【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线综合题答案

解几综合题答案

1.解：（Ⅰ）由已知得

()(,) 11 22

OA OB m n mn ?=?=-=-分

14

m n ∴?= …………4分

（Ⅱ）设P 点坐标为（x ，y ）（x ＞0），由OP OA OB =+得

(,)()(,)x y m n =+

())m n m n =+- …………5分

∴

)

x m n

y m n =+???

=-?? 消去m ，n 可得

2

2

43

y x mn -=，又因14mn = 8分

∴ P 点的轨迹方程为22

1(0)3

y x x -=>

它表示以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线

22

13

y x -=的右支 …………9分

（Ⅲ）设直线l 的方程为2x ty =+，将其代入C 的方程得 2

2

3(2)3ty y +-=

即 2

2

(31)1290t y ty -++=

易知2

(31)0t -≠（否则，直线l

的斜率为，它与渐近线平行，不符合题意）

又2

2

2

14436(31)36(1)0t t t ?=--=+>

设1122(,),(,)M x y N x y ，则1212

22129,31

31

t y y y y t t -+==--

∵ l 与C 的两个交点,M N 在y 轴的右侧

12122121222

222(2)(2)2()4

91224313134031

x x ty ty t y y t y y t t t t t t t =++=+++-=?

+?+--+=->-

∴ 2

310t -<，即2

103

t <<

又由 120x x +>同理可得 2

103

t << …………11分

由3ME EN =得

1122(2,)3(2,)x y x y --=- ∴1212

23(2)

3x x y y -=-??

-=?

由122222

123231

t y y y y y t +=-+=-=--得 22631

t y t =

-

由2

122222

9(3)331

y y y y y t =-=-=-得 222

331

y t =-

-

消去2y 得

2222363(31)31

t t t =--- 解之得：2115t = ，满足2

103

t << …………13分

故所求直线l 存在，其方程为：15250x y --=或15250x y +-= 2. （I ）

由已知()y M ,0，()y x N -, 2分

则()()422,,2

2

=-=-?=?y x y x y x MN OP ，即12

42

2=-y x 4分 （II ）设()11,y x A ，()22,y x B ，如图，由QB QA ⊥可得

()()()()022,2,221212211=+--=-?-=?y y x x y x y x QB QA 5分

①若直线x AB ⊥轴，则21x x =，2

4

||||2121-=

=x y y

此时()()()02

4

222212

12121=---=+--x x y y x x ，则 0128121=+-x x ，解之得，61=x 或21=x

但是若21=x ，则直线AB 过Q 点，不可能有QB QA ⊥

所以61=x ，此时Q 点到直线AB 的距离为4 7分 ②若直线AB 斜率存在，设直线AB 的方程为m kx y +=，则

????=-+=4

22

2y x m kx y ()0424122

22=+++-m kmx x k 则()()

?????>+--=?≠-0421241601222222m k m k k ，即?????>+-≠-0

240122

22k m k

又1

242

21--=+k km x x ，12422221-+=k m x x 9分 ∴()()()2

21212

2121m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=

1

24122124124222

222222222222--=--+---+=k m k k m m k k m k k k m k

∴()()()()2121221122,2,2y y x x y x y x +--=-?-=?

()=

+++-=21212142y y x x x x 01

241248128124222

222222=--+--+-+-+k m k k k k km k m 则01282

2

=++k km m ，可得k m 6-=或k m 2-=

若k m 2-=，则直线AB 的方程为()2-=x k y ，此直线过点Q ，这与QB QA ⊥矛盾，舍 若k m 6-=，则直线AB 的方程为k kx y 6-=，即06=--k y kx 12分

此时若0=k ，则直线AB 的方程为0=y ，显然与QB QA ⊥矛盾，故0≠k ∴41

141

|4|2

2

<+=

+-=

k k k d 13分

由①②可得，4max =d 14分

3. 解：① 设1122(,),(,),(,)P x y Q x y R x y

112211()(,)[(,)(,)]22OR OP OQ x y x y x y =+?=+1212

22x x x y y y +?=????

+?=??

..........1’

由222

22212

x x y y +=?+=，

易得右焦点(1,0)F ......................2’ 当直线l x ⊥轴时，直线l 的方程是：1x =，根据对称性可知(1,0)R ........3’ 当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为(1)y k x =-

代入E 有2222(21)4220k x k x k +-+-=

2880k ?=+>

2

122

421

k x x k +=+....................................................5’

于是(,):R x y x =2

122

2221

x x k k +=+ (1)y k x =-

消去参数k 得2220x y x +-=

而(1,0)R 也适上式，故R 的轨迹方程是2220x y x +-=..................8’

②设椭圆另一个焦点为'F ，

在'PF F ?中0'120,|'|2,PFF F F ∠==设||PF m =

，则|'|PF m = 由

余

弦

定理

得

2220)222cos120m m m =+-??

?m ?=

.............10’

同理，在'QF F ?，设||QF n =

，则|'|QF m = 也

由

余

弦

定

理

得

2220)222cos60n n n =+-??

?n ?=

’

于

是

1111||||PF QF m n +=+=+=..........................14’ 4. 解：（I ）设B(x 0，y 0)，A(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)

∵双曲线1131222=-x y 的离心率为12

5，∴F 对应的准线方程为512

=y ,

由双曲线的定义得

|,512

|125||,125|5

12|||11-=∴=-y AF y AF …………（12分） 又A 在双曲线的上半支，∴y 1≥12，

)

4().512

(12

5||),512(125||)3().512

(12

5

||201分分 -=-=-

=

∴y CF y BF y AF

∵|AF|，|BF|，|CF|构成等差数列，∴2|BF|=|AF|+|CF|，

∴26113

126)(2102

2210==-=+=x x y y y y 得代入

， ∴点B 的坐标为)6,26(.…………………………（6分）

（II ）∵在l 上任取一点P （不同于D 点），都存在实数λ，使得(

+

=λ，

∴在∠APC 的角平分线上，………………………………（7分） ∵线段AC 的中点为D 点，

∴△APC 是等腰三角形，PD 是线段AC 的垂直平分线，………………（8分） ∴设直线l 的方程为),2

(62

12121x x x y y x x y +----

=-

),

(13,

113

12,11312,

)(26212

2212

2

222121212

2

212121y y x x x y x y y y x x x y y x x y -=-∴=-=---+---=-∴作差得又

,2

13

62121+---

=-∴x y y x x y l 的方程为直线………………（11分）

故直线l 恒过点（0，

2

25

）.…………………………（12分） 5. 解：（I ）设椭圆的标准方程为122

22=+b

y a x ，

因B 1F 1B 2F 2是正方形，所以b=c ，又a 2

= b 2

+ c 2

，所以b a 2=

，…………①

由于椭圆上的左（右）顶点到左（右）焦点的距离最近，所以12-=

-c a ，②

由①②知1,2===c b a ，

∴椭圆的标准方程为：.12

22

=+y x （II ）当直线的斜率存在，设直线MN 的方程为2+=kx y

解方程组???

??=++=12

22

2y x kx y

消去.2

30,034)2

1(2

22>>?=+++k kx x k y 得由得 设),(),,(2211y x N y x M ，则

2212

14k k x x +-

=+……………… ③ .2

13221k x x +=

………………④

又因M 在DN 之间，所以DN DM λ=， 即212211),2,()2,(x x y x y x λλ=∴-=-， 于是λ

λλλ2

12212212

221)1(

,)1(,x x x x x x x x x x =+++=+=，……………⑤ 将③④代入⑤得λλ2

2

22213

)

1()214(

k k k +=++-， 整理得.)1(316121,)1(3121162

222λλ

λλ++=+∴+=+k k …………………………8分 .

331

,34)1(3161,341211,23222<<<+<∴<+<∴>

λλλ由此解得k

k

又.13

1

,10<<∴

<<λλ …………………………………………………………10分 当直线的斜率不存在时，直线MN 的方程为x 3

1

,0==这时，

.3

1

=∴λ ……………………………………………………………………………11分

综上所述，λ的取值范围是.1,31??

?

???∈λ …………………………………………12分 6. 解：（1）由于2||,221121==F F NF F F ，

???

????+===-==∴.,1||1,2||22221221c b a NF c

a

F F c 解得?????==1

22

2b a ，从而所求椭圆的方程为

.122

2=+y x （4分）

（2）N B A NB NA ,,,∴=λ 三点共线，而点N 的坐标为（－2，0）.

设直线AB 的方程为)2(+=x k y ， 其中k 为直线AB 的斜率，依条件知k ≠0.

由?????=++=1

2

),

2(2

2y x x k y 消去x 得22)21(2

2=+-y y k ，

即.024

1222

2=+-+y k y k

k 根据条件可知??

???≠<+?-=?.0,01

28)4(2

22k k

k k 解得.2

2||0<

设),(),,(2211y x B y x A ，则根据韦达定理，得???

????

+=+=+.122,1

2422

21221k k y y k k y y 又由),2(),2(,2211y x y x +=+=λλ得

???=+=+∴.),2(22121y y x x λλ 从而???

????

+=+=+.

122,1

24)1(22

2222k k y k k y λλ 消去.1

28)1(2

2

2+=

+k y λ

λ得

（8分）

令3

1

51],31,51[,)1()(212

≤<≤∈+=

λλλλ

λλφ任取，则

2

2

21

2

121)1()1()()(λλλλλφλφ+-

+=

-

.0)1

1)((2

121>-

-=λλλλ

（10分）

]3

1

,51[)(是区间λφ∴上的减函数，

从而)51()()31(φλφφ≤≤，

即536)(316≤≤λφ， 5

361283162≤

+≤∴k ， 解得.2

2||0,21626221<<≤≤-≤≤-

k k k 适合或 因此直线AB 的斜率的取值范围是].2

1

,62[]62,21[ -- （12分）

7. 解：（Ⅰ）∵0MN AF ?=，1

()2

ON OA OF =+， ∴ MN 垂直平分AF ．

又//AM ME ，∴ 点M 在AE 上，

∴ ||||||||2AM ME AE m EF m +===，||||MA MF =，

∴ ||||2||ME MF m EF +=>， ………………………………………………4分 ∴ 点M 的轨迹W 是以E 、F 为焦点的椭圆，且半长轴a m =，半焦距1c =， ∴ 2

2

2

2

1b a c m =-=-．

∴ 点M 的轨迹W 的方程为22

2211

x y m m +=-（1m >）．……………………………6分

（Ⅱ）设11(,)Q x y ∵ 0(

,)2

m

P y ，PF FQ λ=， ∴ 1

011(1),2

.m x y y λλ?-=-???-=? ∴ 1101(1),21.m x y y λλλ?=+-????=-??

……………………………8分 由点P 、Q 均在椭圆W 上，

∴ 2

2

2

20

222211,411(1) 1.2(1)y m y m m m λλλ?+=?-???+-+=?-?

……………………………10分 消去0y 并整理，得22

11

m m m λ-+=-， 由221

121

m m m -+-≤

≤及1m >，解得12m <≤． ……………………………14分 8. 解：（I ）设点P y y P y y M ),,4

(),,4(22

2

121、M 、A 三点共线，

,4,1

4,4

414

,212

12

112221212

11=∴+=+--=

+=∴y y y y y y y y y y y y k k DM AM 即即

………（2分）

.54

4212

2

21=+?=?∴y y y y OM …………………………………………………（3分）

设∠POM =α，则.5cos ||||=??α

.5sin ||||,2

5

=??∴=

?αS ROM 由此可得tanα=1.……………………（5分）

又.45,45),,0(??=∴∈与故向量απα……………………（6分）

（II ）设点M y y Q ),,4

(32

3

、B 、Q 三点共线，,QM BQ k k =∴

)9(.04,4))(1(,1

41,4

41431312

3313312

3323

2131233

分即即即

=+++-=++∴+=-+--=

+y y y y y y y y y y y y y y y y y y

,044

4,4,432

322121=+++?∴=

=y y y y y y y y 即

即.(*)04)(43232=+++y y y y ……………………………………（10分）

)4(4,44

42

2322322

3

2232y x y y y y PQ y y y y y y k PQ

-+=-∴+=--=的方程是直线 即.4)(,4))((32322

2322x y y y y y y x y y y y =-+-=+-即……………………（12分）

由（*）式，,4)(43232++=-y y y y 代入上式，得).1(4))(4(32-=++x y y y 由此可知直线PQ 过定点E （1，－4）.

故存在定一点E （1，－4），使PE ∥.QF …………………………………………（14分）

9. （Ⅰ）解：由题意可知，平面区域D 如图阴影所示．

设动点P (x ，y )，则|x ＋y |2?|x －y |

2

＝1，

即|x 2

－y 2

|＝2．………………………………4分

∵P ∈D ．

∴x ＋y ＞0，x －y ＞0，即x 2－y 2

＞0． ∴x 2－y 2

＝2(x ＞0)．

即曲线C 的方程为x 22－y 2

2＝1(x ＞0)．…………6分

（Ⅱ）解法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴以线段AB 为直径的圆的圆心Q (

x 1＋x 22，

y 1＋y 2

2

)，

∵以线段AB 为直径的圆与y 轴相切， ∴半径r ＝12|AB |＝x 1＋x 2

2

．

即|AB |＝x 1＋x 2．①……………………………………………………………………8分 ∵曲线C 的方程为x 22－y 2

2

＝1(x ＞0)，

∴F (2，0)为其焦点，相应的准线方程为x ＝1，离心率e ＝2． 根据双曲线的定义可得， |AF |x 1－1＝|BF |

x 2－1

＝2， ∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝2(x 1－1)＋2(x 2－1)＝2(x 1＋x 2)－22．②…………………12分

由①，②可得，x 1＋x 2＝2(x 1＋x 2)－22． 由此可得x 1＋x 2＝4＋22．

∴线段AB 的长为4＋22．……………………………………………………………14分 （Ⅱ）解法二：∵曲线C 的方程为x 22－y 2

2

＝1(x ＞0)，

∴F (2，0)为其焦点，相应的准线为l ：x ＝1，离心率e ＝2． 分别过A ，B 作AA '⊥l ，BB '⊥l ，垂足分别为A '，B '． 设AB 中点Q ，过Q 点作QQ '⊥y 轴，垂足为Q '．

由双曲线的定义可得，

|AF ||AA '|＝|BF |

|BB '|

＝2， ∴|AF |＝2|AA '|，|BF |＝2|BB '|．…………………10分 |AB |＝|AF |＋|BF |＝2(|AA '|＋|BB '|) 根据梯形中位线性质可得 |AA '|＋|BB '|＝2(|QQ '|－1)．

∴|AB |＝2?2(|QQ '|－1)．①…………………………12分 ∵以线段AB 为直径的圆与y 轴相切， ∴|QQ '|＝1

2

|AB |．②

把②代入①得|AB |＝22(1

2

|AB |－1)，

解得|AB |＝4＋22．……………………………………………………………………14分 （Ⅱ）解法三：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵直线AB 过点F (2，0)，

当AB ⊥x 轴时，|AB |＝22，以线段AB 为直径的圆与y 轴相离，不合题意． ∴设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)．

代入双曲线方程x 2－y 2

＝2得，

x 2－k 2(x －2)2＝2，即(1－k 2)x 2＋4k 2x －(4k 2＋2)＝0， ∵直线与双曲线交于A ，B 两点，

∴k ≠±1．

∴x 1＋x 2＝4k 2

k 2－1，x 1x 2＝4k 2

＋2

k 2－1

．

∴|AB |＝(x 1－x 2)2

＋(y 1－y 2)2

＝(1＋k 2

)[(x 1＋x 2)2

－4x 1x 2] ＝

(1＋k 2

)[? ??

??4k 2

k 2－12－4?4k 2

＋2k 2－1]……………………………………………………9分

∵以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，

∴圆的半径12|AB |与圆心到y 轴的距离1

2(x 1＋x 2)相等．

即1

2(1＋k 2

)[? ??

??4k 2

k 2－12－4?4k 2

＋2k 2－1]＝12(x 1＋x 2)．

∴12

(1＋k 2

)[? ??

??4k 2

k 2－12－4?4k 2

＋2k 2－1]＝12?4k 2

k 2－1．………………………………………12分 化简得k 4

－2k 2

－1＝0，

解得k 2

＝1＋2（k 2

＝1－2不合，舍去）．

经检验，当k 2

＝1＋2时，直线与曲线C 有两个不同的交点。

∴|AB |＝x 1＋x 2＝4k

2k 2－1＝4＋22．……………………………………………………14分

10. 解：（1）由0S =?及)R (∈=λλ知 点E 的轨迹是过S 点且与

OF

垂直的直线

L ，且

PE ⊥L …………2分

又由0)PE c PF a ()PE c PF a (=-?+

得：

PF c

a

PE

=

，为大于1的常数。 据双曲线定义知：曲线M 是以F 为焦点，L 为相应准线的双曲线。 ………5分

（2）设L 交OF 于D ，则由OF OD OS 2

?=得，c

a OD 2

=

以O 为原点，OF 所在直线为x 轴建立直角坐标系， 则)0,c (F ，L 的方程为：c

a x 2

=

∴ 曲线M 的方程为1b

y a x 22

22=- (8)

分

由 2

22b a c 6ab 2

1

c a b 2+==+= 解得：16b ,9a 22==

故所求曲线M 的方程为：116

y 9x 2

2=- …………………..10分

（3）假设存在满足条件的直线m ，设)y ,x (C ),y ,x (B 2211

m 的方程为： 1)1x (k y +-=， （斜率不存在时，直线m 与曲线M 不相交）

代入116

y 9x 2

2=-，得：

0169)k 1(9x )k 1(k 18x )k 916(222=?------ ………… ① ∵ =+ ∴ 点A 是线段BC 的中点 ∴ 9

16

k 2k 916)k 1(k 18x x 2

21=

?=--=+ ………… 13分 而

方

程的判别式

[]

)1728(163616)1(9)916(4)1(18222222-+?-=+-?-+-=?k k k k k k

当9

16

k =

时，0

建立直角坐标系xOy ． ………………………………………………………… 1分 ∵PM －PN ＝(PE ＋EM )－(PF ＋FN )＝MD －ND ＝2

或PM －PN ＝(PE ＋EM )－(PF ＋FN )＝MD －ND ＝－2 ……………………… 3分 ∴点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为2的双曲线（不包含顶点），

其轨迹方程为2

2

13

y x -=（y ≠0） …………………………………………… 5分 （Ⅱ）∵(MA ＋λMB )·(MA －λMB )＝0，且λ∈[2－3，2＋3]，

∴MA ＝±λMB ， …………………………………………………………… 6分 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则MA ＝(x 1＋2，y 1)，MB ＝(x 2＋2，y 2)

设AB ：my ＝x ＋2，代入2

2

13

y x -=得，3(my －2)2－y 2－3＝0， 即(3m 2－1)y 2

－12my ＋9＝0．

∴1221221231931m y y m y y m ?

+=??-??=

?-?

………………………………………………………… 7分

①当MA ＝λMB 时，y 1＝λy 2，∴2222212(1) (1)31

9 (2)

31m y m y m λλ?

+=??-??=?-?

……………

8

分

22(1)(2)得，22

2(1)1631

m m λλ+=-， ……………………………………………… 9分

∴22161231m m λλ=++-∈[4，6]，即4≤2

21631

m m -≤6．

∴222

22310314893m m m m m ?->?-≤??≤-?

解得，m 2≥3，故tan 2θ≤ 1 3

………………………… 10分

②当MA ＝－λMB 时y 1＝－λy 2，∴22222

12(1) (3)31

9 (4)31m y m y m λλ?

-=??-??-=?-?

………

11

分

22(3)(4)得，222(1)1631m m λλ-=--，即2

2

1162()31

m m λλ-+=-． ∵λ∈[2－3，2＋3]，1

λλ

+

∈[2，4]

∴1

2()λλ

-+∈[－2，0]，即－2≤221631m m -≤0．

∴2

22

310318m m m

?-

或tan 2

θ≥11．

则夹角θ∈(0， π 6 ]∪[arc

， π

2 )， ……………………………………

14分

∵tan θ不存在时，直线l 符合条件，故θ＝ π

2

时，符合题意．

∴θ∈(0， π 6 ]∪[arc

tan ， π

2 )． …………………………………………

15分

12．解：（1）根据题设，可设椭圆标准方程为：22

221(0)x y a b a b

+=>>…(１分)

则离心率2

22(0)2

c e c a b c a =

==->，由椭圆定义，得24a =…(２分) 解得2a =

，1,b c ==

…(３分)

所以椭圆标准方程为：2

214

x y += …(４分) （2）由题意得(2,0)A -，设11(,)P x y ，11(,)B x y ，3(0,)R y ，其中110,0x y >>，

点Ｐ和点Ｂ都在椭圆上，则有2

21114

x y +=， （１） 22

2214

x y += （２） …(5分) 由//AB OP ，有1212000(2)OP AB y y k k x x --=

==---，即12

122

y y x x =+， （３）…(６分) 由110,0x y >>可知22x ≠-． ＡＢ直线方程为：2

20[(2)],(2)2

AB y y k x y x x -=--=

?++即 把3(0,)R y 代入，得2

3222

y y x =

+ …(７分) 所以有22(2,)AB x y =+，22(,)OP x y =，2

22(2,

)2

y AR x =+， 可得：22

2222(2)2y AB AR x x =+++ （４）…(８分)

2

22

1122()OP x y =+ （５）…(９分) 由（１），（２），（３）得：2

122x x =+ （６）…(１０分)

由（１），（５）得：2

22

2

111322()22

OP x y x =+=+

（７）…(１１分) 由（２），（４）得：2222223

2(2)522

y AB AR x x x =++=++ （８）…(１２分)

由（７），（６）得：2

22

2111233

22()2522

OP x y x x =+=+

=+ （９）…(１３分) 由（８），（９）可证得：2

2AB AR OP =．…(１４分) 13. 解:（1）∵FA =FM λ(1)FN λ+- ∴NA NM λ=

∴M 、N 、A 三点共线 又OM ON +OM ON =- ∴ OM ON ?0= 当x MN 与轴垂直时，由)0,4(A ，N M 与关于x 轴对称得）

，（44N 代入)0(22>=P Px y 得 2=P ∴抛物线C 的方程是 x y 42= ……………………………2分

当x MN 与轴不垂直时，设直线MN 的方程为)4(-=x k y 由?

??=-=Px y x k y 2)

4(2

得016)28(2222=++-k x P k x k ……………………………4分

设),(),,(2211y x N y x M 则有02121=+y y x x ?????

=+=+16282

12

21x x k P x x ………6分

∵P x x x x k x x k y y 8]16)(4[)4)(4(2121221221-=++-=--=

又 02121=+y y x x ∴0816=-P ∴2=P ……………………………8分 此时抛物线C 的方程为 x y 42=

综上所述抛物线C 的方程为 x y 42= 也可以不用讨论，按步给分。 注：若设直线方程MN 为4+=my x 也可以不用讨论，按步给分 （2）∵直线MN 的倾斜角]3

,4[π

πα∈

可设直线MN 的方程为：)4(-=x k y 其中]3,1[tan ∈=αk

由（1）可知???=-=x

y x k y 4)4(2得 016)48(2

222=++-k x k x k ∴ ?????

=+=+16482

1221x x k x x …10分

∴2

2222

121224(1)[()4](1)[(8)64]MN

k x x x x k k

=++-=++

- )45

1(16)41)(1(162

4422++=++=

k k k k k ………………12分

设21k t = ∴22

25916(54)16[()]24

MN t t t =++=+-

又∵1≤2k ≤3 ∴]1,3

1

[∈t

当3

1

=t 时 MN 有最小值3138，当1=t 时 MN 有最小值104

MN 的取值范围是]104,3

13

8[ ………………14分

14. 解：（1）设点),(y x M ，点),(00y x E ，x DE ⊥ 轴，DE DM 2=,

,2

1

,00y y x x =

=∴……………………………………………………………………2分 又点E 在圆12

2=+y x 上，有12020=+y x ，………………………………………3分

14

12

2=+

∴y x 就是点M 的轨迹方程. ………………………………………………5分 （2）设点).,0(m P 直线l 的方程为),0(3≠-=k kx y …………………………6分 代入14

12

2

=+

y x 中得,0132)4(22=--+kx x k ………………………………7分 设),,(),,(2211y x B y x A 则,41

,4322

2

1221k x x k k x x +-=?+=

+………………………………………………8分 ∵PF 是∠APB 的角平分线，0=+∴PA PB k k ，即

,01

122=-+-x m

y x m y 即.0)(212112=+-+x x m x y x y ……………………………………………………9分

又 ,3,31122-=-=kx y kx y

代入得,0))(3(22121=++-x x m x kx …………………………………………10分

0,0432)3(422

2≠=++-+-∴

k k

k m k k ，解得,33

4-=m …………………12分 即所求P 坐标为（0，3

3

4-

）. （2）另解：

过点P 作平行于x 轴的直线L ， 记点A 到直线L 的距离为D A ， 点B 到直线L 的距离为D B .

∵PF 是∠APB 的角平分线，∴∠APA 1=∠BPB 1， ∴Rt △APA 1∽Rt △BPB 1， 有

B A

D D BB AA P

B P A BP

AP ==

=

1

111， P

B P A BF

AF

BB FP AA 1111,////=∴

，

∵点F （0，3-）是14

12

2=+

y x 的下焦点， 即直线l 过下焦点F ，设其相应的准线'L ， 记点A 到直线'L 的距离为d A ，点B 到直线'L 的距离为d B ，平行直线L 与'L 之间的距 离

为△d ，即d d D d d D B B A A ?+=?+=,，

则椭圆的离心率B

A

B

A

d d BF

AF d BF d AF e =

∴

=

=

,， B A B A d d D D =∴

，即B

A

B A d d d d d d =?+?+，得0)(=-?A B d d d ， ∵直线l 与x 轴不平行，0≠-A B d d ，

0=?∴d ，即准线'L 与直线L 重合，所以点P 是准线'L 与y 轴的交点，

对于椭圆14

12

2

=+

y x ，

准线'L 的方程为334-=y ，所以点P 坐标为（0，334-）. 15. 解（Ⅰ）∵四边形PF 1OM 是菱形，设半焦距为c ，则有|OF 1|=|PF 1|=|PM|=c ， ∴|PF 2|=|PF 1|+2a =c+2a 。由双曲线第二定义得

e PM PF =|

||

|2

即

)1(2,2舍去-==∴=+e e e c

a

c ………………2分 又 a c a

c

e 2,2=∴==

设双曲线方程为 132

2

22=-a

y a x ………………4分 ∵双曲线过点N （2，3），得 a 2

=3

∴ 所求双曲线的方程为 19

32

2=-y x …………6分 （Ⅱ）由题意知B 1（0，3）、B 2（0，－3），设直线l 的方程为,3-=kx y

),(),,(2211y x B y x A

则由?????=--=193

3

2

2y x kx y 消去y 得 0186)3(2

2=-+-kx x k …………7分 ∵双曲线的渐近线为 x y 3±=，∴3±=k 时，直线l 与双曲线只有一个交点， 即.3±≠k ………………………………9分

∵2

2

1221318

,36k x x k k x x --=--=

+ ∴99)(3,3186)(21212

212

2121=++-=-=-+=+x x k x x k y y k

k x x k y y 又∵)3,(),3,(221111-=-=y x B y x ， 而,11B B A B ⊥

∴09)(3212121=++-+y y y y x x ， 即

5,09318

393182

2±=∴=+--?-+--k k

k ………………11分 ∴直线l 的方程为 35-±=x y ………………12分 16. 解：（1）设椭圆方程为)0(122

22>>=+b a b

y a x ，)0,(c F ，

则直线AB 的方程为c x y -=，

联立方程组?????=+-=1

22

22b y a

x c

x y 消x 得，02)(2

2222222=-+-+b a c a cx a x b a .

设),(11y x A 、),(22y x B ，则???

????+-=+=+222

22221222212b a b a c a x x b

a c a x x

又),(2121y y x x ++=+，)1,3(-=，且OB OA +与a 共线 所以得：0)()(32121=+++x x y y

又c x y c x y -=-=2211,，所以0)()2(32121=++-+x x c x x

即 c

x x 23

21=+ 也就是2322

22c b

a c a =+，所以 2

23b a =，3622a b a c =-=。 故离心率.3

6==

a c e (2) 证明：由(1)知2

2

3b a =，所以椭圆12222=+b

y a x 可化为.332

22b y x =+

设),(y x =，则由),(R ∈+=μλμλ得：

??

?+=+=.

,

2121x x y x x x μλμλ 又),(y x M 在椭圆上，所以 2

2

212

213)(3)(b y y x x =+++μλμλ

即 .3)3(2)3()3(2

21212

22

22

2

12

12

b y y x x y x y x =+++++λμμλ 也就是 2

21212

2

3)3(b y y x x b =++λμλ …………①

由(1)得 22

23c a =，22

21c b =，2

321c x x =+，83221c x x =，

8

2383)())((22

222

21212121c c c c c x x c x x c x c x y y -=+-=++-=--=

032121=+y y x x …………②

联立①、②得：12

2=+μλ 故2

2μλ+为定值，定值为1.

17. (Ⅰ) 解：依题意设所求的抛物线方程为2

2 (0)x py p =->，----------1分

∵直线AB 的斜率为k 且过点(0,)M a ∴直线AB 的方程为y kx a =+

由22y kx a x py

=+??=-?得2

220x pkx pa ++= ----------①------------------3分

2020高考数学圆锥曲线试题(含答案)

2020高考虽然延期，但是每天练习一定要跟上，加油！ 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2， －1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （4 1 ，－1） B. （4 1，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 1 1 c a ＜2 2 c a . 其中正确式子的序号是B

A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ．(0, 2 D ．,1)2 6.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A B ．3 C D ．92 7.（全国二9）设1a >，则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是（ B ） A ． B ． C ．(25)， D ．(2 8.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ，焦点在X 轴上且长轴长为 A B C D -

历年圆锥曲线高考题附答案

数学圆锥曲线高考题选讲 一、选择题： 1. （2006全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2 ＝1的一条渐近线方程为y ＝4 3x ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）53 (B )43 (C )54 (D )32 2. （2006全国II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 2 3＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点 在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 3.（2006全国卷I ）抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ） A ． 43 B ．7 5 C ．85 D ．3 4．（2006广东高考卷）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ） A.2 B. 22 3 C. 2 D. 4 5.（2006辽宁卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 6.（2006辽宁卷）曲线 22 1(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m +=<<--的（ ） (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7．（2006安徽高考卷）若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 8.（2006辽宁卷）直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题： 9. （2006全国卷I ）双曲线2 2 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(3,0)F -,右顶点为(2,0)D ,设点11, 2A ?? ??? ，则求该椭圆的标准方程为 。 11. (20XX 年高考全国新课标卷理科14) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在 x 轴上， 离心率为 2 2 。过l 的直线 交于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，那么C 的方程为 。

【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线解答题12大题型解题套路归纳

【高考数学中最具震撼力的一个解答题！】注：【求解完第一问以后，】→WILL COME ACROSS圆锥曲线题10大题型：（1）弦长问题（2）中点问题（3）垂直问题（4）斜率问题（5）对称问题（6）向量问题（7）切线问题（8）面积问题（9）最值问题（10）焦点三角形问题。中的2-----4类；分门别类按套路求解； 1.高考最重要考：直线与椭圆，抛物线的位置关系。第一问最高频考（总与三个问题有关）：（1）———————；（2）——————————；（3）—————————； 2.圆锥曲线题，直线代入圆锥曲线的“固定3步走”：---------------------------------------------------; ——————————————————————————————————————； 3.圆锥曲线题固定步骤前9步：-------------------；---------------------------------------------；————————————；—————————；——————————；—————————————————；———————————；——————————————； 4.STEP1:首先看是否属于3种特殊弦长：（1）圆的弦长问题；（2）中点弦长问题（3）焦点弦长问题；→（1）圆的弦长问题：（2法）首选方法：垂径定理+勾

股定理：图示：--------------------------------；公式为：-------------------------；其中求“点线距”的方法：———————；次选：弦长公式；→（2） 中点弦长问题：（2法）首选方法：“点差法” 椭圆：（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；副产品：两直线永远不可能垂直！原因：___________；【两直线夹角的求法：（夹角公式）___________；】双曲线（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；抛物线：形式一：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；形式2：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；附：“点差法”步骤：椭圆：“点”_______________________;___________________________;“差”__________________________________;“设而不求法”_______________________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________________;___________;___________;→得公式：（公式一）-------------------；（公式二）---------------------；附：“点差法”步骤：抛物线；形式一___________;：“点”_______________________;_____________________;“差”_________________________;“设而不求法”___________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________;___________;___________;→得公式：（公式一）---------------------；（公式二）--------------------；附：“点差法”步骤：

高考数学一轮复习专题突破训练圆锥曲线

圆锥曲线 一、填空题 1、（2015年江苏高考）在平面直角坐标系xoy 中，P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则c 的最大值 为___ 2 __________。 2、（2013年江苏高考）双曲线19 162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 。 3、（2013年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为 )0,0(122 22>>=+b a b y a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆 C 的离心率为 。 4、（ 南京、盐城市高三二模）在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线C ： y x 42=的焦点为F ，定点)0, 22(A ，若射线FA 及抛物线C 相交于点M ，及抛物线C 的准线相交于点N ，则FM ：MN= 5、（苏锡常镇四市 高三教学情况调研（二））已知双曲线22 221(,0) x y a b a b -=>的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为 ▲ 6、（泰州市 高三第二次模拟考试）已知双曲线22 14x y m -=的渐近线方程为 2 y x =± ，则m = ▲

7、（盐城市 高三第三次模拟考试）若抛物线28y x =的焦点F 及双曲线 22 13x y n -=的一个焦点重合，则n 的值为 ▲ 8、（ 江苏南京高三9月调研）已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近 线方程 为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为 ▲ 9、（ 江苏苏州高三9月调研）已知双曲线22 15 x y m -=的右焦点及抛物线 212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲ 10、（南京市、盐城市 高三）若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点及抛物线 24y x =的焦点重合，则a = ▲ . 11、（南通市 高三）在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过抛物 线24y x =焦点的双曲线的方程是 12、（苏州市 高三上期末）以抛物线24y x =的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线标准方程为 13、（泰州市 高三上期末）双曲线12222=-b y a x 的右焦点到渐近线的距离是其 到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e = ▲ 14、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22 19x y m -=的一个焦点为（5，0），则实数 m = ▲ 15、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐 标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线及抛物线y 2＝4x Y

高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义

高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义 一、基础知识【理解去记】 1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0b>0), F 1(-c, 0), F 2(c, 0)是它的两焦点。若P(x, y)是椭圆上的任意一 点，则|PF 1|=a+ex, |PF 2|=a-ex. 5.补充知识点： 几个常用结论： 1）过椭圆上一点P(x 0, y 0)的切线方程为： 12020=+b y y a x x ； 2）斜率为k 的切线方程为222b k a kx y +±=；3）过焦点F 2(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为 θ 2222 cos 2c a ab l -=。 6．双曲线的定义，第一定义： 满足||PF 1|-|PF 2||=2a(2a<2c=|F 1F 2|, a>0)的点P 的轨迹； 第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。 7．双曲线的方程：中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线方程为

高考数学圆锥曲线专题复习

圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0； 点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点P0(x0,y0)是C1，C2的交点? f2(x0,y0) =0 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.

2.圆 圆的定义：点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程： (1)标准方程 圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是 (x-a)2 +(y-b)2 =r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是 x 2 +y 2 =r 2 (2)一般方程 当D 2 +E 2 -4F ＞0时，一元二次方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2 E ），半径是 2 4F -E D 22+.配方，将方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+2D )2+(y+2 E )2=44 F -E D 22+ 当D 2 +E 2 -4F=0时，方程表示一个点 (-2D ,-2 E ); 当D 2 +E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则 ｜MC ｜＜r ?点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ?点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ?点M 在圆C 内， 其中｜MC ｜=2 02 0b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交?有两个公共点 直线与圆相切?有一个公共点 直线与圆相离?没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法 (ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d= 2 2 C Bb Aa B A +++与半径r 的大小关系来判 定.

高考数学圆锥曲线大题集大全

高考二轮复习专项：圆锥曲线 1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l1 上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. 2. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l1、l2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ○1(R);AG AD λλ=∈u u u r u u u r ○22;GE GF GH +=u u u r u u u r u u u r ○30.GH EF ?=u u u r u u u r 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23=e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是, 425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ；双曲线1 :22 222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P ，连结AP 交椭圆C1于点M ，连结PB 并延长交椭圆C1于点N ，若=. 求证：.0=? B A D M B N l2 l1

4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F （c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A ，B 两点.设AB 中点为M ，直线AB 与OM 的夹角为αa. （1）用半焦距c 表示椭圆的方程及tg α; （2）若2

高考数学圆锥曲线综合题题库1 含详解

1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设1F 、2F 分别是 椭圆22 154 x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ?的最大值和最小值； （Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴=== 设P （x ，y ），则1),1(),1(2 221-+=--?---=?y x y x y x PF 35 1 1544222+=-- +x x x ]5,5[-∈x ， 0=∴x 当，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ?有最小值3； 当5±=x ，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ?有最大值4 （Ⅱ）假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不 存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k 直线l 的方程为)5(-=x k y 由方程组22 22221(54)5012520054 (5)x y k x k x k y k x ?+ =?+-+-=??=-? ，得 依题意220(1680)0k k ?=-><< ，得 当5 5 55< <- k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，CD 的中点为R ),(00y x ， 则4 5252,455022 2102221+=+=+=+k k x x x k k x x .4 520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k k k k k x k y 又|F 2C|=|F 2D|122-=??⊥?R F k k l R F

历年高考数学圆锥曲线试题汇总

高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22221x y a b -=（ａ＞0，b>０）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切,则该双曲线的离心率等于 （ Ｃ ） （A)3 (B)2 (Ｃ)5 （D ）6 ２.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ，右准线为l ，点A l ∈,线段AF 交C 于点B ,若3FA FB =,则||AF = (A). 2 (B). 2 (C).3 （D ）. 3 3．过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C .若1 2 AB BC =,则双曲线的离心率是 （ ） A.2 B.3 C.5 D ．10 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴, 直线 AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ) A ． 3 B ．22 Ｃ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上,若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点,且 |||PA AB =,则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ) A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” Ｄ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点)是“ 点” ６.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线ｙ=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为 （ ）． Ａ. 4 5 B. ５ C. 2 5 D.5 2

全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全

全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： (R); AG AD λλ=∈2; GE GF GH +=0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23 = e ，已知点)3,0(P 到 这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1

是A、B；双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x－5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若AM=. 求证：.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; （2）若2

新人家A版高考数学一轮复习：圆锥曲线的综合问题

圆锥曲线的综合问题 [知识能否忆起] 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y (或x )得关于变量x (或y )的方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)． 若a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： Δ>0?直线与圆锥曲线相交； Δ＝0?直线与圆锥曲线相切； Δ<0?直线与圆锥曲线相离． 若a ＝0且b ≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 2．圆锥曲线的弦长问题 设直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2|x 1 －x 2|或 1＋1 k 2|y 1－y 2|. [小题能否全取] 1．(教材习题改编)与椭圆x 212＋y 2 16＝1焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是( ) A ．y 2－ x 23＝1 B.y 23 －x 2 ＝1 C.34x 2－3 8 y 2＝1 D.34y 2－3 8 x 2＝1 解析：选A 设双曲线方程为y 2a 2－x 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则????? a 2＋ b 2＝ c 2， c a ＝2，c ＝2， 得a ＝1，b ＝ 3. 故双曲线方程为y 2－ x 2 3 ＝1. 2．(教材习题改编)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2 4＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定 解析：选A 由于直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直

高考数学圆锥曲线历年高考真题

浙江省高考数学圆锥曲线真题 22 04. 若椭圆 x 2 y 2 ab 1（a > b > 0）的左、右焦点分别为 F 1、F 2, 线段 F 1F 2被抛物线 y 2=2 bx 的焦点 分成 5∶ 3的两 段 , 则此椭圆的离心率为 16 (A) 1167 05．过双曲线 2 x 2 a 4 17 (B) 17 2 b y 2 1(a b 4 (C)45 (D) 255 5 0,b 0） 的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M 、 N 两点 , 以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点 则双曲线的离心率等于 07. 已知双曲线 2 x 2 a 2 y 2 1(a 0,b b 2 0） 的左、右焦点分别为 F 1,F 2, P 是准线上一点 , PF 1 PF 2,|PF 1| |PF 2| 4ab , 则双曲线的离心率是 B ） 3 （C ） 2 （D ） 3 △ ABP 的面积为定 则动点 P 的轨迹是A ． 圆 B ． 椭圆 C ． 一条直线 D ． 两条平行直线 09. 2 x 过双曲线 2 a 2 y b 2 1(a 0,b 0） 的右顶 点 条渐近线的交点分别为 B,C uuur ．若 AB 1 uuur BC , 2 A ． 2 B ．3 C 08．如图 , AB 是平面 的斜．线．段． ） B A P 第 10 题） A 作斜率为 1的直线 , 该直线与双曲线的两 则双曲线的离心率 是 ( ) ．5 D ． 10 A 为斜足 , 若点 P 在平面 内运动 , 使得 点 A （0,2） 。若线段 FA 的中点 B 在抛物线上 2 10. （13）设抛物线 y 2 2px （p 0） 的焦点为 F, 则 B 到该抛物线准线的距离为 近线与以 C 1 的长轴为直径的圆相交于 A, B 两点 ( ) 13 2 B ． a 2＝ 13 1 D ． A ．a 2＝ C ．b 2＝ b 2＝2 2 2 2 11. 设 F 1, F 2分别为椭圆 x 2 3 y 2 1的 左、 右焦点 22 x y 2 11. 已知椭圆 C 1： 2 2 =1 (a > b > 0)与双曲线 C 2： x 2 ab 则点 A 的坐标是 _______ 2 y 1有公共的焦点 , C 2 的一条渐 4 若 C 1 恰好将线段 AB 三等分 , 则 uuur uuuur 点 A, B 在椭圆上． 若 F 1A 5F 2B ,

高中数学圆锥曲线专题-理科

圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程，认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程，理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角，掌握点到直线的距离公式。 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义，并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上，以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性，掌握求这些曲线方程的基本 方法，并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们之间的位置关系，并能利用 解析法解决相应的几何问题。 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图，已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2)，过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 ,F F是椭圆的右焦点，求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O

二、轨迹问题 例2 如图，已知平行四边形ABCO ，O 是坐标原点，点A 在线段MN 上移动，x=4,y=t (33)t -≤≤上移动，点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动，求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=，问椭圆上是否存在相异两点A 、B ，关于直线l 对称，请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--，点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上，且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时，求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点，且在以点D （0，-1）为圆 心的同一圆上，求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R ，,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量，若向量 (2)a x i y j → →→=++，且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0，3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB → → → =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由

高考数学总复习圆锥曲线综合

第六节 圆锥曲线综合 考纲解读 1.掌握与圆锥曲线有关的最值、定值和参数范围问题. 2.会处理动曲线（含直线）过定点的问题. 3.会证明与曲线上的动点有关的定值问题. 4.会按条件建立目标函数，研究变量的最值及取值范围问题，注意运用数形结合法和几何法求某些量的最值. 命题趋势研究 从内容上看，预测2015年高考主要考查两大类问题：一是根据条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质，其热点有：①以客观题的形式考查圆锥曲线的基本概念和性质；②求平面曲线的方程和轨迹；③圆锥曲线的有关元素计算、关系证明或范围确定；④涉及圆锥曲线对称变换、最值或位置关系的有关问题. 从形式上看，以解答题为主，难度较大. 从能力要求上看，要求学生具备一定的数形结合、分析问题和解决问题及运算能力. 知识点精讲 一、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下： （1）变量----选择适当的量为变量. （2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数. （3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值. 求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值. 二、求最值问题常用的两种方法 （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法. （2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值.求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法. 三、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视” （1）重视定义在解题中的作用(把定义作为解题的着眼点). （2）重视曲线的几何特征特别是平面几何性质与方程的代数特征在解题中的作用. （3）重视根与系数的关系在解题中的作用(涉及弦长、中点要用根与系数的关系). 四、求参数的取值范围 据已知条件及题目要求等量或不等量关系，再求参数的范围. 题型归纳及思路提示 题型150 平面向量在解析几何中的应用 思路提示 解决平面向量在解析几何中的应用要把几何特征转化为向量关系，并把向量用坐标表示.常见的应用有如下两个方面. （1）用向量的数量积解决有关角的问题.直角?0a b =,钝角?0a b <(且,a b 不反向),

全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全

高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线11与12是同一平面两条互相垂直的直线， 交点是A ，点B 、D 在直线11上(B 、 D 位于点A 右侧)，且|AB|=4 , |AD|=1 , M 是该平面上的一个动点， M 在l i 上的射影点 是 N ，且 |BN|=2|DM|. (I )建立适当的坐标系，求动点 M 的轨迹C 的方程. (II )过点D 且不与11、12垂直的直线1交(I )中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点 G 、 求点G 的横坐标的取值围. M ___ B ___________________ A D N B 11 、3 e 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率 2，已知 点P(0，3) 到这个椭圆 上的点的最远距离是 4,求这个椭圆的方程. H 满足: AD( R)； G E G F 2G H ； G H E F 0. 12

2 2 C x y 1( b 0) 3. 已知椭圆/ b2的一条准线方程是25 ， 4其左、右顶点分别

(I) 求椭圆C i的方程及双曲线C2的离心率； (H)在第一象限取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C i于点M,连结PB并延长交椭 圆C i于点N,若AM MP.求证：MN ?AB 0. 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F (c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45。的直线交 椭圆于A, B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为 a. (1) 用半焦距c表示椭圆的方程及tan ; (2) 若2b>0)的离心率 3 ，过点A (0, -b)和B (a, 0)的直线 ,3 与原点的距离为 2 (1)求椭圆的方程 (2)已知定点E (-1, 0),若直线y= kx + 2 (k乒0与椭圆交于C D两点问：是否存在k的值，使以CD 为直径的圆过E点？请说明理由 2 2 C x y 是A、B；双曲线, a2b2 1 的一条渐近线方程为3x- 5y=0. 2 x 2 5.已知椭圆a

圆锥曲线历年高考题(整理)附答案

数学圆锥曲线测试高考题 一、选择题： 1. （2006全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝4 3x ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）53 (B )43 (C )54 (D )3 2 2. （2006全国II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2 ＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 3.（2006全国卷I ）抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ） A ． 43 B ．7 5 C ．85 D ．3 4．（2006广东高考卷）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ） B. C. 2 D. 4 5.（2006辽宁卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 6.（2006辽宁卷）曲线 22 1(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m +=<<--的（ ） (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7．（2006安徽高考卷）若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 8.（2006辽宁卷）直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题： 9. （2006全国卷I ）双曲线2 2 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,

全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全

高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上 (B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ①(R);AG AD λλ=∈②2;GE GF GH +=③0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率23 = e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆 上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1

是A、B；双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x－5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若MP AM=. 求证：.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; （2）若2

历年高考数学圆锥曲线第二轮专题复习

高考数学试题圆锥曲线 一． 选择题： 1.又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点， 且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到 抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 41 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于它 到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ． D ． 6.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ）