概率统计公式大全(复习重点)
第一章随机事件和概率
（1）排列组合公式
)!
(
!
n
m
m
P n
m-
=从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
)!
(!
!
n
m
n
m
C n
m-
=从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）
顺序问题
（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。
（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。
一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。
Ω为必然事件，?为不可能事件。
不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，
必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事件的关系与运算①关系：
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B
A?
如果同时有B
A?，A
B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B
A，它表示A发生而B不发生的事件。
A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，
称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。
②运算：
结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
德摩根率：
∞
=
∞
=
=
1
1i
i
i
i A
A
B
A
B
A
=，B
A
B
A
=
（7）概率的公理化定义
设Ω为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：
1° 0≤P(A)≤1，
2° P(Ω) =1
3° 对于两两互不相容的事件1
A，2A，…有
∑∞
=
∞
=
=
??
?
?
?
?
1
1
)
(
i
i
i
i A
P
A
P
常称为可列（完全）可加性。
则称P(A)为事件A的概率。
（8）古典1°{}nω
ω
ω
2
1
,
=
Ω，
概型
2° n
P P P n 1)()()(21=
==ωωω 。 设任一事件A ，它是由m ωωω 21,组成的，则有
P(A)={})()()(21m ωωω =)()()(21m P P P ωωω+++
n
m =
基本事件总数所包含的基本事件数A =
（9）几何概型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间
中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A ，
)
()
()(Ω=
L A L A P 。其中L 为几何度量（长度、面积、体积）。 （10）加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B) （11）减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当B ?A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=Ω时，P(B )=1- P(B)
（12）条件概率
定义 设A 、B 是两个事件，且P(A)>0，则称
)
()
(A P AB P 为事件A 发生条件下，事件B 发生的条件概率，记为=
)/(A B P )
()
(A P AB P 。 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如P(Ω/B)=1?P(B /A)=1-P(B/A) （13）乘法公式
乘法公式：)/()()(A B P A P AB P =
更一般地，对事件A 1，A 2，…A n ，若P(A 1A 2…A n-1)>0，则有
21(A A P …)n A )|()|()(213121A A A P A A P A P =……21|(A A A P n …)1-n A 。
（14）独立性
①两个事件的独立性
设事件A 、B 满足)()()(B P A P AB P =，则称事件A 、B 是相互独立的。
若事件A 、B 相互独立，且0)(>A P ，则有
)()()
()()()()|(B P A P B P A P A P AB P A B P ===
若事件A 、B 相互独立，则可得到A 与B 、A 与B 、A 与B 也都相互独立。 必然事件Ω和不可能事件?与任何事件都相互独立。 ?与任何事件都互斥。 ②多个事件的独立性
设ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A 、B 、C 相互独立。 对于n 个事件类似。 （15）全概公式
设事件n B B B ,,,21 满足
1°n B B B ,,,21 两两互不相容，),,2,1(0)(n i B P i =>，
2°
n
i i
B A 1
=?，
则有
)|()()|()()|()()(2211n n B A P B P B A P B P B A P B P A P +++= 。
（16）贝叶斯公式
设事件1B ，2B ，…，n B 及A 满足
1° 1B ，2B ，…，n B 两两互不相容，)(Bi P >0，=i
1，2，…，n ，
2°
n
i i
B A 1
=?，0)(>A P ，
则
∑==
n
j j
j
i i i B A P B P B A P B P A B P 1
)
/()()
/()()/(，i=1，2，…n 。
此公式即为贝叶斯公式。
)(i B P ，（1=i ，2，…，n ），通常叫先验概率。)/(A B P i ，（1=i ，2，…，
n ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由
果朔因”的推断。
（17）伯努利概型
我们作了n次试验，且满足
每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；
n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；
每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否
是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。
用
p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为q
p=
-
1，用)
(k
P n表示n 重伯努利试验中A出现)
0(n
k
k≤
≤次的概率，
k
n
k
k
n
n q
p
k
P C-
=
)
(
，
n
k,
,2,1,0
=。
第二章随机变量及其分布
e x
t
2 )
( 2
1 )
第三章二维随机变量及其分布
第四章随机变量的数字特征