对数函数讲义
一、教学目标：
1．理解对数的概念，掌握对数的运算性质；
2．掌握对数函数的概念、图象和性质；能利用对数函数的性质解题．
二、教学重、难点：
运用对数运算性质进行求值、化简、证明、运用对数函数的定义域、单调性解题
三、命题规律：
主要考察指数式b
a N =与对数式log a N
b =的互化，对数函数的图像和性质或由对数
函数复合成的函数，主要涉及比较大小、奇偶性、过定点、单调区间以及运用单调性求最值等，主要以填空为主。
四、教学内容：
【知识回顾】 1.对数的概念
如果 ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做对数的 。 即指数式与对数式的互化：log b
a a
N b N =?=
2.常用对数：通常将以10为底的对数10log N 叫做常用对数，记作lg N 。
自然对数：通常将以无理数 2.71828e =???为底的对数叫做自然对数，记作ln N 。
3.对数的性质及对数恒等式、换底公式
（1）对数恒等式：①
log N
a a = (01,0)a a N >≠>且②log N a a =
(01,0)a a N >≠>且
（2）换底公式：log a N =
log log b b N
a
（3）对数的性质：①负数和零没有对数 ② 1的对数是零，即log 10a =
③底的对数等于1，即log 1a a = ④log log log a b c b c d ??=log a d
4.对数的运算性质
如果01,0,0a a M N >≠>>且，那么
（1）log ()a MN = ； （2）log a
M
N
= ； （3）log n
a M = ； （4）log
n a m
M = 。
（5）log log a b b a ?= ； （6）log a b =
1
log b a
5.对数函数
函数log (01)a y x a a =>≠且做对数函数，其定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).、 6.对数函数图像与性质
注：对数函数1log log (01)a a
y x y x a a ==>≠与且的图像关于x 轴对称。
7.同真数的对数值大小关系如图
在第一象限内，图像从左到右相应的底逐渐增大， 即01c d a b <<<<<
8.对数式、对数函数的理解
① 应重视指数式与对数式的互化关系，它体现了数学的转化思想，也往往是解决“指数、对数”问题的关键。
② 在理解对数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像2log 2,log 2,3ln x y y x y x ===等函数均不符合形式log (01)a y x a a =>≠且，因此，它们都不是对数函数 ③ 画对数函数log a y x =的图像，应抓住三个关键点1
(,1),(1.0),(,1)a a
-
【例题精讲】
考点一：对数式的运算
例1.计算
（1
）(
2
2lg5
+（2）
()(21
lg5lg8lg1000lg lg lg0.06
6
++++
【反思归纳】运用对数的运算法则时，要注意各字母的取值范围，只有所得结果中的对数和所给出的数的对数都存在时才成立，同时不要将积商幂的对数与对数的积商幂混淆起来。
【举一反三】
1.求值：
（
1）
222
1
log log12log421
2
--（2）()2
lg2lg2lg50lg25
+?+
（3）()()
3948
log2log2log3log3
+?+
练习：
1=
29=
3(log3log3)=
1
2
48
．化简．
．计算．
．计算＋·．
lg lg
lg
lg
log
2
39
391
2
3
-+
-
4log(6+42642)=
5log2=
1a
a
log3=
32
．．
．已知，则．
--
-
6．若log π(log 3(lnx))=0，则x=________． 7．化简lg 25＋lg2·lg50=________．
8log500lg 85lg6450(lg2lg5)2．计算＋＋＋＝
．-1
2
考点二：对数值的大小比较
比较大小常用的方法有：①做差比较法 ②做商比较法 ③函数单调性法 ④中间值法， 在比较两个幂的大小时，除上述一般方法外，还应注意以下情况：
1) 对于底数相同，真数不同的两个对数的大小比较，直接利用对数函数的单调性来判断。 2) 对于底数不同，真数相同的两个对数的大小比较，可利用对数函数的图像来判断。 3) 对于底数和真数均不同的两个对数的大小比较，可以利用中间值来比较
4) 对于三个及以上的数进行大小比较，则应先根据值的大小，（特别是0和1）进行分组，
再比 较各组的大小。
5) 对于含有参数的两个对数进行大小比较时，要注意对底数进行讨论。 例2.比较大小
（1）22log 3.4log 8.5与 （2）23log 3log 3与
（3）76log 6log 7与 （4）()
()2
1
log 1log 2
a a
b b b R -+∈与
【举一反三】
(1)3.0log 7.0log 4.03.0与 (2) 2
14.36.0317.0log ,8.0log -
?
?
? ??和 (3)1.0log 1.0log 2.03.0和
解：（1） ∵13.0log 7.0log 3.03.0=< 14.0log 3.0log 4.04.0=>
∴3.0log 7.0log 4.03.0<
(2) ∵18.0log 06.0<< 07.0log 4.3< 1312
1
>??
?
??-
∴2
1
6.04.3318.0log
7.0log -
??
? ??<<
(3) 解： 03
.0log 11.0log 1.03.0>=
02
.0log 11.0log 1.02.0>=
∵2.0log 3.0log 1.01.0< ∴1.0log 1.0log 2.03.0> 考点三：与对数函数有关的定义域问题
求与对数函数有关的复合函数的定义域的方法与前面所讲到的求定义域解法一样，但应
注意真数大于0且不等于1，若遇到底数含有参数，则应对参数进行讨论。 例3. 求下列函数的定义域
()21log a y x =；
（2）2
log (4)a y x =-；（3）log 4a x
y x
=-. 解（1）因为2
0x >，即0x ≠，所以函数2log a y x =的定义域是()(),00,-∞+∞.
（2）因为240x ->，即240x -<，所以函数2log (4)a y x =-的定义域是()2,2-.
（3）因为
04x x >-，即()40x x -<，所以函数log 4a
x
y x
=-的定义域是()0,4. 考点四：与对数函数有关的值域问题
（1） 型如(log )a y f x =：采用换元法，令log a t x =，根据定义域先求log a t x =值域，
再求()y f t =的值域。
（2） 型如log ()a y f x =：由真数()0f x >求出定义域，再求出()y f x =的值域，再根据
a 的值确定复合函数的值域.
例4.求下列函数的定义域、值域： (1)4
121
2
-
=
--x
y (2) )52(log 2
2++=x x y (3) )54(log 2
3
1++-=x x y (4) )(log 2x x y a --=
解(1)：要使函数有意义，必须：04
1
2
1
2≥-
--x 即：11212≤≤-?-≥--x x 值域：∵11≤≤-x ∴012
≤-≤-x 从而 1122
-≤--≤-x ∴
2
124
1
1
2
≤
≤--x ∴4141201
2
≤-
≤--x ∴2
10≤≤y (2)∵522
++x x 对一切实数都恒有4522
≥++x x ∴函数定义域为R
从而24log )52(log 22
2=≥++x x 即函数值域为2≥y (3)函数有意义，必须：510540542
2<<-?<--?>++-x x x x x
由51<<-x ∴在此区间内 9)54(max 2
=++-x x
∴ 95402
≤++-≤x x
从而 29log )54(log 3
12
3
1-=≥++-x x 即：值域为2-≥y
(4)要使函数有意义，必须： 02
>--x x ①
0)(log 2≥--x x a ②
由①：01<<-x
由②：当1>a 时 必须 12
≥--x x φ∈x
当10< ≤--x x R x ∈ 综合①②得 1001<<<<-a x 且 当01<<-x 时 41)(max 2 =--x x ∴4 102 ≤-- 1 log )(log 2 a a x x ≥-- 41log a y ≥ )10(< 考点五：定义域或值域为R 的问题 （1） 若[]log ()a y x ?=的定义域为R,则对任意实数x ，恒有()0x ?>。 特别地，当2 ()(0)x ax bx c a ?=++≠时，要使定义域为R ，则必须00a >?<且 （2） 若[]log ()a y x ?=的值域为R ，则()x ?必需取遍()0+∞，内所有的数。 特别地，当2()(0)x ax bx c a ?=++≠时，要使值域为R ，则必须00a >?≥且 例5. 对于函数)32(log )(2 2 1+-=ax x x f ，解答下述问题： （1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围； （3）若函数在),1[+∞-内有意义，求实数a 的取值范围； （4）若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞ ，求实数a 的值； （5）若函数的值域为]1,(--∞，求实数a 的值； （6）若函数在]1,(-∞内为增函数，求实数a 的取值范围. 考点六：对数函数的综合问题 例1、设1 2 1()log 1ax f x x －＝－为奇函数, a 为常数. ⑴求a 的值； ⑵求证：()f x 在(1)∞，＋内单调递增； ⑶若对于[3,4]上的每一个x 的值，不等式1 ()()2 x f x m >＋恒成立，求实数m 的取值范围。 解：⑴因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x －＝－，1 122 11log log 11ax ax x x ∴＋－＝－－－－， 11 11ax x x ax ∴ ＋－＝－－－，22211a x x ∴－＝－，1a ∴±，经检验1a ＝－ ⑵1 2 1 ()log 1 x f x x +＝－ 定义法：任取121x x >>，所以12110x x >>－ －，1222011 x x ∴<<－－，12121111x x x x ∴ <＋＋－－，121112 2211 log log 11x x x x ∴>＋＋－－，所以12()()f x f x >，所以()f x 在(1)∞，＋内单调递增. 导数法：1211()()log ()11x x f x e x x '??'－＋＝＋－()112222 121 log log 111x e e x x x ???－－＝＝－＋－－，因为1x >，所以 21 01x >， －又12 log 0e >－，所以()0f x '>，所以所以()f x 在(1)∞，＋内单调递增. ⑶对于[3,4]上的每一个x 的值，不等式1 ()()2 x f x m >＋恒成立，所以1()()2 x f x m >－恒成立，令1()()()2 x g x f x =－，由知⑵，()g x 在[3,4]上是单调递增函数，所以 9(3)8m g <＝－，所以m 的取值范围是9 ()8 ∞－，－. 例2、已知()log (01,0)a x b f x a a b x b +>≠>＝且－ ⑴求函数()f x 的定义域； ⑵讨论函数()f x 的奇偶性； ⑶讨论函数()f x 的单调性. 析：由真数大于0，可求定义域，按奇偶性的定义判断其奇偶性，单调性可按复合函数的单调性的规律判断。 解：⑴令 0x b x b +>－得x b x b <->或，所以函数()f x 的定义域为()() b b -∞∞，-，＋. ⑵函数()f x 的定义域关于原点对称，1 ()log log ()a a x b x b f x f x x b x b -?? -== ?---?? －＋＋=-， 故()f x 是奇函数. ⑶令2()1x b b u x x b x b ＋＝ ＝＋－－，则()u x 在()b ∞－，－和()b ∞，＋上是减函数，所以 当01a <<时，函数()f x 在()b ∞－，－和()b ∞，＋上是增函数。 当1a >时，函数()f x 在()b ∞－，－和()b ∞，＋上是减函数。 例3、已知函数212 log ()y x ax a -＝＋ 在区间(-∞上是增函数，求实数a 的取值范围. 析：本题只需2 u x ax a ＝－＋ 在(-∞上递减且恒为正即可。 解：令2 ()g x x ax a ＝－＋，则()g x 在(-∞上是减函数，又因为1 012 < <，函数y 在(∞－上递增，所以()g x 只要在(-∞上递减，且()0g x > ，即有 2 20 a g a ≤? ?>? ＝－ ，所以1)a ≤≤，故a 的取值范围是1)] 例4、对于函数()f x 定义域中任意的1212,()x x x x ≠，有如下结论： ①1212()()()f x x f x f x +=?；②1212()()()f x x f x f x ?=+； ③ 1212()()0f x f x x x ->-；④1212()() ()22 x x f x f x f ++= 当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是 ② ③ 例5、设a 为常数，试讨论方程lg(1)lg(3)lg()x x a x -+-=-的解的个数． 解：原方程等价于10300(1)(3)x x a x x x a x ->? ?->? ?->??--=-?即25313x x a x ?-+-=?< 构造函数2 53(13)y x x x =-+-<<和y a =作出它们的图象，易知平行于x 轴的直线 与抛物线的交点情况：①当13a <≤或134a =时，原方程有一个解；②当13 34 a <<时，原方程有两个解；③当1a ≤或13 4 a > 时，原方程无解. 例6、已知函数()()y f x x R =∈ 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[1,1]x ∈-时，2 ()f x x =， 则方程()y f x =与5log y x = 的实根个数为 4 . 解析：由(1)(1)f x f x +=-知函数()y f x =的周期为 2，作出其图像如图所示，当 5x =时，()1f x =，5log 1x =；当5x > 时，()[0,1]f x ∈，5log 1x >,()y f x =与5log y x =的图像不再有交点. 例7、函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2 +2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是 A B C D 解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，由此可排除A 、 D. 又由x →+∞时，f （x ）·g （x ）→－∞，可排除B. 答案：C 练习： (一)选择题 1y =log x a (a 21)．函数是减函数，实数的取值范围是－( ) A 0a 1 B a 1 C a a D a 11a ．＜＜．＞．＞或＜－．－＜＜－或＜＜22 22 2log 1a a ．设＜，则实数的取值范围是2 3 ( ) 3a =log 0.6 b log 0.5 c =log 0.523 ．已知＝，则5( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．a ＜c ＜b D ．c ＜a ＜b 4|log |=log |log a|=log a a b a a b b ．若，则－，则、满足关系141 4 ( ) A ．a ＞1，b ＞1 B ．0＜a ＜1，b ＞1 C ．a ＞1且0＜b ＜1 D ．0＜a ＜1，0＜b ＜ 1 5．若m ＞n ＞1，且0＜a ＜1，则下面四个结论中不正确的是( ) A ．m -a ＜n -a B ．a m ＜a -n C m n D log m log n a a a 2a 2 ．＜．＜- 7．设f(x)=|lgx|，则其递减区间是( ) A ．(0，1) B ．(1，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．不存在 8f(x)[24f(log 8)f()12 ．已知偶函数在，］上单调递减，那么与－π的大小关系 是 A f(log 8)f() B f(log 8)=f() C f(log 8)f() D 12 12 12 ．＞－π．－π．＜π．不能确定 9y =log (x 3x 2)12 2．函数－＋的递增区间是( ) A ．(－∞，1) B ．(2，＋∞) C () D (3 2 )．－∞，．，＋∞32 10．如图2．8－11所示，已知0＜a ＜1，则在同一坐标系中，函数y=a -x ，和y ＝log a (－x)的图像只可能是 ( ) (二)填空题 1. 函数()log x a f x a x =+在区间[]12，上的最大值与最小值之和为1 4 - ，最大值与最小值之积为3 8 - ，则a 等于 。 2y = 1 lg(x 1) ．函数的定义域是 ．- 3．函数y ＝log 2(2－x 2)的值域是________． 4f(x)(log x)log x 5x [24]14 214 ．已知函数＝－＋，∈，，则当x = ________时，f(x)有最大值________．当x=________时，f(x)有最小值________． 5．函数f(x)的定义域是(－∞，1)，则f(log 2(x 2－1))的定义域是________． 6.不等式21 log (6)3x x + +≤的解集为 。 7.若4()lg(5)5 x x f x m =++的值域为R ，则m 的取值范围是 。 8log 1a a ．如果＜，则的取值范围是．2 5 § 2.6对数与对数函数 1.对数的概念 一般地,如果a x=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作①x=log a N ,其中a叫做对数的底数,N叫做对数的真数. 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的基本性质(a>0且a≠1,N>0) a.log a 1=0;log a a=1; b.a log a N=②N ;log a a N=③N . (2)对数的运算法则 如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么 a.log a (MN)=log a M+log a N; b.log a M N =log a M-log a N; c.log a M n=nlog a M(n∈R). (3)对数的换底公式及推论 a.log a N=log b N log b a (a,b>0且a,b≠1,N>0); b.lo g a m b n=④n m log a b (a,b>0且a≠1,m,n∈R且m≠0); c.log a b·log b a=1(a,b>0且a,b≠1); d.log a b·log b c·log c d=log a d(a,b,c均大于0且不等于1,d大于0). 3.对数函数的图象与性质 a>1 0 课题：对数函数及其性质（一） 课 型：新授课 教学目标： 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型.能够用描点法画出对数函数的图象.能根据对数函数的图象和性质进行值的大小比较.培养学生数形结合的意识.用联系的观点分析问题. 教学重点：对数函数的图象和性质 教学难点：对数函数的图象和性质及应用 教学过程： 一、复习准备： 1. 画出2x y =、1 ()2 x y =的图像，并以这两个函数为例，说说指数函数的性质. 2. 讨论：t 与P 的关系？（对每一个碳14的含量P 的取值，通过对应关系log P =， 生物死亡年数t 都有唯一的值与之对应，从而t 是P 的函数） 二、讲授新课： 1.教学对数函数的图象和性质： ① 定义：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数a y=log x 叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是x ； 函数的定义域是（0，+∞） ② 辨析： 对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如：22log y x =，5log (5)y x = 都不是对数函数， 而只能称其为对数型函数；对数函数对底数的限制 0(>a ，且)1≠a ． ③ 探究：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？ 研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质． 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． ④ 练习：同一坐标系中画出下列对数函数的图象 x y 2log =；0.5log y x = ⑤ 讨论：根据图象，你能归纳出对数函数的哪些性质？ 列表归纳：分类 → 图象 → 由图象观察（定义域、值域、单调性、定点） 引申：图象的分布规律？ 2、总结出的表格 指数函数与对数函数 重点:指数函数、对数函数的图像和性质;指、对数方程(含不等式)的解法;数学思想方法的运用． 难点：幂函数、指数函数和对数函数组成的复合函数的性质. 一、 指数与对数的运算法则 1、 指数的运算法则 ① m n m n a a a +=??② m m n n a a a -= ③ ()()n m mn m n a a a == ?④ 1 n a =2、 对数式与指数式的互换 log b a a N b N =?=(0a >且1a ≠）、（上式中b R ∈，0N >） 3、 对数的运算法则 (1）对数运算法则 ① ()log log log a a a M N M N ?=+ ② log log log a a a M M N N =- ③ log log n a a M n M = ? ? ④ 1 log log a a M n = （2）几个常用的恒等式 ① log a N a N =??② log N a a N = ③ log log log b a b N N a = (换底公式)? ④ 1log log a b b a = ⑤ log log m n a a n b b m = 例1、 求: 82log 9 log 3 的值． 解：82lg 9 log 9lg 9lg 22lg 3lg 22 lg8lg 3log 3lg833lg 233 2 lg lg lg = =?=?=. 二、 指数函数与对数函数 1、 指数函数与对数函数的图像和性质 指数函数 x y a =和对数函数log a y x =互为反函数，所以它们的图像关于y x =对称． 2、 指数函数与对数函数的图像的应用 例2、 在下列一次函数b ax y +=(10< 对数函数及其性质（一） 班级_____________姓名_______________座号___________ 1．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( ) A ．(1,4] B ．(1,4) C ．[1,4] D ．[1,4) 2．函数y ＝x |x | log 2|x |的大致图象是( ) 3．若log a 2＜1，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,2) B ．(0,1)∪(2，＋∞) C ．(0,1)∪(1,2) D ．(0，12 ) 4．设a ＝2log 3，b ＝2 1log 6，c ＝6log 5，则( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c 5．已知a >0且a ≠1，则函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( ) 6．函数y ＝log 2x 在[1,2]上的值域是( ) A ．R B ．[0，＋∞) C ．(－∞，1] D ．[0,1] 7．函数y ＝log 12(x －1)的定义域是________． 8．若函数f (x )＝log a x (0≤???x x x x 则g [g (1 3)]＝________. 10．f (x )＝log 21＋x a －x 的图象关于原点对称，则实数a 的值为________． 11．函数f (x )＝log 12 (3x 2－ax ＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围． 一、 教学目标： 1．理解对数的概念，掌握对数的运算性质； 2．掌握对数函数的概念、图象和性质；能利用对数函数的性质解题． 二、教学重、难点： 运用对数运算性质进行求值、化简、证明、运用对数函数的定义域、单调性解题 三、命题规律： 主要考察指数式b a N =与对数式log a N b =的互化，对数函数的图像和性质或由对数函数复合成的函数，主要涉及比较大小、奇偶性、过定点、单调区间以及运用单调性求最值等，主要以填空为主。 四、教学内容： 【知识回顾】 1.对数的概念 如果 ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做对数的 。 即指数式与对数式的互化：log b a a N b N =?= 2.常用对数：通常将以10为底的对数10log N 叫做常用对数，记作lg N 。 自然对数：通常将以无理数 2.71828e =???为底的对数叫做自然对数，记作ln N 。 3.对数的性质及对数恒等式、换底公式 （1）对数恒等式：①log N a a = (01,0)a a N >≠>且②log N a a = (01,0)a a N >≠>且 （2）换底公式：log a N =log log b b N a （3）对数的性质：①负数和零没有对数 ② 1的对数是零，即log 10a = ③底的对数等于1，即log 1a a = ④log log log a b c b c d ??=log a d 4.对数的运算性质 如果01,0,0a a M N >≠>>且，那么 （1）log ()a MN = ； （2）log a M N = ； （3）log n a M = ； （4）log n a m M = 。 （5）log log a b b a ?= ； （6）log a b =1log b a 5.对数函数 函数log (01)a y x a a =>≠且做对数函数，其定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).、 6.对数函数图像与性质 注：对数函数1log log (01)a a y x y x a a ==>≠与且的图像关于x 轴对称。 7.同真数的对数值大小关系如图 在第一象限内，图像从左到右相应的底逐渐增大， 即01c d a b <<<<< 8.对数式、对数函数的理解 ① 应重视指数式与对数式的互化关系，它体现了数学的转化思想，也往往是解决“指数、对数”问题的关键。 ② 在理解对数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像2log 2,log 2,3ln x y y x y x ===等函数均不符合形式log (01)a y x a a =>≠且，因此，它们都不是对数函数 ③ 画对数函数log a y x =的图像，应抓住三个关键点1(,1),(1.0),(,1)a a - 1．对数的概念 如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做__________________，记作____________，其中a 叫做__________，N 叫做______． 2．常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫做____________，以e 为底的对数叫做____________，log 10N 可简记为______，log e N 简记为________． 3．对数与指数的关系 若a >0，且a ≠1，则a x ＝N ?log a N ＝____. 对数恒等式：a log a N ＝____；log a a x ＝____(a >0，且a ≠1)． 4．对数的性质 (1)1的对数为____； (2)底的对数为____； (3)零和负数__________． 1．有下列说法： ①零和负数没有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e 为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝100；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2 .其中正确的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．①② D ．③④ 3．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2 2．2．2 对数函数及其性质（1） 教学目标： 1、理解对数函数的概念； 2、掌握对数函数的性质，了解对数学函数初步应用； 3、通过师生间，学生与学生之间互相交流，使学生逐步学会共同学习； 4、通过探究、思考、培养学生思维迁移能力和主动参予能力。 教学重点： 1、对数函数的定义、图象和性质； 2、对数函数性质的初步应用。 教学难点： 底数a 对对数函数性质的影响 教具准备：多媒体课件、投影仪 教学过程： 一、创设情景，引入新课 古谚云：一尺之木，日截其半，万世不竭……若设木长为x ，则其与经过的天数y 存在着一种关系，这个关系应如何表示呢？ （师）：则x 与y 的关系式为x=(2 1)y …… 那能否根据（*）式把经过天数y 表示出来？（学生讨论并回答） （师）：经过的天数y 可以表示为y=2 1log x 研究发现：在关系式y=2 1log x 中，把木长x 看作自变量，则每一个确定x 值，都有唯一一个经过的天数y 的值与之对应，由函数的定义，经过的天数y 就可以看作木长x 的函数，这样的函数称作为对数函数，即为本节课所要研究的内容。 （引入新课，书写课题：对数函数） 二、讲解新课 （一）对数函数的概念 问题1.1：由实例一我们是不否能得到对数函数的一般式吗？ 问题1.2 ：y=x a log 式中的底数a 有什么具体限制条件吗？请给合指数式给以解释。 问题1.3：你能否根据指数函数的定义给出对数函数的定义吗？ （生交流，师结合学生回答总结、归纳并多媒体显示对数函数定义） 定义：一般地，函数y=x a log (a>0，且a ≠1)叫做对数函数，由对数概念可知，对数函数y=x a log 的定义域是（0，+∞），值域为R 。 问题1.4：为什么对数函数的定义域是（0，+∞）？ 问题1.5：函数y=x a log 和函数y=x a log (a>0，a ≠1)的定义域，值域之间有什么关系？ （二）对数函数的图象和性质 （1）讨论对数函数的图象 1、利用“几何画板4.03”软件在同一坐标系中画出下列两组函灵敏图象并观察图象，探究它们之间关系。 （1）y=2x （2）y=x a log （3）y=(21)x y=x 21log 2、当a>0、a ≠1时，函数y=a x 、y=x a log 的图象之间有何种关系？ （多媒体函数图像，提示（1）（2）两组图象之间的关系，由老师引导，学生讨论总结。） Ⅱ对数函数的性质 分析两组函数的图象，对照指数函数的性质，总结归纳对数函数性质。 （老师引导，学生相互讨论交流总结、归纳） 新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.3.2对数的运算 讲义新人教A 版必修第一册 4.3.2 对数的运算 知识点一 对数的运算性质 若a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ， (2)log a M N ＝log a M －log a N ， (3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 状元随笔 对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立 . 例如，log 2[(－3)·(－5)]＝log 2(－3)＋log 2(－5)是错误的． 知识点二 对数换底公式 log a b ＝log c b log c a (a ＞0，a ≠1，c ＞0，c ≠1，b ＞0)． 特别地：log a b ·log b a ＝1(a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1)． 状元随笔 对数换底公式常见的两种变形 (1)log a b·log b a ＝1，即1 log a b ＝log b a ，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与 原对数值互为倒数 . (2)log N n M m ＝m n log N M ，此公式表示底数变为原来的n 次方，真数变为原来的m 次方，所 得的对数值等于原来对数值的m n 倍． [教材解难] 换底公式的推导 设x ＝log a b ，化为指数式为a x ＝b ，两边取以c 为底的对数，得log c a x ＝log c b ，即x log c a ＝log c b . 所以x ＝log c b log c a ，即log a b ＝log c b log c a . 对数函数及其性质（1） （万宁中学吴刚） 一、教材分析 本小节选自《普通高中课程标准数学教科书-数学必修（一）》（人教A版）第二章基本初等函数（1）2.2.2对数函数及其性质（第一课时），主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。 二、学生学习情况分析 刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。教师必须认识到这一点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程。 三、设计理念 本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。 四、教学目标 1．知识目标：使学生理解对数函数的定义并了解其图象的特征及对应函数性质； 2．能力目标：培养学生动手操作的能力以及自主探究数学问题的素养； 3．情感目标：构造和谐的教学氛围，增加互动，促进师生情感交流。 五、教学重点与难点 教学重点：掌握对数函数的图象和性质； 教学难点：是底数对对数函数值变化的影响。 六、教学准备 教师：将整个教学内容用几何画板制成课件。 学生：2～4人分成一组；科学计算器。 七、教学过程设计 教学流程：背景材料→引出课题→函数图象→函数性质→问题解决→归纳小结 指数函数与对数函数（讲义） ? 知识点睛 1. 指数函数及对数函数的图象和性质： 2. 利用指数函数、对数函数比大小 （1）同底指数函数，利用单调性比较大小； （2）异底指数函数比大小，可采用化同底、商比法、取中间值、图解法； （3）同底数对数函数比大小，直接利用单调性求解；若底数为字母，需分类讨论； （4）异底数对数函数比大小，可化同底（换底公式）、寻找中间量（-1，0，1），或借助图象高低数形结合． 3. 换底公式及常用变形： log log log c a c b b a =（a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0） 1 log log a b b a = （a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1） log log m n a a n b b m = （a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1） log a b a b =（a >0，且a ≠1；b >0） ? 精讲精练 1. 若a ，b ，c ∈R +，则3a =4b =6c ，则（ ） A ．b a c 111+= B ． b a c 122+= C ．b a c 221+= D ．b a c 212+= 2. 计算： （1）若集合{lg()}{0||}x xy xy x y =，，，，，则228log ()x y +=_________； （2）设0()ln 0x e x g x x x ?=?>?≤（）， （）则1 (())2g g =_____________； （3）若2(3)6()log 6f x x f x x x + 精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号: 11gz2sx012619 学员编号：gzlfx677 年 级：高一 课时数及课时进度：3 （24/30） 学员姓名：耿开睿 辅导科目：数学 学科教师：彭文俊 学科组长/带头人签名及日期 课 题 对数和对数函数的图像和性质 授课时间：2012-1-1 备课时间： 2011-12-28 教学目标 1.知识目标： 在指数函数及反函数概念的基础上，使学生掌握对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图像，掌握对数函数的性质，并初步应用性质解决简单问题。 2.能力目标：培养学生观察能力、逻辑思维能力，发展学生探究和解决问题的能力，并 渗透数形结合、分类讨论等数学思想，提高学生的应用意识和创新能力。 通过对数函数的学习，树立相互联系，相互转化的观点，渗透数形结合，分类讨论的思想． 3.情感目标：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣，对学生进行对称美、抽象美等 重点、难点 理解对数函数的定义，掌握对数函数图像和性质 考点及考试要求 由对数函数与指数函数互为反函数的关系，利用指数函数图像和性质得到对数函数的图像和性质 教学内容 知识点一 对数与对数函数 知识点二 对数函数的定义 注意点：①以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ②以无理数)71828 .2( e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ③真数N 为正数（负数和零无对数） ④01log =a ；1log =a a ⑤对数运算时，尽量转化为同底对数 ⑥()()M N M N M N a a a a log log log log +=?≠+ 知识点三 指数函数与对数函数的性质与图像 指数函数 ()0,1x y a a a =>≠ 对数数函数 ()log 0,1a y x a a =>≠ 定义域 x R ∈ ()0,x ∈+∞ 值域 ()0,y ∈+∞ y R ∈ 图象 性质 过定点(0,1) 过定点(1,0) 减函数 增函数 减函数 增函数 (,0)(1,)(0,)(0,1)x y x y ∈-∞∈+∞∈+∞∈时，时， (,0)(0,1)(0,)(1,)x y x y ∈-∞∈∈+∞∈+∞时，时， (0,1)(0,) (1,)(,0) x y x y ∈∈+∞∈+∞∈-∞时，时， (0,1)(,0)(1,)(0,) x y x y ∈∈-∞∈+∞∈+∞时，时， a b < a b > a b < a b > 二、例题精讲 例1 设函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 011)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 2 2 011)＝ ________. 对数函数及其性质 相关知识点总结： 1.对数的概念 一般地，如果a x＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N 的对数，记作x＝log a N．a叫做对数的底数，N叫做真数． 2. 对数与指数间的关系 3.对数的基本性质 (1)负数和零没有对数．(2)log a1＝0(a＞0，a≠1)． (3)log a a＝1(a＞0，a≠1)． 10.对数的基本运算性质 (1)log a(M·N)＝log a M＋log a N．(2)log a M N ＝log a M－ log a N． (3)log a M n＝n log a M(n∈R)． 4.换底公式 （1）log a b＝log c b log c a (a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1，b＞ 0)．（2） 5.对数函数的定义 一般地，我们把函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 6.对数函数的图象和性质 a＞10＜a＜1 图 象 性质 定义域(0，＋∞) 值域 R 过定点(1，0)，即当x＝1时，y＝0 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 7.反函数 对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)和指数函数y ＝a x (a ＞0且 a ≠1)互为反函数． 基础练习： 1.将下列指数式与对数式互化： (1)2 －2 ＝1 4 ； (2)102＝100； (3)e a ＝16； (4)64－13＝1 4 ； 2. 若log 3x ＝3，则x ＝_________ 3.计算： (1); (2) ; (3)2 4.（1） log 29 log 23 ＝________． （2） 对数函数及其性质（讲义） ?知识点睛 一、对数函数的定义 一般地，函数（）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，+∞)． 二、对数函数的图象和性质 1.对数函数y = log a x （a>0，且a≠1）的图象和性质： 0 1 3 log x 2 log 0.5 (3x - 2) 4 - x 2 1 a ? 精讲精练 1. 直接写出下列函数的定义域： （1） y = log 3 (x - 2) ； （2） y = ； （3） y = ； （4） y = 1 + ． ln(x +1) 2. （1）已知 f (x ) 的定义域为[0，1]，则函数 y = f (log 1 (3 - x )) 的 2 定义域是 ； （2） 已知函数 f (x ) = log 1 (2 - log 2 x ) 的值域是(-∞，0)，则它 2 的定义域是 ； （3） 函数 f (x ) = log (x 2 + 6x +13) 的值域是 ． 2 3. 已知 a >0，且 a ≠1，则函数 y = a x 与 y = log (-x ) 的图象只可 能是（ ） A ． B ． C ． D ． 2.2.2对数函数及其性质（1） 教学目标 （一） 教学知识点 1． 对数函数的概念； 2． 对数函数的图像与性质． （二） 能力训练要求 1． 理解对数函数的概念； 2． 掌握对数函数的图像、性质； 3． 培养学生数形结合的意识． （三）德育渗透目标 1．认识事物之间的普遍联系与相互转化； 2．用联系的观点看问题； 3．了解对数函数在生产生活中的简单应用． 教学重点 对数函数的图像、性质． 教学难点 对数函数的图像与指数函数的关系． 教学过程 一、复习引入： 1、指对数互化关系： b N N a a b =?=log 2、 )10(≠>=a a a y x 且的图像和性质． 我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个 数y 是分裂次数x 的函数，这个函数可以用指数函数y =x 2表示． 现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x 就是要得到的细胞个数y 的函数．根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是y x 2log =. 如果用x 表示自变量，y 表示函数，这个函数就是x y 2log =. 引出新课--对数函数． 二、新授内容： 1．对数函数的定义： 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞． 例1． 求下列函数的定义域： （1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=． 分析：此题主要利用对数函数x y a log =的定义域（0，+∞）求解． 解：（1）由2 x >0得0≠x ,∴函数2log x y a =的定义域是{}0|≠x x ； （2）由04>-x 得4 指数函数与对数函数经典讲义 指数函数与对数函数 重点:指数函数、对数函数的图像和性质;指、对数方程（含不等式）的解法;数学思想方法的运用． 难点:幂函数、指数函数和对数函数组成的复合函数的性质． 一、 指数与对数的运算法则 1、 指数的运算法则 ① m n m n a a a +=? ② m m n n a a a -= ③ ()()n m mn m n a a a == ④ 1 n n a a =2、 对数式与指数式的互换 log b a a N b N =?=（0a >且1a ≠）、（上式中b R ∈，0N >） 3、 对数的运算法则 （1）对数运算法则 ① ()log log log a a a M N M N ?=+ ② log log log a a a M M N N =- ③ log log n a a M n M = ④ 1 log log n a a M M n = （2）几个常用的恒等式 ① log a N a N = ② log N a a N = ③ log log log b a b N N a = （换底公式） ④ 1log log a b b a = ⑤ log log m n a a n b b m = 例1、 求： 82log 9 log 3 的值． 解：82lg 9 log 9lg 9lg 22lg 3lg 22 lg8lg 3log 3lg833lg 2332 lg lg lg ==?=?=． 二、 指数函数与对数函数 1、 指数函数与对数函数的图像和性质 指数函数x y a =和对数函数log a y x =互为反函数，所以它们的图像关于y x =对称． 指数函数 对数函数 一般形式 x y a = （0a >且1a ≠） log a y x = （0a >且1a ≠） 定义域 (),-∞+∞ ()0,+∞ 值域 ()0,+∞ (),-∞+∞ 图像 性质 （1）0y > （1）0x > （2）图像经过()0,1点 （2）图像经过()1,0点 指数函数 对数函数 性质 1a > 01a << 1a > 01a << 当0x >时， 1y > 当0x <时， 01y << 当1x >时， 0y > 当01x <<时， 0y < 单调递增 单调递减 单调递增 单调递减 2、 指数函数与对数函数的图像的应用 例2、 在下列一次函数b ax y +=（10< 01a << O x y 1 1a > 01 a << 对数函数及其性质 A 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： 1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型； 2.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较； 3．了解反函数的概念，知道指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数()0,1a a >≠． 学习策略： 在理解对数函数定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质，在学习过程中，要处处与指数函数相对照． 二、学习与应用 指数函数图象及性质： y =a x 01时图象 图象 性质 （1）定义域 ，值域( ， ) “凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性．我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记． 知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？ （2）a0= ，即x=0时，y= ，图象都经过(，)点 （3）a x=a，即x=1时，y等于底数 （4）在定义域上是单调函数（4）在定义域上是单调函数 （5）x<0时，a x> x>0时， 0时，a x> （6）既不是奇函数，也不是偶函数 要点一：对数函数的概念 1．函数 叫做对数函数.其中x是自变量，函数的定义域是() 0,+∞． 2．判断一个函数是对数函数是形如log(0,1) a y x a a =>≠ 且的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为； （2）底数为的常数； （3）对数的真数仅有． 要点诠释： （1）只有形如y=log a x(a>0，a≠1)的函数才叫做对数函数，像 log(1),2log,log3 a a a y x y x y x =+==+等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是 对数函数． （2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求，底数大于 零且不等于1；②对含有字母的式子要注意． 要点二：对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质定义域： 值域： 过定点，即x=1时，y=0 在（0，+∞）上增函数在（0，+∞）上是减函数 当0＜x＜1时，＜0， 当x≥1时，≥0 当0＜x＜1时，＞0， 当x≥1时，≤0 要点诠释： 关于对数式log a N的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起， 应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考. 以1为分界点，当a，N同侧时，log a N>0；当a，N异侧时，log a N<0. 要点梳理——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏．预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源 ID：#12255#392183 2.1.2 对数函数及其性质 教学目标 1．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，激发学生的学习兴趣，体会对数函数是一类重要的函数模型。 2. 通过对对数函数有关性质的研究，渗透数形结合、分类讨论的数学思想。培养观察、分析、归纳的思维能力和交流能力，增强学习的积极性。掌握对数函数的图象与性质，并会初步应用。 3. 培养学生自主学习、数学交流能力和数学应用意识。 教学重难点 重点是掌握对数函数的图像和性质，难点是探究底数对对数函数图像的影响。 教学内容 一、新课导学 探究一：什么是对数函数？ 问题引入：前面我们学习了细胞分裂次数x 与所得细胞个数y 之间的函数关系为 x y 2=，若已知细胞个数y ，如何确定分裂次数呢？ 问题一：你能类比指数函数的定义给对数函数下个定义吗？ 问题二：定义中需要注意什么问题？ （一）函数函数的定义 一般地，函数 叫做对数函数，x 是自变量，函数的定义域为 。 做一做 下列函数是对数函数吗？ ）（2-3log 2x y = x y 5-log = x y x ）（1log -= 5l o g 32+=x y 探究二：对数函数的图像和性质 1．用列表、描点、连线的作图步骤，画出对数数函数、的图像。 观察图像，分析以下问题： 问题1：从图像看，两种函数的有哪些图像特征？ 问题2：根据图像特征，你能分别说出函数的性质吗？ 问题3：底数大小与图像有什么关系？ 2．对数函数x a y =（1,0≠>a a 且）的图像和性质如下： 三、课堂小结 四、课后反思 你能用今天学到的知识探究函数 比较、对照指数函数与对数函数的图像与性质，函数 与 函数 有什么关系？ a x y =x a y =x y a log = 对数函数 知识讲解 一、对数函数的图像与性质 ①函数log a y x =（0a >，1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，图像如下 ②对数函数的性质：定义域：(0,)+∞；值域：R ；过点(1,0)，即当1x =时，0y =． 当0a >时，在（0，+∞）上是增函数；当01a <<时，在（0，+∞）上是减函数． 1a > 01a << 图 象 1 o y x 1 o y x 性 质 定义域：（0，+∞） 值域：R 过点（1，0），即当1=x 时，0=y )1,0(∈x 时 0 二、对数函数与指数函数的关系 关系：对数函数log a y x =与指数函数x y a =图像关于直线y x =对称． 类型：指数方程和对数方程主要有以下几种类型： ()()log ,log ()()f x b a a a b f x b f x b f x a =?==?=（定义法） ()()()(),log ()log ()()()0f x g x a a a a f x g x f x g x f x g x =?==?=>（转化法） ()()()log ()log f x g x m m a b f x a g x b =?= （取对数法） 三、对数函数有关的性质 （1）x y a =与log a y x =；2 x x a a y --= 与(l g ()a y o x x R =∈；11x x a y a -=+与 1log 1a x y x +=- 关于y x =对称， （2）已知1()lg 1x f x x +=-,,(1,1)a b ∈-则()()1a b f a f b f ab +?? += ?+?? （3）指数函数与对数函数可以有两个或一个交点． 对数与对数函数 【高考要求】 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用. 2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a>0，a ≠1)，体会对数函数是一类重要的函数模型． 【知识梳理】 1.对数的概念 (1)对数的定义 如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作___ x ＝log a N ___，其中__ a __叫做对数的底数，__ N __叫做真数.真数N 为正数（负数和零无对数）． 说明：①实质上，上述对数表达式，不过是指数函数x a y =的另一种表达形式，例如：8134=与 81log 43= 这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式.log N x N a a x =?= ②“log ”同“+”“×” “ ”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这 种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面。 ③对数的底数和真数 从对数的实质看：如果a b ＝N (a >0且a ≠1)，那么b 叫做以a 为底N 的对数，即b ＝log a N .它是知道底数和幂求指数的过程.底数a 从定义中已知其大于0且不等于1；N 在对数式中叫真数，在指数式中，它就是幂，所以它自然应该是大于0的. (2)几种常见对数 2．对数的性质与运算法则 （1）．对数基本性质：log 10a =，log 1a a =，log a N a N =---对数恒等式 （2）．对数运算性质：若0,1,0,0a a M N >≠>>且，则： ①log ()log log a a a MN M N =+ ②log log log a a a M M N N =- ③log log ()n a a M n M n R =∈ （3）．换底公式：log log (0,1;0,1;0)log c a c b b a a c c b a = >≠>≠> 推论：①log log (,,0)m n a a n M M m n R m m = ∈≠ ②1log log a b b a = 点评：（1）要熟练掌握公式的运用和逆用。 （2）在使用公式的过程中，要注意公式成立的条件。 例如：真数为两负数的积，).5(log ).3(log 22--不能写成).5(log ).3(log 22--=).5(log )3(log 22-+-高考浙江版数学 对数与对数函数 讲义
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