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2016年福建省高三4月质检理科数学试题(WORD版)

准考证号姓名

（在此卷上答题无效）

机密★启用前

2016年福建省普通高中毕业班质量检查

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，满分 150分．

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴

的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．

3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

（1）已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若i a +与2i b -互为共轭复数，则

2(i)a b +=

（A ）34i - （B ）34i +

（C ）54i -

（D ）54i +

（2）执行如图所示的程序框图，若要使输出的y 的值等于3，

则输入的x 的值可以是

（A ）1 （B ）2 （C ）8 （D ）9

（3）已知3cos 25απ?

?+= ??

?，22αππ-<<，则sin 2α的值等于

（A ）

1225 （B ）1225- （C ）2425

（D ）2425-

（4）已知0,0a b >>，则“1ab >”是“2a b +>”的

（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件

（5）若,x y 满足约束条件20,

20,20,

x y y x y -+≥??

+≥??++≤?

则11y x +-的取值范围为

（A ）11,35??-???? （B ）1,13??

-????

（C ）11,,35????-∞-?+∞ ????

???

（D ）[)1,1,3

??-∞-?+∞ ??

（6）已知等比数列{}n a 的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为n T ，且243a a a =，则使得1n T >的n 的最小值为

（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 （7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的各个面的面积中，最小的值为

（A

）（B ）8 （C

）（D

）（8）在ABC ?中，3

A π

，2AB =，3AC =，2CM MB =，则AM BC ?= （A ）113

（B ）43- （C ）43 （D ）11

（9）若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为

（A

）

12 （B

）3 （C

）2 （D

）3

（11）已知12,F F 分别为双曲线()22

2210,0x y C a b a b

-=>>：的左、右焦点，若点P 是以12F F 为直径

的圆与C 右支的一个交点， 1PF 交C 于另一点Q ，且12PQ QF =，则C 的渐近线方程为

（12）已知)(x f 是定义在R 上的减函数，其导函数()f x '满足()

()

1f x x f x +<'，则下列结论正确的是

（A ）对于任意R ∈x ， )(x f <0 （B ）对于任意R ∈x ， )(x f >0 （C ）当且仅当()1,∞-∈x ，)(x f <0 （D ）当且仅当()+∞∈,1x ，)(x f >0

第Ⅱ卷

注意事项：

第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）若随机变量()2,X

N μσ，且()()510.2P X P X >=<-=，则()25P X <<= ．

（14）若()5

112ax x x ?

?++ ??

?展开式中的常数项为40-，则a = ．

（15）若数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且111

1,n n n a S S a ++=+=

，则25a = ．（16）已知点()53,1,,23A B ?? ???

，且平行四边形ABCD 的四个顶点都在函数()21

log 1

x f x x +=-的图象上，则四边形ABCD 的面积为．

三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

在△ABC 中，3

B π

，点D 在边A B 上，1BD =，且DA DC =．

（Ⅰ）若△BCD CD ；

（Ⅱ）若AC =DCA ∠．

（18）（本小题满分12分）

如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，1AB AC ==，12BB =，

160ABB ∠=．

（Ⅰ）证明：1AB B C ⊥；

（Ⅱ）若12B C =，求1AC 与平面1BCB 所成角的正弦值．

（19）（本小题满分12分）

甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪， 40单以内(含40单)的部分每单抽成4元，超出40单的部分每单抽成6元．假设同一公司

送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：

（Ⅰ）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答以下问题：

（ⅰ）记乙公司送餐员日工资为X (单位：元), 求X 的分布列和数学期望；

（ⅱ）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利

用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.

（20）（本小题满分12分）

已知抛物线()2

:20E y px p =>的焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线与抛物线E 交于,S T 两点，

以P ()3,0为圆心的圆过点,S T ，且90SPT ∠=．（Ⅰ）求抛物线E 和圆P 的方程；

（Ⅱ）设M 是圆P 上的点，过点M 且垂直于FM 的直线l 交E 于,A B 两点，证明：FA FB ⊥．

（21）（本小题满分12分）

已知函数()()ln 1f x ax x =-+，()e 1x g x x =--．曲线()y f x =与()y g x =在原点处的切线相同．

（Ⅰ）求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）若0x ≥时，()()g x kf x ≥，求k 的取值范围．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲

如图，△ABC 的两条中线AD 和BE 相交于点G ，且,,,D C E G 四点共圆．（Ⅰ）求证：BAD ACG ∠=∠；（Ⅱ）若1GC =，求AB ．

（23）（本小题满分10分)选修44-：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,

sin x y αα=??=?

（α为参数），在以原点为极点，

x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 4ρθπ?

?-= ??

（Ⅰ）求C 的普通方程和l 的倾斜角；

（Ⅱ）设点()0,2P ，l 和C 交于,A B 两点，求PA PB +．

（24）（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲

已知函数()1f x x =+.

（Ⅰ）求不等式()211f x x <+-的解集M ；

（Ⅱ）设,a b M ∈，证明：()()()f ab f a f b >--．

2016年福建省普通高中毕业班质量检查

理科数学试题答案及评分参考

评分说明：

1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主

要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容

和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）B （2）C （3）D （4）A （5）B （6）C （7）B （8）C （9）D （10）D （11）A （12）B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．

（13）0.3 （14）3- （15）5- （16）

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分．

解法一：（Ⅰ）因为BCD S △即1

sin 2

BC BD B ??= ····················· 2分又因为3

B π

,1BD =，所以4BC = ． ················································ 3分在△BDC 中,由余弦定理得，2

2cos CD BC BD BC BD B =+-??, ·········· 5分

即2

161241132

CD =+-???

=，解得CD = ······························ 6分（Ⅱ）在△ACD 中，DA DC =，可设A DCA θ∠=∠=，则ADC θ=π-2∠，

又AC =sin 2sin AC CD

θθ

=， ······································ 7分

所以2cos CD θ

． ·········································································· 8分

在△BDC 中, 22,23

BDC BCD θθπ

∠=∠=-，由正弦定理得，sin sin CD BD

B BCD =

∠

，即12cos 2sin sin(2)33

θθ=ππ-， ············ 10分化简得2cos sin(2)3

θθπ

=-，

于是2sin()sin(2)23θθππ

-=-． ·

······················································· 11分因为02θπ<<，所以220,222333

θθπππππ

<-<-<-<

，所以2223θθππ-=-或2+2=23θθππ--π,

解得==618θθππ或，故=618

DCA DCA ππ

∠∠=或． ······························ 12分

解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）因为DA DC =，所以A DCA ∠=∠．取AC 中点E ，连结DE ，

所以DE AC ⊥． ·············································································· 7分设DCA A θ∠=∠=，

因为AC =

EA EC == 在Rt △CDE

中，cos CE CD DCA =

=∠ ····································· 8分

以下同解法一．

（18）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．解法一：（Ⅰ）连结1AB ，在1ABB △中，111,2,60AB BB ABB ==∠=，

由余弦定理得，222

11112cos 3AB AB BB AB BB ABB =+-??∠=，

∴1AB =，…………………………………………1分

∴222

11BB AB AB =+，

∴1AB AB ⊥．………………………………………2分又∵ABC △为等腰直角三角形，且AB AC =， ∴AC AB ⊥，又∵1AC

AB A =，

∴AB ⊥平面1AB C ． ········································································· 4分又∵1B C ?平面1AB C ，

∴AB ⊥1B C ． ················································································· 5分

（Ⅱ）∵11

1,2AB AB AC BC ===， ∴222

11B C AB AC =+，∴1AB AC ⊥． ················································ 6分

如图，以A 为原点，以1,,AB AC AB 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，

······································································································ 7分

则(

)(()()1000,0,100010A B B C ，

，0，，，，，， ∴()

()11,0,3,1,1,0BB BC =-=-． ··················································· 8分设平面1BCB 的法向量(),,x y z =n ，

由10,0,BB BC ??=?

??=??n n 得0,0,x x y ?-+=??

-+=?

?令1z =，得

x y ==

∴平面1BCB 的一个法向量为)

=n ． (9)

分

∵

()((1110,1,0AC AC CC AC BB =+=+=+-=-，

……………………………………………………………………………10分

∴111cos ,||||AC AC AC ?<>=

n n n ，….……………11分

∴1AC 与平面1BCB ······································ 12分解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）过点A 作AH ⊥平面1BCB ，垂足为H ，连结1HC ，

则1AC H ∠为1AC 与平面1BCB 所成的角． ············································· 6分由（Ⅰ）知，1AB AB ⊥

，1AB ，1AB AC ==，12B C =，

∴222

11AB AC B C +=，∴1AB AC ⊥，

又∵AB

AC A =，∴1AB ⊥平面ABC ， ·

··········································· 7分

∴111111332B ABC ABC V S AB AB AC AB -=

?=????=△． ······················· 8分取BC 中点P ，连结1PB ，∵112BB B C ==，∴1PB BC ⊥．又在Rt ABC △中，1AB AC ==

，∴BC =

BP =

，

∴12

PB ===，

∴1112B BC S BC B P =

?=△． ··························································· 9分 ∵11A BCB B ABC V V --=，

∴

113BCB S AH ?=△

，即1326AH ?=

，∴7

AH =． ············· 10分 ∵1AB ⊥平面ABC ，BC ?平面ABC ，∴1AB BC ⊥，三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，112B C BC ==， ∴111AB B C ⊥

，∴1AC =

=····································· 11分

在1Rt AHC △

中，11sin 35AH AC H AC ∠===

，所以1AC 与平面1BCB

································ 12分（19）本小题主要考查古典概型、随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分．

解：（Ⅰ）记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M ，

则2

20210019

()495

C P M C ==． ···································································· 4分

（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a ，则当38a =时，384152X =?=；当39a =时，394156X =?=；当40a =时，404160X =?=；当41a =时，40416166X =?+?=；当42a =时，40426172X =?+?=．

所以X 的所有可能取值为152,156,160,166,172． ······································ 6分故X 的分布列为：

······································································································ 8分

11121

()1521561601661721621055510

E X =?

+?+?+?+?=所以． ·

····· 9分（ⅱ）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为

380.2390.4400.2410.1420.139.5?+?+?+?+?=． ·

············· 10分所以甲公司送餐员日平均工资为70239.5149+?=元． ·························· 11分由（ⅰ）得乙公司送餐员日平均工资为162元．

因为149162<，故推荐小明去乙公司应聘． ·········································· 12分

（20）本小题考查圆与抛物线的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等．满分12分．

解法一：(Ⅰ)将2

p x =

代入2

2y px =，得y p =±，所以2ST p =， ································································

····························又因为90SPT ∠=，所以△SPT 是等腰直角三角形，

所以SF PF =，即32

p p =-，解得2p =，

所以抛物线2

:4E y x =

，…………………………………………3分

此时圆P =

所以圆P 的方程为()2

38x y -+=． ··························································· 4分

(Ⅱ)设()()()001122,,,,,M x y A x y B x y ，

依题意()2

0038x y -+=，即2200061y x x =-+-． ·······································

··· 5分

（ⅰ）当直线l 斜率不存在时，()

3M ±， ①当3x =

4y x =，得()

2y =±

．

不妨设()()

32,32A B ++-，则1,1,1,AF BF AF BF k k k k ==-=-

即AF BF ⊥．

②当3x =-AF BF ⊥．………………….6分（ⅱ）当直线l 斜率存在时，因为直线l 与抛物线E 交于,A B 两点，所以直线l 斜率不为零，01x ≠且00y ≠．因为l MF ⊥，所以1l MF k k =-，

所以00

1l x k y -=，…………………………………………………..7分

直线()0

000

1:x l y x x y y -=

-+．由()20

0004,1y x x y x x y y ?=?-?=-+??

得，22

0000004444011y x y x y y x x +--+=-- ， ················ 8分即2

00004204011y x y y x x --

+=--，所以00121200

4204

,11y x y y y y x x -+==--， ············· 9分

所以()()121211FA FB x x y y ?=--+=22

12121144y y y y ????

--+ ???????

······················ 10分 ()()()2

1212121212123

1116

41642y y y y y y y y y y y y ++=

-++=-++

()()

()

200

0005143061111x y x x x x --=-

++---()()()()()2

0000020514165111x y x x x x --+-+--=- ()

000

0244441x x y x ---=

-()

()

220002

046101x y x x -+-+=

=-，

所以AF BF ⊥． ···················································································· 12分解法二：(Ⅰ)同解法一．

(Ⅱ)设()00,M x y ，依题意()2

0038x y -+=，即2200061y x x =-+-，（*） ······ 5分

设()22121212,,,44y y A y B y y y ????≠ ? ?????，则()2

2100211,,,4y y FM x y AB y y ??-=-=- ???，

2212010020,,,44y y MA x y y MB x y y ????

=--=-- ? ?????

， ·

······································ 6分由于FM AB ⊥，//MA MB ，

所以()()()()22

21002122

1202001010,40.44y y x y y y y y x y y x y y ?--+-=??

??????-----= ? ???????

······························· 7分注意到12y y ≠，()()()

()()

1200120120140,140.

2y y x y y y y y y x +-+=???

-++=?? ························ 8分由（1）知，若01x =，则00y =，此时不满足（*），故010x -≠，

从而（1），（2）可化为00121200

4204

,11y x y y y y x x -+==--． ························ 9分以下同解法一.

（21）本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．

解法一：（Ⅰ）因为()()1

f x a x x '=-

>-+，()e 1x g x '=-， ·

···························· 2分依题意，()()00f g ''=，解得1a =， ······················································· 3分所以()111f x x '=-

x =

+，当10x -<<时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．故()f x 的单调递减区间为()1,0-，单调递增区间为()0,+∞． ··················· 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0x =时，()f x 取得最小值0．

所以()0f x ≥，即()ln 1x x +≥，从而e 1x x +≥．设()()()()()e ln 111,x F x g x kf x k x k x =-=++-+- 则()()()e 11111

x k k

F x k x k x x '=+

-+++-+++≥， ·

··································· 6分（ⅰ）当1k =时，因为0x ≥，所以()1

1201

F x x x '++

-+≥≥（当且仅当0x =时等号成立）

，此时()F x 在[)0,+∞上单调递增，从而()()00F x F =≥，即()()g x kf x ≥． ······ 7分（ⅱ）当1k <时，由于()0f x ≥，所以()()f x kf x ≥． ······························· 8分由（ⅰ）知()()0g x f x -≥，所以()()()g x f x kf x ≥≥，故()0F x ≥，即()()g x kf x ≥． ······································································································ 9分

（ⅲ）当1k >时，令()()e 11x k

h x k x =+

-++，则()()

e 1x k h x x '=-+，

显然()h x '在[)0,+∞上单调递增，又())

010,110h k h ''

=-<=->，

所以()h x '在()

1上存在唯一零点0x ， ··········································· 10分当()00,x x ∈时，()0,h x '<所以()h x 在[)00,x 上单调递减，从而()()00h x h <=，即()0,F x '<所以()F x 在[)00,x 上单调递减，

从而当()00,x x ∈时，()()00F x F <=，即()()g x kf x <，不合题意． ·········· 11分综上，实数k 的取值范围为(],1-∞． ··················································· 12分解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0x =时，()f x 取得最小值0．

所以()0f x ≥，即()ln 1x x +≥，从而e 1x x +≥．

设()()()()()e ln 111,x F x g x kf x k x k x =-=++-+- 则()()()e 11111x k k F x k x k x x '=+

-+++-+++≥()11

x k x =+-+， ·

············· 6分（ⅰ）当1k ≤时，()0F x '≥在[)0,+∞恒成立，所以()F x 在[)0,+∞单调递增．所以()()00F x F =≥，即()()g x kf x ≥． ·················································· 9分（ⅱ）当1k >时，由（Ⅰ）知，当1x >-时，e

x +≥

（当且仅当0x =时等号成立）

，所以当01x <<时，e

x ->-+，1

e 1x x

-．所以1()e 1(1)e 111

x kx F x k x x '=---=--

++ 1111kx x x <

---+11

x kx

x x =--+()2

1()11k k x x k x -+-

+=-．················ 10分

于是当101k x k -<<

+时，()0,F x '<所以()F x 在10,1k k -??

??+??

上单调递减.

故当1

k x k -<<

+时，()(0)0F x F <=，即()()g x kf x <，不合题意． ······· 11分综上，实数k 的取值范围为(],1-∞． ··················································· 12分解法三：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）（ⅰ）当0k ≤时，由（Ⅰ）知，当0x =时，()f x 取得最小值0．所以()0f x ≥，即()ln 1x x +≥，从而e 1x x +≥，即()0g x ≥．

所以()0kf x ≤，()0g x ≥，()()g x kf x ≥． ················································ 6分（ⅱ）当0k >时，

设()()()()()e ln 111,x F x g x kf x k x k x =-=++-+-则()()e 11

x k

F x k x '=+-++，令()()h x F x '=，则()()

=e 1x k

h x x '-

+．

显然()h x '在[)0,+∞上单调递增． ·························································· 7分 ①当01k <≤时，()()'010h x h k '=-≥≥，所以()h x 在[)0,+∞上单调递增，()()00h x h =≥；故()0F x '≥，所以()F x 在[)0,+∞上单调递增，()()00F x F =≥，即()()g x kf x ≥． ······································································································ 9分

②当1k >时，由于(

)

'010,'

110h k h =-<=->，

所以()h x '

在()

1上存在唯一零点0x ， ··········································· 10分当()00,x x ∈时，()0,h x '< ()h x 单调递减，

从而()()00h x h <=，即()0,F x '<()F x 在[)00,x 上单调递减，

从而当()00,x x ∈时，()()00F x F <=，即()()g x kf x <，不合题意． ·········· 11分综上，实数k 的取值范围为(],1-∞． ··················································· 12分

请考生在第（22），（23），（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作

答时请写清题号．

（22）选修41-：几何证明选讲

本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等．满分10分．

解法一：（Ⅰ）连结DE ，因为,,,D C E G 四点共圆，则ADE ACG ∠=∠． ········ 2分又因为,AD BE 为△ABC 的两条中线，所以点,D E 分别是,BC AC 的中点，故DE

AB ．·

··········································· 3分所以BAD ADE ∠=∠， ················································································ 4分从而BAD ACG ∠=∠． ················································································ 5分（Ⅱ）因为G 为AD 与BE 的交点，

故G 为△ABC 的重心，延长CG 交AB 于F ，

则F 为AB 的中点，且2CG GF =． ······························································· 6分在△AFC 与△GFA 中，因为FAG FCA ∠=∠，AFG CFA ∠=∠，

所以△AFG ∽△CFA ， ······································································ 7分所以

FA FG

FC FA

，即2FA FG FC =?．………………………………………………………9分因为12FA AB =，12FG GC =，3

FC GC =，所以

2213

AB GC =

，即AB =，又1GC =

，所以AB =． ········································································ 10分解法二：（Ⅰ）同解法一． ······································································ 5分 (Ⅱ) 由(Ⅰ) 知，BAD ACG ∠=∠，

因为,,,D C E G 四点共圆，所以ADB CEG ∠=∠， ········································· 6分

所以ABD △∽CGE △，所以

AB AD

CG CE

， ……………………………………………7分由割线定理，AG AD AE AC ?=?， ····························································· 9分

又因为,AD BE 是ABC △的中线，所以G 是ABC △的重心，所以2

3AG AD =

,又=2=2AC AE EC ，所以22

2=23AD EC

，所以AD CE =，

所以AB CG

=1CG =

，所以AB = ·

····································· 10分（23）选修44-；坐标系与参数方程

本小题考查直线的极坐标方程和参数方程、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分．

解法一：（Ⅰ）由3cos ,sin x y αα

=??=?消去参数α，得2

219x y +=，即C 的普通方程为2

219

x y +=． ······························································ 2分

由sin 4ρθ?π?

= ???

，得sin cos 2ρθρθ-=，………（＊） ·

··················· 3分将cos ,sin x y ρθρθ=??=?

代入（＊），化简得2y x =+， ·········································· 4分

所以直线l 的倾斜角为4

． ···································································· 5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点()0,2P 在直线l 上，可设直线l 的参数方程为cos ,4

2sin 4

x t y t π?

=???π?=+??（t 为参数），

即,222x y ?=????=+??（t 为参数）， ····························································· 7分代入2

219

x y +=

并化简，得25270t ++=． ·································· 8分

45271080?=-??=>．

设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，

则121227

0,05

t t t t +=<=>，所以120,0,t t << ·

·························· 9分

所以()1212PA PB t t t t +=+=-+= ·

··································· 10分解法二：（Ⅰ）同解法一. ············································································ 5分（Ⅱ）直线l 的普通方程为2y x =+.

由22

2,99y x x y =+??+=?

消去y 得2

1036270x x ++=， ····································· 7分于是2

36410272160?=-??=>. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12180,5

x x +=-

<1227

010x x =>，所以120,0x x <<， ····································································································· 8分

故12120|0||PA PB x x x x +=--=+=

······· 10分（24）选修45-：不等式选讲

本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等．满分10分．

解法一：（Ⅰ）（ⅰ）当1x -≤时，原不等式可化为122x x --<--，解得1x <-，

此时原不等式的解是1x <-； ······························································ 2分（ⅱ）当1

x -<<-

时，原不等式可化为122x x +<--，解得1x <-，此时原不等式无解； ··········································································· 3分

（ⅲ）当1

x -

≥时，原不等式可化为12x x +<，解得1x >，此时原不等式的解是1x >； ································································ 4分

综上，{}

11M x x x =<->或． ·························································· 5分（Ⅱ）因为()1f ab ab =+()()1ab b b =++- ····································· 6分

1ab b b +--≥

········································· 7分 11b a b =+--． ·

···································· 8分

因为,a b M ∈，所以1b >，10a +>， ··············································· 9分所以()11f ab a b >+--，即()()()f ab f a f b >--． ······················ 10分解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）因为()()()1111f a f b a b a b a b --=+--++--+=+≤， ······ 7分所以，要证()()()f ab f a f b >--，只需证1ab a b +>+，

即证22

1ab a b +>+， ····································································· 8分即证2222

212a b ab a ab b ++>++，

即证2222

10a b a b --+>，即证()()

22110a b -->． ···························· 9分因为,a b M ∈，所以2

1,1a b >>，所以(

)()

22110a b -->成立，

所以原不等式成立． ·········································································· 10分