二次根式的有关概念及性质
二次根式的运算
编稿：庄永春审稿：邵剑英责编：张杨
一、目标认知
1.学习目标
(1)理解二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质及二次根式的除法法则和商的算术平方根的性
质，并能利用它们进行计算和化简；
(2)了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简；
(3)理解同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加
减运算；
(4)会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.
2.重点
(1)理解，及利用它们进行计算和化
简；
(2)理解，及利用它们进行计算和化简；
(3)最简二次根式的运用；
(4)合并同类二次根式；
(5)二次根式的混合运算.
3.难点
(1)发现规律，归纳出二次根式的乘除法则；
(2)会判定一个二次根式是否是最简二次根式，及二次根式的化简．
二、知识要点梳理
知识点一：二次根式的乘法
法则：，即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.
要点诠释：
(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数)
(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：
(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.
知识点二、积的算术平方根的性质
，即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.
要点诠释：
(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须
满足才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；
(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.
知识点三、二次根式的除法
法则：，即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.
要点诠释：
(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，其中，因为b在分母上，故b不能为0.
(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.
知识点四、商的算术平方根的性质
，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
要点诠释：
运用次性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.
知识点五：最简二次根式
1.定义：当二次根式满足以下两条：
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
我们把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.在二次根式的运算中，最后的结果必须化为最简二次根式或有理式.
要点诠释：
(1)最简二次根式中被开方数不含分母；
(2)最简二次根式被开方数中每一个因数或因式的次数都小于根指数2，即每个因数或因式从次数只能
为1次.
2.把二次根式化成最简二次根式的一般步骤：
(1)把根号下的代分数或绝对值大于1的数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；
(2)被开方数是多项式的要进行因式分解；
(3)使被开方数不含分母；
(4)将被开方数中能开得尽方的因数或因式，用它们的算术平方根代替后移到根号外；
(5)化去分母中的根号；
(6)约分.
知识点六、同类二次根式
1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.
要点诠释：
(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否
相同；
(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.
2.合并同类二次根式
合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)
要点诠释：
(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；
(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式；
(3)不是同类二次根式，不能合并.
知识点七、二次根式的加减
二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.
在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.
二次根式加减运算的步骤：
(1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；
(2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；
(3)合并同类二次根式.
知识点八、二次根式的混合运算
二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.
要点诠释：
(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算
括号里面的；
(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；
(3)二次根式混合运算的结果应写成最简形式，这个形式应是最简二次根式，或几个非同类最简二次根
式之和或差，或是有理式.
三、规律方法指导
二次根式的运算，主要研究二次根式的乘除和加减.
(1)二次根式的乘除，只需将被开方数进行乘除，其依据是：
；；
(2)二次根式的加减类似于整式的加减，关键是合并同类二次根式.通常应先将二次根式化简，再把同类二次根式合并.
二次根式运算的结果应尽可能化简.
二次根式的有关概念及性质
一、二次根式的有关概念：
1.二次根式：式子(a≥0)叫做二次根式。
2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式；
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式，因被开方数中
含有4是可开得尽方的因数，又如，，..........都不是最简二次根式，而，
，5，都是最简二次根式。
3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根
式就叫做同类二次根式。如, , 就是同类二次根式，因为=2，=3，
它们与的被开方数均为2。
4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两
个代数式互为有理化因式。如与，a+与a-，-与+，互为有理化因式。
二、二次根式的性质：
1.(a≥0)是一个非负数, 即≥0;
2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a≥0)；
3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|=
4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即=·（a≥0,b≥0）。
5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即=
（a≥0,b>0）。
三、例题：
例1.x为何值时，下列各式在实数范围内才有意义：
（1）（2）（3）
（4）+（5）（6）+
分析：这是一组考察二次根式基本概念的问题，要弄清每一个数学表达式的含义，根据分式和根式成立的条件去解，即要考虑到分式的分母不能为0并且偶次根号下被开方数要大于或等于零。
解：（1）∵6-x≥0,∴x≤6时原式有意义。
（2）∵x2≥0, ∴x2+3>0, ∴x取任意实数原式都有意义。
（3）∵∴
∴当x<3且x≠-3时，原式有意义。
（4）∵∴
∴当-≤x<时，原式有意义。
（5）∵∴
∴当x≥0且x≠1时，原式有意义。
（6）∵∴∴x=2
∴当x=2时，原式有意义。
例2.写出下列各等式成立的条件：
（1）=-3x（2）=-mn
（3）=1+2a（4）=·
（5）-=7
分析：本题考察算术平方根的概念及二次根式的性质。
解：（1）∵=|3x|=-3x,
∴-3x≥0,3x≤0, ∴x≤0.
（2）∵==|mn|=-mn,
∴mn≤0, ∵成立，隐含m≥0,
∴m≥0且n≤0.
（3）∵=|2a+1|=1+2a
∴1+2a≥0, ∴a≥-.
（4）由题意得∴∴x=±1.
（5）∵-
=-
=|x+5|-|2-x|=7
∴只有|x+5|=x+5, |2-x|=x-2时才成立，
∴∴∴x≥2.
例3.化简下列各式：
（1）（2）a2(m<0)
（3）+|2-x|+（2 （4）（5）(x-y)+ （6）(y<0)（7）+ 分析：在二次根式化简的题目中，若有已知条件或隐含条件，则根据已知或隐含条件化简，若没有已知条件或隐含条件时，则必须加以讨论，特别是对于开方后式中有两个绝对值以上的题目，要采取零点分段的方法逐一加以考虑。 解：（1）∵π>3, ∴=|3-π|=π-3. （2）∵m<0, 要使有意义，则a<0, ∴a2=a2=a2·=-=-a. （3）∵2 =|2-x|+|2-x|+|x-3| =x-2+x-2+3-x=x-1. （4）=|3x-1|= 在这里我们分3x-1≥0或3x-1<0两种情况进行了讨论。 （5）(x-y)+ ∵有意义，∴y-x>0 ∴原式=(x-y)·+ =+|x-y| =+y-x=-+y-x. （6）∵y<0, ∴原式= =2|xy| =-2|x|y 当x≥0时, 原式=-2xy, 当x<0时, 原式=2xy。 （7）+ =+=|4-x|+|x+1| ∵若|4-x|=0,则x=4;若|x+1|=0则x=-1，则本题需要将x的取值分成三段，即分x≤-1, -1 当x≤-1时，原式=4-x+(-x-1)=4-x-x-1=3-2x. 当-1 当x≥4时，原式=x-4+x+1=2x-3. 例4.把根号外的因式移至根号内： （1）2（2）-5（3）m(m≥0) （4）x(x≤0)（5）a 分析：本题需逆用性质=·（a≥0,b≥0)只能将根号外的正因式移至根号内。 解：（1）2=·=。 （2）-5=-·=-。 （3）∵m≥0, ∴m=·=。 （4）∵x(x≤0) ∴x=-·=-。 （5）∵成立，∴隐含a<0,∴a·=-·=-=-。 例5.（1）已知：y-1=,求：x+2y的值。 （2）若+|x-2y|=0, 求：x2+y2的值。 分析：（1）观察已知条件，等式右边有两个根式，要使两个根式有意义，则∴ x=2， ∴y=1, 从而可求出x+2y的值。 （1）解：由已知可得：∴x=2, y=1 当x=2, y=1时，x+2y=2+2×1=4. （2）解：∵+|x-2y|=0 两个非负数的和为零，则只有每个非负数都为零， ∴∴ 当x=0, y=0时，∴x2+y2=0+0=0. 北京四中 编稿：宋建生责编：姚一民 二次根式的运算 一、知识要点： 1.二次根式的加减运算： 先把式子中各项二次根式化成最简二次根式，再参照多项式的加减运算，去括号与合并同类二次根式。 2.二次根式的乘法： （1）法则：·=（a≥0且b≥0） （2）类型： （i）单项二次根式乘以单项二次根式； （ii）单项二次根式乘以多项二次根式； （iii）多项二次根式乘以多项二次根式 在进行乘法运算时，有时可以应用乘法公式，使计算简便。 3.二次根式的除法： （1）法则：=（a≥0且b>0） （2）类型： （i）单项二次根式除以单项二次根式（应用运算法则计算） （ii）多项二次根式除以单项二次根式（转化为单项二次根式除以单项二次根式） （iii）除数是二个二次根式的和或是一个二次根式与一个有理数的和（把分母有理化进行运算，或与分式的运算类比思考，约去分子，分母中的公因式）。 二、例题： 例1.计算下列各式： (1) +4-(-) (2) (--2)-(--) (3) 5a-+3ab(b≥0) (4) (1+3-2)(1-3+2)-(+)2 (5) (6-5)(-) (6) -()2+ (7) (5+)÷(5-2) (8) +(0 解：（1）原式=+4-+（去括号） =+-+（化成最简二次根式） =(+3-+)（合并同类二次根式） = （2）原式=4---+4+ =4--+-+4（去括号并且化成最简二次根式） =(4--+ )+(4-) （合并同类根式） =+ （3）∵ b≥0，且成立，∴ a≥0， ∴ 原式=5ab -·3a +3ab· =(5ab-ab+ab) =ab （4）原式=[1+(3-2)][1-(3-2)]-(+ )2（先做乘法，后做减法） =1-(3 -2 )2-(2+3+2) （应用乘法公式） =1-(18+12-12)-5-2 （第二项又用完全平方公式） =1-30+12-5-2 =-34+10 （5）原式=6·-5·-6·+5· =--6·+5 =--6+5（做乘法时，不必先化成最简根式） =3--6+（化成最简二次根式，进行加减运算） =- （6）原式=-+（第一，三项分母有理化） =-+4( 中间项分子、分母分别平方） =8-5-+4（第二项分母有理化） =8-5-4-2+4 =4-3 （7）原式= =（分母有理化） = = （8）分析：题中二次根号下为两项的和，不能化简，所以首先应将根号下的式子进行通分，然后分母分解因式，再化简。 解：原式=+（0 =+ ∵0 ∴原式=+ == 说明：在进行二次根式的运算时，应弄清有关的几个概念：①同类二次根式②互为有理化因式③分母有理化。例2.计算下列各式 (1) (-)2 (2) (+-)(--) (3) (+)2-(-)2 (4) (+1)9(-1)9 (5) 分析：仔细观察上述题目，可以发现如果利用乘法公式或因式分解或某些运算律，可以使一些题目的运算简便。 解：(1)原式=7+2+7-2-2(用完全平方公式) =14-2 =14-2 (2) 原式=[(-)+][(-)-] =(-)2-()2(用平方差公式) =2+3-2-5 =-2 (3) 原式=(++-)(+-+) (因式分解) =2·2 =4 (4) 原式=[(+1)(-1)]9 (用了乘法交换律和结合律，变化后 =(2-1)9=1可用平方差公式) (5) 原式=(分子因式分解) =+2(分子、分母约去公因式) 说明：本题目是用约去分子，分母的公共二次根式方法，进行了二次根式的除法运算。 例3.解不等式：x 解：x-x<2(移项) (-)x<2(合并同类项) ∵-<0，∴x>(x的系数化成1) ∵=(分母有理化) ==-- ∴x>-- 例4.已知：x=, y=, 求x2-xy+y2的值。 分析：一般的求值都是先化简再求值，观察题目已知条件x, y的分母都含有二次根式，应先将x, y的分母有理化后再代入求值就简单多了。 解：∵x====-3-2 y====-3+2 ∴x2-xy+y2=(-3-2)2-(-3-2)(-3+2)+(-3+2)2 =9+8+12-(9-8)+9+8-12 =17+17-1 =33 另法：x2-xy+y2=(x-y)2+xy =(-3-2+3-2)2+(-3-2)(-3+2) =(-4)2+9-8=32+1=33 显然后一个方法比较好。 例5.已知a≠0, b≠0,求根式的值 解： = =|ab|（隐含a<0，但b≠0,∴要分类讨论） = 例6.已知a+b=－5, ab=2 求的值。 解：∵ab=2>0 ∴或 ∵a+b=－5<0 ∴a<0, b<0 ∴ = = 例7.化简 解：隐含条件中a<3 ∴原式= =4－a. 例8.化简x(0 解：原式=x =x|x－| =x(－x) =1－x2. 说明：虽然课本约定，本章的字母都表示正数。但在实际研究问题中，还有很多不是这种情况。象例5～例8都是要根据给定的取值范围或隐含的范围去处理。在作题过程中一定要注意这种情况。 二次根式的概念与性质1 一．选择题（共30小题） 1．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥， 其中一定是二次根式的有（） A．5个B．4个C．3个D．2个 2．下列判断正确的是（） A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式 C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数 3．下列各式中①；②；③；④；⑤一定是二次根式的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．下列各式中，二次根式有（） ①②③④ A．1个B．2个C．3个D．4个 5．下列各式中：①；②；③；④．其中，二次根式的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个 6．在式子，，，，（x≤0）中，一定是二次根式的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 7．x≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（） A．B．C．D． 8．若有意义，则x满足条件是（） A．x≥﹣3且x≠1B．x＞﹣3且x≠1C．x≥1D．x≥﹣3 9．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A．x＜2B．x≥2C．x=2D．x＜﹣2 10．如果代数式有意义，那么x的取值范围是（） A．x≠3B．x＜3C．x＞3D．x≥3 11．使二次根式在实数范围内有意义的x的取值范围在数轴上表示为（）A．B． C．D． 12．二次根式中，字母a的取值范围是（） A．a B．a C．a D．a 13．使式子+成立的x的取值范围是（） A．x≥﹣2B．x＞﹣2C．x＞﹣2，且x≠2D．x≥﹣2，且x≠2 14．若式子有意义，则实数m的取值范围是（） A．m＞﹣2B．m＞﹣2且m≠1C．m≥﹣2D．m≥﹣2且m≠1 15．代数式+中x的取值范围在数轴上表示为（） A．B． C．D． 16．下列说法正确的个数有（） ①代数式的意义是a除以b的商与1的和； ②要使y=有意义，则x应该满足0＜x≤3； ③当2x﹣1=0时，整式2xy﹣8x2y+8x3y的值是0； ④地球上的陆地面积约为14900万km2，用科学计数法表示为1.49×108km2． A．1个B．2个C．3个D．4个 17．使代数式有意义的整数x有（） 二次根式定义及性质 教学内容： 1.学习目标：理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论：， ，，并利用它们进行计算和化简． 2.重点：；，及其运用． 3.难点：利用，，解决具体问题. 知识点一：二次根式的概念 一般地，我们把形如(a≥0)?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 知识点二：二次根式的性质 1.； 2.； 3.； 4. 积的算术平方根的性质：； 5. 商的算术平方根的性质：. 知识点三：代数式 形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraic expression). 经典例题透析 类型一：二次根式的概念 例1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 、、、(x＞0)、、、、、(x≥0，y≥0)．思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：、(x＞0)、、、(x≥0，y≥0)； 不是二次根式的有：、、、． 例2、当x是多少时，在实数范围内有意义？ 思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，?才能有意义． 解：由3x-1≥0，得：x≥ 当x≥时，在实数范围内有意义． 总结升华：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 举一反三 【变式1】x 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？ (1)； (2)； 解：(1)由≥0，解得：x取任意实数 ∴当x取任意实数时，二次根式在实数范围内都有意义. (2)由x-1≥0，且x-1≠0，解得：x＞1 ∴当x＞1时，二次根式在实数范围内都有意义. 第十六章二次根式 16. 1 二次根式 第1课时 二次根式的概念和性质 ：?< 1. 二次根式的概念和应用. 2. 二次根式的非负性. 重点 二次根式的概念. 难点 二次根式的非负性. 一、情景导入 师：(多媒体展示)请同学们看屏幕 电视节目信号的传播半径 r/km 与电视塔高h/km 之间有近似关系r = yj 2Rh(R 为地球半径).如 果两个电视塔的高分别为 h i km , h 2 km ,那么它们的传播半径之比为多少？同学们能化简这个式 子吗？ 由学生计算、讨论后得出结果 ，并提问. 生：半径之比为亠2Rh ；,暂时我们还不会对它进行化简. 师：那么怎么去化简它呢？这要用到二次根式的运算和化简.如何进行二次根式的运算？如 何进行二次根式的化简？这将是本章所学的主要内容. 二、新课教授 活动1：知识迁移，归纳概念 (1) 17的算术平方根是 __________ ； (2) 如图，要做一个两条直角边长分别为 7 cm 和4 cm 的三角形，斜边长应为 ____________ c m ； 2 (3) —个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m ,则它的宽为 _________________ m ; (4) 面积为3的正方形的边长为 ____________ ,面积为a 的正方形的边长为 ___________________ ; (5) 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t(单位：s)与开始落下时的高度 h(单位: m)满足关系h = 5『.如果用含有h 的式子表示t ,则t= ______________ . 【答案】(1).17 (2) 65 (3).65 (4) 3 a ⑸- ；'5 活动2:二次根式的非负性 (多媒体展示) _ (1) 式子.a 表示的实际意义是什么？被开方数 a 满足什么条件时，式子."a 才有意义？ (2) 当a >0时，百 ___________ 0；当a = 0时，需 ___________ 0；二次根式是一个 ____________ . 【答案】(1)a 的算术平方根，被开方数a 必须是非负数 (2) > = 非负数 老师结合学生的回答，强调二次根式的非负性. 当a >0时，，a 表示a 的算术平方根，因此a > 0; 当a = 0时，，a 表示0的算术平方根，因此,-/a = 0. 也就是说，当a > 0时，? a 》0. ,这是东方明珠电视塔. (多媒体演示)用含根号的式子填空. 二次根式的概念与性质 编稿：庄永春审稿：邵剑英责编：张杨 一、目标认知 1.学习目标： 理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简． 2.重点： ；，及其运用． 3.难点： 利用，，解决具体问题. 二、知识要点梳理 知识点一：二次根式的概念 一般地，我们把形如(a≥0)?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 知识点二：二次根式的性质 1.； 2.； 3.； 4. 积的算术平方根的性质：； 5. 商的算术平方根的性质：. 要点诠释： 二次根式(a≥0)的值是非负数，其性质可以正用亦可逆 用，正用时去掉根号起到化简的作用；逆用时可以把一个非负数写成完全平方的形式，有利 于在实数范围内进行因式分解. 知识点三：代数式 形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运 算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的 式子为代数式(algebraic expression). 三、规律方法指导 1.如何判断一个式子是否是二次根式？ (1)必须含有二次根号，即根指数为2； (2)被开方数可以是数也可以是代数式但必须是非负的，否则在实数范围内无意义. 2.如何确定二次根式在实数范围内有意义？ 要使二次根式在实数范围内有意义必须满足被开方数为非负数.要确定被开方数中 所含字母的取值范围，可根据题意列出不等式，通过解不等式确定字母的取值范围.当二次 根式作为分母时要注意分母不能为零. 经典例题透析 类型一：二次根式的概念 1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 、、、(x＞0)、、、、、(x≥0，y≥0)．思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：、(x＞0)、、、(x≥0，y≥0)； 不是二次根式的有：、、、． 2、当x是多少时，在实数范围内有意义？ 二次根式的有关概念及性质 一、二次根式的有关概念： 1.二次根式：式子(a≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式； （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式，因被开方数中 含有4是可开得尽方的因数，又如，，..........都不是最简二次根式，而， ，5，都是最简二次根式。 3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根 式就叫做同类二次根式。如, , 就是同类二次根式，因为=2，=3， 它们与的被开方数均为2。 4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两 个代数式互为有理化因式。如与，a+与a-，-与+，互为有理化因式。 二、二次根式的性质： 1.(a≥0)是一个非负数, 即≥0; 2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a≥0)； 3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|= 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即=· （a≥0,b≥0）。 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即= （a≥0,b>0）。 三、例题： 例1.x为何值时，下列各式在实数范围内才有意义： （1）（2）（3） （4）+（5）（6）+ 分析：这是一组考察二次根式基本概念的问题，要弄清每一个数学表达式的含义，根据分式和根式成立的条件去解，即要考虑到分式的分母不能为0并且偶次根号下被开方数要大于或等于零。 解：（1）∵6-x≥0,∴x≤6时原式有意义。 （2）∵x2≥0, ∴x2+3>0, ∴x取任意实数原式都有意义。 （3） ∵∴ ∴当x<3且x≠-3时，原式有意义。 （4） ∵∴ ∴当-≤x<时，原式有意义。 二次根式的概念及性质练习题 班级 姓名 一．判断题（对的打“∨”，错的打“×”） （1x 的取值范围是x<0 （ ） （2中字母x 的取值范围是x ≤3 4 （ ） （3）当x=-1 （ ） （4）当a=-4（ ） （5）2= —12 （ ）;（6—1 2 （ ） （7）2= —1 2 （ ）;（8）（2 =2×1 2=1 （ ） 二、填空题： 1．b ≥3）s ≥0）a （0≥a ）的代 数式，叫做_______． 2．当x______ 时， 3 x 的取值范围是_______ ． 4． （7） 2 =________；（8 +（ 2=________． （10 ． 5．当x=-2 _______． 6．当a取______ 时， 7．当x取______ 8．当m=-2 值为________． 9、若直角三角形的两直角边分别是2cm 和acm，则直角三角形的斜边长是_______ 10、若正方形的面积是（b-3）cm2,则正方形的边长是_________。 三、选择题： 1．下列各式中，哪一个是二次根式（） A ． ( ( ()( () ( ()( 2 2 3 1_____,2______,3_____, 4_____,5____,6____. === === 2 ．使代数式2 x +有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≠-2; B ．x ≤12且x ≠-2; C ．x<12 且x ≠-2; D ．x ≥1 2且x ≠-2 3．下列各式中一定成立的是（ ） A =3+4=7 B C ．（ 2 D =1-13=2 3 四、求下列二次根式中字母的取值范围： 五、计算：（1 -（12）2; （2） （ 3） 4时x 的值． ( )( )( )123( 4 第一讲、二次根式的概念和性质 第一部分、 教学目标： 1、理解二次根式的概念，掌握二次根式有意义的判定方法。 2、利用0≥a 的性质解决问题。 第二部分、 教学重点和难点： 1、掌握二次根式的双重非负性性质，并利用0≥a 解决化简问题。 2、利用二次根式的性质进行式子的化简。 第三部分、 教学过程： 例题讲解： 例1、在式子)0(2 >x x ，2，y x x x x y y ++<--=+，，，1,3)0(2)2(123中，二次根式有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 【分析】根据二次根式的定义对各数分析判断即可得解． 【解答】解：根据二次根式的定义，y ＝﹣2时，y +1＝﹣2+1＝﹣1， 所以二次根式有 1),0(2,2),0(22+<->x x x x x 共4个． 故选：C ． 练1.1、下列的式子一定是二次根式的是（ ） A ．2--x B ．x C ．22+x D ．22-x 【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如 （a ≥0）的式子叫做二次根式可得答案． 【解答】解：根据二次根式的定义可得 中得被开方数无论x 为何值都是非负数， 故选：C ． 练1.2、下列代数式中，属于二次根式的为（ ） A ．4- B ．3x - C ．1-a （a ≥1） D ．2-- 【分析】根据二次根式的定义得出形如：（a ≥0）是二次根式，进而判断即可． 【解答】解：A 、 ，﹣4＜0，故不是二次根式，故此选项错误； B 、 ，是三次根式，故不是二次根式，故此选项错误； C 、 （a ≥1），则a ﹣1≥0，故是二次根式，故此选项正确； D 、﹣，﹣2＜0，故不是二次根式，故此选项错误； 故选：C ． 例2、使二次根式3-x 有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≠3 B ．x ＞3 C ．x ≥3 D ．x ≤3 【分析】二次根式的被开方数是非负数，即x ﹣3≥0． 【解答】解：依题意得：x ﹣3≥0． 解得x ≥3． 故选：C ． 练2.1、若式子 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x 且x ≠1 B ．x ≠1 C ．x 且x ≠1 D ．x 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，2x ﹣1≥0且x ﹣1≠0， 解得x ≥﹣且x ≠1． 故选：A ． 练2.2、要使1213-+ -x x 有意义，则x 应满足（ ） A ．21≤x ≤3 B ．x ≤3且x ≠21 C ．21＜x ＜3 D ．2 1＜x ≤3 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得， ， 解不等式①得，x ≤3， 解不等式②的，x ＞， 所以，＜x ≤3． 二次根式的概念及性质练习卷 姓名 一．判断题（对的打“∨”，错的打“×”） （1 x 的取值范围是x<0 （ ） （2 中字母x 的取值范围是x ≤34 （ ） （3）当x=-1 （ ） （4）当a=-4 （ ） （5） 2= —12 （ ）;（6 —12 （ ） （7） ）2= —12 （ ）;（8）（ 2=2×12=1 （ ） 二、填空题： 1． b ≥3） s ≥0） a （0≥a ）的代数式，叫做_______． 2．当x______ 时， 3 x 的取值范围是_______ ． 4． （7） 2 ； （8 （ 2=________． （10 ． 5．当x=-2 _______． 6．当a 取______ 有意义．7．当x 取______ 8．当m=-2 ________． ( ( ()( ()( ( )(2231_____,2______,3_____,4_____,5____,6____. ====== 9、若直角三角形的两直角边分别是2cm 和acm ，则直角三角形的斜边长是_______ 10、若正方形的面积是（b-3）cm 2,则正方形的边长是_________。 三、选择题： 1．下列各式中，哪一个是二次根式 （ ） A B C D 2 x 的取值范围是（ ） A ．x ≠-2; B ．x ≤12且x ≠-2; C ．x<12且x ≠-2; D ．x ≥12 且x ≠-2 3．下列各式中一定成立的是（ ） A B C ．（ 2 D 13=23 四、求下列二次根式中字母的取值范围： 五、计算：（1 -（12）2; （2） （3） 4时x 的值． x-4│—│7-x │． ( )( )( )123( 4 二次根式定义及性质教学内容: 并利用它们进行计算和化简? 2. 重点：—「汕「?厂—，厂—5及其运用. 3. 难点：利用 gx θ(α≥0)，(乔「二S0X°), = α?≥0) 解决具体问题 知识点一：二次根式的概念 一般地，我们把形如 丄；(a ≥ 0)?的式子叫做二次根式，“"”称为二次根号. 知识点二：二次根式的性质 1.&≥Q(a≥0)； (石)=Λ (d ≥ 0) =IaI= < 3. 2. a (a ≥0) -a (a <0)； 4. 积的算术平方根的性质: 5. 商的算术平方根的性质: λj'.∕?, - -Λ J I -■", ' -■； 知识点三：代数式 S 形女口 5, a , a+b , ab ,】，X , & (α≥0) 这些式子，用基本的运算符号 (基本运算包括加、减、乘、 除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式 (algebraic expression). 1.学习目标：理解二次根式的概念， 了解被开方数是非负数的理由； 理解并掌握下列结论： U- ■' ■: ■' 111， 经 典例题透析 类型一：二次根式的概念 例1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式: (X > 0)、 1 匚、=、二、U J i(X ≥0, y ≥ °)? 思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ??厂”；第二，被开方数是正数或 例2、当X 是多少时,,-I 在实数范围内有意义? 思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于 0,所以3X -1 ≥0, ? 义. 1 解：由 3X -1 ≥ 0,得：X ≥ j 1 当X ≥ 1时，「丄-在实数范围内有意义. 总结升华：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数. 举一反三 【变式1】X 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义? 1 解: (1)由 (M ≥ 0,解得：X 取任意实数 ???当X 取任意实数时，二次根式 ' ■'在实数范围内都有意义 (2)由 x-1 ≥ 0,且 x-1 ≠ 0,解得：X > 1 ?当X > 1时，二次根式■在实数范围内都有意义? 解：二次根式有: 匸、C i(X ≥ 0, y ≥ 0); 才能有意 J?. (X >0)、 不是二次根式的有: 新人教版数学八年级下册二次根式课时练习 一、单选题（共15小题） 1．已知3+x =0，则x 为（ ） >3 <－3 C. x=－3 D. x 的值不能确定 2．化简：2 1a -+的结果为（ ） A 、4—2a B 、0 C 、2a —4 D 、4 3．如果一个三角形的三边长分别为1、k 、3，化简|32|8136472-++--k k k 结果是（ ） A 、4k —5 B 、1 C 、13 D 、19—4k 4．下列命题中，错误．． 的是（ ） A =5，则x=5; B ．若a （a ≥0 C π-3 D 5 5．若式子ab a 1+-有意义，则点P （a ， b ）在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．当a ≥0时，2a 、2)(a -、2 a -，比较他们的结果，下面四个选项中正确的是（ ） A.2a =2)(a -≥2a - B.2a >2)(a ->2 a - C. 2a <2)(a -<2a - D.2a ->2a =2 )(a - 7．等式33-=-x x x x 成立的条件是（ ） A ．x ≠3 B ．x ≥0 C ．x ≥0且x ≠3 D ．x>3二次根式的概念与性质1
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