC 中,若(CA CB)(CA CB)0+?-= ,则ΔABC 为 （ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．无法确定 3． 已知|a |＝6，|b |＝3，a·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．2 4.已知||=1,||=2，且(－)与垂直，则与的夹角为 （ ） A ．60° B ．30° C ．135° D ．45° 5.设||= 4，||= 3，夹角为60°，则|+|等于 （ ） A ．37 B ．13 C ．37 D ．13 6．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10 7． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.????79，73 B.????－73，－79 C.????73，79 D.????－79，－73 二.填空题 8.已知e 是单位向量，∥e 且18-=?e a ，则向量a =__________. 9．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 10． 已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________． 三.解答题 11． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°. (1)求b ； (2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c .
平面向量的数量积练习题[
§5.3 平面向量的数量积 一、选择题 1．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 解析：由a ∥b 及a ⊥c ，得b ⊥c ， 则c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2c ·b ＝0. 答案：D 2．若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －? ?? ?? a ·a a · b b ，则向量a 与 c 的夹角为( ) A ．0 B.π6 C.π3 D.π 2 解析 ∵a·c ＝a·???? ??a －? ????a·a a·b b ＝a·a －? ?? ?? a 2a· b a·b ＝a 2－a 2＝0， 又a ≠0， c ≠0，∴a⊥c ，∴〈a ，c 〉＝π 2 ，故选D. 答案 D 3. 设向量a =（1.cos θ）与b =（-1， 2cos θ）垂直，则cos2θ等于 （ ） A 2 B 1 2 C .0 D.-1 解析 22,0,12cos 0,cos 22cos 10.a b a b θθθ⊥∴?=∴-+=∴=-=正确的是C. 答案C 4．已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( )． A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．2 解析 设a 与b 的夹角为θ，∵a ·b 为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的投影的乘积，而cos θ＝ a · b |a ||b |＝－2 3 ， ∴|a |cos θ＝6×? ???? －23＝－4. 答案 A
5．若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )． A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2 解析 由已知条件，向量a ，b ，c 都是单位向量可以求出，a 2＝1，b 2＝1，c 2＝1，由a ·b ＝0，及(a －c )(b －c )≤0，可以知道，(a ＋b )·c ≥c 2＝1，因为|a ＋b － c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ，所以有|a ＋b －c |2＝3－2(a ·c ＋b ·c )≤1， 故|a ＋b －c |≤1. 答案 B 6．已知非零向量a 、b 满足|a |＝3|b |，若函数f (x )＝1 3x 3＋|a |x 2＋2a·b x ＋1 在x ∈R 上有极值，则〈a ，b 〉的取值范围是( ) A.? ? ????0，π6 B.? ? ???0，π3 C.? ?? ?? π6，π2 D.? ?? ?? π6，π 解析 ∵f (x )＝13x 3＋|a |x 2 ＋2a·b x ＋1在x ∈R 上有极值，∴f ′(x )＝0有两不 相等的实根，∵f ′(x )＝x 2＋2|a |x ＋2a·b ，∴x 2＋2|a |x ＋2a·b ＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4|a |2－8a·b ＞0，即a·b ＜12|a |2，∵cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |， |a |＝3|b |，∴cos 〈a ，b 〉＜1 2|a |2|a ||b |＝3 2，∵0≤〈a ，b 〉≤π， ∴π 6＜〈a ，b 〉≤π. 答案 D 7．如图，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是 ( )．
(完整版)平面向量的数量积练习题.doc
平面向量的数量积 一．选择题 1. 已知 a ( 2,3), b ( 1, 1),则 a ?b 等于 （ ） A.1 B.-1 C.5 D.-5 r r r r r r r r 2．向量 a ， b 满足 a 1, b 4, 且 a b 2 ,则 a 与 b 的夹角为（ ） A ． B ． 4 C ． D ． 2 6 3 r r 60 0 r r ） 3．已知 a, b 均为单位向量，它们的夹角为 ，那么 a 3b （ A ． 7 B ． 10 C ． 13 D ． 4 4 ．若平面向量 与向量 的夹角是 ，且 ，则 ( ) A ． B ． C ． D ． 5. 下面 4 个有关向量的数量积的关系式① 0 ?0 =0 ②（ a ?b ） ?c = a ?（ b ? c ） ③ a ?b = b ?a ④ | a ?b | ≦ a ?b ⑤ | a ?b | | a | ?| b | 其中正确的是（ ） A ． ① ② B 。 ① ③ C 。③ ④ D 。③ ⑤ 6. 已知 | a |=8 ， e 为单位向量，当它们的夹角为 时， a 在 e 方向上的投影为（ ） 3 A ． 4 3B.4 C.4 2 3 D.8+ 2 7. 设 a 、 b 是夹角为 的单位向量，则 2a b 和 3a 2b 的夹角为（ ） A ． B ． C ． D ． 8. 已知 a =(2,3) , b =( 4 ,7) , 则 a 在 b 上的投影值为（ ） A 、 13 B 、 13 C 、 65 D 、 65 5 5 9. 已知 a (1,2), b ( 3,2), ka b 与 a 3b 垂直时 k 值为 （ ） A 、 17 B 、 18 C 、 19 D 、 20
向量知识点总结
高中数学第五章-平面向量 考试内容： 向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．线段的定比分点．平面向量的数量积．平面两点间的距离、平移． 考试要求： （1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念． （2）掌握向量的加法和减法． （3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件． （4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算． （5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件． （6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式． §05. 平面向量 知识要点 1.本章知识网络结构 2.向量的概念 (1)向量的基本要素：大小和方向. (2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a ； 坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜. (4)特殊的向量：零向量a ＝O ?｜a ｜＝O . 单位向量a O 为单位向量?｜a O ｜＝1. (5)相等的向量：大小相等，方向相同 (ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）???==?2 12 1y y x x (6) 相反向量：a =-b ?b =-a ?a +b =0 (7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量. 3.向量的运算
(1)平面向量基本定理 e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有， 一对实数λ 1 λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. (2)两个向量平行的充要条件 a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝O.
平面向量数量积及运算基础练习题
精品 平面向量的数量积及运算练习题 一、选择题： 1、下列各式中正确的是 （ ） （1）(λ·a) ·b=λ·(a b)=a · (λb), （2）|a ·b|= | a |·| b |, （3）(a ·b)· c= a · (b ·c), （4）(a+b) · c = a ·c+b ·c A ．（1）（3） B ．（2）（4） C ．（1）（4） D ．以上都不对. 2、在ΔABC 中,若(CA CB)(CA CB)0+?-=,则ΔABC 为 （ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．无法确定 3、若| a |=| b |=| a －b |, 则b 与a+b 的夹角为 （ ） A ．30° B ．60° C ．150° D ．120° 4、已知| a |=1,| b |=2 ,且(a －b)和a 垂直,则a 与b 的夹角为 （ ） A ．60° B ．30° C ．135° D ．45° 5、若2AB BC AB 0?+=,则ΔABC 为 （ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰直角三角形 6、设| a |= 4, | b |= 3, 夹角为60°, 则| a+b |等于 （ ） A ．37 B ．13 C ．37 D ．13 7、己知 | a |= 1,| b |= 2, a 与的夹角为60, c =3a+b, d =λa －b ,若c ⊥d,则实数λ的值为（ ） A ． 74 B ．75 C ．47 D ．5 7 8、设 a,b,c 是平面内任意的非零向量且相互不共线,则其中真命题是 （ ） ① (a ·b)·c －(c ·a)·b=0 ② | a | －| b |< | a －b | ③ (b ·c)·a －(c ·a)·b 不与c 垂直 ④ (3a+2b) ·(3a －2b)= 9| a | 2－4| b | 2 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 9.（陕西）已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ?? ?+?= ???且12AB AC AB AC ?=, 则ABC △为 .A 等边三角形 .B 直角三角形 .C 等腰非等边三角形 .D 三边均不相等的三角形 10(全国Ⅰ文）点O 是ABC △所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ?=?=?，则点O 是ABC △的 .A 三个内角的角平分线的交点 .B 三条边的垂直平分线的交点 .C 三条中线的交点 .D 三条高的交点 11．已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ，若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为( )． A ．[－2,2] B ．[－2,3] C ．[－3,2] D ．[－3,3]
高中数学有关平面向量的公式的知识点总结.
定比分点定比分点公式(向量P1P=向量PP2 设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数,使向量P1P=向量PP2,叫做点P分有向线段P1P2所成的比。 若P1(x1,y1,P2(x2,y2,P(x,y,则有 OP=(OP1+OP2(1+;(定比分点向量公式 x=(x1+x2/(1+, y=(y1+y2/(1+。(定比分点坐标公式 我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式 三点共线定理 若OC=OA +OB ,且+=1 ,则A、B、C三点共线 三角形重心判断式 在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心 [编辑本段]向量共线的重要条件 若b0,则a//b的重要条件是存在唯一实数,使a=b。 a//b的重要条件是 xy-xy=0。零向量0平行于任何向量。 [编辑本段]向量垂直的充要条件 ab的充要条件是 ab=0。 ab的充要条件是 xx+yy=0。 零向量0垂直于任何向量.
设a=(x,y,b=(x,y。 1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x,y+y。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律: 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b+c=a+(b+c。 2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即共同起点,指向被减 a=(x,y b=(x,y 则 a-b=(x-x,y-y. 4、数乘向量实数和向量a的乘积是一个向量,记作a,且∣a∣=∣∣∣a∣。 当>0时,a与a同方向; 当<0时,a与a反方向; 当=0时,a=0,方向任意。 当a=0时,对于任意实数,都有a=0。 注:按定义知,如果a=0,那么=0或a=0。 实数叫做向量a的系数,乘数向量a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。当∣∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(>0或反方向(<0上伸长为原来的∣∣倍;
(完整版)平面向量的数量积练习题(含答案)
平面向量的数量积 A 组 专项基础训练 一、选择题(每小题5分，共20分) 1． (2012·辽宁)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于 ( ) A ．－1 B ．－12 C.12 D ．1 2． (2012·重庆)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10 3． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.? ????79，73 B.? ????－73，－79 C.? ????73，79 D.? ?? ??－79，－73 4． 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于 ( ) A ．－32 B ．－23 C.23 D.32 二、填空题(每小题5分，共15分) 5．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 7． 已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________． 三、解答题(共22分) 8． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°. (1)求b ； (2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c . 9． (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与 向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．
2019年人教版及高中数学平面向量知识点易错点归纳
§5.1 平面向量的概念及线性运算 三角形法则 3.共线向量定理 向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 方法与技巧 1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”． 2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线．如AB →∥CD → 且AB 与CD 不共线，则AB ∥CD ； 若AB →∥BC → ，则A 、B 、C 三点共线．
失误与防范 1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性． 2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误. §5.2 平面向量基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理 如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. 其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 a ＋ b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)， λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 2 1. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB → |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ?x 1y 2－x 2y 1＝0. 方法与技巧 1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键． 2．平面向量共线的坐标表示 (1)两向量平行的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是a ＝λb ，这与x 1y 2－x 2y 1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同． (2)三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定． 失误与防范 1．要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况． 2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1 y 2 ，因为x 2，y 2有可能等 于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.
平面向量的数量积知识点整理
平面向量的数量积 一、平面向量数量积的含义 1. 平面向量数量积的运算 1.已知2,5,(1)||a b a b ==若; (2) a b ⊥;(3) a b 与的夹角为030,分别求. 2.△ABC 中，3||=?→?AB ，4||=?→?AC ，5||=?→ ?BC ，则=?_________ 3.在ABC ?中，已知7=AB ，5=BC ，6=AC ，则________ 2.夹角问题 1.已知|a |=4,|b|=3, a ·b=6，求a 与b 夹角 2.已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则与的夹角为____ 3.已知3||=→a ，5||=→b ，且12=?→→b a ，则向量→a 在向量→b 上的投影为_____ 4.若1,2,a b c a b ===+,且c a ⊥,则向量a 与向量b 的夹角为 5.已知向量、不共线，且||||=，则+与-的夹角为 __________ 6.在ABC ?中=，= ，=，则下列推导正确的是__ _ ① 若0
平面向量数量积的性质及其运算-高中数学知识点讲解
平面向量数量积的性质及其运算1．平面向量数量积的性质及其运算 【知识点的知识】 1、平面向量数量积的重要性质： →→→→→→ 设?，?都是非零向量，?是与?方向相同的单位向量，?与?和夹角为θ，则： →（1）??→ ?= → ? ? →→ ?= |?|cosθ； →（2）?⊥→→ ??? ? → ?= 0；（判定两向量垂直的充要条件） →→→（3）当?，?方向相同时，??→→→→→→ ?= |?||?|；当?，?方向相反时，?? →→→ ?=― |?||?|； →特别地：??→→→ ?= |?|2 或|?| =→? ? → ?（用于计算向量的模） （4）cosθ= →→ ??? （用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）→→ |?||?| →（5）|??→→→?|≤|?||?| 2、平面向量数量积的运算律 →（1）交换律：??→ ?= → ? ? → ?； →→→ （2）数乘向量的结合律：（λ?）??=λ（??→ ?）= →→ ??（??）； →（3）分配律：（??→→ ?）?? ≠ →→ ??（? ? → ?） 【平面向量数量积的运算】 →→ 平面向量数量积运算的一般定理为①（?±?）2 =→→→ ?2±2??? + →→ ?2．②（? ― →→ ?）（?+ → ?）= → ?2 ― →→→→ ?2．③??（??? ） →→→ ≠（???）??，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．【例题解析】 例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： 1/ 3
→①“mn＝nm”类比得到“??→ ?= → ? ? → ?” → ②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（?+→→ ?）?? = → ? ? → ?+ → ? ? → ?”； →→③“t≠0，mt＝nt?m＝n”类比得到“?≠0，??→ ?= → ? ? →→ ???= → ?”； →④“|m?n|＝|m|?|n|”类比得到“|??→→→ ?|＝|?|?|?|”； → ⑤“（m?n）t＝m（n?t）”类比得到“（??→→ ?）?? = →→ ??(? ? → ?)”； ??⑥“ ?? = → ? ? ? → ?”类比得到 ? ? → ? → ? = → ? → ? ．以上的式子中，类比得到的结论正确的是①②． 解：∵向量的数量积满足交换律， →∴“mn＝nm”类比得到“??→ ?= → ? ? → ?”， 即①正确； ∵向量的数量积满足分配律， →∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（?+→→ ?）?? = → ? ? → ?+ → ? ? → ?”， 即②正确； ∵向量的数量积不满足消元律， →→∴“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能类比得到“?≠0，??→ ?= → ? ? →→ ???= → ?”， 即③错误； →∵|??→→→ ?|≠|?|?|?|， → ∴“|m?n|＝|m|?|n|”不能类比得到“|??→→→ ?|＝|?|?|?|”； 即④错误； ∵向量的数量积不满足结合律， →∴“（m?n）t＝m（n?t）”不能类比得到“（??→→ ?）?? = →→ ??(? ? → ?)”，
平面向量数量积练习题
平面向量数量积练习题 .选择题 1?下列各式中正确的是 ( ) (1)(入a) b=X a ()=a - b), (2) |a b |= | a | | -b |, (3) (a b) c= a (b c), (4) (a+b) c = a c+b c A ? (1) (3) B ? (2) (4) C . (1) (4) D ?以上都不对? LUU/ UUV LUU/ UUU 2. 在 A ABC 中若(CA CB)?(CA CB) 0,则 A ABC 为 ( ) A ?正三角形 B ?直角三角形 C ?等腰三角形 D ?无法确定 3. 已知|a|= 6, |b|= 3, a b =- 12,则向量a 在向量b 方向上的投影是( ) A . - 4 B . 4 C .- 2 D . 2 4. 已知|a |=1,|b |= 2， 且(a — b )与a 垂直，则a 与b 的夹角为 ( ) A . 60° B . 30° C . 135° D . 45° 5. 设 4, |b |= 3,夹角为 60°,则 |a + b | 等于( ) A . 37 B . 13 C . .37 D . .13 6 .设 x , y € R ，向量 a = (x,1), b = (1, y), c = (2, — 4)，且 a 丄c , b // c ,则 |a + b|等于( ) A. .5 B. .10 C . 2 , 5 D . 10 7. 已知向量 a = (1,2), b = (2, — 3).若向量 c 满足(c + a) / b , c ± (a + b),贝U c 等于( ) 7 二.填空题 8.已知e 是单位向量，a // e 且a e 18，则向量a = _____________ 9 .已知向量 a , b 夹角为 45 °,且 |a|= 1, |2a — ，贝U |b|= _____ . 10. ____________________________________________________________________________ 已知a = (2, — 1), b =(入3)，若a 与b 的夹角为钝角，贝U 入的取值范围是 ______________________ 三.解答题 11. (10 分)已知 a = (1,2), b = (— 2, n) (n>1), a 与 b 的夹角是 45 ° (1) 求 b ; 7 一 9 - D 7 一 9 7 一 3 G 7 一 9 - 7 一 3? - B
空间向量的数量积(人教A版)(含答案)
空间向量的数量积（人教A版） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知空间三点A(0，2，3)，B(-2，1，6)，C(1，-1，5)，，若向量分别与，垂直，则向量的坐标为( ) A.(1，1，1) B.(-2，-1，1) C.(1，-3，1) D.(1，-1，1) 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 2.已知空间三点A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4）．设，则与夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 3.（上接试题2）若向量与互相垂直，则实数k的值为( ) A.或2 B.或2 C.2 D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 4.向量，若，且，则的值为( ) A.-2 B.2 C.-1 D.1
答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 5.已知空间向量，若与垂直，则( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 6.若向量，且与夹角的余弦值为，则λ等于( ) A.4 B.−4 C. D. 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 7.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD=AA1=1，AB=2，则( ) A.1 B.2 C.3 D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的数量积 8.如图，棱长为a的正四面体ABCD中，( )
2017.04.27平面向量的数量积练习题(含答案)
平面向量的数量积练习题 、选择题 答案: a , b 满足 |a + b|=V i0, |a — b|=V 6，贝U a b =( ) 因为 |a + b|2= (a + b)2= a 2+b 2+ 2a b = 10, |a — b|2= (a — b)2= a 2+ b 2 — 2ab= 6,两式相减得：4a b 答案: b 满足|a|= 2, |b|= 1, a b = 1,则向量a 与a — b 的夹角为（ ） |a — b|= 寸(a — b )—2 =寸a 2 + b 2— 2a b =寸3,设向量a 与a — b 的夹角为 0,则 a ? (a — b ) = 22 — 1、J 3 |a||a — b| = 2X3 = 2， n 又0€[0, n ，所以=n 答案：A D . 12 因为(a + 2b) (a — 3b)= a 2— a b = 6b 2 = |a|2— |a| |b|cos 60 — 6|「b|2 = 「|a|2— 2|a|— 96 = — 72, 所以 |a|2— 2|a|— 24= 0,所以 |a|= 6. 答案：C 1已知|b| = 3, a 在b 方向上的投影是 2 3，则a b 为（ 解析: B.f C . 3 D . 2 由数量积的几何意义知所以 a ? b = IX3 = 2. 2.设向量 解析: =.4，所以 a b = 1. 3.已知向量a , n A. 6 r n B ■ 亍 f 2 n D -3 解析: cos 0= 4. （2015陕西卷）对任意向量 a , b ，下列关系式中不恒成立的是 （ ） A . |ab| 毛|b| |a — b| 4|— |b|| C . (a + b)2= |a + b|2 解 析：根据 a b = |a||b|cos D . (a + b) (a — b)= a 2 — b 2 0又cos 0<1知|a b|毛||b|, A 恒成立.当向量 a 和b 方向不相同时，|a — b|>||a|— |b||, B 不恒成立.根 据 — = — , 恒成立. |a + b|2= a 2+ 2a b + b 2= (a + b)2, C 恒成立.根据向量的运算性质得 (a + b) (a 答案: 5.若向量 a 与b 的夹角为60 ,|b|= 4，且(a + 2 b) (a — 3b) = — 72,贝U a 的模为( 解析:
向量知识点题型归纳
专题--平面向量 1.向向量的相关概念、、 2.向量的线性运算 二．向量的表示方法： 1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等； 3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面 内的任一向量可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量的坐标，＝(),x y 叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 三．平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。如 （1）若(1,1),a b ==(1,1),(1,2)c -=-，则c =______ （答：13 22 a b -）； （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. 12(0,0),(1,2)e e ==- B. 12(1,2),(5,7)e e =-= C. 12(3,5),(6,10)e e == D. 1213(2,3),(,)24 e e =-=- （答：B ）； （3）已知,AD BE 分别是ABC ?的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 可用向量,a b 表示为_____ （答：2 433 a b +）； （4）已知ABC ?中，点D 在BC 边上，且?→ ??→ ?=DB CD 2，?→ ??→ ??→ ?+=AC s AB r CD ，则s r +的值是 （答：0） 四．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度和方向规定如下： ()()1,2a a λλ=当λ>0时，λ的方向与的方向相同，当λ<0时，λ的方向与的方向相反，当λ ＝0时，0a λ=，注意：λa ≠0。 五．平面向量的数量积： 1．两个向量的夹角：对于非零向量，，作,OA a OB b ==，AOB θ∠= ()0θπ≤≤称为向量a ，b 的夹角，当θ＝0时，a ，b 同向，当θ＝π时，a ，b 反向，当θ＝ 2 π 时，a ，垂直。 2．平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：?，即?＝cos a b θ。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注 意数量积是一个实数，不再是一个向量。如 （1）△ABC 中，3||=?→ ?AB ，4||=?→ ?AC ，5||=?→ ?BC ，则=?_________ （答：－9）； （2）已知1 1(1,),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=-，c 与d 的夹角为 4 π ，则k 等于___（答：1）； （3）已知2,5,3a b a b ===-，则a b +等于____ 23； （4）已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则与a a b +的夹角为____（答：30） 3．在上的投影为||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0。如 已知3||=→ a ，5||=→ b ，且12=?→ →b a ，则向量→ a 在向量→ b 上的投影为______ （答：5 12 ） 4．a ?b 的几何意义：数量积a ?b 等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积。 5．向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则： ①0a b a b ⊥??=；
平面向量的数量积及运算练习题
周周清13平面向量的数量积及运算练习题 一、选择题： 1、下列各式中正确的是 （ ） （1）(λ·a ) ·b =λ·(a b )=a · (λb ), （2）|a ·b |= | a |·| b |, （3）(a ·b )· c = a · (b ·c ), （4）(a +b ) · c = a ·c +b ·c A ．（1）（3） B ．（2）（4） C ．（1）（4） D ．以上都不对. 2、在ΔABC 中,若(CA CB)(CA CB)0+?-=u u u v u u u v u u u v u u u v ,则ΔABC 为 （ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．无法确定 3、若| a |=| b |=| a －b |, 则b 与a +b 的夹角为 （ ） A ．30° B ．60° C ．150° D ．120° 4、已知| a |=1,| b |=2 ,且(a －b )和a 垂直,则a 与b 的夹角为 （ ） A ．60° B ．30° C ．135° D ．45° 5、若 2AB BC AB 0?+=u u u v u u u v u u u v ,则ΔABC 为 （ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰直角三角形 6、设| a |= 4, | b |= 3, 夹角为60°, 则| a+b |等于 （ ） A ．37 B ．13 C ．37 D ．13 7、己知 | a |= 1,| b |= 2, a 与的夹角为60, c =3a+b , d =λa －b ,若c ⊥d ,则实数λ的值为（ ） A ． 7 4 B ． 7 5 C ． 4 7 D ． 5 7 8、设 a ,b ,c 是平面内任意的非零向量且相互不共线,则 （ ） ① (a ·b )·c －(c ·a )·b =0 ② | a | －| b |< | a －b | ③ (b ·c )·a －(c ·a )·b 不与c 垂直 ④ (3a +2b ) ·(3a －2b )= 9| a | 2 －4| b | 2 其中真命题是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 9.（06陕西）已知非零向量AB u u u r 与AC u u u r 满足0AB AC BC AB AC ?? ?+?= ??? u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 且12 AB AC AB AC ?=u u u r u u u r u u u r u u u r , 则ABC △为 .A 等边三角形 .B 直角三角形 .C 等腰非等边三角形 .D 三边均不相等的三角形 10.（05全国Ⅰ文）点O 是ABC △所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ?=?=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则点O 是
《空间向量的数量积运算》示范教案
3.1.3空间向量的数量积运算 整体设计 教材分析 本节课在平面向量的夹角和向量长度的概念的基础上，引入了空间向量的夹角和向量长度的概念和表示方法，介绍了空间两个向量数量积的概念、计算方法、性质和运算律，并举例说明利用向量的数量积解决问题的基本方法． 通常，按照传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难．用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高．课时分配 1课时 教学目标 知识与技能 1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法； 2．掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律； 3．掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题． 过程与方法 1．运用类比方法，经历向量的数量积运算由平面向空间推广的过程； 2．引导学生借助空间几何体理解空间向量数量积运算的意义． 情感、态度与价值观 1．培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力； 2．培养学生空间向量的应用意识． 重点难点 教学重点： 1．空间向量的数量积运算及其运算律、几何意义； 2．空间向量的数量积运算及其变形在空间几何体中的应用． 教学难点： 1．空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用； 2．空间向量的数量积运算及其几何应用和理解． 教学过程 引入新课 提出问题：已知在正方体ABCD—A′B′C′D′中，E为AA′的中点，点F在线段 D′C′上，D′F＝1 2FC′，如何确定BE → ，FD → 的夹角？
专题20 平面向量的数量积及向量的应用知识点
考点20 平面向量的数量积及向量的应用 一、平面向量的数量积 1．平面向量数量积的概念 （1）数量积的概念 已知两个非零向量,a b ，我们把数量||||cos θa b 叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作?a b ,即 ?=a b ||||cos θa b ，其中θ是a 与b 的夹角. 【注】零向量与任一向量的数量积为0. （2）投影的概念 设非零向量a 与b 的夹角是θ，则||cos θa (||cos θb )叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影. 如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量a 与b 的夹角为锐角、钝角、直角时向量a 在b 方向上的投影的情形，其中1OB =||cos θa ，它的意义是，向量a 在向量b 方向上的投影长是向量1OB 的长度. （3）数量积的几何意义 由向量投影的定义，我们可以得到?a b 的几何意义：数量积?a b 等于a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影||cos θb 的乘积. 2．平面向量数量积的运算律 已知向量,,a b c 和实数λ,则 ①交换律：?=?a b b a ； ②数乘结合律：()()λλ?=?a b a b =()λ?a b ； ③分配律：()+??+?a b c =a c b c 二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质 设非零向量1122(,),(,)x y x y ==a b ，θ是a 与b 的夹角.
（1）数量积：?=a b 1212||||cos x x y y θ=+a b . （2 ）模：||= =a （3）夹角：cos |||| θ?= =a b a b . （4）垂直与平行：0⊥??=?a b a b 12120x x y y +=；a ∥b ?a ·b =±|a ||b |. 【注】当a 与b 同向时,||||?=a b a b ；当a 与b 反向时,?=a b ||||-a b . （5）性质：|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立) ?1212||x x y y +≤三、平面向量的应用 1．向量在平面几何中常见的应用 已知1122(,),(,)x y x y ==a b . （1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件： λ?=?∥a b a b 1221x y x y -0(0)=≠b （2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂 直的条件： 0⊥??=?a b a b 1212x x y y +0=（其中,a b 为非零向量） （3）求夹角问题，若向量a 与b 的夹角为θ，利用夹角公式： cos θ= |||| ?a b a b =（其中,a b 为非零向量） （4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模： ||= a 或||||AB AB = = ,A B 两点的坐标分别为3344(,),(,)x y x y ） （5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直 角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题. 2．向量在物理中常见的应用 （1）向量与力、速度、加速度及位移 （2）向量与功、动量