(春季拔高课程)2017-2018年九年级数学 第11讲 几何问题探究—相似与比例相关问题教案

熟练掌握图形相似的证明方法；

知识讲解

考点1 两条线段之间的数量关系

在数量关系的猜想中，证明两条线段相等的情况较多，有时也出现证明两条线段的倍数关系，如AB=2CD

或等。在证明两条线短相等的过程中，可以根据特殊四边形的性质证明两条线段相等，也可以证明两个三角形全等，根据全等三角形的性质证明两条线段相等。证明两条线段的倍分关系时，利用构造基本图形模型证明，具体情况如下：

1.利用三角形的中位线或直角三角形证明a=1

2

b；

2.利用等腰三角形证明a=；

3.利用含30°角的直角三角形证明等；

考点2 两条线段之间的位置关系

在位置关系猜想中，两条线段是垂直关系还是平行关系一目了然，关键是如何证明，方法如下：

1.在证明垂直关系时，由垂直定义，即两条线段相交，所夹的角是90°，一般利用直角三角形的两个锐角互余的角度进行证明；

2.在证明两条线段平行时，大多是根据平行线的判定方法进行证明即可；

总之证明位置关系，需要根据图形的性质，利用三角形全等进行证明，有时利用相似。在解答时，根据具体的题目条件，分解出基本图形，灵活掌握并选择方法证明。

考点3 相似三角形的判定

①定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．

②平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．

③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．

④判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 考点4 证明题常用方法归纳

（1）总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似”

（2）找相似： 通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.

（3）找中间比： 若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.

即：找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。

①

)(,为中间比n m

n m d c n m b a == ②'',,n n n

m

d c n m b a === ③),(,'''

'''n

m n m n n m m n m d c n m b a =====或

（4）添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例.以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.

注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。

（5）比例问题：常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。（6）对于复杂的几何图形，通常采用将部分需要的图形（或基本图形）“分离”出来的办法处理。

例题精析

例1已知：如图，若以△ABC边AB、AC为边向外作矩形ABDE和矩形ACGF，AC=k AF,AB=k AE ,M、N 分别为BC和DG的中点.试探究线段MN、BC之间的关系，并证明你的结论.

例2如图11，在△OAB 和△OCD 中，∠A < 90°，OB = k OD(k > 1)，∠AOB =∠COD ，∠OAB 与∠OCD 互补．试探索线段AB 与CD 的数量关系，并证明你的结论． 说明：如果你反复探索没有解决问题，可以选取⑴⑵中的一个条件 ⑴k = 1(如图12)；

⑵点C 在OA 上，点D 与点B 重合(如图13)．

图 13

图 12

图 11

B (D )

C

A

O D

B C

A

O O A

C

B

D

例3已知点E 在△ABC 内，∠ABC ＝∠EBD ＝α，∠ACB ＝∠EDB ＝60°，∠AEB ＝150°， ∠BEC ＝90°．

（1）当α＝60°时（如图17）， ①判断△ABC 的形状，并说明理由；

②求证：BD ；

（2）当α＝90°时（如图18），求BD

AE

的值．

例4已知△ABC是等边三角形，CD⊥AC，AE∥CD，且EA＝ED，BE与AD相交于点F．

（1）若∠CAD＝1

2

∠DAE（如图14），试判断BF与FE的数量关系，并说明理由；

（2）若∠CAD＝2∠DAE（如图15），求BF

FE

的值．

例5在△ABC中，∠A＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝1

2

∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于

点F．

（1）当AB＝AC时，（如图13），

①∠EBF＝_______°；

②探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；

（2）当AB＝kAC时（如图14），求BE

FD

的值（用含k的式子表示）．

课程小结

本节课主要研究了相似与比例相关问题，抓住题干所提供的信息，利用证明所缺条件构造出全等形或是相似形是本节课的重点，几何问题的探究，是一个长期积累的过程，注重几何知识的综合运用，积累基本型是重中之重。

例1【规范解答】

证明：延长BN使得BN=NH，连接HG、HC、NC,

又∵ ND=NG , ∠DNB=∠GNH

∴△DNB≌△GNH

∴ BD=HG

延长BA交HG于Q点∵BD∥HG ∴∠AQG=∠ACG=90°

∴在四边形ACGQ中，∠AQG+∠ACG=180°，则∠HGC+∠QAC=180°

又∵∠BAC+∠QAC=180°, ∴∠HGC=∠BAC

又∵AC=k?AF,AB=k?AE , ∴△BAC∽△HGC, ∴BC=kHC

∵M、N分别为BC和DG的中点

∴MN∥HC, ∴MN⊥BC, ∴HC=2MN

∴BC=2kMN

【总结与反思】延长BN，构造八字形全等，得到与BD相等的边HG，构造△BAC∽△HGC，从而可以得到HC与BC的关系，进而得到BC与MN的关系。

例2【规范解答】

结论：AB =kCD

证明：（方法一）在OA 上取一点E ，使OE=k OC ，连接EB ， ∵OB= k OD ，∴

k OC

OE

OD OB == ∵∠AOB=∠COD ， ∴△OEB ∽△OCD ，∴

k OD

OB

CD EB ==，即EB=kCD ，∠OEB=∠OCD ∵∠OAB+∠OCD=180°

，∴∠OAB+∠OEB=180° ，

∵∠AEB+∠OEB=180°

，∴∠OAB=∠AEB ∴EB =AB ， ∴AB =kCD

（方法二）延长OC 到点E ，使OE=k

1

OA ，连接DE ．证明△DOE ∽△BOA ，再证明△DCE 是等腰三角形，进而证出结论．

（方法三）作DE ⊥OC 交OC 的延长线于E ，作BF ⊥OA 于F ，证明△DOE ∽△BOF ，再证明△DCE ∽△BAF ，进而证出结论．（评分标准参照证法一） 选择（1）结论：AB =CD

证明：（方法一）在OA 上取一点E ，使OE= OC ，连接EB ∵OB=OD ，∠AOB=∠COD ，∴△OEB ≌△OCD

∴EB=CD ，∠OEB=∠OCD ，∵∠OAB+∠OCD=1800

，∴∠OAB+∠OEB=1800

∵∠AEB+∠OEB=1800

，∴∠OAB=∠AEB ，∴EB =AB ∴AB =CD

（方法二）延长OC 到点E ，使OE=OA ，连接DE ．证明△DOE ≌△BOA ，再证明△DCE

是等腰三角形，进而证出结论。

（方法三）作DE ⊥OC 交OC 的延长线于E ，作BF ⊥OA 于F ，证明△DOE ≌△BOF ，

再证明△DCE ≌△BAF ，进而证出结论。 （评分标准参照证法一） 选择（2）结论：AB =CD

证明：∵∠OAB+∠OCB=1800

，∵∠ACB+∠OCB=1800

，∴∠OAB=∠ACB ，∴CB =AB 即AB =CD 【总结与反思】

方法一是截取图形构造相似形，方法二是补出图形构造相似形，方法三是作垂创造条件构造相似形。我们介绍的这三种证明方法，同时也适用于后面附加条件的证明。本题如若选择条件证明会相应的减掉一些分值。

A

B

D

C

E

图17

例3【规范解答】（1）①判断：△ABC 是等边三角形． 证明：∵ 60=∠=∠ACB ABC

∴==∠-∠-=∠ 601800ACB ABC BAC ACB ABC ∠=∠ ∴△ABC 是等边三角形 ②同理△EBD 也是等边三角形

连接DC ，则AB=BC ，BE=BD ，CBD EBC ABE ∠=∠-=∠ 60 ∴△ABE ≌ △CBD ，∴AE=CD ， 150=∠=∠CDB AEB

∴?=∠-=∠90150BDE EDC ，?=?-?=∠-∠=∠306090BED BEC CED

在Rt △EDC 中

3

3

30tan =

?=ED CD ， ∴

AE BD BD AE 33

3

==，即． 图18

C

（2）连接DC ，

∵?=∠=∠?=∠=∠6090EDB ACB EBD ABC ，，∴△ABC ∽△EBD ， ∴BD

EB BC

AB BD

BC EB

AB ==，即，

又∵CBD EBC ABE ∠=∠-=∠ 90，∴△ABE ∽ △CBD ，

150=∠=∠CDB AEB ，BD

BE CD

AE =，∴?=∠-=∠90150BDE EDC

?=∠-?-?=∠-∠=∠60)90(90BDE BED BEC CED

设BD=x 在Rt △EBD 中，DE=2x ，BE=x 3 在Rt △EDC 中，CD=x DE 3260tan =?? ∴BD x x x x BD BE CD AE 66332==?=?=

，即6

1=AE BD

【总结与反思】

（1）题中给出了特殊角60°，我们通过导角便可以得出△ABC 是等边三角形，同理△EBD 也是等边三

角形.由图形全等可以得到一个特殊三角形Rt △EDC ，从而得到AE.

（2）补全图形，仿照（1），证明相似，通过边之间的关系便可以确定BD 与AE 的比值了。 例4【规范解答】解(1) 判断：BF=FE 证明：

作BQ ⊥AC ，交AC 于点P ，交AD 于点Q ．

∵CD ⊥AC ，∴∠ACD =90°，∵AE ∥CD ，∴∠EAC= 90°，∵∠CAD=

2

1

∠DAE ，∴∠CAD =30°，∠DAE=60° ∵EA=ED ，∴△EAD 是等边三角形，∴EA=AD=2 CD ，又∵△ABC 是等边三角形

∴AP=PC ，∠APB=90°=∠EAC=∠ACD ，∴AE ∥BQ ∥CD ，∴1==PC

AP QD

AQ 即Q 是AD 中点

∠EAF=∠BQF ，∠AEF=∠QBF ，∴PQ=

2

1

CD ，AC=3CD 在Rt △ABP 中，BP=3AP=2

3AC=2

3

CD ，∴BQ= BP+ PQ=2CD=EA

∴△AFE ≌△QFB ，∴BF=FE （2）

作BQ ⊥AC ，交AC 于点P ，交AD 于点Q ,连接EQ ． 同理P 、Q 为AC 、AD 的中点，∠EAF=∠BQF ，∠AEF=∠QBF ∴△AFE ∽△QFB ，∴EA

BQ FE

BF =

∵∠EAC= 90°,∠CAD=2∠DAE ，∴∠CAD =60°，∠DAE=30° ∴PQ=21

CD, AC=33CD, AD=3

32CD ，∴BQ= BP+ PQ=23 AC+21CD=23×33CD+21CD=CD

AQ=

2

1

AD=3

3CD ，又∵EA=ED ，∴EQ ⊥AD ∴EA=3

32 AQ=3

32×3

3CD=3

2 CD

∴2

33

2===CD CD EA

BQ FE

BF

【总结与反思】

（1）作垂线，通过题干所提供的信息得到BQ 与AE 的关系，从而构造全等△AFE ≌△QFB ，去证明BF=FE 。 （2）作垂线，过题干所提供的信息，从而构造全等△AFE ∽△QFB ，去证明BF 与EF 的比值是3：2.

例5【规范解答】解：（1）①22.5°② 结论：BE ＝1

2FD

证明：如图1，过点D 作DG ∥CA ，与BE 的延长线相交于点G ，与AB 相交于点H

则∠GDB ＝∠C ∠BHD ＝∠A ＝90°＝∠GHB ，∵∠EDB ＝12∠C ＝1

2∠GDB ＝∠EDG 又∵DE ＝DE ，∠DEB ＝∠

DEG ＝90°，

∴△DEB ≌△D EG ，∴BE ＝GE ＝1

2GB ，∵AB ＝AC ∠A ＝90°，∴∠ABC ＝∠C ＝∠GDB ，∴HB ＝HD

∵∠DEB ＝∠BHD ＝90° ∠BFE ＝∠DFH ，∴∠EBF ＝∠HDF ，∴△GBH ≌△FDH ，∴GB ＝FD ，∴BE ＝1

2

FD

（2）如图1，过点D 作DG ∥CA ，与BE 的延长线相交于点G ，与AB 相交于点H

同理可证：△DEB ≌△DEG ，BE ＝1

2GB ，∠BHD ＝∠GHB ＝90°，∠EBF ＝∠HDF ，∴△GBH ∽△FDH

∴GB FD ＝BH DH 即BE FD ＝BH 2DH ，又∵DG ∥CA ，∴△BHD ∽△BAC ，∴BH BA ＝DH CA 即BH DH ＝BA CA ＝k ∴

BE FD ＝k 2

第二种解法：

解：（1）①∵AB ＝AC ∠A ＝90°，∴∠ABC ＝∠C ＝45°，∵∠EDB ＝ ∠C ，∴∠EDB ＝22.5° ∵BE ⊥DE ，∴∠EBD ＝67.5°，∴∠EBF ＝67.5°－45°＝22.5°

②在△BEF 和△DEB 中，∵∠E ＝∠E ＝90°，∠EBF ＝∠EDB ＝22.5°，∴△BEF ∽△DEB 如图：BG 平分∠ABC ，

∴BG ＝GD △BEG 是等腰直角三角形，设EF ＝x ，BE ＝y ，则：BG ＝GD ＝ y ，FD ＝

y ＋y －x

∵△BEF ∽△DEB ，∴ ＝

，即： ＝

，得：x ＝（

－1）y ，∴FD ＝

y ＋y －（

－1）y ＝2y ∴FD ＝2BE ．

（2）如图：作∠ACB 的平分线CG ，交AB 于点G ，

∵AB ＝kAC ，∴设AC ＝b ，AB ＝kb ，BC ＝

b

利用角平分线的性质有：＝，即：＝，得：AG＝

∵∠EDB＝∠ACB，∴tan∠EDB＝tan∠ACG＝，∵∠EDB＝∠ACB

∠ABC＝90°－∠ACB，∴∠EBF＝90°－∠ABC－∠EDB＝∠ACB，∴△BEF∽△DEB，∴EF＝

BE

ED＝BE＝EF＋FD，∴F D＝BE－BE＝BE．∴＝．

【总结与反思】我们介绍了两种方法一种是作平行线，目的是将半角变成倍角，另一种方法是作角平分线，目的是将倍角变成半角，无论哪种方式，最终的目的都是为了构造全等形或是相似形。