再论“π”的算术值为什么是“无理数”性质

再论‘π’的算术值为什么是‘无理数’性质

前言：我在一本书中看到有人说：?不知要过多少年，人类才会知道当年神秘的π，原来是这个样子?！她有贯穿大宇宙行为的‘光’在大自然中自行做圆（如：日晕、彩虹、牛顿环[1]）为天性佩带，她是人瞳景天合一的结晶体，她是天使！

虽然她形式逻辑简单明确，但，她从内心深处体现出大自然大宇宙原本不变性、绝对性、无限性和人文科学理论公理一致性，她象征着科学理论逻辑的连续性、关联性、极限性和极限圆满性，她内含着大自然大宇宙极致行为起因和最原本结构形式，应为她的简单明确竟然使得当今的大数学家们大理论家们忽略了她带给数学的所以和原本。

还有人说过：‘光’和‘π’早晚要联手彰显大自然坚不可摧的根基：自然原本性态！在物理基础理论中将产生大地震效应，一些没有牢固的自然基础看似是很科学无可争议的，实质是背离大自然原本性态的理论将坍塌，这绝对不是耸人听闻之说。

只要你是使用和研究数学理论的人，只要你是最讲科学道理的人，那就请你对此推论过程和结论给予最高级别的重视，这是人类通往大自然大宇宙极限点最严密最简单明了最直接最无法挑剔的路径。

提要：从数学理论‘圆’的性质定义、‘π’的常数性质、无理数算术值性质和‘光’在大自然中自行做圆行为（如：日晕、彩虹、牛顿环）及‘光’的其它的各种天性极致行为内涵即自然起因提示给做科学理论研究的大家们在使用严密的数学理论时应该注意到什么，不要做出无理性质的理论分析判断和结论。并给数学理论建立一个非常坚实和不变的自然根基。这也是作数学理论研究的大家早就想得到的结论，数学将与大自然大宇宙产生有机结合。

关键词：‘圆’、‘π’、‘光’、圆锥体、唯一性、有限不变性、大自然极致行为内涵、科学理论绝对公理实质。

数学前人对‘圆’的性质即‘π’的常数性质、无理数性质的研

究和证明可以说是淋漓尽致。前人通过数学各种方法、技巧和技术对π的无理数算术值的计算已达到小数点后?12 411亿位?[2]，已属天文数字，但还是理解不了‘π’的心谛，今天要以另一个角度看一下‘圆’的性质、‘π’的两种(常数、无理数)数性为一身的性质要说明数学什么问题，为什么数学会有这么好的超人想象力的普适性和逻辑严密性。

由于人类科学理论发展是从人的视觉范围开始往两端（宇观、微观）深入，人类科学理论这样的发展势头形成了‘V’字型的理论空间势态，再加上越往‘V’字型下方（微观领域）越无视觉感、空间感。由于人类自然事物及知识认知惯性力的存在，在往两端（宇观、微观）发展中，人类非常局限的、特定环境的、忽略不计中间环节的理论逻辑意识和概念会不知不觉对哪看不见摸不着的两端（遥远的太空、绝对极小的物质颗粒世界）产生不良的理论分析影响。为了有效防止人类这种不知不觉知识思维惯性力的不良影响，为了确保物理学人对物理一些实验显像不产生误解误读误判，防止在哪看不见摸不着如同黑夜般的两个（宇观、微观）理论世界里出现盲人摸象、先入为主、误解误读误判、无据可依的理论事态，严谨科学理论逻辑性、公理性，必须要引‘光’入境入脑，必须要严谨阐明大自然大宇宙绝对公理的内涵实质是什么，必须要非常明确阐明‘π’为什么即是常数又是无理数性质的。

根据‘圆’的性质定义：‘圆’无论有多大或多小‘π’是一个样不变，加上卡瓦列里不可分量原理 [3]（线是由无限多个点组成；面是由无限多条平行线组成；体是由无限多个平行面组成。自然数可以与组成线的点依依对应）可毫无悬念的从绝对极小‘圆（点）’到绝对极大‘圆’依次罗列叠加就可形成一个无限大的‘圆锥体’，加上‘数’的出生史和‘光’的各种天性行为做底，尤其是‘光’在大自然中可以自行做圆及在大宇宙中传播速度的有限性质、不变性质、贯穿性质就可形成一个毫无悬念、无法用其他理论替代的、凸显人文科学理论绝对公理内涵实质一致性的理论逻辑模型：‘大自然圆锥体理论逻辑模型’。这个理论模型整体凸显的360度立体尖端截止性和唯一（‘1’）性必须要引起人类所有理论科学家的重视。此理论逻辑结论具有贯穿大宇宙的理论科学意义。这个理论逻辑结论是其它路径都无法严谨表达和取证的大自然极限界点状态的理论结论。

从数学、物理学和大自然实情出发，根据数学理论‘圆’的性质定义可产生下述理论逻辑形式结论：‘圆’无论有多大或多小，‘π’都是一个样不变，因此可以毫无悬念说：‘圆’的性质定义内含着从绝对极小圆到绝对极大圆，大自然有一个不变的共性存在，大自然这个不变的共性实质是‘大自然圆锥体理论模型’要给予的明确答案；‘圆’的性质定义还要求直径必须要通过圆心点（0点）才能达到360度处处相等和不变，‘大自然圆锥体理论模型’要给予大自然?处处相等和不变?与起始点（0点）的自然关系链；‘圆’的性质定义即体现出‘π’的不变性质又体现出‘π’的无理数性质，‘π’的无理数性质有渐进分数序列在绝对极小误差内以与匹配，一切分数都是有理数，由此判定‘圆’的性质定义内涵着（大自然）有理数（有限性）与无理数（无限性）的结合，有理数和无理数结合必然要有绝对公理支撑，否则，在极小的误差也不可能使无理数和有理数产生关联，‘大自然圆锥体理论模型’要给予科学理论绝对公理的内涵实质是什么的结论；‘圆’的性质定义即‘π’的常数性质还能体现出：从大自然绝对极大性可以确定大自然绝对极小性的不变性，‘大自然圆锥体理论模型’要给出大自然绝对极小物质单元实体原本（始）不变自然属性的定论。‘光’在大自然中自行做圆及各种自然传播性质将把‘大自然圆锥体理论模型’坐实并贯穿于大宇宙，如同‘悟空’头上的圆形紧箍咒，无论‘悟空’能力有多大，变的有多小或多大，圆形紧箍咒都存在，只要是背离规矩（大自然最基本行为规律），就叫你疼痛难忍，必须回归自然按天理天规做事研理规范自己言行。

根据数学‘圆’的性质定义，这个圆锥体可小到粒子世界，大到天际，每一个横截面又都有‘圆’的性质、‘光’的自然行为性质存在并可叠加，‘大自然圆锥体理论模型’有一个非常重要又最为突出最为关键问题点：‘大自然圆锥体理论模型’的锥体体尖唯一（‘1’）性和截止性如何确定的问题，可以说，这一问题是人类多少代的理论科学巨人冥视（思）大自然大宇宙中的一个必然的必定，但又是非常棘手无从靠近的科学理论问题，下面将示出‘大自然圆锥体理论模型’的锥体体尖唯一（‘1’）性和截止性的确定方法和途径。

英国大物理学家P.A.M.狄拉克先生向物理学人提醒说过[4]：?自然界向我们提供了各种各样的常数：光的速度、电子电荷、电子质量以及和这些相类似的量。这些自然常数大多数是有量纲的，也就是说，

其数值取决于你所采用的单位。我们用公制单位得到的常数值和用英制单位时得到的值不一样，所以这样的常数值没有任何普遍的意义。?英国大物理学家P.A.M.狄拉克先生的这个提醒视为本文最重要提示，‘量纲’不是确定‘大自然圆锥体理论模型’的圆锥体体尖唯一（‘1’）性和截止性第一要素。

俯视事实圆锥体或称圆锥体横截面有图一图形出现，如图一所示，‘圆’是不分首尾线形成，圆里圆外界线(限)明，圆内直径（直线）是有限，圆外直线（直径）是无限，有限、无限在点（圆与直线交汇点）分，点内是有限，点外是无限，这是不争和无可质疑的理论

图一

逻辑结论事实，π的两种数性为一身的性质将非常明确阐明这一点，当‘圆’缩小到绝对极小成为一个小点时，点内是有限，点内的有限性不知是人类多少代理论科学巨人冥视（思）中的一个必然的必定，但又不知如何才能靠近进行有效确定，这已成为数学巨人及理论科学巨人们一个不知所措的科学理论问题！这也是不争的事实。

通过下面的分析计算将从严密数学理论角度证明‘大自然圆锥体理论模型’的唯一（‘1’）性、截止性、实效性和自然实质性。

我们从数学的发展史知道，‘数’起源于自然界物质的单元性、对比性、可分性等等自然界宏观物质单元体意识形态和动态，对此，古人有?刻骨?和‘绳结’记载警示后人。根据‘数’的出生史加上卡瓦列里不可分量原理，我们可以把组成线的点暂认为是自然界物质颗粒绝对极小极限的象征，并用δ表示，大自然绝对极小物质颗粒的极限如何确定又是一个非常棘手的理论问题，根据事物的因果律，大自然界如果有绝对极小物质颗粒极限存在，大自然一定会有所体现，能体现大自然这一极限现象应该是什么？人们都可以试想一下、试问一下，为什么天性行为的‘光’传播速度是有限的、绝对极快的、没有加速和减速过程凸显不变速？在物质中传播速度绝对极快，其不变速又凸显时时刻刻处处相等要说明什么？而且还能贯穿大宇宙？！。

众所周知，根据物理学的动量定律（F＝ｍV），在同等力的作用下，也就说在F不变的情况下，数学称：最终也变为相等[5]（微分到极致）的情况下，物体只有在绝对最小（ｍ→min＝δ）时，运动速度才能达到绝对最快（V→max→C），又据弹性碰撞理论[6]：正碰中的弹性碰撞，两小球（两个绝对极小物质颗粒δ）碰撞后相互分离的相对速度（分离速度）等于碰撞前相互接近的相对速度（接近速度），如两小球（δ）质量相等（两个绝对极小物质颗粒δ绝对刚性），两个δ彼此交换速度。只有（必须是）在这样的情况下，绝对极小物质颗粒δ绝对刚性才能彼此不折不扣交换速度，速度在同质物质中才能彰显和确保时时刻刻处处相等和不变而且绝对最快。自然界彰显速度绝对最快和时时刻刻处处相等保持不变速的就是光速C。反过来说，光速C的有限性质表明绝对极小物质颗粒δ（两小球δ）的极小程度是有限的、绝对刚性的。我们可根据无一点人为意识行为掺杂的‘光’的天性传播行为：速度绝对极快性质、有限性质和不变速性质（没有加速和减速过程，时时刻刻处处速度相等）来确定大自然界绝对极小物质颗粒δ的极小程度的有限性质、不变性质和其它特性，这些性质的确定是‘大自然圆锥体理论模型’及圆锥体体尖极限确定时的必备的自然条件绝对要素，对于‘光’我还有专门论述《论?光?的天使使命和信使使命》、《光速C的有限性和不变性说明了自然界什么？》等。这里根据‘数’的出生史和‘光’的各种天性行为内涵我们暂定：组成线的点．视为是自然界绝对极小物质颗粒的代表，并用δ表示，大自然界绝对极小物质颗粒δ决对不只是一个，对其所有存在我们用｛δi（i=1、2、3…）｝表示，这种表示不会丢失大自然的每一个δ，而且每一个δ即有了记号又锁定了位置，这也是‘大自然圆锥体理论模型’一个最主要因素实质性圆满性标识，大自然界绝对极小物质颗粒δ无论有多么微小，其肯定有实体和形体意识存在，这里不排除δi之间有大小和形体区别，因δ几何形体尺度的绝对极小性，δi 之间形体及形体尺度差别就会更加极小，其形体尺度差别已不是分析这里问题时的主要因素；‘π’的不变性质、无理数性质将非常明确证明组成线的点．就是代表大自然绝对极小极限的物质颗粒δ，这是确定‘大自然圆锥体理论模型’锥体体尖唯一（‘1’）性、截止性和自然实质性的必备条件和理论定论出处。

数学理论圆的周长L与圆直径D比值等于π（L/D＝π）作(图二

a)，人们对π的无理数值的计算已达到小数点后?12411亿位?，π值按连分数一级级近似值展开，可得到一串渐近分数：? 3/1，22/7，333/106，355/113，103993/33102，104348/33215，208341/66317，312689/99532，833719/265381，1146408/364913，4272943/1360120，5419351/1725033， 80143857/25510582，…,序列(1)?[7]。

根据((图二ａ))，π＝L/D，我们用通过从‘光’的各种天性行为特性所证实的，绝对极小物质颗粒?δi?排列组成圆周长L和圆直径D可形成((图二ｂ))形式的‘圆’。

(图二ａ) (图二ｂ)

根据(图二ｂ)有：

L＝δ.i L （i=1、2、3...i L） (1)

D＝δ.i D （i=1、2、3...i D） (2)

注：i是δ排列成L和D所用的个数。

从(图二ｂ)可看出，因：{δi（i=1、2、3…）}是自然界绝对极小物质单元实体（物质颗粒禀性），占有绝对空间尺度，所以用δ排列组成的圆可形成一个带有内边圆（内圆）和外边圆（外圆）的同心圆，如(图二ｂ)所示，内边圆与外边圆单边直径差值为一个δ形体距离，从(图二ｂ)还可看出，由于δ的摆放位置不同，在圆内产生的周长L 与直径D的比值是有极极微小区别的，从(图二ｂ)还可看出，在圆周上，以δ中心点形成的点划线圆如同(图二ａ)形式的圆，当δ与宏观物体或直径 D 对比显示出绝对极小，其形体尺度可忽略不计时，相当于点．?无大小?数学原有定义时，有：

π＝L/D≈δ.i L/δ.i D (3)

按数学计算规则，(3)式还要写成：

π＝L/D≈δ.i L/δ.i D＝i L/i D (4)

这里请大家特别要注意：(3)式变成(4)式后，因数学运算法则的存在，δ已无影无踪，点．真的没有大小成了无形体，此‘圆’，即‘数’的自然实质性被镂空，只有纯数字关系了，‘圆内’的有限性质再也无法靠近确定，‘大自然圆锥体理论模型’的锥体体尖唯一（‘1’）性、截止性、实效性和自然实质性被人为去除掉了，(3)式变成(4)式这一过程的得失，理论科学人必须要给予特级、极、急、高重视。这是人类多少代理论科学巨人冥视（思）中的必然的必定，但始终又无从靠近的根本原因和体现。

当周长（δ·i L）和直径（δ·i D）连接形成无间隙时，(图二ｂ)三种直径摆放形式，只要L/D比例合适，都可形成无间隙连接，如日晕、彩虹、牛顿环，而且可形成无数多的类似圆，但，三种直径摆放形式的直径端点形成的线圆都不可能在圆周上与δ中心点形成的线圆重合，这是问题最最关键之处，因δ有绝对形体尺度存在和不可在分性（不变性即绝对刚性），所以，用δ组成的圆周与直径的比值计算如果不按分数形式标计就要加权近似。从(图二ｂ)可看到，无论直径D（δ·i D）有多长，相对圆周上δ中心点形成的线圆来说，?外边圆?、?内边圆?在直径 D 方向上，始终绝对是各差一个δ实体距离(｜1·δ｜），用数学函数式表示这个误差值有：

Δπ＝(±)｜1·δ｜/?（δ·i D ）………（a）

从这个式子里可以看到，这个误差值?Δπ?始终存在，是随着圆的直经D的大小而变化着。下面看一看这个误差值?Δπ?与π的算术值之间的关系。

从δi实体绝对极小程度上，我们人类根本就分不出?外边圆?和?内边圆?，但，?外边圆?和?内边圆?（δi实体）存在是绝对的，当把δi视为是?组成线的点．?时，有(图二ｂ)近似于(图二ａ)，有(4)式形式出现，从(4)式可意识到（i L/i D）相似于π值的渐近分数序列(1)的分数形式，下面就以π值的渐近分数序列(1)对(图二ｂ)进行分析，将会看到为什么‘圆’无论大小π是常数，然而π为什么又是无理数性质，根据π值的渐近分数序列(1)，可分成二个渐近分数序列，一组是小于π值的渐近分数序列：

3/1，333/106，103 993/33 102，……序列(2)

另一组是大于π值的渐近分数序列：

22/7，355/113，104 348/33 215,……序列(3)

从序列(2)与(3)看到，序列(2)、（3)是序列(1)按一个分数间隔分成二组渐近分数序列的，可把小于π值的渐近分数序列看成是?内边圆?为主所至，把大于π值的渐近分数序列看成是?外边圆?为主所至。从(图二ｂ)中还可看出，无论周长L（δ·i L）和直径D（δ·i D）有多长，?外边圆?、?内边圆?相对δ中心点形成的线圆误差距离是不变的，总是一个δ实体距离，用数学函数式表达这个误差值相对π值的渐近分数序列(1)有：

Δπ＝(-1)(1+n).｜1.δ｜/ ?（δ.i Dn ）（n＝1、2、3...N） (5)

注：这里的n 是代表π值的渐近分数序列(1)的分数排列位序号。

如果把π值的渐近分数序列(1)的渐近分数看成是实际圆周长L与直径D之比值，用δ把两个相邻的渐近分数进行统一对比当量，最简捷而有效的方法是统一分母（统一直径），有：

Δπ＝(-1)1+n?│δ·i

Ln ·δ·i

D（n+1）

－δ·i

L（n+1）

·δ·i

Dn

│/δ·i

Dn

·δ·i

D (n+1)

＝(-1)1+n?│i

Ln ·i

D(n+1)

－i

L(n+1)

·i

Dn

│·δ2/i

Dn

·i

D(n+1)

.δ2 (6)

根据(5)式和(图二ｂ)，(6)式还可不假思索直接写成：

Δπ＝(-1)（1+n）.1.δ2/i Dn.i D(n+1).δ2 (7)

如果按数学运算规则，（7）式还要消掉δ2写成：

Δπ＝(-1)(1+n).1/ i Dn.i D(n+1) (8)

在(6)式(7)式中为什么不按数学运算法则削掉δ2 呢？理由有：如果削掉δ2后，(6)式(7)式所展示出的数学物理实际意义将无法严谨阐明（数学的物理实际意义将荡然无存），‘大自然圆锥体理论模型’的锥体体尖唯一（‘1’）性、截止性、实效性和自然实质性将无法呈现，‘数’的出生史将被当今的理论科学人忽略，大自然的极限界点将被丢失，多少代大数学家冥视(思)中的必然的必定根本就不可能获取和证实，微积分理论的自然实在性和普适性及数学理论的严密性将丧失坚实的自然根基。

从(6)式和(7)式完整的物理数学语言中，我们可以很清楚的说：统一直径（统一对比当量）是按大自然物质极限单元实体δ的面积（δ2）个数多少进行的，也就说，δ可以体现出形体面积：δ2，具有绝对空间形体尺度，是以δ所占绝对空间单位面积（δ2）为自然最基本尺度基准进行当量统一的，误差绝对值是按一个δ所占居的空间面积δ2进行当量对比计量的。下面举个例题进行计算，看上述分

析结论是否正确。

例题：根据（6）式，把π值的渐近分数序列(1)中第三位和第四位分数带入此式，有：

Δπ＝(-1) (1+n)·│（333×113－355×106）·δ2│/（106×113）·δ2 ＝(-1) (1+n)·│1·δ2│/11 978·δ2

（按数学规则进行当量比值计算）＝(-1) (1+n)· 0.000 083 486 39…

请注意：在此例题中，计算所得分子形式｛(-1)(1+n)·│1·δ2│｝与按(图二ｂ)分析直接给出(5)式(7)式的分子形式是一模一样，π值的渐近分数序列(1)中的分数只要是相邻的两个分数用δ进行统一对比当量（统一直径即统一分母），所得分数的分子就与此一致，其中，│1·δ2│就是‘大自然圆锥体理论模型’所要呈现的、从大自然绝对极小到绝对极大都不变的、绝对存在的、公理的实质，这是数学理论和物理学理论共同的公理内涵实质型态。说明从(图二ｂ)分析出的显而易见的逻辑结论是有效的，是正确的。

从例题计算结果看出，序列(1)中第三位和第四位分数用δ进行统一对比当量（统一直径即统一分母）后，形成的圆如同(图二ｂ)形式的圆，分毫不差。用δ统一后的此圆内边线圆(第三个分数)和外边线圆(第四个分数)是最接近‘π’的无理数值的精度，但无论如何，绝对误差(│1·δ2│)绝对存在，这就是‘π’的无理数性质所要彰显的大自然不变的原本性态——{δi（i=1、2、3…）}的事实存在。

根据(7)式(8)式和序列(1)我们可以非常肯定的说：‘π’的无理数性质表明‘圆’是可以无限大的，‘圆’可以无限大，证明宇宙也无限大，原始不变的δ也无限多{δi（i=1、2、3…）}。无论‘圆’大到什么程度，最准确的度量基准是以δ的原始不变实体为最最基本的度量基准，是科学理论绝对公理的象征，同时证明 {δi（i=1、2、3…）}是不以人的意志为转移（变）的、具有大自然大宇宙原本性质的物质单元实体，不是产生于也不是诞生于宇宙大爆炸，‘诞生’概念对于大宇宙来说，太狭隘了，太人（任）性化了，太不科学了，太大于天了（都能生出天来）。

根据(7)式变为(8)式的得失和序列(1)我们可以非常肯定的说：‘数（i=1、2、3…）’是大自然原本性的实质体现，是大自然绝对公理性的体现，‘数（i=1、2、3…）’是大自然的灵魂。

根据以上逻辑计算结论可以非常明确确定以下几点：

〈1〉.与π的无理数值在绝对极小误差范围内相匹配的渐近分数序

列(1)的每一个分数是实际圆的周长与直径之比，每当前后两个相邻的渐近分数用δ进行统一当量（统一直径即统一分母）后，无论圆有多大，哪怕大到天际，都会形成(图二ｂ)图形的圆，分毫都不会差。绝对误差距离｜1·δ2｜始终存在和不变。

〈2〉. 渐近分数序列(1)的第一分数和第二个分数分别示出数学理论中最小圆与最大圆的比值，当我们用δ进行统一对比当量（统一直径）后，数学理论中最小圆与最大圆比值的绝对误差也就只有一个δ（｜1?δ2｜）实体间隔，这就是数学严密性及‘圆’的性质定义即‘π’的常数性质、无理数性质（大自然圆锥体型定律）所要彰显出来的大自然绝对性是什么及大自然有极限界点存在的事实，最终也变为相等[8]{δ3＝δ2＝δ＝1＝｜1·δ｜}的事实。

〈3〉. 渐近分数序列(1)的第一个分数是‘大自然圆锥体理论模型’的锥体体尖极限存在事实结构形式。从而也证明数学理论中?点．?的定义视为?没有大小的无形体?是在大自然绝对公理内涵实质{δi（i=1、2、3…）}的基础上建立的数学定义。?点．?是大自然物质单元实体最小极限δ的象征，?数（i=1、2、3…）?是δi在大自然中具有共性、极相似性和个数无限存在的体现，?自然数N?的上、下、前、后缀（物理学称‘量纲’）是人文科学理论不同概念范围内的理论逻辑及对比度意识的标识，数学是人文科学理论对比技巧及量的严紧表述和计量过程学问与考量。‘大自然圆锥体理论模型’明确阐明：自然数{i=1、2、3…}是大自然原本不变性态的实情体现。〈4〉.‘大自然圆锥体理论模型’可以非常明确指出：大自然大宇宙的一切存在都是由她们｛δi（i=1、2、3…）｝组成，大自然圆锥体理论模型及锥体尖预示着大自然大宇宙的唯一（1＝δ＝δ2＝δ3）性和δi叠加无限性，其理论模型的锥体尖预示着δi是一切科学理论论述的起始点，也可称为是大自然大宇宙的极限界点。排列δ可形成长度距离、线型线段及单元个数概念，平摊δ可形成面积单元δ2概念，堆积δ可形成体积单元δ3概念，有逻辑概念产生：

0 <｜1·δ｜= 共同公理不变自然基准→用其统一当量衡度对比其它（统一直径），计算绝对当量对比误差值（微分到极致过程）：

｜Δπ｜=│1·δ2│/ i Dn·i D(n+1)·δ2 = 1/ i Dn·i D(n+1) < 实际（任意）直径的误差值： 1·δ/i Dn·δ = 1/i Dn ≦ 1 ，简化这一逻辑过程，按纯数学语言应有：

0 <｜δ｜→｜Δπ｜= 1/ i Dn.i D(n+1) < 1 /i Dn ≦ 1 (9)

式（9)是数学的自然根基，是卡瓦列里不可分量原理的自然实质性体现，是数学理论严密性、普适性的实质。

〈5〉.‘大自然圆锥体理论模型’提醒理论科学人重视在使用数学工具时，象(3)式变成(4)式，(7)式变成(8)式过程一样把大自然原本性丢失的话，在精细的计算，哪怕达到天文数字，也无济于事，也找不到δ的绝对存在和不变的证据｜1·δ｜，必须要给予大自然大宇宙实质性即原本性态｛δi（i=1、2、3…）｝强权，强权在理论科学中的不变性、原本性、实体性和个数无限性。

〈6〉.‘光’和数学‘圆’的性质定义及‘π’的两种数性为一身的数性所凸显的‘大自然圆锥体理论模型’应引起所有理论科学人的重视！其理论模型：强权大自然大宇宙极限界点（1＝δ＝δ2＝δ3）存在的事实；强权大自然大宇宙极限界点实在性、不变性、绝对性、公理性、贯穿性的事实；强权‘数’来自自然在回归自然必然性及必要性的事实；强权牛顿第三定律（物体作用与反作用力大小相等方向相反定律）确定了圆锥体体尖顶部‘零’（‘0’）点位置处性质和等号（＝）、正负号（±）存在的事实，‘零’（‘0’）点位置处另一侧又是一个圆锥体体尖的事实；强权大自然大宇宙中不存在‘反物质’、‘暗物质’理论概念的事实。

无一点人为意识行为掺杂，贯穿大宇宙，经过物理各种实验所证实的‘光’的各种天性行为都将成为‘大自然圆锥体理论模型’的保护神（者），都将铁面无私、各司其职，严密确保‘大自然圆锥体理论模型’所彰显的大自然大宇宙原本性态结论的事实，即物质单元实体有绝对极小极限界点存在又具有原本不变和个数无限多可叠加的事实；型体明确、层次极致、位置界线界点鲜明、整体统一（1＝δ＝δ2＝δ3）即数学严密性根于大自然原本性态的事实；牛顿三大定律是大自然大宇宙原本性物质单元体最基本行为规律的事实。

林振清

2016年7月13日星期三

参考文献

[1].简明物理辞典.湖北人民出版社，1983.12,236。

[2].陈仁政.说不尽的π.北京：科学出版社，2005.5，335。

[3].李文林.数学史概论.北京：高等教育出版社，2002.8.12，147。

[4]. P.A.M狄拉克著《物理学的方向》[M]. 北京，71。

[5].李文林.数学史概论.北京：高等教育出版社，2002.8.12，161.

[6].简明物理辞典.湖北人民出版社，1983.12,100。

[7].陈仁政.说不尽的π.北京：科学出版社，2005.5，207。

李文林.数学史概论.北京：高等教育出版社，2002.8.12，85。

[8].李文林.数学史概论.北京：高等教育出版社，2002.8.12，161。

无理数的计算

无理数相关运算 一、知识点 1、1——20的平方 2、1——10的立方 3、1——10的平方根 4、运算规则 二、典例剖析 例1【“整数”型】例 === 例 === 例 === 例2【“分数”型】例 2 ==例 === 例 5 === 例 884 ===== 例3【“平法差”型】例 3-1 3) 22 3 -891 =-=- 例 2 935 4 9 -? ===- 例4【“完全平方”型】 例 4-1 )21 2 2 1 =+ 516 =+=+ 例 4-2 ( 22 2 45 22 + ===+ 例5【“倒数”型】 例 4 === 例 ( ) 22 222 25418 ?? + ===+=+） 例6【“混合”型】

例6-1 2 134 ==+-= 例6-2 2003 2003 2004 2003 2???=?=?=?? ））））（-1）） 三、 经典练习 1、 2、 2 = 2 = (2 = 3、4、2 x = 81 2 4x =25 2 x -16=0 5、 83 x +27=0 ()3 21x -=- ()2 219x -= 6、 23x -48=0 ()2 1160x --= 3 125729x = 7 8 9 102- 11

12、2 3- 13 14、 15、) 2 2 (2 22 16、( )) 2009 2010 2 2 17 18、()0 33ππ-+-+ 1913

20 四、巩固练习 （一）选择题 1、下列四个数中，比0小的数是 （ ） A ． 2 3 B ．π D ．1- 2、下列各数中，最大的数是（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D 3、在实数0，1 0.1235中，无理数的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4、若x y ， 为实数，且20x +=，则2009 x y ?? ? ?? 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 5 2的值( ) A ．在1到2之间 B ．在2到3之间 C ．在3到4之间 D ．在4到5之间 6 、如图所示，数轴上表示2C 、B ，点C 是 AB 的中点，则点A 表示的数是（ ） A ． B ．2 C ．4 D 2 7下列计算正确的是（ ） A ．6 2 3 a a a ÷= B ．() 1 22 --= C ．() 236 326x x x -=-· D ．()0 π31-= 8、已知a ） A ．a B ．a - C ．1- D ．0 9、实数a ，b 在数轴上的对应点如图所示，则下列不等式中错误．． 的是（ ）C 第9题图

实数的概念及分类

6.3 《实数的概念及分类》导学案 教学目标： 认知目标：1.了解无理数和实数的概念，会对实数进行分类， 2.了解实数与数轴上点的一一对应关系。 过程目标：1.在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数的范围扩 充到实数的范围，从而总结出实数的分类， 2.通过实数与数轴上点的对应关系的探究，体验“数形结合”思想。 情感目标： 经历探索从有理数到实数的扩充过程，培养探究精神，激发求知热 情；通过实数的分类，培养分类思想，发展分类意识。 教学重点：无理数，实数的概念及实数的分类； 教学难点：无理数概念及实数与数轴上点的一一对应关系 教学过程： 【知识回顾，创设情境】 1、把下列各数按要求填在横线上： 整数 ；分数 ；正数 2、有理数是怎样定义的? 有理数分类有哪两类标准？请与他人交流 。 【合作交流，探究新知】 有理数包括整数和分数，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？ 3= ，35 = ，478= ，911= ，119 = 59= 我们发现，上面的有理数 归纳：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。 猜想：有限小数或无限循环小数都能转化为分数吗？ 验证：下列有限小数能化为分数吗？ 5、2.3、0.25、1.334 无限循环小数能转化为分数吗？ 阅读下列材料 设x=0.3=0.333…① 则10x ＝3.333… ② 则②－①得９x=3,解得x=1/3，即0.3=1/3 结论：有限小数或无限循环小数都能转化为分数 拓展：有限小数或无限循环小数就是有理数 问题：我们在求一个数的平方根或立方根时，发现有些数的平方根或立方 根是这样的小数，如=3.1415926552374 …， 1.101001000100001. …， … 这些小数有什么共同点？它们是有理数吗？如果不是，它们是什么数呢？ .

(完整版)重点初中无理数100道计算题

无理数计算题 1.计算： (7)()( )() 2 743 743351+---(8)112 21231548333 +-- (9)() 485423313? -÷+-+ ?? ?(10)()()()()2 2 2 2 12 131213++-- (11)))((36163--?-(12)633 1 2?? (13))(102 132531 -??(14)z y x 10010101??- (15) 20 245-(16)14425081 010??.. (17)521312321 ?÷(18))(b a b b a 1 223÷? (19)2219+--(20)()()2 162--+- (21)22 ＋(－1)4 ＋(－2)0 －|－3|(22)332)1(0 +-+- (23)()()0332011422 - --+-÷(24)|－5|＋22－(3＋1)0 (25)2×(－5)＋23 －3÷(26)|﹣2|+﹣（π﹣5）0﹣ (27)(28)|﹣3|+（﹣1） 2011 ×（π﹣3）0﹣ + (29)|﹣3|+（﹣1）0﹣（）﹣1(30) (31)|﹣2|﹣ (32) (33)(34) (35)|﹣|﹣+（3﹣π）0(36) (37)+|﹣2|+ +（﹣1）2011(38) (39) (40)22+|﹣1|﹣

(41)(42)20110﹣ +|﹣3| (43) (44) (45)计算：|﹣3|﹣（﹣π）0++（﹣1）3(46) (47)(48)|﹣3|﹣ ﹣（）0+32 (49)(50)2﹣ 2+|﹣1.25|﹣（﹣x ）0+ (51)+ ×（ ﹣π）0﹣|﹣2 |(52)（）﹣ 1﹣（5﹣π）0﹣|﹣3|+ (53)(54) (55)﹣（﹣5）﹣ (57)﹣22+ +|﹣3|﹣（3.14﹣π）0(58)200931)1(2 2 28)31(-+?+-- 232423-+-++(60)8 1 214150232-+ - 2.化简： ()321 3. a a a ---(4)()2211x x x -+p (5)2 2 11a a a a ???--? ? ???(6)2a b a b ab a b a b -+---- (7) x y y x y x x y x y y x y x x y -+- +-(8) 2a ab b a b a a b a ab b ab b ab ??++-- ? ?-+-+?? (9) 2712135 27 22-(10)b a c abc 43 22- (11)（a+b ）2 +b （a ﹣b ）(12) 2 ()()x xy x x y -?-- (13)122323+-2224421816x x x x x x ++++--+(15)2232 1121a a a a a a -+÷-+-(16) 244 (2)24x x x x -+?+- (17)2 2 ()()(2)3a b a b a b a ++-+-(18)2112x x x x x ?? ++÷- ???

无理数与实数的概念

《无理数与实数的概念》教学设计 一、教学目标 1.了解无理数和实数的意义，掌握实数的分类，能够判断一个数是有理数还是无理数； 2.了解实数绝对值的意义,了解实数与数轴上的点一一对应的关系; 3.通过实数的分类,是学生进一步领会分类的思想; 4.通过实数与数轴上的点一一对应关系,使学生了解数形结合思想,提高思维能力; 5.数形结合体现了数学的统一性的美. 二、教学重点和难点 教学重点：使学生了解无理数和实数的意义及性质，实数的运算律和运算性质. 教学难点：无理数意义的理解． 三、教学方法 讲练结合 四、教学手段 多媒体 五、教学过程 (一)复习提问 什么叫有理数?有理数如何分类?由学生回答，教师帮助纠正： 1．整数和分数统称为有理数． 2．有理数的分类有两种方法： 第一种：按定义分类：第二种：按大小分类：

(二)引入新课 同学们，有理数由整数和分数组成，下面我们用小数的观点来看，整数可以看做是小数点后面是0的小数，如3可写做3.0、3.00；而分数，我们可以将分数化为有限小数或无限循环小数，由此我们可以看到有理数总是可以用有限小数或无限循环小数表示。如3=3.0，，，但是是不是所有的数都可以写成有限小数或无限循环小数形式呢? 答案是否定的，我们来看这样一组数： 我们会发现这些数的小数位数是无限的，而且是不循环的，这样的小数叫做无限不循环小数，显然它不属于有理数的范围．这就是我们今天要学习的一个新的概念：无理数． 1．定义：无限不循环小数叫做无理数． 请同学们判断以下说法是否正确? (1)无限小数都是无理数． (2)无理数都是无限小数． (3)带根号的数都是无理数． 答：(1)错，无限不循环小数都是无理数． (2)错，无理数是无限不循环小数． 现在我们不仅学过了有理数，而且又定义了无理数，显然我们所学的数的范围又扩大了，我们把有理数和无理数统称为实数，这是我们今天学习的又一新的概念．

北师大版八年级无理数练习题

无理数练习题 1、在实数3.14，25 ，3.3333 0.412??，0.10110111011110…，π，中，有（ ）个无理数？ A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2、下列说法中，正确的是（ ） A ．带根号的数是无理数 B ．无理数都是开不尽方的数 C ．无限小数都是无理数 D ．无限不循环小数是无理数 3．下列命题中，正确的个数是（ ） ①两个有理数的和是有理数； ②两个无理数的和是无理数； ③两个无理数的积是无理数； ④无理数乘以有理数是无理数； ⑤无理数除以有理数是无理数； ⑥有理数除以无理数是无理数。 A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．6个 4．判断（正确的打“√”，错误的打“×”） ①带根号的数是无理数；（ ） （ ） ③绝对值最小的实数是0；（ ） ④平方等于3 ） ⑤有理数、无理数统称为实数；（ ） ⑥1的平方根与1的立方根相等；（ ） ⑦无理数与有理数的和为无理数；（ ） ⑧无理数中没有最小的数，也没有最大的数。（ ） 5．a ） A ．有理数 B ．正无理数 C ．正实数 D ．正有理数 6．下列四个命题中，正确的是（ ） A ．倒数等于本身的数只有1 B ．绝对值等于本身的数只有0 C ．相反数等于本身的数只有0 D ．算术平方根等于本身的数只有1 7．下列说法不正确的是（ ） A ．有限小数和无限循环小数都能化成分数 B ．整数可以看成是分母为1的分数 C ．有理数都可以化为分数 D ．无理数是开方开不尽的数 8．代数式21a +y ，()2 1a -中一定是正数的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9 ） A ．m 是完全平方数 B ．m 是负有理数 C ．m 是一个完全平方数的相反数 D ．m 是一个负整数 10．已知a 为有理数，b 为无理数，则a+b 为（ ） A ．整数 B ．分数 C ．有理数 D ．无理数 11215 的大小关系是（ ） A 215< B ．215<<215<215 << 12的相反数之和的倒数的平方为 。 13、设a 、b 互为相反数，但不为0;c 、d 互为倒数;m 的倒数等于它本身，化简 111c m m m d a b ??÷++- ???的结果是 。 14、大于的负整数是 15、试比较下列各组数的大小； ①② ，1π-，310-

用Mathematica研究自然对数的底数e

用Mathematica 研究自然对数的底数e 作 者：陈 龙 摘要：e 是一个奇妙有趣的无理数，它取自瑞士数学家欧拉的英文字头。e 与π被认为是数学中最重要的两个超越数，e 、 π及i （i 为虚数单位）三者间存在1-=i e π的关系。本文利用Mathematica 软件研究了自然对数的底数e ，介绍了e 的 一些相关知识、e 与自然对数的关系以及e 的值的计算方法等。 关键词：Mathematica ，e ，自然对数 一、引言 远在公元前，圆周率π就被定义为“周长与直径之比”。自古以来，π的近似值一直取为 3.14或 7 22() 742851.3 =。通过许多数学家的努力，π的近似值位数不断增加。目前用电脑计算圆周率。由于电脑速度等功能不断改进，今后π的近似值位数会越来越多。 另外一个奇妙有趣的无理数是e ，它取自瑞士数学家欧拉（Euler ，1707-1783）的英文字头。欧拉首先发现此数并称之为自然数e 。但是，这种所谓的自然数与常见正整数1，2，3，……截然不同。确切地讲，e 应称为“自然对数a e log 的底数”。 e 与π被认为是数学中最重要的两个超越数（transcendental number ，若一数为()0=x f 之根，其中f 为某一至少一次的整系数多项式，则此数称为代数数（algebraic number ），否则称为超越数）。e 、 π及i （i 为虚数单位）三者间存在1-=i e π的关系。本文主要介绍e 的一些知识以及用 Mathematica 软件来计算e 。 二、欧拉数e 考虑数列{}n a ，n a = ∑=n i i 0 !1=!1!21!111n ++++ ，1≥n ，其中!n =()1231????- n n ，1≥n ，1!0=，应用下述关于级数收敛的基本定理之一可证明出其极限存在。 定理1.设数列{}n a 为单调且有界，则当∞→n 时，a a n →（a 为一有限数）。 首先，对n a = ∑=n i i 0 !1 ，显然{}n a 为单调递增数列。其次，1a =2，2a =25，而3≥n 时， n a =1+1+ n ???++??+?+ 321 432132121 <1+1+1322 1 212121-++++n = 1+2 11211-??? ??-n <3， 即数列{}a 以3为一上界。故有定理1知，数列{}a 收敛至一实数，由于此极限值与圆周率π一样在许

初一数学上有理数与无理数的概念和练习(有详细的答案)

有理数和无理数 1.什么是有理数？我们把能够写成分数形式 n m (m 、n 是整数，n≠0)的数叫做有理数。 2.有理数的分类？ 整数和分数都可以写成分数的形式，它们统称为有理数。零既不是正数，也不是负数。有限小数和无限循环小数是有理数。 2.什么是无理数？①无限②不循环小数叫做无理数。 3无理数的两个前提条件是什么？ （1） 无限（2）不循环 4两者的区别是什么？ （1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数。 （2）任何一个有理数后可以化为分数的形式，而无理数则不能。 1：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ -3，3π，-61，0.333…，3.30303030…，42，-3.1415926,0，3.101001000……（相邻两个1之间0的个数逐个加1），面积为π的圆半径为r 。 答：无理数有：3 π，0，3.101001000……，（相邻两个1之间0的个数逐个加1） 有理数有：-3，-6 1，0.333…，3.30303030…，42，-3.1415926,0，面积为π的圆半径为r 2：下列说法正确的是：（ ） A.整数就是正整数和负整数 B.分数包括正分数、负分数 C.正有理数和负有理数统称有理数 D.无限小数叫做无理数 答：B 因为：A 、C 的答案里缺少 0这一部分 D ，无限小数循环小数是有理数，无限不循环小数才是无理数 3：我们把能够写成分数形式n m (m 、n 是整数，n≠0)的数叫做 有理数 。 4：有限小数和无限循环小数都可以化为分数，他们都是有理数。

5：无限不循环小数叫做无理数。 6：无理数与有理数的差都是有理数；答：错，如3π-0=3 π 7：无限小数都是无理数；答：错，如：0.333… 8：无理数都是无限小数；答：对，无理数的两个前提条件之一无限 9：两个无理数的和不一定是无理数。答：对，3π+（-3 π）=0 10：有理数不一定是有限小数。答：对，如：0.333…

初中无理数习题系列(含答案)

无理数习题 系列1 1. 有意义的条件是 。 2. 当__________ 3. 1 1 m +有意义，则m 的取值范围是 。 4. 当__________x 是二次根式。 5. 在实数范围内分解因式：42 9__________,2__________x x -=-+=。 6. 2x =，则x 的取值范围是 。 7. 2x =-，则x 的取值范围是 。 8. )1x 的结果是 。 9. 当15x ≤5_____________x -=。 10. 把的根号外的因式移到根号内等于 。 11. 11x = +成立的条件是 。 12. 若1a b -+()2005 _____________a b -=。 13. )()()230,2,12,20,3,1,x y y x x x x y +=--++中，二次根式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 14. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 15. 若23a ） A. 52a - B. 12a - C. 25a - D. 21a - 16. 若A = =（ ） A. 2 4a + B. 2 2a + C. ( ) 2 2 2a + D. ( ) 2 2 4a +

17. 若1a ≤ ） A. (1a - B. (1a - C. (1a - D. (1a - 18. =x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x D. 2x ≥ 19. 的值是（ ） A. 0 B. 42a - C. 24a - D. 24a -或42a - 20. 下面的推导中开始出错的步骤是（ ） ( ) ( )()() 2312322 4==-= =∴=-∴=- A. ()1 B. ()2 C. ()3 D. ()4 21. 2440y y -+=，求xy 的值。 22. 当a 1取值最小，并求出这个最小值。 23. 去掉下列各根式内的分母： ())1 0x () )21x 24. 已知2 310x x - += 25. 已知,a b ( 10b - =，求2005 2006a b -的值。 26. 当0a ≤，0b __________=。 27. _____,______m n ==。 28. __________==。 29. 计算： _____________=。

无理数的常见形式

无理数的常见形式，科学计数法 无理数 概念：无理数即无限不循环小数。 明确无理数的存在无理数来自实践，无理数并不“无理”，也不是人们臆想出来的，它是实实在在存在的，例如： （1）一个直角三角形，两条直角边长分别为1和2，由勾股定理知，它的斜边长为； （2）任何一个圆，它的周长和直径之比为一常数等等； 像这样的数，在我们周围的生活中，不是只有少数几个，而是像有理数一样有无限个。 概念剖析：无限不循环小数叫无理数，这说明无理数是具有两个基本特征的小数：一是小数位数是无限的；二是不循环的。这对初学者来说有一定难度，因此，我们必须掌握它的表现形式。 无理数的常见形式：在初中阶段，无理数表现形式主要有以下几种： 1. 无限不循环的小数，如0.1010010001……（两个1之间依次多一个0） 2. 含的数，如：，，等。 3. 开方开不尽而得到的数，如，等。 4. 某些三角函数值：如，等。 无理数与有理数的区别：1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数、小数或无限循环小数，比如4=4.0，4/5=0.8，1/3=0.33333……。而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=1.414213562…………。根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数； 2、无理数不能写成两整数之比。 错误辨析： 1. 无限小数都是无理数； 2. 无理数包括正无理数、负无理数和零； 3.带根号的数是无理数； 4. 无理数是用根号形式表示的数； 5.无理数是开方开不尽的数； 6. 两个无理数的和、差、积、商仍是无理数； 7.无理数与有理数的乘积是无理数； 8. 有些无理数是分数； 9. 无理数比有理数少；10. 一个无理数的平方一定是有理数。 综上，学习无理数应把握住无理数的三个特征：（1）无理数是小数；（2）无理数是无限小数；（3）无理数是不循环小数。判断一个数是否是无理数对照这三个特征一个不能少。另外，还应注意无理数的几种常见的表示形式，才是弄清无理数概念的关键。

七年级上册有理数与无理数 知识讲解和巩固练习

有理数与无理数知识讲解 【学习目标】 1、理解有理数的意义，知道无理数是客观存在的，了解无理数的概念． 2、会判断一个数是有理数还是无理数． 【要点梳理】 要点一、有理数 我们把能够写成分数形式m n （m,n是整数，n≠0）的数叫做有理数． 要点诠释：（1）有限小数和循环小数都可以化为分数，他们都是有理数． （2）所有整数都可以写成分母是1的分数，因此可以理解为整数和分数统称为有理数． 要点二、无理数 1．定义： 无限不循环小数叫做无理数． 要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限．无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式． （2）目前常见的无理数有两种形式：①含π类．②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111……． 2．有理数与无理数的区别 （1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数． （2）任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能． 要点三、循环小数化分数 1．定义： 如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节． 2．纯循环小数 从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．例如：0．666…、0.2．．纯 循环小数化为分数的方法是：分子是一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9的个数等于一个循环节的位数． 例如 31 0.3 93 ==， 1897 0.189 99937 ==． 3．混循环小数 如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数．例如：0.12、0．3456456…．混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部 分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数． 例如 9189101 0.918 990110 - ==， 239236 0.239 90025 - ==， 35135353510013 0.35135 999009990037 - ===． 要点诠释：（1）任何一个循环小数都可化为分数． （2）混循环小数化分数也可以先化为纯循环小数，然后再化为分数．

无理数与实数的概念

茅塔中学数学实数教案 教师：_______ 年级：______ 授课时间：_____年___月___日_____ 一、授课目的与考点分析：无理数与实数 知道实数的相反数、绝对值的意义，并会求一个实数的相反数和绝对值；会比较两个实数的大小。 二、授课内容及过程： 问题：把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？ 3 ， 35- ，478 ，911 ，119 ，59 ，5，0 结论： 任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。无限不循环小数又叫无理数， 3.14159265π=也是无理数； 1．无理数：无限不循环小数叫做无理数，如π=3.1415926…，2 1.414213 =，－1.010010001…，都是无理数。 例1 在实数3.14，25 ，3.3333，3，0.412?? ，0.10110111011110…，π，256- 中，哪些是有理数，哪些是无理数？ 注意：①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足； ②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数，而后两者都可以化成分数； ③凡是整数的开不尽的方根都是无理数，如2、3等。 像有理数一样，无理数也有正负之分。例如2，33，π是正无理数，2-，33-，π-是负无理数。 2．实数：有理数和无理数统称为实数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，实数也可以这样分类： （1）????????????????????????? 正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数（2）0???????????????正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数 例2 下列说法中，正确的是（ ） A ．带根号的数是无理数 B ．无理数都是开不尽方的数 C ．无限小数都是无理数 D ．无限不循环小数是无理数 3．实数的几个有关概念：①相反数：a 与－a 互为相反数，0的相反数是0。a+b=0?a 、b 互为相反数。 ②倒 数：若0a ≠，则1a 称为a 的倒数，0没有倒数。1ab a =?、b 互为倒数。 ③绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。即()()() 0000a a a a a a >??==??-

浅谈数学例题、习题设置的几个原则

浅谈数学例题、习题设置的几个原则学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者和合作者”。引导者就需要有扎实的教学功底，要引得妙，导得好，而习题的设置就显得尤为重要。好的习题设计能激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，学习成绩不断提高，学生的各种能力得以培养。培养学生的自主学习和创新意识，现就我个人在教学实践中的一些拙见谈以下几点： 一、习题设计的原则 （一）、习题的设计要符合学生的认知规律。数学学习是一个循序渐进、由浅入深、由易到难的过程，教师的问题设计要在统揽教材，理清知识脉络的情境下进行，要充分的了解学情，掌握学生已有的认知水平，这样设计的问题才能水到渠成，不显得盲目突然。 （二）、习题的设计要贴近学生的生活实际。在农村，课本中的许多问题情景需要进一步本土化改造。问题的设计就要从学生身边的事例出发，从日常生活着手，这样的问题学生才能容易接受。那些脱离学生生活实际，离学生太遥远的问题只会给学生增加无尽的压力和距离，学生探讨的兴趣嘎然而止。 （三）、习题的设计要凸显目标，突出重点。教师在组织问题时，要紧紧围绕教学目标，剔除那些与课堂无关，可问可不问的问题，同时，对一系列的问题的组织要层层递进，突出重点。让教师的设问、提问、学生质问融为一体，达到对本节知识的熟练掌握。 （四）、习题的设计要能激发学生的学习兴趣。俗话说的好，兴趣是学习最好的老师。找那些学生感兴趣的问题，展开话题，才能调动学生的学习主动性。新课标指出“要以人为本，面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”。学生感兴趣的问题能激发学生的求知欲望，学生能以主人翁的姿态投入到学习当中，每个人才能获得数学发展，才能更有效的培养他们的猜想、归纳、验证、推理、创新能力。 （五）、习题的设计要有开放性和可操作性。许多课堂问题的设计陷入死角，不能诱发学生的创新思维，导致学生思维局限，学生个性难以张扬。这时，要求教师在问题设计时要把握一个“度”的问题，不能过于开放，显得空乏，没有深度。同时要注意问题的设计要具有可操作性，便于学生动手实践，才能使问题的设计有意义。 二、初中数学例题设置的方法和技巧 （一）设置有认知冲突的问题，让课堂张弛有度。 教育学家认为，问题的设计要接近学生的“最近发展区”，学生受到的震动才最强，而

有理数与无理数辨析

有理数与无理数辨析 四川省邻水县九龙中学 任贤德 2006.8 在初中，我们已学过实数的有关概念，实数包括有理数和无理数。很多同学对于有理数和无理数概念的理解较模糊，对学习造成一定影响，甚至到了高中，也存在这种现象。为此，有必要对此进行辨析。 有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，如：218、18.25、1..6等。我们可将整数、有限小数的小数位后面添加0，把它看成是以0为循环节的无限循环小数，如：218=218..0 ，18.25=18.25.0，在此观点下，有理数就可看成是无限循环小数。而有理数又可化为分数，整数可看成是分母为1的分数，如：218=218/1，有限小数化成分数，先去掉小数点得到的数作为分子，若小数点后的位数有n 位,则分母就为n 10，如18.25=1825/100=73/4，无限循环小数可化为分数（其化法见后），如：1..6=4/3，所以有理数都可表示成分数，即表示成q/p(其中p 、q 是整数，且p 、q 互质)。分数化小数时，若除不尽，则得到的小数一定是无限循环小数，因此分数与小数可以互化。与此相对，无理数就是无限不循环的小数，如：2、3、π=3.1415926……、e=2.71828……、0.101001000……。有人说无理数就是开方开不尽的数，这种理解是片面的，当然开方开不尽的数是无理数，但如π=3.1415926……、e=2.71828……并不是因为开方开不尽而得到的数，又如0.101001000……，1的后面依次多一个0，也不是因为开方开不尽而得到的数，所以前面对于无理数的理解是错误的，必须纠正。 下面再来谈谈有关的几个问题： 1．（混）循环小数化为分数（此法证明须用到无穷递缩等比数列，证明较繁，故略去） （1） 无限循环小数化分数 无限循环小数化分数时，其分母为9···90···0,其中9的个数为一个循环节的数字个数，0的个数为循环节前、小数点后0的个数，其分子为一个循环节的数字。 例如：..76.0=67/99，..6310.0=136/9990=68/4995 （2） 混循环小数化分数 混循环小数化为分数时，先将其分为有限小数与无限循环小数之和，然后再分别将有限小数和无限循环小数化为分数，最后求和即可。 例如：..6512.3=3.12+0.00. .65=312/100+56/9900=7708/2205 .70.2=2+.70.0=2+7/90=187/90 2.任何一个不能整除的分数一定是无限循环小数 任何一个不能整除的分数一定是无限循环小数，这是为什么呢？在中学，学生通过除

无理数练习题

【知识要点】 1．无理数： 定义：无限不循环小数叫做无理数，如π=3.1415926 1.414213= ，－1.010010001…，都是无理数。 注意： ①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足； ②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数，而后两者都可以化成分数； 2．实数：有理数和无理数统称为实数。 ????????????????????????? 正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 3．实数的几个有关概念： ①相反数：a 与－a 互为相反数，0的相反数是0。a+b=0?a 、b 互为相反数。 ②倒 数：若0a ≠，则1a 称为a 的倒数，0没有倒数。1ab a =?、b 互为倒数。 ③绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 即()()()0000a a a a a a >??==??-

④无理数乘以有理数是无理数； ⑤无理数除以有理数是无理数； ⑥有理数除以无理数是无理数。 A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．6个 4．判断（正确的打“√”，错误的打“×”） ①带根号的数是无理数；（ ） （ ） ③绝对值最小的实数是0；（ ） ④平方等于3 （ ） ⑤有理数、无理数统称为实数；（ ） ⑥1的平方根与1的立方根相等；（ ） ⑦无理数与有理数的和为无理数；（ ） ⑧无理数中没有最小的数，也没有最大的数。（ ） 5．a ） A ．有理数 B ．正无理数 C ．正实数 D ．正有理数 6．下列四个命题中，正确的是（ ） A ．倒数等于本身的数只有1 B ．绝对值等于本身的数只有0 C ．相反数等于本身的数只有0 D ．算术平方根等于本身的数只有1 7．下列说法不正确的是（ ） A ．有限小数和无限循环小数都能化成分数 B ．整数可以看成是分母为1的分数 C ．有理数都可以化为分数 D ．无理数是开方开不尽的数 8．代数式 21a +y ，()21a -中一定是正数的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9 ） A ．m 是完全平方数 B ．m 是负有理数 C ．m 是一个完全平方数的相反数 D ．m 是一个负整数 10．已知a 为有理数，b 为无理数，则a+b 为（ ） A ．整数 B ．分数 C ．有理数 D ．无理数 11 215 的大小关系是（ ） A 215< B ．215<<215<<215<< 12的相反数之和的倒数的平方为 。 13、设a 、b 互为相反数，但不为0;c 、d 互为倒数;m 的倒数等于它本身，化简111c m m m d a b ??÷++- ???的结果是 。

无理数练习题1上课讲义

无理数练习题1

【实数知识要点】 1．无理数： 定义：无限不循环小数叫做无理数。 如π=3.1415926 1.414213=，－1.010010001…，都是无理数。 注意：①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足； ②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数，而后两者都可以化成分数； ③凡是整数的开不尽的方根都是无理数，如 2．实数：有理数和无理数统称为实数。 ????????????????????????? 正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 3．实数的几个有关概念： ①相反数：a 与－a 互为相反数，0的相反数是0。a+b=0?a 、b 互为相反数。 ②倒 数：若0a ≠，则1a 称为a 的倒数，0没有倒数。1ab a =?、b 互为倒数。 ③绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 即()()() 0000a a a a a a >??==??-

3．下列命题中，正确的个数是（ ） ①两个有理数的和是有理数； ②两个无理数的和是无理数； ③两个无理数的积是无理数； ④无理数乘以有理数是无理数； ⑤无理数除以有理数是无理数； ⑥有理数除以无理数是无理数。 A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．6个 4．判断（正确的打“√”，错误的打“×”） ①带根号的数是无理数；（ ） 一定没有意义；（ ） ③绝对值最小的实数是0；（ ） ④平方等于3 ） ⑤有理数、无理数统称为实数；（ ） ⑥1的平方根与1的立方根相等；（ ） ⑦无理数与有理数的和为无理数；（ ） ⑧无理数中没有最小的数，也没有最大的数。（ ） 5．a ） A ．有理数 B ．正无理数 C ．正实数 D ．正有理数 6．下列四个命题中，正确的是（ ） A ．倒数等于本身的数只有1 B ．绝对值等于本身的数只有0 C ．相反数等于本身的数只有0 D ．算术平方根等于本身的数只有1 7．下列说法不正确的是（ ） A ．有限小数和无限循环小数都能化成分数 B ．整数可以看成是分母为1的分数 C ．有理数都可以化为分数 D ．无理数是开方开不尽的数 8．代数式21a +，，y ，()21a -中一定是正数的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9． ） A ．m 是完全平方数 B ．m 是负有理数 C ．m 是一个完全平方数的相反数 D ．m 是一个负整数 10．已知a 为有理数，b 为无理数，则a+b 为（ ） A ．整数 B ．分数 C ．有理数 D ．无理数

无理数定义及其研究

存档编号_ _______ 赣南师范学院科技学院学士学位论文 无理数定义及其比较研究 系别数学与信息科学系 届别 2014届 专业数学与应用数学 学号 1020151208 姓名××× 指导老师××× 完成日期 2014年4月

目录 内容摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 1引言 (2) 2 无理数的定义 (2) 2.1戴得金分割定义 (3) 2.2柯西基本序列定义 (4) 2.3有理区间套定义 (5) 2.4十进制小数定义 (6) 2.5有界单调有理数列定义 (9) 3无理数定义对比研究 (10) 3.1无理数定义的异同点 (10) 3.2无理数定义的优缺点 (11) 3.3无理数定义的等价性 (11) 参考文献 (14)

内容摘要：无理数是有理数域扩充到实数域的重要内容，也是贯穿在我们中学及大学学习过程的重要内容。只有完全了解无理数，才能更好地掌握无理数的定义。本文主要谈及无理数的各种定义，并且对于这些定义作出对比及研究。通过对无理数定义的不断比较研究，发现这些定义有着我们意想不到的地方。找到无理数的定义之后，接下来就去探索定义对于中学生的影响。 关键词：无理数定义研究 Abstract: irrational number is a rational number domain extension to the important content of the real number, is run through our secondary and university education an important part of the learning process. Only fully understand irrational numbers, in order to better grasp the definition of irrational numbers. This concerns mainly the various definitions of the irrational number, and these definitions for comparison and study. Continually through the definition of the irrational number a comparative study, found that those definitions had never imagined. After you find the definition of the irrational number, next to explore the definition of influence of middle school students. Key words：irrational number definition study

初一数学上有理数与无理数的概念和练习有详细的答案

有理数和无理数的概念与练习 知识清单 1定义：有理数：我们把能够写成分数形式 n m (m 、n 是整数，n≠0)的数叫做有理数。 无理数：①无限②不循环小数叫做无理数。 2有理数的分类 整数和分数都可以写成分数的形式，它们统称为有理数。零既不是正数，也不是负数。有限小数和无限循环小数是有理数。 3无理数的两个前提条件： （1） 无限（2）不循环 4两者的区别： （1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数。 （2）任何一个有理数后可以化为分数的形式，而无理数则不能。 经典例题 例1：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ -3，3π，-6 1，…，3.…，42，,0，3.（相邻两个1之间0的个数逐个加1），面积为π的圆半径为r 。 例2：下列说法正确的是：（ ） A.整数就是正整数和负整数 B.分数包括正分数、负分数 C.正有理数和负有理数统称有理数 D.无限小数叫做无理数 闯关全练 一. 填空题： （1）我们把能够写成分数形式n m (m 、n 是整数，n≠0)的数叫做 。 （2）有限小数和 都可以化为分数，他们都是有理数。 （3） 小数叫做无理数。 （4）写出一个比-1大的负有理数 。 二. 判断题 （1）无理数与有理数的差都是有理数；

（2）无限小数都是无理数； （3）无理数都是无限小数； （4）两个无理数的和不一定是无理数。 （5）有理数不一定是有限小数。 答案 例1： 无理数有：3 π，0，，（相邻两个1之间0的个数逐个加1） 有理数有：-3，-6 1，…，，42，,0，面积为π的圆半径为r 例2： B （A ，还有0 C ，还有0 D ，无限不循环） 闯关全练 一、（1）有理数 （2）无限循环小数、 （3）无限不循环小数、 （4）答案不唯一，如： 二、（1）错，如3π-0=3 π （2）错，如：… （3）对，无理数的两个前提条件之一无限 （4）对，3π+（-3 π）=0 （5）对，如：…

著名的无理数e

龙源期刊网 https://www.wendangku.net/doc/552364861.html, 著名的无理数e 作者：李国成 来源：《读与写·下旬刊》2010年第07期 中图分类号:G633.66 文献标识码:E 文章编号:1672-1578(2010)07-0245-01 摘要在高等数学中有着广泛的应用,但它的影响力还不限于数学领域。文章介绍了无 理数起源、最常见的四种定义、相关性质、相关公式。 关键词:无理数定义性质公式 在高中数学里,大家都学到过对数的概念,也用过对数表。教科书里的对数表,是以10为底的,叫做常用对数。课本里还简略提到,有一种以无理数为底数的对数,称为自然对数,用这样奇怪的数为底,难道会比以10为底更自然吗?在高等数学里在微积分里常常出现,在微积分学中起着关键作用。那么到底是何方神圣?事实上它在我们口常生活中跟任何一 个特定的整数一样被经常使用,就像经常使用圆周率一样,只是人们不能察觉它的出现。 一、的出现 虽然它在微积分里常常出现,却比微积分先诞生。至少在微积分发明之前半个世纪,就有人提到这个数,这个数的出现很可能和计算利息有关。大家都知道复利计息是怎么回事,就是利息也可以并进本金再生利息。但是本利和的多少,要看计息周期而定,以一年来说,可以一年只计息一次,也可以每半年计息一次,或者一季一次,一月一次,甚至一天一次;当然计息周期愈短,本利和就会愈高。一定是有某个人,我们不知道是谁,也不知是什么时候,注意到下面这件稀奇事:如果计息周期无限制地缩短,比如说每分钟计息一次,甚至每秒,或者每一瞬间(理论上来说),会发生什麼状况?即如果本金P以年利率r计息,一年复利计息n次,若让n无限加大,1年后的总额为 S=P。S会无限制地加大吗?答案是不会,它的值会稳定下来,趋近於一极限值,当P=1时,这个极限值大约是2.718。所以用现在的数学语言来说可以定义成一个极限值,但是在那时候,根本还没有极限的观念,因此的值应该是观察出来的,而不是用严谨的证明得到 的。 第一次提到常数是约翰·纳皮尔于1618年出版的对数著作附录中的一张表。但它没有记录这常数,只有由它为底计算出的一张自然对数列表,通常认为是由威廉·奥特雷德(William Oughtred)制作。第一次把看为常数的是雅各·伯努利(Jacob Bernoulli),他尝试计算的值 。已知的第一次用到常数是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信,以b表示。1727年欧拉开始用来表示这常数;而第一次在出版物用到,是1736