高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学求极限的14种方法
一、极限的定义
1.极限的保号性很重要：设
A x f x x =→)(lim
，
（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。
2.
限是否存在在：
（i ）数列{}
n x a 的 （ii ）x f x ∞
→lim
)( (iii)
x f x x =→lim
)( (iv)单调有界准则
（v （vi ）柯西收必要条件是：
ε?>?,01.2.洛必达（L ’ x 趋近告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：
（i ）“
00”“∞
∞
”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通
项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；)
()()(1
)(1
)()(x g x f x f x g x g x f -=-
(iii)“00”“∞1”“0
∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即e
x f x g x g x f )
(ln )()()(=，
这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。
3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候）
12)!
1(!!21+++++++=n x
n x
x n e n x x x e θ ；
3211253)!
32(cos )1()!12()1(!5!3sin ++++-++-+-+-=m m m m
x
m x m x x x x x θ cos=221242)!22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ
1132+-n n
n
n x x x x 4.5.6.1）设0>>>c b a ，
n x =n n ∞
→∞
→a x n n =∞
→
（2）求??????++++∞→222)2(1)1(11lim n n n
n
解：由n n
n n n n n 1
111)2(1)1(1102222
22
=+++<++++< ，以及01
0lim
lim ==∞
→∞
→n
n n 可知，原式=0 (3)求????
??++
++++∞→n n n n n 2
22
1
2
11
1
lim 解
：
由
n
n n n n n n n n n n n n n n n +=+++++<++++++<=++222222111121111111 ,
以
及
11111lim
lim
lim 2
=+
=+=∞
→∞
→∞
→n
n
n n n n n 得，原式=1
7.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q 绝对值要小于1）。例如：
求
()
12
321lim -∞
→++++n n nx x
x )1|(| 8.数列极限中各项的拆分相加（可以使用待定系数法来拆分化简数列）。例如： ??? ? ??+++?+?∞ →)1(1321211lim n n n =1)1(11)1(1 1 31 21211lim lim =?? ? ??+-=??? ??+- ++-+-∞→∞ →n n n n n 9.利用1+n x x x 与极限相同求极限。例如： （1）已知 n a a 12,211+==+，且已知n a lim 存在，求该极限值。 A=1+2 （2 21<<+k k x x 。所以， {022=--A A 。 10. （i 11.n n 快于n ！,n ！快12.换元法。这是一种技巧，对一道题目而言，不一定就只需要换元，但是换元会夹杂其中。例如：求极限 x x x 2sin 2arccos lim π - →。解：设t t x t x x t sin )2cos(,00,2arccos -=+=→→-=ππ且时，则。 原式= 2 1 sin 222arccos 22arccos 2sin 2lim lim lim -=-= - = - →→→t t x x x x x x t x x π π 13．利用定积分求数列极限。例如：求极限??? ??++++++∞→n n n n n 12111lim 。由于 n n i n +=+11 1，所以 2ln 11111111211121lim lim ==? ????? ? ?+++=??? ??++++++?∞→∞→x n n n n n n n n n n 14.利用导数的定义求“0 0”型未定式极限。一般都是x →0时候，分子上是“)()(a f x a f -+”的形式，看见了这 种形式要注意记得利用导数的定义。（当题目中告诉你m ' =）（a f 告诉函数在具体某一点的导数值时，基本上 就是暗示一定要用导数定义） 例:设 )(,0)(' a f a f >存在，求()n n a f n a f ???? ? ???????? ??+∞ →1lim 解：原式= n lim ∞ → = lim n ∞ →