向量的减法运算及其几何意义
向量的减法运算及其几何意义
向量的减法运算及其几何意义向量的减法运算及其几何意义教学目标：
1.了解相反向量的概念；
2.掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；
3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.
教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.
教学难点：减法运算时方向的确定.
学法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量.
教具：多媒体或实物投影仪，尺规
授课类型：新授课
教学思路：
一、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则
向量加法的运算定律：
例：在四边形中， .
解：
二、提出课题：向量的减法
1．用“相反向量”定义向量的减法
（1）“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作a
（2）规定：零向量的相反向量仍是零向量. ( a) = a.
任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + ( a) = 0
如果a、b互为相反向量，则a = b，b = a，a + b = 0
（3）向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.
即：a b = a + ( b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.
2用加法的逆运算定义向量的减法：
向量的减法是向量加法的逆运算：
若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a b
3求作差向量：已知向量a、b，求作向量
∵(a b) + b = a + ( b) + b = a + 0 = a
作法：在平面内取一点o，
作= a，= b
则= a b
即a b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
注意：1 表示a b.强调：差向量“箭头”指向被减数
2 用“相反向量”定义法作差向量，a b = a + ( b)
显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.
2．探究：
１）如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是b a.
２）若a∥b，如何作出a b ？
三、例题：
例一、（p９７例三）已知向量a、b、c、d，求作向量a b、c d.
平面向量及其加减运算课后训练
数学《平面向量》复习卷 一、填空题 1、向量的两个要素是： 和 。 2、A 、B 、C 是⊙O 上的三点，则向量OA 、OB 、OC 的关系是 . 3、下列命题：①若两个向量相等则起点相同，终点相同； ②若AB =DC ，则ABCD 是平行四边形；③若ABCD 是平行四边形，则 AB =DC ； ④a =b ，b =c 则a =c ；其中正确的序号是 . 4、如图所示，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形，则 ①与向量AB 平行的向量有 ； ②若｜AB ｜=1.5,则｜CE ｜= . 5、 如图，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形 ①与向量AB 相等的向量有 ； ②若|AB |=3，则向量EC 的模等于 。 6、已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ,AC =c , BC =b ,则｜a +b +c ｜为 7、在四边形ABCD 中，AC =AB +AD ，则ABCD 是 形。 8、化简(AB -CD )+(BE -DE )的结果是 。 9、化简：OM -ON +MN . 10、一架飞机向西飞行100km,然后改变方向向南飞行100km,飞机两次位移的和为 。 二、选择题 1、在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，且｜AB ｜＝｜BC ｜，那么四边形ABCD 为( ) A ．平行四边形 B ．菱形 C ．长方形 D ．正方形 2、等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E 、F 分别在两腰 AD 、BC 上，EF 过点P 且EF ∥AB ，则下列等式正确的是 （ ） A.AD =BC B.AC =BD C.PE =PF D.EP =PF E C A B
向量的减法运算
7.2向量的减法运算（第3课时） 姓名： 班级： 【教学目标】 1.了解相反向量的概念； 2.掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义； 3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想。 【重点与难点】 重点：向量减法的概念和向量减法的作图法 难点：减法运算时方向的确定 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 一、 复习： 向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则；向量加法的运算定律： 二、 提出课题：向量的减法 1.向量的减法是向量加法的逆运算 即：)(b a b a -+=-，求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2.向量的减法的作法 在平面内取一点O ，作a OA =， b OB = 则A B B O A O b a =-=- 注意：向量减法的关键：首同尾连，指向被减 3.探究：若a ∥b ， 如何作出b a - ？ O A c a B’ b -b b B a + (- b ) a b
b a 【例1】已知向量d c b a ,,,，求作向量d c b a --, 【例2】平行四边形ABCD 中，=AB a ，=AD b ， 用b a ,表示向量AC 、DB . 变式一：当b a ,满足什么条件时，b a +与b a -垂直？ 变式二：当b a ,满足什么条件时，|b a +| = |b a -|？ 变式三：b a +与b a -可能是相等向量吗？ 三、 课堂反馈 P45 1,2,3,4 四、 课堂小结 五、 教学反思 【课后练习】 1．化简OP QP PS SP -++= （ ） A.QP B.OQ C. SP D. SQ 2. G 为ABC ?的重心，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 的中点，则GA GB GC +-=（ ） A.0 B.4GE C. 4GD D. 4GF 3.若向量a 与b 方向相同，且b a <，则b a -与a 的方向________。 4. 在正六边形ABCDEF 中，AE =m ,AD =n ,则BA =________。 5．作图：求作b a +，b a - 6．已知菱形ABCD 的边长为2，求向量AB CB CD -+的模的长。 A B D C
平面向量的概念及几何运算
平面向量的概念及几何运算检测卷 班级 姓名 座位号 一、选择题（新题型的注释） 1．下列说法中错误的是（ ） A ．零向量没有方向 B ．零向量与任何向量平行 C ．零向量的长度为零 D ．零向量的方向是任意的 2．已知平面向量(3,1)a = ，(,3)b x =- ，且b a //，则x = （ ） A 9 B 9- C 3- D 3 3．若(1,1,1),(0,1,1)a b =--= 且()a b b λ+⊥ ，则实数λ的值是（ ） A 、0 B 、1 C 、1- D 、2 4．已知平面向量)1,1(=→ a ，)1,1(-=→ b ，则向量2a b → → --的坐标是（ ） Ａ．(31)--， B ．(31)-， Ｃ．(1 0)-， Ｄ．(12)-， 5．已知)1,2(=a ，)4,3(-=b ，则a 与b 的数量积为： （ ） A ．)4,6(- B ．)5,1(- C ．2- D ．0 6．已知，A （2，3），B （－4，5），则与AB 共线的单位向量是（ ） A ．)10 10 ,10103(- =e B ．)10 10 ,10103()1010,10103(-- =或e C ．)2,6(-=e D ．)2,6()2,6(或-=e 7．化简=--+CD AC BD AB （ ） A ．AD B ．0 C ．BC D ．DA 8．在下列向量组中,不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( ) A.)1,0(1=e )6,1(2-=e B.)2,1(1-=e )1,5(2-=e C.)5,3(1-=e )10,6(2=e D.)3,2(1-=e ) 43,21(2-=e 9．下列命题： （1）若向量a b = ，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反；
向量的加减法运算及其几何意义
课题 向量的加减法运算及其几何意义 知识点一：向量的基本概念： （一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 （二）探究学习 1、数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ； ④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |. 3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别： （1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； （2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别. ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 6、相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．. 7、共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）．．．．．．．．．．．. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行， 要区别于在同一直线上的线段的位置关系. A(起点) B （终点） a
《向量的几何表示》教案
《向量的物理背景与概念及向量的几何表示》教案 一、 教学目标： 1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 二、 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 三、 教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 四、 学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 五、 教学思路： 一、情景设置： 如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图） 结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了. 分析：老鼠逃窜的路线AC 、猫追逐的路线BD 实际上 都是有方向、有长短的量. 引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？ 二、新课学习： （一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。 （二）请同学阅读课本后回答：（7个问题一次出现） 1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向） 2、如何表示向量？ 3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？ 4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？ 5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？ A B C D
《向量加法运算及其几何意义》
普通高中课程标准实验教科书（人教版）《数学》必修4 《向量加法运算及其几何意义》教学设计 海口市第一中学郑若蕊
2．2．1向量加法运算及其几何意义 〖教学目标〗 （1）知识与技能：理解掌握向量加法运算，能够运用向量加法三角形法则和平行四边形法则求任意两个向量的和向量；初步尝试用向量方法解决几何问题及实际问题； （2）过程与方法：经历概念的形式过程，提高数学建设模能力；通过自主探究活动，体验数学发现和创造的过程，提高概括、分析归纳，数学表达等基本数学思维能力； （3）情态与价值：通过师生互动，生生互动的教学活动，形成学生的体验性认识，体会成功的愉悦，提高学习数学的兴趣。形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。 〖教学重点、难点〗 教学重点：理解向量加法的意义，掌握向量加法三角形法则和平行四边形法则； 教学难点：向量加法概念的形成过程； 〖教学方法与教学手段〗 教学方法：启发探究式教学 教学手段：多媒体辅助教学 〖教学过程〗 一、设置情境、尝试探求 1．设置问题情境 今年夏天，我国某些地区洪灾泛滥，某城外有一条东西流向的大河，河两岸高筑堤坝，河宽4km, 水深10km，当时河水流速为4km/h, 有一天，三名巡防队员在巡逻中发现正对岸堤坝有一处决口，情急之下，三人跳上船以8km/h 的速度直向决口处驶去，同学们想一想，如果船不改变方向，他们能否准确、及时到达出事地点？ 2、学生自主探究与研讨 学生会直观猜测：不能及时准确及时到达（有了猜测就有探式的欲望） 教师引导学生：能否运用你所学的知识进行说明； 学生得出：船的实际速度应是船行驶速度和水的速度的合成。如图 教师小结：速度是一个看矢量，矢量的合成与数量相加不同，要同时考虑方向。提问，根据已有知识你还能举出一些有关矢量合成的例子吗？
向量的概念及表示优秀教案
向量的概念及表示 执教:张亮点评:孔凡海 【教学目标】 一、通过对实例的引入，了解向量概念产生的实际背景； 二、理解平面向量和向量相等的概念； 三、掌握向量的几何表示； 四、了解向量的长度、零向量、单位向量、平行向量等概念。 【重点难点】 重点：向量的概念和向量的几何表示； 难点：向量概念的理解 【点评】 知识技能，数学思考，问题解决，情感态度。目标明确有效，重点突出。为组织、引导学生开展有效学习活动奠定了方向。 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数、几何的工具。向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量数的特征，方向反映了向量形的特征，向量是集数形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的典型体现。向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质。由于向量的几何性质，以及向量、点、序偶之间的对应关系，于是，可以把图形的基本结构转化为向量运算，把图形的基本性质转化为向量的运算律，这就是几何问题代数化处理。这样，几何中添线、补图等技巧让位于代数中的通法，也就是作为思辩数学的几何问题让位于作为算法数学的代数问题。 【教学过程】 一、设置情境 情景在如图所示的情景中，猫能否追上老鼠？ 合作探究看下面哪些量是与众不同的：
（1）线段的长度（2）物体的质量 （3）物体的体积（4）物体所受重力 （前三个都是数量，即只有大小，而物体所受重力是矢量，既有大小又有方向） 【点评】 根据学生的生活经验，通过问题、设疑来创设思维的情境，引起认识的需要；通过揭露矛盾来引发思考，激发学习的兴趣。通过学生活动，感知数学，进行意义建构。 物理中的力、速度、加速度以及几何中的有向线段等概念是向量概念的原型。由物理上的位移、速度等引入向量概念，贴近学生已有的经验，比较自然，也体现了“最近发展区”原理的运用。 二、探索研究 问题一情景中向我们呈现了一个新的量，那么我们怎样用数学的形式对这一量进行描述呢？ 1．向量的定义 既有大小又有方向的量叫向量。 师：你还能举出一些向量的例子吗？ 师：在这一概念中你认为关键词有哪些？ 板书向量的二要素大小和方向 师：我们怎样用符号来表示向量呢重力加速度是一个向量，那么在物理中我们是用什么表示它的呢？
平面向量的减法运算
平面向量的减法运算 高一数学导学案编制人: 审核人: 必修4 第二章第3 课时向量减法及几何意义【学习目标】掌握向量的减法运算并能进行化简、理解几何意义，培养运用数形结合的思 想解决问题的能力。 【重点】会用向量减法的三角形法则作两个向量的差向量. 【难点】三角形不等式 【教材助读】 1. 相反向量的定义:________________________ 规定:零向量的相反向量是____向量, 任一向量与它的相反向量的和是______向量。 ，(,)=0. aa 2、两个减法法则: 已知非零向量和，做出三角形法则: abab, 3. 向量的减法其实是一种图形运算:把两个向量起点重合，把一个向量的为起点，另一个向量的为终点所得到的向量叫做这两个向量的，记为。如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是____，差向量方向指向一般地，对于任意三点O，A，B，=— ABOBOA
ab,4.若，怎样作出,向量可以看成是吗, ab，,()ab//ab, 【预习自测】 ,,,, AB,AD,_____OD,OA,_____1(化简: (1) (2) ,,, AB,AD,DC,____(3) (4)=__________ PM,PN，MN 新疆王新敞奎屯DBABCDa2(平行四边形中，，，用，表示向量、 ABa,ADb,bAC 使用时间: 姓名: 小组: 评价等级: 探究案 例1:已知正方形，，，，求作向量:(1) ABCDABa,BCb,ACc,abc，，(2) abc,，
BD例2:如图，已知平行四边形的对角线，交于点，若， ABCDACOABa, ，，求证( BCb,ODc,cabOB，,, O A B 【能力拓展】 已知向量，的模分别是3，4，求的取值范围 ||ab,ab 【当堂检测】 1. 下列等式中正确的个数是( ). ,,,aaabab，,,,aa，,,0aoa,,baab，,， ?;?;?; ?;? ，，，，，， A.2 B.3 C.4 D.5 AB2. 在?ABC中，，则等于( ). BCaCAb,,, ,，,abab，ab,,，ab A. B. C. D. ，，
向量加法运算及其几何意义
各位评委：大家好！我的说课题目是向量加法运算及其意义 根据新课标的理念，对于本节课，我将以教什么，怎样教，为什么这样教为思路，从教材分析，教学目标分析，教学方法分析，教学过程分析四个方面加以说明。 一、教材分析 1、教材的地位和作用 本节内容是选自人教版高中数学必修4第2章第2节第1部分的内容 是高中数学的重要内容之一。向量是一个知识的交汇点，它在平面几何、立体几何等章节中都有着重要作用。本节课是在学习了向量的实际背景及基本概念后对向量加法、向量加法的三角形法则和平行四边形法则以及向量加法的运算律做的进一步探究， 初步展现了向量所具有的优良运算通性，为后面学习向量的其他知识奠定了基础 2、学情分析 从心理特征来说，高中阶段的学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。但同时，这一阶段的学生注意力易分散，喜欢发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。 3、教学重难点 根据以上对教材的地位和作用，以及学情分析，结合新课标对本节课的要求，我将本节课的 学习重点：向量加法的两个法则及其应用 学习难点：对向量加法定义的理解 二、教学目标分析 知识目标:掌握向量的加法定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量；掌握向量的加法的运算律，并会用它们进行向量计算 能力目标：体会数形结合、分类讨论等数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移能力，增强学生的数学应用意识和创新意识 情感目标:注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，培养学生学习数学的信心 三、教学方法分析 1、教法分析 本着“以学生为主体，以教师为主导，以问题解决为主线，以能力发展为目标”的指导思想，结合学生实际，主要采用“问题导引，自主探究”式教学方法。 2、学法指导 引导学生从实际问题中抽象出数学模型，提高观察、归纳、分析的能力；引导学生自己发现问题、提出问题并予以解决，学会合作交流;引导学生具有“用数学”的意识，尝试着用数学知识解决实际问题。。 四、教学过程分析 新课标指出，数学教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程，是教师和学生间互动的过程，是师生共同发展的过程。为有序、有效地进行教学，本节课我主要安排以下教学环节：复习引入探究深化精讲点拨当堂达标总结提升作业布置
向量的加减法
3、向量的加法 求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法． 法则：①三角形法则；②平行四边形法则． 运算律：交换律＋＝＋， 结合律(＋)＋＝＋(＋)． 4、向量的减法 向量的加法和减法互为逆运算．已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法． 差向量：向量加上的相反向量，叫做与的差（向量） 求差向量的方法：向量减法的三角形法则，即减向量的终点指向被减向量的终点． 二、重难点知识剖析 1、的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度；既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有二个要素：大小、方向.向量不能比较大小；实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘. 向量与有向线段的区别：向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段 2、已知向量、在平面内任取一点，作，，则向量叫做与的和，记作，即
3、向量减法的三角形法则：两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同(否则无法相减)，这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点. 在平面内任取一点O，作，则向量． 4、多边形法则：一般地，几个向量相加，可把这几个向量顺次首尾相接，那么它们的和向量是以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量． 只要你理解法则内容，那么解起向量加减法的题来就会更加得心应手了，尤其遇到向量的式子运算题时，一般不用画图就可迅速求解，如下面例题： （1）化简－＋－＝（＋）－（＋）＝－＝（2）化简＋＋＋=. 特殊情况：两向量平行
《向量的加法运算及其几何意义》教案完美版
《向量的加法运算及其几何意义》教案 教学目标： 1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； 2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力； 3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； 教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义. 学 法： 数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律. 教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路： 一、设置情景： 1、 复习：向量的定义以及有关概念 强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 2、 情景设置： （1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：=+ （2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：=+ （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：=+ （4）船速为，水速为，则两速度和： AC =+ 二、探索研究： １、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. A B C A B C A B C
平面向量加减法练习题
向量概念加减法2基础练习 一、选择题 1．若是任一非零向量，是单位向量，下列各式①｜｜＞｜｜；②∥； b，其中正确的有（） ③｜a｜＞0；④｜b｜=±1 2．四边形ABCD中，若向量AB与CD是共线向量，则四边形ABCD（） A．是平行四边形B．是梯形 C．是平行四边形或梯形D．不是平行四边形，也不是梯形 3．把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（） A．一条线段B．一个圆面C．圆上的一群弧立点D．一个圆4．若a，b是两个不平行的非零向量，并且a∥c, b∥c，则向量c等于（）A．B．C．D．不存在 5．向量（+）+（+）+化简后等于（） A． B． C． D． 6．a、b为非零向量，且｜a+b｜=｜a｜+｜b｜则（） A．a∥b且a、b方向相同B．a=b C．a=-b D．以上都不对7．化简（-）+（-）的结果是（） A．B． C．D． 8．在四边形ABCD中，=+，则（） A．ABCD是矩形B．ABCD是菱形C．ABCD是正方形D．ABCD是平行四边形9．已知正方形ABCD的边长为1， =,=, =,则｜++｜为（）A．0 B．3 C．2D．22 10．下列四式不能化简为AD的是（） A．（AB+CD）+ BC B．（AD+MB）+（BC+CM） C．+-D．-+
a 11．设b 是a 的相反向量，则下列说法错误的是（ ） A ． 与的长度必相等 B ． ∥ C ．与一定不相等 D ． 是的相反向量 12．如果两非零向量、满足：｜｜＞｜｜,那么与反向,则（ ） A ．｜+｜=｜｜-｜｜ B ．｜-｜=｜｜-｜｜ C ．｜a -b ｜=｜b ｜-｜a ｜ D ．｜a +b ｜=｜a ｜+｜b ｜ 二、判断题 1．向量与是两平行向量．（ ） 2．若是单位向量，也是单位向量，则=．（ ） 3．长度为1且方向向东的向量是单位向量，长度为1而方向为北偏东30°的向量就不 是单位向量．（ ） 4．与任一向量都平行的向量为向量．（ ） 5．若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形．（ ） 7．设O 是正三角形ABC 的中心，则向量AB 的长度是OA 长度的3倍．（ ） 9．在坐标平面上，以坐标原点O 为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆．（ ） 10．凡模相等且平行的两向量均相等．（ ） 三、填空题 1．已知四边形ABCD 中，= 21,且｜｜=｜｜,则四边形ABCD 的形状是 ． 2．已知=,=, =,=,=,则+++= ． 3．已知向量a 、b 的模分别为3，4，则｜a -b ｜的取值范围为 ． 4．已知｜OA ｜=4,｜OB ｜=8,∠AOB=60°,则｜AB ｜= ． 5． =“向东走4km ”,=“向南走3km ”,则｜+｜= ． 四、解答题 1.作图。已知 求作（1）b a （利用向量加法的三角形法 则和 四边形法则）
平面向量的概念及几何运算
1A C 2A B 9- C 3- D 3．若(1,1,1),(0,1,1)a b =--=且()a b b λ+⊥，则实数λA 4．已知平面向量)1,1(=a ，)1,1(-=b ，则向量2a --56 7 8 ) 9．下列命题： a b =，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反；
（a b =且a 与b 的方向相同，则a b =；（）非零向量a 与b 满足a b ∥，则向量a 与b 方向相同或相反；（）向量AB 与CD 是共线向量，则,,,A B C D 四点共线； （）若a b ∥，且b c ∥，则a c ∥ 正确的个数：（ ） 10．下列命题正确的是 A C 11 12A 13=（1,5）， = ，则 =_________. 14．已知(tan ,1),(1,2)a b θ=-=-，若()()a b a b +⊥-，则tan 15（（）所有的单位向量都相等。 （（（（16
三、解答题17．18．在矩形的中点，在以A 、B 、C 、D 、19．已知点 （1AC ＝BC ，求角（2）若AC BC ?＝－120．ABC ?平面向量))sin(,1(A B m -=，平面向量(sin C n -=（I （II 21．已知分AB 所成的比. 22．为起点，且与向量b ＝（－3，4） 垂直的单位向量，求
1．2．B 3．(1,1,b λλλ=-b ，所以()110a b b λλλ+?=-+-=，4．5．6．7．0AB AD =故选择B 8．9．【解析】解：因为 （1a b =，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反；不成立 （2a b =且a 与b 的方向相同，则a b =；满足定义 （3）非零向量a 与b 满足a b ∥，则向量a 与b 方向相同或相反；成立 （4）向量AB 与CD 是共线向量，则,,,A B C D 四点共线；可能构成能四边形，错误 （5）若a b ∥，且b c ∥，则a c ∥，当b 为零向量时，不成立。 10中，两边平方可知成立，选项C 中，当→ b 为中，夹角不定，因此数量积结果不定，选B 1112131415因为两个向量的方向相同或相反叫共线向量，而两个向量所在直线平行时也称它们为共线向量，即共线向量不一定在同一条直线上。 （2个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相（3为零向量时，它不成立。（想一想：你能举
向量及向量加减法
学习目的： 1.理解向量、零向量、单位向量、向量的模的意义； 2.理解向量的几何表示，会用字母表示向量； 3.了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判断向量间平行（共线）、相等的关系； 4.通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生的唯物辩证思想和分析辨别能力. 5．掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量； 6．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算； 7．明确相反向量的意义，掌握向量的减法，会作两个向量的差向量； 8．在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明； 9．通过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量的加法运算可以转化成两个向量的加法运算，可以渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间相互转化，相互联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识． 学习内容: 向量这部分知识是新内容，但我们已经接触过了.同学们在物理的课程学习过矢量的概念，它与我们要学的向量是一致的（知识是相通的），即使在数学中，前一段我们学习三角函数线时讲过有向线段，实际上向量就是用有向线段表示的.
学习难点: 向量的加法运算 一、向量的概念 向量:既有大小又有方向的量.通常用有向线段表示，其中A为起点，B为终点，显然 表示不同的向量；有向线段的长度表示向量的大小，用| |表示，显然，既有向线段的起、终点决定向量的方向，有向线段的长度决定向量的大小. 注意:向量的长度| |又称为向量的模；长度为0的向量叫做零向量，长度为1的向量叫做单位向量. 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行.平行向量可通过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量. 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量可经过平移的过程重合在一起，既可用一个有向线段表示，而与起点无关. 二、向量的加法 1．向量加法的平行四边形法则 平行四边形ABCD中，向量的和为.记作: . 2．向量加法的三角形法则 根据向量相等的定义有: ，既在ΔADC中，，首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点. 规定:零向量与向量的和等于.
(完整版)平面向量加减法练习题
向量概念加减法·基础练习 一、选择题 1．若是任一非零向量，是单位向量，下列各式①｜｜＞｜｜；②∥；③｜｜＞0；④｜｜=±1 ，其中正确的有（） 2．四边形ABCD中，若向量AB与CD是共线向量，则四边形ABCD（） A．是平行四边形B．是梯形 C．是平行四边形或梯形D．不是平行四边形，也不是梯形 3．把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（）A．一条线段B．一个圆面C．圆上的一群弧立点D．一个圆 4．若，是两个不平行的非零向量，并且∥, ∥，则向量等于（） A．B．C．D．不存在 5．向量（AB+MB）+（BO+BC）+OM化简后等于（） A． B． C． D．AM 6．、为非零向量，且｜+｜=｜｜+｜｜则（） A．∥且、方向相同B．=C．=-D．以上都不对 7．化简（-）+（-）的结果是（） A．CA B．0 C．AC D．AE 8．在四边形ABCD中，=+，则（） A．ABCD是矩形B．ABCD是菱形C．ABCD是正方形D．ABCD是平行四边形 9．已知正方形ABCD的边长为1， =,=, =,则｜++｜为（） A．0 B．3 C．2D．22 10．下列四式不能化简为的是（） A．（+）+ B．（+）+（+CM） C．MB+AD-BM D．OC-OA+CD 11．设是的相反向量，则下列说法错误的是（）
a b A ． 与的长度必相等 B ． ∥ C ．与一定不相等 D ． 是的相反向量 12．如果两非零向量、满足：｜｜＞｜｜,那么与反向,则（ ） A ．｜+｜=｜｜-｜｜ B ．｜-｜=｜｜-｜｜ C ．｜-｜=｜｜-｜｜ D ．｜+｜=｜｜+｜｜ 二、判断题 1．向量与是两平行向量．（ ） 2．若是单位向量，也是单位向量，则=．（ ） 3．长度为1且方向向东的向量是单位向量，长度为1而方向为北偏东30°的向量就不是单位向量．（ ） 4．与任一向量都平行的向量为向量．（ ） 5．若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形．（ ） 7．设O 是正三角形ABC 的中心，则向量AB 的长度是OA 长度的3倍．（ ） 9．在坐标平面上，以坐标原点O 为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆．（ ） 10．凡模相等且平行的两向量均相等．（ ） 三、填空题 1．已知四边形ABCD 中，=2 1,且｜｜=｜｜,则四边形ABCD 的形状是 ． 2．已知=,=, =,=,=,则+++= ． 3．已知向量、的模分别为3，4，则｜-｜的取值范围为 ． 4．已知｜｜=4,｜｜=8,∠AOB=60°,则｜｜= ． 5． =“向东走4km ”,=“向南走3km ”,则｜+｜= ． 四、解答题 1.作图。已知 求作（1）b a （利用向量加法的三角形法则和 四边形法则） （2）b a
2.1.2 向量的几何表示
2.1.2 向量的几何表示 学习目标 1.掌握向量的几何表示； 2.理解向量的有关概念。 学习重点、难点 1.向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示； 2.向量的概念和共线向量的概念。 探究（一）：向量的几何表示 思考1：一条小船从A 地出发，向西北方向航行15km 到达B 地，可以用什么方式表示小船的位移？ 思考2：如图，以A 为起点、B 为终点的有向线段记作，一条有向线段由哪几个基本要素所确定？ 1.向量的有关概念 (1)向量的大小叫做向量的长度(模)。 表示为：___________ (2)字母表示法 为了书写的方便，除了用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示外，向量也可以用黑体的单个小写字母a ，b ，c ，…，或，，表示，如图。 要注意手写体，与印刷体a ，b 的不同，向量的字母表示法有利于向量的代数运算。 思考4：向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？ 2.两个特殊向量 零向量：模为0的向量，记作。 单位向量：模为1个单位的向量。 思考5： A 起点 B 终点
思考6: “向量就是有向线段,有向线段就是向量”的说法对吗? 知识运用 例1.______________________________称为向量；常用_________________表示，记为____________，又可用小写字母表示为____________。 例2.在下列命题中，正确的是（） A.若|a|＞|b|，则a＞b； B.若a与b平行，b与c平行，则a与c不一定平行 C.终点相同的两个向量不平行 D.由于0方向任意，故0不与任一向量平行 例3.判断下列各命题是否正确： （1）若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反。（） （2）若向量AB是单位向量，则BA也是单位向量。（） （3）以坐标平面上的定点A为始点，所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆。（）（4）单位向量都相等（） 例4.把同一平面内所有模不小于2且不大于4的向量的起点移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形是________________________________。 小结作业 1.向量是为了表示、刻画既有大小，又有方向的量而产生的，物理中有许多相关背景材料，数学中的向量是物理中矢量的提升和拓展，它有一系列的理论和方法，是沟通代数、几何、三角的一种工具，有着广泛的实际应用. 2.由于有向线段具有长度和方向双重特征，所以向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，二者只是一种对应关系. 3.零向量是一个特殊向量，其模为0，方向是不确定的.引入零向量将为以后的研究带来许多方便，但须注意：
3-1平面向量的几何表示法
3-1平面向量的幾何表示法 AB 不在同一直線上時﹐我們還可以用另一種方法求a+平行四邊形法
向量的係數積 若0a ≠﹐則 ﹒的方向相反﹐其大小為r ﹒向量係數積的基本性質 ?????? ?? 向量的線性組合 OP x OA y OB =+ 向量的分點公式 OP OA OB m n m n = +++
1. 如下圖，將平行四邊形 ABCD 的四個邊賦予方向，共可得到幾個不同的向量？ 2. 平行四邊形 ABCD 中，已知 A （2，1），B （5，4），D （3，6），試求 C 點的坐標。 3. 已知 A 點的坐標為（－1，2），且AB ＝（3，－4），試求 B 點的坐標及│AB │。 4. 設 A （1，1），B （－3，5），試求 2AB 及－3AB 。 5. 設 A （1，1），B （4，5），若向量 a ＝ OP ＝ AB ，求(１) P 點坐標；(２)｜ a ｜值。
6. 設向量 a ＝（－1，2）， b ＝（3，4）， c ＝（1，3），試求：(１) 4 a ＋2 b － c 。 (２)│4 a ＋2 b － c │。 7. 設向量a ＝（1，－3），b ＝（－2，－4），c ＝（2，－1），試求： (１) 3 a － b －2 c 。 (２)│3 a － b －2 c │。 8. 給定平面上三點 A （1，3），B （4，2），C （－1，1），試求： (１)向量 AB 及 BC 。 (２)若 ABCD 為平行四邊形，試求 D 點的坐標。
數學(三)3-1平面向量的幾何表示法 9. 設 a ＝（2，1），試求與 a 同方向的單位向量。（註：長度為 1 的向量稱為單位向量） a ＝（2，1） ? │ a │＝2212＋＝5 所以與 a 同方向的單位向量為51 a ＝ 51（2，1）＝??? ??515 2 ， 10. 已知向量 a ＝（－1，3）， b ＝（2，1），求： (１)在坐標平面上，以原點當始點，畫出 a 、 b 與 a ＋2 b 。 (２) a ＋2 b ＝【 】。 (３)│ a ＋2 b │＝【 】。 (１)如下圖 (２) a ＋2 b ＝（－1，3）＋2（2，1）＝（－1，3）＋（4，2）＝（3，5） (３)│ a ＋2 b │＝2253＋＝34 11. 已知 a ＝（1，4）， b ＝（－1，2），求： (１)在坐標平面上，以原點為始點，畫出 a 、 b 與 2 a － b 。 (２) 2 a － b ＝【 】。 (３)│2 a － b │＝【 】。 (１)如下圖 (２) 2 a － b ＝2（1，4）－（－1，2） ＝（2，8）－（－1，2）＝（3，6） (３)│2 a － b │＝2263＋＝45＝35 12. AB ＝（4，3）， BC ＝（0，－6），試求△ABC 的周長。 AC ＝ AB ＋ BC ＝（4，－3）?│ AC │＝ 5，又│ AB ｜＝5，│ BC │＝6 所以△ABC 的周長AB ＋BC ＋CA ＝5＋6＋5＝16
平面向量的几何运算
选择题 已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )． A．1 B．2 C． D． C 又∵，，，∴ ∴，∴的最大值为 选择题 记，设为平面向量，则( )
A. B. C. D. D 本题考查平面向量的模、数量积以及分段函数、函数最值，考查向量的加法和减法的几何意义．中档题． 和是以为邻边的平行四边形的两条对角线对应的向量，所以 选择题 平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则（） A．
B． C． D． D 本题考查平面向量中的有关知识：平面向量基本定理、向量加法的几何含义、向量数量积的定义以及利用数量积求夹角等基础知识．单选不同的方法难易度不一样，中档题． 方法一） 因为，，所以，又，所以即 ． 方法二）由几何意义知为以，为邻边的菱形的对角线向量，又，故 ． 选择题 设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不向的四点，若， ，且，则称A3，A4调和分割A1，A2．已知点C(c，0)，D(d??0)，(c，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是( )． A．C可能是线段AB的中点
B．D可能是线段AB的中点 C．C，D可能同时在线段AB上 D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上 D 由题意得，，且， 若C，D都在AB的延长线上，则λ＞1，μ＞1，，这与矛盾，故选D． 选择题 已知向量a,b满足|a|=|b|=2,a?b=0，若向量c与a-b共线，则|a+c|的最小值为（）A．1 B． C． D．2 B
如图,设=b, =a,则=a-b 作CD⊥AB于D ∵向量c与a-b共线 |a+c|的最小值即为||= 选择题 在平面直角坐标系中，O(0，0)，P(6，8)，将向量按逆时针旋转后，得向量，则点的坐标是（） A． B． C． D． A
平面向量的加减法测试题
平面向量的加减法练习题 一、选择题 １、下列说法正确的有 ( )个. ①零向量是没有方向的向量,②零向量的方向是任意的,③零向量与任一向量共线，④零向量只能与 零向量共线. Ａ.１? B.2 ? C.３?Ｄ．以上都不对 2、下列物理量中，不能称为向量的有（ )个. ①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程 Ａ.０ B．1 C.２ D.3 ３、已知正方形ABCＤ的边长为1, = a， =b, =c，则|a+b+ｃ｜等于 （ ） A．０B．３? C.2 ? D.22４、在平行四边形ＡBＣD中，设= a, = b，＝c, = ｄ,则下列不等式中不正确的是( ) A.a+b=c? B.a－b＝dＣ.b－a＝d?D．c－d＝b-ｄ 5、△ABＣ中,D,E,F分别是AB、BC、CD的中点,则－等于（） A.Ｂ.C．?D． 6、如图．点Ｍ是△ABC的重心,则MA+MB-ＭC为（ ) Ａ.0 Ｂ．4
?C ．４ D ．4 7、在正六边形ＡＢＣDEF 中，不与向量相等的是 （ ) ?Ａ. + B.- C ． ＋ ?Ｄ.+ ８、a =－ｂ是|a ｜ = |b |的 ( ) A.充分非必要条件 ?B ．必要非充分条件 ?C ．充要条件 ? D.既非充分也非必要条件 二、填空题: 9、化简： ＋ + + + ＝ ＿_＿＿__. 1０、若a ＝“向东走８公里”,b ＝“向北走8公里”,则| a + b |=___,a +b 的方向是＿ __＿＿. 1１、已知Ｄ、Ｅ、F 分别是△ABC 中ＢC 、ＣA 、ＡB 上的点,且 ＝ 3 1 ， = 3 1 , ＝ 3 1,设 = a , = ｂ ，则 = ___＿___＿__. 1２、向量ａ,b 满足:｜ａ|=2，|ａ＋ｂ|=3，|a -b |=3,则|b |=_＿___． 三、解答题: １３、如图在正六边形AB ＣDEF 中,已知： = ａ， ＝ b ，试用a 、b 表示向量 , ， ， .
向量加减法练习
向量加减法练习 一、选择题（5×12=60分） 1．下列说法中错误．．的是（ ） A ．零向量是没有方向的 B .零向量的长度为 C ．零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的 2．设21,e e 是两个单位向量，则下列结论中正确的是（ ） A ．21e e = B ．21//e e C ．21e e -= D ．12e e = 3．下列判断正确的是 ( ) A.若向量AB 与CD 是共线向量，则A,B,C,D 四点共线； B.单位向量都相等； C.共线的向量，若起点不同，则终点一定不同； D.模为0的向量的方向是不确定的。 4．若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ）． A ．EF OF OE =+ B ． EF OF OE =-- C ．EF OF OE =-+ D ．EF OF O E =- 5．已知向量→ a 表示“向东航行1km ”，向量→ b 表示“向南航行1km ”，则向量a b +表示（ ） A km B ．向东南航行2km C km D ．向东北航行2km 6．如图1，D ，E ，F 分别是?ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则 A ．0AD BE CF ++= B ．0BD CF DF -+= C ．0AD CE CF +-= D ．0BD BE FC --= 7．化简下列各式结果是AB 的是( ) A. MB MN AM +- B. CF BF AC +- C. +- D. +- 8．设O 是正△ABC 的中心，则向量AO ，BO ，CO 是（ ）
A 、相等向量 B 、模相等的向量 C 、共线向量 D 、共起点的向量 9．已知非零向量与反向，下列等式中成立的是（ ） A ．||||||-=- B ．||||-=+ C ．||||||b a b a -=+ D ．||||||b a b a +=+ 10．若四边形ABCD 满足0AD CB +=，则该四边形一定不是．．．． （ ） A ．梯形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形 11．在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是 （ ） A ．AB DC = B ．AD AB AC += C ．AB AD BD -= D ．AD CD BD += 12．如图，正六边形ABCDE 中，AF ED CB ++=（ ） A ．0 B ．AD C ．CF D ．BE 二、填空题（5×4=20分） 13．已知|OA →|＝3，|OB →|＝3，∠AOB ＝90°，则OA OB +＝________. 14．化简下列式子，其结果为零向量的是___________。 ①++； ②-+-； ③+-； ④-++ 15．对于菱形ABCD ，下列各式正确的为___________。 ①BC AB = ②||||= ③||||+=- ④||4||||22=+2 16．两个大小相等的共点力F 1、F 2，当它们间的夹角为90°时合力大小为20N ，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为 A E D