物理学11章习题解答
[物理学11章习题解答]
11-7 在磁感应强度大小为b = 0.50 t的匀强磁场中，有一长度为l = 1.5 m的导体棒垂直于磁场方向放置，如图11-11所示。如果让此导体棒以既垂直于自身的长度又垂直于磁场的速度v向右运动，则在导体棒中将产生动生电动势。若棒的运动速率v= 4.0 m s 1 ，试求：
(1)导体棒内的非静电性电场k；
(2)导体棒内的静电场e；
(3)导体棒内的动生电动势的大小和方向；
(4)导体棒两端的电势差。
解
(1)根据动生电动势的表达式
图11-11
,
由于()的方向沿棒向上，所以上式的积分可取沿棒向上的方向，也就是d l的方向取沿棒向上的方向。于是可得
.
另外，动生电动势可以用非静电性电场表示为
.
以上两式联立可解得导体棒内的非静电性电场，为
,
方向沿棒由下向上。
(2)在不形成电流的情况下，导体棒内的静电场与非静电性电场相平衡，即
,
所以，e的方向沿棒由上向下，大小为
.
(3)上面已经得到
,
方向沿棒由下向上。
(4)上述导体棒就相当一个外电路不通的电源，所以导体棒两端的电势差就等于棒的动生电动势，即
,
棒的上端为正，下端为负。
11-8如图11-12所表示，处于匀强磁场中的导体回路abcd，其边ab可以滑动。
若磁感应强度的大小为b = 0.5 t，电阻为r = 0.2 ，ab边长为l = 0.5 m，ab边
向右平移的速率为v = 4 m s 1 ，求：
(1)作用于ab边上的外力；
图11-12
(2)外力所消耗的功率；
(3)感应电流消耗在电阻r上的功率。
解
(1)当将ab向右拉动时，ab中会有电流通过，流向为从b到a。ab中一旦出现电流，就将受到安培力f的作用，安培力的方向为由右向左。所以，要使ab向右移动，必须对ab施加由左向右的力的作用，这就是外力f外。
在被拉动时，ab中产生的动生电动势为
,
电流为
.
ab所受安培力的大小为
,
安培力的方向为由右向左。外力的大小为
,
外力的方向为由左向右。
(2)外力所消耗的功率为
.
(3)感应电流消耗在电阻r上的功率为
.
可见，外力对电路消耗的能量全部以热能的方式释放出来。
11-9 有一半径为r的金属圆环，电阻为r，置于磁感应强度为b的匀强磁场中。初始时刻环面与b垂直，后将圆环以匀角速度绕通过环心并处于环面内的轴线旋转/2。求：
(1)在旋转过程中环内通过的电量；
(2)环中的电流；
(3)外力所作的功。
解
(1)在旋转过程中环内通过的电量为
.
(2)根据题意，环中的磁通量可以表示为
,
故感应电动势为
.
所以，环中的电流为
.
(3)外力所作的功，就是外力矩所作的功。在圆环作匀角速转动时，外力矩的大小与磁力矩的大小相等，故力矩为
,
式中是环的磁矩m与磁场b 之间的夹角。在从 = 0的位置转到 = /2的位置，外力矩克服磁力矩所作的功为
.
此题也可以用另一种方法求解。外力矩作的功应等于圆环电阻上消耗的能量，故有
.
与上面的结果一致。
11-10一螺绕环的平均半径为r = 10 cm，截面积为s = 5.0 cm2 ，环上均匀地绕有两个线圈，它们的总匝数分别为n1 = 1000匝和n2 = 500 匝。求两个线圈的互感。
解在第一个线圈n1中通以电流i1，在环中产生的磁场为
.
该磁场在第二个线圈n2中产生的磁通量为
.
所以两个线圈的互感为
.
11-11 在长为60 cm、半径为2.0 cm的圆纸筒上绕多少匝线圈才能得到自感为6.010 3 h的线圈？
解设所绕线圈的匝数为n，若在线圈中通以电流i，则圆筒内的磁感应强度为
.
由此在线圈自身引起的磁通量为
,
所以线圈的自感为
,
由此解的线圈的匝数为
.
11-12一螺绕环的平均半径为r = 1.210 2 m，截面积为s = 5.610 4 m2 ，线圈匝数为n = 1500 匝，求螺绕环的自感。
解此螺绕环的示意图表示于图11-13中。在线圈中通以电流i，环中的磁感应强度为
,
该磁场引起线圈的磁通量为
.
图11-13
所以螺绕环的自感为
.
11-13 若两组线圈绕在同一圆柱上，其中任一线圈产生的磁感应线全部并均等地通过另一线圈的每一匝。两线圈的自感分别为l1 和l2 ，证明两线圈的互感可以表示为
.
解题意所表示的情形，是一种无漏磁的理想耦合的情形。在这种情形下，可以得到两个线圈的自感分别为
,
.
用类似的方法可以得到它们的互感为
.
比较以上三式，可以得出
.
11-14 一无限长直导线，其圆形横截面上电流密度均匀。若通过的电流为i ，导线材料的磁导率为，证明每单位长度导线内所储存的磁能为
.
解因为电流在导线横截面上分布均匀，所以可以把电流密度的大小表示为
.
在导线的横截面上任取一半径为r( , 即 , . 导体内的磁感应强度为 图11-14 . h和b的方向可根据电流的流向用右手定则确定。 导线内的磁场能量密度为 . 在导线内取一长度为1、半径为r、厚度为d r的同心圆筒，图11-14是其横截面的示意图。圆筒薄层内的磁场能量为 , 导线单位长度的磁场能量为 . 证毕。 11-15 一铜片放于磁场中，若将铜片从磁场中拉出或将铜片向磁场中推进，铜片将受到一种阻力的作用。试解释这种阻力的来源。 解 这种阻力来自磁场对铜片内产生的涡流的作用。 11-16 有一长为l = 2.610 2 m 的直导线，通有i = 15 a 的电流，此直导线被放置 在磁感应强度大小为b = 2.0 t 的匀强磁场中，与磁场方向成 = 30 角。求 导线所受的磁场力。 解 导线和磁场方向的相对状况如图11-15所示。根据安培定律 , 导线所受磁场力的大小为 , 力的方向垂直于纸面向里。 11-17 有一长度为1.20 m 的金属棒，质量为0.100 kg ，用两根细线缚其两端并悬挂于磁感应强度大小为1.00 t 的匀强磁场中，磁场 的方向与棒垂直，如图11-16所示。若金属棒通以电流时正好抵消了细线原先所受的张力，求电流的大小和流向。 解 设金属棒所通电流为i 。根据题意，载流金属棒在磁场中所受安培力与其重力相平衡， 即 , 所以 图11-15 图11-16 . 电流的流向为自右向左。 11-18 在同一平面内有一长直导线和一矩形单匝线圈，矩形线圈的长边与长直导线平行，如图11-17所示。若直导线中的电流为i 1 = 20 a ， 矩形线圈中的电流为i 2 = 10 a ，求矩形线圈所受的磁场力。 解 根据题意，矩形线圈的短边bc 和da (见图11-18)所受磁场力的大小相等、方向相反，互相抵消。 所以矩形线圈所受磁场力就是其长边ab 和cd 所受磁场力的合力。ab 边所受磁场力的大小为 , 方向向左。cd 边所受磁场力的大小为 , 方向向右。矩形线圈所受磁场力的合力的大小为 , 方向沿水平向左，与图11-18中f 1的方向相同。 11-19 在半径为r 的圆形单匝线圈中通以电流i 1 ，另在一无限长直导线中通以电流i 2 ，此无限长直导线通过圆线圈的中 心并与圆线圈处于同一平面内，如图11-19 所示。求圆线圈所受的磁场力。 解 建立如图所示的坐标系。根据对称性，整个圆线圈所受磁场力 的y 分量为零，只考虑其x 分量就够了。在圆线圈上取电流元i 1 d l ，它所处位置的方位与x 轴的夹角为 ，如图所示。电流元离开y 轴的距离为x ，长直电流在此处产生的磁场为 图11-18 图11-17 图11-19 . 电流元所受的磁场力的大小为 . 这个力的方向沿径向并指向圆心(坐标原点)。将、代入上式，得 . 其x分量为 , 整个圆线圈所受磁场力的大小为 , 负号表示f x沿x轴的负方向。 11-20 有一10匝的矩形线圈，长为0.20 m，宽为0.15 m，放置在磁感应强度大小为1.510 3 t的匀强磁场中。若线圈中每匝的电流为10 a，求它所受的最大力矩。 解该矩形线圈的磁矩的大小为 , 磁矩的方向由电流的流向根据右手定则确定。 当线圈平面与磁场方向平行，也就是线圈平面的法向与磁场方向相垂直时，线圈所受力矩为最大，即 . 11-21当一直径为0.020 m的10匝圆形线圈通以0.15 a电流时，其磁矩为多大？若将这个线圈放于磁感应强度大小为1.5 t的匀强磁场中，所受到的最大力矩为多大？ 解线圈磁矩的大小为 . 所受最大力矩为 . 11-22由细导线绕制成的边长为a的n匝正方形线圈，可绕通过其相对两边中点的铅直轴旋转，在线圈中通以电流i，并将线圈放于水平取向的磁感应强度为b的匀强磁场中。求当线圈在其平衡位置附近作微小振动时的周期t。设线圈的转动惯量为j，并忽略电磁感应的影响。 解设线圈平面法线与磁感应强度b 成一微小夹角，线圈所受力矩为 . (1) 根据转动定理，有 , 式中负号表示l的方向与角加速度的方向相反。将式(1)代入上式，得 , 或写为 . (2) 令 ,(3) 将式(3)代入式(2)，得 (4) 因为是常量，所以上式是标准的简谐振动方程，立即可以得到线圈的振动周期，为 . 11-23 假如把电子从图11-20中的o点沿y方向以1.0107 m s 1 的速率射出，使它沿图中的 半圆周由点o到达点a，求所施加的外磁场的磁感应强度b的大小和方向，以及电子到达点a 的时间。 图11-20 解要使电子沿图中所示的轨道运动，施加的外磁场的方向必须垂直于纸面向里。磁场的磁感应强度的大小可如下求得 , . 电子到达点a的时间为 . 11-24 电子在匀强磁场中作圆周运动，周期为t = 1.0108 s。 (1)求磁感应强度的大小； (2)如果电子在进入磁场时所具有的能量为3.0103 ev，求圆周的半径。 解 (1)洛伦兹力为电子作圆周运动提供了向心力，故有 , 由此解出b，得 . (2)电子在磁场中作圆周运动的轨道半径可以表示为 , 将代入上式，得 . 11-25电子在磁感应强度大小为b = 2.010 3 t的匀强磁场中，沿半径为r = 2.0 cm的螺旋线运动，螺距为h = 5.0 cm。求电子的运动速率。解电子速度垂直于磁场的分量可如下求得 , 所以 . 电子速度平行于磁场的分量v// 可根据螺距的公式求得 , 所以