高考数学-概率统计案例

高考数学-概率

一、选择题

1．下列事件属于不可能事件的为().

A．连续投掷骰子两次，掷得的点数和为4

B．连续投掷骰子两次，掷得的点数和为8

C．连续投掷骰子两次，掷得的点数和为12

D．连续投掷骰子两次，掷得的点数和为16

2．给出下列事件：

①同学甲竞选班长成功；

②两球队比赛，强队胜利了；

③一所学校共有730名学生，至少有三名学生的生日相同；

④若集合A，B，C，满足A?B，B?C，则A?C；

⑤古代有一个国王想处死一位画师，背地里在2张签上都写上“死”字，再让画师抽“生死签”，画师抽到死签；

⑥7月天下雪；

⑦从1，3，9中任选两数相加，其和为偶数；

⑧骑车通过10个十字路口，均遇红灯．

其中属于随机事件的有().

A．3个B．4个C．5个D．6个

3．每道选择题都有4个选择支，其中只有1个选择支是正确的．某次考试共有12道选择题，如果每题都选择第一个选择支，则结果是().

A．恰有3道题选对

B．选对的题数与3无一定大小关系

C．至多选对3道题

D．至少选对3道题

4．下列事件属于必然事件的为().

A．没有水分，种子发芽

B．电话铃响一声时就被接听

C．实数的平方为正数

D．全等三角形的面积相等

5．在10件同类产品中，其中8件为正品，2件为次品．从中任意抽出3件时，必然事件是().

A．3件都是正品B．至少有1件是次品

C．3件都是次品D．至少有1件是正品

6．事件A的概率P(A)必须满足().

A．0＜P(A)＜1

B．P(A)＝1

C．0≤P(A)≤1

D．P(A)＝0或1

7．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是().

A．至少有1个白球；都是白球

B．至少有1个白球；至少有一个红球

C．恰有一个白球；恰有2个白球

D．至少有一个白球；都是红球

8．如果事件A，B互斥，那么().

A．A＋B是必然事件

B．错误!未找到引用源。是必然事件

C．错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。一定互斥

D．错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。一定不互斥

9．将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具)先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是().

A．错误!未找到引用源。B．错误!未找到引用源。

C．错误!未找到引用源。D．错误!未找到引用源。

10．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)，骰子朝上的面的点数分别为X，Y，则log2X Y＝1的概率为().

A．错误!未找到引用源。B．错误!未找到引用源。

C．错误!未找到引用源。D．错误!未找到引用源。

二、填空题

11．向面积为S的△ABC内任投一点P，则随机事件“△PBC的面积小于错误!未找到引用源。”的概率为．

12．任意投掷两枚骰子，出现点数相同的概率为．

13．在圆心角为150°的扇形AOB中，过圆心O作射线交弧AB于P，则同时满足∠AOP ≥45°且∠BOP≥75°的概率为．

14．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率是0.28．若红球有21个，则黑球有个．15．若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)，先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是．16．把两封不同的信投入A，B两个信箱，A，B两信箱中各有1封信的概率为．

三、解答题

17．一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：

(1)取出1球是红球或黑球的概率；

(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率．

18．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．

(1)求A1被选中的概率；

(2)求B1和C1不全被选中的概率．

19．为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10．把这6名学生的得分看成一个总体．

(1)求该总体的平均数；

(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．

20．设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2 ＝0．若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

21．某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：

(1)已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19．求x的值；

(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？

(3)已知y≥245，z≥245，求初三年级中女生比男生多的概率．

参考答案

一、选择题

1．D

解析：两次点数和的最大值为12．

2．C

解析：①②③⑥⑧为随机事件．

3．B

解析：由于每次试验的结果都是随机的，因而不能保证做12次试验中，一定有3道题是正确的，也不能保证选对的题数大于（或小于）3．

4．D

解析：C中实数的平方是非负才是正确的．

5．D

解析：因次品共2件，故抽出的3件中至少有1件为正品．

6．C

解析：概率的第一条基本性质．

7．C

解析：恰有一个白球，便不再可能恰有2个白球，且恰有一个白球与恰有2个白球的事件不可能“必有一个发生”．

8．B

解析：借助集合的Venn图加以理解，错误!未找到引用源。为全集．

9．D

解析：抛掷3次，共有6×6×6＝216个事件总数．一次也不出现6，则每次抛掷都有5种可能，故一次也未出现6的事件总数为5×5×5＝125．于是

P(没有出现一次6点向上)＝错误!未找到引用源。．

∴P(至少出现一次6点向上)＝1－P(没有出现一次6点向上)＝错误!未找到引用源。．10．C

解析：总事件数为36种．而满足条件的(X，Y)为(1，2)，(2，4)，(3，6)，共3种情形．

二、填空题

11．答案：错误!未找到引用源。．

解析：作△ABC的边BC上的高AD，取E∈AD且ED＝错误!未找到引用源。，过E作直线MN∥BC分别交AB于M，AC于N，则当P落在梯形BCNM内时，△PBC的面积小于△ABC的面积的错误!未找到引用源。，故P＝错误!未找到引用源。＝错误!未找到引用源。．12．答案：错误!未找到引用源。．

解析：总事件数为6×6＝36种，相同点数的有6种情形．

13．答案：错误!未找到引用源。．

解析：P点只能在中间一段弧上运动，该弧所对的圆心角为150°－45°－75°，就是30°，P＝错误!未找到引用源。＝错误!未找到引用源。．

14．答案：15．

解析：1－0.42－0.28＝0.30，21÷0.42＝50，50×0.30＝15．

15．答案：错误!未找到引用源。．

解析：基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1，3)、(2，2)、(3，1)共3 个，故

P＝错误!未找到引用源。＝错误!未找到引用源。．

16．答案：错误!未找到引用源。．

解析：分别记两封信为a，b，共有投法(即所有基本事件)为：A中a，b，B中无；A 中a，B中b；A中b，B中a；A中无，B中a，b，共有4种，并且这4种投法都是等可能的．其中A中投1封，B中投1封的有2种投法，故所求概率为错误!未找到引用源。．

三、解答题

17．解法1：(1)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5＋4＝9种不同取法，任取1球有12种取法．

∴任取1球得红球或黑球的概率为P1＝错误!未找到引用源。＝错误!未找到引用源。．

(2)从12只球中任取一球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有2种取法．从而得红球或黑球或白球的概率为错误!未找到引用源。．

解法2：(利用互斥事件求概率)

记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取一球为黑球}，A3＝{任取一球为白球}，A4＝{任取一球为绿球}，则P(A1)＝错误!未找到引用源。，P(A2)＝错误!未找到引用源。，P(A3)＝错误!未找到引用源。，P(A4)＝错误!未找到引用源。．

根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得

(1)取出1球为红球或黑球的概率为

P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝错误!未找到引用源。＋错误!未找到引用源。＝错误!未找到引用源。．

(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为

P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝错误!未找到引用源。＋错误!未找到引用源。＋错误!未找到引用源。＝错误!未找到引用源。．

解法3：(利用对立事件求概率的方法)

(1)由解法2知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出一白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4．所以取得一红球或黑球的概率为

P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－错误!未找到引用源。－错误!未找到引用源。＝错误!未找到引用源。．

(2)A1＋A2＋A3的对立事件为A4，所以

P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－错误!未找到引用源。＝错误!未找到引用源。．

18．解：(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间

Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}．

由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．

用M表示“A1恰被选中”这一事件，则

M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}，

事件M由6个基本事件组成，因而P(M)＝错误!未找到引用源。＝错误!未找到引用源。．

(2)用N表示“B1，C1不全被选中”这一事件，

则其对立事件错误!未找到引用源。表示“B1，C1全被选中”这一事件，

由于错误!未找到引用源。＝{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，事件错误!未找到引用源。有3个基本事件组成，所以P(错误!未找到引用源。)＝错误!未找到引用源。＝错误!未找到引用源。，由对立事件的概率公式得P(N)＝1－P(错误!未找到引用源。)＝1－错误!未找到引用源。＝错误!未找到引用源。．

19．解：(1)总体平均数为错误!未找到引用源。(5＋6＋7＋8＋9＋10)＝7.5．

(2)设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”

从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(5，10)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(6，10)，(7，8)，(7，9)，(7，10)，(8，9)，

(8，10)，(9，10)，共15个基本结果．

事件A包含的基本结果有：(5，9)，(5，10)，(6，8)，(6，9)，(6，10)，(7，8)，(7，9)，共有7个基本结果，所以所求的概率为P(A)＝错误!未找到引用源。．20．分析：本题的要点在于认清：试验的全部结束所构成的区域是什么？事件“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”对应的区域是什么？

解：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2 ＝0有实根”．

当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2 ＝0有实根的充要

条件为a≥b．

试验的全部结束所构成的区域为

{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}．

构成事件A的区域为

{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}．

(第20题)因此所求的概率为P(A)＝错误!未找到引用源。＝错误!未找到引用源。．

21．分析：本题考查了古典概型及分层抽样统计的知识，对数据处理能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识都有要求．

解：(1)∵错误!未找到引用源。＝0.19，

∴x＝380.

(2)初三年级人数为y＋z＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为错误!未找到引用源。×500＝12名．

(3)设初三年级女生比男生多的事件为A，初三年级女生男生数记为(y，z)；

由(2)知y＋z＝500，且y，z∈N，基本事件空间包含的基本事件有：

(245，255)、(246，254)、(247，253)、…、(255，245)共11个．

事件A包含的基本事件有：

(251，249)、(252，248)、(253，247)、(254，246)、(255，245)共5个．

∴P(A)＝错误!未找到引用源。．

初三年级中女生比男生多的概率为错误!未找到引用源。．