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高中数学导数典型例题精讲(详细版)

高中数学导数典型例题精讲(详细版)

高中数学导数典型例题精讲(详细版)

导数经典例题精讲

导数知识点

导数是一种特殊的极限几个常用极限：（1）1

lim

0n n

→∞=，lim 0n n a →∞=（||1a <）；（2）00lim x x x x →=，0011lim x x x x →=

.

两个重要的极限

：（1）0sin lim 1x x x →=；（2）1lim 1x

x e x →∞??

+= ???

(e=2.718281845…). 函数极限的四则运算法则：若0

lim ()x x f x a →=，0

lim ()x x

g x b →=，则 (1)()()0

lim x x f x g x a b →±=±????；(2)()()0

lim x x f x g x a b →?=?????;(3)()()()0

lim 0x x

f x a

b g x b

→=≠. 数列极限的四则运算法则：若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞

==，则(1)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞

?=?(3)()lim 0n n n a a

b b b

→∞=≠(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞?=?=?( c 是常数)

)(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商） 000000()()()lim lim

x x x x f x x f x y

f x y x x

=?→?→+?-?''===??. .瞬时速度：00()()

()lim lim

t t s s t t s t s t t t

υ?→?→?+?-'===??. 瞬时加速度：00()()

()lim lim

t t v v t t v t a v t t t

?→?→?+?-'===??. )(x f 在),(b a 的导数：()dy df f x y dx dx ''==

=00()()

lim lim x x y f x x f x x x

?→?→?+?-==??. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义

函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数

(1) 0='C （C 为常数）.(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='.x x sin )(cos -='

(4)

x x 1

)(ln =

'；e a x x

a log 1)(log ='. (5) x x e e =')(; a a a x x ln )(='. 导数的运算法则

（1）'

'

'

()u v u v ±=±.（2）'

'

'

()uv u v uv =+.（3）''

'2

()(0)u u v uv v v v

-=≠. 复合函数的求导法则

设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数

''()u y f u =，则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且'''

x u x y y u =?，或写作'''(())()()

x f x f u x ??=.

【例题解析】

考点1 导数的概念

对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1． ()f x '是3

1()213

f x x x =

++的导函数，则(1)f '-的值是． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.

[解答过程] ()2

2()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+=

故填3.

例2.设函数()1

x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P ,则实数a 的取值范围是 ( )

A.(-∞,1)

B.(0,1)

C.(1,+∞)

D. [1,+∞)

[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. [解答过程]由0,,1;, 1.

1

x a x a a x x -<∴<<<<-当a>1时当a<1时

()()()

/

/2211,0.11111.

x x a x a x a a y y x x x x a ------??=∴===> ?--??--∴> 综上可得M P 时, 1.a ∴>

考点2 曲线的切线

（1）关于曲线在某一点的切线

求曲线y=f(x)在某一点P （x,y ）的切线，即求出函数y=f(x)在P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. （2）关于两曲线的公切线

若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线. 典型例题

例3.已知函数32

11()32

f x x ax bx =

++在区间[11)

-，，(13]，内各有一个极值点．（I ）求24a b -的最大值；

（II ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式．思路启迪：用求导来求得切线斜率. 解答过程：（I ）因为函数32

11()32

f x x ax bx =

++在区间[1

1)-，，(13]，内分别有一个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根，

设两实根为12x x ，（12x x <），则2214x x a b -=

-，且2104x x <-≤．于是

2044a b <-≤，20416a b <-≤，且当11x =-，

23x =，即2a =-，3b =-时等号成立．故24a b -的最大值是16．

（II ）解法一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是

(1)(1)(1)y f f x '-=-，即21

(1)32

y a b x a =++--，

因为切线l 在点(1())A f x ，处空过()y f x =的图象，所以21

()()[(1)]32

g x f x a b x a =-++-

-在1x =两边附近的函数值异号，则 1x =不是()g x 的极值点．

而()g x 321121

(1)3232

x ax bx a b x a =

++-++++，且

22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++．

若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点．

所以11a =--，即2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故3

21()3

f x x x x =--．解法二：同解法一得21()()[(1)]32

g x f x a b x a =-++-

- 2133

(1)[(1)(2)]322

a x x x a =-++-+．因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号，于是存在12m m ，（121m m <<）．

当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >；或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <．设2

33()1222a a h x x x ?

??

?=++

-+ ? ????

?，则当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >；或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <．由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102

a

h =?++=，所以2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故3

21()3

f x x x x =

--．例4.若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（）

A ．430x y --=

B ．450x y +-=

C ．430x y -+=

D ．430x y ++=

[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.

[解答过程]与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=. 故选A.

例5．过坐标原点且与x 2+y 2 -4x +2y +2

5=0相切的直线的方程为 ( )

A.y =-3x 或y =3

1x B. y =-3x 或y =-3

1x C.y =-3x 或y =-3

1x D. y =3x 或y =3

1x

[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力. [解答过程]解法1：设切线的方程为,0.y kx kx y =∴-= 又()()()22521,2,1.2

x y -++=∴-圆心为

2221

51

,3830., 3.23

1k k k k k k +∴

=

∴+-=∴==-+ 1

,3.3

y x y x ∴==-或

故选A.

解法2:由解法1知切点坐标为1331(,),,,

2

222?

?- ???

由 ()()/

/

2

2

//

/

/113

231(,)(,)22

22

5(2)1,22(2)210,2

.

1

13,.313,.3

x x

x x x x x y x y y x y y k y k y y x y x -????-++= ?????∴-++=-∴=-+∴==-==∴=-=

故选A.

例6.已知两抛物线a x y C x x y C +-=+=2221:,2:, a 取何值时1C ，2C 有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程. 思路启迪：先对a x y C x x y C +-=+=2221:,2:求导数.

解答过程：函数x x y 22+=的导数为22'+=x y ，曲线1C 在点P(12112,x x x +)处的切线方程为

))(2(2)2(1112

1x x x x x y -+=+-，即 211)1(2x x x y -+= ①

曲线1C 在点Q ),(222a x x +-的切线方程是)(2)(222x x x a x y --=+--即

a x x x y ++-=2222 ② 若直线l 是过点P 点和Q 点的公切线，则①式和②式都是l 的方程，故得

1,12

22121+=--=+x x x x ，消去2x 得方程，012212

1=+++a x x

若△=0)1(244=+?-a ，即2

1-=a 时，解得2

11-=x ，此时点P 、Q 重合.

∴当时2

1-=a ，1C 和2C 有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为14

y x =- .

考点3 导数的应用

中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:

1.. 求函数的解析式;

2. 求函数的值域;

3.解决单调性问题;

4.求函数的极值（最值）;

5.构造函数证明不等式. 典型例题

例7．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ． 4个

[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力. [解答过程]由图象可见,在区间(,0)a 内的图象上有一个极小值点. 故选A.

例8 .设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．（Ⅰ）求a 、b 的值；

（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2

()f x c <成立，求c 的取值范围．

思路启迪：利用函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值构造方程组求a 、b 的值．

a

b

x

y

)

(x f y '=O

解答过程：（Ⅰ）2

()663f x x ax b '=++，

因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．

即6630241230a b a b ++=??

++=?，

．

解得3a =-，4b =．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，3

2

()29128f x x x x c =-++，

2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．

当(01)x ∈，时，()0f x '>；当(12)x ∈，时，()0f x '<；当(23)x ∈，时，()0f x '>．

所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+．则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+．因为对于任意的[]03x ∈，，有2

()f x c <恒成立，

所以 298c c +<，解得 1c <-或9c >，因此c 的取值范围为(1)

(9)-∞-+∞，，．

例9.函数y x x =+-+243的值域是_____________.

思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。

解答过程：由24030

x x +≥+≥??

?得，x ≥-2，即函数的定义域为[,)-+∞2. y x x x x x x '=

+-+=

+-++?+12412323242243

，又2324282324

x x x x x +-+=

++++， ∴当x ≥-2时，y '>0，

∴函数y x x =+-+243在(,)-+∞2上是增函数，而f ()-=-21，∴=+-+y x x 243的值域是[,)-+∞1.

例10．已知函数()θθcos 16

3cos 3423+-=x x x f ，其中θ,R x ∈为参数，且πθ20≤≤．

（1）当时0cos =θ，判断函数()x f 是否有极值；

（2）要使函数()f x 的极小值大于零，求参数θ的取值范围；

（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数()x f 在区间()a a ,12-内都是增函数，求实数a 的取值范围． [考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法.

[解答过程]（Ⅰ）当cos 0θ=时，3()4f x x =，则()f x 在(,)-∞+∞内是增函数，故无极值.

（Ⅱ）2'()126cos f x x x θ=-，令'()0f x =，得12cos 0,2

x x θ==.

由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论.

①当cos 0θ>时，随x 的变化'()f x 的符号及()f x 的变化情况如下表： x (,0)-∞

0 cos (0,

)2θ

cos 2

θ cos (

,)2

θ

+∞ '()f x

+ 0 - 0 + ()f x

↗

极大值

↘

极小值

↗

因此，函数()f x 在cos 2x θ=处取得极小值cos f()2θ，且3cos 13()cos 2416f θθθ=-+.

要使cos ()02f θ>，必有213cos (cos )044θθ-->，可得30cos 2θ<<.

由于30cos 2

θ≤≤，故3116

2

2

6

ππππθθ<<<<或.

错误！未找到引用源。当时cos 0θ<，随x 的变化，'()f x 的符号及()f x 的变化情况如下表：

x cos (,)2

θ-∞ cos 2θ cos (,0)2

θ

0 (0,)+∞ '()f x + 0 -

0 + ()f x

极大值

极小值

因此，函数()0f x x =在处取得极小值(0)f ，且3(0)cos .16

f θ=

若(0)0f >，则cos 0θ>.矛盾.所以当cos 0θ<时，()f x 的极小值不会大于零.

综上，要使函数()f x 在(,)-∞+∞内的极小值大于零，参数θ的取值范围为311(,)(,)62

2

6

ππππ?.

（错误！未找到引用源。）解：由（错误！未找到引用源。）知，函数()f x 在区间(,)-∞+∞与cos (,)2

θ+∞内都是增函数。

由题设，函数()(21,)f x a a -在内是增函数，则a 须满足不等式组

210

a a a -<≤ 或

211

21cos 2a a a θ

-<-≥

由（错误！未找到引用源。），参数时311(,)(,)62

2

6

ππππθ∈?时，30cos 2θ<<.要使不等式121cos 2

a θ-≥关于参数θ恒成立，

必有3214

a -≥，即438

a +≤.

综上，解得0a ≤或4318

a +≤<.

所以a 的取值范围是43(,0)[,1)8

+-∞?.

例11．设函数f (x )=ax －(a +1)ln(x +1)，其中a ≥-1，求f (x )的单调区间.

[考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 [解答过程]由已知得函数()f x 的定义域为(1,)-+∞，且'1()(1),1

ax f x a x -=≥-+

（1）当10a -≤≤时，'()0,f x <函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减，（2）当0a >时，由'()0,f x =解得1.x a

=

'()f x 、()f x 随x 的变化情况如下表

x

1(1,)a

-

1a

1

(,)a

+∞ '()f x

— 0 +

()f x

极小值

从上表可知

当1(1,)x a

∈-时，'()0,f x <函数()f x 在1(1,)a

-上单调递减.

当1(,)x a

∈+∞时，'()0,f x >函数()f x 在1(,)a

+∞上单调递增.

综上所述：当10a -≤≤时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减.

当0a >时，函数()f x 在1(1,)a

-上单调递减，函数()f x 在1(,)a

+∞上单调递增.

例12．已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数'()y f x =的图

象经过点

(1,0)，(2,0)，如图所示.求：

（Ⅰ）0x 的值；（Ⅱ）,,a b c 的值.

[考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值, 函数与方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 [解答过程]解法一：（Ⅰ）由图像可知，在(),1-∞上

()'0f x >，在()1,2上()'0f x <，在()2,+∞上()'0f x >,

故()f x 在∞∞（-，1），（2，+）上递增，在(1,2)上递减，因此()f x 在1x =处取得极大值，所以01x = （Ⅱ）'2()32,f x ax bx c =++

由'

''f f f （1）=0，（2）＝0，（1）＝5，得320,

1240,5,a b c a b c a b c ++=??++=?

?++=?

解得2,9,12.a b c ==-=

解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）设'2()(1)(2)32,f x m x x mx mx m =--=-+ 又'2()32,f x ax bx c =++ 所以3,,23

2

m a b m c m ==-=

32|

3()2,32

m f x x mx mx =

-+ 由(1)5f =，即325,3

2

m m m -+=得6,m =

所以2,9,12a b c ==-=

例13．设3=x 是函数()()()R x e b ax x x f x ∈++=-32的一个极值点. （Ⅰ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()x f 的单调区间；

（Ⅱ）设0>a ，()x e a x g ??

? ?

?+=4252.若存在[]4,0,21∈εε使得()()121<-εεg f 成立，求a 的取值范围.

[考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力.

[解答过程]（Ⅰ）f `(x)＝－[x 2＋(a －2)x ＋b －a ]e 3－

x ,

由f `(3)=0，得－[32＋(a －2)3＋b －a ]e 3－

3＝0，即得b ＝－3－2a ，

则 f `(x)＝[x 2＋(a －2)x －3－2a －a ]e 3－

x

＝－[x 2＋(a －2)x －3－3a ]e 3－x ＝－(x －3)(x ＋a+1)e 3－

x .

令f `(x)＝0，得x 1＝3或x 2＝－a －1，由于x ＝3是极值点，所以x+a+1≠0，那么a ≠－4. 当a <－4时，x 2>3＝x 1，则

在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；在区间（3，―a ―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；在区间（―a ―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数. 当a >－4时，x 2<3＝x 1，则

在区间（－∞，―a ―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；在区间（―a ―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a >0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，

而f (0)＝－（2a ＋3）e 3<0，f (4)＝（2a ＋13）e －

1>0，f (3)＝a ＋6，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a ＋3）e 3，a ＋6].

又225()()4

x g x a e =+在区间[0，4]上是增函数，

且它在区间[0，4]上的值域是[a 2＋4

25，（a 2＋4

25）e 4]，

由于（a 2＋4

25）－（a ＋6）＝a 2－a ＋41＝（2

1-a ）2≥0，所以只须仅须

（a 2＋4

25）－（a ＋6）<1且a >0，解得0

故a 的取值范围是（0，2

例14 已知函数3

f x ax bx b x =

-+-+ 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且12012x x <<<<．（1）证明0a >；

（2）若z =a +2b ,求z 的取值范围。

[解答过程]求函数()f x 的导数2

()22f x ax bx b '=-+-．

（Ⅰ）由函数()f x 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，知12x x ，是()0f x '=的两个根．所以12()()()f x a x x x x '=--

当1x x <时，()f x 为增函数，()0f x '>，由10x x -<，20x x -<得0a >．

（Ⅱ）在题设下，12012x x <<<<等价于(0)0(1)0(2)0f f f '>??'? 即202204420b a b b a b b ->??

3204520b a b a b ->??

此不等式组表示的区域为平面aOb 上三条直线：203204520b a b a b -=-+=-+=，，

所围成的ABC △的内部，其三个顶点分别为：46(22)(42)77A B C ??

，，，，，．

z 在这三点的值依次为

，，．所以z 的取值范围为1687??

小结：本题的新颖之处在把函数的导数与线性规划有机结合．

考点4 导数的实际应用建立函数模型,利用典型例题

例15.用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

[考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力. [解答过程]设长方体的宽为x （m ），则长为2x (m)，高为

??? ??-=-=230(m)35.441218＜＜x x x h .

故长方体的体积为

(m 69)35.4(2)(3322＜＜x x x x x x V -=-=

从而).1(18)35.4(1818)(2x x x x x x V -=--='

令V ′（x ）＝0，解得x =0（舍去）或x =1，因此x =1. 当0＜x ＜1时，V ′（x ）＞0；当1＜x ＜

时，V ′（x ）＜0，故在x =1处V （x ）取得极大值，并且这个极大值就是V （x ）的最大值。从而最大体积V ＝V ′（x ）＝9×12-6×13（m 3），此时长方体的长为2 m ，高为1.5 m. 答：当长方体的长为2 m 时，宽为1 m ，高为1.5 m 时，体积最大，最大体积为3 m 3。例16．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗

油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：

8(0120).12800080

-+<≤已知甲、乙两地相距100千米. （I ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

[考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力. [解答过程]（I ）当40x =时，汽车从甲地到乙地行驶了100 2.540

40408) 2.517.512800080

?-?+?=（升）. 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。

（II ）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x

小时，设耗油量为()h x 升，依题意得

()(8).(0120),1280008012804

h x x x x x x x =-+=+-<≤

1 2 4 O 4677A ?? ???，

80080'()(0120).640640x x h x x x x -=-=<≤

令'()0,h x =得80.x =

当(0,80)x ∈时，'()0,()h x h x <是减函数；当(80,120)x ∈时，'()0,()h x h x >是增函数. 当80x =时，()h x 取到极小值(80)11.25.h =

因为()h x 在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值.

答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升. 【专题训练】一、选择题

1. y =e sin x cos(sin x )，则y ′(0)等于( ) A.0 B.1 C.－1 D.2

2.经过原点且与曲线y =5

9++x x 相切的方程是( )

B.x －y =0或25

D.x －y =0或25

3.设f (x )可导，且f ′(0)=0,又x

'→=－1,则f (0)( )

A.可能不是f (x )的极值

B.一定是f (x )的极值

C.一定是f (x )的极小值

4.设函数f n (x )=n 2x 2(1－x )n

(n 为正整数)，则f n (x )在［0,1］上的最大值为( ) A.0

5、函数y=(x 2-1)3+1在x=-1处( )

A 、有极大值

C 、有极小值

D 、无法确定极值情况

6.f(x)=ax 3+3x 2+2，f ’(-1)=4，则a=( )

7.过抛物线y=x 2

上的点M （4

1,21）的切线的倾斜角是( )

8.函数f(x)=x 3-6bx+3b 在（0，1）内有极小值，则实数b 的取值范围是( )

A 、（0，1）

B 、（-∞，1）

C 、（0，+∞）

9.函数y=x 3-3x+3在[2

3-]上的最小值是( )

10、若f(x)=x 3

+bx+c ，且f(0)=0为函数的极值，则( ) A 、c ≠0 B 、当a>0时，f(0)为极大值 C 、b=0 D 、当a<0时，f(0)为极小值

11、已知函数y=2x 3+ax 2+36x-24在x=2处有极值，则该函数的一个递增区间是( ) A 、（2，3） B 、（3，+∞） C 、（2，+∞） D 、（-∞，3） 12、方程6x 5-15x 4+10x 3+1=0的实数解的集合中( )

A 、至少有2个元素

B 、至少有3个元素

C 、至多有1个元素

D 、恰好有5个元素二、填空题

13.若f ′(x 0)=2,k

x f k x f k 2)()(lim 000

--→ =_________.

14.设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)=_________.

15.函数f (x )=log a (3x 2+5x －2)(a ＞0且a ≠1)的单调区间_________.

16.在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它的面积最大. 三、解答题

17.已知曲线C ：y =x 3－3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且l 与C 切于点(x 0,y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标.

18.求函数f(x)=p 2x 2(1-x)p (p ∈N +)，在[0，1]内的最大值.

19.证明双曲线xy=a 2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数. 20.求函数的导数 (1)y =(x 2－2x +3)e 2x ; (2)y =31x

21.有一个长度为5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以

4 m 时，梯子上端下滑的速度.

22.求和S n =12+22x +32x 2+…+n 2x n －

1,(x ≠0,n ∈N *).

23.设f (x )=ax 3+x 恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求其单调区间. 24.设x =1与x =2是函数f (x )=a ln x +bx 2+x 的两个极值点. (1)试确定常数a 和b 的值；

(2)试判断x =1,x =2是函数f (x )的极大值还是极小值，并说明理由.

25.已知a 、b 为实数，且b ＞a ＞e ,其中e 为自然对数的底，求证：a b ＞b a . 26.设关于x 的方程2x 2－ax －2=0的两根为α、β(α＜β),函数f (x )=1

(1)求f (α)·f (β)的值；

(2)证明f (x )是［α，β］上的增函数；

(3)当a 为何值时，f (x )在区间［α，β］上的最大值与最小值之差最小？

【参考答案】

一、1.解析：y ′=e sin x ［cos x cos(sin x )－cos x sin(sin x )］,y ′(0)=e 0(1－0)=1. 答案：B

2.解析：设切点为(x 0,y 0),则切线的斜率为k =0

0x y ,另一方面，y ′=(59++x x )′=2

y ′(x 0)=k ,即

5(9)5(40000020++=

=+-x x x x y x 或x 02+18x 0+45=0得x 0(1)=－3,y 0(2)=－15,对应有y 0(1)=3,y 0(2)=5

15915=+-+-,因此得两个

切点A (－3，3)或B (－15,53),从而得y ′(A )=

+-- =－1及y ′(B )=

-=+-- ,由于切线过原点，故得切线：l A :y =－x 或l B :y =－25

答案：A 3.解析：由x

'→=－1,故存在含有

0的区间(a ,b )使当x ∈(a ,b ),x ≠0时

f )0('＜0,于是当x ∈(a ,0)时f ′(0)＞0,当x ∈(0,b )

时，f ′(0)＜0,这样f (x )在(a ,0)上单增，在(0,b )上单减. 答案：B

4.解析：∵f ′n (x )=2xn 2(1－x )n －n 3x 2(1－x )n -1

=n 2x (1－x )n -1［2(1－x )－nx ］,令f ′n (x )=0,得x 1=0,x 2=1,x 3=n

f n (x )在x =n

+22时取得最大值，最大值f n (n

9、B 10、C 11、B 12、C 二、13.解析：根据导数的定义：f ′(x 0)=k

x f k x f k ---+→)()]([(lim 000

(这时k x -=?)

()(21[lim 2)()(lim

0000000000-='-=----=---?-=--∴→→→x f k x f k x f k x f k x f k x f k x f k k k 答案：－1

14.解析：设g (x )=(x +1)(x +2)……(x +n ),则f (x )=xg (x ),于是f ′(x )=g (x )+xg ′(x ),

g (0)+0·g ′(0)=g (0)=1·2·…n =n ！答案：n !

15.解析：函数的定义域是x ＞3

1或x ＜－2,f ′(x )=

53log 2-+x x e a .(3x 2+5x －2)′=)2)(13(log )56(+-?+x x e x a ,

①若a ＞1,则当x ＞3

1时，log a e ＞0,6x +5＞0,(3x －1)(x +2)＞0,∴f ′(x )＞0,∴函数f (x )在(3

1,+∞)上是增函数，x ＜－2时，

f ′(x )＜0.∴函数f (x )在(－∞,－2)上是减函数.

②若0＜a ＜1,则当x ＞3

1时，f ′(x )＜0,∴f (x )在(3

1,+∞)上是减函数，当x ＜－2时，

f ′(x )＞0,∴f (x )在(－∞,－2)上是增函数.

答案：(－∞,－2)

16.解析：设圆内接等腰三角形的底边长为2x ,高为h ，那么

h =AO +BO =R +22x R -,解得

x 2=h (2R －h ),于是内接三角形的面积为

S =x ·h =,)2()2(432h Rh h h Rh -=?- 从而)2()2(2

43'--='-h Rh h Rh S

43)2()23()46()2(21h h R h R h h Rh h Rh --=

令S ′=0,解得h =2

3R ,由于不考虑不存在的情况，所在区间(0,2R )

最大值减函数

由此表可知，当x =2

3R 时，等腰三角形面积最大. 答案：2

三、17. 解：由l 过原点，知k =0

0x y (x 0≠0),点(x 0,y 0)在曲线C 上，y 0=x 03－3x 02+2x 0,

0x y =x 02－3x 0+2,y ′=3x 2－6x +2,k =3x 02－6x 0+2

0x y ,∴3x 02－6x 0+2=x 02－3x 0+2,2x 02－3x 0=0,∴x 0=0或x 0=2

由x ≠0,知x 0=2

∴l 方程y =－4

18.]x )p 2(2[)x 1(x p )x ('f 1p 2+--=- ,

令f ’(x)=0得，x=0，x=1，x=

22+ , 在[0，1]上，f(0)=0，f(1)=0，2p )p

2p (4)p 22(f ++=+ .

2p (4)]x (f [++= .

19.设双曲线上任一点P （x 0，y 0）,

∴ 切线方程)x x (x a y y 02

令y=0，则x=2x 0

∴ 2a 2|y ||x |2

20.解：(1)注意到y ＞0,两端取对数，得 ln y =ln(x 2－2x +3)+ln e 2x =ln(x 2－2x +3)+2x,

32)2(223222232)32(122222

22222222x x e x x e x x x x x x y x x x x y x x x x x x x x x x x y y ?+-=?+-?+-+-=?+-+-=

'∴+-+-=++--=++-'+-='?∴

(2)两端取对数，得 ln|y |=3

1(ln|x |－ln|1－x |),

两边解x 求导，得

1)1(31)1(131,)1(131)111(3113x

x x x y x x y x x x x y y --=?-?=

21.解：设经时间t 秒梯子上端下滑s 米,则s =5－2925t -,当下端移开1.4 m 时，t 0=15

-·(－9·2t )=9t

所以s ′(t 0)=9×2)15

22.解：(1)当x =1时，S n =12+22+32+…+n 2=6

1n (n +1)(2n +1),当x ≠1时，1+2x +3x 2+…+nx n -1

)1()1(1x nx x n n n -++-+,

两边同乘以x ,得

x +2x 2+3x 2+…+nx n =2

1()1(x nx x n x n n -++-++两边对x 求导，得

S n =12+22x 2+32x 2+…+n 2x n

2122)1()122()1(1x x n x n n x n x n n n ---+++-+++.

23.解：f ′(x )=3ax 2+1.

若a ＞0,f ′(x )＞0对x ∈(－∞,+∞)恒成立，此时f (x )只有一个单调区间，矛盾. 若a =0,f ′(x )=1＞0,∴x ∈(－∞,+∞),f (x )也只有一个单调区间，矛盾. 若a ＜0,∵f ′(x )=3a (x +

|31a ),此时f (x )恰有三个单调区间.

∴a ＜0且单调减区间为(－∞,－|

单调增区间为(－

24.解：f ′(x )=x

(1) 由极值点的必要条件可知：f ′(1)=f ′(2)=0,即a +2b +1=0,且2

解方程组可得a =－3

1,∴f (x )=－3

(2)f ′(x )=－3

1x +1,当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0,当x ∈(1,2)时，f ′(x )＞0,当x ∈(2,+∞)时，f ′(x )＜0,故在x =1

处函数f (x )取得极小值6

5,在x =2处函数取得极大值3

25.证法一：∵b ＞a ＞e ,∴要证a b ＞b a ,只要证b ln a ＞a ln b ,设f (b )=b ln a －a ln b (b ＞e ),则

f ′(b )=ln a －b

b ＞a ＞e ,∴ln a ＞1,且b

a ＜1,∴f ′(

b )＞0.∴函数f (b )=b ln a －a ln b 在(e ,+∞)上是增函数，∴f (b )＞

f (a )=a ln a －a ln a =0,即b ln a －a ln b ＞0,∴b ln a ＞a ln b ,∴a b ＞b a .

证法二：要证a b ＞b a ,只要证b ln a ＞a ln b (e ＜a ＜b ),即证,设f (x )=x

x ln (x ＞e )，则f ′(x )=2

ln 1x x -＜0,∴函数f (x )

在(e ,+∞)上是减函数，又∵e ＜a ＜b ,

∴f (a )＞f (b ),即b

26.解：(1)f (α)=

,f (α)=f (β)=4,

(2)设φ(x )=2x 2－ax －2,则当α＜x ＜β时，φ(x )＜0,

222222)1()4(2)1(4)1()1)(4()1()4()(+--+=

+'+--+'-='x a x x x x x a x x a x x f

0)1()(2)1()22(22

∴函数f (x )在(α，β)上是增函数.

(3)函数f (x )在［α，β］上最大值f (β)＞0,最小值f (α)＜0,

∵|f (α)·f (β)|=4,∴当且仅当f (β)=－f (α)=2时，f (β)－f (α)=|f (β)|+|f (α)|取最小值4，此时a =0,f (β)=2.

高中数学导数及微积分练习题

1．求导：（1）函数 y= 2cos x x 的导数为 -------------------------------------------------------- （2）y ＝ln(x ＋2)-------------------------------------；(3)y ＝(1＋sin x )2------------------------ ---------------------- (4)y ＝3x 2＋x cos x ------------------------------------ ；(5)y ＝x 2cos(2x －π 3 )---------------------------------------- ． (6)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝________. 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （）． (A)．5 4 (B)．5 2 (C)．5 1 (D)． 5 3 3．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点 )0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1x =-，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为（） (A)．4 (B)．5 (C)．－6 (D)．不确定 34.()34([0,1])1()1 () ()0 ()1 2 f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，

底面边长为（）． (Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V 6．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（）． (A)．18 (B)． 3 38 (C)． 3 16 (D)．16 7．曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1，则=a _________ 。 8．已知抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值． 9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和 )1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线 )(x f y =的切线,求此切线方程.

高中数学导数的概念、运算及其几何意义练习题

导数的概念、运算及其几何意义黑龙江依兰高中刘岩 A 组基础达标选择题： 1．已知物体做自由落体运动的方程为21(),2 s s t gt ==若t ?无限趋近于0时， (1)(1)s t s t +?-?无限趋近于9.8/m s ，那么正确的说法是（） A ．9.8/m s 是在0～1s 这一段时间内的平均速度 B ．9.8/m s 是在1～（1+t ?）s 这段时间内的速度 C ．9.8/m s 是物体从1s 到（1+t ?）s 这段时间内的平均速度 D ．9.8/m s 是物体在1t s =这一时刻的瞬时速度. 2．已知函数f ’ (x)＝3x 2 , 则f (x)的值一定是（） A. 3x +x B. 3x C. 3x +c (c 为常数) D. 3x+c (c 为常数) 3. 若函数f(x)=x 2+b x +c 的图象的顶点在第四象限，则函数f / (x)的图象是（） 4.下列求导数运算错误．．的是（） A. 20122013x 0132c x ='+）（ (c 为常数) B. x xlnx 2lnx x 2+='）（ C. 2x cosx xsinx x cosx +='）（ D . 3ln 33x x ='）（ 5．.已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12 ，则切点的横坐标为（） A ． 2 B ． 3 C ． 12 D ．1 填空题： 1．若2012)1(/ =f ，则x f x f x ?-?+→?)1()1(lim 0= ，x f x f x ?--?+→?)1()1(lim 0= ，x x f f x ??+-→?4)1()1(lim 0= ， x f x f x ?-?+→?)1()21(lim 0= 。 2．函数y=(2x －3)2 的导数为函数y= x -e 的导数为 A x D C x B

高中数学导数题型总结

导数经典例题剖析考点一：求导公式。例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是。考点二：导数的几何意义。例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是。考点三：导数的几何意义的应用。例4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。考点四：函数的单调性。例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围。例6. 设函数3 2 ()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。（1）求a 、b 的值；（2）若对于任意的[03]x ∈，，都有2 ()f x c <成立，求c 的取值范围。点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数()x f 的极值步骤：①求导数()x f '； ②求()0'=x f 的根；③将()0'=x f 的根在数轴上标出，得出单调区间，由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。

例7. 已知a 为实数，()() ()a x x x f --=42 。求导数()x f '；（2）若()01'=-f ，求() x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。解析：（1）()a x ax x x f 442 3 +--=，∴ ()423'2 --=ax x x f 。（2）()04231'=-+=-a f ，2 1= ∴a 。()()()14343'2 +-=--=∴x x x x x f 令()0'=x f ，即()()0143=+-x x ，解得1-=x 或3 4 =x ，则()x f 和()x f '在区间[] 2,2- ()2 91= -f ，275034-=??? ??f 。所以，()x f 在区间[]2,2-上的最大值为 275034-=?? ? ??f ，最小值为()2 9 1= -f 。答案：（1）()423'2 --=ax x x f ；（2）最大值为275034- =?? ? ??f ，最小值为()2 91=-f 。点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值，要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值，然后与()a f 和()b f 进行比较，从而得出函数的最大最小值。考点七：导数的综合性问题。例8. 设函数3 ()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线 670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-。（1）求a ，b ，c 的值；（2）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。

高中数学导数经典100题

题401：省峨山彝族自治县第一中学2018届高三2月份月考理科已知函数()ln f x ax x =+，其中a 为常数，e 为自然对数的底数．（1）若()f x 在区间(0,]e 上的最大值为3-，求a 的值；（2）当1a =-时，判断方程ln 1|()|2x f x x = +是否有实根？若无实根请说明理由，若有实根请给出根的个数．题402：2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷-（理六）已知()ln()f x x m mx =+- （1）求()f x 的单调区间；（2）设1m >，12,x x 为函数()f x 的两个零点，求证：120x x +< 题403：省实验中学2018届高三上学期第六次月考数学（文）已知函数2()ln (0)f x x a x a =-> （1）讨论函数()f x 在(,)a +∞上的单调性；（2）证明：322ln x x x x -≥且322ln 16200x x x x --+> 题404：西北师大附中2017届高三校第二次诊断考试试题数学(理科) 已知函数21()ln (1)..2 f x a x x a x a R =+-+∈ (1)求函数()f x 的单调区间; (2)若()0f x ≥对定义域的任意x 恒成立,数a 的取值围; (3)证明:对于任意正整数,,m n 不等式 111...ln(1)ln(2)ln()() n m m m n m m n +++>++++恒成立.

题405：一中2017-2018学年度高三年级第五次月考数学（理）试已知函数3()ln(1)ln(1)(3)()f x x x k x x k R =++---∈ （1）当3k =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程；（2）若()0f x >对(0,1)x ∈恒成立，求k 的取值围. 题406：第一中学2018届高三上学期期末考试数学（理）已知函数()ln 1,a f x x a R x =+-∈ （1）若函数()f x 的最小值为0，求a 的值；（2）证明：(ln 1)sin 0x e x x +-> 题407：2017—2018学年度衡中七调理科数学已知函数1()x f x e a -=+，函数()ln ,g x ax x a R =+∈ （1）求函数()y g x =的单调区间；（2）若不等式()()1f x g x ≥+在区间[1,)+∞恒成立，数a 的取值围（3）若(1,)x ∈+∞，求证不等式12ln 1x e x x -->-+

高中数学函数的单调性与导数测试题(附答案)

高中数学函数的单调性与导数测试题（附答案）选修2-21.3.1函数的单调性与导数一、选择题 1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是() A．b2－4ac0 B．b0，c0 C．b＝0，c D．b2－3ac0 [答案] D [解析]∵a0，f(x)为增函数， f(x)＝3ax2＋2bx＋c0恒成立，＝(2b)2－43ac＝4b2－12ac0，b2－3ac0. 2．(2009广东文，8)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是() A．(－，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋) [答案] D [解析]考查导数的简单应用． f(x)＝(x－3)ex＋(x－3)(ex)＝(x－2)ex，令f(x)0，解得x2，故选D. 3．已知函数y＝f(x)(xR)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k ＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为() A．[－1，＋) B．(－，2]

C．(－，－1)和(1,2) D．[2，＋) [答案] B [解析]令k0得x02，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－，2]． 4．已知函数y＝xf(x)的图象如图(1)所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是() [答案] C [解析]当01时xf(x)0 f(x)0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数当x1时xf(x)0，f(x)0，故y＝f(x)在(1，＋)上为增函数，因此否定A、B、D故选C. 5．函数y＝xsinx＋cosx，x(－)的单调增区间是() A.－，－2和0，2 B.－2，0和0，2 C.－，－2， D.－2，0和 [答案] A [解析]y＝xcosx，当－x2时， cosx0，y＝xcosx0，当02时，cosx0，y＝xcosx0. 6．下列命题成立的是() A．若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x(a，b)，都有f(x)0

高中数学导数经典习题

导数经典习题选择题： 1．已知物体做自由落体运动的方程为21(),2 s s t gt ==若t ?无限趋近于0时， (1)(1)s t s t +?-?无限趋近于9.8/m s ，那么正确的说法是（） A ．9.8/m s 是在0～1s 这一段时间内的平均速度 B ．9.8/m s 是在1～（1+t ?）s 这段时间内的速度 C ．9.8/m s 是物体从1s 到（1+t ?）s 这段时间内的平均速度 D ．9.8/m s 是物体在1t s =这一时刻的瞬时速度. 2．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3. 若函数f(x)=x 2+b x +c 的图象的顶点在第四象限，则函数f /(x)的图象是（） 4．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)( x f y =在这点取极值的（） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．必要非充分条件 5．()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则 ()f x 与()g x 满足（） A ．()f x =()g x B ．()f x -()g x 为常数函数 C ．()f x =()0g x = D ．()f x +()g x 为常数函数 6.. 若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 7. 已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（） A ．),3[]3,(+∞--∞Y B ．]3,3[- A x D C x B

(完整)高中数学导数典型例题

高中数学导数典型例题题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。（1）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式；（2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值；（3）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围解：（1）极值的求法与极值的性质（2）由导数求最值（3）单调区间零点驻点拐点————草图 2. 已知).(3232)(23R a x ax x x f ∈--= (1)当4 1||≤ a 时, 求证：)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 解：（1）单调区间零点驻点拐点————草图（2）草图——讨论题型二：利用导数解决恒成立的问题例1：已知322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ）．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ?∈有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．

例2：已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++，1()()2 g x f x '=．（1）证明：当22t <时，()g x 在R 上是增函数；（2）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ，上是减函数；（3）证明：3()2 f x ≥．解：g(x)=2e^(2x)-te^x+1 令a=e^x 则g(x)=2a^2-ta+1 (a>0) (3)f(x)=(e^x-t)^2+(x-t)^2+1 讨论太难分界线即1-t^2/8=0 做不出来问问别人，我也没做出来例3：已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f （1）求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值（2）对(0,),2()()x f x g x ?∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围解：讨论点x=1/e 1/e

高中数学导数练习题(有答案)

导数练习题（含答案）【编著】黄勇权一、求下函数的导数（1）f （x ）=2x 2+3x+2 （2）f （x ）=3sinx+7x 2 （3）f （x ）=lnx+2x （4）f （x ）=2x +6x （5）f （x ）=4cosx -7 （6）f （x ）=7e x +9x （7）f （x ）=x 3+4x 2+6 （8）f （x ）=2sinx -4cosx （9）f （x ）=log2x （10）f （x ）= x 1 （11）f （x ）=lnx+3e x （12）f （x ）=2x x （13）f （x ）=sinx 2 （14）f （x ）=ln （2x 2+6x ）（15）f （x ）=x 1x 3x 2++ （16）f （x ）=xlnx+9x （17）f （x ）= x sinx lnx + （18）f （x ）=tanx （19）f （x ）=x x e 1e 1-+ （20） f （x ）=（x 2-x ）3 【答案】一、求下函数的导数（1）f /=4x+3 （2）f /=3cos+14x （3）f /=x 1+2 （4）f /=2x ln2+6 （5）f /= -4sinx （6）f /=7e x （7）f /=3x 2+8x （8）f /=2cosx+4sinx

（9）因为f （x ）=log2x =2ln lnx =lnx 2 ln 1? 所以：f /=（lnx 2ln 1?）/ =（2ln 1）?（lnx ）/ =2ln 1?x 1 =ln2 x 1? （10）因为：f （x ）=x 1 f /=2x x 1x 1）（）（）（'?-?'= x x 1210?- = x x 21- = 2x 2x - （11）f /= x e 3x 1+ （12）f （x ）= 2x x =23x - f /=（2 3-）25x -= 3 x 2x 3- （13）f /=（sinx 2）/?（x 2）/=cosx 2?（2x ）=2x ?cosx 2 （14）f /=[ln （2x 2+6x ）]/?(2x 2+6x)/ = x 6x 212+? (4x+6) = x 3x 3x 22++ （15）f （x ）=x 1x 3x 2++ = x+3+x 1 f /=（x+3+x 1）/= 1+0 -2x 1 =22x 1-x （16）f /=（x ）/（lnx ）+（x ）（lnx ）/+9 =lnx+x 1x ?+9 =lnx+10

(完整word)高中数学导数练习题

专题8：导数（文）经典例题剖析考点一：求导公式。例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是。解析：()2'2 +=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3 考点二：导数的几何意义。例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。解析：因为21= k ，所以()2 1 1'=f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()2 5 1=f ，所以()()31'1=+f f 答案：3 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是。解析：443'2 --=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。考点三：导数的几何意义的应用。例 4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。解析：Θ直线过原点，则()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上，则02030023x x x y +-=，∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ，∴ 在 () 00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'02 00+-==x x x f k ，∴

(完整版)高二数学导数大题练习详细答案

1．已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示．（I ）求d c ,的值；（II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式；（III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=．（I ）求函数)(x f 的单调区间；（II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为 ,2 3 若函数]2 )('[31)(23m x f x x x g ++= 在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围． 3．已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值．（I ）求实数a 的取值范围；（II ）若方程 9 )32()(2 +- =a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式；（III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=．（I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >；（II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数．

5．已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+．（I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值；（II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（???=718.2e ）．（I ）求实数a 的值；（II ）求函数()f x 在]3,2 3[∈x 的最大值和最小值． 7．已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间；（II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值． 8．已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性．（I ）求实数a 的取值范围；（II ）若()f x '是()f x 的导函数，设2 2 ()()6g x f x x '=+- ，试证明：对任意两个不相等正数12x x 、，不等式121238|()()|||27 g x g x x x ->-恒成立．

高中数学导数及微积分练习题

1．求导：（1）函数y= 2cos x x 的导数为-------------------------------------------------------- （2）y ＝ln(x ＋2)-------------------------------------；(3)y ＝(1＋sin x ) 2 ------------------------ ---------------------- (4)y ＝3x 2＋x cos x ------------------------------------ ；(5)y ＝x 2cos(2x －π 3)---------------------------------------- ． (6)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝________. 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （）． (A)． 54 (B)．52 (C)．51 (D)．5 3 3．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1x =-，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为（） (A)．4 (B)．5 (C)．－6 (D)．不确定 34.()34([0,1])1 ()1()()0()1 2f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（）． (Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V 6．由抛物线x y 22 =与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（）． (A)．18 (B)． 3 38 (C)． 3 16 (D)．16 7．曲线3 x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1 ，则=a _________ 。 8．已知抛物线2y x b x c =++在点(1 2)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值．

高中数学导数典型例题精讲

高中数学导数典型例题精讲 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】

导数经典例题精讲导数知识点导数是一种特殊的极限几个常用极限：（1）1 lim 0n n →∞=，lim 0n n a →∞=（||1a <）；（2）0 0lim x x x x →=，00 11lim x x x x →=. 两个重要的极限：（1）0sin lim 1x x x →=；（2）1lim 1x x e x →∞?? += ??? (e=…). 函数极限的四则运算法则：若0 lim ()x x f x a →=，0 lim ()x x g x b →=，则 (1)()()0 lim x x f x g x a b →±=±????；(2)()()0 lim x x f x g x a b →?=?????;(3)()()()0 lim 0x x f x a b g x b →=≠. 数列极限的四则运算法则：若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==，则(1)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞ ?=?(3)()lim 0n n n a a b b b →∞=≠(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞?=?=?( c 是常数) )(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商） 000000()()()lim lim x x x x f x x f x y f x y x x =?→?→+?-?''===??. .瞬时速度：00()() ()lim lim t t s s t t s t s t t t υ?→?→?+?-'===??. 瞬时加速度：00()() ()lim lim t t v v t t v t a v t t t ?→?→?+?-'===??. )(x f 在),(b a 的导数：()dy df f x y dx dx ''===00()() lim lim x x y f x x f x x x ?→?→?+?-==??. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数）.(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='.x x sin )(cos -=' (4) x x 1)(ln ='；e a x x a log 1)(log ='. (5) x x e e =')(; a a a x x ln )(='. 导数的运算法则（1）' ' ' ()u v u v ±=±.（2）' ' ' ()uv u v uv =+.（3）'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 复合函数的求导法则设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且'''x u x y y u =?，或写作'''(())()()x f x f u x ??=. 【例题解析】考点1 导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.

高二数学导数测试题(经典版)

一、选择题(每小题5分,共70分.每小题只有一项就是符合要求得) 1.设函数()y f x =可导,则0(1)(1) lim 3x f x f x ?→+?-?等于( ). A.'(1)f B.3'(1)f C.1 '(1)3f D.以上都不对２.已知物体得运动方程就是4321 4164 S t t t =-+(t 表示时间,S 表示位移),则瞬时速度为0得时刻就是( ). A.0秒、2秒或4秒 B.0秒、2秒或16秒 C.2秒、8秒或16秒 D.0秒、4秒或8秒３.若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处得切线互相垂直,则0x 等于( ). C.23 D.23或0 ４.若点P 在曲线323 3(34 y x x x =-++上移动,经过点P 得切线得倾斜角为α,则角α得取值范围就是( ). A.[0,]π B.2[0,)[,)23 ππ π C.2[,)3ππ D.2[0,)(,)223 πππ ５.设'()f x 就是函数()f x 得导数,'()y f x =得图像如图所示,则()y f x =得图像最有可能得就是 3x ))-７.已知函数3 2 ()f x x px qx =--分别为( ). A.427 ,0 B.0,427 C.427- ,0 D.0,427 - 8.由直线21=x ,2=x ,曲线x y 1 =及x 轴所围图形得面积就是( ). A 、 415 B 、 417 C 、 2ln 21 D 、 2ln 2 9.函数3 ()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值,则( ). A.01b << B.1b < C.0b > D.1 2 b < 10.21y ax =+得图像与直线y x =相切,则a 得值为( ). A.18 B.14 C.1 2 D.1

高中数学导数题型分析及解题方法

导数题型分析及解题方法一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 1． 32 ()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2．已知函数2)()(2 =-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ； 3．函数3 31x x y -+=有极小值－1 ,极大值 3 题型二：利用导数几何意义求切线方程 1．曲线3 4y x x =-在点 ()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2．若曲线x x x f -=4 )(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为（1，0） 3．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --= 4．求下列直线的方程：（1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线；（2）曲线2 x y =过点P(3,5)的切线；解：（1） 123|y k 23 1)1,1(1x /2/2 3===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P 所以切线方程为02 11=+-+=-y x x y 即，（2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为) ,(00y x A ，则 2 00x y =①又函数的导数为x y 2/ =，所以过 ) ,(00y x A 点的切线的斜率为 /2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有 3 5 2000--= x y x ②，由①②联立方程组得，??????====25 5 110 000y x y x 或，即切点为（1，1）时，切线斜率为 ; 2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即，或题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 1．已知函数 ))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值；

(完整版)高二数学选修2-2导数单元测试题(有答案)

导数复习一．选择题 (1) 函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为 ( ) A ．),2(+∞ B ．)2,(-∞ C ．)0,(-∞ D ．（0，2）（2）曲线3231y x x =-+在点（1，-1）处的切线方程为（） A ．34y x =- B 。32y x =-+ C 。43y x =-+ D 。45y x =- a (3) 函数y ＝a x 2 ＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝ ( ) A ． 18 B ．41 C ．2 1 D ．1 (4) 函数,93)(2 3-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a = ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 (5) 在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4 π 的点中，坐标为整数的点的个数是 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 （6）函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是（） A ．0a > B ．0a ≥ C ．0a < D ．0a ≤ （7）函数3()34f x x x =- （[]0,1x ∈的最大值是（） A ． 1 2 B ． -1 C ．0 D ．1 （8）函数)(x f =x （x －1）（x －2）…（x －100）在x ＝0处的导数值为（） A 、0 B 、1002 C 、200 D 、100！（9）曲线313y x x =+在点413?? ???，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）Ａ．19 Ｂ．29 Ｃ．13 Ｄ．23 .10设函数()1 x a f x x -= -,集合M={|()0}x f x <,P=' {|()0}x f x >,若 M P,则实数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) 11.若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 12函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（） A ．1个 B ．2个 C ．3个D ． 4个 13. y =e sin x cos(sin x )，则y ′(0)等于( ) A.0 B.1 C.－1 D.2 14.经过原点且与曲线y =5 9++x x 相切的方程是( ) A.x +y =0或25 x +y =0 B.x －y =0或25 x +y =0 C.x +y =0或 25 x －y =0 D.x －y =0或 25 x －y =0 15.设f (x )可导，且f ′(0)=0,又x x f x )(lim 0 '→=－1,则 f (0)( ) A.可能不是f (x )的极值 B.一定是f (x )的极值 C.一定是f (x )的极小值 D.等于0 16.设函数f n (x )=n 2x 2(1－x )n (n 为正整数)，则f n (x )在［0,1］上的最大值为( ) A.0 B.1 C.n n )221(+- D.1)2 ( 4++n n n 17、函数y=(x 2-1)3+1在x=-1处( ) A 、有极大值 B 、无极值 C 、有极小值 D 、无法确定极值情况 18.f(x)=ax 3+3x 2+2，f ’(-1)=4，则a=( ) A 、3 10 B 、3 13 C 、3 16 D 、3 19 19.过抛物线y=x 2 上的点M （4 1,21）的切线的倾斜角是( ) A 、300 B 、450 C 、600 D 、900 20.函数f(x)=x 3-6bx+3b 在（0，1）内有极小值，则实数b 的取值范围是( ) a b x y ) (x f y ?=O

函数极限与导数高中数学基础知识与典型例题

知识网数学归纳法、数列的极限与运算1．数学归纳法： (1)由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法. 归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法. ①不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出一般结论的推理方法. ②完全归纳法: 根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用,用不完全归纳法发现规律, 用数学归纳法证明结论. (2)数学归纳法步骤: ①验证当n取第一个 n时结论 () P n成立; ②由假设当n k =（ , k N k n + ∈≥）时,结论() P k成立，证明当1 n k =+时,结论(1) P k+成立; 根据①②对一切自然数 n n ≥时，() P n都成立. 2.数列的极限 (1)数列的极限定义:如果当项数n无限增大时,无穷数列{}n a的项n a无限地趋近于某个常数a(即 n a a -无限地接近于),那么就说数列 {} n a以a为极限,或者说a是数列{} n a的极限.记为 lim n n a a →∞ =或当n→∞时， n a a →. (2)数列极限的运算法则: 如果{}n a、{}n b的极限存在，且lim,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==，那么lim() n n n a b a b →∞ ±=±；lim(); n n n a b a b →∞ ?=?lim(0) n n n a a b b b →∞ =≠ 特别地，如果C是常数，那么lim()lim lim n n n n n C a C a Ca →∞→∞→∞ ?=?=. ⑶几个常用极限: ①lim n C C →∞ =（C 为常数）②lim0 n a n →∞ = k （,a k 均为常数且N* ∈ k） ③ （1) 1 lim0(1) (1或1) 不存在 n n q q q q q ④首项为 1 a，公比为q（1 q<）的无穷等比数列的各项和为lim 1 n n a S q →∞ = - . 注：⑴并不是每一个无穷数列都有极限. ⑵四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. 数学归纳法、数列的极限与运算例 1. 某个命题与正整数有关，若当) (* N k k n∈ =时该命题成立，那么可推得当 = n1 + k时该命题也成立，现已知当5 = n时该命题不成立，那么可推得（） (A)当6 = n时，该命题不成立(B)当6 = n时，该命题成立 (C)当4 = n时，该命题成立(D)当4 = n时，该命题不成立例2.用数学归纳法证明:“)1 ( 1 1 1 2 1 2≠ - - = + + + + + +a a a a a a n n ”在验证1 = n时，左端计算所得的项为 ( ) (A)1 (B)a + 1 (C)2 1a a+ + (D)3 2 1a a a+ + + 例3.2 2 21 lim 2 n n n →∞ - + 等于( ) (A)2 (B)－2 (C)－ 2 1 (D) 2 1 例4. 等差数列中，若 n n S Lim ∞ → 存在，则这样的数列( ) (A)有且仅有一个(B)有无数多个 (C)有一个或无穷多个(D)不存在例5.lim(1) n n n n →∞ +-等于( ) (A) 1 3 (B)0 (C) 1 2 (D)不存在例6.若2 012 (2)n n n x a a x a x a x +=++++， 12 n n A a a a =+++，则2 lim 83 n n n A A →∞ - = + ( ) (A) 3 1 -(B) 11 1(C) 4 1(D) 8 1 - 例7. 在二项式(13)n x +和(25)n x+的展开式中，各项系数之和记为,, n n a b n是正整数，则 2 lim 34 n n n n n a b a b →∞ - - =. 例8. 已知无穷等比数列{}n a的首项N a∈ 1 ，公比为q，且 n n a a a S N q + + + = ∈ 2 1 , 1，且3 lim= ∞ → n n S，则= + 2 1 a a_____ . 例9. 已知数列{ n a}前n项和1 1 (1) n n n S ba b =-+- + , 其中b是与n无关的常数，且0 ＜b＜1，若lim n n S →∞ =存在，则lim n n S →∞ =________．例10.若数列{ n a}的通项21 n a n =-，设数列{ n b}的通项 1 1 n n b a =+，又记 n T是数列{ n b}的前n项的积．（Ⅰ）求 1 T， 2 T， 3 T的值；（Ⅱ）试比较 n T与 1+ n a的大小，并证明你的结论．例 1.D 2.C 例 3.A 例 4.A例 5.C将分子局部有理化，原式 =11 lim lim 2 11 11 n n n n n n →∞→∞ == ++ ++ 例6.A例7. 1 2 例8. 3 8 例9.1 例10(见后面)

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