打印自己整理的平面与平面垂直

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一、面面垂直的判定

例1：（2012江苏）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，

1111C A B A =，E D ,分别是棱1,CC BC 上的点

（点D 不同于点C ），且DE AD ⊥，F 为11C B 的中点. 求证：（1）平面⊥ADE 平面11B BCC ； （2）直线//1F A 平面ADE .

变式1：已知在四面体ABCD 中，,2a BD =

a AC CD BC AD AB =====

求证：平面⊥ABD 平面BCD .

变式2：如图，⊥PA 矩形ABCD 所在的平面，

M 、N 分别是AB 、PC 的中点. （1）求证：//MN 平面PAD ；

（2）若AD PA =，求证：平面⊥PMC 平面PDC .

二、面面垂直的性质

例2：如图，在四棱锥ABCD P -中，平面⊥PAD 平面ABCD ，

已知82==AD BD ，54=AB . 设M 是PC 上的一点.

证明：平面⊥MBD 平面PAD .

A

B C

1

A 1

B 1

C D

E

F

A

B

C

D

P

A

B

C

D

M

A

B

C

D

P

M N

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变式1：如图，在矩形ABCD 中，沿对角线AC 将ABC ?折起，

折起后使平面⊥D AB 1平面ACD . 折起后求证：（1）直线⊥CD 平面D AB 1；

（2）平面⊥C AB 1平面CD B 1.

变式2：已知四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形， 侧面PAD 与底面ABCD 垂直，N M 、分别 是PC AB 、的中点.

（1）求证：//MN 平面PAD ； （2）求证：CD MN ⊥.

三、综合问题

例3：如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，

2,//=AB EF AC ，1==EF CE .

（1）求证：//AF 平面BDE ； （2）求证：⊥CF 平面BDE .

变式：如图，ABC ?为正三角形，⊥EC 平面ABC ，

⊥DB 平面ABC ，DB EC ,在平面ABC 的同侧， M 为EA 的中点，BD CA CE 2==. 求证：（1）DA DE =；

（2）平面⊥BDM 平面ECA ； （3）平面⊥DEA 平面ECA .

A

1

B B

C

D

C

D

A

B

E F

O

A

B

C

D

E

M

B

C

D M

N

P

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巩固练习：

1、如图，四边形ABCD 为正方形，⊥PD 平面ABCD ，QA PD //，PD AB QA 2

1

==. （1）求证：//BQ 平面PCD ； （2）证明：平面⊥PQC 平面DCQ .

2、如图，矩形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直， CD AD ⊥，CD AB //，1==AD AB ．

4,2==DE CD ，M 为CE 的中点．

(I)求证：//BM 平面ADEF ； (Ⅱ)求证：⊥BC 平面BDE ； (Ⅲ)求三棱锥MBD C -的体积．

3、如图，四边形ABCD 是正方形，⊥PB 平面ABCD ， ⊥MA 平面ABCD ，MA AB PB 2==. 求证：（1）//MD 平面PBC ；

（2）平面⊥PMD 平面PBD .

4、如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 底面ABC ，

ABC ?为正三角形，E D 、分别是CA BC 、的中点.

（1）证明：平面⊥PBE 平面PAC ；

（2）在BC 上找一点F ，使//AD 平面PEF ，并说明理由。

A

B

C

D

P

Q

A

B

C

D

F

E

M

A

B

C

D

M

P

A

B

C

D E

P

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5、如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是 边长为a 的正方形，F E 、分别为BD PC 、的中点， 侧面⊥PAD 底面ABCD ，且AD PD PA 2

2

==． （1）求证：//EF 平面PAD ； （2）求证：平面⊥PAB 平面PCD ．

6、 如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，

22,901====∠AC BC AA ACB o

，

D 为1AA 中点.（Ⅰ）求证：11CD B C ⊥；

（Ⅱ）求证：平面1B CD ⊥平面11B C D ； （Ⅲ）求三棱锥11C B CD -的体积.

7、已知正四棱柱1111D C B A ABCD -中，P 是对角线1BD 的中点.

（1）求证：平面⊥PAC 平面1BDD ；

（2）若该正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为6，

求四棱锥ABCD P -的体积.

8、如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱与底面垂直，

090=∠ABC ，1BB BC AB ==， N M ,分别是C A AB 1,的中点.

（1）求证：//MN 平面11B BCC ； （2）求证：⊥MN 平面C B A 11；

A

B

C

D

E

F

P

C 1

1

A 1

B

A

D

C

A

B

C

D

1A 1

B 1

C 1

D P

A

B C

1

A 1

B 1

C M

N

地图教育教学设计

地图教学设计

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

2013年石景山区第十一届中小学教育教学培训与展示活动 《第二节在地图上寻找我们生活的地方》 教学设计 北京市蓝天第二中学刘佳佳 2013年9月

教学设计个人信息 姓名单位联系方式设计者刘佳佳北京市蓝天第二中学 教学基本信息 课题第二节在地图上寻找我们生活的地方 学科地理学段初中年级七年级 相关领域地球地图 教材书名：北京市义务教育课程改革实验教材地理七年级上册 出版社：北京教育科学研究院、中国地图出版社出版日期：2012 1.指导思想与理论依据 义务教育阶段地理课程的基本理念是：1.学习对生活有用的地理。2.学习对终身发展有用的地理。3.构建开放的地理课程。义务教育阶段地理课程的总目标是：掌握基础的地理知识，获得基本的地理技能和方法，了解环境与发展问题，增强爱国主义情感，初步形成全球意识和可持续发展观念。课标要求：运用地图辨别方向，量算距离。 2.教学背景分析 1．教学内容分析 《在地图上寻找我们生活的地方》是北京市义务教育课程改革实验教材地理七年级上册第一章的第二节内容，是初中地理教学四大内容里地球地图的重要组成部分。地图是一种信息载体，也是信息的传递工具。它可以把广大地区的地理事物集中呈现在人们眼前，使人一目了然。地图是地理教学中最常用、最重要的工具，是学生汲取地理知识的重要源泉。地图更是生活中的重要工具，学会阅读地图、使用地图解决生活中的实际问题，让学生具备一定的地图思想是本节课的核心内容。 2．学生情况分析 地图是重要的学习工具，但对于我们学校的学生来说比较遥远，基本在以前的生活中没有接触过地图。那么学生就会对地图产生很大的兴趣，希望从地图中汲取信息，学会地图、使用地图的愿望较大。但是由于没有任何基础，所以教学中的重点内容放在方向的辨别和使用比例尺量算距离上，得给学生讲细、讲透，指导学生使用比例尺量算距离，再加以练习。课堂反馈用“我的家乡”活动，贴近学生实际情况。

《直线与平面垂直的性质》教学设计

《直线与平面垂直的性质》教学设计 教学内容 人教版新教材数学第二册第二章第三节第3课 教材分析 直线与平面垂直问题是直线与平面的重要内容，也是高考考查的重点，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。 学情分析 1.学生思维活跃，参与意识、自主探究能力较强，故采用启发、探究式教学。 2.学生的抽象概括能力和空间想象力有待提高，故采用多媒体辅助教学。 教学目标 1.知识与技能 （1）培养学生的几何直观能力和知识的应用能力，使他们在直观感知的基础上进一步学会证明. （2）掌握直线和平面垂直的性质定理和推论的内容、推导和简单应用。 （3）掌握等价转化思想在解决问题中的运用. 2.情感态度与价值观 （1）发展学生的合情推理能力和空间想象力，培养学生的质疑思辨、创新的精神. （2）让学生亲从问题解决过程中认识事物发展、变化的规律. 教学重、难点 1.重点：直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简单应用。 2.难点：直线和平面垂直的性质定理和推论的证明，等价转化思想的渗透。 教学理念 学生是学习和发展的主体，教师是教学活动的组织者和引导者. 设计思路 直线与平面垂直的性质定理是判定线线平行的有效方法，学生学习的重点是直线与平面垂直的性质定理以及直线与平面垂直的性质定理的应用，强调直线与平面垂直的性质定理证明中反证法的学习，应让学生清楚，对于一些条件简单而结论复杂的问题或正面较难证明的

问题，可考虑用反证法；教学中要引导学生认识到，定理的证明过程实质是应用转化思想的过程，将立体几何问题转化为平面几何问题来解决，线面垂直问题转化为线线垂直问题来解决，这种转化的数学思想方法在立体几何的证明和解题中体现的尤为明显。 教学过程 （一）复习引入 师：判断直线和平面垂直的方法有几种？ 生：定义、例题2结论、判定定理。 师：各判定方法在何种条件或情形下方可熟练运用？ 生：若能确定直线与平面内任意一直线垂直，则运用定义说明。 若能说明所证直线和平面内的一条直线平行，则可运用例题结论说明。 若能说明直线和平面内两相交直线垂直，则可运用判定定理去完成判定。 师：在空间，过一点，有几条直线与已知平面垂直？过一点，有几个平面与已知直线垂直？ 判断下列命题是否正确： 1、在平面中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。 2、在空间中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。 3、垂直于同一平面的两直线互相平行。 4、垂直于同一直线的两平面互相平行。 师：直线和平面是否垂直的判定方法上节课我们已研究过，这节课我们来共同探讨直线和平面如果垂直，则其应具备的性质是什么？ （二）创设情景 如图，长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱A A′、B B′、 C C′、 D D′所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什 么位置关系？ （三）讲解新课 例1 已知：aα ⊥。求证：b∥a ⊥，bα 师：此问题是在aα ⊥的条件下，研究a和b ⊥，bα 是否平行，若从正面去证明b∥a，则较困难。而利用反证 法来完成此题，相对较为容易，但难在辅助线b’的作出, 这也是立体几何开始的这部分较难的一个证明.在老师的知 道下,学生尝试证明,稍后教师指正.

小学一年级平面图形的认识

小学一年级平面图形的认识 教学内容分析： 《平面图形的认识》是人教版义务教育课程标准实验教科书第一册第四单元第二课时内容。本单元第一课时是初步认识立体图形长方体、正方体、圆柱和球。教材通过立体图形和平面图形的关系引入教学，让学生感知两者之间的关系，从立体图形中分离中平面图形，从来让学生更好的理解“面从体上来”，并概括抽象出不同的平面图形的一般特征。 教学目标： 1．利用立体图形和平面图形的关系，使学生初步认识长方形、正方形、三角形和圆形。 2．让学生在动手操作的学习过程中，体验“面在体上”实现对平面图形的进一步认识，发展形象思维。 3．通过小组合作的方式，发展实践能力，培养创新精神，建立空间观念。 4．通过设计拼组图形的动手活动，使学生积极参与，对图形产生好奇心，使他们在活动中获得成功的体验。 教学重点： 感知长方形、正方形、三角形和圆的特征； 教学难点： 使学生体会“面在体上”。 教学准备： 学生用：四种立体图形、四种平面图形、剪刀、纸。 教师用：四种平面图形、课件 教学过程： （一）动手操作，感知“面在体上” 1．导入新课。 （出示由各种平面图形拼成的小汽车。） 师：小朋友，你知道这辆漂亮的小汽车是由哪些图形拼成的吗？请你来认一认、指一指。 （生：长方形、正方形、三角形、圆形。）

教师将学生回答后的图形贴在黑板上。 师：今天我们就是要来认识这四个图形。 据了解，虽然没有正式的学习过平面图形，但是学生们在生活中都已经认识了这四个平面图形。因此在设计时，针对一年级学生的特点，并考虑到他们现有的起点，出示了一辆由各种平面图形拼成的汽车，让学生找出自己认识的图形。引入新课。 2．感知“面在体上”。 A、分给每组一个长方体、正方体、圆柱、三棱柱。 师：小朋友，现在这四个图形就藏在你们桌上的那些物体里，请你把它们都找出来好不好？并说给你组里的小朋友听一听，你从哪里找到了这些图形？ 各组合作操作。 小组汇报。 从长方体上找到上长方形；从正方体上找到了正方形；从圆柱上找到了圆；从三棱柱上找到了三角形。 课件演示──面从体上分离的过程。 教师小结。 课件演示。 师：从长方体上找到上长方形；从正方体上找到了正方形；从圆柱上找到了圆；从三棱柱上找到了三角形。 这一过程的设计主要是考虑到一年级学生以形象思维为主的特点，“平面图形”这一抽象的概念，对他们而言在理解上有很大的难度。因此让学生通过自己的动手操作充分感知到今天学习的图形原来是从已经学过的立体图形中来的，是立体图形中的一个面。 B、师：老师想把这四个图形从这些立体中搬下来放在纸上，你能帮我想想办法吗？（生：沿着表面的边缘描出图形。） 师：那就请你们画一画，四人小组中，一人画一个图形。画完后，请你把它剪下来。 学生动手操作。

认识地图教学设计

.认识地图教学设计

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课题：2.1认识地图 科目：地理教学对象：七年级学生课时：第一课时提供者：温丽仙单位：尖草坪区三中 一、教学内容分析 地图在传播地理知识上，起着“第二语言”的作用。本节课认识地图，包括地图上的方向，地图上的比例尺，地图上的图例和注记。地图上的方向，比例尺，图例和注记。地图要素是各类地图都具有的知识，而是学习地图的基础，需要学生熟练掌握。这是本节教材的重点内容。 教材中地图，比例尺，图例和注记等地理基本概念，应以理解为主。要联系实际生活组织课堂活动，如辨别方向，量算距离等，以利用学生在认识地图的过程中逐渐掌握运用地图的基本技能。 教材中讲诉了地图上辨别方向的三种情况，运用地图辨别方向包括两个层次。地图上的比例尺是本教材的难点，主要讲了三个问题：比例尺的概念和公式，比例尺的三种表示方法，比例尺的大小与所示地理范围大小以及内容详略的关系。其中最重要的是第一个问题，它是理解后两个问题的基础。教材给出的比较理想的教学效果是，学生能够在各种有比例尺的地图上量算距离，最好是让学生在平面图上量算距离，这样比较接近实际，可以激发学生学习兴趣。 地图上的图例和注记，这部分教材主要是训练学生熟悉图例，并填绘地图时正确使用图例和注记。运用地图辨别方向，量算距离和估算高度，是学习地图必须掌握的三项基本技能，只要求学生掌握基本方法，熟练掌握这些技能需要需在今后的学习中训练。 二、目标 1.能掌握地图上的比例尺，方向，图例和注记等地图知识。 2.学会运用地图辨别方向，判读经纬度，量算距离。 3.学会在空白图上规定范围绘图例和注记。 三、学习者特征分析 在日常生活中，多数同学都见过，使用过地图。在小学社会课上，学生也学过地图知识，如图例和注记，在地图上查找地理事物的位置等。教学中要注意启发学生回忆，挖掘已有知识，并在此基础上加深和提高，运用好现代化教学手段，帮助学生建立起地图的空间概念，掌握读图的基本技能。 四、教学策略选择与设计 利用猜谜语导入新课，激发学生学习的兴趣，通过展示给学生地图来认识地图的三要素；对地图上的方向，则通过网络，打开我们尖草坪区的局部电子地图，利用电子白板来练习。经纬网上的方向，要学生回忆并合作学习来完成。地图上的比例尺也是学生自主学习和合作探究来完成，再要求学生来展示。

《平面图形的认识》的认识

《认识平面图形》教学设计 全笑达 （一）、教材分析：本节课是在学习了一年级上册认识四种简单几何体的基础上，来认识一些平面图形的。通过一系列的活动帮助学生初步认识长方形、正方形、圆、三角形和平行四边形等平面图形。长方形、正方形、圆、三角形和平行四边形的认识，是建立在初步认识立体图形的基础上进行教学的，是进一步认识这些图形及其特征的基础。同时，借助自主练习中寻找生活中的几何图形，进一步使学生加深对平面图形的认识与理解。 （二）、学情分析：学生在一年级上册已经认识并了解了立体图形，并且在学生的现实生活中，特别是在幼儿园时期，他们已经玩过积木，画过平面图形，所以学生对于这五种平面图形，一点也不陌生。但学生对这五种平面图形的具体特征、本质所在以及平面图形与立体图形的关系还不明确。为此，我认为：创设有趣味的情境活动，让学生动起来，是解决上述问题的一种有效策略。 （三）、教学目标： 知识与能力：通过操作和观察，使学生初步认识长方形、正方形、三角形和圆等平面图形，会区别和辨认这几种图形。 过程与方法：结合动手操作和观察，体验平面图形与现实生活的联系。 情感、态度与价值观：通过活动培养学生的合作探究的意识和创新意识。（四）、重点难点： 重点：认识长方形、正方形、平行四边形、三角形和圆等平面图形，建立空间观念。 难点：立体图形和平面图形的辨别。 （五）、教具学具：课件、立体图形实物、平面图形若干 （六）、教学流程： 一、创设情境，导入新课 1、师：小朋友们，我们在上学期认识了图形王国中哪几个新朋友？ 生：长方体、正方体、球和圆柱。 课件出示立体图形让学生辨别。 2、师：这些图形都来自图形王国，可是，图形王国里发生了一件抢劫案，警察叔叔马上去寻找线索，结果他们找到了一串脚印，你们知道他们分别是谁的脚印吗？哪个聪明的小朋友能帮警察叔叔破案？ 教师示范验证进行破案。 设计意图：学生知道了立体图形，但对它与平面图形的联系难以理解。通过这一过程，学生知道了通过立体图形可以画出平面图形，从而对立体图形和平面图形的印象也更加深刻，帮助学生区分立体图形和平面图形。 二、操作交流，探究新知 [1]、认识平面图形 1、师：认识这些脚印吗？ 根据学生回答，教师板书：长方形、正方形、圆、三角形。 师：这么多脚印，我们给他们一个共同的名字，叫：平面图形。今天我们就一起来认识他们。你发现平面图形和立体图形之间有什么关系呢？ 2、师：老师这里还有几个平面图形，让我们一起来把他们送回家。 （1）学生把图片娃娃送回到黑板上。 （2）说一说，根据什么送的？同一家的图形分别有什么特征？

从地图上获取信息教学设计

?从地图上获取信息?教学设计 赤峰市元宝山区平庄矿区中学李凤玲（一）、设计说明： 本节课设计的主要依据是：?地理课程标准?中的后面两条，即“根据需要选择常用地图，查找所需要的地理信息，养成在日常生活中运用地图的习惯;知道电子地图、遥感图像等在生产、生活中的用途。”，内容以学生实践活动和教师设计的各种教学情境为主。 1、课程资源分析： 教材没有直接按地图的种类、不同比例尺地图的选择和地图上两点间距离的量算来安排教学内容，而是将这些内容，包括重难点内容进行极大的压缩，安排相应的课堂活动来提高学生运用地图的能力，这就为教师提供了更大的拓展空间，为学生提供了更大的求索空间，师生可以充分利用多种教学手段和资源。 2、主要内容的处理：核心内容放在根据使用目的正确选择地图，其次是地图上两点间距离的量算。 （二）、教学目标： 1、知识技能：1）初步了解地图的种类，知道电子地图、遥感图像等在生产生活中的应用。2）学会用比例尺量算两点间实地距离。 2、过程与方法：1）用比例尺量算距离。2）能够使用目的（如旅游）确定所选择的地图类型及其比例尺。3）举例说明一到两种现代高科技地图（例如遥感图像、电子地图等）及其在日常生活中的用途。 3、情感态度与价值观：1）通过具体内容设计培养学生热爱家乡、热爱祖国的美好情感。2）激发学生学习兴趣，改变传统学习方式。

（三）教学重点：用比例尺重算距离。 （四）教学难点：比例尺大小与地图内容详略的关系。 （五）教学方法： 1、充分使用多媒体教学手段，集中展示搜集的信息，运用图片、视频资料，用分组探究法发现、总结比例尺大小与地图内容详略的关系，帮助学生建立“自主、合作、探究”式的学习模式。 2、充使用情境教学法，案例教学法、模拟教学法等教学方法，调动学生学习的热情，培养学生实践能力。 （六）教具准备：北京、杭州和包头市旅游资源简要介绍及图片资料，学生准备直尺、纸片；教师自制的多媒体课件。 （七）教学过程：

人教版小学数学一年级下册《平面图形的认识》教学设计

《平面图形的认识》 教学内容：义务教育课程标准实验教科书数学一年级下册第四单元P34-35 教学准备： 学具：每个四人小组长方体、正方体、圆柱、三棱柱各一个；白纸一叠；印泥一个。每位学生准备剪刀一把。 教具：课件 教学目标： 1、利用立体图形和平面图形的联系，让学生直观地认识长方形、正方形、三角形和圆。 2、通过动手操作、小组合作等方法，让学生充分感知长方形、正方形、三角形和圆的特征，初步建立空间观念。 3、培养学生的合作探究与创新意识。 教学重点： 1、充分感知长方形、正方形、三角形和圆的特征。 2、体会“面在体上” 教学难点：让学生体会“面在体上” 教学过程： 一、创设情境，提出中心问题，并激活旧知。 师：同学们，昨天我们到图形王国去做客了是吗？可是就在昨天晚上，图形王国发生了一起重大案件，警察叔叔正在紧张的破案，通过初步调查确定它们几个有重大嫌疑（课件点击出示长方体、正方体、圆柱和三棱柱），它们几个中到底谁是罪犯呢？让我们一起来看看现场留下的脚印。（课件点击出示：模糊的脚印）你认为谁是罪犯？（我认为***是罪犯，因为它有可能会留下这样的脚印） 二、动手操作、探索新知。 问题序列一：动手印印，画一画，体会“面在体上” １、启发思考。 师：它们四个的脚印到底是怎样的呢？老师已经为大家准备了这几个图形， 怎样才能得到它们的脚印呢？ 生：画下来、印下来、折出来……

２、动手操作。 ①提要求。 师：你们想不想动手印一印或画一画？ 要求：小组合作完成；A、每组至少用两种方法来制作。B、四人小组中，一人负责一个图形的脚印，并把它剪下来。C、请组长先分工，再动手做。比一比，看哪一组在最短的时间里合作得最好。 ②小组合作。 ③全班交流：老师根据学生回答，把各种图形的脚印贴到对应的图形下面。例如：长方体下面贴对应的三个长方形。 ３、形成概念。 师：同学们，通过大家的努力，我们终于得到了这几个图形的脚印。仔细看看，这些脚印和原来的立体图形一样吗？有什么不同？ 生：立体图形有六个面，这些脚印只有一个面；立体图形能站起来，这些脚印不能站起来。 师：同学们，像这样只是一个薄薄的面的图形就是今天我们要学习的平面图形。（板书课题：平面图形） 问题序列二：你觉得谁的脚印最特殊？探索长方形、正方形、三角形和圆的特征 师：同学们，仔细观察你觉得谁的脚印最特殊？为什么？和同桌轻轻地说一说。 1、认识长方形。 生：我觉得长方体的脚印最特殊，它有三种不同的脚印。 师：仔细观察，长方体的三种脚印有什么共同的地方吗？ 小组合作：看一看、数一数、折一折，组内讨论一下，你发现了什么？ 学生汇报：有四条边，四个角，对边相等，其中两条边较长，两条边较短。学生的说明可能不完整，老师进行引导。像这样的图形叫做长方形（板书） 课件演示长方形的这些特征，老师进行小结。 教师改变长方形的位置，让学生认还是不是长方形。 请学生用6根小棒搭一个长方形。 学生展示

2.3直线、平面垂直的判定及其性质 教案设计1

直线和平面垂直的判定与性质（一） 一、素质教育目标 （一）知识教学点 1．直线和平面垂直的定义及相关概念． 2．直线和平面垂直的判定定理． 3．线线平行的性质定理（即例题1）． （二）能力训练点 1．要善于应用平移手法将分散的条件集中到某一个图形中进行研究，特别是辅助线的添加． 2．讲直线和平面垂直时，应注意引导学生把直线和平面关系转化为直线和直线的关系．如直线和平面垂直，只须这条直线垂直于这个平面的两条相交直线，向学生渗透转化思想的应用． （三）德育渗透点 引导学生认识到，定理的证明过程实质是应用转化思想的过程：立体几何的问题转化为平面几何的问题来解决，线、面垂直问题转化为线、线垂直问题来解决．转化思想是重要的数学思想方法，在立体几何的证明和解题中，是一种常用的思想方法． 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．教学重点 （1）掌握直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面的任何一条直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直． （2）掌握直线和平面垂直的判定定理： （3）掌握线线平行的性质定理： 若a∥b，a⊥α则b⊥α．

2．教学难点：在于线、面垂直定义的理解和判定定理的证明；同时还要解决好定理证明过程中，辅助线添加的方法和原因，及为何可用经过B点的两条直线说明“任意”直线的问题． 3．教学疑点：判定定理的条件中，“相交”是关键，“两条”也是一个重要条件，对于初学立体几何的学生来讲，是不好理解的，教师应该用实例说明这两个条件缺一不可． 三、课时安排 本课题共安排2课时，本节课为第一课时． 四、学生活动设计（略） 五、教学步骤 （一）温故知新，引入课题 1．空间两条直线有哪几种位置关系？ （三种：相交直线、平行直线、异面直线） 2．经过一点和一条直线垂直的直线有几条？ （从两条直线互相垂直的定义可知：经过一点有无数多条直线和已知直线垂直） 3．空间一条直线与一个平面有哪几种位置关系？ （直线在平面、直线和平面相交、直线和平面平行．） 4．怎样判定直线和平面平行？ 师：我们已经知道，判定直线和平面平行的问题可以转化为考察直线和直线平行的关系．今天我们转入学习直线和平面相交的一种特殊情形——直线和平面垂直，这个问题同样可以从两条直线垂直的关系入手． （板书课题：§1．9直线和平面垂直） （二）猜想推测，激发兴趣 1．教师演示课本上的实例并指出书脊（想象成一条直线）、各书页与桌面的交线，由于书脊和书页底边（即与桌面接触的一边）垂直，得出书脊和桌面上所有直线垂直，书脊和桌面的位置关系给了我们以直线和平面垂直的形象．从而引入概念：一条直线和平面的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面．

地图地阅读教学设计课题

教学背景：教材的第一章《地球和地图》是学习世界地理和中国地理的基础知识，本章第一、第二节从静态和动态两方面研究地球，第三节《地图的阅读》则是从另一角度研究地球。“没有地图就没有地理学”，地图是地理学习的第二语言，是地理信息的载体和传递工具，在生产、生活中地图有着极广泛的用途。运用地图是学习地理的重要途径，掌握地图的基本知识、形成使用地图的基本技能，是学生应具备的最基本的地理素质。学好地图可以为学生将来更好地学习地理奠定坚实的基础。 教学目标课标要求：在地图上辨别方向，判读经纬度，量算距离。 知识与能力： 1、理解比例尺的含义，记住比例尺的表示形式，掌握三种比例尺表示形 式间的互换，明确比例尺大小的含义；并能正确运用比例尺，换算图 上距离和实际距离。 2、知道水平面上的八个基本方向，学会在地图上正确的辨认方向，并归 纳总结三种不同地图的定向方法。 3、了解一些常见图例。 过程与方法： 1、通过读图、计算等实践活动，使学生初步学会辨别方向、查找地理事 物。 2、通过用比例尺量算两地间的实地距离，帮助学生初步建立地图的空间 概念。 情感、态度与价值观：通过学习使学生初步掌握地图的使用方法，使学生对地图产生亲切感，从而在今后的生活和学习中主动地使用地图。同时懂得所学知 识在实际生活中的重要性，从而树立正确的学习态度。 教学重点： 1、比例尺的计算公式和表现形式； 2、不同地图上方向的判别。 教学难点 ：1、比例尺的运用； 2、地理事物之间的空间位置关系的判别。 教学方法：以“读图分析”法为主、讲授法相结合，并安排分组讨论与课堂练习等教学活动，充分发挥以教师为主导、学生为主体的教学模式。通过组织学生进行合作学习、小组讨论，以提高他们与人交往、处理问题的综合素质。 教材分析 “阅读地图的基本要素”是人教版《地理》七年级上册第一章“地球和地图”第三节第一部分的容。第三节“地图的阅读”容分为两部分--“阅读地图的基本要素” 和“选择适用的地图”，两者之间相互联系。从教材的结构上看，本节课既是学习地球相关知识的延伸，又为学习“选择适用的地图”和以后的读图、用图奠定了良好的基础，起了承上启下的作用。

地图教学设计

地图教学设计Map teaching design

地图教学设计 前言：小泰温馨提醒，地理是世界或某一地区的自然环境山川、气候等及社会要素的统称。是一门综合性的基础学研究地球表面的地理环境中各种自然现象和人文现象，以及它们之 间相互关系的学科。本教案根据地理课程标准的要求和针对教学对象是初中生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根 本目的。便于学习和使用，本文下载后内容可随意修改调整及打印。 第一课时2 【重点】 1.比例尺及其表示方法。 2.在有经纬网的地图上判别方向。 3.在等高线地形图、分层设色地形图上辨别地面的高低起伏 和地形类型。 【难点】 1.比例尺的大小与地图内容的详略关系。 2.在有经纬网的地图上辨别方向。 3.等高线地形图的判读。 【课前准备】

1.学生准备：尺子、铅笔、白纸、小地球仪、剪刀、彩笔、 胶水、橡皮泥或泡沫塑料、海绵、玻璃片。 2.教学器材：大地球仪、教学挂图（世界地形图、中国政区图、北京市地图、校园平面图）、投影仪或计算机、等高线模型。 3.教学课件： 计算机演示—— ①比例尺的三种表示形式、 ②经纬先的三种画法、 ③等高线的画法、 ④等高线的形状、 ⑤地形剖面图画法； 投影片演示—— ①有指向标地图、 ②有经纬网地图、 ③地形剖面图、 ④山地不同部位示意图。 教师指导与演示 学生活动 问题导入：

大屏幕出示： 1、同学们知道世界最高峰叫什么？它有多高？这个高度是什么高度？在地图上是怎样表示出来？ 2、“世界屋脊”指的是什么地方？有多高？在地图上是怎样表示的？ 过渡：大家阅读的这张地图，叫地形图。今天我们就来学习怎样阅读地形图。 学生可以阅读书后边的地形图，相互商量找出答案。 学生回答： 板书： 地形图的判读 1、地面高度的确定 画板图： 过渡： 地面上各地的海拔高度可以测量出来，怎样表示在地图上呢？ 计算机课件演示： “海拔的测绘与等高线的绘制”

直线与平面垂直性质定理练习题

, 直线与平面垂直的性质 一、选择题 1．下列说法正确的是( ) A ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α B ．若直线l 与平面α垂直，则l 与α内的任一直线垂直 C ．若E 、F 分别为△ABC 中AB 、BC 边上的中点，则EF 与经过AC 边的所有平面平行 D ．两条垂直的直线中有一条和一个平面平行，则另一条和这个平面垂直 2．若M 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( ) , ① ?????m ∥n m ⊥α?n ⊥α； ② ? ????m ⊥αn ⊥α?M ∥n ； ③ ?????m ⊥αn ∥α?M ⊥n; ④ ?????m ∥αm ⊥n ?n ⊥α． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．已知直线PG ⊥平面α于G ，直线EF ?α，且PF ⊥EF 于F ，那么线段PE ，PF ，PG 的大小关系是( ) A ．PE >PG >PF B ．PG >PF >PE C ．PE >PF >PG D ．PF >P E >PG 4．PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任一点，则下列关系不正确的是( ) . A ．PA ⊥BC B ．B C ⊥平面PAC C ．AC ⊥PB D ．PC ⊥BC 5．下列命题： ①垂直于同一直线的两条直线平行； ②垂直于同一直线的两个平面平行； ③垂直于同一平面的两条直线平行； ④垂直于同一平面的两平面平行． 其中正确的个数是( ) ' A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．在△ABC 所在的平面α外有一点P ，且PA ＝PB ＝PC ，则P 在α内的射影是△ABC 的( ) A ．垂心 B ．内心 C ．外心 D ．重心 二、填空题 7．线段AB 在平面α的同侧，A 、B 到α的距离分别为3和5，则AB 的中点到α的距离为________． 8．直线a 和b 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的两个不同平面内，使a ∥b 成立的条件是________．(只填序号) ①a 和b 垂直于正方体的同一个面；②a 和b 在正方体两个相对的面内，且共面；③a 和b 平行于同一条棱；④a 和b 在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直． 9．如图所示，平面ABC ⊥平面ABD ，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，△ABD 是正三角形，O 为AB 中点，则图中直角三角形的个数为________． 、

深圳市一年级数学下册第一单元《认识图形(二)》单元测试卷(答案解析)

深圳市一年级数学下册第一单元《认识图形（二）》单元测试卷（答案解析） 一、选择题 1．下图中有个三角形，个正方形，个平行四边形，个长方形。横线上分别填（）。 A. 1 1 2 3 B. 3 1 0 3 C. 1 3 2 2 2．下列图形中不能通过平面图形的旋转得到的是（） A. B. C. D . 3．下面图形中与其他图形不是同类的是（）。 A. B. C. 4．下列图片中，没有图形（） A. 三角形 B. 圆 C. 正方形 5．当一个四边形的两组对边分别平行，四条边都相等，四个角都相等时，这个四边形是（）。 A. 棱形 B. 平行四边形 C. 正方形 6．一个正方形的周长是12厘米，它的边长一定是6厘米。（） A. 对 B. 错 7．长方形是特殊的平行四边形,正方形又是特殊的长方形。( ) A. 对 B. 错

8．数一数，下图中有几个三角形？（） A. 4 B. 6 C. 7 9．像这样先折后再沿着虚线剪下一个（）图形。 A. 正方形 B. 长方形 C. 平行四边形 D. 圆10．三角形是（）。 A. B. C. 11．下面的图形中对称轴最多的是（）。 A. 正方形 B. 长方形 C. 等边三角形 12．圆有（）条对称轴。 A. 1 B. 4 C. 无数 二、填空题 13．分一分，填一填。（填序号） 长方形：________ 正方形：________ 三角形：________ 圆：________ 14．数一数。

________个 ________个 ________个 ________个 ________个 15．把各种图形的序号填在横线上。 ________ ________ ________ 16．图中有________个，有________个，有________个，________个。 17．数一数。

直线、平面垂直的判定及其性质

直线、平面垂直的判定及其性质 最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题 . 知 识 梳 理 1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线l 与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直. (2)判定定理与性质定理 (1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角. (2)范围：??? ???0，π2. 3.二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；

(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. (3)二面角的范围：[0，π]. 4.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理 1.两个重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法). 2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则l ⊥α.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行.( ) (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( )

平面与平面垂直的性质(教案)

平面与平面垂直的性质（教案） 教学目的 通过对面面垂直性质定理的探索、证明，培养学生的观察、分析、论证等思维能力 教学目标： 1 理解掌握面面垂直的性质定理 2 能初步运用性质定理解决问题 教学重点难点： 重点：理解掌握面面垂直的性质定理 难点：运用性质定理解决实际问题 教学过程： (一) 复习提问 师：请大家回顾一下，怎样判断线面垂直和面面垂直？（提问） 生：线面垂直判定定理： 如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面. 生：面面垂直判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. (二)引入新课 师：今天我们要学习“两个平面垂直的性质”，先来看下面问题：如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，判断下面结论的正误。 1)平面ADD′A′⊥平面ABCD 2) DD′⊥面ABCD 3)AD′⊥面ABCD

师：我们发现：平面ADD′A′⊥平面ABCD，平面ADD′A′∩平面ABCD = AD，D′是平面ADD′A′内一点，过D′点可作无数条直线，这些直线中有与平面ABCD垂直的，也有不垂直的，那么，满足什么条件的直线能与平面ABCD垂直呢？ （提出问题，引发思维,并引导学生积极寻找这些直线与交线AD的关系）生：（略） 师：平面ADD′A′⊥平面ABCD，平面ADD′A′内的任一点，平面内过该点且垂直于交线的直线垂直于平面ABCD。 （三）新课 已知：面α⊥面β，α∩β = a, AB α , AB⊥a于B， 求证：AB⊥β (让学生思考怎样证明) 师：(分析：要证明直线垂直于平面，须证明直线垂直于 平面内两条相交直线，而题中条件已有一条， 故可过该直线作辅助线） 证明：在平面β内过B作BE⊥a，又∵AB⊥a， ∴∠ABE为α﹣a﹣β的二面角，又∵α⊥β， ∴∠ABE = 90° , ∴AB⊥BE 又∵AB⊥a, BE∩a = B, ∴AB⊥β 1.面面垂直的性质定理： 两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. （用符号语言表述）若α⊥β，α∩β = a, AB α , AB⊥a于B，则AB⊥β 师：从面面垂直的性质定理可知，要证明线垂直于面可通过面面垂直来证明，而前面我们知道，面面垂直也可通过线面垂直来证明。这种互相转换的证明方法是常用的数学思想方法。同学们在学习中要认真理解和体会。 2. 例题分析 例1．空间四边形ABCD中，ΔABD与ΔBCD都为 正三角形，面ABD⊥面BCD，试在平面BCD 内找一点，使AE⊥面BCD 解：在ΔABD中，∵AB=AD,取BD的中点E， 连结AE，则AE为BD的中线

地图教学设计

第一章地球和地图 第三节地图 遵义市第十七中学龚小霞 一、教学目标 知识与技能目标 1、使学生学会看地图，理解地图的方向、比例尺、图例和注记。 2、让学生能正确辨别方向，比较比例尺的大小。 过程与方法目标 让学生探究与互助讨论中，完成对地图三要素的学习。 情感、态度与价值观目标 在帮助学习的过程中，让学生体会到助人为乐的快乐，并且在以后的生活中能互相帮助。让学生明白，我们学习的是对生活有用的地理知识。 二、教学重点 在不同地图上辨别方向。 三、教学难点 对同一图幅大小的地图，比较比例尺的大小，反应的范围大小，描述的地理事物详略。 四、教学用具 贵州省地图、多媒体课件、自制方位指向标。 五、课时安排 1课时 六、教学过程 导入： 让学生帮帮忙，老师下周需要去贵阳，但是老师不知道贵阳在哪？怎么样才能知道呢？需要用什么工具？ 学生答（地图） 讲新 在地图上老师能找到贵阳、遵义等贵州的各个地区，那么老师想知道，贵阳在遵义的什么方位，应该怎么办呢？ 学生思考 首先确定这幅地图的方向，我们地球上得方向有哪些呢？ 讲解基本方位的来历（展示方向坐标） 北：指向北极星的方向。 南：与北极星方位相反的方向。 东：太阳升起来的方向。 西：太阳落下去的方向。 这四个方向是相互垂直的。 在这四个方向的基础上，延伸初东北、西北、西南、东南四个方位，和刚才的四个方位合起来就是我们地面上最基本的八个方向拉。 那么请同学们认真看一下，老师挂在黑板上得这幅贵州省地图，对于方向有没有给我们任何提示呢？

学生回答：没有 但是有些地图就明确给我们指明了方向，比如（老师在多媒体课件上展示有指向标的地图。） 在这幅地图上，同学们观察，在哪个地方有方向的指示呢?(提示学生在地图的四个角寻找指向标) 学生答：在地图的右上角，有一个箭头，在箭头上方写了一个北字，就代表这个方向是指向北极星的方向，北方。 老师：非常好，那么北方知道后，其他几个方位也可以知道了，回忆刚才老师讲的，与北极星相反的方向是南方，与南北相垂直的就是东西方向了。 我们把这幅地图的方向定好之后就可以回答旁边的提问了。 经济开发区在耕地的什么方向? 学生答：正西。 第一次见面，没什么好送给大家的，老师送给大家一个小礼物吧，你们帮老师这么大忙。（按小组分发自制方位坐标） 同学看第二个问题：经济开发区在城市的什么方向？ 用老师发的方位坐标，先定位在指向标，然后平行移动到城市。再观察，经济开发区在城市的什么方向？ 学生答：西北 现在老师已经把在有指向标的地图上判别方向的方法教给你了，现在你们讨论课文15页上的活动题。 四人为一个小组，运用老师刚才讲的方法，看哪组的同学最快完成。 学生讨论，老师指导。 老师：现在同学们已经学会了在有指向标的地图上判别方向，那么思考挂在黑板上的这幅贵州地图，它没有指向标，那我们应该怎样判别方向呢/ 其实，没有指向标的地图，是一种特殊的有指向标的地图。它的北方已经默认为“上北下南，左西右东。”因此我们拿地图的时候，要面朝北，背朝南。再根据老师教你们的方位坐标定位法，回答老师提出的问题。 遵义在贵阳的什么方向？ 贵阳在安顺的什么方向？ 安顺在遵义的什么方向？ 分别找同学在黑板上演示。 老师：有指向标的地图和无指向标的地图我们都已经会判别方向了，但是有些地图比较特殊，我们来看一下这样的地图，又该怎样判别方向呢？ 展示经纬网地图 复习：经线指示南北方向，纬线指示东西方向。 展示日本地图，根据老师刚才讲的方位坐标法，完成思考题。 广岛在东京的什么方向，北海道岛在东京的什么方向? 帮帮忙:老师有个问题没弄明白，贵州的面积有17万平方千米，怎么面积广阔的地域，是通过什么方法画在这张小小的纸上呢？ 学生答：按一定比例缩小 引出比例尺的概念：图上距离比实际距离缩小的程度。 公式: 展示三幅不同地图，让学生观察比例尺的三种表达方式。 老师总结，比例尺的分子都是一，同样图幅大小，实地距离越大，比例尺越小，

平面图形的认识 (2)

《平面图形的认识》教学设计 浙江省湖州市东风小学王艳蓉 《认识图形》是人教版义务教育课程标准实验教科书第一册第四单元第二课时内容。本单元第一课时是初步认识立体图形长方体、正方体、圆柱和球。教材通过立体图形和平面图形的关系引入教学，让学生感知两者之间的关系，从立体图形中分离中平面图形，从来让学生更好的理解“面从体上来”，并概括抽象出不同的平面图形的一般特征。 教学目标： 1．利用立体图形和平面图形的关系，使学生初步认识长方形、正方形、三角形和圆形。 2．让学生在动手操作的学习过程中，体验“面在体上”实现对平面图形的进一步认识，发展形象思维。 3．通过小组合作的方式，发展实践能力，培养创新精神，建立空间观念。 4．通过设计拼组图形的动手活动，使学生积极参与，对图形产生好奇心，使他们在活动中获得成功的体验。 教学重点：感知长方形、正方形、三角形和圆的特征； 教学难点：使学生体会“面在体上”。 教学准备： 学生用：四种立体图形、四种平面图形、剪刀、纸。 教师用：四种平面图形、课件 教学过程： （一）动手操作，感知“面在体上” 1．导入新课。 （出示由各种平面图形拼成的小汽车。） 师：小朋友，你知道这辆漂亮的小汽车是由哪些图形拼成的吗？请你来认一认、指一指。 （生：长方形、正方形、三角形、圆形。） 教师将学生回答后的图形贴在黑板上。 师：今天我们就是要来认识这四个图形。

据了解，虽然没有正式的学习过平面图形，但是学生们在生活中都已经认识了这四个平面图形。因此在设计时，针对一年级学生的特点，并考虑到他们现有的起点，出示了一辆由各种平面图形拼成的汽车，让学生找出自己认识的图形。引入新课。 2．感知“面在体上”。 A、分给每组一个长方体、正方体、圆柱、三棱柱。 师：小朋友，现在这四个图形就藏在你们桌上的那些物体里，请你把它们都找出来好不好？并说给你组里的小朋友听一听，你从哪里找到了这些图形？ 各组合作操作。 小组汇报。 从长方体上找到上长方形；从正方体上找到了正方形；从圆柱上找到了圆；从三棱柱上找到了三角形。 课件演示──面从体上分离的过程。 教师小结。 课件演示。 师：从长方体上找到上长方形；从正方体上找到了正方形；从圆柱上找到了圆；从三棱柱上找到了三角形。 这一过程的设计主要是考虑到一年级学生以形象思维为主的特点，“平面图形”这一抽象的概念，对他们而言在理解上有很大的难度。因此让学生通过自己的动手操作充分感知到今天学习的图形原来是从已经学过的立体图形中来的，是立体图形中的一个面。 B、师：老师想把这四个图形从这些立体中搬下来放在纸上，你能帮我想想办法吗？ （生：沿着表面的边缘描出图形。） 师：那就请你们画一画，四人小组中，一人画一个图形。画完后，请你把它剪下来。 学生动手操作。 师：那你说这四个你刚剪下的图形和我们以前学习的立体图形一样吗？有什么不同？ （生：立体图形不只一个面，这些图形只是一个面；立体图形能站立，平面图形不能站立。） 这一过程的设计是在前一环节“找”的基础上进一步体会“面从体上来”并且在想办法搬的思考过程中，在画的过程中，让学生具体感知平面图形与立体图形的不同之处。

直线、平面垂直的判定及其性质(二)(讲义)含答案

直线、平面垂直的判定及其性质（二）（讲义） ?知识点睛 一、直线与平面垂直（线面垂直） 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_____________． a b α ∵_________，b⊥α， ∴___________． 其他性质： 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面； 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么这条直线也垂直于另一个平面． 二、平面与平面垂直（面面垂直） 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内_____________的直线与另一个平面垂直． α a l β ∵α⊥β，α∩β=l，________，________， ∴a⊥β． 其他性质： 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面； 如果一平面垂直于两平行平面中的一个平面，那么它必垂直于另一个平面．

?精讲精练 1.已知直线l垂直于直线AB和AC，直线m垂直于直线BC和AC，则直线l， m的位置关系是（） A．平行B．异面C．相交D．垂直 2.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一组条件是（） A．m∥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β=m，n?α C．m∥n，n⊥β，m?α D．m∥n，m⊥α，n⊥β 3.若m，n，l是互不重合的直线，α，β，γ是互不重合的平面，给 出下列命题： ①若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n⊥α或n⊥β； ②若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n； ③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线； ④若α∩β=m，m∥n，且n?α，n?β，则n∥α且n∥β； ⑤若α∩β=m，β∩γ=n，α∩γ=l，且α⊥β，α⊥γ，β⊥γ，则m⊥n，m ⊥l，n⊥l．其中正确命题的序号是________________． 4.边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则AC 的长为（） B C D A A B． 2 a C． 2 a D．a