2020年浙江省丽水市中考数学试卷
2020年浙江省丽水市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）实数3的相反数是（ ） A ．﹣3 B ．3
C ．?1
3
D ．1
3
2．（3分）分式x+5x?2
的值是零，则x 的值为（ ）
A ．2
B ．5
C ．﹣2
D ．﹣5
3．（3分）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ） A ．a 2+b 2
B ．2a ﹣b 2
C ．a 2﹣b 2
D ．﹣a 2﹣b 2
4．（3分）下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．（3分）如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是（ ）
A ．1
2
B ．1
3
C ．2
3
D ．1
6
6．（3分）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB 的垂线a 和b ，得到a ∥b ．理由是（ ）
A ．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B ．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C ．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D ．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
7．（3分）已知点（﹣2，a ）（2，b ）（3，c ）在函数y =k
x
（k ＞0）的图象上，则下列判断正确的是（ ） A ．a ＜b ＜c
B ．b ＜a ＜c
C ．a ＜c ＜b
D ．c ＜b ＜a
8．（3分）如图，⊙O 是等边△ABC 的内切圆，分别切AB ，BC ，AC 于点E ，F ，D ，P 是DF ?上一点，则∠EPF 的度数是（ ）
A ．65°
B ．60°
C ．58°
D ．50°
9．（3分）如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为x ．则列出方程正确的是（ ）
A ．3×2x +5＝2x
B ．3×20x +5＝10x ×2
C ．3×20+x +5＝20x
D ．3×（20+x ）+5＝10x +2
10．（3分）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD 与正方形EFGH ．连结EG ，BD 相交于点O 、BD 与HC 相交于点P ．若GO ＝GP ，则S 正方形ABCD S 正方形EFGH
的
值是（ ）
A ．1+√2
B ．2+√2
C ．5?√2
D ．
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二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）点P （m ，2）在第二象限内，则m 的值可以是（写出一个即可） ． 12．（4分）数据1，2，4，5，3的中位数是 ．
13．（4分）如图为一个长方体，则该几何体主视图的面积为 cm 2．
14．（4分）如图，平移图形M ，与图形N 可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是 °．
15．（4分）如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A ，B ，C 均为正六边形的顶点，AB 与地面BC 所成的锐角为β．则tan β的值是 ．
16．（4分）图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC ，BD （点A 与点B 重合），点O 是夹子转轴位置，OE ⊥AC 于点E ，OF ⊥BD 于点F ，OE ＝OF ＝1cm ，AC ＝BD ＝6cm ，CE ＝DF ，CE ：AE ＝2：3．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O 转动．
（1）当E ，F 两点的距离最大时，以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的周长是 cm ． （2）当夹子的开口最大（即点C 与点D 重合）时，A ，B 两点的距离为 cm ．
三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．（6分）计算：（﹣2020）0+√4?tan45°+|﹣3|．
18．（6分）解不等式：5x﹣5＜2（2+x）．
19．（6分）某市在开展线上教学活动期间，为更好地组织初中学生居家体育锻炼，随机抽取了部分初中学生对“最喜爱的体育锻炼项目”进行线上问卷调查（每人必须且只选其中一项），得到如图两幅不完整的统计图表．请根据图表信息回答下列问题：
抽取的学生最喜爱体育锻炼项目的统计表
类别项目人数（人）
A跳绳59
B健身操▲
C俯卧撑31
D开合跳▲
E其它22
（1）求参与问卷调查的学生总人数．
（2）在参与问卷调查的学生中，最喜爱“开合跳”的学生有多少人？
（3）该市共有初中学生约8000人，估算该市初中学生中最喜爱“健身操”的人数．
?的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°．
20．（8分）如图，AB
（1）求弦AB的长．
?的长．
（2）求AB
21．（8分）某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低0.6℃，气温T（℃）和高度h （百米）的函数关系如图所示．
请根据图象解决下列问题：
（1）求高度为5百米时的气温；
（2）求T关于h的函数表达式；
（3）测得山顶的气温为6℃，求该山峰的高度．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝4√2，∠B＝45°，∠C＝60°．（1）求BC边上的高线长．
（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．
①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．
②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=?1
2（x﹣m）
2+4图象的顶点为
A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C（1，n）在该函数图象上．（1）当m＝5时，求n的值．
（2）当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2时，自变量x的取值范围．（3）作直线AC与y轴相交于点D．当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F，已知OB＝8．（1）求证：四边形AEFD为菱形．
（2）求四边形AEFD的面积．
（3）若点P在x轴正半轴上（异于点D），点Q在y轴上，平面内是否存在点G，使得以点A，P，Q，G为顶点的四边形与四边形AEFD相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，试说明理由．
2020年浙江省丽水市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）实数3的相反数是（ ） A ．﹣3
B ．3
C ．?1
3
D ．1
3
【解答】解：实数3的相反数是：﹣3． 故选：A ． 2．（3分）分式x+5x?2
的值是零，则x 的值为（ ）
A ．2
B ．5
C ．﹣2
D ．﹣5
【解答】解：由题意得：x +5＝0，且x ﹣2≠0， 解得：x ＝﹣5， 故选：D ．
3．（3分）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ） A ．a 2+b 2
B ．2a ﹣b 2
C ．a 2﹣b 2
D ．﹣a 2﹣b 2
【解答】解：A 、a 2+b 2不能运用平方差公式分解，故此选项错误； B 、2a ﹣b 2不能运用平方差公式分解，故此选项错误； C 、a 2﹣b 2能运用平方差公式分解，故此选项正确； D 、﹣a 2﹣b 2不能运用平方差公式分解，故此选项错误； 故选：C ．
4．（3分）下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：A 、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意； B 、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意； C 、该图形是中心对称图形，故本选项符合题意；
D 、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：C ．
5．（3分）如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是（ ）
A ．1
2
B ．1
3
C ．2
3
D ．1
6
【解答】解：∵共有6张卡片，其中写有1号的有3张， ∴从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是3
6
=1
2；
故选：A ．
6．（3分）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB 的垂线a 和b ，得到a ∥b ．理由是（ ）
A ．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B ．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C ．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D ．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【解答】解：由题意a ⊥AB ，b ⊥AB ， ∴a ∥b （垂直于同一条直线的两条直线平行）， 故选：B ．
7．（3分）已知点（﹣2，a ）（2，b ）（3，c ）在函数y =k
x （k ＞0）的图象上，则下列判断正确的是（ ） A ．a ＜b ＜c
B ．b ＜a ＜c
C ．a ＜c ＜b
D ．c ＜b ＜a
【解答】解：∵k ＞0，
∴函数y =k
x （k ＞0）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y 随x 的增大而减小， ∵﹣2＜0＜2＜3，
∴b＞c＞0，a＜0，
∴a＜c＜b．
故选：C．
8．（3分）如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是DF
?上一点，则∠EPF的度数是（）
A．65°B．60°C．58°D．50°
【解答】解：如图，连接OE，OF．
∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠OEB＝∠OFB＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠EOF＝120°，
∴∠EPF=1
2∠EOF＝60°，
故选：B．
9．（3分）如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为x．则列出方程正确的是（）
A ．3×2x +5＝2x
B ．3×20x +5＝10x ×2
C ．3×20+x +5＝20x
D ．3×（20+x ）+5＝10x +2
【解答】解：设“□”内数字为x ，根据题意可得： 3×（20+x ）+5＝10x +2． 故选：D ．
10．（3分）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD 与正方形EFGH ．连结EG ，BD 相交于点O 、BD 与HC 相交于点P ．若GO ＝GP ，则S 正方形ABCD S 正方形EFGH
的
值是（ ）
A ．1+√2
B ．2+√2
C ．5?√2
D ．
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【解答】解：∵四边形EFGH 为正方形， ∴∠EGH ＝45°，∠FGH ＝90°， ∵OG ＝GP ，
∴∠GOP ＝∠OPG ＝67.5°， ∴∠PBG ＝22.5°， 又∵∠DBC ＝45°， ∴∠GBC ＝22.5°， ∴∠PBG ＝∠GBC ，
∵∠BGP ＝∠BG ＝90°，BG ＝BG ， ∴△BPG ≌△BCG （ASA ）， ∴PG ＝CG ．
设OG ＝PG ＝CG ＝x ， ∵O 为EG ，BD 的交点， ∴EG ＝2x ，FG =√2x ，
∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”， ∴BF ＝CG ＝x ， ∴BG ＝x +√2x ，
∴BC 2＝BG 2+CG 2=x 2(√2+1)2+x 2=(4+2√2)x 2， ∴
S 正方形ABCD S 正方形EFGH
=
(4+2√2)x 2
2x =2+√2．
故选：B ．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）点P （m ，2）在第二象限内，则m 的值可以是（写出一个即可） ﹣1（答案不唯一）． ．
【解答】解：∵点P （m ，2）在第二象限内， ∴m ＜0，
则m 的值可以是﹣1（答案不唯一）． 故答案为：﹣1（答案不唯一）．
12．（4分）数据1，2，4，5，3的中位数是 3 ．
【解答】解：数据1，2，4，5，3按照从小到大排列是1，2，3，4，5， 则这组数据的中位数是3， 故答案为：3．
13．（4分）如图为一个长方体，则该几何体主视图的面积为 20 cm 2．
【解答】解：该几何体的主视图是一个长为4，宽为5的矩形，所以该几何体主视图的面积为20cm 2． 故答案为：20．
14．（4分）如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是30°．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝180°﹣∠C＝60°，
∴∠α＝180°﹣（540°﹣70°﹣140°﹣180°）＝30°，
故答案为：30．
15．（4分）如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A，B，C均为正六边形的顶点，AB与地面BC所成的锐角为β．则tanβ的值
是19√3
15
．
【解答】解：如图，作AT∥BC，过点B作BH⊥AT于H，设正六边形的边长为a，则正
六边形的半径为，边心距=√3
2a．
观察图象可知：BH=19
2a，AH=
5√3
2a，
∵AT∥BC，
∴∠BAH ＝β，
∴tan β=BH AH =192a 532a
=19√3
15
． 故答案为
19√315
．
16．（4分）图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC ，BD （点A 与点B 重合），点O 是夹子转轴位置，OE ⊥AC 于点E ，OF ⊥BD 于点F ，OE ＝OF ＝1cm ，AC ＝BD ＝6cm ，CE ＝DF ，CE ：AE ＝2：3．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O 转动．
（1）当E ，F 两点的距离最大时，以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的周长是 16 cm ． （2）当夹子的开口最大（即点C 与点D 重合）时，A ，B 两点的距离为
6013
cm ．
【解答】解：（1）当E ，F 两点的距离最大时，E ，O ，F 共线，此时四边形ABCD 是矩形，
∵OE ＝OF ＝1cm ， ∴EF ＝2cm ， ∴AB ＝CD ＝2cm ，
∴此时四边形ABCD 的周长为2+2+6+6＝16（cm ）， 故答案为16．
（2）如图3中，连接EF 交OC 于H ．
由题意CE ＝CF =
25×6=12
5
（cm ）， ∵OE ＝OF ＝1cm ， ∴CO 垂直平分线段EF ， ∵OC =2+OE 2=√(
125)2+12=13
5
（cm ）， ∵12
?OE ?EC =1
2?CO ?EH ， ∴EH =
1×12
5
135
=12
13（cm ），
∴EF ＝2EH =24
13（cm ） ∵EF ∥AB ， ∴
EF AB
=
CE CB
=2
5，
∴AB =5
2×24
13=60
13（cm ）． 故答案为
6013
．
三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程） 17．（6分）计算：（﹣2020）0+√4?tan45°+|﹣3|． 【解答】解：原式＝1+2﹣1+3＝5． 18．（6分）解不等式：5x ﹣5＜2（2+x ）． 【解答】解：5x ﹣5＜2（2+x ）， 5x ﹣5＜4+2x 5x ﹣2x ＜4+5， 3x ＜9， x ＜3．
19．（6分）某市在开展线上教学活动期间，为更好地组织初中学生居家体育锻炼，随机抽取了部分初中学生对“最喜爱的体育锻炼项目”进行线上问卷调查（每人必须且只选其中一项），得到如图两幅不完整的统计图表．请根据图表信息回答下列问题： 抽取的学生最喜爱体育锻炼项目的统计表 类别 项目 人数（人）
A
跳绳
59
B健身操▲
C俯卧撑31
D开合跳▲
E其它22
（1）求参与问卷调查的学生总人数．
（2）在参与问卷调查的学生中，最喜爱“开合跳”的学生有多少人？
（3）该市共有初中学生约8000人，估算该市初中学生中最喜爱“健身操”的人数．
【解答】解：（1）22÷11%＝200（人），
答：参与调查的学生总数为200人；
（2）200×24%＝48（人），
答：最喜爱“开合跳”的学生有48人；
（3）最喜爱“健身操”的学生数为200﹣59﹣31﹣48﹣22＝40（人），
8000×40
200
=1600（人），
答：最喜爱“健身操”的学生数大约为1600人．
20．（8分）如图，AB
?的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°．（1）求弦AB的长．
（2）求AB
?的长．
【解答】解：（1）∵AB
?的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°，
∴AC＝OA?sin60°＝2×√3
2
=√3，
∴AB ＝2AC ＝2√3；
（2）∵OC ⊥AB ，∠AOC ＝60°， ∴∠AOB ＝120°， ∵OA ＝2， ∴AB
?的长是：120π×2180
=
4π3
．
21．（8分）某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低0.6℃，气温T （℃）和高度h （百米）的函数关系如图所示． 请根据图象解决下列问题： （1）求高度为5百米时的气温； （2）求T 关于h 的函数表达式；
（3）测得山顶的气温为6℃，求该山峰的高度．
【解答】解：（1）由题意得，高度增加2百米，则气温降低2×0.6＝1.2（°C ）， ∴13.2﹣1.2＝12，
∴高度为5百米时的气温大约是12°C ；
（2）设T 关于h 的函数表达式为T ＝kh +b ， 则：{3k +b =13.25k +b =12，
解得{k =?0.6b =15
，
∴T 关于h 的函数表达式为T ＝﹣0.6h +15；
（3）当T ＝6时，6＝﹣0.6h +15， 解得h ＝15．
∴该山峰的高度大约为15百米．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝4√2，∠B＝45°，∠C＝60°．（1）求BC边上的高线长．
（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．
①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．
②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长．
【解答】解：（1）如图1中，过点A作AD⊥BC于D．
在Rt△ABD中，AD＝AB?sin45°＝4√2×√2
2
=4．
（2）①如图2中，
∵△AEF≌△PEF，
∴AE＝EP，
∵AE＝EB，
∴BE＝EP，
∴∠EPB＝∠B＝45°，
∴∠PEB＝90°，
∴∠AEP＝180°﹣90°＝90°．
②如图3中，由（1）可知：AC=AD
sin60°
=8√33，
∵PF⊥AC，
∴∠PF A＝90°，
∵△AEF≌△PEF，
∴∠AFE＝∠PFE＝45°，
∴∠AFE＝∠B，
∵∠EAF＝∠CAB，
∴△AEF∽△ACB，
∴AF
AB =
AE
AC
，即
4√2
=
√2
8√3
3
，
∴AF＝2√3，
在Rt△AFP，AF＝FP，∴AP=√2AF＝2√6．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=?1
2（x﹣m）
2+4图象的顶点为
A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C（1，n）在该函数图象上．
（1）当m＝5时，求n的值．
（2）当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2时，自变量x的取值范围．（3）作直线AC与y轴相交于点D．当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．
【解答】解：（1）当m＝5时，y=?1
2（x﹣5）
2+4，
当x＝1时，n=?1
2
×42+4＝﹣4．
（2）当n＝2时，将C（1，2）代入函数表达式y=?1
2（x﹣m）
2+4，得2=?1
2（1﹣m）
2+4，
解得m＝3或﹣1（舍弃），
∴此时抛物线的对称轴x＝3，
根据抛物线的对称性可知，当y＝2时，x＝1或5，∴x的取值范围为1≤x≤5．
（3）∵点A与点C不重合，
∴m≠1，
∵抛物线的顶点A的坐标是（m，4），
∴抛物线的顶点在直线y＝4上，
当x＝0时，y=?1
2m
2+4，
∴点B的坐标为（0，?1
2m
2+4），
抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置，m逐渐减小，点B沿y轴向上移动，
当点B与O重合时，?1
2m
2+4＝0，
解得m＝2√2或﹣2√2，
当点B与点D重合时，如图2，顶点A也与B，D重合，点B到达最高点，∴点B（0，4），
∴?1
2m
2+4＝4，解得m＝0，
当抛物线从图2的位置继续向左平移时，如图3点B不在线段OD上，
∴B点在线段OD上时，m的取值范围是：0≤m＜1或1＜m＜2√2．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F，已知OB＝8．（1）求证：四边形AEFD为菱形．
（2）求四边形AEFD的面积．
（3）若点P在x轴正半轴上（异于点D），点Q在y轴上，平面内是否存在点G，使得以点A，P，Q，G为顶点的四边形与四边形AEFD相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，试说明理由．
【解答】（1）证明：如图1中，