排列组合二项式定理专题复习

排列、组合、二项式定理

考纲导读

1. 掌握分类计数原理与分步计数原理、并能用它分析和解决一些简单的应用问题.

2. 理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.

3. 理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些简单的应用 问题.

4. 掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.

知识网络

排列概念

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排列与组合高考重点考察学生理解问题、综合运用分类计数原理和分步计数原理分析问题 和解决问题的能力及分类讨论思想. 它是高中数学中从内容到方法都比较独特的一个组成部 分，是进一步学习概率论的基础知识. 由于这部分内容概念性强， 抽象性强，思维方法新颖，

同时解题过程中极易犯“重复”或“遗漏”的错误，而且结果数目较大，无法一一检验，因 此学生要

学好本节有一定的难度.

解决该问题的关键是学习时要注意加深对概念的理解，

掌

握知识的内在联系和区别，严谨而周密地去思考分析问题. 二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识， 高考重点考查展开式及通项， 难度

与课本内容相当?另外利用二项式定理及二项式系数的性质解决一些较简单而有趣的小题， 在高考中

也时有出现.

第1课时 两个计数原理

理（也称加法原理）：做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法 中有m 种不同的方法，在第二类办法中有 m 2种不同的方法， ，在第 n 类办法中有 m

种

不同的方法，那么完成这件事共有

N= ___________________ 种不同的方法.

2.

分步计数原理（也称乘法

原理）：做一件事情，完成它需要分成

n 个步骤，做第一步有

排列组合 二项式定理

两个计数原理

排列

组合

排列数公式

组合概念

组合数公式 —组合数性质

应用

二项式定理

通项公式

应用

.项式系数性质

m种不同的方法，做第二步有m^种不同的方法，，做n步有m种不同的方法，那么完成这件事共有N= _______________________________________ 种不同的方法.

3.解题方法：枚举法、插空法、隔板法.

例1.高二、⑴、(2)、(3)班分别有学生48,50,52人

(1)从中选1人当学生代表的方法有多少种？

(2)从每班选1人组成演讲队的方法有多少种？

(3)从这150名学生中选4人参加学代会有多少种方法？

(4)从这150名学生中选4人参加数理化四个课外活动小组，共有多少种方法？

解：(1) 48 + 50 + 52= 150 种 (2) 48 X 50 X 52= 124800 种 (3) C仏(4) A；0

变式训练1:在直角坐标x —o —y平面上，平行直线x=n,(n=0, 1, 2, 3, 4, 5) , y=n, (n=0, 1, 2, 3, 4, 5)，组成的图形中，矩形共有( )

A 25 个

B 、36 个

C 、100 个

D 、225 个

解：在垂直于x轴的6条直线中任意取2条，在垂直于y轴的6条直线中任意取2条，这样的4条直线相交便得到一个矩形，所以根据分步记数原理知道：

2 2

得到的矩形共有C6C6 =15 15 = 225个，故选Db

例2. (1)将5封信投入6个信箱，有多少种不同的投法？

⑵ 设I ={1,2,3,4,5,6} , A与B都是I的子集，AA B= {1,3,5}，则称(A,B)为理想配，所有

理想配共有多少种？

(3)随着电讯事业的发展，许多地方电话号码升位，若某地由原来7位电话号码升为8位电话

号码，问升位后可多装多少门电话机？(电话号码首位不为0)

5 7

6 7

解：(1) 6 ( 2) 27 (3)电话号码首位不为0: 9X 10 —9 X 10 = 8.1 X 10

变式训练2：一个圆分成6个大小不等的小扇形，取来红、黄、兰、白、绿、黑6种颜色。请问：⑴6个小扇形分别着上6种颜色有多少种不同的着色方法？

⑵从这6种颜色中任选5种着色，但相邻两个扇形不能着相同的颜色，则有

多少种不同的着色方法？

解：⑴6个小扇形分别着上6种不同的颜色，共有A =720种着色方法.

⑵6个扇形从6种颜色中任选5种着色共有C；C5A?种不同的方法；其中相邻两个扇形是同

一种颜色的着色方法共有6C；A；;因此满足条件的着色方法共有

C Q C Q A5 -6C Q A5 = 6480 种着色方法

例3.如图A, B, C, D为海上的四个小岛，现在要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案有( )

匚二二D

A广

A、8 种

B、12 种

C、16 种

D、20 种

B

C匸二C

1

解：第一类：从一个岛出发向其它三岛各建一桥，共有C4=4种方法；

第二类：一个岛最多建设两座桥，例如：A—B—C—D, D-C—B-A,这样的两个排列对应一

4

种建桥方法，因此有A =12种方法；

2

根据分类计数原理知道共有 4+12=16种方法

变式训练3:某公司招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名翻译人员 不能同时分给一个部门， 另三名电脑编程人员也不能同时分给一个部门， 求有多少种不同的 分配方案.

解：用分步计数原理?先分英语翻译，再分电脑编程人员，最后分其余各人，故有 2X (3 +

3) X 3= 36 种.

例4.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线上标注的 数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，

现从结点A 向结点B 传递信息，信息

可以沿不同的路径同时传递，则单位时间传递的最大信息量是(

)

第三类单位时间传递的最大信息量是 6;第四类单位时间传递的最大信息量是 6。所以由分 类记数原理知道共有： 3+4+6+6=19，故选D 变式训练4： 7个相同的小球，任意放入 4个不同的盒子，则每个盒子都不空的放法有多少

种？

解：首先要清楚：“每个盒子都不空”的含义是“每个盒子里至少有

1个球”。

于是，我们采用“隔板法”来解决。在 7个小球中的每两个之间分别有 6个空，我们从6 个空中任意选3个分别插入3块隔板，则这3块隔板就把7个小球分成4部分，而且每一部 分至少有1个球。即有

C 3=20种方法，又每一种分割方法都对应着一种放球的放法。所以 共有20种放球放法。

注；(1)本题若采取“分类讨论”的方法来解决，则显得很麻烦；大家可以试一试。 (2) 隔板法只能用于“各个元素不加区别”的情况，否则不能使用 两个原理的区别在于， 前者每次得到的是最后的结果，

后者每次得到的是中间结果，

即每次

仅完成整件事情的一部分，当且仅当几个步骤全部做完后，整件事情才算完成.

第2课时 排列

基础过关

1. 一般地说，从 n 个不同元素中，任取 m(mc n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做 从n 个不

同元素中取出 m 个元素的一个排列.

排列的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列” ?因此当元 素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，才是同一个排列.

2. ___________________________________________________________ 从n 个不同元素

中取出 m(mc n)个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个为不同元素中取 出m 个元素的排列数，用符号

A n 表示?排列数公式 A n = ____________________________________________________ .

、20 D 、19

第一类： 12 ―? 5 ―? 3 第二类 12

4 -?

第三类

12

7 —?

第四类； 12―8 €-?

可见：第- 类中单位时间传递的最大信息量是 3;第二类单位时间传递的最大信息量是 4； 解：要完成的这件事是：“从 A 向B 传递信息”，完成这件事有 4类办法:

这里me n其中等式的右边是___________ 个连续的自然数相乘，最大的是___________ ，最小的是.

3. ________________________________________________________________________ n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，全排列数用A n n表示，它等于自然数从1到n的连乘积，自然数从1到n的连乘积叫做n的阶乘，用_______________________ 表示.

4.解有约束条件的排列问题的方法有直接法、间接法、元素位置分析法、插空法、捆绑法、枚举法、对称法、隔板法.

5.排列问题常用框图来处理.

例1、(1)元旦前某宿舍的四位同学各写一张贺卡先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡的不同分配有多少种？

⑵ 同一排6张编号1, 2, 3, 4, 5, 6的电影票分给4人，每人至少1张，至多2张，且这两张票有连续编号，则不同分法有多少种？

(3)(06湖南理14)某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行. 那么安排这6项工程的不同排法有多少种数？

解：(1)分类：9种

(2)假设五个连续空位为一个整元素a，单独一个空位为一个元素b，另4人为四个元素

C1、C2、C3、C4.问题化为a,b,c 1,c 2,c 3,C4的排列，条件是a,b不相邻，共有A：A = 48种；

(3)将丙，丁看作一个元素，设想5个位置，只要其余2项工程选择好位置，剩下3个位

置按甲、乙(两丁)中唯一的，故有A2= 20种

变式训练1:有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的方法?

解:

9

9个球排成一列有A种排法, 再除去2红、3黄、4白的顺序即可，

故共有排法」厂1260种。

A A A答案:1260

例2 .5男4女站成一排，分别指出满足下列条件的排法种数

(1) 甲站正中间的排法有种，甲不站在正中间的排法有种.

⑵甲、乙相邻的排法有种，甲乙丙三人在一起的排法有种.

⑶甲站在乙前的排法有种，甲站在乙前，乙站在丙前(不要求一定相邻) 的排法有种.丙在甲乙之间(不要求- 定相邻)的排法有种.

⑷甲乙不站两头的排法有种，甲不站排头，乙不站排尾的排法种有种.

⑸5 名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有

种.

⑹ 女生互不相邻的排法有__________ 种，男女相间的排法有_________ 种.

⑺甲与乙、丙都不相邻的排法有___________ 种，甲乙丙三人有且只有两人相邻的排法有

种.

(8)甲乙丙三人至少有1人在两端的排法有 _______ 种.

(9)甲乙之间有且只有4人的排法有 __________ 种.

解：(1)8 ! , 8 X 8! (2) 2 X 8! ,6 X 7! (3)丄X 9! , A X 1, A； X 2X 1 2

(4) A X7 !8 ! + 7X 7X 7!

⑸ 2 X 5!X 4!

⑹ 5 ! X A6, 5 ! X 4! X 2

2

(7)9 ! - 2 X 8!X 2+ 2 X 7! , 3 X 6!X A z X2

.3

(8)9 ! - A X 6!

(9)捆绑法.2X P74X 4! 也可用枚举法2 X 4X 7 !

变式训练2:从包含甲的若干名同学中选出4人分别参加数学、物理、化学和英语竞赛，每

名同学只能参加一种竞赛，且任2名同学不能参加同一种竞赛，若甲不参加物理和化学竞赛，

则共有72种不同的参赛方法，问一共有多少名同学？

解：5.

例3.在4000到7000之间有多少个四个数字均不相同的偶数解：分两类.

①类5在千位上：1X 5 X A = 280

②类4或6在千位上：2X 4X A = 448

故有280 + 448= 728 个

变式训练3：3张卡片的正反面上分别有数字0和1 , 3和4, 5和6,当把它们拼在一起组

成三位数字的时可得到多少个不同的三位数( 6可做9用)

解：若6不能做9用，由于0不能排百位，此时有5X 4X 2 = 40个?这40个三位数中含数字6的有2X 3X 2+ 1 X 4X 2= 20个，故6可做9用时，可得三位数40+ 20= 60个例4. (1) 从6名短跑运动员中选4人参加4 X 100米接力赛，问其中不跑第一棒的安排方法有多少种？

(2) 一排长椅上共有10个座位，现有4人就坐，恰有5个连续空位的坐法有多少种？解：(1)①先安排第四棒，再安排其他三棒的人选，故有5X A = 300种②60对.

(2)假设五个连续空位为一个元素A, B为单独一个空位元素，另4个为元素O, G, G ,

G间题转化为A, B, O1, O2, O3, 04排列，条件A, B不相邻，有A：A = 480种.

变式训练4:某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成?如果

第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有_________________ 种?(用数字作答).

1?解排列应用问题首先必须认真分析题意?看能否把问题归结为排队(即排列)问题，较简单的排列问题常用框图或树型来处理(注意也有个别问题不能用框图来处理如不相邻问题等)

2.解有约束条件的排列问题的几种策略.

a.特殊元素，特殊位置优先定位(也有个别例外情况，见例1)

b.相邻问题捆绑处理不相邻问题插空处理

c.正难则反，等价转换

3?解排列应用问题思路一定要清晰，并随时注意转换解题角度，通过练习要认真理会解排列问题的各种方法.

4.由于排列问题的结果一般数目较大.不易直接验证，解题时要深入分析，严密周详，要防止重复和遗漏?为此可用多种不同的方法求解看看结果是否相同.

第3课时组合

1?一般地说，从n个不同元素中，任取m(mc n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

2.排列与组合的共同点，就是都要“从n个不同元素中，任取m个元素”，而不同点就是

前者要“按一定的顺序成一列”，而后者却是“不论怎样的顺序并成一组”.

从n个不同元素中取出m(m< n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个

元素的组合数，用符号C表示.

组合数公式c m= =

cn ------------ ------------------------

在求具体的组合数时，常用上面的公式，分子由连续m个自然数之积，最大的数为n，最小

的数是(n -m 1)，分母是m!，如果进行抽象的证明时，一般常用下面的公式

c

m= ,

它的分子是n!，分母是m!与

(n -m)的积.

3.组合数性质:

①c m

③c m

④ C：=C n n j；阳￡舄■c昭(m - n)

金c m m「0 m 丄c 1 1 m J 0 m

C n —C r C n 11C r C^」11... 11C r C p _r 11C r C p

例1?某培训班有学生15名，其中正副班长各一名，先选派5名学生参加某种课外活动?

(1)如果班长和副班长必须在内有多少种选派法

(2)如果班长和副班长有且只有1人在内有多少种派法.

(3)如果班长和副班长都不在内有多少种派法.

(4)如果班长和副班长至少有1人在内，有多少种派法.

解；(1) CiG：= 286 (2) C；G；= 1430 (3) C53= 1287

⑷ G；—C：= 1716

变式训练1:从4名男生和3名女生中选4人参加某个座谈会，若这4个人中必须既有男生又有女生，则不同的选法有()

A. 140

C. 35

D. 34

解：D

例2.从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名

女生,则选派万案共有()

A 108 种

B 、186 种 C.216 种 D 、270 种

3 3 3

解：没有女生的选法有C4,至少有1名女生的选法有C7~C4 = 31种,

3

B. 120

故选B.

所以选派方案总共有：31 X A3=186种。

变式训练2:从5位男教师和4位女教师中选出3位教师派到3个班担任班主任(每班一位班主任)，要求这3位班主任中男女教师都要有，则不同的选派方案共有()

A. 210 种

B. 420 种

C. 630 种

D. 840 种

解：B

例3. (1) 把10本相同的书分给编号1,2,3的阅览室，要求每个阅览室分得的书数不大于

其编号数，则不同的分法有多少种？

⑵ 以平行六面体ABC—A1B1C1D21的任意三个点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角

形，则这两个三角形不共面情况有多少种？

⑶ 一次文艺演出中需要给舞台上方安装一排完全相同的彩灯15只，现以不同的亮灯方式

来增加舞台效果，设计者按照每次亮灯时恰好有6只是关的，且相邻的灯不能同时关掉，两

端的灯必须要亮的要求进行设计，求有多少不同的亮灯方式？

解：(1)先在编号为1，2，3的阅览室中依次放入0, 1, 2本书，再用隔板法分配剩下的

书有C62= 15种，(2)平行六面体中能构成三角形个数C；= 56为任取两个有C,种情况，

其中共面的有12C2，因而不共面的有C56 —12C：种(3) C85=28

变式训练3:马路上有编号为1 , 2 , 3 , 4…..10的十盏路灯，为节约用电，又不影响照

明可以把其中的三盏关掉，但不能关掉相邻的两盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数有________ 种.

解：20 用插排法，把七盏亮灯排成一排，七盏亮灯之间有6个间隔，再将三盏不亮的灯

插入其中的3个间隔，一种插法对应一种关灯的方法，故有C；=：20种关灯方法.

例4.四面体的顶点和各棱中点共有10个点，

(1)在其中取4个共面的点，共有多少种不同的取法？

(2)在其中取4个不共面的点，共有多少种不同的取法.

解：(1)四个点共面的取法可分三类?第一类：再同一个面上取，共有4C；个面；第二类：

在一条棱上取三点，再在它所对的棱上取中点，共有6个面；第三类：在六条棱的六个中点中取，取两对对棱的4个中点，共有C32= 3个面.故有69种.

⑵用间接法?共G4 —69 = 141个面.

变式训练4:在1 , 2 , 3…100这100个数中任选不同的两个数，求满足下列条件时各有

多少种不同的取法.

(1)其和是3的倍数

(2)其差是3的倍数(大数减小数).

(3)相加，共有多少个不同的和.

⑷相乘，使其积为7的倍数.

解：(1) 1650 (2) 1617 (3) 197 (4)1295

1?解有关组合应用问题时，首先要判断这个问题是不是组合问题?区别组合问题和排列问题的唯一标准是“顺序” ?需要考虑顺序的是排列问题不需要考虑顺序的的才是组合问题.

2.要注意准确理解“有且仅有”“至多” “至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语

的确切含义.

3?组合问题的一般可抽象为“选派”模型来处理?另外有的问题也可用框图结合对应思想来处理。

4.避免重复和遗漏.

第4课时排列组合综合题

1解排列组合题中常用的方法有直接法、间接法、两个原理、元素位置分析法、捆绑法、

插空法、 枚举法、隔板法、对称法；常用的数学思想主要有分类讨论、思想转化、化归思 想、对应思想?

2?解排列组合综合题一般要遵循以下的两个原则

(1)按元素性质进行分类(2)按事情发生的 过程进行分步?

3 ?处理排列组合综合性问题时一般方法是先取

(选)后排，但有时也可以边取(选)边排?

4 ?对于有多个约束条件的问题，先应该深入分析每个约束条件，再综合考虑如何分类或分 步，但对

于综合性较强的问题则需要交叉使用两个原理来解决问题

例1.五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数： (1 )甲必须在排头；

(2)甲必须在排头，并且乙在排尾； (3 )甲、乙必须在两端；

(4) 甲不在排头，并且乙不在排尾； (5 )甲、乙不在两端； (6)甲在乙前；

(7 )甲在乙前，并且乙在丙前； (8 )甲、乙相邻；

(9 )甲、乙相邻，但是与丙不相邻； (10 )甲、乙、丙不全相邻

解析：(1)特殊元素是甲，特殊位置是排头；首先排“排头”有

A 1

种，再排其它4个位置

2

2

(3)首先排两端有

氏种，再排中间有 氏种,

4

有

A 种，所以共有:

1

4 A x

A 4

=24

种

(2)甲必须在排头，并且乙在排尾的排法种数:

3

A

1 x

A

1 x

A 3

=

5 6 * *

所以甲、乙必须在两端排法种数为:

2

2

十丄

A x A =12

种

4 2

种数为

A x A =48种

2

(9)

首先排甲、乙、丙外的两个有

A ，从而产生3个空，把

甲、乙看成一个人与丙插入

2

这3个空中的两个有

A 3

，而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙相邻，但是与丙不相邻排

2 2 2

法种数为

A x A x 氏=24种

3

3

(10) 因为甲、乙、丙相邻有 A x A

,

所以甲、乙、丙不全相邻排法种数为

A

—

A x A 3=84种

变式训练1：某栋楼从二楼到三楼共io 级，上楼只许一步上一级或两级，若规定从二楼到 三楼用8步走完，则不同的上楼方法有

()

A 45 种 B. 36 种 C. 28 种

D. 25 种

解：C. 8步走10级，则其中有两步走两级，有 6步走一级.一步走两级记为 a , 一步走一一

2

级记为b ，所求转化为2个a 和6个b 排成一排，有多少种排法.故上楼的方法有 C 8 = 28

种；或用插排法.

例2. (1)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个远地区支教(每地 1人)，其中甲和 乙不同去，甲和丙只能事去或同不去，则不同的选派方案菜有多少处？

(2) 5名乒乓选手的球队中，有 2名老队员和3名新队员，现从中选出 3名队员排成1、2、 3号参

加团体比赛，则入选的 3名队员中至少有一名老队员，且 1、2号中至少有1名新队 员的排法有多少种？

解：(1)分类：第一为甲丙都去，第二类不去共有

C(A ：=600种

(2 )分类：第一类两名老队员都去，第二类去一名老队员共有 变式训练2:某班新年联欢会原定的六个节目已安排成节目单， 如果将这三个节目插入原来的节目单中，那么不同的插法种数是

A. 504

B. 210

C. 336

D. 120

3

解：A 9 = 504故选A

例3.已知直线ax+by+c=0中的系数a , b , c 是从集合｛-3 , -2 , -1 , 0, 1, 2, 3｝中取出的 三个不同的元素，且该直线的倾斜角为锐角，请问这样的直线有多少条？ 解：首先把决定“直线条数”的特征性质，转化为对“

a ,

b ,

c ”的情况讨论。

c 2c 3c 2c 2 ? C

；C 2A 3 =48种

开演前又增加了三个新节目，

设直线的倾斜角为〉，并且〉为锐角。

K

则tan〉=——> 0,不妨设a> b,那么b v 0

a

当C M 0时,则a有3种取法，—有3种取法,c有4种取法，并且其中任意两条直线不重合，所以这样的直线有3 x 3 x 4=36条

当c=0时，a有3种取法，—有3种取法，其中直线：3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0 重合，所以这样的直线有3x 3-2=7条

故符合条件的直线有7+36=43条

变式训练3:将5名大学生毕业生分配到某公司所属的三个部门中去，要求每个部门至少分配一人，则不同的分配方案共有__________________ 种.

解：C3 3 A22 C1 3 C4 C22=150

例4.从集合｛1 , 2, 3,……20｝中任选3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等

差数列可以有多少个？

解：a, b, c^N" a , b, c成等差数列匕a?c=2b - a,c要么同为奇数，要么同为偶数，

2 2

故满足题设的等差数列共有A io + A io = 180(个)

变式训练4:某赛季足球比赛中的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0 分，一球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜负平的情况共有多少种？

3x+y=33% 解:设该队胜负平的情况是：胜x场，负y场，则平15-(x + y)场，依题意有：，

x+y 兰15

>9。故有3种情况，即胜、负、平的场数是：9, 0, 6; 10, 2, 3; 11, 4, 0.

1?排列组合应用题的背景丰富无特定的模式和规律可循，背景陌生时，必须认真审题，把握问题的本质特征，并善于把问题转化为排列组合的常规模式进而求解

2?排列组合应用题题形多变，但首先要弄清是有序还是无序，这是一个核心问题

3?对于用直接法解较难的问题时，则采用间接法解

第5课时二项式定理

+ = (n € N),这个公式称做二项式定理，右边的多项式叫做(a + b)n的二项展开式，其中的系数______ 叫做二项式系数.式中的_____________ 叫做二项展开式的通项，用T r + 1表示，即通项公式T r + 1 = _________ 是表示展开式的第r + 1项.

2.二项式定理中，二项式系数的性质有：

①在二项式展开式中，与首末两项“等距离”的两项二项式系数相等，即:

0 n 1 n 1 2 n-2 r n-r

C n C n ,C n 二C n ,C n 二C n ,IH,C n 二C n

②如果二项式的幕指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幕指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，即当n是偶数时，n+1是奇数，展开式共有n+1叽

中间一项，即：

第_____ 项的二项式系数最大，为__________ ;当n是奇数时，n+1是偶数，展开式共有n+1 项，中间两项，即第_________ 项及每________ 项，它们的二项式系数最大，为__________

③二项式系数的和等于----------- ，即-------------

④二项展开式中，偶数项系数和等于奇数项的系数和= _______________ 即____________

⑤展开式中相邻两项的二项式系数的比是：

C「第p n -k : k 1

3.二项式定理主要有以下应用

①近似计算

②解决有关整除或求余数问题

③用二项式定理证明一些特殊的不等式和推导组合公式(其做法称为“赋值法”) 注意二项式定理只能解决一些与自然数有关的问题

④ 杨辉三角形

例1. (1) (06湖南理11 )若(ax — 1)5

的展开式中x 3

的系数是一80,则实数a 的值是 _________ .

⑵ (06湖北文8)在

C.xj 1

)

24

的展开式中，x 的幕指数是整数的有 __________ 项.

⑶(1+x)+(1+x) 2

+(1+x) 3

+……+(1+x)6

展开式中x 2

项的系数为 ________ .

解：(1)— 2

(2) 5 项

(3) 35

2

10

9

10

变式训练1

若多项式x x =a °

a(x 1) a 9

(x 1) a°(x 1)，

则

a^()

A 9

B 、10

C 、一 9

D 、一 10

解：根据左边

X 的系数为1,易知a 10

=1，左边x 9

的系数为0,右边x 9

的系数为

? aoC ；o =

a

9

10

=°，◎八

10

故选 J

例2.已知f(x) = (1+x) m

+(1+x) n

,其中m n € N 展开式中x 的一次项系数为11,问m n 为 何值时，含x 3

项的系数取得最小值？最小值是多少？

由题意C ；亠C ； =11=m 亠n =11，则含x 项的系数为霭亠C 3

=丄n(n 「

1)(

n

—2)

+

6

-m(m -1)(m -2) 6

2

i

变式训练2:分已知(

％ -——)n

的展开式中第三项与第五项的系数之比为

解析：第三项，第五项的系数分别为

2 ?2

依据题意有：

C n (

7)

c ：

( - i)

4 14

整理得 n 2

-5n -50 =0 即解方程(n — 10)(n + 5) = 0

r

r

20-2r

一/ \ r

则只有n =10

适合题意?由

T n 1

=C

10 x x

2

Ci)，

2

i - -1,则展开式中常数项是()

1

2

9 11 2 (27n 2

_297n 990) (n )2 ■

6 2 2 8

9 , 112 231

，当n = 5或6时x?系数取得最小值为 30

A — 45i

45i C

—45 D

、45

14,其中

r

当20-2r 0 时，有r=8,

2

8 8 2

故常数项为C10(—i) =C10=45 故选D

例 3.若(1 _2x)2

00

4 =逐 +盼

+a 2X 2 +……+a 2oo4x 2004, x 亡 R 求(a o 乜)+( a o +a 2)+

............................................................................ +( so+a 2oo4)

解：对于式子：(1 -2x)2004

= a 0 - a 1x - a 2x 2 ……-a 2004x 2004 ,x ?二 R,

令x=0,便得到：a 0=l

令 x=l ，得至U a 0 ? a a 2 - .... - a 2004 =1 又原式：(a 0 - a 1) + ( a 0 a 2) +……+ ( a 0 - a 2004 )

= 2OO4a o - (a 1 - a ?-……-a 2o°4) =2

°°3a o - (a 。^1^2'……-a 2oo4)

? ?原式：(a ° ' a 1) + ( a ° ' a 2) + .. + ( a ° ■ a 2004) =2004 注意：“二项式系数”同二项式展开式中“项的系数”的区别与联系

—3

2 3

2 2

变式训练3：若(2x

%'3

) =% g x 坦x 坦x ，则(a 。乜$十1七3 2的值是 ()

A. -1

B. 1

C. 0

D. 2

解：A

L 2

*

例4.已知二项式(...X 2)n

, ( n €N )的展开式中第5项的系数与第3项的系数的

x

比是10: 1,

(1) 求展开式中各项的系数和

(2 )求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项 解：(1)v 第5项的系数与第3项的系数的比是10： 1,

4

4

??? C; (

-2)

2 二 1P ，解得 n=8

c n

(-2)

2 1

令x=1得到展开式中各项的系数和为

(1-2) 8

=1

⑵ 展开式中第r 项，第r+1项，第r+2项的系数绝对值分别为

n -r

r r r 1

2

,

C

8 2

,

C

8

若第r+1项的系数绝对值最大，则必须满足：

r-1— nt

r.r

r1—r-1

r.r

C

8 2

w

C

8 2

并且

C

8 2

w

C

8 2

，解得

5<

r w 6；

1

1

r -1

C 8

2r 1

所以系数最大的项为T7=1792 石；二项式系数最大的项为T5=1120 6

x x

14:3 , 变式训练4:①已知(.、x ?吕)n的第5项的二项式系数与第三项的二项系数的比是

求展开式中不含x的项.

②求(x —1) —(x —1)2+ (x —1)3-(x —1) 4+ (x —1) 5的展开式中x2项的系数.

解：(i 丄)n

=i

-C ；

丄＜2丄

n n n

n

2

2j n

2

...n(n _1)(n 一2) 2 1 n “n

亠1

.-…

-沢 3 JI

1

1 1

2

瓦-

n *

2 2

2

1 ?注意(a + b)n 及(a — b)n

展开式中，通项公式分别为 「十=C n r

a —

b r

及「十弓_1 j c n a n

」b r

这里 0

通项公式来解决问题.

2.二项式的展开式中二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及 项数有关，

与二项式无关，后者与二项式，二项式的指数及项数均有关.

3?应用二项式定理计算一个数的乘方的近似值时，应根据题设中对精确度的要求，决定展 开式中各项

的取舍.

4?求余数或证明整除问题，被除数是幕指数问题时，解决问题的关键是将底数转化为除数 的倍数加1

或减1.通过练习要仔细地去体会其中的变形技巧.

1 (1 —)

n

=1

C

； -

■cn^-J 2

n n

2 ?丄.

排列组合二项式定理章节测试题

（1 - x ）4（1 ?、、x ）4的展开式中X 的系数是（ ）

6. 某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生,

那么不同的选派方案种数为（

）

A.14

B.24

C.28

D.48

7. 从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，

其中至少有一名女生入选的

组队方案数为（

）

A.100

B.110

C.120

D.180

8.

某市拟从4

个重点项目和6个一般项目中各选 2个项目作为本年度启动的项目， 则重点项

目A 和一般项目B 至少有一个被选中的不同选法种数是

（）

A. 15 B . 45 C . 60 D . 75

10

1 10

9. (1 X)(1 )展开式中的常数项为(

)

x

A

. 1 B

. (C 10)

C . C 20

D . C 20

10. 4张卡片上分别写有数字 1, 2, 3, 4,从这4张卡片中随机抽取

片上的数字之和为奇数的概率为（

）

A. 11. 一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看.现从甲、乙、丙等

6名工人中安

排4人分别照看一道工序， 第一道工序只能从甲、 乙两工人中安排1人，第四道工序只能从

甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（

）

、选择题:

1. 1 X

I 2

的展开式中X 2

的系数为（

）

A. 10 B 2.将 1, 2,

讶申填法, 6种

曰 是 A.

-D . 1 2

3填入3 3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面

则不同的填写方法共有（

）

B . 12 种

C. 24 种

D. 48 种

3. A. -4

B . -3

D. 4

4.设(1 x)8

二 a ° 8

+ a i X +川+a $x ,则a o,a i 」||, a 中奇数的个数为（ A. 2

5. 12名同学合影，站成前排 若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是

B. 3

C. 4

D. 5

4人后排8人，现摄影师要从后排

（）

8人中抽 2人调整到前排,

A. CsA 6

B . c(A

C . Cs A 2

D . C (A

5

2张，则取出的2张卡

D.

A. 24 种 B . 36 种 C. 48 种 D. 72 种

12.在（x -1）（x -2）（x -3）（x -4）（x -5）的展开式中，含x4的项的系数是（

(A) -15 ( B) 85 ( C -120 ( D) 274

1

13.若(x+丄)n的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x4项的系数为( )

2x

(A)6 (B)7 (C)8 (D)9

二、填空题：

14.从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又

有女同学的不同选法共有________ 种(用数字作答)

15.X2?丄的展开式中常数项为；各项系数之和为?(用数字作答)

I x3丿------ --------------------------

1

16.(x+ ) 9展开式中x2的系数是(用数字作答)

X

1

17.记(2x + —)n的展开式中第m项的系数为b m，若b3 = 2b4，则n = ____________ .

x

18.(「x3) X ?丄展开式中的常数项为

I x2J --------

2 1

19.(1 )7的展开式中—的系数为___________ ?(用数字作答)

x x

20.某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成?如果第一棒火

炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传

递方案共有_________ 种?(用数字作答).

3 4

21.(1+2x)(1—x)展开式中x的系数为 __________________ 。

22.从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某校公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则

不同的挑选方法共有_________________ 种。

(3

23.x + —的二项展开式中x3的系数为____________ (用数字作答).

I X丿

24.有4张分别标有数字1, 2, 3, 4的红色卡片和4张分别标有数字1 , 2, 3, 4的蓝色卡

片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行?如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10, 则不同的排法共有___________________ 种(用数字作答).

25.用1 , 2, 3, 4, 5, 6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不

同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是_____________ (用数字作答)

三、解答题

26.由0, 1, 2, 3, 4, 5这六个数字。

(1 )能组成多少个无重复数字的四位数？

(2)能组成多少个无重复数字的四位偶数？

排列组合与二项式定理知识点

排列组合与二项式定理知识点

第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：n m 种） 二、排列. 1. ⑴对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．． 排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. ⑷排列数公式： ) ,,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--=Λ 注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 1 1 --=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C

2. 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排 列个数等于! !...!!2 1 k n n n n n =. 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3 ! 2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列 个数1!3!3==n . 三、组合. 1. ⑴组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. ⑵组合数公式： )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -= +--==Λ ⑶两个公式：①;m n n m n C C -= ②m n m n m n C C C 11+-=+ ①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合. （或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一

排列组合与二项式定理精华总结

排列组合 知识点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理：分类相加，分步相乘。 二、排列：元素是有顺序的 （1）：对排列定义.：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. （2）：排列数公式： ),,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--=Λ 注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 1 1 --=m n m n nA A 规定10==n n n C C （3）： 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中有限重复数为n 1、n 2……n k ，且 n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于! !...!! 21k n n n n n = . 三、组合：元素没有顺序之分 （1）：组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. （2）：组合数公式：)! (!!! )1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ （3）：两个性质：①;m n n m n C C -= ②m n m n m n C C C 11+-=+ （4）：常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如： )!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n Λ（利用! 1 )!1(1!1n n n n --=-） ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法. v. 递推法（即用m n m n m n C C C 11+-=+递推）如：4 13353433+=+++n n C C C C C Λ. vi. 构造二项式. 如：n n n n n n C C C C 222120)()()(=+++Λ 证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数，左边为 2 2120022110) ()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=?++?+?+?--ΛΛ，而右边n n C 2= 四、排列、组合综合 （1）直接法 （2）间接法 （3）捆绑法 （4）插空法 （5）占位法 （6）调序法 （7）平均法 （8）隔板法 （9）定位问题 （10）指定元素排列组合问题 五、二项式定理. 1. ⑴二项式定理：n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+--ΛΛ. 展开式具有以下特点：

排列组合二项式定理知识点

排列组合项定理考试内容：分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式． 组合．组合数公式．组合数的两个性质．二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求： （1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． （3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题． （4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． 排列组合二项定理知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可．以．有．重．复．元．素．的排列. 从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以 从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m- m?…m = m n..例

3! 1 . 3! 如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ (解: m n 种) 二、排列. 1.(1)对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取 m (贰n )个元素，按照一定顺序 排成一列， 叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺 序也必须完全相同. ⑶排列数. 从n 个不同元素中取出m (mcn)个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取 出 m 个元素的一个排列.从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用 符号表 示. ⑷排列数公式： 注意：n n! (n 1)! n!规定 0! = 1 m m m m 1 m m 1 m m 1 On, A n 1 A n A m C n A n mA n A n nA n 1 /规^定 C n C n 1 2.含有可重元素的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集 S 有k 个不同元素a 1, a 2,……a n 其中限重复数为n 1、n ..... n k ,且n = n 计尊+ .. n k ,则S 的排列 例如：已知数字3、2、2,求其排列个数n 喈3又例如：数字5、5、5、 求其排列个数？其排列个数 个数等于n n! n !n 2!...n k

(最新经营)排列组合二项式定理与概率及统计

主讲人：黄冈中学高级教师汤彩仙 一、复习策略 排列与组合是高中数学中从内容到方法均比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识，该部分内容，不论其思想方法和解题均有特殊性，概念性强，抽象性强，思维方法新颖，解题过程极易犯“重复”或“遗漏”的错误，且且结果数目较大，无法一一检验，因此给考生带来一定困难．解决问题的关键是加深对概念的理解，掌握知识的内于联系和区别，科学周全的思考、分析问题． 二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，把握二项展开式及其通项公式的相互联系和应用是重点． 概率则是概率论入门，目前的概率知识只是为进一步学习概率和统计打好基础，做好铺垫．学习中要注意基本概念的理解，要注意与其他数学知识的联系，要通过一些典型问题的分析，总结运用知识解决问题的思维规律． 纵观近几年高考，排列、组合、二项式定理几乎每年必考，考题多以选择题、填空题出现，题小而灵活，涉及知识点均于两三个左右，综合运用排列组合知识，分类计数和分步计数原理；二项式定理及二项式系数的性质计算或论证一些较简单而有趣的小题也于高考题中常见，概率及概率统计的内容，从近几年新课程卷高考来看，每年均有一道解答题，占12分左右． 排列与组合的应用题，是高考常见题型，其中主要考查有附加条件的应用问题.解决这类问题通常有三种途径:(1)以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)

以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.（4）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；（5）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”； 于求解排列与组合应用问题时，应注意： (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题； (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理； (3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏； (4)列出式子计算和作答． 二、典例剖析 题型一：排列组合应用题 解决此类问题的方法是：直接法，先考虑特殊元素（或特殊位置），再考虑其他元素（或位置）；间接法，所有排法中减去不合要求的排法数；对于复杂的应用题，要合理设计解题步骤，一般是先分组，后分步，要求不重不漏，符合条件． 例1、（08安徽理12）12名同学合影，站成了前排4人后排8人．现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）A．B．C．D．

排列组合与二项式定理的综合练习题

排列组合与二项式定理的综合应用 1．已知（1+a x ）(1+x)5的展开式中x 2 的系数为5，则a = （A ）-4 （B ）-3 （C ）-2 （D ）-1 2．若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则：等于（） A ．55 B ．-l C ．52 D ．52- 3，则的值为 A ． B ．C 4．学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（） A.36种 B.30种 C.24种 D.6种 5．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 (A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种 6．()()8 x y x y -+的展开式中27x y 的系数为________.（用数字填写答案） 7．(x-2)6的展开式中3x 的系数为.（用数字作答） 8．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝________. 9．有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数： (1)选其中5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排成一排，甲不站在排头也不站在排尾； (4)全体排成一排，女生必须站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻； (6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人． 10．7个人排成一排，按下列要求各有多少种排法？ (1)其中甲不站排头，乙不站排尾； (2)其中甲、乙、丙3人必须相邻； (3)其中甲、乙、丙3人两两不相邻； (4)其中甲、乙中间有且只有1人； (5)其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列． 2312420)()(a a a a a +-++16-16

排列组合二项式定理与概率统计

排列组合二项式定理与概率统计 重点知识回顾 1. 排列与组合 ⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关, 分类计数原理与分类有关 ⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合, ⑶排列与组合的主要公式 _ r — r+1 项是 T r+1 =C n a n r b r . ⑵二项展开式的通项公式 二项展开式的第r+1项T r+1=c n a n —r b r （r=0,1,…叫）做二项展开式的通项公式。 ⑶二项式系数的性质 ① 在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， 即 c n = c n r （r=0,1,2，…,n ）. 项和第n 3项）的二项式系数相等，并且最大，其值为 2 A n = n! =n(n — 1)(n — 2) ....... 2 ? 1. ②组合数公式： c m n! n(n 1) (n m 1) (m < n) m!( n m)! m (m 1) 2 1 ③组合数性质： ①c m ㈡ m (m < n) ② c 0 c ； c n 2 c ； 2n ③ Cn Cn c 4 C n c 1 c 3 C n C n 2n 1 2.二项式定理 ⑴二项式定理 (a +b)n =C 0a n +c n a n — 1 r b+ …+C n a n r b r +… + c n b n ,其中各项系数就是组合数c n ，展开式共有n+1项，第 问题?区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关, 与顺序有关的属于排列问题, 与顺序无关的属于组合问题 求共有多少种方法的 ①排列数公式: A m n! (n m)! n(n 1) (n m 1) (m

排列组合与二项式定理及概率应用综合

第一讲 排列组合概念及简单应用 排列和排列数公式 A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！ (n －m )！(m ，n ∈N *，并且m ≤n ) A n n ＝n ！＝n ×(n －1)×(n －2)×…×3×2×1. 规定：0！＝1. 组合与组合数公式 1．组合数公式 C m n ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！＝n ！m ！(n －m )！(m ，n ∈N *，并且 m ≤n ) 2．组合数的性质 (1)C m n ＝C n －m n (2)C m n ＋1＝C m n ＋C m － 1n 常规题型 一、投信问题 1、个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同. （1）从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？ （2）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？ 2、五位旅客到一个城市出差，这个城市有6家旅馆，有多少种住宿方法？ 3、12名旅客在一辆火车上，共有六个车站，有多少种下车方案？ 4、3个同学在一座只有两个楼梯的楼上下楼，有几种下楼方案？ 二、染色问题 1、如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数. 2. 如图所示，用五种不同的颜色分别给A ，B ，C ，D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种． 3.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种．

高中数学排列组合与二项式定理知识点总结

排列组合与二项式定理知识点 １．计数原理知识点 ①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM (分步) ②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM (分类) ２．排列（有序）与组合（无序） Anm=n(n－1)(n－2)(n－3)…(n－m+1)=n!/(n-m)! Ann =n! Cnm = n!/(n-m)!m! Cnm= Cnn－m Cnm＋Cnm＋1= Cn+1m+1 k?k!=(k+1)!－k! ３．排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排 排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置. 捆绑法（集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑） 插空法（解决相间问题）间接法和去杂法等等 在求解排列与组合应用问题时，应注意： (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题； (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理； (3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏； (4)列出式子计算和作答. 经常运用的数学思想是： ①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想. ４．二项式定理知识点： ①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an－1b1+ Cn2an－2b2+ Cn3an－3b3+…+ Cnran－rbr+-…+ Cn n－1abn－1+ Cnnbn 特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn ②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn－m 最大二项式系数在中间。（要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项） 所有二项式系数的和：Cn０+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n 奇数项二项式系数的和＝偶数项而是系数的和 Cn０+Cn２+Cn４+ Cn６+ Cn８+…＝Cn１+Cn３+Cn５+ Cn７+ Cn９+…=2n -1 ③通项为第r+1项：Tr+1= Cnran－rbr 作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。 5.二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。 6.注意二项式系数与项的系数（字母项的系数，指定项的系数等，指运算结果的系数）的区别，在求某几项的系数的和时注意赋值法的应用。

排列组合 二项式定理知识点

排列组合二项定理考试内容： 分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式． 组合．组合数公式．组合数的两个性质． 二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求： （1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． （3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题． （4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． 排列组合二项定理知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可．以有 ．．重复 ．．的排列. ．．元素 从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m = m n.. 例

如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解： n m 种） 二、排列. 1. ⑴对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. ⑷排列数公式： 注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于! !...!! 21k n n n n n = . 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3! 2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1! 3!3==n .

排列组合和二项式定理教材分析

第十章排列组合和二项式定理教材分析 作为高中数学必修内容的一个部份，本章在整个高中数学中占有重要地位以计数问题为主要内容的排列与组合，属于现在发展很快且在计算机领域获得广泛应用的组合数学的最初步知识，它不仅有着许多直接应用，是学习概率理论的准备知识，而且由于其思维方法的新颖性与独特性，它也是培养学生思维能力的不可多得的好素材；作为初中一种多项式乘法公式推广二项式定理，不仅使前面组合等知识的学习得到强化，而且与后面概率中的二项分布有着密切联系 本章教学约需17课时，具体分配如下： 10．1加法原理和乘法原理约2课时 10．2排列约4课时 10．3组合约5课时 10．4二项式定理约4课时 小结与复习约2课时 一、内容分析 本章从学习加法原理和乘法原理开始，应该说，这两个基本原理在本章的学习中占有重要地位；其作用并不限于用来推导排列数、组合数公式，实际上其解决问题的思想方法贯穿在整个学习的始终：当将一个较复杂的问题通过分类进行分解时，用的是加法原理；当将它通过分步进行分解时，用的是乘法原理在此基础上，研究排列与组合，运用归纳法导出排列数公式与组合数公式，并提出组合数的两个性质，以简化组合数的计算和为推导二项式定理作好铺垫 的学习深化一步，而且为学习后面的独立重复试验，二项分布作了准备 本章还为部分学有余力的学生安排了阅读材料《从集合的角度看排列、组合和概率》，通过这篇材料，可以看到排列、组合与概率这两类看上去并无共同之处的概念间的内在联系例如，求组合数及其相应的等可能性事件的概率，可分别看成是在一个全集下的某个子集到数的集合的不同的映射，可见从集合的角度去认识这些概念，可加深对其本质和内在联系的认识，此外，由于集合及其关系可用图形表示，便于将一些较复杂的问题分析清楚，因此运用集合的方法可以较为顺利地求解一些较为复杂的应用题 二、教学要求 1．掌握加法原理与乘法原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题 2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数计算公式，并能用它们解决一些简单的应用问题 3.掌握二项式定理和二项展开式的性质并能用它们计算和证明一些简单的问题 三、考点诠释 （1）两个原理（分类计数原理、分步计数原理） 分类和分步的区别，关键是看事件能否完成，事件完成了就是分类；必须要连续若干步才能完成的则是分步.分类要用加法原理将种数相加；分步要用乘法原理，分步后再将种数相乘. （2）两个概念（排列、组合） 排列与组合是既有联系又有区别的两类问题，它们都是从n个不同元素中任取m个不同元素.但是前者要求将元素排成一个顺序，后者对此不做要求.若不理解排列问题和组合问题的区别，在分析实际问题时就会犯错误. （3）两类基本公式

排列组合与二项式定理知识点

高中数学第十章-排列组合二项定理 考试内容： 分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式． 组合．组合数公式．组合数的两个性质． 二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求： （1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． （3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题． （4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． §10. 排列组合二项定理 知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可．以有．．重复．．元素．． 的排列. 从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：n m 种） 二、排列. 1. ?对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ?相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ?排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的 一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. ?排列数公式： ),,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--= 注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11 --=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数

(完整版)排列组合二项式定理知识总结,推荐文档

n n +1n n n 排列组合、二项式定理总结复习 1，分类计数原理 完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情） 分步计数原理 完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的 方法 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 组合数 从 n 个不同元素中，任取 m （m ≤n ）个元素的所有组合个数 m n m = n ! n m !(n - m )! 性质 C m = C n -m C m = C m + C m -1 排列组合题型总结 一． 直接法 1 .特殊元素法 例 1 用 1，2，3，4，5，6 这 6 个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 C C

（1）数字 1 不排在个位和千位 （2）数字 1 不在个位，数字 6 不在千位。 分析：（1）个位和千位有 5 个数字可供选择A2 ，其余 2 位有四个可供选择A2 ，由乘法原理： 5 4 A2 A2 =240 5 4 2．特殊位置法 （2）当 1 在千位时余下三位有A3 =60，1 不在千位时，千位有A1 种选法，个位有A1 种，余下 5 4 4 的有A2 ，共有A1 A1 A2 =192 所以总共有 192+60=252 4 4 4 4 二间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法A4 - 2 A3 +A2 =252 6 5 4 Eg 有五张卡片，它的正反面分别写 0 与 1，2 与 3，4 与 5，6 与 7，8 与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？ 分析：：任取三张卡片可以组成不同的三位数C 3 ? 23 ?A3 个，其中 0 在 5 3 百位的有C 2 ? 22 ?A2 个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数 4 2 C 3 ? 23 ?A3 - C 2 ? 22 ?A2 =432 5 3 4 2 Eg 三个女生和五个男生排成一排 （1）女生必须全排在一起有多少种排法（捆绑法） （2）女生必须全分开（插空法须排的元素必须相邻） （3）两端不能排女生 （4）两端不能全排女生 （5）如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不同的排法

排列组合与二项式定理的综合练习题

排列组合与二项式定理的综合应用 1．()()5121x x -+的展开式中3x 的系数为（ ） A ．10 B ．-30 C ．-10 D ．-20 2．若()()72801281212x x a a x a x a x +-=++++…，则0127a a a a ++++…的值为（ ） A ．2- B ．3- C ．253 D ．126 3．()()512x x +-的展开式中2x 的系数为（ ） ． A ．25 B ．5 C ．-15 D ．-20 4．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A ．40种 B ．60种 C ．100种 D ．120种 5．从5名学生中选出4名分别参加A ，B ，C ，D 四科竞赛，其中甲不能参加C ，D 两科竞赛，则不同的参赛方案种数为( ) 6．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为( ) A.828 9A A B.82810A A C.8287A A D.8286A A 7．小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈，包括他共7人，一天爸爸从果园里摘了7个大小不同的梨，给家里每人一个.小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的一个，则梨子的不同分法共有（ ） A ．96种 B ．120种 种 D ．720种 8．已知身穿红，黄两种颜色衣服的各两人，身穿蓝衣服的有1人，现将五人排成一列，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法有（ ） 种 种 种 种 9．3n x ?+??的展开式中，各项系数之和为A ，各项的二项式系数之和为B ，且72A B +=，则展开式中常数项为（ ） 10．从1,3,5,7,9中任取3个数字，从2,4,6,8中任取两个数字，一共可以组成没有重复数字的五位偶数的个数为（ ） A ．2880 B ．7200 C ． 1440 D ．60 11．某中学四名高二学生约定“五一”节到本地区三处旅游景点做公益活动，如果每个景点至少一名同学，且甲乙两名同学不在同一景点，则这四名同学的安排情况有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．30种 D ．40种 12．51 ()(21)ax x x +-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）

高中数学-排列组合二项式定理知识点

排列组合二项式定理知识点 2、排列、组合

3、二项式定理 内容典型题 定义①二项式定理: (a＋b)n＝C 0n a n＋C 1n a n－1b1＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n ＝∑ = n r r n C a n－r b r（n∈N＋） ②二项式展开式第r＋1项通项公式: T r－1 ＝C r n a n－r b r 其中C r n（r＝0，1，2，…，n）叫做二项式系数. 8.二项式8)1 (- x的展开式中的第5项是( ) A. 70x4 B. 70x2 C. 56x3 D. －562 3 x 9.二项式(x－2)12展开式中第3项的系数是( ) A.264 B.－264 C.66 D.－1760 10.(x－2)8 的展开式中, x6的系数是( ) A. 56 B. －56 C. 28 D. 224 11.(x2＋)5展开式中的10x是( ) A.第2项 B.第3项 C.第4项 D.第5项 12.二项式x－1 x 6 的展开式中常数项是( ) A. 1 B. 6 C. 15 D. 20 13.设(3－x)n＝n n x a x a x a a+???+ + +2 2 1 ,已知 n a a a a+???+ + + 2 1 ＝64,则n＝. 14.设二项式(3x＋5)10＝ 1 8 8 9 9 10 10 a x a x a x a x a+ +???+ + +,则 1 8 9 10 a a a a a+ -???- + -＝. 15.二项式2x－1 x 6 的展开式中二项式系数最大的项是. 性质①在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等. ②如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项的二项式系数相等并且最大. ③二项式系数的和为n2，即 n C＋1 n C＋…＋r n C＋…＋n n C＝n2 ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 n C＋2 n C＋…＝1 n C＋3 n C＋…＝1 2-n

高考题汇编排列组合与二项式定理

2010年高考数学试题分类汇编——排列组合与二项式定理 （2010全国卷2理数）（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 （A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种 【答案】B 【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力. 【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有 种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有 种方法，共有种，故选B. （2010全国卷2文数）（9）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 （A ） 12种 (B) 18种 (C) 36种 (D) 54种 【解析】B ：本题考查了排列组合的知识 ∵先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有 246C =，余下放入最后一个信封，∴共有24318C = （2010江西理数）6. (8 2展开式中不含．．4 x 项的系数的和为（ ） A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】B 【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难则反。 采用赋值法，令x=1得：系数和为1，减去4 x 项系数80882(1)1C -=即为所求，答案为0. （2010重庆文数）（10）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天 . 若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有 （A ）30种 （B ）36种 （C ）42种 （D ）48种 解析：法一：所有排法减去甲值14日或乙值16日，再加上甲值14日且乙值16日的排法 即221211 6454432C C C C C C -?+=42 法二：分两类 甲、乙同组，则只能排在15日，有2 4C =6种排法

高中数学排列组合及二项式定理知识点

高中数学之排列组合二项式定理 一、分类计数原理和分步计数原理： 分类计数原理：如果完成某事有几种不同的方法，这些方法间是彼此独立的，任选其中一种 方法都能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。 分步计数原理：如果完成某事，必须分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，而—个步骤 中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接，只有依次完成所有各 步，才能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。 区别：如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，即类 与类之间是相互独立的，即“分类完成”；如果只有当n 个步骤都做完，这件事才能完成，则选用分步计数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成”。 二、排列与组合： （1）排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中取出n 个元素的问题； 区别：前者有顺序，后者无顺序。 （2）排列数、组合数： 排列数的公式：)()! (!)1()2)(1(n m m n n m n n n n A m n ≤-= +---= 注意：①全排列：!n A n n =； ②记住下列几个阶乘数，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720； 排列数的性质： ①11--=m n m n nA A （将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两步完成： 第一步从n 个元素中选出1个排在指定的一个位置上； 第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置 上） ②m n m n m n A mA A 111---+=（将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两类完成： 第一类：m 个元素中含有a ，分两步完成： 第一步将a 排在某一位置上，有m 不同的方法。 第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置 上） 即有11--m n mA 种不同的方法。 第二类：m 个元素中不含有a ，从1-n 个元素中取出m 个元素排在m 个 位置上，有m n A 1-种方法。 组合数的公式：)()!(!!!)1()2)(1(n m m n m n m m n n n n A A C m m n m n ≤-=+---== 组合数的性质： ①m n n m n C C -=（从n 个不同的元素中取出m 个元素后，剩下m n -个元素，也就是说，

排列组合与二项式定理(高考试题)

排列组合与二项式定理 一、排列组合 1.（2016年四川高考）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( ) （A ）24 （B ）48 （C ）60 （D ）72 【答案】D 【解析】由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5，其他 位置共有44A ，所以其中奇数的个数为44372A =，故选D. 2.（2015年四川高考）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ） （A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个 【答案】B 【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有3 42A ?个；若万位上 排5，则有343A ?个.所以共有342A ?343524120A +?=?=个.选B. 3. （2015年广东高考）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答） 【答案】1560．【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的 排列数，所以全班共写了24040391560A =?=条毕业留言，故应填入1560． 4．(2014大纲全国，理5)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )． A ．60种 B ．70种 C ．75种 D ．150种 答案：C 解析：从6名男医生中选出2名有26C 种选法，从5名女医生中选出1名有15C 种选法，故共有216565C C 57521 ??=?=?种选法，选C. 5．(2014福建，理10)用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a )(1＋b )的展开式1＋a ＋b ＋ab 表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球、而“ab ”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )． A ．(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)(1＋c )5 B ．(1＋a 5)(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c )5 C ．(1＋a )5(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c 5) D ．(1＋a 5)(1＋b )5(1＋c ＋c 2＋c 3＋c 4＋c 5) 答案：A 解析：本题可分三步：第一步，可取0,1,2,3,4,5个红球，有1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5种取法；第二步，取0或5个蓝球，有1＋b 5种取法；第三步，取5个有区别的黑球，有(1＋c )5种取法．所以共有(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)(1＋c )5种取法．故选A.

高考复习排列组合与二项式定理

2017高考复习---排列组合与二项式定理 1?在8张奖券中有一、二、三等奖各 1张，其余5张无奖?将这8张奖券分配给4个人, 10 ?用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有 数字作答） a 1, a 2,…a 为实数，则 a 3= 每人2张，不同的获奖情况有 种（用数字作答）. 2 ?某学校开设 A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选 3门，若要求两类课 程中各至少选一 门，则不同的选法共有 种.（用数字作答） 3.把座位编号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少 一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号， 那么不同的分法种数为 ?（用数字作答） 4 ?将A,B, C, D,E, F 六个字母排成一排，且A,B 均在C 的同侧，则不同的排法共有 （用数字作答） 5 ?在某班进行的演讲比赛中，共有 5位选手参加，其中 3位女生，2位男生?如果2位男 生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为 6 ?将序号分别为1 , 2, 3, 4, 5的5张参观券全部分给 4人，每人至少1张，如果分给同 一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于 8?在二项式（ X -丄）n 的展开式中恰好第 5项的二项式系数最大，则展开式中含 X 2 项的系 数是 9 .甲、乙、丙 3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站 2人，同一级台阶上的人不 区分站的位置, 则不同的站法总数是 个.（用 11 .如图，一个地区分为 5个行政区域，现给地图着色，要求相 邻区域不得使用同一颜色. 现有 4种颜色可供选择, 色方法共有 种. （以数字作答） 12 .若将函数 f (X )=x 5 表示为 f (X )=a o +a 1 (1+x ) 13 .由1 , 2, 3, 4, 5, 6组成没有重复数字的六位数, 要求奇数不相邻，且 4不在第四位, 7 则不同的着 +a 2 (1

排列组合、二项式定理知识点

排列组合二项定理 考试内容： 分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式． 组合．组合数公式．组合数的两个性质． 二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求： （1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． （3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题． （4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． 排列组合二项定理 知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可．以有．．重复．．元素．． 的排列. 从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：n m 种） 二、排列. 1. ?对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ?相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ?排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的 一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. ?排列数公式： ),,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--= 注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11 --=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数