第25卷第6期岩石力学与工程学报V ol.25 No.6 2006年6月Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering June,2006 准脆性材料破裂过程失稳的尖点突变模型
张明,李仲奎
(清华大学水沙科学与水利水电工程重点实验室,北京 100084)
摘要:岩石等准脆性材料在非刚性加载条件下的非稳定问题研究,有助于预报材料或结构的失稳破坏、推断灾害等突变现象的剧烈程度。首先推广了基于Weibull分布而建立的特殊的破裂过程失稳的尖点突变模型,得到材料破裂过程的失稳条件、失稳开始时系统的总变形、失稳前后的变形突跳和系统能量释放的一般表达式,从而阐明一般情况下,失稳及其剧烈程度完全由材料性质及加载体的刚度决定,而且失稳程度与干扰程度即总变形无关。结合基于Weibull和对数正态分布的两种本构曲线进行讨论,从中推得系统的起始刚度之比越小,越易发生失稳,系统的总变形越明显,而失稳突跳和能量释放越大;材料均匀程度的影响是双重的,当材料比较均匀时,均匀度减小,整个系统的总变形随之减小,失稳加剧;当材料过于不均匀,继续减小均质度则情况相反,以致不发生失稳。
还利用建立的力学模型,给出上述两个材料本构方程的参数之间的关系。
关键词:岩石力学;力学模型;突变理论;尖点突变;准脆性材料;Weibull分布;对数正态分布
中图分类号:TU 45 文献标识码:A 文章编号:1000–6915(2006)06–1233–07
A CUSP CATASTROPHE MODEL OF UNSTABLE FAILURE
PROCESS OF QUASI-BRITTLE MATERIALS
ZHANG Ming,LI Zhongkui
(State Key Laboratory of Hydroscience and Engineering,Tsinghua University,Beijing100084,China)
Abstract:The study of the instability of quasi-brittle materials under the action of a non-stiff loading system is helpful to forecast the unstable failure of materials or structures and to extrapolate the intensity of catastrophic failures. Firstly,the cusp catastrophe model established by Tang and Xu for rock unstable failure process is generalized in this paper by adopting a general form of material constitutive equation. The condition for the outbreak of instability,the total deformation and the energy release of the material and the loading system,and the deformation jump of the material in the catastrophe process are obtained. It is found that the catastrophe in the unstable failure of quasi-brittle materials and its intensity are determined completely by the material properties and the stiffness of the loading system and the catastrophe intensity is independent of the total deformation. Secondly,two types of material constitutive relationships based on the Weibull distribution and the lognormal distribution respectively are introduced into the generalized cusp model,from which two factors affecting the instability are founded further. One is the initial ratio of the stiffness of the loading system to the material stiffness. The instability takes place easier and its features become prominent as the ratio decreases. The other is the material homogeneity. As the homogeneity decreases from that of the totally homogeneous material,the total system deformation decreases and the instability is aggravated. But for a real loading system,which has a non-zero stiffness,as the homogeneity drops below a value,the total system deformation increases slightly and the
收稿日期:2004–12–31;修回日期:2005–03–23
基金项目:国家自然科学基金委员会、二滩水电开发有限责任公司雅砻江水电开发联合研究基金项目(50539090)
作者简介:张明(1965–),男,1988年毕业于西安交通大学工程力学系,现任副教授,主要从事岩石力学与工程方面的教学与研究工作。E-mail:mzhang@ https://www.wendangku.net/doc/582104434.html,
? 1234 ? 岩石力学与工程学报 2006年
instability weakens. Lastly,the method to find the relationship between the parameters in different types of constitutive equations of a material by means of the results from the generalized model is proposed as well. The relationships between the homogeneity indices of the two constitutive equations discussed in this paper are obtained by this method. These relationships are in excellent agreement with each other.
Key words:rock mechanics;mechanical model;catastrophe theory;cusp catastrophe;quasi-brittle material;Weibull distribution;lognormal distribution
1 引言
岩石、混凝土等准脆性材料,在自然界或工程中的真实受力破坏过程,或者在普通试验机(刚度相对于试验材料不是足够大)上的加载过程,会出现失稳破裂现象,此时材料变形发生突跳、整个系统的能量突然释放。这种对加载体刚度有限,即非刚性加载条件下材料的失稳机制,尤其是对失稳临界点附近的非连续形态的研究,对于岩爆、冲击地压、地震等失稳破坏的预报、破裂过程的剧烈程度的了解非常重要,始终受到关注[1~7]。
关于材料失稳破裂的研究,在试验方面主要就是改进测试技术,通过改变传感器的频率特性,并提高测试记录系统的频率响应,在普通试验机上直接测得具有失稳过程的材料的全应力–应变曲线[2];在理论研究方面,将不稳定状态的发生看作数学上的突变,通过提出具有弱化性质的材料本构模型、利用适于研究渐进过程出现突变现象的突变理论是一条有效的途径[1~3]。
近年来,突变理论在岩石力学与工程等领域得到了应用,尖点突变是突变理论中应用最广且形式简单的一种基本初等突变[8]。唐春安和徐小荷[1]首先提出了岩石破裂过程失稳的尖点突变模型,采用负指数形式的本构关系,即岩石微元强度Weibull分布给出的材料本构方程当形状参数m为1的情形,给出了系统的失稳条件、全位移、能量释放量以及岩样变形突跳。其后的一些研究重复这项工作,对m的一般情况推导了岩样突跳和系统能量释放量的表达式[6,7]。在这些工作中,事先都采用了Weibull 分布假设的本构方程,尖点突变理论的介绍与具体的函数形式搅在一起,推导过程过于冗长,况且采用基于Weibull分布假设的本构方程仅是一种可能,还可以利用其他的假设形式。作者[9]提出了一种对数分布的本构模型,也可用它来建立与Weibull 理论平行的突变模型。其实,可在突变分析中使用更为一般的本构方程形式,建立更为一般的尖点突变模型,推导准脆性材料失稳破裂的尖点突变分析的统一格式,这样可揭示某些带有普遍性的规律,如材料非线性弱化、加载体刚度的影响等[1]。将基于Weibull分布和对数正态分布的两种本构曲线形式作为特例,通过所得结果的分析比较,相互佐证,也有可能得到具有普遍意义的结论,如材料起始刚度、均匀性的影响等。
2 准脆性材料破裂失稳的尖点突变
模型理论
准脆性材料破裂过程中的失稳现象,实际上是材料连同加载体的整个系统的失稳,与试验机–试样系统的失稳机制相同。试验机–试样系统以串联的两弹簧代表,系统一端固定,另一端加载荷P。在弹性阶段工作的试验机以刚度为K
m
的线弹簧代表;表示试样的弹簧具有荷载–位移特性R =f (u),对准脆性材料可设为具有变形弱化性质的光滑曲线,其典型形式可参见相关研究[10,11]。加载点处系统全位移为a,包括试样位移u和试验机位移u m=a-u。
该系统存在总势能,包括存储在试样和试验机中的变形能与P的外力势Pa,即
Pa
u
a
K
u
u
f u?
?
+
=∫2
m
)
(
2
1
d)
(
Π(1) 由驻值条件0
=
′
Π得平衡方程如下:
)
(
)
(
m
=
?
?u
a
K
u
f(2) 0
>
Π′′表示平衡是稳定的,不稳定平衡的条件是0
<
Π′′。根据势的平滑性质,由0
=
′′′
Π可得求解
尖点
1
u的方程为
)
(
1
=
′′u
f(3)
式中:
1
u为平衡进程变化的最快点。由式(3)可知尖点在材料弱化本构曲线的拐点处。
尖点突变理论要求化系统位势和平衡方程为标准形式。标准平衡方程为
第25卷 第6期 张 明等. 准脆性材料破裂过程失稳的尖点突变模型 ? 1235 ?
03=++q px x (4)
对任意f (u ),式(2)在尖点1u 邻域内应与其标准型(4)在尖点x = 0邻域内充分接近。为此,将式(2)
或Π′在1u 处展成Taylor 级数并取至三次项,同时注意到式(3),可得
=?+?′′+′=′311)4(111))((6
1))(()(u u u u u u u ΠΠΠΠ
)(6
)(3
311q px x u u f ++′′′ (5) 式中:x ,p ,q 分别为量纲一的状态变量控制参数,可表示为
11/)(u u u x ?= (6) ????
???′′′′+=′′′′?=
3111112
111)()()(6
)()()1(6
u u f u u f K u f q u u f u f K p ζ (7)
全位移参数ζ和刚度比K 分别定义为
11/)(u u a ?=ζ (8)
)(/1m u f K K ′?= (9)
式中:)(1u f ′为f (u )的最小斜率,且)(1u f ′<0。
根据尖点突变理论,系统失稳、x 产生突跳的p 和q 满足分岔集方程:
0)2/()3/(23=+q p (10)
在所研究的问题中加载路径使x 不断增大,突变点仅出现在q <0的一支分岔集上。
注意到式(10)中p <0,利用式(9)和(7)中的第1式,得系统失稳的必要条件为
1<K 或 0)(1m <u f K ′+ (11)
由此可见,加载系统的非稳定问题是由材料的软化特性引起的,是一种物理非稳定问题。只有材料具有相当程度的弱化性质才能发生突变,材料的弱化特性越强,越容易导致失稳。
将式(7)代入式(10),注意到q <0,可解得ζ,再代入式(8),终得系统全位移为
???
?
????′′′′?+′?=)()()1(232)()(11133111u f u f K u f u f K u a (12)
在式(10)和q <0的条件下求解式(4),得失稳前
后系统的状态分别为
???
???=??==3/23/231p x p x x
(13) 利用式(6)和式(7)中的第1式,可得到试样的变形突跳为
)
()
()1(23
)()(1112u f u f K x u x u u ′′′′?=?=? (14)
注意到0=′′′Π,Π在1u 展成Taylor 级数并取至四次项,用式(4)化简后得
=+??
?
???++′′′=?+
?′′+?′+=)(2416)())((24
1
))((2
1))(()(124411411)4(211111u qx x p x u u f u u u u u u u u u u ΠΠΠΠΠΠ
224111)23(24
)()(x p x u u f u +′′′?Π (15)
这样保证了式(15)和(1)在1u 局部等价,式(15)中的qx px x ++2/4/24即突变理论中的标准势函数。利用式(15),(13)和(7)的第1式,可得系统的能量变化为
)
(2)]([)1(9)()(?12
1212u f u f K x x ′′′′??
=?=ΠΠΠ (16) ?Π<0表明材料失稳突跳伴随着系统变形能的
释放。当K →0时,所释放的能量最多。
由以上讨论可知,系统的失稳条件(式(11))、失稳时的前兆全位移(式(12))、释放的能量(式(16))以及失稳前后试样的变形突跳(式(14)),仅与系统内部特性,即试验机刚度K m 和材料软化本构曲线f (u )有关,当系统的几何性质确定后,材料性质起着决定性作用。而且,试样突跳量和能量释放量与扰动特性(全位移的大小)无关。
3 材料破裂过程失稳的尖点突变模
型分析
以上针对准脆性材料的一般情形,利用尖点突变理论,建立了分析理论格式,具体分析时可对材料的力–位移曲线R = f (u )作适当的假设。如前所述,所假设的理论曲线必须保证准脆性材料的弱化性质,即具有破坏后区并存在拐点。
? 1236 ? 岩石力学与工程学报 2006年
3.1 采用基于Weibull 分布的材料本构
唐春安和徐小荷[12]假定岩石类材料微元强度服从Weibull 分布,利用统计损伤理论,得到材料应力–应变关系为
])/(exp[0m E εεεσ?= (17)
式中:E 为初始弹性模量;0ε为材料达到峰值应力时的参考平均应变;m 为材料的均质度,其值越大,材料越均匀。由材料的弱化性质,即)(0εσ′<0,可知m >1。
设试件长为L 、截面积为A ,式(17)可用荷载与位移表达,即
])/(exp[)(00m u u u k u f R ?== (18)
式中:k 0为试样的起始刚度,且k 0 = EA /L ;u 0为试件达到峰值荷载时的平均位移。
将式(18)代入式(3),舍去一个零根,得尖点的位移:
0/11)/11(u m u m += (19)
则
0)
/11exp()(0
<m mk u f +?
=′ (20)
0)/11()/11exp()1()(2
0/20
21>u m k m m m u f m +??+=′′′ (21) 将式(20)代入式(11),得失稳条件为
???
??
??+=0m 0m )/11exp( 1)/11exp( k m m K mk K m K <或< (22)
将式(18)~(21)代入式(12),得系统失稳时的总位移:
0/12/3)/11()1(3)1(22111u m m K m mK a m
+??
????????????????+?++=
(23)
将式(20)和(21)代入式(14),得试件变形突跳: m
u m K u m
++?=
1)
/11()1(23?0
/1 (24)
将式(20)和(21)代入式(16),可得系统变形能释放量:
2
2
0/22)
1(2)/11exp()/11()1(9?m u k m m m K m +??+??=Π(25) 式(22)~(25)只有在式(22)满足时才成立。它们包含m = 1的情形[1],纠正了目前Π?计算中的错误[1
,13]
。量纲一的a ,?u 和Π?的图像分别如
图1~3所示,由图可知,它们都是起始刚度比K m /k 0的单调减函数。当均质度m 从无穷大(均质材料)开始下降时,系统全位移减小,失稳现象愈加明显;但当m 降至某一限度,情况则相反,再继续降低致使式(22)不再成立时,则不再发生失稳。特别地,对于均质材料,不发生突变,故?u 和Π?都为0,a 也最大。这说明材料完全均匀的标准是一致的,而极度不均匀的标准对不同的K m /k 0则是不同的。陈忠辉等[6
,7]
虽推导了式(22)~(24),但其以几个m
为参数考察?u 与K (即K m /k 0)的关系,因而无法揭示m 的这种影响规律。
图1 基于Weibull 分布的应力–应变关系的量纲一系统
突变全位移–均质度关系曲线
Fig.1 Normalized total system deformation at the start of
catastrophe versus homogeneity deduced from the stress-strain relationship based on Weibull distribution
图2 基于Weibull 分布的应力–应变关系的试样变形
突跳–均质度关系曲线
Fig.2 Normalized deformation jump versus homogeneity
deduced from the stress-strain relationship based on Weibull distribution
5
10
15 20 25
30
35
40
1.01.5
2.02.5
3.03.5
4.04.5K m /k 0 = 1.0 K m /k 0 =
5.0
K m /k 0 = 2.0 K m /k 0 = 0.5
a /u 0
m
K m /k 0 = 0.2
510
15
20 25 30
35
40
0.0
0.51.01.52.02.53.0
3.5
4.04.5 1.0
5.0
2.00.5
0.2?u /u 0
m
K m /k 0→0
第25卷 第6期 张 明等. 准脆性材料破裂过程失稳的尖点突变模型 ? 1237 ?
图3 基于Weibull 分布的应力–应变关系的系统能量
释放量–均质度关系曲线
Fig.3 Normalized total energy release versus homogeneity
deduced from the stress-strain relationship based on Weibull distribution
3.2 采用基于对数正态分布材料本构
作者认为准脆性材料微元损伤演化律服从对数正态分布[9],进而得到材料应力–应变关系为
??
?
????=????
??
????
???=ξεεΦεξεεΦεσ)/ln()/ln(100E E (26)
式中:Φ
(·)为标准正态概率分布函数;ξ
为材料的
不均匀度,其值越小,材料越均匀。由0)(0<εσ′,知ξ<π/2= 0.797 9。仿式(18),将式(26)化成下面便于应用的荷载–位移关系: =???
?
?????????==ξΦ)/ln(1)(00u u u k u f R
???
????ξΦ)/ln(00u u u k (27)
将式(27)代入式(3),可解得尖点位移:
)exp(201ξu u = (28)
则
01)
()(01<κ
ξΦκ???
=′k u f (29)
0)1()
2exp()()(2
22
01>u k u f ξκξξΦ???=
′′′ (30) 其中,
)(/)(1ξφξΦξκ??= (31)
式中:φ (·)为标准正态概率密度函数。
将式(29)代入式(11),得系统失稳条件为
??
??
?
??
????=
κξΦκξΦκκ1)( 1)()1( 0m 0m k K k K K <
或< (32)
将式(27)~(30)代入式(12),得系统失稳时的全
位移:
0233)exp(3)1(22)1(31u K K a ξκξκκ????
???
??+?+
= (33) 将式(29)和(30)代入式(14),(16),得试件变形突跳和系统变形能突变分别为
02)exp()1(23?u K u ξξκ?= (34)
)
1(2)2exp()()1(9?2
02222κξξΦξκΠ????
=u k K (35) 式(32)为式(33)~(35)成立的保证。图4~6给出了量纲一的a ,?u 和Π?的图像。显然,a ,?u 和Π?均为K m /k 0的单调减函数。当不均质度ξ从
0(均质材料)增大时,系统能承受的失稳前全位移减小,失稳现象变得显著;当ξ超过某一限值时,在
K m /k 0 ≠ 0的情况下,系统全位移会稍微提高,失稳显著程度降低,甚至在材料极不均匀的情况下不发生失稳。在此再次看到,材料均匀程度的变化,在接近均质材料一端与接近极不均质材料一端,对失稳的影响是不同的,而且极端不均匀材料没有统一标准。
图4 基于对数正态分布的应力–应变关系的量纲一系统
突变全位移–不均匀度关系曲线
Fig.4 Normalized total system deformation at the start of
catastrophe versus heterogeneity deduced from the stress-strain relationship based on lognormal distribution
m |?Π |/(k 0u 0
/2)
2
0.00.10.20.30.4 0.5 0.6 0.7
0.8
1.0
1.5
2.0
2.5
3.03.5
4.04.5
5.05.5K m /k 0 = 5.0 K m /k 0 = 2.0 K m /k 0 = 1.0
K m /k 0 = 0.5
ξ
K m /k 0 = 0.2
a /u 0
? 1238 ? 岩石力学与工程学报 2006年
图5 基于对数正态分布的应力–应变关系的试样变形突
跳–不均匀度关系曲线
Fig.5 Normalized deformation jump versus heterogeneity
deduced from the stress-strain relationship based on lognormal distribution
图6 基于对数正态分布的应力–应变关系的系统能量释放 量–不均匀度关系曲线
Fig.6 Normalized total energy release versus heterogeneity
deduced from the stress-strain relationship based on lognormal distribution
由以上分析,准脆性材料的本构模型(式(17)和
(26))实质上相同,所得失稳规律也完全一致。
4 利用尖点突变理论求解不同本构方程参数之间的关系
同一材料本构关系的不同的表达式从不同方面描述了材料的本构特性,其参数之间必定存在一定的联系。寻求这种关系可以利用上述尖点突变理论的结果。
无论材料的荷载位移曲线f (u )采用何种假定形式,在系统确定后,材料突变的条件、尖点、突跳
值、系统释放的能量事实上都只能是唯一的。下面
依此观点来确定上述两种材料模型的参数m 和ξ之间的关系。
若令两种模型所得的尖点位移相同,由式(19)和(28),可得
m
m )
/11ln(+=
ξ (36) 若使两种模型所得的失稳条件K
值相同,由式(22)和(32),可得
m
m )
/11exp()(1+=??ξΦκκ (37)
令两模型所得的材料变形突跳相同,由式(24)和(34),为简便起见,令K m /k 0→0,可得
m
m m ++=1)/11()exp(/12
ξξκ (38)
同样还可以利用能量释放量相等,由式(25)和
(35)来得到它们应满足的关系式。
图7所示为这4种方法所得ξ–m 函数关系,它们均反映出了ξ
和m 本身的物理意义。式(36)和(37)
只与材料本身有关,其结果也比较接近,由式(3)和
(9)知,这2式其实分别是令2个本构曲线的拐点重合和最小斜率相等,但现在有了合理解释,并赋予了物理意义。式(38)的结果与式(36)更为接近有些出
乎预料,而能量释放方法得到的结果偏差较大也能理解,因为后两种方法还受加载体的影响。
图7 基于对数正态分布和基于Weibull 分布的本构关系
中参数之间的关系
Fig.7 Relationship between the heterogeneity ξ in the stress-
strain relationship based on the lognormal distribution and the homogeneity m in the stress-strain relationship based on the Weibull distribution
5 结 论
本文将准脆性材料在非刚性加载条件下破裂过
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
0.0
0.5
1.01.5
2.02.5
3.03.5
4.04.5
5.0 2.0 1.0
0.5
0.2
ξ K m /k 0→0
?u /u 0
ξ
|?Π |/(k 0u 0
/2)
2
ξ
m
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程失稳现象以试验机–试件构成的简单的力学模型来模拟,利用尖点突变理论方法,推导了材料非稳定问题的一般格式,给出了两种具体材料本构曲线的分析结果。由分析得知:
(1) 系统的失稳条件、失稳时全位移、释放的能量,以及失稳前后试样的变形突跳,仅与系统内部特性,即加载系统刚度和材料弱化本构曲线有关,当系统刚度确定后,则完全取决于材料性质。此外,失稳前后试样突跳量和能量释放量与扰动特性如全位移的大小无关。
(2) 系统的失稳条件及上述失稳特征,与系统起始刚度比K m /k 0、材料的均匀程度有关。① 失稳程度随K m /k 0的增大而减小。对某一确定的材料,失稳条件限制了K m /k 0的上限,当K m /k 0超过此限时,失稳条件不能满足,系统成为稳定系统。② 在接近完全均质材料的一定均质度范围内,失稳随均质度的减小而加剧,但小于某一限度时,随着均质度的降低反而减弱。当均质度低于某一水平,材料过于不均匀时,失稳条件不再满足,失稳不会发生。
(3) 利用突变理论方法得到的系统失稳特征值,可以确定材料不同本构曲线的参数之间的关系。从所得的两个材料模型的参数的符合情况看,说明本文的简单方法是可行的。
(4) 本研究再次证明了唐春安和徐小荷提出的准脆性材料的概率体元模型的正确性和适用性,同时也为其后的一系列工作提供了依据。 参考文献(References):
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随机过程考试试题及答案详解 1、(15分)设随机过程C t R t X +?=)(,),0(∞∈t ,C 为常数,R 服从]1,0[区间上的均 匀分布。 (1)求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数; (2)求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 (1)? ∞ -= x dt t f x F )()(,则)(t f 为密度函数; (2))(t X 为),(b a 上的均匀分布,概率密度函数?? ???<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f ,分布函数 ?? ??? >≤≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(,2)(b a x E += ,12)()(2a b x D -=; (3)参数为λ的指数分布,概率密度函数???<≥=-0,00 ,)(x x e x f x λλ,分布函数 ?? ?<≥-=-0 ,00,1)(x x e x F x λ,λ1)(=x E ,21 )(λ=x D ; (4)2 )(,)(σμ==x D x E 的正态分布,概率密度函数∞<<-∞= -- x e x f x ,21 )(2 22)(σμπ σ, 分布函数∞<<-∞= ? ∞ --- x dt e x F x t ,21)(2 22)(σμπ σ,若1,0==σμ时,其为标准正态分布。 【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。 (1)因R 为]1,0[上的均匀分布,C 为常数,故)(t X 亦为均匀分布。由R 的取值范围可知, )(t X 为],[t C C +上的均匀分布,因此其一维概率密度?? ???+≤≤=其他,0,1 )(t C x C t x f ,一维分布 函数?? ??? +>+≤≤-<=t C x t C X C t C x C x x F ,1,,0)(;
第二章 2.1固体的理论结合强度 2.2 材料的断裂强度 2.3 裂纹的起源与快速扩展 2.4 材料的断裂韧性 2.5显微结构对脆性断裂的影响 2.6无机材料强度的统计性质 2.7材料的硬度 第二章 材料的脆性断裂与强度 2.1固体的理论结合强度 无机材料的抗压强度约为抗拉强度的10倍。所以一般集中在抗拉强度上进行研究,也就是研究其最薄弱环节。 要推导材料的理论强度,应从原子间的结合力入手,只有克服了原子间的结合力,材料才能断裂。如果知道原子间结合力的细节,即知道应力-应变曲线的精确形式,就可算出理论结合强度。这在原则上是可行的,就是说固体的强度都能够根据化学组成、晶体结构与强度之间的关系来计算。但不同的材料有不同的组成、不同的结构及不同的键合方式,因此这种理论计算是十分复杂的,而且对各种材料都不一样。 为了能简单、粗略的估计各种情况都适应的理论强度,Orowan 提出了以正弦曲线来近似原子间约束力随原子间距离X 的变化曲线(见图2.1),得出 λ πσσX th 2sin ?= 2-1 式中,σ th 为理论结合强度;λ为正弦曲线的波长。 图2.1 原子间约束力与距离的关系 将材料拉断时,产生两个新表面,因此单位面积的原子平面分开所做的功应等于产生两个单位面积的新表面所需的表面能,材料才能断裂。设分开单位面积原子平面所做的功为w,则
π λπλλ πσλ πσσλ λ th th th x dx x w ===-?]2cos [2 20 22sin 2-2 设材料形成新表面的表面能为γ(这里是断裂表面能,不是自由表面能),则w=2γ,即 γπλο2=th ,λ πγ σ2= th 2-3 接近平衡位置o 的区域,曲线可以用直线代替,服从虎克定律: E a x E ==εσ 2-4 a 为原子间距。X 很小时 sin λ πλ πx x 22≈ 2-5 将(2.3),(2.4)和(2.5)式代入(2.1)式,得 a E th γ σ = 2-6 式中a 为晶格常数,随材料而异。可见理论结合强度只与弹性模量、表面能和晶格距离等材料常数有关,属于材料的本证性能。(2.6)式虽然是粗略的估计,但对所有固体均能应用而不涉及原子间的具体结合力。通常γ约为aE/100,这样,(2.6)式可写成 10 E th = σ 2-7 更精确的计算说明(2.6)式的估计稍偏高。 一般材料性能的典型数值为:E=300GPa,/1J =γm 2 ,a=3?10-10 m,代入(2.6)式算出 σ th =30GPa ≈10 E 2-8 要得到高强度的固体,就要求E 和γ大,a 小。实际材料中只有一些极细的纤维和晶须其强度接近理论强度值.例如熔融石英纤维的强度可达24.1GPa,约为E/3(E,72Gpa),碳化硅晶须强度 6.47GPa,约为E/70(E,470Gpa),氧化铝晶须强度为15.2GPa,约为E/25(E,380Gpa)。尺寸较大的材料实际强度比理论强度低的多,,约为E/100-E/1000,而且实际材料的强度总在一定范围内波动,即使是用同样的材料在相同的条件下制成的试件,强度值也有波动。一般试件尺寸大,强度偏低。为了解释这种现象,人们提出了各种假说,甚至怀疑理论强度的推导过程等,但都没有抓住断裂的本质。直到1920年,Griffith 为了解释玻璃的理论强度与实际强度的差异,提出了微裂纹理论,才解决了上述问题。后来经过不断的发展和补充,逐渐成为脆性断裂的主要理论基础。 §2.2 材料的断裂强度
(1) 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程,其相关函数为 t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({,且是一个周期为T 的函数,即0),()(≥=+τττB T B ,求方差函数)]()([T t X t X D +-。 解:由定义,有: )(2)0()0()}()({2)0()0()]} ()()][()({[2)] ([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D (2) 试证明:如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程,且0)0(=X ,那么它必是一个马 尔可夫过程。 证明:我们要证明: n t t t <<<≤? 210,有 } )()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 形式上我们有: } )()(,,)(,)({} )()(,,)(,)(,)({} )(,,)(,)({} )(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤= ======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 因此,我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下,)(n t X 与2 ,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。 由独立增量过程的定义可知,当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时,增量 )0()(X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立,由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下,即 有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。由此可知,在11)(--=n n x t X 条件下,)(n t X 与 2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立,结果成立。 (3) 设随机过程}0,{≥t W t 为零初值(00=W )的、有平稳增量和独立增量的过程, 且对每个0>t ,),(~2t N W t σμ,问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程,为什么? 解:任取n t t t <<<≤? 210,则有: n k W W W k i t t t i i k ,,2,1][1 1 =-=∑=-
一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为: 试求:在时,求。 解: 当时,= = 1.2 设离散型随机变量X服从几何分布: 试求的特征函数,并以此求其期望与方差。解:
所以: 2.1 袋中红球,每隔单位时间从袋中有一个白球,两个任取一球后放回,对每 对应随机变量一个确定的t ?????=时取得白球如果对时取得红球 如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程 ,其中 是常数,与是 相互独立的随机变量,服从区间上的均匀分布,服从瑞利分布,其概 率密度为 试证明为宽平稳过程。 解:(1) 与无关
(2) , 所以 (3) 只与时间间隔有关,所以 为宽平稳过程。 2.3是随机变量,且,其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求:,.5)(5)(==U D U E .321)方差函数)协方差函数;()均值函数;(( 2.4是其中,设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量,且 数。试求它们的互协方差函 2.5, 试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立 为多少?
3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分 钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立,则1小时内平均有多少学生接受过体检?在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少(设学生非常多,医生不会空闲) 解:令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数,则()N t 为参数为30的 poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。 40 300 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ,2λ,当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发;2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来,求(1)1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式;(2)当1N =2N ,1λ=2λ时,计算上述概率。 解: 法一:(1)乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程,令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时 刻,2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 1 2 121 2 1 2 2 1 112,12|1221 1122212(,)(|)()exp() exp() (1)! (1)! N N N N N N N N N T T T T T f t t f t t f t t t t t N N λλλλ--== ----
聚合物材料的断裂机理及其影响因素的研究 (高材11201:王小飞;指导老师:高林教授) 在结构材料的研发设计设计过程中“材料的失效”是我们的考虑重点。在较大外力的持续作用或强大外力的短期作用下,材料将会发生大变形直至宏观断裂。那么,高分子材料的断裂机理是什么,哪些因素会影响材料的断裂?本文就这些问题进行研究,并关注最新的材料断裂机理研究进展。 关键词:高分子材料、断裂机理、脆/韧性断裂、断裂影响因素 聚合物材料的塑性变形由深层的分子结构所致。聚合物基本上由长的碳链组成,从1000到100000个原子,在原子间有极强的连接。链之间的连接较弱。但是,链间的强度取决于分子的复杂性,它受到交叉联接以及代替碳原子或与之联接的特殊分子的影响。大量的实验表明,材料在断裂的过程中,空穴的扩展与塑性应变的相互影响会使断裂过程变得复杂。 脆/韧性断裂 通常,高分子材料的断裂分为脆性断裂和韧性断裂。脆性在本质上总是与材料的弹性响应相关联。断裂前式样的形变是均匀的,致使试样断裂的缝隙迅速贯穿垂直于应力方向的平面。断裂试样不显示有明显的推迟形变,断裂面光滑,相应的应力—应变关系是线形的或者微微有些非线性,断裂应变值低于5%,且所需能量也不大。而韧性断裂通常有较大的形变,这个形变在沿试样长度方向可以是不均匀的,如果发生断裂,试样断裂粗糙,常常显示有外延的形变,其应力—应变关系是非线性的,消耗的断裂能很大。一般脆性断裂是由所加应力的张应力分量引起的,韧性断裂是由切应力分量引起的。 聚合物材料断裂机理 在简单的聚合物晶粒中不能像金属晶粒中发生的那样因滑移而引起塑性变形。代之以此的是会使未折叠的或未纠缠的长链的取向产生变化,继续变形会使晶粒重新取向。断裂发生的机理有两种:i沿着链(—C—C—)的强力的连接而断裂;ii使分子团相互分离。后者涉及到打断分子间的比较弱的二次联接,也是更容易发生的。 由于形成长的分子团出现的变形会导致形成细的线,称为微丝,这是断裂的最后部分,在微丝断裂前,他们是高度地弹性伸长,并且在断裂瞬间又显著地弹回来,但其末端形成卷曲。 如果温度不是太低,则从宏观上说晶体聚合物趋向于韧性并在断裂前表现出显著的塑性形变。裂纹可以采取不同的途径穿越球粒形貌。可以在球粒之间(晶间)断裂,也可以是穿过球粒的(穿晶断裂)。一般,由于大量的塑性变形,难以从断口表面形貌鉴别出球粒。分子经历了大量的重新排列与伸长,并能由局部
1.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则X 的特征函数为 。 2.设随机过程X(t)=Acos( t+),- 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 证明:当12n 0t t t t <<< <<时, 1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤= n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x , X(t )-X(0)=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤,又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤,故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x , X(t )=x )≤=n n P(X(t)x X(t )=x )≤ 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链,状态空间为I ,则对任意整数n 0,1 北京邮电大学2012——2013学年第1学期 《概率论与随机过程》期末考试试题答案 考试注意事项:学生必须将答题内容(包括填空题)做在试题答题纸上,做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号,班内序号! 一. 单项选择题和填空题:(每空3分,共30分) 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A (A )若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; (B )若A A B ∈?A,,则B ∈A ; (C )若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; (D )若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间,P 为定义在其上的有限可加测度,则下面正确的是 .c (A )若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-; (B )若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ,则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==; (C )若A B C ∈∈∈F,F,F,,则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++; (D )若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/,1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数,表达式为100 0()k A k f kI ω==∑,其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=,则fdP Ω=? ; 随机过程复习题 一、填空题: 1.对于随机变量序列}{n X 和常数a ,若对于任意0>ε,有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ,则称}{n X 依概率收敛于a 。 2.设}),({0≥t t X 是泊松过程,且对于任意012≥>t t , ,则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 618}4)3(|6)5({-===e X X P 15 32 62 32 92! 23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({} 2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=???==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 66 218! 26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P 3.已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ,初始分布为),,(4 1 2141, ?????? ?? ????????? ?=434 103 13131043 411)(P ,则167)2(12=P ,161}2,2,1{210====X X X P ???????? ?????? ????=48 31481348 436133616367 164167165)1()2(2P P 16 7 )2(12=P 16 1 314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4.强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5.已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R , )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ,若)()()(ττX R t X t X >=+<,以概率1成立,则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 42 ++=ωωωωS ,则)(t X 的均方值= 2 121- 222 2221 1221)2(22211122)(+??-+??=+-+= ωωωωωS ττ τ-- -=e e R X 2 12 1)(2 第二章材料的脆性断裂与强度 §2.1 脆性断裂现象 一、弹、粘、塑性形变 在第一章中已阐述的一些基本概念。 1.弹性形变 正应力作用下产生弹性形变,剪彩应力作用下产生弹性畸变。随着外力的移去,这两种形变都会完全恢复。 2.塑性形变 是由于晶粒内部的位错滑移产生。晶体部分将选择最易滑移的系统(当然,对陶瓷材料来说,这些系统为数不多),出现晶粒内部的位错滑移,宏观上表现为材料的塑性形变。3.粘性形变 无机材料中的晶界非晶相,以及玻璃、有机高分子材料则会产生另一种变形,称为粘性流动。 塑性形变和粘性形变是不可恢复的永久形变。 4.蠕变: 当材料长期受载,尤其在高温环境中受载,塑性形变及粘性形变将随时间而具有不同的速率,这就是材料的蠕变。蠕变的后当剪应力降低(或温度降低)时,此塑性形变及粘性流动减缓甚至终止。 蠕变的最终结果:①蠕变终止;②蠕变断裂。 二.脆性断裂行为 断裂是材料的主要破坏形式。韧性是材料抵抗断裂的能力。材料的断裂可以根据其断裂前与断裂过程中材料的宏观塑性变形的程度,把断裂分为脆性断裂与韧性断裂。 1.脆性断裂 脆性断裂是材料断裂前基本上不产生明显的宏观塑性变形,没有明显预兆,往往表现为突然发生的快速断裂过程,因而具有很大的危险性。因此,防止脆断一直是人们研究的重点。2.韧性断裂 韧性断裂是材料断裂前及断裂过程中产生明显宏观塑性变形的断裂过程。韧性断裂时一般裂纹扩展过程较慢,而且要消耗大量塑性变形能。 一些塑性较好的金属材料及高分子材料在室温下的静拉伸断裂具有典型的韧性断裂特征。 3.脆性断裂的原因 在外力作用下,任意一个结构单元上主应力面的拉应力足够大时,尤其在那些高度应力集中的特征点(例如内部和表面的缺陷和裂纹)附近的单元上,所受到的局部拉应力为平均应力的数倍时,此过分集中的拉应力如果超过材料的临界拉应力值时,将会产生裂纹或缺陷的扩展,导致脆性断裂。虽然与此同时,由于外力引起的平均剪应力尚小于临界值,不足以产生明显的塑性变形或粘性流动。因此,断裂源往往出现在材料中应力集中度很高的地方,并选择这种地方的某一个缺陷(或裂纹、伤痕)而开裂。 各种材料的断裂都是其内部裂纹扩展的结果。因而,每种材料抵抗裂纹扩展能力的高低,表示了它们韧性的好坏。韧性好的材料,裂纹扩展困难,不易断裂。脆性材料中裂纹扩展所需能量很小,容易断裂;韧性又分断裂韧性和冲击韧性两大类。断裂韧性是表征材料抵抗其内部裂纹扩展能力的性能指标;冲击韧性则是对材料在高速冲击负荷下韧性的度量。二者间存在着某种内在联系。 三.突发性断裂与裂纹的缓慢生长 裂纹的存在及其扩展行为,决定了材料抵抗断裂的能力。 1.突发性断裂 断裂时,材料的实际平均应力尚低于材料的结合强度(或称理论结合强度)。在临界状态下,断裂源处的裂纹尖端所受的横向拉应力正好等于结合强度时,裂纹产生突发性扩展。一旦扩展,引起周围应力的再分配,导致裂纹的加速扩展,出现突发性断裂,这种断裂往往并无先兆。 2.裂纹的生长 第一章 随机过程的基本概念 一、随机过程的定义 例1:医院登记新生儿性别,0表示男,1表示女,X n 表示第n 次登记的数字,得到一个序列X 1 , X 2 , ···,记为{X n ,n=1,2, ···},则X n 是随机变量,而{X n ,n=1,2, ···}是随机过程。 例2:在地震预报中,若每半年统计一次发生在某区域的地震的最大震级。令X n 表示第n 次统计所得的值,则X n 是随机变量。为了预测该区域未来地震的强度,我们就要研究随机过程{X n ,n=1,2, ···}的统计规律性。 例3:一个醉汉在路上行走,以概率p 前进一步,以概率1-p 后退一步(假设步长相同)。以X(t)记他t 时刻在路上的位置,则{X(t), t ≥0}就是(直线上的)随机游动。 例4:乘客到火车站买票,当所有售票窗口都在忙碌时,来到的乘客就要排队等候。乘客的到来和每个乘客所需的服务时间都是随机的,所以如果用X(t)表示t 时刻的队长,用Y(t)表示t 时刻到来的顾客所需等待的时间,则{X(t), t ∈T}和{Y(t), t ∈T}都是随机过程。 定义:设给定参数集合T ,若对每个t ∈T, X(t)是概率空间),,(P ?Ω上的随机变量,则称{X(t), t ∈T}为随机过程,其中T 为指标集或参数集。 E X t →Ω:)(ω,E 称为状态空间,即X(t)的所有可能状态构成的集合。 例1:E 为{0,1} 例2:E 为[0, 10] 例3:E 为},2,2,1,1,0{Λ-- 例4:E 都为), 0[∞+ 注:(1)根据状态空间E 的不同,过程可分为连续状态和离散状态,例1,例3为离散状态,其他为连续状态。 (2)参数集T 通常代表时间,当T 取R, R +, [a,b]时,称{X(t), t ∈T}为连续参数的随机过程;当T 取Z, Z +时,称{X(t), t ∈T}为离散参数的随机过程。 (3)例1为离散状态离散参数的随机过程,例2为连续状态离散参数的随机过程,例3为离散状态连续参数的随机过程,例4为连续状态连续参数的随机过程。 二、有限维分布与Kolmogorov 定理 随机过程的一维分布:})({),(x t X P x t F ≤= 随 机 过 程 的 二 维 分 布 : T t t x t X x t X P x x F t t ∈≤≤=21221121,,},)(,)({),(21 M 材料力学性能课后答案(整理版) 1、解释下列名词。 1弹性比功:金属材料吸收弹性变形功的能力,一般用金属开始塑性变形前单位体积吸收的最大弹性变形功表示。 2.滞弹性:金属材料在弹性范围内快速加载或卸载后,随时间延长产生附加弹性应变的现象称为滞弹性,也就是应变落后于应力的现象。 3.循环韧性:金属材料在交变载荷下吸收不可逆变形功的能力称为循环韧性。4.包申格效应:金属材料经过预先加载产生少量塑性变形,卸载后再同向加载,规定残余伸长应力增加;反向加载,规定残余伸长应力降低的现象。 5.解理刻面:这种大致以晶粒大小为单位的解理面称为解理刻面。 6.塑性:金属材料断裂前发生不可逆永久(塑性)变形的能力。 韧性:指金属材料断裂前吸收塑性变形功和断裂功的能力。 7.解理台阶:当解理裂纹与螺型位错相遇时,便形成一个高度为b的台阶。 8.河流花样:解理台阶沿裂纹前端滑动而相互汇合,同号台阶相互汇合长大,当汇合台阶高度足够大时,便成为河流花样。是解理台阶的一种标志。 9.解理面:是金属材料在一定条件下,当外加正应力达到一定数值后,以极快速率沿一定晶体学平面产生的穿晶断裂,因与大理石断裂类似,故称此种晶体学平面为解理面。 10.穿晶断裂:穿晶断裂的裂纹穿过晶内,可以是韧性断裂,也可以是脆性断裂。 沿晶断裂:裂纹沿晶界扩展,多数是脆性断裂。 11.韧脆转变:具有一定韧性的金属材料当低于某一温度点时,冲击吸收功明显下降,断裂方式由原来的韧性断裂变为脆性断裂,这种现象称为韧脆转变 12.弹性不完整性:理想的弹性体是不存在的,多数工程材料弹性变形时,可能出现加载线与卸载线不重合、应变滞后于应力变化等现象,称之为弹性不完整性。弹性不完整性现象包括包申格效应、弹性后效、弹性滞后和循环韧性等决定金属屈服强度的因素有哪些? 答:内在因素:金属本性及晶格类型、晶粒大小和亚结构、溶质元素、第二相。外在因素:温度、应变速率和应力状态。 2、试述韧性断裂与脆性断裂的区别。为什么脆性断裂最危险? 答:韧性断裂是金属材料断裂前产生明显的宏观塑性变形的断裂,这种断裂有一个缓慢的撕裂过程,在裂纹扩展过程中不断地消耗能量;而脆性断裂是突然发生的断裂,断裂前基本上不发生塑性变形,没有明显征兆,因而危害性很大。 3、剪切断裂与解理断裂都是穿晶断裂,为什么断裂性质完全不同? 答:剪切断裂是在切应力作用下沿滑移面分离而造成的滑移面分离,一般是韧性断裂,而解理断裂是在正应力作用以极快的速率沿一定晶体学平面产生的穿晶断裂,解理断裂通常是脆性断裂。 4、何谓拉伸断口三要素?影响宏观拉伸断口性态的因素有哪些? 答:宏观断口呈杯锥形,由纤维区、放射区和剪切唇三个区域组成,即所谓的断口特征三要素。上述断口三区域的形态、大小和相对位置,因试样形状、尺寸和金属材料的性能以及试验温度、加载速率和受力状态不同而变化。5、论述格雷菲斯裂纹理论分析问题的思路,推导格雷菲斯方程,并指出该理论 的局限性。 一.填空题(每空2分,共20分) 1.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2.设随机过程X(t)=Acos( t+),- 1 [()()][()()]()E X t X s D X t X s t s λ-=-=- 由于(0)0X =故 ()[()][()(0)]X m t E X t E X t X t λ==-= 2()[()][()(0)]X t D X t D X t X t σλ==-= 2 2 22(,)[()()]{()[()()()]}[()(0)][()()][()][()(0)][()()][()]{[()]}()()(1) X R s t E X s X t E X s X t X s X s E X s X X t X s E X s E X s X E X t X s D X s E X s s t s s s st s s t λλλλλλλλ==-+=--+=--++=-++=+=+ (,)(,)()()X X X X B s t R s t m s m t s λ=-= ()()[]exp{(1)}iuX t iu X g u E e t e λ==- 2 定理3.2 设{(),0}X t t ≥是具有参数λ的泊松分布, {,1}n T n ≥是对应的时间间隔序列,则随机变量n T 是独立同 分布的均值为1λ的指数分布 Proof:注意到1{}T t >发生当且仅当泊松过程在区间[0,]t 内没有事件发生,因而1{}{()0}t P T t P X t e λ->=== 即111(){}1{}1t T F t P T t P T t e λ-=≤=->=- 所以1T 是服从均值为1λ的指数分布.利用泊松过程的独立、 平稳增量性质,有 21{|}{()()0}{()(0)0}t P T t T s P X t s X s P X t X e λ->==+-==-== 即222(){}1{}1t T F t P T t P T t e λ-=≤=->=- 对任意的1n ≥和121,,,...,0n t s s s -≥有 21111{|,...,}{()(0)0}t n n P T t T s T s P X t X e λ--->===-== 即(){}1n t T n F t P T t e λ-=≤=- 所以对任一n T 其分布是均值为1 λ的指数分布. 所以1,0 (){}0,0n t T n e t F t P T t t λ-?-≥=≤=? 概率密度为,0 ()0,0 n t T e t f t t λλ-?≥=? 3 设在[0,]t 内事件A 已经发生n 次,0s t <<,对于 0k n <<,求{()|()}P X s k X t n == 解:利用条件概率及泊松分布得 {(),()} {()|()}{()} {(),()()}{()}1k n k k n P X s k X t n P X s k X t n P X t n P X s k X t X s n k P X t n s s C t t -===== ==-=-==????=- ? ??? ?? 这是一个参数为n 和s t 的二项分布 4 对有s t <有 11(){,()1}{|()1}{()1} {()1,()()0}{()1} {()1}{()()0}{()1}s t s s P W s X t P W s X t P X t P X s X t X s P X t P X s P X t X s P X t se e s se t λλλλλ----≤=≤== ==-== ==-== === 即分布函数为 1|()10,0 (),01,W X t s F s s t s t s t =? =≤?≥? 分布密度为 1|()11,0()0,W X t t s t f s =≤=?? 其它 5 设()1 ()N t k k X t Y == ∑,0t ≥是复合泊松过程则 (1){(),0}X t t ≥是独立增量过程; (2)()X t 是特征函数()()exp{[()1]}X t Y g u t g u λ=-,其中 ()Y g u 是随机变量1Y 的特征函数; λ是事件的到达率; 3)若2 1()E Y <∞,则1[()][]E X t tE Y λ=,2 1[()][]D X t tE Y λ= Proof:1)令010...m t t t ≤<<<, 则1()1()1 ()()k k N t k k i i N t X t X t Y --=+-=∑ ,1,2,...,k m = 故()X t … 《随机过程期末考试卷》 1 ?设随机变量X服从参数为■的泊松分布,则X的特征函数为 ___________ 。 2?设随机过程X(t)二Acos(「t+「),-::vt<::其中「为正常数,A和门是相互独立的随机变量,且A和“服从在区间10,1 1上的均匀分布,则X(t)的数学期望为。 3?强度为入的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量,且服从均值为_ 的同一指数分布。 4?设「W n ,n 一1是与泊松过程:X(t),t - 0?对应的一个等待时间序列,则W n服从分布。5?袋中放有一个白球,两个红球,每隔单位时间从袋中任取一球,取后放回, r 对每一个确定的t对应随机变量x(t)=」3’如果t时取得红球,则这个随机过 e t, 如果t时取得白球 程的状态空间__________ 。 6 ?设马氏链的一步转移概率矩阵P=(p j),n步转移矩阵P(n)=8(;)),二者之间的关系为。 7?设汉.,n -0?为马氏链,状态空间I,初始概率P i二P(X。二i),绝对概率 P j(n)二P^X n二j?,n步转移概率p j n),三者之间的关系为_____________ 。 8 .设{X(t),t 一0}是泊松过程,且对于任意t2t^ 0则 P{X ⑸= 6|X (3) = 4} = _______ t 9?更新方程K t二H t ? .°K t-s dF s解的一般形式为__________________ 。10?记二-EX n,对一切a 一0,当t—一:时,M t+a -M t > ____________ 3.设]X n,n — 0?为马尔科夫链,状态空间为I,则对任意整数n—0,仁I 通信原理期末考试试题及答案 一、填空题(总分24 ,共 12 小题,每空 1 分) 1、数字通信系统的有效性用传输频带利用率衡量,可靠性用差错率衡量。 2、模拟信号是指信号的参量可连续取值的信号,数字信号是指信号的参量可离 散取值的信号。 3、广义平均随机过程的数学期望、方差与时间无关,自相关函数只与时间间隔有 关。 4、一个均值为零方差为n2的窄带平稳高斯过程,其包络的一维分布服从瑞利分布, 相位的一维分布服从均匀分布。 5 、当无信号时,加性噪声是否存在?是乘性噪声是否存在?否。 6 、信道容量是指:信道传输信息的速率的最大值,香农公式可表示为: C B log 2 (1S ) 。 N 7、设调制信号为 f(t)载波为cos c t,则抑制载波双边带调幅信号的时域表达式为 f (t) cos c t,频域表达式为1 [ F ( c ) F ( c )]。2 8、对最高频率为 f H的调制信号 m (t )分别进行 AM 、DSB 、SSB 调制,相应已调 信号的带宽分别为2f H、2f H、 f H。 9、设系统带宽为W ,则该系统无码间干扰时最高传码率为2W波特。 10 、PSK 是用码元载波的相位来传输信息, DSP 是用前后码元载波的相位差来传 输信息,它可克服PSK 的相位模糊缺点。 11 、在数字通信中,产生误码的因素有两个:一是由传输特性不良引起的码间串 扰,二是传输中叠加的加性噪声。 12 、非均匀量化的对数压缩特性采用折线近似时, A 律对数压缩特性采用13折线 近似,律对数压缩特性采用15折线近似。 二、简答题(总分18 ,共 4 小题) 1 、随参信道传输媒质的特点?( 3 分) 答:对信号的衰耗随时间变化、传输的时延随时间变化、多径传播 2、简述脉冲编码调制的主要过程。(6 分) 抽样是把时间连续、幅值连续的信号变换为时间离散,幅值连续的脉冲信号;量化是 把时间离散、幅值连续的脉冲信号变换为幅值离散、时间离散的多电平脉冲信号;编 码是把幅值、时间均离散的多电平脉冲信号用一组数字序列表示。 3 、简单叙述眼图和系统性能之间的关系?( 6 分) 最佳抽样时刻对应眼睛张开最大时刻;对定时误差的灵敏度有眼图斜边的斜率决定;图的阴影区的垂直高度,表示信号幅度畸变范围;图中央横轴位置对应判决门 限电平;抽样时刻上,上下阴影区的间隔距离之半为噪声容限。 4、简述低通抽样定理。( 3 分) 一个频带限制在( 0,f H)内的时间连续信号m(t) ,如果以T 1 2 f H的时间 间隔对它进行等间隔抽样,则m(t) 将被所得到的抽样值完全确定 2 、设信息序列为 100000000001100001 ,试编为 AMI 码和 HDB 3 码(第一个非零码编 为 +1 ),并画出相应波形。(6 分) 100000000001100001 AMI+10000000000-1+10000-1 HDB3 +1 0 0 0+V-B 0 0-V 0 0+1-1+B 0 0+V-1 +1 0 0 0+1-1 0 0-1 0 0+1-1+1 0 0+1-1 AMI HDB3随机过程复习试题及答案
(完整版)北邮研究生概率论与随机过程2012-2013试题及答案
随机过程复习题(含答案)
第二章 材料的脆性断裂与强度
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材料力学性能课后习题答案
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2017 2018期末随机过程试题及答案
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