汉代有秩与啬夫关系考辨

常熟理工学院学报（哲学社会科学）

2012年1月Jan.，2012

收稿日期：2011-09-02

作者简介：惠翔宇（1984—），男，陕西临潼人，福建师范大学社会历史学院硕士生，主要研究方向为先秦秦汉史；

黄远东（1986—），男，湖南郴州人，福建师范大学社会历史学院硕士生，主要研究方向为史学理论及史学史、先秦史。

①“所谓官有秩，疑当指主管县的某个部门的秩为百石的少吏，被排在乡有秩之前，如同官啬夫和官佐，亦分别排在乡啬夫

和乡佐之前。”见谢桂华《尹湾汉墓简牍和西汉地方行政制度》，《文物》1997年第1期，第46页。

二十世纪七八十年代，史学界曾掀起汉代“有秩”与“啬夫”关系之讨论，争论颇多，主要有以下四说：其一，“有秩”即“啬夫”说，以郑实先生为代表；其二，啬夫分有秩（百石）和斗食两级，“有秩啬夫”连读，以裘锡圭先生为代表；其三，“有秩啬夫”即是一官又是两官，以钱剑夫先生为代表；其四，“有秩”非“啬夫”，以高敏先生为代表。诸说皆言之有据却莫衷一是。八十年代中叶之后，“有秩”与“啬夫”的讨论陷入沉寂，“有秩”与“啬夫”的关系几成史学难题。赖《尹湾汉墓简牍》的面世，这一史学难题再次提上日程。

尹湾汉简《东海郡吏员簿》明确载有“官有秩”、“乡有秩”、“官啬夫”、“乡啬夫”四种名目，排列次序各异。“官啬夫”、“有秩”、“乡啬夫”之名又见张家山汉简《二年律令》。笔者认为，郑实、裘锡圭、钱剑夫三位前辈之论有待商榷；高敏先生“有秩”非“啬夫”之论正确。两汉“有秩”与“啬夫”实乃两个独立官名。“有秩”分“官有秩”和“乡有秩”两类；“啬夫”分“官啬夫”和“乡啬夫”两类。本文拟以前贤研究为基础，通过对“有秩”和“啬夫”的历史渊源、行政归属、职掌及秩阶

的系统考察，以证前论。

一、有秩：官有秩、乡有秩

有秩，秦官。秦孝公十三年，初置“有秩史”。《史

记·六国年表》“十三年，初为县，有秩史”［1］723

是其明

证。故凡有秩禄之低级官吏，皆可泛称“有秩吏”或

“有秩之吏”。［2］264、268

至秦昭王时，“有秩”仍属泛称。“有秩”作为固定官名始于秦末汉初。

［2］268

《汉书·百官公卿表》：“乡有三老、有秩、啬夫、游徼……皆秦制

也。”［3］742

《汉书·外戚传》：“上家人子、中家人子，视有秩、斗食云。”［3］3935

故秦末汉初，有秩已成固定官名，此

论甚明。据尹湾汉简《东海局吏员簿》记载，汉代“有秩”可分为“官有秩”和“乡有秩”两类。

（一）官有秩

“官有秩”传世典籍疏漏，可考者仅见《尹湾汉墓简牍·东海郡吏员簿》：海西县、兰陵县、襄贲县各有官有秩1人，下邳2人，总计5人。“官有秩”的职掌不详，推测应和下文所论“官啬夫”之职相类，当是管理国有经济之专职少吏。①此外，

孙星衍辑《汉官》河南尹条汉代“有秩”与“啬夫”关系考辨

惠翔宇，黄远东

（福建师范大学社会历史学院，福州350007）

摘要:尹湾汉简《东海郡吏员簿》再次证明，汉代“有秩”和“啬夫”实乃两个独立官名：“有秩”分“官有秩”和“乡

有秩”两类，“啬夫”分“官啬夫”和“乡啬夫”两类。中华书局版《汉书·百官公卿表》及《后汉书·百官志》关于“有秩、啬夫”之点校正确无误，是历史事实的反映。

关键词:有秩；啬夫；尹湾汉简；二年律令中图分类号：K232

文献标识码：A

文章编号：1008-2794（2012）01-0093-05

93

第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)

第五专题 矩阵的数值特征 （行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数） 一、行列式 已知A p ×q , B q ×p , 则|I p +AB|=|I q +BA| 证明一：参照课本194页，例4.3. 证明二：利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质； 从而I p +AB ，I q +BA 中不等于1的特征值的数目 相同，大小相同；其余特征值都等于1。 行列式是特征值的乘积，因此|I p +AB|和|I q +BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。 二、矩阵的迹 矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。 定义：n n ii i i 1 i 1 tr(A)a ====λ∑∑，etrA=exp(trA)

性质： 1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ，线性性质； 2. T tr(A )tr(A)=； 3. tr(AB)tr(BA)=； 4. 1 tr(P AP)tr(A)-=； 5. H H tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量； 6. n n k k i i i 1 i 1 tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑; 从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0； 8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥?λ≥λ）； 9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。 若干基本不等式 对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式 [x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]

wilcoxon符号秩检验 吴喜之例子()

吴喜之《非参数统计》第35页例子 现在用一个例子来说明如何应用Wilcoxon符号秩检验，并表明它和符号检验在解决同样的位置参数检验问题时的不同。 下面是亚洲十个国家1966年的每1000新生儿中的（按从小到大次序排列）死亡数（按世界银行：“世界发展指标”，1998） 这里想作两个检验作为比较。一个是H 0：M≥34H 1 ：M<34， 另一个是H 0：M≤16H 1 ：M>16。 之所以作这两个检验是因为34和16在这一列数中的位置是对称的，如果用符号检验，结果也应该是对称的。现在来看Wilcoxon符号秩检验和符号检验有什么不同，先把上面的步骤列成表： 上面的Wilcoxon符号秩检验在零假设下的P-值可由n和W查表得到，该P-值也可以由计算机统计软件把数据和检验目标输入后直接得到。从上面的检验结果可以看出，在符号检验中，两个检验的p-值都是一样的（等于0.3770）不能拒绝任何一个零假设。而 利用Wilcoxon符号秩检验，不能拒绝H 0：M≥34，但可以拒绝H ：M≤16。理由很明显。

34和16虽然都是与其最近端点间隔4个数（这也是符号检验结果相同的原因），但34到它这边的4个数的距离（秩）之和（为W=29）远远大于16到它那边的4个数的距离之和（为W=10）。所以说Wilcoxon 符号秩检验不但利用了符号，还利用了数值本身大小所包含的信息。当然，Wilcoxon 符号秩检验需要关于总体分布的对称性和连续性的假定。 详细计算过程 Wilcoxon 符号秩检验 亚洲十国，每千人婴儿中的死亡数为：4、6、9、15、33、31、36、65、77、88 假设检验：16:0=D M H ；16:<-D M H 手算 由D 的符号和D 绝对值的秩可以算得： 根据n=10，45=+T 查表得到+T 的右尾概率为P=0.042，由于P<0.05，因此拒绝0H 。 SPSS

1求下列向量组的秩与一个极大线性无关组概要

习题4.3 1. (1) []12,1, 3,1T α=-, []23,1,2,0T α=-， []31,3,4,2T α=-,[]44,3,1,1T α=-． (2) []11,1,1,1T α=, []21,1, 1,1T α=--， []31,1,1,1T α=--,[]41,1,1,1T α=---． (3) []11, 1,2,4T α=-, []20,3,1,2T α=，[]33,0,7,14T α=, []41,1,2,0T α=-,[]52,1,5,6T α=． 分析 向量组的秩等于该向量组构成的矩阵的秩, 所以求向量组的秩可以转化为求矩阵的秩. 先把向量构成矩阵通过矩阵的初等行变换成阶梯形, 通过阶梯形便可得到矩阵的秩, 它也就是该向量组的秩, 而阶梯形的阶梯头所在的列对应的向量便构成该向量组的一个极大线性无关组. 解 (1) []1 23 423141133113301123241000010210000αααα--???????? ---??? ?=??→????????--???? , 所以该向量组的秩为2, 且1α, 2α为它的一个极大线性无关组. (2) []1 23 4111111 1111110 1011111001111110 01αααα--????????---??? ?=??→???? ---????--???? , 所以该向量组的秩为4, 且1α,2α,3α,4α为它的一个极大线性无关组. (3) []1 234 51 03121 312130110110121725000104 2140 60 000 0ααααα????????--? ???=??→???????????? , 所以该向量组的秩为3, 且1α,2α,4α为它的一个极大线性无关组. 2.计算下列向量组的秩，并判断该向量组是否线性相关. (1) []11, 1,2,3,4T α=-，[]23,7,8,9,13T α=-，

数值分析向量,矩阵范数,矩阵的条件数

§8 向量,矩阵范数，矩阵的条件数 一 、 向量、矩阵范数 为了讨论线性方程组近似解的误差估计与研究解方程组迭代法的收敛性，需要在)(n n n R R ?或中引进向量序列(或矩阵序列)极限概念。为此， 这就需要对量空间n R (或n n R ?矩阵空间)元素的“大小”引进某种度量即向量范数(或矩阵范数)即距离的概念。 (一)向量范数：向量范数是3R 中向量长度概念的推广。 },{1为复数i n n x x x x x C ??????????== 称为n 维复向量空间。 },)({为复数ij n n ij n n a a A A C ??==称为n n ?复矩阵空间。 (2)设n n n C A C x ?∈∈,,称T n H x x x x =≡),,(1 为x 的共轭转置 ， T H A A =称为A 共轭转置矩阵。 在许多应用中，对向量的范数(对向量的“大小”的度量)都要求满足 正定条件，齐次条件和三角不等式，下面给出向量范数的抽象定义。 n R x ∈(或n C x ∈)的某个实值非负函数 x x N ≡)(，如果满足下述条件 (1)正定性 00,0=??=≥x x x (2)齐次性 x ax α=其中R ∈α(或C ∈α) (3)三角不等式 )(,,n n C R y x y x y x ∈∈?+≤+或，称x x N ≡)(是n R 上(或n C )一个向量范数(或为模)。

由三角不等式可推出不等式 (4)y x y x -≤- 下面给出矩阵计算中一些常用向量范数。 设)(),,(1n n T n C x R x x x ∈∈=或 (1)向量的“∞”范数 i n i x x x N ≤≤∞ ∞=≡1max )( (2)向量的“1”范数 ∑==≡n i i x x x N 1 1 1)( (3)向量的“2”范数 2/11 2 2 /12 2)() ,()(∑===≡n i i x x x x x N (4)向量的能量范数 设n n R A ?∈为对称正定阵 2 /1),()(x Ax x x N R x A A n =≡→∈? 称为向量的能量范数。 设n R x ∈(或n C x ∈)，则)(),(),(12x N x N x N ∞是n R 上(或n C )的向量范数。 证明 只验证三角不等式：对任意n R y x ∈,，则222 y x y x +≤+ 利用哥西不等式：22 ),(y x y x ≤，则有 ),(22 y x y x y x ++=+),(),(2),(y y y x x x ++= 22 2 2 22 2y y x x ++≤222))(y x += 对任何n R y x ∈,则 (1) ∞∞ ≤≤x n x x 2 (2) 212 x n x x ≤≤ (3) ∞∞ ≤≤x n x x 1

SAS讲义_第二十七课符号检验和Wilcoxon符号秩检验

第二十七课 符号检验和Wilcoxon 符号秩 检验 在统计推断和假设检验中，传统的检验统计量都叫做参数检验，因为它们都依赖于确定的概率分布，这个分布带有一组自由的参数。参数检验被认为是依赖于分布假定的。通常情况下，我们对数据进行分析时，总是假定误差项服从正态分布，这是人们易于接受的事实，因为正态分布的原始出发点就是来自于误差分布，至于当样本相当大时，数据的正态近似，这是由于大样本理论所保证的。但有些资料不一定满足上述要求，或不能测量具体数值，其观察结果往往只有程度上的区别，如颜色的深浅、反应的强弱等，此时就不适用参数检验的方法，而只能用非参数统计方法（non-parametric statistical analysis ）来处理。这种方法对数据来自的总体不作任何假设或仅作极少的假设，因此在实用中颇有价值，适用面很广。 一、 单样本的符号检验 符号检验（sign test ）是一种最简单的非参数检验方法。它是根据正、负号的个数来假设检验。首先需要将原始观察值按设定的规则，转换成正、负号，然后计数正、负号的个数作出检验。该检验可用于样本中位数和总体中位数的比较，数据的升降趋势的检验，特别适用于总体分布不服从正态分布或分布不明的配对资料，有时当配对比较的结果只能定性的表示，如试验前后比较结果为颜色从深变浅、程度从强变弱，成绩从一般变优秀，即不能获得具体数字，也可用符号检验，例如用正号表示颜色从深变浅，用负号表示颜色从浅变深。 用于配对资料时，符号检验的计算步骤为：首先定义成对数据指定正号或负号的规则，然后计数正号的个数+ S 及负号的个数- S ，由于在具体比较配对资料时，可能存在配对资料的前后没有变化，或等于假设中的中位数，此时仅需要将这些观察值从资料中剔除，当然样本大小n 也随之减少，故修正样本大小- + +=S S n 。当样本n 较小时，应使用二项分布确切概率计算法，当样本n 较大时，常利用二项分布的正态近似。 1. 小样本时的二项分布概率计算 当20≤n 时，+S 或- S 的检验p 值由精确计算尺度二项分布的卷积获得。在比较配对资 料试验前后有否变化，或增加或减小的假设检验时，如果我们定义试验后比试验前增加为正号，反之为负号，那么对于原假设：试验前后无变化来说，正号的个数+ S 和负号的个数- S 可 能性应当相等，即正号出现的概率p =0.5，于是+S 与- S 均服从二项分布)5.0,(n B ，对于太 大的+S 相应太小的-S ，或者太大的-S 相应太小的+ S ，都将拒绝接受原假设；对于原假设：试验后比试验前有增加来说，正号的个数+ S 大于负号的个数- S 的可能性应该大，即正号出现的概率5.0>p ，对于太小的+ S 相应太大的- S ，将拒绝接受原假设；对于原假设：试验后比试验前减小来说，正号的个数+ S 小于等于负号的个数- S 的可能性应该大，即正号出现

两汉文学汉代的辞赋

第二章 两汉文学 第一节 汉代的辞赋 赋是汉代最有代表性的文学样式，它介于诗歌和散文之间，韵散结合，可以说是诗的散文化、散文的诗化。汉赋是在对诸种文体兼收并蓄的基础上，形成新的体制。 一、赋体的形成、兴盛及变化 赋是汉代最流行的文体，在两汉四百年间，盛极一时。后世常把赋看成是汉代文学的代表，专称为“汉赋”。 作为一种文体，赋早在战国时代的后期就产生了。从现存资料看，最早写作赋体作品并以赋名篇的是荀子。《汉书·艺文志》记有荀子赋十篇，现流传下来的有五篇，即在今本《荀子》中《赋篇》里的《礼》《知》《云》《蚕》《针》。此五篇赋以通俗的“隐语”铺写五种事物，以咏物为说理，实成为汉赋的直接渊源。旧传宋玉也有赋作，但今之流传者，疑是后人之伪托。1993年连云港出土的尹湾汉墓竹简，有一篇重要作品《神乌傅（赋）》，全篇约有664字，作于西汉后期，作者是一位受儒学熏陶很深的下层知识分子。《神乌傅（赋）》的发现，为赋起源于民间说提供了重要的证据。（参看沈颂今著《二十世纪简帛学研究》243页，学苑出版社2003年8月版。） 赋体的主要特点是所谓的铺陈写物。刘勰《文心雕龙·诠赋》篇中说：“赋者，铺也，铺采摛 文，体物写志也。”这是对“诗六义”中赋的表现手法的解释。赋、敷、铺可通假。《诗经》中的 “赋”，指不假比兴、直接表现事物的时空状态的艺术手法。《诠赋》篇又说：“然赋也者，受命于诗 人，拓宇于楚辞也。”班固《两都赋序》说：“赋者，古诗之流也。”这两段话说明：一、赋，溯其渊 源，是诗歌的衍变。“受命于诗人”，因《诗六义》中有赋，一般认为，赋在《诗经》中并不是文 体，是一种表现手法，但赋体与“六义”之“赋”有关，由“赋”转化而来。二、赋又与楚辞有关，受楚辞 的影响很大。从楚辞开始，以较长的篇幅和优美的词藻来发挥想象倾诉感情，成为战国后期人们所 欢迎的形式。赋作者正是利用这种文体来表达自己对当时现实的态度。我们看西汉初年的“骚体 赋”，确与楚辞相当接近。赋在后来的发展中，也吸收了楚辞的某些特点，如华丽的辞藻、夸张的手法等，丰富了自己的体制。刘勰正是看到了赋与楚辞的这种关系。《汉书·艺文志》又说：“不歌而诵谓之赋。”这是说明它与乐诗的区别，它不像先秦的《诗经》那样可以入乐。它不入乐，可以朗诵。所以它又接近于散文。可以说赋是一种形式介于诗歌与散文之间的独立的文学体裁。 刘勰 赋的形成和发展，可以分为几个阶段。第一个时期是高祖初年到武帝初年，这时流行的是“骚体赋 ”，形式上模拟楚辞，追随楚辞传统，内容多是抒发作者的政治见解和身世之感慨。代表作家有贾谊《吊屈原赋》《鵩鸟赋》，淮南小山《招隐士》等。第二时期是武帝初年到东汉中叶，约二百多年，是所谓散体大赋时期，汉代散体大赋达于鼎盛。《汉书·艺文志》著录汉

第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)

第五专题 矩阵的数值特征 （行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数） 一、行列式 已知A p ×q , B q ×p , 则|I p +AB|=|I q +BA| 证明一：参照课本194页，例4.3. 证明二：利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质； 从而I p +AB ，I q +BA 中不等于1的特征值的数目 相同，大小相同；其余特征值都等于1。 行列式是特征值的乘积，因此|I p +AB|和|I q +BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。 二、矩阵的迹 矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。 定义：n n ii i i 1i 1tr(A)a ====λ∑∑，etrA=exp(trA) 性质： 1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ，线性性质； 2. T tr(A )tr(A)=； 3. tr(AB)tr(BA)=； 4. 1tr(P AP)tr(A)-=；

5. H H tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量； 6. n n k k i i i 1i 1tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑; 从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0； 8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥?λ≥λ）； 9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。 若干基本不等式 对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式 [x,y]2≤[x,x]﹒[y,y] 得 定理：对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B) 这里等号成立的充要条件是A=cB,c 为一常数。特别当A 和B 为实对称阵或Hermit 矩阵时 0≤|t r(AB)|≤ 定理：设A 和B 为两个n 阶Hermite 阵,且A≥0，

中华经典诗词诵读汉代诗歌

中华经典诗词诵读汉代诗歌（19首） ★大风歌（汉·刘邦） 大风起兮云飞扬， 威加海内兮归故乡， 安得猛士兮守四方。 ★北方有佳人（汉·李延年） 北方有佳人，绝世而独立。 一顾倾人城，再顾倾人国。 宁不知倾城与倾国，佳人难再得。 ★江南（汉乐府） 江南可采莲， 莲叶何田田！ 鱼戏莲叶间， 鱼戏莲叶东， 鱼戏莲叶西， 鱼戏莲叶南， 鱼戏莲叶北。 ★孤儿行（汉乐府） 孤儿生，孤子遇生，命独当苦。 父母在时，乘坚车，驾驷马。 父母已去，兄嫂令我行贾。 南到九江，东到齐与鲁。 腊月来归，不敢自言苦。 头多虮虱，面目多尘土。 大兄言办饭，大嫂言视马。 上高堂，行取殿下堂。 孤儿泪下如雨。 使我朝行汲，暮得水来归。 手为错，足下无菲。 怆怆履霜，中多蒺藜。 拔断蒺藜肠肉中，怆欲悲。 泪下渫渫，清涕累累。 冬无复襦，夏无单衣。 居生不乐，不如早去，下从地下黄泉。 春气动，草萌芽。 三月蚕桑，六月收瓜。 将是瓜车，来到还家。 瓜车反覆。 助我者少，啖瓜者多。 愿还我蒂，兄与嫂严。 独且急归，当兴校计。 乱曰：

里中一何譊譊。 愿欲寄尺书， 将与地下父母， 兄嫂难与久居。 ★十五从军征（汉乐府） 十五从军征，八十始得归。 道逢乡里人：“家中有阿谁？” “遥望是君家。”松柏冢累累。 兔从狗窦入，雉从梁上飞。 中庭生旅谷，井上生旅葵。 舂谷持作饭，采葵持作羹。 羹饭一时熟，不知贻阿谁。 出门东向望，泪下沾我衣。 ★有所思（汉乐府） 有所思，乃在大海南。 何用问遗君？双珠玳瑁簪。用玉绍缭之。 闻君有他心，拉杂摧烧之。 摧烧之，当风扬其灰。 从今以往，勿复相思！相思与君绝。 鸡鸣狗吠，兄嫂当知之。 妃呼狶！秋风肃肃晨风飔，东方须臾高知之。 ★上邪（汉乐府） 上邪！ 我欲与君相知， 长命无绝衰。 山无陵， 江水为竭， 冬雷震震， 夏雨雪， 天地合， 乃敢与君绝。 ★白头吟（汉乐府） 皑如山上雪，皎若云间月。闻君有两意，故来相决绝。 今日斗酒会，明旦沟水头。躞蹀御沟上，沟水东西流。 凄凄复凄凄，嫁娶不须啼。愿得一心人，白头不相离。 竹竿何袅袅，鱼尾何簁簁。男儿重意气，何用钱刀为！ ★陌上桑（汉乐府） 日出东南隅，照我秦氏楼。秦氏有好女，自名为罗敷。 罗敷善蚕桑，采桑城南隅。青丝为笼系，桂枝为笼钩。 头上倭堕髻，耳中明月珠。缃绮为下裙，紫绮为上襦。 行者见罗敷，下担捋髭须。少年见罗敷，脱帽著帩头。 耕者忘其犁，锄者忘其锄。来归相怨怒，但坐观罗敷。 使君从南来，五马立踟蹰。使君遣吏往，问是谁家姝？ “秦氏有好女，自名为罗敷。”“罗敷年几何？”“二十尚不足，

向量组的线性相关、行和秩

第六讲 向量组的线性相关和秩 一、何为线性组合和相关性： 1、线性组合：设有向量组A:1α,2α,…,m α，对于任何一组实数:1κ,2κ,…,m κ,表达式11κα+22κα+…+m m κα,称向量组A 的一个线性组合；同时，对于向量β，如果存在一组数1κ,2κ,…,m κ，使得β=11κα+22κα+…+m m κα，则称向量β能由向量组A 线性表示。 2、相关性：对于11κα+22κα+…+m m κα=0（i κ不全为零，i =1,2，…,m ）,则称向量组A 线性相关；否则称向量组A 线性无关。 例1：判断向量组1α=310?? ? ? ???,2α=160?? ? ? ???,3α=475?? ? ? ???的线性相关性。 解：令11κα+22κα+33κα=0，即123314167005κκκ???? ??? ??? ??????? =0 由于A =314 167005 =85≠0 所以由克拉默法则知，该方程组只有零解， 即1κ= 2κ= 3κ=0，所以1α,2α,3α线性无关。 3、 定理1 向量组A:1α,2α,…,m α(m ≥2)线性±相关的充分必要条件是向量组

A 中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示。 4、 定理2 向量组1α,2α,…,m α线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A=(1α,2α,…,m α)的秩小于向量个数m ；向量组线性无关的充分必要条件是R(A)=m 。 例2： 设 1α=111?? ? ? ???，2α=201-?? ? ? ???，3α=012?? ? ? ??? ，4α=122-?? ? ? ???， 试讨论向量组1α,2α,3α,4α及1α,2α,3α的线性相关性。 解: 设 (1α,2α,3α,4α)=120112011012021311220013----???? ? ? → ? ? ? ?-???? 可见R(1α,2α,3α,4α)=3小于向量个数4，故向量1α,2α,3α,4α线性无关；同时可得R(1α,2α,3α)=3，等于向量个数，故向量组1α,2α,3α线性无关。 注意：上述例1亦可由这一定理求解，即例1矩阵的秩为3，等于向量的个数，，所以1α,2α,3α线性无关。 5、向量组之间的等价关系和线性表示： 引例：已知向量组 1α=242?? ? ? ???, 2α=121-?? ?- ? ?-??, 3α=354?? ? ? ???，4α=140?? ? ? ??? ，问可否由1α,2α,3α线性表示 4α？ 解：设有1κ,2κ,3κ使11κα+22κα+33κα=4α, 可得方程组123213425214κκκ-???? ???- ??? ???-????=140?? ? ? ??? 容易得出此方程无解，因此4α不能由1α,2α,3α线性表示。 注意：线性方程组11κα+22κα+…+m m κα=β有解的充分必要条件是向量β可以由向量组1α,2α,…,m α线性表示。

SAS系统和数据分析Wilcoxon秩和检验

第二十八课 Wilcoxon 秩和检验 一、 两样本的Wilcoxon 秩和检验 两样本的Wilcoxon 秩和检验是由Mann ，Whitney 和Wilcoxon 三人共同设计的一种检验，有时也称为Wilcoxon 秩和检验，用来决定两个独立样本是否来自相同的或相等的总体。如果这两个独立样本来自正态分布和具有相同方差时，我们可以采用t 检验比较均值。但当这两个条件都不能确定时，我们常替换t 检验法为Wilcoxon 秩和检验。 Wilcoxon 秩和检验是基于样本数据秩和。先将两样本看成是单一样本（混合样本）然后由小到大排列观察值统一编秩。如果原假设两个独立样本来自相同的总体为真，那么秩将大约均匀分布在两个样本中，即小的、中等的、大的秩值应该大约被均匀分在两个样本中。如果备选假设两个独立样本来自不相同的总体为真，那么其中一个样本将会有更多的小秩值，这样就会得到一个较小的秩和；另一个样本将会有更多的大秩值，因此就会得到一个较大的秩和。 设两个独立样本为：第一个x 的样本容量为1n ，第二个y 样本容量为2n ，在容量为21n n n +=的混合样本（第一个和第二个）中，x 样本的秩和为x W ，y 样本的秩和为y W ，且有： 2)1(21+= +++=+n n n W W y x (28.1) 我们定义： 2 )1(111+-=n n W W x (28.2) 2)1(222+-=n n W W y (28.3) 以x 样本为例，若它们在混合样本中享有最小的1n 个秩，于是2)1(11+=n n W x ，也是x W 可能取的最小值；同样y W 可能取的最小值为2 )1(22+n n 。那么，x W 的最大取值等于混合样本的总秩和减去y W 的最小值，即2 )1(2)1(22+-+n n n n ；同样，y W 的最大取值等于2 )1(2)1(11+-+n n n n 。所以，式(28.2)和式(28.3)中的1W 和2W 均为取值在0与

秩和线性相关,无关的关系

老师能不能麻烦您写一下，秩和线性相关，无关的关系，还有方程个数（维数）未知数个数之间的关系与方程线性相关无关的关系。我这一点学的很乱，也找不到哪些参考书目有总结的，自己好多也不知道。最好能解释清楚一下。 标准全书，P302最上面6和7有什么区别吗？都是相乘一个等于N ，一个≤N 。还有就是当页的例题一，不能设PX=0解吧？否则就应该用上面的等式6了。我觉的只能用不等式7去解。 通过定义，即转化为齐次线性方程组是否有非零解，利用判断非零解的充要条件可以得到，自己要试着学会推导。 12,,,m ααα 是n 维列向量，12i i i ni a a a α??????=?????? 12,,,m ααα 是线性相关的 ?存在不全为0的数1,,m k k ，使得11220m m k k k ααα+++= ? 齐次线性方程组11220m m x x x ααα+++= 有非零解。 ?11121121 22 221 2 0m m n n nm m a a a x a a a x a a a x ???? ????? ???=???????????? 即0n m A X ?=有非零解()12,,,m A ααα= ?()r A m <（系数矩阵的秩小于未知数的个数，即向量的个数） ?()12,,,m r m ααα< 同理自己可以推导线性无关的情况。 学习线性代数必须学会自己总结，将相关知识点进行联系 0AX = 标准全书 0m n A X ?= 6是根据齐次线性方程组的解来确定，系数矩阵的秩()r A ，则基础解系中有 ()n r A -个向量，即齐次线性方程组有()n r A -个线性无关的解向量。 7 0AB =将其按列分块得到()12,,,s B βββ= ，则 ()()()1212,,,,,,0,0,,0s s AB A A A A ββββββ=== 即0i A β= B 的每个列向量是0m n A X ?=的解，但不一定是全部解，则()()r B n r A ≤-整理可

表A.10 WILCOXON符号秩和检验的T临界值

. 精品 n 单尾检验的显著水平 .05 .025 .01 .005 双尾检验的显著水平 .10 .05 .02 .01 28 130 116 101 91 29 140 126 110 100 30 151 137 120 109 31 163 147 130 118 32 175 159 140 128 33 187 170 151 138 34 200 182 162 148 35 213 195 173 159 36 227 208 185 171 37 241 221 198 182 38 256 235 211 194 39 271 249 224 207 40 286 264 238 220 41 302 279 252 233 42 319 294 266 247 43 336 310 281 261 44 353 327 296 276 45 371 343 312 291 46 389 361 328 307 47 407 378 345 322 48 426 396 362 339 49 446 415 379 355 50 466 434 397 373 表B.10 WILCOXON 符号秩和检验的T 临界值* *如果要使结果显著，所得到的T 值必须等于或小于临界值，列中的横线（—）表示在列出的和的情况下，我们不能做出任何结论。 Adapted from F. Wilcoxon, S. K. Katti, and R. A. Wilcox, Critical Values and Probability Levels of the Wilcoxon Rank-Sum Test and the Wilcoxon Signed-Ranks Test. Wayne, N.J.: American Cyanamid Company, 1963. Adapted and reprinted with permission of the American Cyanamid Company 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！ n 单尾检验的显著水平 .05 .025 .01 .005 双尾检验的显著水平 .10 .05 .02 .01 5 0 — — — 6 2 0 — — 7 3 2 0 — 8 5 3 1 0 9 8 5 3 1 10 10 8 5 3 11 13 10 7 5 12 17 13 9 7 13 21 17 12 9 14 25 21 15 12 15 30 25 19 15 16 35 29 23 19 17 41 34 27 23 18 47 40 32 27 19 53 46 37 32 20 60 52 43 37 21 67 58 49 42 22 75 65 55 48 23 83 73 62 54 24 91 81 69 61 25 100 89 76 68 26 110 98 84 75 27 119 107 92 83

第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)

第五专题矩阵的数值特征 （行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数） 一、行列式 已知A p×q, B q×p, 则|I p+AB|=|I q+BA| 证明一：参照课本194页，例4.3. 证明二：利用AB和BA有相同的非零特征值的性质； 从而I p+AB，I q+BA中不等于1的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于1。 行列式是特征值的乘积，因此|I p+AB|和|I q+BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。 二、矩阵的迹 矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。 定义： n n ii i i1i1 tr(A)a == ==λ ∑∑，etrA=exp(trA) 性质： 1. tr(A B)tr(A)tr(B) λ+μ=λ+μ，线性性质；

2. T tr(A )tr(A)=； 3. tr(AB)tr(BA)=； 4. 1 tr(P AP)tr(A)-=； 5. H H tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量； 6. n n k k i i i 1 i 1 tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑; 从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0； 8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥?λ≥λ）； 9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。 若干基本不等式 对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式 [x,y]2≤[x,x]﹒[y,y] 得 定理：对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B)

Wilcoxon符号秩检验

第二节Wilcoxon符号秩检验

Wilcoxon符号秩检验 符号检验只用了差的符号，但没有利用差值的 大小。 1 2 3Wilcoxon符号秩检验(Wilcoxon signed-rank test) 把差的绝对值的秩分别按照不同的符号相加作为其检验统计量。 显然，相比较于符号检验，Wilcoxon符号秩检验利用了更多的信息。

Wilcoxon符号秩检验：条件 u Wilcoxon符号秩检验需要一点总体分布的性质；它要求假 定样本点来自连续对称总体分布；而符号检验不需要知道 任何总体分布的性质。 u在对称分布中，总体中位数和总体均值是相等的；因此， 对于总体中位数的检验，等价于对于总体均值的检验。 u Wilcoxon符号秩检验实际是对对称分布的总体中位数（或 均值）的检验。

Wilcoxon符号秩检验：基本原理 u计算差值绝对值的秩。 u分别计算出差值序列里正数的秩和（W+）以及负数的秩和（W-）。 u如果原假设成立，W+与W-应该比较接近。如果W+和W-过大或过 小，则说明原假设不成立。 u将正数的秩和或者负数的秩作为检验统计量，根据其统计分布计 算p值，从而可以得出检验的结论。

具体步骤 设定原假设和备择假设。 分别计算出差值序列中正数的秩和W+以及负数的秩和W-。 根据W+和W-建立检验统计量，计算p值并得出检验的结论。 在双侧检验中检验统计量可以取为W=min(W+,W-)。显然，如果原假设成立，W+与W-应该比较接近。如果二者过大或过小，则说明原假设不成立。

秩的计算注意问题 计算差值绝对值的秩时，注意差值等于0值不参与排序。 下面一行R i就是上面一行数据Z i的秩。 Z i159183178513719 R i75918426310 数据中相同的数值称为“结”。结中数字的秩为它们所占位置的平均值 Z i159173178513719 R i758.518.5426310

第六讲向量组的线性相关、行和秩

第六讲 向量组的线性相关和秩 正文: 一、何为线性组合和相关性： 1、线性组合：设有向量组A:1 α,2α,…,m α，对于任何一组实数:1κ,2κ,…,m κ, 表达式11κα+22κα+…+m m κα,称向量组A 的一个线性组合；同时，对于向量β，如果存在一组数1κ,2κ,…,m κ，使得β=11κα+22κα+…+m m κα，则称向量β能由向量组A 线性表示。 2、相关性：对于11κα+22κα+…+m m κα=0（i κ不全为零，i =1,2，…,m ）,则称向量组A 线性相关；否则称向量组A 线性无关。 例1：判断向量组1α=310?? ? ? ???,α=160?? ? ? ???,3α=475?? ? ? ???的线性相关性。 解：令11κα+22κα+33κα=0，即123 3 141 6700 5κκκ???? ? ? ? ? ? ?? ??? =0 由于A =314 1 670 5 =85≠0 所以由克拉默法则知，该方程组只有零解，

即1κ= 2κ= 3κ=0，所以1 α,2α,3α线性无关。 3、 定理1 向量组A:1 α,2α,…,m α(m ≥2)线性±相关的充分必要条件是向量组 A 中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示。 4、 定理2 向量组1 α,2α,…,m α线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵 A=(1 α,2α,…,m α)的秩小于向量个数m ；向量组线性无关的充分必要条件是 R(A)=m 。 例2： 设 1α=111?? ? ? ???，2α=201-?? ? ? ???，3α=012?? ? ? ???，4α=122-?? ? ? ??? ， 试讨论向量组1 α,2α,3α,4α及1 α,2α,3α的线性相关性。 解: 设 (1α,2α,3α,4α)=1 20112011 012021311 2 200 1 3----???? ? ?→ ? ? ? ?-? ?? ? 可见R(1 α,2α,3α,4α)=3小于向量个数4，故向量1 α,2α,3α,4α线性无关；同 时可得R(1 α,2α,3α)=3，等于向量个数，故向量组1 α,2α,3α线性无关。 注意：上述例1亦可由这一定理求解，即例1矩阵的秩为3，等于向量的个数，，所以1 α,2α,3α线性无关。 5、向量组之间的等价关系和线性表示： 引例：已知向量组 1α=242?? ? ? ???, 2α=121-?? ?- ? ?-??, 3α=354?? ? ? ???，4α=140?? ? ? ??? ，问可否由1α,2α,3α线性表示4α？ 解：设有1κ,2κ,3κ使11κα+22κα+33κα=4α, 可得方程组123 2134 2521 4κκκ-???? ? ?- ? ? ? ?-? ???=140?? ? ? ??? 容易得出此方程无解，因此4α不能由1 α,2α,3α线性表示。

Wilcoxon符号秩检验

Wilcoxon符号秩检验 Wilcoxon符号秩检验，手算、SPSS、R、SAS。 数据来源:《统计学(第三版)》贾俊平中国人民大学出版社 316页13.3题为分析股票的每股收益状况，在某证券市场上随机抽取10只股票，得到2006和2007年的每股收益数据如下表，分析2007年与2006年相比，每股收益是否有显著差异(α=0.05), 股票代码 2006年每股收益(元) 2007年每股收益(元) 1 0.1 2 0.26 2 0.95 0.87 3 0.20 0.24 4 0.02 0.12 5 0.05 0.13 6 0.56 0.51 7 0.31 0.35 8 0.25 0.42 9 0.16 0.37 10 0.06 0.05 手算: H:M,00D H:M,01D 2006年每股收益记为x，2007年每股收益记为y，差值d=x-y。 x y D=x-y |D| 股票代码 |D|的秩 D的符号 1 0.1 2 0.26 -0.14 0.14 8 - 2 0.95 0.87 0.08 0.08 5.5 +

3 0.20 0.2 4 -0.04 0.04 2. 5 - 4 0.02 0.12 -0.1 0.1 7 - 5 0.05 0.13 -0.08 0.08 5.5 - 6 0.56 0.51 0.05 0.05 4 + 7 0.31 0.35 -0.04 0.04 2.5 - 8 0.25 0.42 -0.17 0.17 9 - 9 0.16 0.37 -0.21 0.21 10 - 10 0.06 0.05 0.01 0.01 1 + T,5.5，4，1,10.5， T,8，2.5，7，5.5， 2.5，9，10,44.5, 通过查表得，T-的右尾概率P在0.042和0.053之间，即双尾概率P在0.084和0.106之间，大于显著性水平α=0.05，不能拒绝原假设，即认为2007年与2006年相比，每股收益没有显著差异。 SPSS计算: 步骤: 1、Analyze-Nonparametric Tests-2-Related Samples Test 2、将比较值和D两个变量移到检验配对变量框，勾选Wilcoxon符号秩检验，选择Exact，选择精确计算。 3、单击确定，进行计算。 输出结果: 秩 N 秩均值秩和 a比较 - D 负秩 3 3.50 10.50 b正秩 7 6.36 44.50 c 结 0

向量组的线性相关性的判定方法浅析分解

目录 摘要：.......................................................................................................................................................... I 关键词：.......................................................................................................................................................... I Abstract......................................................................................................................................................... II Keywords： .................................................................................................................................................. II 1．前言.. (1) 2．预备知识 (1) 2.1线性相关性的概念及性质 (1) 2.1.1线性相关的概念 (1) 2.1.2线性相关的性质 (2) 3.向量组线性相关的判定方法 (3) 3.1定义法 (3) 3.2根据齐次线性方程组的解进行判定 (4) 3.3利用矩阵的秩进行判定 (5) 3.4利用行列式值进行判定 (6) 3.5反证法 (7) 3.6 数学归纳法 (7) 3.7用线性变换的性质进行判定 (8) 3.8利用朗斯基行列式来判定 (10) 4.结束语 (11) 参考文献 (12) 致谢 (13)

线性相关和线性无关的结论

§性质定理总结： 一、线性相关的判别： 1、m αααΛ,,21线性相关?存在不全为零的数m k k k ,,,21Λ，使得 1122m m k k k .ααα++=L 0 2、1α线性相关? 1α=0. 3、12,αα线性相关? 1α与2α的对应分量成比例. 4、m αααΛ,,21线性相关?其中至少有一个向量能用其余向量线性表示. 5、n 个n 维向量线性相关?它们构成的行列式等于零. 6、m αααΛ,,21线性相关 ?m αααΛ,,21的秩小于m . 7、对调坐标不改变向量组的线性相关性. 8、部分相关?整体相关. 9、m 个n 维 (m >n ) 向量线性相关. 二、线性无关的判别： 1、m αααΛ,,21线性无关?如果1122,m m k k k ααα++=L 0则有 .021====m k k k Λ 2、整体无关?部分无关. 3、无关则加长无关 三、线性相关的性质： m αααΛ,,21线性无关，12m ,,,αααβL 线性相关?β可由m αααΛ,,21线性表 示，且表示法唯一. 四、线性无关的性质： 1、若向量组Ⅰ能由向量组Ⅱ线性表示，且向量组Ⅰ线性无关，则Ⅰ的元素个数≤Ⅱ的元素个数. 2、等价线性无关向量组的向量个数相同.

五、向量组的秩的性质： 1、矩阵A的秩等于A的行（列）向量组的秩. A的不等于零的子式对应于A的行（列）向量组的线性无关组； A的行（列）向量组的线性无关组对应于A的不等于零的子式. 2、若向量组Ⅰ能由向量组Ⅱ线性表示，则Ⅰ的秩≤Ⅱ的秩. 3、等价向量组的秩相同. 六、矩阵的初等行（列）变换不改变列（行）向量组的线性关系.