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空间向量与立体几何

空间向量与立体几何：

一、框架

第一方面：高考命题热点分析

高考题中立体几何至少一小题一大题，考察的重点热点内容有：

1、三视图的识别、转化，根据三视图求表面积与体积；

2、位置关系的判断与推证；

3、空间中角和距离问题等。

在命题形式上在动态变化，存在性问题，探索性问题以及与其它知识交汇上不断创新，彰显空间问题平面化，几何问题代数化，立体几何向量化的特点。

立体几何（部分内容）

一、几何关系问题求证：熟知4个判定定理与4个性质定理，熟知相关性质；

二、立体几何中的折叠与展开问题：解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化；

三、立体几何中的最值问题：分析是否能用公理与定义直接解决题中问题;如果不能，再看是否可将问题条件转化为函数，若能写出确定的表意函数，则可用建立函数法求解;再不能，则要考虑其中是否存在不等关系，看是否能运用解等不式法求解;还不行则应考虑是否可将其体图展开成平面。

四、立体几何中的探索性问题：

（1）对命题条件的探索：

探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么．对命题条件的探索常采用以下三种方法：

①、先猜后证，即先观察与尝试给出条件再给出证明;

②、先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性;

③、把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件．

（2）对命题结论的探索：

探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么．对命题结论的探索，常从条件出发，探索出要求的结论是什么，另外还有探索的结论是否存在．求解时，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾的结论。

第二方面：立体几何中的空间向量法的框架结构

F E

J O

z A'C'

C D'A

第三方面：建立空间直角坐标系问题

★建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴

1、z 轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z 轴要与坐标平面xOy 垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为z 轴与底面的交点

2、,x y 轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：

（1）尽可能的让底面上更多的点位于,x y 轴上

（2）找角：,x y 轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件（3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点

3、常用的空间直角坐标系满足,,x y z 轴成右手系，所以在标,x y 轴时要注意。

4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。

5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直+底面两条线垂直），这个过程不能省略。

★坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类

1、能够直接写出坐标的点

（1）坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的,,'A C D 点，坐标特点如下：x 轴：(),0,0x y 轴：()0,,0y z 轴：()0,0,z 规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0

（2）底面上的点：坐标均为(),,0x y ，即竖坐标0z =，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以上图为例：

则可快速写出,H I 点的坐标，位置关系清晰明了111,,0,,1,02

H I ???? ? ???

2、空间中在底面投影为特殊位置的点：

如果()'11,,A x y z 在底面的投影为()22,,0A x y ，那么1212,x x y y ==（即点与投影点的横纵坐标相同）由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。例如：正方体中的'

B 点，其投影为B ，而()1,1,0B 所以()'1,1,B z ，

而其到底面的距离为1，故坐标为()'

1,1,1B

以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法： 3、需要计算的点

① 中点坐标公式：()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则AB 中点121212,,2

22x x y y z z M +++??

???，

图中的,,,H I E F 等中点坐标均可计算

② 利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值，例如：求'

A 点的坐标，如果使用向量计算，则设()',,A x y z ，可直接写出()()()'

1,0,0,1,1,0,1,1,1A B B ，

观察向量''

AB AB =，而()0,1,0AB = ，()''1,1,1A B x y z =--- 101

110x x y y -==????∴-=?=?? ()'1,0,1A ∴

O C A

第四方面：直线的方向向量与平面的法向量

1.直线：用直线的方向向量刻画直线的方向问题，而方向向量可由直线上的两个点来确定例如：()()2,4,6,3,0,2A B ，则直线AB 的方向向量为()1,4,4AB =--

2.平面：用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度，何为法向量？与平面α垂直的直线称为平面α的法线，法线的方向向量就是平面α的法向量，如何求出指定平面的法向量呢？（1）所需条件：平面上的两条不平行的直线

（2）求法：（先设再求）设平面α的法向量为(),,n x y z =，若平面上所选两条直线的方向向量分别为

()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则可列出方程组：

111222

0x y z x y x y z x y z z ++=??

++=? 解出,,x y z 的比值即可例如：()()1,2,0,2,1,3a b ==，求,a b 所在平面的法向量

解：设(),,n x y z =，则有20230x y x y z +=??++=? ，解得：2x y z y =-??=?

::2:1:1x y z ∴=- ()2,1,1n ∴=-

第五方面：平行与垂直问题

★空间向量可解决的立体几何问题（用,a b 表示直线,a b 的方向向量，用,m n 表示平面,αβ的法向量）常见的判定方法：

（1）线线平行：a b a b ?∥∥ （2）线线垂直：a b a b ⊥?⊥ （3）面面平行：m n αβ?∥∥ （4）面面垂直：m n αβ⊥?⊥

第六方面：公式一览

（1）两直线所成角：cos cos ,a b a b a b

θ?==

（2）线面角：sin cos ,a m a m a m

θ?==

（3）二面角：cos cos ,m n m n m n

θ?==

或cos cos ,m n m n m n

θ?=-=-

（视平面角与法向量夹角关系而定）

（4）点到平面距离：设A 为平面α外一点，P 为平面α上任意一点，则A 到平面α的距离为

A AP n d n

α-?=

，即AP 在法向量n 上投影的绝对值。

第七方面：空间向量法求三种角 1、两条异面直线所成角的求法

设两条异面直线a ，b 的方向向量为a ，b ，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝|a·b|

|a||b|

(其中φ为异面直线a ，b 所成的角)．

2．直线和平面所成的角的求法：如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝

|n·e|

|n||e|

3．求二面角的大小

(1)如图①，AB ，CD 是二面角α -l -β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝〈AB ，CD 〉．

(2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α -l -β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小 θ＝〈n 1，n 2〉(或π－〈n 1，n 2〉)．注意点：

1．求异面直线所成角时，易求出余弦值为负值而盲目得出答案而忽视了夹角为?

????0，π2.

2．求直线与平面所成角时，注意求出夹角的余弦值的绝对值应为线面角的正弦值．

3．利用平面的法向量求二面角的大小时，二面角是锐角或钝角由图形决定．由图形知二面角是锐角时cos θ＝

|n 1·n 2||n 1||n 2|；由图形知二面角是钝角时，cos θ＝－|n 1·n 2|

|n 1||n 2|

.当图形不能确定时，要根据向量坐标在图

形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的内部，另一个平面的法向量指向二面角的外部)，还是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或外部)，这是利用向量求二面角的难点、易错点．

第八方面：空间向量法求三种角的步骤呈现 ★1、求直线和平面所成的角

1．向量法求异面直线所成的角的方法有两种

(1)基向量法：利用线性运算． (2)坐标法：利用坐标运算． 2．注意向量的夹角与异面直线所成角的区别

当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角． ★2、求直线和平面所成的角

1．利用平面的法向量求线面角时，应注意

(1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角即为所求．

(2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sin 2θ＋cos 2θ＝1求出其值．不要误为直线的方向向量与平面的法向量所夹角的余弦值为所求．

2．已知B A ,为直线l 上任意两点，n 为平面α的法向量，则l 和平面α所成的角θ为:

212121cos z

y x z y x z z y y x x b

a b a ++?++++=

??=

β βθcos sin =

当??

??∈2,

0πβ时βπθ-=2 当??? ??∈ππβ,2时βπθ-=

★3、利用法向量求二面角的大小的原理: 1．利用法向量求二面角时应注意

(1)对于某些平面的法向量要注意题中隐含着，不用单独求．

(2)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行，以防结论失误．

2．设n m ,为平面βα，的法向量，二面角βα--l 的大小为θ，向量n m ,的夹角为?，则有π?θ=+或?θ=

图1 图2 22

212121cos z

y x z y x z z y y x x b

a b a ++?++++=

??=

说明：通过法向量的方向来求解二面角，两个法向量的方向是“一进一出”，所求的二面角的平面角就等于两法向量的夹角，如果是“同进同出”，所求的二面角的平面角就等于两法向量的夹角的补角。

?θ β l

n 1n

第九方面：点的存在性问题点的存在性问题：在立体几何解答题中，最后一问往往涉及点的存在性问题，即是否在某条线上存在一点，使之满足某个条件，解决这种问题的方法：

1、理念：先设再求——先设出所求点的坐标(),,x y z ，再想办法利用条件求出坐标

2、解题关键：减少变量数量——(),,x y z 可表示空间中的任一点，但题目中所求点往往是确定在某条线或者某个平面上的，所以使用三个变量比较“浪费”（变量多，条件少，无法求解），要考虑减少变量的个数，最终所使用变量的个数可根据如下条件判断：

（1）直线（一维）上的点：用一个变量就可以表示出所求点的坐标（2）平面（二维）上的点：用两个变量可以表示所求点坐标规律：维度=所用变量个数 3、如何减少变量：

（1）直线上的点（重点）：平面向量共线定理——若,a b R λ??∈∥使得a b λ=

例：已知()()1,3,4,0,2,1A P ，那么直线AP 上的某点(),,M x y z 坐标可用一个变量表示，方法如下：

()()1,3,4,1,1,3AM x y z AP =---=---——三点中取两点构成两个向量

因为M 在AP 上，所以AM AP AM AP λ?=∥ ——共线定理的应用（关键）

11334343x x y y z z λλλλλλ-=-=-????

∴-=-?=-????-=-=-??

，即()1,3,43M λλλ---——仅用一个变量λ表示（2）平面上的点：平面向量基本定理——若,a b 不共线，则平面上任意一个向量c ，均存在,R λβ∈，使得：c a b λβ=+

例：已知()()()1,3,4,0,2,1,2,4,0A P Q ，则平面APQ 上的某点(),,M x y z 坐标可用两个变量表示，方法如下：()()()1,3,4,1,1,3,2,2,1AM x y z AP PQ =---=---=-，故AM AP PQ λβ=+，即

121232324343x x y y z z λβλβλβλβλβλβ-=-+=-+????

∴-=-+?=-+????-=--=--??

二、方法诠释

第一方面：方向向量与法向量

★1、直线的方向向量与平面的法向量的确定

(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．

(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，

则求法向量的方程组为?????

n ·a ＝0，n ·

b ＝0. ★2、用向量证明空间中的平行关系

(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)?v 1∥v 2.

(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ?α?存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.

(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ?α?v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β?u 1∥u 2. ★3、用向量证明空间中的垂直关系

(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2?v 1⊥v 2?v 1·v 2＝0. (2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α?v ∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β?u 1⊥u 2?u 1·u 2＝0. 例1：完成下面5个小题

1.平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k 等于( ) A ．2 B ．－4 C ．4 D ．－2

2.已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是( ) A ．(－1,1,1) B ．(1，－1,1) C ．(－

33，－33，－33) D ．(33，33，－3

) 3.已知直线l 的方向向量为v ＝(1,2,3)，平面α的法向量为u ＝(5,2，－3)，则l 与α的位置关系是____________． 4.(教材改编)设u ，v 分别是平面α，β的法向量，u ＝(－2,2,5)，当v ＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为________；当v ＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________． 5.(教材改编)

如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1

解：1．答案 C 解析 ∵α∥β，∴两平面法向量平行， ∴－21＝－42＝k

－2，∴k ＝4.

2．答案C 解：设n ＝(x ，y ，z )为平面ABC 的法向量，则?????

n ·AB →＝0，n ·

AC →＝0，化简得?????

－x ＋y ＝0，

－x ＋z ＝0，

∴x ＝y ＝z .故选C.

3．答案 l ∥α或l ?α 解析 ∵v ·u ＝0，∴v ⊥u ，∴l ∥α或l ?α. 答案 α⊥β α∥β

4．解析当v ＝(3，－2,2)时，u ·v ＝(－2,2,5)·(3，－2,2)＝0?α⊥β.当v ＝(4，－4，－10)时，v ＝－2u ?α∥β. 5．答案：垂直解析：以A 为原点，分别以AB →，AD →，AA 1→

所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A (0,0,0)，M (0,1，12)，O (12，12，0)，N (12，0,1)，AM →·ON →

＝(0,1，12)·(0，－12，1)＝0，

∴ON 与AM 垂直．

第二方面：空间向量中的平行问题 ★1、方法总结：证明平行问题的方法

(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键． (2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．

例2：如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点．

求证：（1）证明：PB∥平面EFG ；（2）证明：平面EFG∥平面PBC. 证明：（1）∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形，

∴AB ，AP ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，

∴PB →＝(2,0，－2)，FE →＝(0，－1,0)，FG →＝(1,1，－1)，设PB →＝sFE →＋tFG →，即(2,0，－2)＝s (0，－1,0)＋t (1,1，－1)，∴????

t ＝2，t －s ＝0，

－t ＝－2，

解得s ＝t ＝2.∴PB →＝2FE →＋2FG →

，

又∵FE →与FG →不共线，∴PB →，FE →与FG →

共面．∵PB ?平面EFG ，∴PB ∥平面EFG . （2）证明：∵EF →＝(0,1,0)，BC →＝(0,2,0)，∴BC →＝2EF →

，∴BC ∥EF .

又∵EF ?平面PBC ，BC ?平面PBC ，∴EF ∥平面PBC ，同理可证GF ∥PC ，从而得出GF ∥平面PBC . 又EF ∩GF ＝F ，EF ?平面EFG ，FG ?平面EFG ，∴平面EFG ∥平面PBC . 第三方面：空间向量中的垂直问题 ★1、方法总结：证明垂直问题的方法

(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．

(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．

例:3：在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点．

(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面P AD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论． (1)证明：如图，分别以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，

设AD ＝a ，则D (0,0,0)，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，E ????a ，a 2，0，P (0,0，a )，F ????a 2，a 2，a 2. EF →＝??－a ，0，a ，DC →＝(0，a,0)．∵EF →·DC →＝0，∴EF →⊥DC →

，即EF ⊥CD .

(2)解设G (x,0，z )，则FG →

＝????x －a 2，－a 2，z －a 2，若使GF ⊥平面PCB ，则由FG →·CB →＝????x －a 2，－a 2，z －a 2·(a,0,0)＝a ????x －a 2＝0，得x ＝a 2；由FG →·CP →＝????x －a

2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a )＝a 22＋a ????z －a 2＝0，得z ＝0.

∴G 点坐标为????a 2，0，0，即G 点为AD 的中点．

★对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用

空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”．第四方面：空间向量中的夹角问题： ★1、异面直线所成的角：

(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；

(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；

(4)两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值．

例4.1：如图，已知三棱锥O ABC -的侧棱OA OB OC ，，两两垂直，且1OA =，2OB OC ==， E 是OC 的中点。

（1）求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值；（2）BE 和平面ABC 所成角的正弦值。

解：（1）以O 为原点,OB 、OC 、OA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.

则有(0,0,1)A 、(2,0,0)B 、(0,2,0)C 、(0,1,0).E (2,0,0)(0,1,0)(2,1,0),(0,2,1)EB AC =-=-=-

cos <,EB AC >

555

=-?所以异面直线BE 与AC 所成角的余弦为5

2. （2）设平面ABC 的法向量为1(,,),n x y z = 则由11:20;n AB n AB x z ⊥?=-=知

由11:20.n AC n AC y z ⊥?=-=知取1(1,1,2)n =，则30

5012,cos 1=

+->=

(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．

例4.2：如图，在直棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AC ⊥BD ，BC ＝1，AD ＝AA 1＝3.

(1)证明：AC ⊥B 1D ；(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值．

解：(1)证明易知，AB ，AD ，AA 1两两垂直，如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．

设AB ＝t ，则相关各点的坐标为A (0,0,0)，B (t,0,0)，B 1(t,0,3)，C (t,1,0)，C 1(t,1,3)，D (0,3,0)，D 1(0,3,3)．从而B 1D →＝(－t,3，－3)，AC →＝(t,1,0)，BD →＝(－t,3,0)，因为AC ⊥BD ，所以AC →·BD →＝－t 2＋3＋0＝0. 解得t ＝3或t ＝－3(舍去)．于是B 1D →＝(－3，3，－3)，A C →

＝(3，1,0)，因为AC →·B 1D →＝－3＋3＋0＝0，所以AC →⊥B 1D →，即AC ⊥B 1D . (2)解由(1)知，AD 1→＝(0,3,3)，A C →

＝(3，1,0)，

B 1

C 1→

＝(0,1,0)，设n ＝(x ，y ，z )是平面ACD 1的一个法向量．则?????

n ·A C →＝0，n ·

AD 1→＝0，即???

3x ＋y ＝0，3y ＋3z ＝0，

令x ＝1，则n ＝(1，－3，3)．设直线B 1C 1与平面ACD 1所成的角为θ，

则sin θ＝|cos 〈n ，B 1C 1〉|＝|n ·B 1C 1→

|n |·|B 1C 1→||＝37＝217. 即直线B 1C 1与平面ACD 1所成的角的正弦值为21