复变函数积分方法总结

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复变函数积分方法总结

数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数：

z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。 arg z=θ θ称为主值 -π＜θ≤π，Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，

y=rsin θ,故z= rcos θ+i rsin θ；利用欧拉公式e iθ

=cos θ+isin θ。z=re iθ

。

1.定义法求积分：

定义：设函数w=f(z)定义在区域D 内，C 为区域D 内起点为A 终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为A=z 0 ，z 1，…，z k-1，z k ，…，z n =B ，在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)上任取一点

z k - z k-1，弧段z k-1 z k 的长度 δ=max

1≤k ≤n {S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c 的分发即k 的

∫

f (z )dz c

=lim

δ 0

∑

f (?k )n

k ?1

z k

设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f (z )dz c ?.当C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f (z )dz c (C 圆周正方向为逆时针方向)

例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。 （1） 解：当C 为闭合曲线时，∫dz c =0. ∵f(z)=1 S n =∑f (?k )n

k ?1(z k -z k-1)=b-a

∴lim n 0

Sn =b-a,即1)∫dz c =b-a.

(2)当C 为闭曲线时，∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续，则积分∫zdz c 存在，设k =z k-1,则 ∑1= ∑Z n k ?1（k ?1）(z k -z k-1) 有可设k =z k ，则

∑2= ∑Z n k ?1（k ?1）(z k -z k-1)

因为S n 的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以

S n = (∑1+∑2)= ∑k ?1n z k (z k 2?z k ?12)=b 2-a

2

∴ ∫2zdz c

=b 2-a 2

定义衍生1：参数法：

f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy 带入∫f (z )dz c 得： ∫f (z )dz c = ∫udx c - vdy + i ∫vdx c + udy 再设z(t)=x(t)+iy(t) (α≤t ≤β)

∫f (z )dz c =∫f (z (t ))z (t )dt β

α

参数方程书写：z=z 0+(z 1-z 0)t （0≤t ≤1）；z=z 0+re i θ，(0≤θ≤2π)

例题1： ∫z 2

dz 3+i 0

积分路线是原点到3+i 的直线段

解：参数方程 z=（3+i ）t

∫z 2

dz 3+i 0

=∫[(3+i )t ]2

[(3+i )t ]′dt 1

=(3+i)3∫t 2

dt 1

=6+26

3

i

例题2： 沿曲线y=x 2计算∫（x 2+iy）dz 1+i

解： 参数方程 {x =t y =t

2 或z=t+it 2

(0≤t ≤1) ∫(x 2+iy )dz 1+i

0=∫（t 2+it 2

）(1+2it )dt 1

0 =(1+i)[∫(t 2dt )dt 1

0 + 2i ∫t 3

dt 1

] =-16+5

6

i

定义衍生2 重要积分结果： z=z 0+ re i θ ，(0≤θ≤2π) 由参数法可得：

∮dz

(z ?z 0)

n +1c =∫ire iθe i（n +1）θr

n +1

2π

d θ=

i r n ∫e ?inθ1+i

d θ

∮dz

(z ?z 0)n +1c

={

2πi n =0

0 n ≠0

例题1：

∮dz

|z |

=1

例题

2：

∮dz

z ?

2

|z |

=1

解： =0 解 =2πi 2.柯西积分定理法：

柯西-古萨特定理：若f(z)dz 在单连通区域B 内解析，则对B 内的任意一条封闭曲线有：

∮

f (z )dz c

=0

定理2：当f 为单连通B 内的解析函数是积分与路线无关，仅由积分路线的起点z 0与终点z 1来确定。

闭路复合定理：设函数f(z)在单连通区域D 内解析，C 与C 1是D 内两条正向简单闭曲线，C 1在C 的内部，且以复合闭路Γ=C+C 1所围成的多连通区域G 全含于D 则有：

∮

f (z )dz Γ

=

∮

f (z )dz c

+

∮f (z )dz c 1

=0

即

∮

f (z )dz c

=

∮

f (z )dz

c 1

推论：

∮

f (z )dz c

=

∑∮

f (z )dz

c k

n k =1

例题：

∮

2z ?1z 2

?z

dz c

C 为包含0和1的正向简单曲线。

解： 被积函数奇点z=0和z=1.在C 内互不相交，互不包含的正向曲线c 1和c 2。

∮

2z ?1z 2

?z

dz c

=

∮

2z ?1

z

(1?z )

dz c1

+

∮

2z ?1

z

(1?z )

dz

c2

=

∮

1z ?1

+

1

z

dz c1

+

∮

1z ?1

+

1

z

dz

c2

=

∮

1

z ?1

dz c1

+

∮

1

z

dz c1

+

∮

1

z ?1

dz c2

+

∮

1z

dz

c2

=0+2πi+2πi+0 =4πi

原函数法(牛顿-莱布尼茨公式)：

定理可知，解析函数在单连通域B 内沿简单曲线C 的积分只与起点z 0与终点z 1有关，即

∫f (?)c d ? = ∫f (?)z1

z 0

d ? 这里的z 1和z 0积分的上下限。当下限z 0固定，让上限z 1在B 内变动，则积分∫f (?)z1

z

d ?在B 内确定了一个单值函数F(z),即F(z)= ∫f (?)z1

z 0

d ? 所以有

若f(z)在单连通区域B 内解析，则函数F(z)必为B 内的解析函数，且F (z

) =f(z).根据定理和可得∫f (k )z 1

z

d k = F(z 1) - F(z 0). 例题：求∫zcosz 1

d k 解： 函数zcosz 在全平面内解析

∴∫zcosz 1

d k =zsinz |0i -∫sinz 1

0d k = isin i+cosz |0

i =isin i+cos i-1 =i e ?1?12i

+

e ?1+12i

-1=e -1-1

此方法计算复变函数的积分和计算微积分学中类似的方法，但是要注意复变适合此方法的条件。

柯西积分公式法：

设B 为以单连通区域，z 0位B 中一点，如f(z)在B 内解析，则函数f (z )

z ?z 0

在z 0不解析，所以

在B 内沿围绕z 0的闭曲线C 的积分∫f (z )z ?z 0

dz c

一般不为零。 取z 0位中心，以δ>0为半径

的正向圆周|z ?z 0|=δ位积分曲线c δ，由于f(z)的连续性，所以

∫f (z )z ?z 0

dz c

=∫

f (z )

z ?z 0

dz c δ=2πif(z 0)

定理：若f(z)在区域D 内解析，C 为D 内任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D ，z 0为C 内的任一点，有：

f(z 0)=

12πi

∮f (z )

z ?z

dz

例题：1）∮|z |=2）∮z (9?z 2)(z +i )

dz |z |=2

解：=2π isin z|z=0=0 解： =∮z

9?z 2

z ?(?i )

dz |z |=2

=2πi

z 9?z

2|z=-i

=π5

解析函数的高阶导数：

解析函数的导数仍是解析函数，它的n 阶导数为

f (n)(z 0)=

n !2πi

∮f (z )

(z ?z 0

)n +1dz(n=1,2…)

其中C 为f(z)的解析区域D 内围绕z 0的任一条正向简单闭曲线，而它的内部全含于D.

例题：∮

e z z

5

dz c

C:|Z |=1

解：由高阶导数的柯西积分公式：

原式=2πi ?1

4!(e z )(4)

|z=π2

=πi 12

3.解析函数与调和函数：

定义：（1）调和函数：如果二元实函数φ(x,y)在区域D 内具有二阶连续函数，且满足拉普拉斯方程：

?2φ?x 2

+

?2φ?y 2

=0，则称φ(x,y)为区域D 内的调和函数。若f(z)=u+iv 为解析函数，则u 和v 都是

调和函数，反之不一定正确

（2）共轭调和函数:u(x ，y)为区域内给定的调和函数，我们把是 u+iv 在D 内构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函数。若v 是u 的共轭调和函数，则-u 是v 的共轭调和函数

关系：任何在区域D 内解析的函数，它的实部和虚部都是D 内的调和函数；且虚部为实部的共轭调和函数。 求解方法：

（1）偏积分法：若已知实部u=u(x,y),利用C-R 方程先求得v 的偏导数?u ?x

=?v ?y

，两边对y

积分得v=∫

?u ?x

dy +g (x ).再由

?u ?y

=?

?v ?x

又得??x

∫

?v ?x

dy +g (x

)=- ?u

?y

从而g (x )=∫[??u ?y

?

??x

∫?u

?x dy ]dx + C

v=∫?u ?x

dy + ∫[?

?u ?y

?

??x

∫?u

?x dy ]dx + C 同理可由v(x,y)求u(x,y).

不定积分法：

因为f (z

)=U x +i V x = U x -iU y = V y +iV X 所以f(z)=∫U (z )dz +c f(z)=∫V (z )dz +c 线积分法：

若已知实部u=u(x,y),利用C-R方程可得的dv=?v

?x

dx+

?v

?y

dy=-

?u

?y

dx+∫?u

?x

dy故虚部为

v=∫??u

?y dx+

（x，y）

（x

0，y

0，

）

?u

?x

dy+C

该积分与路径无关，可自选路径，同理已知v(x,y)也可求u(x,y).

例题：设u=x2-y2+xy为调和函数，试求其共轭函数v(x,y)级解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

解：利用C-R条件

?u ?x =2x+y

?u

?y

=-2y+x

?2u

?x2

=2

?2u

?y2

=-2

所以满足拉普拉斯方程，有

?v ?x =??u

?y

=2y-x

?v

?y

=

?u

?x

=2x+y

所以v=∫(2y?x)dx+φ(y)=2xy- x 2

2

+φ(y)

?v

?y

=2x+φ(y)=2x+y

φ(y)=y φ(y)=y 2

2

+c

v(x,y)=2xy-x2

2

+y2

2

+c

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)=1

2

(2-i)z2+iC

4.留数求积分：

留数定义：设z

为函数f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在去心邻域、

0<|z ?z 0|<δ ,我们把f(z)在z 0处的洛朗展开式中负一次幂项系数c -1称为f(z)在z 0处的留数，记为Res[f(z),z 0]即Res[f(z),z 0]=c -1

或者Res[f(z),z 0]=

1

2πi ∮f (z )dz c

C 为0<|z ?z 0|<δ

留数定理：设函数f(z)在区域D 内除有限个孤立奇点z 1z 2…z n,

其中z k 表示函数f (z )的孤立奇点 孤立奇点：

定义：如果函数k (k )在z 0不解析，但在z 0某个去心邻域0<|z ?z 0|<δ内解析，则称z 0为f (z )的孤立奇点。 例如1

z 、e 1

z 都是以z=0为孤立奇点函数

1

(z +1)（z +2）

以z=-1、z=2为孤立奇

点..........

在孤立奇点z=z 0的去心邻域内，函数f (z )可展开为洛朗级数 k (k )=∑c n ∞

n =?∞（z ?z 0）

n

洛朗级数中负幂项是否存在，若存在是有限项还是无限项，这对f(z)在z 0处的奇异性将起着决定性的作用。讨论孤立奇点z 0的类型：

可去奇点：若函数f(z)在孤立奇点z 0的去心邻域内的洛朗展开式中不含负幂项，即对一切n<0有c n =0，则称z 0是f(z)的可去奇点

因为没有负幂项，即c -n =0,(n=1,2.....)故c -1=0。遇到函数f(z)的奇点类型是可去奇

点 ，一般对函数k (k )求积分一般为零

判断可去奇点方法：⑴函数k (k )在某个去心邻域0<|z ?z 0|<δ内解析，则z 0是f (z )的可去奇点的充要条件是存在极限lim z →z 0

f（z）=c 0，其中c 0是一复常数; ⑵在⑴的假设下，z 0

是f(z)可去奇点的充要条件是：存在r ≤δ，使得f(z)在0<|z ?z 0|

极点：若函数f(z)在孤立奇点z 0的去心邻域内洛朗级数展开式中只有有限个负幂项，即有正整数m ，c -m ≠0，而当n<-m 时c -n =0 则称z 0是f(z)的m 级极点。

其洛朗展开式是：f(z)=

c ?m （z ?z 0）

m

+

c ?m +1（z ?z 0）

m +1+…+

c ?1z ?z 0

+c 0+c 1(z-z 0)n+m +…+c 0(z-z 0)n +…

这里c -m ≠0，于是在 0<|z ?z 0|<δ有f(z)=[c ?m （z ?z 0）

m

+

c ?m +1（z ?z 0）

m +1+…+

c ?1z ?z 0

+c 0+c 1(z-z 0)n+m

+…

+c 0(z-z 0)n +…]=

1

(z ?z 0)m

φ(z ). *

φ(z )一个在0<|z ?z 0|<δ解析，同时φ(z )≠0，则z 0是f(z)的m 级极点。

判断定理：（1）f(z)在z 0的去心邻域0<|z ?z 0|<δ解析，z 0是f(z)的m 级极点的充要条件是可以表示成*的形式。（2）z 0是f(z)的m 级极点的充要条件是lim z →z 0

f (z )=∞.

本性奇点：若函数f(z)在孤立奇点z 0的去心邻域内洛朗级数展开式中只有无限个负幂项，则称z 0是f(z)的本性奇点

判断方法：孤立奇点是本性奇点的充要条件是不存在有限或无穷的极限lim z →z 0

f (z )。

函数在极点的留数：

准则一：若z 0为一级极点，则 Res[f(z),z 0]= lim z →z 0

f (z )(z ?z 0)

准则二：做z 0为m 级极点，则

Res[f(z),z 0]=

1

(m ?1)!lim

z →z 0d m ?1

dz

m ?1

{(z-z 0)m

f(z)} 准则三：设f(z)=

P (Z )Q (Z )

,P(z)以及Q(z)都在z 0解析，如果P(z 0)=0，

Q(z 0)≠0，则z 0是f(z)的一级极点，而且： Res[f(z),z 0]=P (Z 0)

Q (Z 0)

无穷远处的留数：

定义：扩充z 平面上设z=∞为f(z)上的孤立奇点，即f(z)在R<|z |<+∞内解析，C 为圆环绕原点z=0的任一条正向简单闭曲线，则积分值

12πi

∮f (z )c ?1

dz

称为f(z)在z=∞处的留数，记作

Res[f(z), ∞]=

12πi

∮f (z )c ?1

dz 如果f(z),在R<|z |<+∞内的洛朗展开式为

f(z),=∑c n z n

∞n =?∞ 则有Res[f(z), ∞]=-c -1

如果f(z)在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远处在内）设为z 1，z 2，…，z n ，∞

则f(z)在各奇点的留数总和为零,即

∑Res [f (z )dz ]n k =1+Res[f(z), ∞]=0; Res[f(z), ∞]=-Res[f(1

z )? 1

z 2,0]

例题：求下列Res[f(z), ∞]的值

（1）f(z)=

e z

z 2?1

(2)f(z)=

1

z (z +1)4(z ?4)

解：（1）在扩充复平面上有奇点：±1，∞ ，而±1为f(z)的一级极点且Res[f(z),1]=lim z →1

(z ?

1)f (z )=lim

z →1e z

z +1=1

2

e

Res[f(z),-1]= lim z →?1

(z ?1)f (z )=lim

z →1e z

z ?1

=-1

2

e ?1

∵Res[f(z), ∞] + Res[f(z),1] + Res[f(z),-1]=0得

∴Res[f(z), ∞]=-{ Res[f(z),1]+ Res[f(z),-1]}= 1

2(e ?1+e )=-sh1 (2) 由公式Res[f(z), ∞]=-Res[f(1

z

)? 1

z 2,0]，而1

z

2f(1z

)= 1

z (z +1)4(z ?4)

以z=0为可去奇点，所以

Res[f(z), ∞]= -Res[f(1z

)? 1

z 2,0]=0 用留数定理计算积分：

形如∫R (cosθ,sinθ)2π

d θ的定积分计算；其中R (cosθ,sinθ)为

cos θ与sinθ的有理函数。

故解这类题是就会联想到复变函数与三角变换的相关知识--欧拉公式，令z=e iθ,dz=izd θ=i e iθ d θ d θ=

dz iz

sin θ=1

2i (e

iθ

?e

?iθ

)=z 2?12iz

cos θ(e

iθ

+e

?iθ

)=

z 2+12iz

则∫R (cosθ,sinθ)2π

0d θ=∮R [z 2+12iz

,

z 2?12iz

]|z |

dz iz =∮f (z )dz |z |

其中f(z)= R [z 2+12iz ,

z 2?12iz

]1

iz

然后又留数定理求的积分值为2πi ∑Res [f (z ),z k ]n k =1 其中z k

（k=1,2, …n ）为f(z)在单位圆周内的所有孤立奇点。

形如∫R (x )dx +∞

?∞的积分计算。其中R(x)为x 的有理函数，且分母的次数至少比分子的高二次，R(x)在实轴上无孤立奇点。则

∫R (x )dx +∞

?∞=2πi ∑Res [R(z),z k ],z k 为上半平面的所有奇点

形如∫R (x )e iax

dx +∞

?∞

=2πi ∑Res [R (x )e iax ，z k ] 其中k 为上半平面的所有奇点 5.总结：以上只是粗略的列举了计算复变积分的方法，还有许多细节性的问题没有一一列举。复变积分的算法对比实函数积分的计算方法，有很多相似的地方，较实函数积分要复杂些。复变的积分变换多是理解性的问题，多做题目可以提高思维的多样性，但容易造成思维定势。理解才是主要解题之道！

复变函数积分方法总结

复变函数积分方法总结
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复变函数积分方法总结
数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新
形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，
也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数：
z=x+iy i2=-1 ，x,y 分别称为 z 的实部和虚部，记作
x=Re(z),y=Im(z)。 arg z=θ? θ?称为主值 -π＜θ?≤π ，
Arg=argz+2kπ 。利用直角坐标和极坐标的关系式 x=rcosθ ，
y=rsinθ,故 z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式 eiθ=cosθ+isinθ。
z=reiθ。
1.定义法求积分：
定义：设函数 w=f(z)定义在区域 D 内，C 为区域 D 内起点为 A 终点
为 B 的一条光滑的有向曲线，把曲线 C 任意分成 n 个弧段，设分点为
A=z0 ，z1，…，zk-1，zk，…，zn=B，在每个弧段 zk-1 zk(k=1,2…n)上任
取一点?k 并作和式 Sn=
(zk-zk-1)=
?zk 记?zk= zk-
zk-1，弧段 zk-1 zk 的长度 =
{?Sk}(k=1,2…,n),当
0 时，
不论对 c 的分发即?k 的取法如何，Sn 有唯一的极限，则称该极限值为
函数 f(z)沿曲线 C 的积分为：
=
?zk
设 C 负方向(即 B 到 A 的积分记作)
.当 C 为闭曲线时，f(z)
的积分记作
(C 圆周正方向为逆时针方向)
例题：计算积分
,其中 C 表示 a 到 b 的任一曲

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定积分的方法总结 定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法 例1、求 s i n b a x d x ? ， （b a <） 解:因为函数s i n x 在],[b a 上连续，所以函数sin x 在],[b a 上可积，采用特殊的 方法作积分和．取h = n a b -，将],[b a 等分成n 个小区间, 分点坐标依次为 ?=+<<+<+

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多重积分的方法总结 引言： 高等数学是一门严密的学科，在学习高数过程中，我认为应用最为广泛的是积分，高数中积分包含了曲面积分、曲线积分、二重积分和三重积分等，它们在许多学科中、生活中应用比较广泛，比如，要计算某个不规则物体的体积就可以运用积分来求解，很多方面均可以转化成微积分的面积，体积的思维来求，这就是它的优点，这种面积和体积是一种抽像的概念了，到了更多重积分又会有更多和意义。那么，下面我将以二重积分和三重积分的定义、计算方法、主要应用公式和二重积分与三重积分的关系为核心来介绍多重积分。（其中计算方法将通过例题来解释） 二重积分 定义： 设二元函数z=f(x,y)定义在有界闭区域D 上,将区域D 任意分成n 个子域Δδi(i=1,2,3,…,n)，并以Δδi 表示第i 个子域的面积.在Δδi 上任取一点(ξi,ηi),作和lim n →+∞ (n/i=1 Σ(ξi,ηi)Δδi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y)在区域D 上的二重积分,记为∫∫f(x,y)d δ,即 ∫∫f(x,y)d δ=lim n →+∞ （Σf(ξi,ηi)Δδi ） 这时,称f(x,y)在D 上可积,其中f(x,y)称被积函数,f(x,y)d δ称为被积表达式,d δ称为面积元素, D 称为积分域,∫∫称为二重积分号. 同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。 二重积分的计算方法 1直角坐标系中累次积分法 对于直角坐标系下的二重积分主要是对于区域的划分，可以分为如下两类区域来计算。平面点集D={}(,)|1()2(),x y y x y y x a x b ≤≤≤≤为x 型区域；平面点集D= {}(,)|1()2(),x y x y x x y c y d ≤≤≤≤为y 型区域。 x 型区域:若(,)f x y 在x 型区域D 上连续，其中[]1(),2(),y x y x a b 在上连续，则 ??D d y x f σ),(=2()(,)1()b y x dx f x y dy a y x ?? 试计算：I= 2 2y D x e d σ-??的值。 解：画出区域图1只能用先对x 后先对积y 分，则 I=21200y y dy x e dx -??=21 30 13y y e dy -? 由分部积分法，即可算得：

七大积分总结

七大积分总结 一． 定积分 1. 定积分的定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在区间[a,b]中任意插入n －1个分点： a=x 0

? ??==b a b a b a du u f dt t f dx x f )()()(。 （2） 定义中区间的分法与ξi 的取法是任意的。 （3） 定义中涉及的极限过程中要求λ→0，表示对区间[a,b]无限细分的过程，随λ →0必有n →∞，反之n →∞并不能保证λ→0，定积分的实质是求某种特殊合式的极限： 例：∑?=∞→=n i n n i f dx x f 1 1 0n 1 )()(lim （此特殊合式在计算中可以作为公式使用） 2. 定积分的存在定理 定理一 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。 定理二 若函数f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间上可积。 3. 定积分的几何意义 对于定义在区间[a,b]上连续函数f(x)，当f(x)≥0时，定积分 ? b a dx x f )(在几何上表示由曲线y=f(x),x=a,x=b 及x 轴所围成的曲边梯形的面积；当f(x) 小于0时，围成的曲边梯形位于x 轴下方，定积分?b a dx x f )(在几何意义上表示曲边梯形面积的负值。若f(x)在区间上既取得正值又取得负值时，定积分的几何意义是：它是介于x 轴，曲线y=f(x),x=a,x=b 之间的各部分曲边梯形的代数和。 4．定积分的性质 线性性质（性质一、性质二）

定积分总结

定积分讲义总结 内容一 定积分概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?= ），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=?=∑∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx = ? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 说明：（1）定积分 ()b a f x dx ? 是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()b a f x dx ?，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和： 1()n i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑? 例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力()F x kx =（k 为常数，x 是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b 所作的功． 分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解． 解： 将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ，则所作的功为W F x =?． 1．分割 在区间[]0,b 上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间： 0,b n ??????，2,b b n n ?? ????，…，()1,n b b n -?????? 记第i 个区间为()1,(1,2,,)i b i b i n n n -???=? ? ??L ，其长度为()1i b i b b x n n n -??=-= 把在分段0, b n ? ???? ?，2,b b n n ?? ????，…，()1,n b b n -?????? 上所作的功分别记作：1W ?，2W ?，…，n W ? （2）近似代替 有条件知：()()11i i b i b b W F x k n n n --???=??=?? ? ?? (1,2,,)i n =L （3）求和 ()1 1 1n n n i i i i b b W W k n n ==-=?=??∑∑ =()()22222 110121122n n kb kb kb n n n n -?? ++++-==-?? ?? ??? L

高等数学重积分总结

第九章二重积分 【本章逻辑框架】 【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 9.1 二重积分的概念与性质 【学习方法导引】 1．二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。

在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ???的分法要任意，二是在每个小区域i σ?上的点(,)i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。 (1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d D f x y σ??表示以区域D 为底，以 (,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d D f x y σ ??表示平面区域D 的面积。 (2) 若在D 上(,)f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(,)d D f x y σ??的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d D f x y σ??表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和 (即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积). 3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数 (,)f x y 在闭区域D 上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小 值，再应用估值不等式得到取值范围。

复变函数积分方法总结

复变函数积分方法总结 经营教育 乐享 [选取日期] 复变函数积分方法总结 数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数： z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。arg z=θ? θ?称为主值-π＜θ?≤π，Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ。z=re iθ。 1.定义法求积分： 定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有

向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为A=z 0 ，z 1，…，z k-1，z k ，…，z n =B ，在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)上任取一点?k 并作和式S n =∑f (?k )n k ?1(z k -z k-1)= ∑f (?k )n k ?1?z k 记?z k = z k - z k-1，弧段z k-1 z k 的长度 δ=max 1≤k ≤n {?S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c 的分发即?k 的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为： ∫ f (z )dz c =lim δ 0 ∑ f (?k )n k ?1 ?z k 设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f (z )dz c ?.当C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f (z )dz c (C 圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。 （1） 解：当C 为闭合曲线时，∫dz c =0. ∵f(z)=1 S n =∑f (?k )n k ?1(z k -z k-1)=b-a ∴lim n 0 Sn =b-a,即1)∫dz c =b-a. (2)当C 为闭曲线时，∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续，则积分∫zdz c 存在，设?k =z k-1,则 ∑1= ∑Z n k ?1（k ?1）(z k -z k-1) 有可设?k =z k ，则 ∑2= ∑Z n k ?1（k ?1）(z k -z k-1) 因为S n 的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以

多重积分的方式总结

多重积分的方法总结 专业：水文与水资源工程 姓名：赵兆 学号：201103325 任课教师：王银霞

多重积分的方法总结 二重积分和三重积分的概念都有实际的几何或物理的背景，定义分为四个步骤用构造的方法给出，最终表现为“黎曼和”的极限．故多重积分具有极限的基本性质，如唯一性，线性性质等．定义给出了概念的一个准确描述方法，进而从定义出发可以从纯逻辑上考察概念具有的性质以及计算方法．和定积分的概念对应，多重积分和定积分的定义及性质一致，其定义和性质都不难理解．把握这里的概念，需要大家从这几个角度来理解：1. 几何和物理背景；2. 定义形式；3.概念的性质；4.计算方法；5.应用． 计算根据被积区域和被积函数的形式要选择适当的方法处理，这里主要是看被积区域的形式来选择合适的坐标形式，并给区域一个相应的表达，从而可以转化多重积分为多次的积分形式．具体的一些作法在下面给出． 一．二重积分的计算 重积分的计算主要是化为多次的积分．这里首先要看被积区域的形式, 选择合适的坐标系来进行处理．二重积分主要给出了直角坐标系和极坐标系的计算方法．我们都可以从以下几个方面把握相应的具体处理过程：1.被积区域在几何直观上的表现（直观描述，易于把握）；2.被积分区域的集合表示（用于下一步确定多次积分的积分次序和相应的积分限）；3.化重积分为多次积分． 1. 在直角坐标下：(a) X-型区域 几何直观表现：用平行于y 轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两 个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数和； 1()y y x =2()y y x =被积区域的集合表示：； 12{(,),()()}D x y a x b y x y y x =≤≤≤≤二重积分化为二次积分： ． 21() ()(,)(,)b y x a y x D f x y dxdy dx f x y dy =?? ?? (b) Y-型区域 几何直观表现：用平行于x 轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两 个．从而可以由左右交点位于的曲线确定两个函数和； 1()x x x =2()x x x =被积区域的集合表示：； 12{(,),()()}D x y c y d x x x x x =≤≤≤≤二重积分化为二次积分： ． 21() () (,)(,)d x y c x y D f x y dxdy dx f x y dx =??? ? 2. 在极坐标下： 题，而且可保障各类管路习题负荷下高中资料试卷调控试验；对设料试卷总体配置时，需要在最大限度

定积分计算的总结论文

定积分计算的总结论文公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

定积分计算的总结 闫佳丽 摘 要：本文主要考虑定积分的计算,对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结.在定积分的计算中,常用的计算方法有四种：（1）定义法、（2）牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法. 关键词：定义、牛顿—莱布尼茨公式、分部积分、换元. 1前言 17世纪后期，出现了一个崭新的数学分支—数学分析.它在数学领域中占据着主导地位.这种新数学思想的特点是非常成功地运用了无限过程的运算即极限运算.而其中的微分和积分这两个过程，则构成系统微积分的核心.并奠定了全部分析学的基础.而定积分是微积分学中的一个重要组成部分. 2正文 那么，究竟什么是定积分呢我们给定积分下一个定义：设函数()f x 在[],a b 有定义，任给[],a b 一个分法T 和一组{}k ξξ=，有积分和 1 (,)()n k k k T f x σξξ==?∑，若当()0l T →时，积分和(,)T σξ存在有限极限， 设()0()0 1 lim (,)lim ()n k k l T l T k T f x I σξξ→→==?=∑，且数I 与分法T 无关，也与k ξ在[]1,k k x x -的取法无关，即{}0,0,:(),k T l T εδδξξ?>?>?

复变函数与积分变换重要知识点归纳

复变函数复习重点 （一）复数的概念 1.复数的概念：z = x ? iy , x, y 是实数，x = Rez,y = lmz.r-_i. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小 2.复数的表示 1）模：z =y/x2+y2； 2）幅角：在z = 0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg z （多值函数）；主值arg z是位于（-二，二］中的幅角。 3）arg z与arctan y之间的关系如下： x y 当x 0, argz=arctan工； x [ y y - 0,arg z = arctan 二当x ： 0, x y y :: 0,arg z = arctan 「愿 L x 4）三角表示：z = z COST i sinv ，其中二-arg z ；注：中间一定是“ +"号 5）指数表示：z = z e旧，其中日=arg z。 （二）复数的运算 仁加减法：若z1= x1iy1, z2= x2 iy2，贝寸乙 _ z2 = % _ x2i 比 _ y2 2.乘除法: 1 ）若z^x1 iy1 ,z2=x2iy2，则 ZZ2 二XX2 —y』2 i X2% X』2 ； 乙x iy1 % iy1 X2 —iy2 xg yy ?- 丫2为 -- = --------- = ----------------------- = -------------- T i -------------- Z2 x? iy2 X2 iy2 x? - iy? x；y；x；y f 2）若乙=乙e°,z2= z2e°, _则 3.乘幂与方根e i "'2 ； 土評匀） Z2 Z2

1）若z =|z （cos日+isin 日）=|z e旧，则z"=上"（cosnT +i sin 用）=上"d吩。 2）若z =|z （cos日+isin 日）=|ze吩，贝U 阪=z n.'cos日+2" +i si肆+2" ）（k =0,1,2[|I n—1）（有n个相异的值）l n n丿 （三）复变函数 1?复变函数：w = f z，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射. 2?复初等函数 1）指数函数：e z=e x cosy - isin y ,在z平面处处可导，处处解析；且e z= e z。 注：e z是以2二i为周期的周期函数。（注意与实函数不同） 3）对数函数：Lnz=lnz i（argz 2^：）（k=0, _1,_2[|[）（多值函数）； 主值：In z = ln z +iargz。（单值函数） * 1 Lnz的每一个主值分支In z在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且Inz z 注：负复数也有对数存在。（与实函数不同） 3）乘幂与幂函数：a b= e bLna（a = 0）；z b= e bLnz（z = 0） 注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且z b二bz b‘。 iz -iz iz -iz e -e e e sin z cosz 4）三角函数：sin z ,cos z ,t gz , ctgz = 2i 2 cosz si nz sin z,cos z 在z 平面内解析，且sin z 二cosz, cosz =—si nz 注：有界性sin z兰1, cosz兰1不再成立；（与实函数不同） z -z z - z e -e e +e 4）双曲函数shz ,chz二 2 2 shz奇函数，chz是偶函数。shz, chz在z平面内解析，且shz 二chz, chz = shz。 （四）解析函数的概念 1 ?复变函数的导数

复变函数的积分及其计算方法

复变函数的积分及其计算方法 石睿 (北京林业大学工学院自动化10-1班,学号:101044118) 摘要：复变函数的积分是研究解析函数的一个重要工具,解析函数的很多重要性质都是通过复积分证明的。本文主要介绍柯西定理和柯西积分公式。 关键词：柯西定理；柯西积分公式 引言：首先介绍复积分的概念、性质和计算法，然后介绍解析函数积分的柯西积分定理及其推广——复合闭路定理. 在此基础上，建立柯西积分公式，然后利用这一重要公式证明解析函数的导数仍然是解析函数这一重要结论. 复积分的概念： 设C 是平面上一条光滑的简单曲线，其起点为A ，终点为B 。函数f(z)在C 上有定义。把曲线C 任意分成n 个小弧段。设分点为A=z 0,z 1,…,z n-1,z n =B,其中z k =x k +iyl k (k=0,1,2,…,n)，在每个弧段 zk-1zk 上任取一点ζ k =ξ k +i η k ，做合式k n k k n k k k k n Δz )f(ζ)z (z )f(ζ S ∑∑==-?=-?= 1 1 1，其中 k k k k k y i x z z z ?+?=-=?-1 。 记 当λ→0时，如果和式的极限存在，且此极限值不依赖与ζk 的选择，也不依赖对 C 的分法，那么就称此极限值为f(z)沿曲线C 自A 到B 的复积分，记作 复积分的计算方法： 复积分可以通过两个二元实变函数的线积分来计算 设 ???==,)(,)(:t y y t x x C .βα≤≤t 则???'+'+'-'=β α β α t t y t y t x u t x t y t x v i t t y t y t x v t x t y t x u z z f C d )}()](),([)()](),([{d )}()](),([)()](),([{d )( ?'+'+= β αt t y i t x t y t x iv t y t x u d )}()()]}{(),([)](),([{ |,|max 1k n k z ?=≤≤λ.)(lim d )(1 0k n k k C z f z z f ??=∑ ? =→ζλ

定积分应用方法总结(经典题型归纳).docx

精品文档 定积分复习重点 定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使 用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物 理问题等． 1. 定积分的运算性质 (1) b b kf (x)dx k f (x)dx(k 为常数 ). a a (2) b b f 1 ( x)dx b 2 ( x)dx. [ f 1 ( x) f 2 ( x)]dx f a a a b c b 其中 a

复变函数与积分变换公式

复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.2 1i =-. 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ- 中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+??

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高等数学之不定积分的计算方法总结不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法,是考研中重点考察的内容，也是考研中的难点。不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础，所以拿握不定积分的计算方法很重要。不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查,考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题,尤其是综合性的习题,才能真正掌握知识点,并应用于考研。 不定积分的计算方法主要有以下三种： (1)第一换元积分法,即不定积分的凑微分求积分法; (2)第二换元积分法 (3)分部积分法常见的几种典型类型的换元法:

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分析: 1-3 ? - IK ）-忑.旦r x 二）祝成）；网＞＜可久切 二2氐化如（長）寸 a 花不直押、朱 J 、 解： 2少弋協“尤十C__

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当积分j/O心(X)不好计算容易计算时［使用分部私jf(A-)Jg(.v)二f(x)g(x)- J g(x)df(x).常见能使用分部积分法的类型： ⑴卩"“dx J x n srn xdx J尢"cos皿等，方法是把。',sin-t, cosx 稽是降低X的次数 是化夫In 尢9 arcsine arctanx. 例11: J (1 + 6-r )arctanAz/.r ：解：arctan f xdx等，方法是把疋； Jx" arcsm11xdx

大学微积分1方法总结

第一章 函数、极限、连续 注 “★”表示方法常用重要. 一、求函数极限的方法 ★1.极限的四则运算；★2.等价量替换；★3.变量代换；★4.洛比达法则；★5.重要极限；★6.初等函数的连续性；7.导数的定义；8. 利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式；9.夹逼定理；10利用带有拉格朗日余项的泰勒公式；11.拉格朗日定理；★12. 无穷小量乘以有界量仍是无穷小量等. ★二、已知函数极限且函数表达式中含有字母常数，确定字母常数数值的方法 运用无穷小量阶的比较、洛必达法则或带有佩亚诺余项的麦克劳林公式去分析问题，解决问题。 三、无穷小量阶的比较的方法 利用等价无穷小量替换或利用洛必达法则，无穷小量的等价代换或利用带有皮亚诺余项的佩亚诺余项公式展开 四、函数的连续与间断点的讨论的方法 如果是)(x f 初等函数，若)(x f 在0x x =处没有定义，但在0x 一侧或两侧有定义，则0x x =是间断点，再根据在0x x =处左右极限来确定是第几类间断点。如果)(x f 是分段函数，分界点是间断点的怀疑点和所给范围表达式没有定义的点是间断点。

五、求数列极限的方法 ★1.极限的四则运算；★2. 夹逼定理；★3. 单调有界定理； 4. )()(lim )()(lim ∞=?∞=∞ →+∞→A n f A x f n x ；5. 数列的重要极限；6.用定积分的定义求数列极限；7. 利用若∑∞ =1n n a 收敛，则0lim =∞→n n a ；8. 无穷小量乘以有界量 仍是无穷小量；9.等价量替换等. 【评注】1. 数列的项有多项相加或相乘式或∞→n 时，有无穷项相加或相乘，且不能化简，不能利用极限的四则运算， 2.如果数列的项用递推关系式给出的数列的收敛性或证明数列极限存在，并求极限.用单调有界定理 3.对数列极限的未定式不能用洛比达法则。因为数列作为函数不连续，更不可导，故对数列极限不能用洛比达法则. 4.由数列{}n a 中的通项是n 的表达式，即).(n f a n =而)(lim )(lim x f n f x n ∞ →∞→与是特殊与一般的关系，由归结原则知 ★5. 有lim 1011()()n n i i f f x dx n n →∞ ==?∑或1lim 1001()()n n i i f f x dx n n -→∞==?∑ 第二章 一元函数微分学 ★一、求一点导数或给处在一点可导推导某个结论的方法： 利用导数定义，经常用第三种形式 二、研究导函数的连续性的方法：

重积分的计算方法

重积分的计算方法 重积分包括二重积分和三重积分，它是定积分的推广；被积函数由一元函数f（x）推广为二元函数f（x,y），三元函数（fx,y,z）;积分范围由数轴上的区域推广为平面域（二重积分）和空间域（三重积分）。我个人在学习与复习多重积分这一块时，感到多重积分的计算比较繁琐，而在日常生活中多重积分有着很多的应用。通过在图书馆查阅资料、以及老师的指点，重积分的计算方法还是有规律可循的。为了更好的应用重积分，本人结合前人的经验，在这里介绍几种常用的重积分计算方法，以及一些小技巧。着重介绍累次积分的计算与变量代换。一．二重积分的计算 1．常用方法 （1）化累次积分计算法 对于常用方法我们先看两个例子

对于重积分的计算主要采用累次积分法，即把一个二重积分表达为一个二次积分，通过两次定积分的计算求得二重积分值，分析上面的例子累次积分法其主要步骤如下： 第一步：画出积分区域D的草图； 第二步：按区域D和被积函数的情况选择适当的积分次序，并确定积分的上、下限； 第三步：计算累次积分。 需要强调一点的是，累次积分要选择适当的积分次序。积分次序的不同将影响计算的繁简，有些题这两种次序的难易程度可以相差很大，甚至对一种次序可以“积出来”，而对另一种次序却“积不出来”。所以，适当选择积分次序是个很重要的工作。 选择积分次序的原则是：尽可能将区域少分块，以简化计算过程；第一次积分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次积分的结果作第二次积分。 （2）变量替换法 着重看下面的例子：

在计算定积分时，求积的困难在于被积函数的原函数不易求得。从而适当地在计算重积分时，求积的困难来自两个方面，除了被积函数的原因以外还在而且，有时候其积分区域往往成为困难的主要方面。 利用换元法的好处是可以把被积函数的形状进行转化，以便于用基本求积公式。 于积分区域的多样性。为此，针对不同的区域要讨论重积分的各种不同算法。 （3）极坐标变换公式（主要是∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(pcosθ,psinθ)pdpdθ）

复变函数积分方法总结

复变函数积分方法总结 [键入文档副标题] acer [选取日期]

复变函数积分方法总结 数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数： z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作 x=Re(z),y=Im(z)。 arg z=θ?θ?称为主值 -π＜θ?≤π， Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ。z=re iθ。1.定义法求积分： 定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0，z1，…，z k-1，z k，…，z n=B，在每个弧段z k-1 z k(k=1,2…n)上任取一点ξk并作和式S n=ξ(z k-z k-1)=ξ?z k记?z k= z k- z k-1， 弧段z k-1 z k的长度=,n),当0时，不论对c的分发即ξk的取法如何，S n有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z) 沿曲线C的积分为： =ξ?z k 设C负方向(即B到A的积分记作).当C为闭曲线时，f(z)的积分记作 (C圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分 ,其中C表示a到b的任一曲线。（1）解：当C为闭合曲线时，=0.

∵f(z)=1 S n=ξ(z k-z k-1)=b-a ∴ =b-a,即 =b-a. (2)当C为闭曲线时，=0. f(z)=2z;沿C连续，则积分存在，设ξk=z k-1,则 ∑1= （ ）(z k-z k-1) 有可设ξk=z k，则 ∑2= （ ）(z k-z k-1) 因为S n的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以 S n= (∑1+∑2)==b2-a2 ∴=b2-a2 1.2 定义衍生1：参数法： f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入得： = - vdy + i + udy 再设z(t)=x(t)+iy(t) (≤t≤) = 参数方程书写：z=z0+(z1-z0)t（0≤t≤1）；z=z0+re iθ，(0≤θ≤2π) 例题1：积分路线是原点到3+i的直线段 解：参数方程 z=（3+i）t =′ =(3+i)3 =6+i 例题2：沿曲线y=x2计算（ ）