当前位置：文档库 › 相似三角形模型讲一线三等角问题讲义解答

相似三角形模型讲一线三等角问题讲义解答

、相似三角形判定的基本模型认识

（一） A 字型、反A 字型（斜A 字型）

（二） 8字型、反8字型

（平行）（三）母子型

（四）一线三等角型:

三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景

（平行）

（不平行）

（蝴蝶型）

（不平行）

A B

（五）一线三直角型:

（六）双垂

型:

相似三角形判定的变化模型

实用文案

A, ' ' /

B c C

■一线三直角的

1 .如图，梯形ABCD中，AD //BC,对角线AC、BD交于点0 , BE//CD交CA延长线于E.求证：OC2=OA

2 .如图，在△ ABC 中，AB=AC=10 ，BC=16，点D 是边BC 上（不与B，C 重合）一动点，/ ADE= ZB= a, DE交AC于点E.下列结论：

① AD 2=AE ?AB :② 3.6 W AE V 10 ;③当AD=2 Ji」.时，△ABD ^/DCE ;

④ADCE为直角三角形时，BD为8或12.5 .

其中正确的结论是________________ .（把你认为正确结论的序号都填上）

3 .已知：如图，△ ABC中，点E在中线AD上，/DEB= /ABC . 求证：(1 ) DB2=DE ?DA ;

(2)/ DCE= ZDAC .

4 .已知：如图，等腰△ ABC中，AB=AC , AD丄BC于D , CG//AB , BG分别交AD、AC于E、F.求证:

5 .如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线.求证：FD2=FB 7FC.

6 .已知：如图，在 Rt △ABC 中，/ C=90 °,BC=2 , AC=4 , P 是斜边AB 上的一个动点， PD 丄AB ,交边 AC 于点D (点D

与点A 、C 都不重合)，E 是射线DC 上一点，且/ EPD= Z A .设A 、P 两点的距离为 x , △

BEP 的面积为y .

(1 )求证：AE=2PE ; (2 )求y 关于x 的函数解析式,

,BD 、CE 分别是 AC 与AB 边上的高，求证： BC=2DE .

8 .如图，已知△ ABC 是等边三角形，点 D 、B 、C 、E 在同一条直线上，且/ DAE=120

并写出它的定义域; 求厶BEP 的面积.

7 .如图，在△ ABC 中，/ A=60

(1 )图中有哪几对三角形相似？请证明其中的一对三角形相似；

9 .（已知：如图，在Rt△ABC 中，AB=AC，/DAE=45 ° .求证:

10 .如图，在等边厶ABC中，边长为6, D是BC边上的动点，/ EDF=60

（1 ）求证：△ BDEs/CFD ;

求BE的长.

11 . （1 ）在A ABC中，AB=AC=5 , BC=8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持/ APQ= Z ABC .

①若点P在线段CB上（如图），且BP=6，求线段CQ的长；

②若BP=x , CQ=y ,求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；

（2）正方形ABCD的边长为5 （如图），点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持

/APQ=90度.当CQ=1时，写出线段BP的长（不需要计算过程，请直接写出结果）

13 .已知梯形ABCD 中，AD //BC,且AD V BC, AD=5 , AB=DC=2 .

(1 )如图，P为AD上的一点，满足/ BPC= Z A，求AP的长；

(2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合)，且满足/ BPE= ZA , PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点

Q .

①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x , CQ=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

②当CE=1时，写出AP的长.(不必写解答过程)

14 .如图，在梯形ABCD中，AD //BC, AB=CD=BC=6 , AD=3 .点M 为边BC的中点，以M 为顶点作Z EMF= ZB，射线ME交腰AB于点E,射线MF交腰CD于点F，连接EF.

(1 )求证：△ MEF s/BEM ;

(2 )若厶BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；

(3 )若EF丄CD , 求BE的长.

15 .已知在梯形 ABCD 中，AD //BC , AD V BC ,且 BC=6 , AB=DC=4 ，点 E 是 AB 的中点.

(1 )如图，P 为BC 上的一点，且 BP=2 .求证：△ BEPs/CPD ;

(2)如果点P 在BC 边上移动(点P 与点B 、C 不重合)，且满足/ EPF= ZC , PF 交直线CD 于点F ，同时交直线AD 于点

M ，那么

①当点F 在线段CD 的延长线上时，设 BP=x , DF=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；

16 .如图所示，已知边长为 3的等边△ ABC ，点F 在边BC 上，CF=1，点E 是射线BA 上一动点，以线段 EF 为边向右侧作

等边△ EFG ，直线EG , FG 交直线AC 于点M , N ,

(1 )写出图中与△ BEF 相似的三角形; (2) 证明其中一对三角形相似；

(3) 设BE=x , MN=y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量

17 .如图所示，已知矩形 ABCD 中，CD=2 , AD=3，点P 是AD 上的一个动点(与 A 、D 不重合)，过点P

作PE 丄CP 交直线AB 于点E ,设PD=x , AE=y ,

(1) 写出y 与x 的函数解析式，并指出自变量的取值范围； (2) 如果△ PCD 的面积是厶AEP 面积的4倍，求CE 的长；

(3) 是否存在点卩，使厶APE 沿PE 翻折后，点A 落在BC 上？证明你的结论.

x 的取值范围;

的面积.

18 .如图，在 Rt △KBC 中，/ C=90 °,AB=5，-丁讦二上，点D 是BC 的中点，点 E 是AB 边上的动点,

丄DE 交射线AC 于点F . (1 )求AC 和BC 的长； (2)当EF//BC 时，求BE 的长；

19 .如图，在 Rt △KBC 中，/ C=90 °,AC=BC , D 是AB 边上一点，E 是在AC 边上的一个动点(与点 C 不重合)，DF 丄DE , DF 与射线BC 相交于点F .

(1 )如图2，如果点D 是边AB 的中点，求证：DE=DF ; (2) 如果 AD : DB=m ，求 DE : DF 的值；

(3) 如果 AC=BC=6 , AD : DB=1 : 2，设 AE=x , BF=y , ① 求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；

② 以CE 为直径的圆与直线 AB 是否可相切？若可能，求出此时

x 的值；若不可能，请说明理由.

(3)连接EF ,当厶DEF 和△ABC 相似时，求 BE 的长.

20 .如图，在△ ABC中，/ C=90 °,AC=6 , X^b-~，D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点，作/

DEF=90 °,EF交射线BC于点F.设BE=x , ABED的面积为y

(1 )求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)如果以线段BC为直径的圆与以线段AE为直径的圆相切，求线段BE的长；

(3)如果以B、E、F为顶点的三角形与△ BED相似，求△ BED的面积.

21 .如图，在梯形ABCD 中，AB //CD, AB=2 , AD=4 , tanC=「，/ADC= ZDAB=90 °,P 是腰BC 上一个动点(不含点B、C),作PQ丄AP交CD于点Q.(图1)

(1 )求BC的长与梯形ABCD的面积；

(2 )当PQ=DQ 时，求BP的长；(图2)

???ZCDE=90 °■//B= a且,?? Z AD=90

AB=10 ,/-cosB=

AB 4

LJ." '■,

—.故④正确

??AE=AC - CE=10 - x ,「36

③作AG丄BC于G,

??AB=AC=10 , Z ADE= Z B= a, COS a=—,

??BC=16 ,「.AG=6 ,

??AD=2 | J... H,ADG=2 ,「.CD=8 ,：AB=CD , ?△ABD 与△DCE 全等；故③正确;

④当Z AED=90。时，由①可知：△ ADE S念CD , /.Z\DC= ZAED ,

vZ\ED=90 ° , ?? ADC=90 ° ,

即AD 丄BC ,V AB=AC ,「.BD=CD ,「.ZADE= ZB= a 且cos a=- , AB=10 , BD=8 .

当Z CDE=90。时，易△:DE S Z BAD ,

1.解

答：

2?解

答：

证明:

??? AD 〃BC，??恃蚩，又BE〃CD，OD=OC ?丿亠，即OC2=OA?OE?

解：①??? AB=AC ,「./B= ZC,

又???Z ADE= /B「.Z ADE= ZC,A^\DE S念CD , ??土=—, --AD2=AE ?AB , AE

②易证得厶CDE S/BAD ,???BC=16 ,

设BD=y , CE=x，?書= （BD.「io

'cr"15-y

故①正确，

即（y - 8）2=64 - 10x ,.?.O v x<6.4 ,

整理得：y2- 16y+64=64 - 10x ,故答案为：①②④.

3.解证明：(1 )在厶BDE 和ADAB中

答：VZ DEB= /ABC , Z BDE= Z ADB , .Z BDE s念DB ,

.?口——, .BD2=AD ?DE .

BD AD

(2)V AD 是中线，? CD=BD , .CD2=AD ?DE , ??二’」，

[DE CD 又Z ADC= ZCDE ,.Z DECs/DCA，?/DCE= ZDAC .

4.解答：证明：连接CE,如右图所示，

??AB=AC , AD 丄BC,.AD 是Z BAC 的角平分线，? BE=CE ,

???/EBC= ZECB,

又v/ABC= ZACB ,A Z ABC -/EBC= ZACB -/ECB,

即Z ABE= ZACE,

又T CG //AB ,.?.ZABE= ZCGF , A/CGF= ZFCE,

又Z FEC= /CEG,.?.ZCEF s/3EC,.?.CE: EF=EG : CE, 即CE2=EF?EG,又CE=BE ,「.BE2=EF?EG.

Z CAD ,

又EF 为AD 的垂直平分线，? AF=FD , Z DAF= Z ADF ,「./DAC+ ZCAF= /B+ /BAD ,

6?解答:

即一=—_,「.AF2=CF?BF,即卩FD2=CF?BF.

AF Dr

vzEPD= Z A , Z PED= ZAEP, ?△EPD^Z EAP . ?

得D艮PD_1

得PE=AF=2

PE PD1

AE AP=2

???PE=2DE ,「.AE=2PE=4DE , 作

EH丄AB，垂足为点H , ??AP=x ,

「.PD= ^x,T PD //HE,.

HE AE Q .HE2FErAD=3

护.

???zCAF= ZB,

解：(1 )v/APD= /C=90 °，/A= Z A , “DP re

(2)由厶EPDs/EAP ,

?AE=2PE .

实用文案

证明：?/ BD 、CE 分别是 AC 与AB 边上的高，?/ BEC= /BDC ,

???B 、C 、D 、E 四点共圆，?/ AED= /ACB ，而/ A= /A ,?//DAE=120 °,「.DAB+ /EAC=60

?//D= /D ，/E= /E ,「.ZDAE s/DBA s/ACE .

(2 )/Z DBA S /ACE ,.?.DB : AC=AB : CE . ??AB=AC=BC , DB=2 , CE=6 /-BC 2=DB ?CE=12 ,

又?/AB=2

尽y=

-(2血—x )

牡x ，即y=— 】x 2+刘兀.

|3 3 | 3

L-= 1丄卜-

???PE=2DE . A AE=2PE=4DE .

?AE= 垒座x=^

3 2

: r x ， 5专誓x X2呼x ，

? ^ABEP

嘀，即 y

2V5 -工

'△AKE

(3)由/PEHs/BAC ，得

PE_ AB

HE AC ?

?PE ^x --=

x .

当ABEP 与/ABC 相似时，只有两种情形：/ BEP= /C=90 ° 或￡BP= /C=90

(i ) ?

??y=

(ii )

当/ BEP=90 °

1 9|

—二X X —X 5+

3 2L& 时,」=丄，?

「=

-'■ -

2佗斫=些 3 4 =1 &

7?解

答:

/?ZAED S /ACB , ??— -1

BLAS'

'//ABC 是等边三角形ABC= Z ACB=

,AD= rB,「?BC=2DE .

ZBAC=60 ° .? /+ ZDAB=60 °,/+ ZCAE=60

.???D= /CAE ,/E= /DAB .

定义域是O v x v

丄

另解：由厶EPDs/EAP ，得

.定义域是0 v xv

..y=

.解得x=「.

时，同理可得x=

8?解

?/BD 丄 AC ，且/A=60 °,「.ABD=30

实用文案

?/BC > 0,「.BC=2

9?解证明：(1 )在Rt △KBC 中，

答：

VAB=AC , .-.ZB= /C=45 ° .

vzBAE= /BAD+ /DAE ，/DAE=45 °,「. B AE= /BAD+45 °.

而/ADC= ZBAD+ ZB= ZBAD+45 ° ,

???/BAE= ZCDA . ???△^BEs/DCA .

(2 )由厶ABEs/DCA ，得

.-BE?CD=AB ?AC .

AB CD

而 AB=AC , BC 2=AB 2+AC 2

,A BC

=2AB 2 . .-.BC 2=2BE ?CD .

10?解 (1)证明：?「△ABC 为等边三角形，?/ B= /C=60 ° ,

答：

vzEDF=60 °，?/ED+ ZEDB= ZEDB+ /FDC=120 ° , ???/BED= ZFDC , ?△B DEs/CFD ;

(2)解：由(1 )知厶BDE S /CFD , ?

VBC=6 , BD=1 , .CD=BC - BD=5 ,

11.解解：(1 ［①T/APQ+ /CPQ= ZB+ /BAP , /APQ= /ABC ,./BAP= /CQP .

???ZCPQ s^AP

VAB=AC=5 , BC=8 , BP=6 , CP=8 - 6=2 ,

答:

又???AB=AC ,.Z B= ZC .

BE.BD

CD 方，

?—=2，解得 BE=g .

5 3 3

CQJ? 飞'电，

实用文案

②若点

P在线段

CB上，由

(1 )知「-

BP AB

??BP=x , BC=8 ,「.CP=BC - BP=8 - x,

又T CQuy , AB=5 , ，即y= - +V Z -

x 5 5 5

故所求的函数关系式为y=_丄J 显"(0 < x v 8 ).

5 5

若点P在线段CB的延长线上，如图.

vzAPQ= Z APB+ ZCPQ，/ABC= Z APB+ ZPAB，/APQ= /ABC ,???zCPQ= ZPAB .

又V ZABP=180 °-Z BC，

/PCQ=180 ° -z ACB，/ABC= ZACB ,

???Z ABP= Z PCQ . ?△QCP S/PBA C0 PC

vz PAB+ ZAPB=90 ° ,? PAB= ZQPC ,

VZ B= Z C=90 °,「.A BP S/PCQ

即5 : (5 - BP) =BP : 1，解

得：

②当点P在线段BC的延长线上，则点Q在线段DC的延长线上,

同理可得：△ ABP s/PCQ,.?.AB : PC=BP : CQ ,

???5: ( BP- 5) =BP : 1 ,解得：

帆7，

③当点P在线段CB的延长线上，则点Q在线段DC的延长线上,

同理可得：△ ABP s/PCQ,.?.AB : PC=BP : CQ , ???5:( BP+5 ) ???ZAPQ=90,「.APB+ ZQPC=90 ° ,

(2)①当点P在线段BC上,

'/BP=x , CP=BC+BP=8+x , AB=5 , CQ=y ,

,「.AB : PC=BP : CQ ,

实用文案=BP : 1，解得：.. ' .

(完整word版)几何模型：一线三等角模型.docx

一线三等角模型一 . 一线三等角概念 “一线三等角” 是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼， “K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角” 。二 . 一线三等角的分类全等篇 C D D C A P B A P B 锐角直角 D D D C A P B 同侧钝角 D A A B P P B A B P C C 相似篇 C 异侧 D C D C A P B A P B 锐角直角 D D C A P B 同侧钝角 D D A B P A B P A B P C C C 异侧三、“一线三等角”的性质 1. 一般情况下，如图 3-1 ，由∠ 1=∠ 2=∠ 3，易得△ AEC ∽△ BDE. 2. 当等角所对的边相等时，则两个三角形全等 . 如图 3-1 ，若 CE=ED ，则△ AEC ≌△ BDE.

3.中点型“一线三等角” 如图 3-2，当∠ 1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△ BDE∽△ CFD∽△ DFE. 4. “中点型一线三等角“的变式( 了解 ) 如图 3-3，当∠ 1=∠2 且BOC 901 BAC 时，点O是△ABC的内心.可以考虑构2 造“一线三等角”. 如图 3- 4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关， BOC901 BAC 这是内心的性质，反之未必是内心. 2 在图 3-4（右图）中，如果延长BE 与 CF，交于点 P ，则点 D 是△ PEF 的旁心 . 5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5 ，以等腰三角形为例进行说明）图 3-5 其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解 . 相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题四、“一线三等角”的应用 1.“一线三等角”应用的三种情况 . a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；

一线三等角模型

专题九：“一线三角型”模型的应用 1、如图，在△ABC中，AB=AC，P、M分别在BC、AC边上，且APM B ∠=∠，AP=MP，求证：△APB≌△PMC。分析：证明两个三角形全等，找边、角的等量关系，根据已有的知识经验，学生很快能够解决。 2、如果把第1题中的等腰三角形改为等边三角形，如图， △ABC为等边三角形，60 APM? ∠=，BP=1, 2 3 CM=，求△ABC的边长。 3、如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC,3,7,60 AD cm BC cm B? ==∠=，P为BC上一点（不与B、C重合），连结AP，过P点作PM交DC于M，使得APM B ∠=∠。（1）求证：△ABP∽△PCM；（2）求AB的长；（3）在底边BC上是否存在一点P，使得DM:MC=5:3？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由。

4、如图，, ===， AB cm CD cm BD cm ⊥⊥，且6,4,14 AB BD CD BD 问：在BD上是否存在P点，使以P、B、A为顶点的三角形与以P、D、C 为顶点的三角形相似？如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由。 5、已知在梯形ABCD中，AD//BC,AD BC <，且AD=5,AB=DC=2。（1）如图a，P是AD上的一点，满足BPC A ∠=∠。 ①求证：△ABP∽△DPC；②求AP的长。（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足BPE A ∠=∠，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么： ①当点Q在线段DC的延长线上时，设, AP x CQ y ==，求y关于x的函数解析式，并写出函数自变量的取值范围； ②当CE=1时，求出AP的长。 6、正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，如图。（1）证明Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）设BM x =，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出

一线三等角模型、双垂直模型(自己总结)

如图，AB=12米，CA丄AB于点A , DB丄AB于点B，且AC=4米，点P从B向A运动, 每分钟走1米，点Q从B点向D运动，每分钟走2米，P、Q两点同时出发，运动几分钟后，△ CPA 与厶PQB全等？ D C / / F - f I A p S 如图①所示，在△ ABC中，/ C=90 0，AC=BC，过点C在厶ABC外作直线MN，AM丄M N于点M , BN丄MN于点N . ⑴求证：MN=AM + BN . (2)如图②.若过点C直线MN与线段AB相交，AM丄MN于点M， BN丄MN于N ,(1)中的结论是否仍然成立？说明理由. 图①图②

如图，已知/ B= / C=90 ° M是BC的中点，DM平分/ ADC. (1) 求证：AM平分/ DAB (2) 试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？ (3) 线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果如图，△ ABE EDC , E 在BD 上, AB 丄BD ,垂足为 B , △ AEC 是等腰直角三角形吗 ? 为什么?

【练3】正方形ABCD,E是BC上一点，AE — EF,交/ DCH的平分线于点 F ,求证AE=EF 如图所示，在Rt ABC中，.ABC =90 ,点D在边AB上，使，过点D作EF _ AC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F。求证：AB=BF。( 8分) 如图(1)，已知AB 丄BD，ED 丄BD，AB=CD，BC=DE， ⑴试判断AC与CE的位置关系，并说明理由. (2)若将CD沿CB方向平移得到图②③④⑤的情形，其余条件不变，此时第(1)问中AC与CE的位置关系还成立吗？结论还成立吗？请任选一个说明理由.

相似三角形的特殊模型_一线三等角

相似三角形的特殊模型 ―――“一线三等角”模型的综合题（图1）图形的变式

（1）如图1：已知三角形ABC 中，AB=AC,∠ADE=∠B,那么一定存在的相似三角形有；（2）如图2：已知三角形ABC 中，AB=AC,∠DEF=∠B,那么一定存在的相似三角形有； (3) 如图2，若 AB ＝AC ，∠ B ＝∠EDF , BD=CD, 连接DF ，那么一定存在的相似三角形有 . 二、例题解析例1.如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 是BC 边上任意一点，AB 边上有一点E ，AC 边上有一点F ，使∠EDF=∠ABC. 已知BD=1，BE= 3 1 ,求CF 的长. 练习 1.已知△ABC 中AB=AC=6、BC=8，∠BAC=120度，D 是BC 边上任意一点，AB 边上有一点E ，AC 边上有一点F ，使∠EDF=∠C. 已知BD=6、BE=4 . 求:CF 的长 2.如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60°. （1）求证：△BDE ∽△CFD ；（2）当BD =2 3 ，FC =1时，求BE .

例2.在ABC ?中，O BC AC C ,3,4,90===∠o 是AB 上的一点，且 5 2 =AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q ，（不与点B,C 重合），已知AP=2，求CQ . 练习在直角三角形ABC 中，D BC AB C ,,90==∠o 是AB 边上的一点，E 是在AC 边上的一个动点，（与A,C 不重合），DF DE DF ,⊥与射线BC 相交于点F. (1)当点D 是边AB 的中点时，求证：DF DE =； (2)当 m DB AD =，求DF DE 的值. 例3.已知在等腰三角形ABC 中，AB=AC,D 是BC 的中点，∠EDF=∠B. 求证：△BDE ∽△DFE.

几何模型：一线三等角模型知识讲解

几何模型：一线三等角模型

一线三等角模型一.一线三等角概念 “一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。二.一线三等角的分类全等篇同侧锐角直角钝角 P 异侧相似篇 A 同侧锐角直角钝角异侧

三、“一线三等角”的性质 1.一般情况下，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC ∽△BDE. 2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图 3-1，若 CE=ED ，则△AEC ≌△BDE. 3.中点型“一线三等角” 如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE. 4.“中点型一线三等角“的变式(了解) 如图 3-3，当∠1=∠2 且1 902 BOC BAC ∠=?+∠时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”. 如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关， 1 902 BOC BAC ∠=?+∠这是内心的性质，反之未必是内心. 在图 3-4（右图）中，如果延长 BE 与 CF ，交于点 P ，则点 D 是△PEF 的旁心. 5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明）图 3-5 其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题四、“一线三等角”的应用

一线三等角模型综合题解

【例1】已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF，BE=EF，∠BEF=90°，按图①放置，使点F在BC上，取DF的中点G，连接EG、CG．（1）探索EG、CG的数量关系和位置关系并证明；（2）将图①中△BEF绕B点顺时针旋转45°，再连接DF，取DF中点G（如图②），问（1）中的结论是否仍然成立．证明你的结论；（3）将图①中△BEF绕B点转动任意角度（旋转角在0°到90°之间），再连接DF，取DF的中点G（如图③），问（1）中的结论是否仍然成立，证明你的结论．

【例2】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=BC=6，AD=3．点M为边BC的中点，以M为顶点作∠EMF=∠B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，连接EF．（1）求证：△MEF∽△BEM；（2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；（3）若EF⊥CD，求BE的长．

【例3】如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，点P 由B 出发沿 BD 方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD 于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，PE∥AB；（2）设△PEQ 的面积为y（cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S△PEQ=25 2S△BCD？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；(4)连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由．

相似三角形的基本模型(一线三等角)

模型中的相似三角形（２）【基本模型】图3 C B B C C B A A A 1. 如图1，BDE EDF C B ??∠=∠=∠∽CFD ?(一线三等角）如图2，ABD ADE C B ??∠=∠=∠∽DCE ?(一线三直角) 如图3，特别地,当D 是BC 中点时：BDE ?∽DFE ?∽CFD ??ED 平分 BEF ∠，FD 平分EFC ∠。 2. 一线三等角辅助线添加:一般情况下，已知一条直线上有两个等角(直角)或一个直角时，可构造“一线三等角”型相似。【巩固提高】 1. 已知ABC ?中,120,6?=∠==BAC AC AB ，D 是BC 的中点，AB 边上有一点 AC E ,延长线上有一点F ,使.C EDF ∠=∠ 已知4=BE ,则=CF 4 27 提示：,120,6?=∠==BAC AC AB ,D 是BC 的中点 ∴33==CD BD 由BDE ?∽CFD ? ∴ CF DB DC BE =， 4 27 =CF

2. 如图,等边ABC ?中,D 是边BC 上的一点,且3:1:=DC BD ，把ABC ?折叠,使点 A 落在BC 边上的点D 处.那么 AN AM 的值为 75 . A B C 提示：由翻折可得:A MDN DN AN DM AM ∠=∠==,, 设：,3,1==DC BD 则4,4=+=+DN CN DM BM ∵BDM ?∽CND ?, ∴ 7 5 3414=++===??CND BDM C C DN DM AN AM 3. 在矩形ABCD 中，6=AB ,8=AD ，把矩形ABCD 沿直线MN 翻折,点B 落在边 AD 上的E 点处，若AM AE 2=, 那么EN 的长等于 F E 提示：作AD NF ⊥于F ，则6==AB FN ∵MAE ?∽EFN ?, ∴ EF AM FN AE = ∵AM AE 2= ∴53,32 1 ===EN FN EF

一线三等角模型、双垂直模型[自己总结]

如图，AB=12 米，CA⊥AB 于点A，DB⊥ AB 于点B，且AC=4 米，点P 从 B 向 A 运动，每分钟走1米，点Q从B点向D 运动，每分钟走2米，P、Q两点同时出发，运动几分钟如图①所示，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，过点 C 在△ABC 外作直线MN，AM⊥M N 于点M，BN⊥MN 于点N． (1)求证：MN=AM＋BN． (2)如图②.若过点C 直线MN与线段AB相交，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于N，(1)中的结论是否仍然成立？说明理由. 图① 图②

如图,已知∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC. 1）求证：AM 平分∠DAB 2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？ 3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果。如图，△ABE≌△EDC，E 在BD 上，AB⊥BD，垂足为B，△AEC 是等腰直角三角形吗？为什么？

练3】正方形ABCD,E 是BC上一点,AE ⊥EF,交∠DCH 的平分线于点F，求证AE=EF

交AC 于点E，CB 的延长线于点F。求证：AB=BF 。(8 分) 如图(1)，已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE， (1)试判断AC与CE的位置关系，并说明理由． (2)若将CD沿CB方向平移得到图②③④⑤的情形，其余条件不变，此时第(1)问中AC与CE的位置关系还成立吗？结论还成立吗？请任选一个说明理由．如图，在△ABC 中，AB=AC，DE 是过点A 的直线，BD⊥DE 于D，CE⊥DE 于点E；如图所示，在Rt ABC中，ABC = 90，

一线三等角模型

专题九：“一线三角型”模型的应用1如图，在△ ABC中，AB=AC P、M分别在BC AC边上, 且.APM ，AP=MP，求证：△ APB^A PMC 分析：证明两个三角形全等，找边、角的等量关系，根据已有的知识经验，学生很快能够解决。 2、如果把第1题中的等腰三角形改为等边三角形，如图， △ ABC为等边三角形，.APM =60 , BP=1,CM =?，求△ ABC的边长 3 AD//BC, AD 二3cm, BC 二7cm, 一B 二 3、如图，等腰梯形ABCD中, 60 ， P为BC上一点(不与B C重合)，连结AP,过P点作PM交DC于M,使得 APM "B。 (1)求证：△ ABP^A PCM (2)求AB的长； (3)在底边BC上是否存在一点P,使得DM:MC=5:3若存在, 求出BP的长；若不存在，请说明理由

4、如图，AB I BD,CD _ BD ，且 AB = 6cm,CD = 4cm, BD = 14cm , 问：在 BD 上是否存在P 点，使以P 、B 、A 为顶点的三角形与以P 、DC 为顶点的三角形相似？如果存在，求 BP 的长；如果不存在，请说明理由。 5、已知在梯形 ABCD 中, AD//BC, AD ：： BC ，且 AD=5,AB=DC=2 (1) 如图a ，P 是AD 上的一点，满足.BPC- A ①求证：△ ABP^A DPC ②求AP 的长。 (2) 如果点P 在AD 边上移动(点P 与点A 、D 不重合)，且满足.BPE W^A ，PE 交直线BC 于点E ,同时交直线DC 于点Q,那么: ①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP 二x,CQ 二y ，求y 关于x 的函数解析式, 并写出函数自变量的取值范围； ②当CE=1时，求出AP 的长 6、正方形ABCD 边长为4, M N 分别是BC CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和 MN 垂直，如图。 (1) 证明 Rt △ ABMh Rt △ MCN (2) 设BM =x ，梯形ABCN 勺面积为y ,求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形 ABCNS 积最大，并求出占 ~~

一线三等角相似模型

一线三等角相似一．一线三直角 1.如图，住平面直角系中，直线AB ：()4 40y x a a = +≠分别交x 轴、y 轴于B 、A 两点，直线AE 分别交x 轴、y 轴于E 、A 两点，D 是x 轴上的一点，OA OD =，过D 作CD ⊥ x 轴交AE 于C ，连接B C ，当动点B 在线段OD 上运动（不与点O 点D 重合）且AB BC ⊥时 (1)求证：ABO ?∽BCD ?； (2)求线段CD 的长（用a 的代数式表示）； (3)若直线AE 的方程是13 16 y x b =- +，求tan BAC ∠的值．

2.如图，在矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，点P 是射线DA 上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点P ，三角板两直角中的一边始终经过点C ，另一直角边交射线BA 于点E ．（1）判断△EAP 与△PDC 一定相似吗？请证明你的结论；（2）设PD x =，AE y =，求y 与x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）是否存在这样的点P ，是△EAP 周长等于△PDC 周长的2倍？若存在，请求出PD 的长度；若不存在，请简要说明理由． E P D C B A

3.如图，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点(不与A、D重合)，PE⊥BP，P 为垂足，PE交DC于点E， (1)设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围； (2)请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由. 解：(1)∵AB∥CD ，∴∠A+∠D=180° ∵∠A=90°，∴∠D=90°，∴∠A=∠D 又∵PE⊥BP ，∴∠APB+∠DPE=90°，又∠APB+∠ABP=90°，∴∠ABP=∠DPE， ∴△ABP∽△DPE ∴，即 ∴ (2)欲使四边形ABED为矩形，只需DE=AB=2，即，解得 ∵，∵均符合题意，故AP=1或4. 4.（2018上海，23，12分）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF ⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE-BE；（2）联结BF，如果，求证：EF=EP．

相似三角形模型讲一线三等角问题讲义解答

一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）（平行） B （不平行）（二）8字型、反8字型 B C B C （蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型 B （四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：

相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。 8字型拓展 C B E D A 共享性 G A B C E F 一线三等角的变形一线三直角的

1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．求证：OC2=OA?OE．2．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，∠ADE=∠B=α， DE交AC于点E．下列结论： ①AD2=AE?AB；②3.6≤AE＜10；③当AD=2时，△ABD≌△DCE； ④△DCE为直角三角形时，BD为8或12.5．其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上） 3．已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上，∠DEB=∠ABC．求证：（1）DB2=DE?DA；（2）∠DCE=∠DAC． 4．已知：如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：BE2=EF?EG． 5．如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FD2=FB?FC．

6．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC 于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP 的面积为y．（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积． 7．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC与AB边上的高，求证：BC=2DE． 8．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠DAE=120°．（1）图中有哪几对三角形相似？请证明其中的一对三角形相似；（2）若DB=2，CE=6，求BC的长． 9．（已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．求证：（1）△ABE∽△DCA；（2）BC2=2BE?CD．

中考数学压轴题专项汇编专题一线三等角模型

专题17 一线三等角模型破解策略在直线AB 上有一点P ，以A ，B ，P 为顶点的∠1，∠2，∠3相等，∠1，∠2的一条边在直线AB 上，另一条边在AB 同侧，∠3两边所在的直线分别交∠1，∠2非公共边所在的直线于点C ，D ． 1．当点P 在线段AB 上，且∠3两边在AB 同侧时．（1）如图，若∠1为直角，则有△ACP ∽△BP D ． 321D B P A C （2）如图，若∠1为锐角，则有△ACP ∽△BP D ． 3 C D P A 证明：∵∠DPB ＝180°－∠3－∠CPA ，∠C ＝180°－∠1－∠CPA ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠DPB ， ∵∠1＝∠2，∴△ACP ∽△BPD （3）如图，若∠1为钝角，则有△ACP ∽△BP D ． 231D B P A C 2．当点P 在AB 或BA 的延长线上，且∠3两边在AB 同侧时．如图，则有△ACP ∽△BP D ． 32 1C P D B A 证明：∵∠DPB ＝180°－∠3－∠CPA ，∠C ＝180°－∠1－∠CPA ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠DPB ， ∵∠1＝∠2＝∠PBD ，∴△ACP ∽△BPD 3．当点P 在AB 或BA 的延长线上，且∠3两边在AB 异侧时．如图，则有△ACP ∽△BP D ．

32 1C D B A P 证明：∵∠C ＝∠1－∠CPB ，∠BPD ＝∠3－∠CPB ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠BP D ． ∵∠1＝∠2，∴∠PAC ＝∠DBP ．∴△ACP ∽△BP D ．例题讲解例1：已知：∠EDF 的顶点D 在△ABC 的边AB 所在直线上（不与点A ，B 重合）．DE 交AC 所在直线于点M ，DF 交BC 所在直线于点N ．记△ADM 的面积为S 1，△BND 的面积为S 2．（1）如图1，当△ABC 是等边三角形，∠EDF ＝∠A 时，若AB ＝6，AD ＝4，求S 1S 2的值；（2）当△ABC 是等腰三角形时，设∠B ＝∠A ＝∠EDF ＝α． ①如图2，当点D 在线段AB 上运动时，设AD ＝a ，BD ＝b ，求S 1S 2的表达式（结果用a ，b 和a 的三角函数表示）． ②如图3，当点D 在BA 的延长线上运动时，设AD ＝a ，BD ＝b ，直接写出S 1S 2的表达式． N F C M E B D A F N M E B D A C F N D A B E M C 图1 图2 图3 解：（1）如图4，分别过点M ，N 作AB 的垂线，垂足分别为G ，H ． H G A D B E M C F N 则S 1S 2＝ 1 2 MG AD 12 NH BD ＝ 14 AD AM sin A BD BN sinB ．由题意可知∠A ＝∠B ＝60o，所以sin A ＝sin B ＝32 ．由“一线三等角模型”可知△AMD ∽△BDN ． ∴ AM AD BD BN ，从而AM BN ＝AD BD ＝8，∴S 1S 2＝12．（2）①如图5，分别过点M ，N 作AB 的垂线，垂足分别为G ，H ．

几何模型：一线三等角模型 (最终版)

初中几何模型之“一线三等角模型” 一.【一线三等角概念】 “一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。二.【一线三等角的分类】

2.1 全等篇_同侧 A P A P 锐角直角钝角2.2 全等篇_异侧 P D P P 锐角直角钝角

2.3 相似篇_同侧 D C A B P P 锐角直角钝角2.4 相似篇_异侧 P D P P 锐角直角钝角

三、【性质】 1.相似，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，或者α=α 2=α3易得△AEC∽△BDE. 2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如下图，若 CE=ED，则△AEC≌△BDE.异侧结果同样。

3.中点型“一线三等角”——相似中多了一位兄弟如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE. 4.“中点型一线三等角“的变式(了解) 如图 3-3，当∠1=∠2 且1902 BOC BAC ∠=?+∠时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”.

5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明）图 3-5 四、【“一线三等角”的应用】 1.应用的三种情况. a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； b.图形中存在“一线二等角”，构造“一等角”模型解题； c.图形中只有直线上一个角，构造“二等角”模型解题.

几何模型：一线三等角模型

一线三等角模型一.一线三等角概念 “一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，“K形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。二.一线三等角的分类全等篇 C A P 锐角 D A B C 相似篇 C A P 锐角 D D D C C BA P B A P B同侧直角钝角 D D A A P P P B B C C 异侧 D D D C C BA P B A P B同侧直角钝角 D D D A B P A B P A B P C C C 异侧三、“一线三等角”的性质 1.一般情况下，如图3-1，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC∽△BDE.

2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图3-1，若CE=ED，则△AEC≌△BDE.

3.中点型“一线三等角” 如图3-2 ，当∠1=∠2=∠3，且D是BC中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE. 4.“中点型一线三等角“的变式(了解) 如图3-3 ，当∠1=∠2且BOC90 1 BAC时，点O是△ABC的内心.可以考虑构2 造“一线三等角”. 如图3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关， BOC 90 1 BAC这是内心的性质，反之未必是内心. 2 在图3-4 （右图）中，如果延长BE与CF，交于点P，则点D是△PEF的旁心. 5.“一线三等角”的各种变式（图3-5，以等腰三角形为例进行说明）图3-5 其实这个第4图，延长DC反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题四、“一线三等角”的应用 1.“一线三等角”应用的三种情况. a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；

相似三角形模型讲解一线三等角问题

第一部分相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型） B （平行） B （不平行）（二）8字型、反8字型 B C B C （蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型 B （四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景

（五）一线三直角型：（六）双垂型：

二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。 8字型拓展 C B E D A 共享性 G A B C E F 一线三等角的变形一线三直角的变形

2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND2=NC·NB 3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。求证：EB·DF=AE· DB 4.在?ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EF BC ⊥，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。求证：∠=? GBM90 5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC 于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设 A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．A B P D E （第25题图） G M F E H D C A

几何模型一线三等角模型知识讲解

几何模型：一线三等型模角．一线三等角模型一.一线三等角概念 “一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。二.一线三等角的分类全等篇 D D C D C C BA BAP P ABP同侧锐角直角钝角 D D D AP A A B P PB BC C C异侧相似篇 D D C D C C BA BA P P ABP同侧

钝角直角锐角 D D D AP A B PB APB C C C异侧三、“一线三等角”的性质BDE. ∽△，易得△AEC一般情况下，如图 3-1，由∠1=∠2=∠31.BDE. AEC≌△当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图 3-1，若 CE=ED，则△2. 3.中点型“一线三等角”中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC ) 了解4.“中点型一线三等角“的变式(1??BOC?BAC90??时，点 O 是△ABC 的内心如图 3-3，当∠1=∠2 且.可以考虑构2造“一线三等角”. 如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关， 1?BOC?90???BAC这是内心的性质，反之未必是内心. 2 在图 3-4（右图）中，如果延长 BE 与 CF，交于点 P，则点 D 是△PEF 的旁心. 5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明）

图 3-5 其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题四、“一线三等角”的应用． 1.“一线三等角”应用的三种情况. a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题； c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题. 体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题. 2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段. 3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似

几何模型一线三等角模型

实用标准一线三等角模型一.一线三等角概念 “一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。二.一线三等角的分类全等篇 D D C D C C A P B A P B A P B同侧锐角直角钝角 D D D A A P B B P A B P C C C 异侧相似篇 D D C D C C A P B A P B A P B同侧锐角直角钝角 D D D A P B A P B A P B

异侧文档大全

三、“一线三等角”的性质 1. 一般情况下，如图3-1 ，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC∽△BDE. 2. 当等角所对的边相等时，则两个三角形全等. 如图3-1 ，若CE=ED，则△AEC≌△BDE. 3.中点型“一线三等角” 如图3-2 ，当∠1=∠2=∠3，且 D 是BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE. 4. “中点型一线三等角“的变式(了解) 如图3-3 ，当∠1=∠2 且造“一线三等角”. 1 BOC 90 BAC 时，点O 是△ABC 的内心. 可以考虑构2 如图3- 4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关， 1 BOC 90 BAC 这是内心的性质，反之未必是内心. 2 在图3-4 （右图）中，如果延长BE 与CF，交于点P，则点 D 是△PEF 的旁心. 5.“一线三等角”的各种变式（图3-5 ，以等腰三角形为例进行说明）图3-5 其实这个第 4图，延长DC 反而好理解. 相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题

一线三等角模型

1. 如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一动点，联结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ．（1）求证：△DBE ∽△ECF ；（2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；（3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长． 2如图，在△ABC 中，AB =AC =5cm ，BC =8，点P 为BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点P 作射线 PM 交AC 于点M ，使∠APM =∠B ；（1）求证：△ABP ∽△PCM ；（2）设BP =x ，CM =y ．求 y 与x 的函数解析式，并写出函数的定义域．（3）当△APM 为等腰三角形时，求PB 的长． 3.如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上一点，且BP =2，将一个大小与∠B 相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P 点转动，使角的两边始终分别与AB 、AC 相交，交点为D 、E 。（1）求证△BPD ∽△CEP （2）是否存在这样的位置，△PDE 为直角三角形？若存在，求出BD 的长；若不存在，说明理由。 4、已知在等腰三角形ABC 中，4,6AB BC AC ===，D 是AC 的中点， E 是BC 上的动点（不与B 、C 重合），连结DE ，过点D 作射线DF ，使EDF A ∠=∠，射线DF 交射线E B 于点F ，交射线AB 于点H . （1）求证：CED ?∽ADH ?；（2）设,EC x BF y ==.①用含x 的代数式表示BH ； ②求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的定义域. A B P C M F B A C D E H A B C D E F C P E A B D

相似三角形模型讲解-一线三等角问题

第一部分相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A 字型、反A 字型（斜A 字型） B （平行） B （不平行）（二）8字型、反8字型 B C B C （蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型 B （四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景

二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。8字型拓展 C B E D A 共享性 G A B C E F 一线三等角的变形一线三直角的变形

第二部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ．求证：OE OA OC ?=2 ．例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上,ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ?=2 ；（2）DAC DCE ∠=∠．例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：EG EF BE ?=2 ．相关练习： 1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ?=2 ． 2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2 =NC ·NB 3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。求证：EB ·DF=AE ·DB 4.在?ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。求证：∠=?GBM 90 5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设 A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ． A C D E B B G M F E H D C A

(完整版)2018年初中数学突破中考压轴题几何模型之相似三角形中的一线三等角模型

一线三等角相似三角形判定的基本模型 A字型X字型反A字型反8字型母子型旋转型双垂直三垂直相似三角形判定的变化模型 C B E D A 一线三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：

【应用】 1.如图，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，CB ∥OA ，OA=7，BC=1，AB=5，点P 为x 轴上的一个动点，点P 不与点0、点A 重合．连接CP ，过点P 作PD 交AB 于点D ．（1）直接写出点B 的坐标．（2）当点P 在线段OA 上运动时，使得∠CPD=∠OAB ，且BD: AD=3:2 ，求点P 的坐标． 2、已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且BC =6，AB =DC =4，点E 是AB 的中点．（1）如图，P 为BC 上的一点，且BP =2．求证：△BEP ∽△CPD ；（2）如果点P 在BC 边上移动（点P 与点B 、C 不重合），且满足∠EPF =∠C ，PF 交直线CD 于点F ，同时交直线AD 于点M ，那么 ①当点F 在线段CD 的延长线上时，设BP =x ，DF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；② 当BEP DMF S S ??=4 9 时，求BP 的长．模型训练： 1. 如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠． (1) 求证：△ABD ∽△DCE ； (2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域； (3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由． A B C D E E D C B A P （第25题图） E D C B A （备用图）

相似三角形模型讲解-一线三等角问题

第一部分相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型） B（平行）B（不平行）（二）8字型、反8字型 B C B C （蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型 B （四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景

（五）一线三直角型：（六）双垂型：

二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。 8字型拓展 C B E D A 共享性 G A B C E F 一线三等角的变形一线三直角的变形

2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是 AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND2=NC·NB 3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。求证：EB·DF=AE· DB 4.在?ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EF BC ⊥，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。求证：∠=? GBM90 5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC 于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠ A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．A B P D E （第25题图） G M F E H D C A