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中考数学压轴题汇总91408

中考数学压轴题汇总（一）

17.（2005浙江台州）如图，在平面直角坐标系内，⊙C 与y 轴相切于D 点，与x 轴相交于A （2，0）、B （8，0）两点，圆心C 在第四象限. （1）求点C 的坐标；

（2）连结BC 并延长交⊙C 于另一点E ，若线段．．BE 上有一点P ，使得 AB 2＝BP·BE，能否推出AP⊥BE？请给出你的结论，并说明理由；

（3）在直线．．

BE 上是否存在点Q ，使得AQ 2＝BQ·EQ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，也请说明理由.

[解] （1） C （5，-4）；

（2）能。连结AE ，∵BE 是⊙O 的直径， ∴∠BAE=90°.

在△ABE 与△PBA 中，AB 2＝BP· BE , 即AB

BE BP

AB =, 又

∠ABE=∠PBA, ∴△ABE∽△PBA .

∴∠BPA=∠BAE=90°, 即AP⊥BE .

（3）分析：假设在直线EB 上存在点Q ，使AQ 2＝BQ· EQ. Q 点位置有三种情况： ①若三条线段有两条等长，则三条均等长,于是容易知点C 即点Q ；

②若无两条等长，且点Q 在线段EB 上，由Rt△EBA 中的射影定理知点Q 即为AQ⊥EB 之垂足；

③若无两条等长，且当点Q 在线段EB 外，由条件想到切割线定理，知QA 切⊙C 于点A.设Q()(,t y t ),并过点Q 作QR⊥x 轴于点R,由相似三角形性质、切割线定理、勾股定理、三角函数或直线解析式等可得多种解法. 解题过程：

① 当点Q 1与C 重合时，AQ 1=Q 1B=Q 1E, 显然有AQ 12＝BQ 1· EQ 1 , ∴Q 1(5, -4)符合题意；

② 当Q 2点在线段EB 上， ∵△ABE 中，∠BAE=90° ∴点Q 2为AQ 2在BE 上的垂足， ∴AQ 2=

48=?BE

AE AB = 4.8（或

）. ∴Q 2点的横坐标是2+ AQ 2·cos ∠BAQ 2= 2+3.84=5.84,

又由AQ 2·sin ∠BAQ 2=2.88, ∴点Q 2（5.84，-2.88）, ??

??????

??-257225146，或

③方法一：若符合题意的点Q 3在线段EB 外,

则可得点Q 3为过点A 的⊙C 的切线与直线BE 在第一象限的交点. 由Rt△Q 3BR∽Rt△EBA，△EBA 的三边长分别为6、8、10, 故不妨设BR=3t ，RQ 3=4t ，BQ 3=5t, 由Rt△ARQ 3∽Rt△EAB 得

RQ EA

AR 3=，

即

64836t t =+得t=7

，〖注:此处也可由4

∠=∠AEB tg AR Q tg 列得方程

634=+t t ；

或由AQ 32 = Q 3B·Q 3E=Q 3R 2+AR 2列得方程()()()2

6345105++=+t t t t )等等〗

∴Q 3点的横坐标为8+3t=7110， Q 3点的纵坐标为7

，即Q 3（

7110，7

）. 方法二：如上所设与添辅助线, 直线 BE 过B(8, 0), C(5, -4), ∴直线BE 的解析式是3

34-=x y . 设Q 3（t ，

34-t ）,过点Q 3作Q 3R⊥x 轴于点R, ∵易证∠Q 3AR =∠AEB 得 Rt△AQ 3R∽Rt△EAB,

∴EA

AB AR RQ

3 , 即 862332

34=--t t , ∴t=7110 ,进而点Q 3 的纵坐标为772，∴Q 3（7110，7

72）.

方法三：若符合题意的点Q 3在线段EB 外,连结Q 3A 并延长交y 轴于F, ∴∠Q 3AB =∠Q 3EA ，4

∠=∠=∠AEB tg AB Q tg OAF tg ,

在R t△OAF 中有OF=2×

43=23，点F 的坐标为（0，2

-）, ∴可得直线AF 的解析式为2

43-=x y ,

又直线BE 的解析式是3

3234-=x y , ∴可得交点Q 3（

7110，7

72）. 18.（2005上海长宁）如图1，抛物线关于y 轴对称，顶点C 坐标为（0，h ）(h>0)，交x

轴于点A （d,0）、B （-d,0）（d>0）。（1）求抛物线解析式（用h 、d 表示）；

（2）如图2，将ABC 视为抛物线形拱桥，①～⑤拉杆均垂直x 轴，垂足依次在线段AB 的6等分点上。h=9米。

(i )求拉杆⑤DE 的长度；

(ii)若d 值增大，其他都不变，如图3。拉杆⑤DE 的长度会

改变吗？(只需写结论) （3）如图4，点G 在线段OA 上，OG=kd （比例系数k 是常数，

0≤k ≤1），GF ⊥x 轴交抛物线于点F 。试探索k 为何值时，

tg ∠FOG= tg ∠CAO ？此时点G 与OA 线段有什么关系？

[解] （1）用顶点式，据题意设y=ax 2

+h 代入A （d ，0）得a=2d

h - ∴y=2

d h -

x 2

+h (2)(i)h=9，代入（1）中解析式得y=2

9d -x 2

+9 据题意OE=

32d ，设D （3

d ，y D ）点D 在抛物线上，y D =29d -(3

d)2+9=5，∴DE=5米。

(ii) 拉杆⑤DE 的长度不变。

（3）OG=kd ，∴点F 坐标可设（kd ，y F ）代入y=2d

h -x 2

+h ，得： y F = h(1－k 2)

tg ∠FOG= tg ∠CAO ，kd k h )1(2- =d

112

=-k k 012=-+k k 解得2151-=k 2

52+=

k （∵0

5-=

k ，此时点G 是线段OA 的黄金分割点。 19.（2006上海金山）已知：抛物线经过A （2，0）、B （8，0）、C （0，

16）

图4

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为P ，把△APB 翻折，使点P

落在线段AB 上（不与A 、B 重合），记作/P ，折痕为EF ，设A /P = x ，PE = y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；

（3）当点/P 在线段AB 上运动但不与A 、B 重合

时，能否使△EF /P 的一边与x 轴垂直？若

能，请求出此时点/

P 的坐标；若不能，请你说明理由。

[解] （1）设)8)(2(--=x x a y

把)3316,

0(代入得 3

=a ∴)8)(2(33--=

x x y 即3

3163310332+-=x x y （2）顶点P （)33,5- AP=AB=BP=6 ∴ 0

'60=∠PAP 作AP G P ⊥'

于G ，则x AG 2

，x G P 23'= 又y PE E P =='

，y x EG --

6 在EG P Rt '

?中，222)2

6()23(

y y x x =--+ ∴ )60(1236

62<<-+-=

x x

x x y

（3）若x EP ⊥'

轴则x y 26=-

x x

x x 21236662=-+-- 36121-=x ，36122+=x （舍去）

∴ )0,3614('

-P

若x FP ⊥'

轴则x y 2

16=

- x x x x 2

11236662=-+-- 6363-=x ，6364--=x （舍去）

∴ )0,436('

-P

若x EF ⊥轴，显然不可能。

∴ )0,3614('-P 或 )0,436('

-P

20. （2006湖北十堰）已知抛物线1C ：2

2y x mx n =-++（m ，n 为常数，且0m ≠，0n >）

的顶点为A ，与y 轴交于点C ；抛物线2C 与抛物线1C 关于y 轴对称，其顶点为B ，连接

AC ，BC ，AB ．

注：抛物线()2

0y ax bx c a =++≠的顶点坐标为2424b ac b a

a ??

-- ???，．

（1）请在横线上直接写出抛物线2C 的解析式：________________________；（2）当1m =时，判定ABC △的形状，并说明理由；

（3）抛物线1C 上是否存在点P ，使得四边形ABCP 为菱形？如果存在，请求出m 的值；如果不存在，请说明理由．

[解] （1）22y x mx n =--+．

（2）当1m =时，ABC △为等腰直角三角形． ·········· 3分

理由如下：

如图：点A 与点B 关于y 轴对称，点C 又在y 轴上，

AC BC ∴=．

过点A 作抛物线1C 的对称轴交x 轴于D ，过点C 作CE AD ⊥于E ．

∴当1m =时，顶点A 的坐标为()11A n +，，1CE ∴=．

又

点C 的坐标为()0n ，，

11AE n n ∴=+-=．AE CE ∴=．

从而45ECA =∠，45ACy ∴=∠．

由对称性知45BCy ACy ==∠∠，90ACB ∴=∠．

ABC ∴△为等腰直角三角形．

（3）假设抛物线1C 上存在点P ，使得四边形ABCP 为菱形，则PC AB BC ==．

x y

由（2）知，AC BC =，AB BC AC ∴==．从而ABC △为等边三角形．

30ACy BCy ∴==∠∠．

四边形ABCP 为菱形，且点P 在1C 上，∴点P 与点C 关于AD 对称．

PC ∴与AD 的交点也为点E ，因此903060ACE =-=∠．

点A C ，的坐标分别为()

()20A m m n C n +，，，，

22AE m n n m CE m ∴=+-==，．在Rt ACE △中，2tan 603AE m CE m

===．

3m ∴=，3m ∴=±．

故抛物线1C 上存在点P ，使得四边形ABCP 为菱形，此时3m =±．

21.（2006湖北宜昌）如图，点O 是坐标原点，点A （n ，0）是x 轴上一动点(n ＜0）以AO 为一边作矩形AOBC ，点C 在第二象限，且OB ＝2OA ．矩形AOBC 绕点A 逆时针旋转90o 得矩形AGDE ．过点A 的直线y ＝kx ＋m 交y 轴于点F ，FB ＝FA ．抛物线y=ax 2+bx+c 过点E 、F 、G 且和直线AF 交于点H ，过点H 作HM ⊥x 轴，垂足为点M ． (1)求k 的值；

(2)点A 位置改变时，△AMH 的面积和矩形AOBC 的面积的比值是否改变？说明你的理由．

[解] （1）根据题意得到：E （3n ，0）， G （n ，－n ）

当x ＝0时，y ＝kx ＋m ＝m ，∴点F 坐标为（，m ）

∵Rt △AOF 中，AF 2＝m 2＋n 2， ∵FB ＝AF ，

∴m 2＋n 2＝(-2n －m)2，

化简得：m ＝－0.75n ，

对于y ＝kx ＋m ，当x ＝n 时，y ＝0， ∴0＝kn －0.75n ， ∴k ＝0.75

y y x

G F E

C B A

（2）∵抛物线y=ax 2+bx+c 过点E 、F 、G ，

∴ ??

???=-++=-++=c c nb a n n c nb a n 75.03902

解得：a ＝n 41，b ＝－2

，c ＝－0.75n

∴抛物线为y=n 41x 2－2

x －0.75n

解方程组：?????

-=--=

x y n x x n y 75.075.075.02

1412 得：x 1＝5n ，y 1＝3n ；x 2＝0，y 2＝－0.75n

∴H 坐标是：（5n ，3n ），HM ＝－3n ，AM ＝n －5n ＝－4n ， ∴△AMH 的面积＝0.5×HM ×AM ＝6n 2；

而矩形AOBC 的面积＝2n 2，∴△AMH 的面积∶矩形AOBC 的面积＝3:1，不随着点A 的位置的改变而改变．

22.（2005黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的斜边AB 在x 轴上，AB=25，顶点C 在y 轴的负半轴上，tan∠ACO=3

4，点P 在线段OC 上，且PO 、PC 的长(PO

于x 的方程x 2-(2k+4)x+8k=O 的两根． (1)求AC 、BC 的长； (2)求P 点坐标；

(3)在x 轴上是否存在点Q ，使以点A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是梯形?若存在，请直接写出直线PQ 的解析式；若不存在，请说明理由．

[解] (1)∵ ∠ACB=900，CO⊥AB，∴ ∠ACO=∠ABC． ∴ tan∠ABC=3

4，

Rt△ABC 中，设AC=3a ，BC=4a 则AB=5a ，5a=25 ∴ a=5 ∴ AC=15， BC=20

(2)∵ S △ABC =12AC·BC=1

2OC·AB， ∴ OC=12

∴ PO+PC=4+2k=12． ∴ k=4

∴ 方程可化为x 2-12x+32=O ．解得x 1=4，x 2=8 ∵ PO

∴ PO=4． ∴ P(O，-4) (3)存在，直线PQ 解析式为：y=- 43x-4或y=- 4

-4

23.（2006黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，线段OA 、