高三立体几何大题专题(用空间向量解决立体几何类问题)讲义

1

【知识梳理】

一、空间向量的概念及相关运算

1、空间向量基本定理

如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p xa yb zc =++

,,a b c 称为基向量。

2、空间直角坐标系的建立

分别以互相垂直的三个基向量k j i

,,的方向为正方向建立三条数轴：x 轴，y 轴和z 轴。则

a xi y j zk =++（x,y,z ）称为空间直角坐标。

注：假如没有三条互相垂直的向量，需要添加辅助线构造，在题目中找出互相垂直的两个面，通过做垂线等方法来建立即可。

3、空间向量运算的坐标表示

(1)若()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则：()121212,,a b x x y y z z ±=±±± ()111,,a x y z λλλλ= 12

121a b x x y y z z ?=++ 错误！未找到引用源。

121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ?=?===

21a a a x =?=+

a b ?=a cos ,b a b ??．cos ,a b a b a b

???=

2

1

cos ,a b a b a b

x ???==

+

(2)设()()111222,,,,,A x y z B x y z ==则()212121,,AB OB OA x x y y z z =-=---

(3)()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则(d x AB =AB =二、应用：

平面的法向量的求法：

1、建立恰当的直角坐标系

2、设平面法向量n =（x ，y ，z ）

3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a =（a1，a2, a3） b =（b1，b2，b3）

4、根据法向量的定义建立方程组①n*a =0 ②n*b =0

5、解方程组，取其中一组解即可。 应用1：证明空间位置关系

（1）线线平行：证明//AB CD ，即证明//AB CD （2）线线垂直：证明AB CD ⊥，即证明0AB CD ?=

（3）线面平行：证明//AB α（平面）（或在面内），即证明AB 垂直于平面的法向量或证明AB 与平面内的基底共

2

面；

（4）线面垂直：证明AB α⊥，即证明AB 平行于平面的法向量或证明AB 垂直于平面内的两条相交的直线所对应的向量；

（5）面面平行：证明两平面//αβ（或两面重合），即证明两平面的法向量平行或一个面的法向量垂直于另一个平面；

（6）面面垂直：证明两平面αβ⊥，即证明两平面的法向量垂直或一个面的法向量在内一个面内。

应用2：利用空间向量求线线角、线面角、二面角 （1）异面直线的夹角：0,

2πθ?

?

∈ ??

?

。设12,l l 是两条异面直线，,A B 是1l 上的任意两点，,C D 是直线2l 上的任意两点，则cos cos ,AB CD θ=，即12,l l 所成的角为arccos

AB CD AB CD

??

（2）直线与平面的夹角：0,

2πθ??

∈????

。设AB 是平面α的斜线，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，则sin cos ,AB n θ=，即AB 与平面α所成的角为

arccos

2

AB n AB n AB n

AB n

π

??-??，或者arcsin

（3）二面角：[]0,θπ∈设12,n n 是二面角l αβ--的面,αβ的法向量，则121212

,cos n n n n arc n n ?<>=?就是二面

角的平面角或补角的大小。需具体分析是哪一个。

当法向量12n n 与的方向分别指向二面角内侧与外侧时，二面角的大小等于法向量12n n 与的夹角的大小。 当法向量

12n n 与的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于法向量12n n 与的夹角的补角

12,n n π-<>。

应用三：求距离

（1）两点间距离：()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则(d x AB =AB =

（2）点到直线距离：在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为

cos ,n d n n

PA?=PA ?PA ?=

（3）点P 到平面距离：点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面

α的距离为cos ,n d n n

PA?=PA ?PA ?=

．

（4）两异面直线距离：设直线21,l l 是两条异面直线，n 是21,l l 公垂线AB 的方向向量，又C 、D 分别是21,l l 上的任

3

意两点，则1l 与2l 之间距离..→

→

→--→

-=

=n

n

CD AB d

（5）直线AC 平面α （//AC α）的距离：转化为点A 到平面α的距离

（6）平面α与平面β（//αβ）的距离（n 为平面的法向量）：转化为平面α内的点到平面β的距离。

应用四：解决探究问题

对于存在判断型问题，解题的策略一般为先假设存在，然后转化为“封闭型”问题求解判断，若不出现矛盾，则肯定存在；若出现矛盾，则否定存在。这是一种最常用也是最基本的方法.

立体几何中的点的位置的探求经常借助于空间向量，引入参数，综合已知和结论列出等式，解出参数. 这是立体几何中的点的位置的探求的常用方法.

方法：点F 是线PC 上的点，一般可设λ=，求出λ值，P 点是已知的，即可求出F 点

点F 在平面PAD 上一般可设DP t t 21+=?、计算出21,t t 后，D 点是已知的，即可求出F 点。

【经典例题】

一、平行垂直的证明（包含存在性问题）

例1、如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB

90=?，BF FC =，H 为BC 的中点。 (1)求证：FH ∥平面EDB ；

(2)求证：AC ⊥平面EDB ；

例2、 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90o ，PD ⊥平面ABCD ，AD =1，BC =4。

（I ）求证：BD ⊥PC ；

（2）设点E 在棱PC 上，PE PC λ=，若DE ∥平面PAB ，求λ的值．

4

【变式1-1】在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD ，BC AB 2=，

60ABC ?∠=，AC FB ⊥．

（Ⅰ）求证：⊥AC 平面FBC ；

（2）线段ED 上是否存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ？ 证明你的结论．

【变式1-2】如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且P A A C ⊥， 2PA AD ==．四

边形ABCD 满足BC AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==．点,E F 分别为侧棱,PB PC 上的点，且

PE PF

PB PC

λ==．

（Ⅰ）求证：EF 平面PAD ；

（Ⅱ）当1

2

λ=

时，求异面直线BF 与CD 所成角的余弦值； （Ⅲ）是否存在实数λ，使得平面AFD ⊥平面PCD ？若存在，

试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

【变式1-3】在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，12

AD BC =

，60ABC ∠=，N 是BC 的中点．将梯形ABCD 绕

AB 旋转90，得到梯形ABC D ''（如图）． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面ABC '； （Ⅱ）求证：//C N '平面ADD '；

P

D

A

B

C

F

E

A

D

D '

C '

5

【变式1-4】在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，ABC ?是正三

角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又4PA AB ==，

120CDA ∠=，点N 在线段PB

上，且PN =． （Ⅰ）求证：BD PC ⊥； （Ⅱ）求证：//MN 平面PDC ;

【变式1-5】

如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ∥MD ，且NB=1，MD=2；（Ⅰ）求证：AM ∥平面BCN; （Ⅱ）求AN 与平面MNC 所成角的正弦值；

（Ⅲ）E 为直线MN 上一点，且平面ADE ⊥平面MNC ，求ME MN

的值.

【变式1-6】

如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=?，

12,AB AC AA ===E 是BC 中点.

（I ）求证：1//A B 平面1AEC ；

（II ）若棱1AA 上存在一点M ，满足11B M C E ⊥，求AM 的长；

E

C 1

B 1

A 1

C

B

A

6

O

F

E

D

C

B

A

【变式1-7】

如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，PD PA =，⊥PA 平面PDC ，

E 为棱PD 的中点．

（Ⅰ）求证：PB // 平面EAC ； （Ⅱ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；

【变式1-8】

在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是正方形，,AC BD O 与交于点F ABCD EC ,面⊥为BE 的中点. （Ⅰ）

求证：DE ∥平面ACF ； （Ⅱ）求证：BD AE ⊥；

（Ⅲ）若,AB =

在线段EO 上是否存在点G ，使BDE CG 面⊥？若存在，

求出EG EO

的值，若不存在，请说明理由．

7

二、利用空间向量求二面角，线面角，线线角

例1、在棱长为a 的正方体''''

ABCD A B C D -中，EF 分别是'',BC A D 的中点， （1）求直线'

AC DE 与所成角；

（2）求直线AD 与平面'

B EDF 所成的角， （3）求平面'

B EDF 与平面ABCD 所成的角

例2、如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为菱形，

60=∠ABC ，侧面PAB 是边长为2的正三角形，侧面

PAB ⊥底面ABCD .

(Ⅰ)设AB 的中点为Q ，求证：⊥PQ 平面ABCD ； （Ⅱ）求斜线PD 与平面ABCD 所成角的正弦值； （Ⅲ）在侧棱PC 上存在一点M ，使得二面角

C B

D M --的大小为 60，求CP

CM

的值.

x

8

【变式2-1】

在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ， ABCD 为直角梯形，BC //AD ，90ADC ∠=?，

1

12

BC CD AD ==

=，PA PD =，E F ,为AD PC ,的中点． （1）若PC 与AB 所成角为45?，求PE 的长； （2）在（Ⅱ）的条件下，求二面角F-BE-A 的余弦值．

【变式2-2】在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， EF // AB ，∠BAF =90o，

AD = 2，AB =AF =2EF =1，点P 在棱DF 上．

（Ⅰ）若P 是DF 的中点，

(ⅰ) 求证：BF // 平面ACP ；

(ⅱ) 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值；

（Ⅱ）若二面角D -AP -C

的余弦值为

3

PF 的长度． P

F

E

D

C

A

B

D F

E

C

B

A

P

9

【变式2-3】如图，四边形ABCD 为正方形，ABCD BE 平面⊥，EB ∥FA ，EB AB FA 2

1

=

=． （I ）证明：平面B AF AFD 平面⊥；

（II ）求异面直线ED 与CF 所成角的余弦值; （III ）求直线EC 与平面BCF 所成角的正弦值．

【变式2-4】已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ABCD ⊥底面，其中226BC AB PA ===，M N

,为侧棱PC 上的两个三等分点，如图所示. （Ⅰ）求证：//AN MBD 平面；

（Ⅱ）求异面直线AN 与PD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求二面角M BD C --的余弦值.

三、求距离

例、如图, 在直三棱柱ABC －A

1B 1C 1中，∠ACB=90°，

, AA 1为侧棱CC 1上一点, 1AM BA ⊥．

（1）求证: AM ⊥平面1A BC ；

A

B

C

M

10

（2）求二面角B －AM －C 的大小； （3）求点C 到平面ABM 的距离．

【变式3-1】如图1，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，36BC AC ==，．D 、E 分别是AC AB 、上的点，且//DE BC ，

将ADE ?沿DE 折起到1A DE ?的位置，使1A D CD ⊥，如图2． （Ⅰ）求证： BC ⊥平面1A DC ；

（Ⅱ）若2CD =，求BE 与平面1A BC 所成角的正弦值； （Ⅲ） 当D 点在何处时，1A B 的长度最小，并求出最小值．

【强化训练】&【课后作业】

（注：本专题根据学生的程度及上课接受情况适当选择部分进行上课练习，部分做为课后作业。）

（13，西城一模）

在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD ，BC AB 2=，

60ABC ?∠=，AC FB ⊥．

（Ⅰ）求证：⊥AC 平面FBC ；

（Ⅱ）求BC 与平面EAC 所成角的正弦值；

（Ⅲ）线段ED 上是否存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ？ 证明你的结论．

图1

图2

A 1

B

C

D

E

11

（13，延庆一模）

如图，四棱锥

ABCD P -的底面ABCD 为菱形， 60=∠ABC ，侧面PAB 是边长为2的正三角形，侧面

PAB ⊥底面ABCD .

(Ⅰ)设AB 的中点为Q ，求证：⊥PQ 平面ABCD ； （Ⅱ）求斜线PD 与平面ABCD 所成角的正弦值； （Ⅲ）在侧棱PC 上存在一点M ，使得二面角

C B

D M --的大小为 60，求

CP

CM

的值.

（13，朝阳一模）

如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且PA AC ⊥， 2PA AD ==．四边形ABCD 满足BC

AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==．点,E F 分别为侧棱,PB PC 上的点，且

PE PF

PB PC

λ==．

（Ⅰ）求证：EF 平面PAD ；

（Ⅱ）当1

2

λ=

时，求异面直线BF 与CD 所成角的余弦值； （Ⅲ）是否存在实数λ，使得平面AFD ⊥平面PCD ？若存在，

试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

（13，东城一模）

已知几何体A —BCED 的三视图如图所示， 其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角 三角形，正视图为直角梯形． （Ⅰ）求此几何体的体积V 的大小;

（Ⅱ）求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值； （Ⅲ）试探究在棱DE 上是否存在点Q ，使得 AQ ⊥BQ ，若存在，求出DQ 的长，不存在说明理由.

P

D

A

B

C

F

E

侧视图

俯视图 正视图

12

（13，房山一模）

在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ， ABCD 为直角梯形，BC //AD ，90ADC ∠=?，

1

12

BC CD AD ==

=，PA PD =，E F ,为AD PC ,的中点． （Ⅰ）求证：P A //平面BEF ；

（Ⅱ）若PC 与AB 所成角为45?，求PE 的长；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角F-BE-A 的余弦值．

（13，门头沟一模）

在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，12

AD BC =，60ABC ∠=，N 是BC 的中点．将梯形ABCD 绕AB 旋转90，

得到梯形ABC D ''（如图）． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面ABC '； （Ⅱ）求证：//C N '平面ADD '； （Ⅲ）求二面角A C N C '--的余弦值．

（13，海淀一模）

在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，ABC ?是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又4PA AB ==，120CDA ∠=，点N 在线段PB 上，

且PN =

（Ⅰ）求证：BD PC ⊥； （Ⅱ）求证：//MN 平面PDC ; （Ⅲ）求二面角A PC B --的余弦值．

（13，丰台一模）

16．如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ∥MD ，且NB=1，

MD=2；（Ⅰ）求证：AM ∥平面BCN; （Ⅱ）求AN 与平面MNC 所成角的正弦值；

（Ⅲ）E 为直线MN 上一点，且平面ADE ⊥平面MNC ，求ME

MN

的值.

D F

E

C

B

A

P

A

C

D

D '

C '

13

（13，海淀期末）

如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=?，

12,AB AC AA ===E 是BC 中点.

（I ）求证：1//A B 平面1AEC ；

（II ）若棱1AA 上存在一点M ，满足11B M C E ⊥，求AM 的长；

（Ⅲ）求平面1AEC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.

（13，西城期末）

如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，PD PA =，⊥PA 平面PDC ，

E 为棱PD 的中点．

（Ⅰ）求证：PB // 平面EAC ； （Ⅱ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （Ⅲ）求二面角B AC E --的余弦值．

E

C 1

B 1

A 1

C

B

A