浅谈向量在高中阶段解题的应用(获奖论文)
浅谈向量在高中解题的应用
[内容提要]：向量是近代数学中的重要和基本概念之一，由于向量本身具有数与形的双重性，而函数（包括三角函数、数列）、解析几何、空间几何都具有形的结构，因此可用向量作为载体来考查这方面的知识；又因为向量在计算长度、角度，判断平行、垂直等方面都非常直观，因此向量是一种简便的解题方法与思路。通过全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定律可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量的积运算（运算律），从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系，对解题可以简便化、准确化。
[关键词]：向量；解题；应用；
向量是近代数学中的重要和基本概念之一，由于向量本身具有数与形的双重
性，而函数（包括三角函数、数列）、解析几何、空间几何都具有形的结构，因此可用向量作为载体来考查这方面的知识；又因为向量在计算长度、角度，判断平行、垂直等方面都非常直观，因此向量是一种简便的解题方法与思路。通过全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定律可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量的积运算（运算律），从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系，对解题可以简便化、准确化。近年来向量更成为高考所考查的内容这一，占分比例也不小。纵观近几年的高考，有关向量的部分突出考查了向量的基本运算，对向量的应用也日渐加大考查的力量。下面浅谈向量在高中阶段解题的应用:
(一) 向量对圆锥曲线的应用.
圆锥曲线是高考重点考查的内容。考查的内容包括圆锥曲线的概念和性质。
但直线与圆锥曲线的位置关系等，很多时也要结合向量的知识来简便解题。
例1：证明：等轴双曲线上任一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项。 证明：设P （x ?，y ?）是等轴双曲线x 2-y 2=a 2右支上任一点
∴x ?2-y ?2=a 2
则||2=x ?2+y ?2=x ?2+x ?2-a 2=2x ?2-a 2 | 1PF |2=2x ?+a,| 2PF |=2x ?-a
∴|1PF |·|2PF |=(
2x ?+a)(2x ?-a)=2x ?2-a 2 ∴|PO |2=|1PF |·|2PF |
同理,当P(x ?,y ?)是左支点上也成立.
(二)向量对立体几何题的应用.
由于立体几何涉及空间几何图形，许多考生望而生畏，认为这很抽象，但只
要掌握好向量的相关知识，把立体几何图形的各线段转换成向量,那解题便简便得多了.
例1：如图,在正方体ABCD--A ?B ?C ?D ?中，E 、F 、G 、分别是AB ，B B ?，BC 的中
点。
证明：B D ?⊥平面EFG 。
分析：应通过建立空间坐标系，通过
空间向量的坐标运算来证明。
证明：设正方体的棱长为2a 并以D 为原点，
DA 为X 轴，DC 为Y 轴，DD ?为Z 轴，
建立空间直角坐标系，则
D ?（0，0，2a ），B （2a ，2a ，0），F （2a ，2a ，a ），
E （2a ，a ，0），G （a ，
2a ，0） ∴1BD =（-2a ，-2a ，2a ），=（0，a ，a ），=（-a ，-a ，0）， ∴1BD ·=-2a ·0-2a · a+2a ·a=0? 1BD ⊥
1BD ·EG =-2a ·（-a ）+（-2a ）·（- a ）+2a ·0=0? 1BD ⊥EG
∴B D ?⊥平面EFG
点评：此题运用了空间向量的坐标运算来证明。
（三） 向量在平面解析几何图形的应用。
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许
多性质都可以用向量方法解决平面几何中的一些问题，现在由我们共同探讨向量
方法在平面几何中的应用。
例1：在边长为1的正方形ABCD 中，设=, =, =,求|-+|
解：如图，作DC 的延长线，截MC=CD=1，连结BM.
又∵AB =a , AD =b , AC =c
∴|-+|=|-+|=|+|
又∵=
∴|-+|=||=2
点评：本题利用了向量加减法的几何意义计算线段的长度，把复习的平面几
何图形简单化，可见其简便之处。
（四） 向量在证明不等式中的应用。
例1：设а≠b ，а>0，b>0，求证：
（a 4+b 4）（a 2+ b 2）>（a 3+ b 3）2
证明：构造向量 =( a 2, b 2), =(a,b),则：
（a 3+ b 3）2=(·)2=| |2·||2·cos 2θ
≤|AB |2·|EF |2=( a 4+ b 4)·（a 2+ b 2）
∵a>0,b>0,a ≠b
∴θ≠0
∴cos2θ≠1
∴(a4+ b4)·（a2+ b2）>（a3+ b3）2
点评:在解不等式或证明时,除了掌握其基本不等式外还要把握题目的特点寻找简便的方法,而本题就是运用向量解题的简便方法.
（五）向量在证明平行题的应用。
例1:已知AC、BD是梯形ABCD的对角线。E、F分别为BD、AC的中点。
求证：EF∥BC
证明：设AB=a,AD=b
∵∥
∴=k=k
则=-=-
∵E为BD的中点
∴=?=?(-)
∵F为AC的中点
∴=+=+?=+?(-)
=?(+)=?(-)=?(k-)
∴=-=?( k-)-?(-)
=(?k-?)b=[(?k-?)·1/k]BC
∴EF∥BC,即EF∥BC
点评：这类题应掌握好向量的三角形定则，认识向量平行的充要条件。
（六）向量在三角函数的应用。
例1:在直角坐标系X0Y中,已知P(2 cosа+1,2 cosа+2)和点Q(cosа,－1),其中а∈[0,π].且OP⊥OQ,求X的值。
解:由于⊥
∴·OQ= cosа（2cosа+1）-（2cosа+2）=0——①
又∵cos 2а=2cos2а-1————————②
由①和②，得
2cos 2
а- cos а=0? cos а=0或0.5 ∵а∈[0,
π]
∴а=π/2或π/3 点评：本题利用向量的知识解答，使过程简便许多。
（七） 向量在解物理题的应用。
例1：平面上有两个向量1e =（1，0），2e =（0，1），今有动点P 从P ?(-1,2)开始沿着向量1e +2e 相同的方向作匀速直线运动，速度大小为|1e +2e |；另一动点Q 从Q ?(-2,-1)出发，沿与向量31e +22e 相同的方向作匀速直线运动，速度的大小为|31e +22e |，设P 、Q 在时刻t=0秒时，分别在P ?、Q ?处，则当PQ ⊥P ?Q ?时，时间t 为多少秒？
解：依题意P ?(-1,2),Q ?(-2,-1) 则O O Q P =(-2,-1)-(-1,2)=(-1,-3)
1e +2e =(-1,0)+(0,1)=(1,1) |1e +2e |=2 31e +22e =3×(1,0)+2×(0,1)=(3,2) |31e +22e |=13
∴当t 时刻P 点位置为（-1，2）+t （1，1）=（-1+t ，2+t ），点Q 位置为 （-2，1）+t （3，2）=（-2+3t ，-1+2t ） ∴PQ =(-2+3t,-1+2t)－(-1+t,2+t)=(-1+2t,-3+t) 又⊥O O Q P
∴(-1+2t)·(-1)+(-3+t)·(-3)=0解得t=2
∴当⊥O O Q P 时，时间t 为2秒。
总结：若从上题可看出把代数上的问题转化为平面几何的问题，将物理问题转化成数学的向量问题解决，将大大地简化了步骤，具有很高的便捷性。
通过用向量方法解以上几道题，展示了向量解题的简便性，激发了学生学习向量的兴趣。应用向量的有关知识，能简便地解决一些复杂的问题。近年来更成为高考所考查的内容这一，占分比例也不小。
高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a 。 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。 3.单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。 4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。 7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则： AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数） 9.平行四边形法则： 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。 10.共线定理：//a b a b λ=?。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?； cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ?=?=；121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误： （1）共线向量就是在同一条直线上的向量。 （2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。 （4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 （5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 （6）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。 （7）若ma mb =，则a b =。
向量的数量积在解题中的应用.doc
向量的数量积在解题中的应用 高中数学新增内容《平面向量》中介绍了两个向量的数量积的概念和性质。 概念：已知两个非零向量a和b的夹角为θ(0≤θ≤π)，则实数|a|·|b|cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b即a·b=|a|·|b|cosθ，由向量数量积的概念和向量的坐标运算得到，若a=（x1 , y1 ) , b= (x 2, y2 ) 则a·b= x1x2+y1y2 主要性质：①θ为钝角或平角?a·b<0 ②θ为锐角或零角?a·b>0 ③θ为直角?a·b.=0 ④|a·b|≤| a||b| 课本上的习题多用性质③判断两个向量是否垂直,关于其它性质应用的习题不多。其实性质①②④在解题中也广泛应用，现举例说明。 一、利用向量数量积判断三角形的形状 例1 在△ABC中，AB=a, CA=b, 若a·b＞0 试判断△ABC的形状. 解：a·b= |a|·|b|cos (π－A) = －| a|| b| cosA ∵a·b＞0 ，∴cosA＜0 ，∵A≠π，∴A为钝角∴ABC 为钝角三角形 二、利用向量数量积求函数的最大值 例2 求函数的最大值（新加坡竞赛题） 解：设a=（1，1）b, 则 a?b=1?? y=a?b≤|a||b?当sinx=0 时取“=” ) ∴函数的最大值是2 三、利用向量数量积证明不等式 例3 求证：（x1x2+y1y2）2≤（x12+y12）（x 22+y22） 证明：设a=（x1,y1）b=(x2,y2)
a·b=x1x2+y1y2 |a|·|b |= ∵|a·b|≤|a||b| ∴(a·b)2≤(|a|·|b|)2∴(x1x2+y1y2)2≤（x12+y12）（x 22+y22） 例4已知a、b、c、d、p、q均大于0 :证明：设m n 则± m·n |m||n ∵m·n≤|m||n| 四利用向量的数量积解决直线和圆锥曲线位置关系问题 例5 设直线L：y=x+b与椭圆C： 22 22 1 1 x y a a += - (a＞1) 相交于A、B两点，若L过椭圆C的右焦点且以AB为直径的圆过椭圆C的左焦点，求该椭圆方程。 解：由题意可知椭圆的左焦点为F1（－1，0），右焦点为F2（1，0） ∵L过F2 ∴b= －1 又以AB为直径的圆过F1∴F1A⊥F1B 由22 22 1 1(1) 1 y x x y a a a =- ? ? ? +=> ?- ? 得(2a2－1)x2－2a2x+2a2－a4=0 设A（x1，y1）B（x2, y2）∵F1A⊥F1B ∴ 11 F A F B ?= ∴(x1+1)(x2+1)+y1y2=0 ∴(x1+1)(x2+1) + (x1-1)(x2-1) =0 ∴x1x2+1=0 ∴ 24 2 2 10 21 a a a - += - ∴a2 =2 ± ∵ a＞1 ∴a2 ∴椭圆方程为 22 1 += 注：（1）形 如) a b >且p、q同号型的最大值.设m=(p,q)
平面向量常见题型与解题方法归纳学生版
平面向量常见题型与解题方法归纳 （1） 常见题型分类 题型一：向量的有关概念与运算 例1：已知a是以点A(3,－1)为起点，且与向量b = (－3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是. 例2：已知| a |=1,| b |=1，a与b的夹角为60°, x =2a－b，y=3b－a,则x与y的夹角的余弦是多少 题型二：向量共线与垂直条件的考查 r r r r 例1（1）,a b r r为非零向量。“a b⊥r r”是“函数()()() f x xa b xb a =+?-
为一次函数”的 A 充分而不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 （2）已知O ，N ，P 在ABC ?所在平面内，且 ,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PC PA ?=?=?，则点O ，N ，P 依次是ABC ?的 A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心 例2．已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝(21, 2 3).(1) 若存在实数k 和t ，便得x ＝a ＋(t 2－3)b , y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求函数的关系式k ＝f(t)；(2) 根据(1)的结论，确定k ＝f(t)的单调区间. 例3： 已知平面向量a ?＝(3，－1)，b ?＝(2 1，23)，若存在不为零的实数k 和角α，使向量c ?＝a ?＋(sin α －3)b ?, d ?＝－k a ?＋(sin α)b ?,且c ?⊥d ?，试求实数k 的
取值范围. 例4：已知向量)1,2(),2,1(-==b a ，若正数k 和t 使得向量 b t a k y b t a x 1)1(2 +-=++=与垂直，求k 的最小值. 题型三：向量的坐标运算与三角函数的考查 向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查. 例7．设函数f (x )＝a · b ，其中向量a ＝(2cos x , 1), b ＝(cos x ,3sin2x ), x ∈R.（1）若f(x )＝1－3且x ∈[－
平面向量测试题_高考经典试题_附详细答案
平面向量高考经典试题 海口一中高中部黄兴吉同学辅导内部资料 一、选择题 1．（全国1文理）已知向量(5,6)a =-r ，(6,5)b =r ，则a r 与b r A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向 D ．平行且反向 解．已知向量(5,6)a =-r ，(6,5)b =r ，30300a b ?=-+=r r ，则a r 与b r 垂直，选A 。 2、（山东文5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ） A ．1 B C ．2 D ．4 【答案】:C 【分析】：2(3,)n -a b =，由2-a b 与b 垂直可得： 2(3,)(1,)30n n n n ?-=-+=?= 2=a 。 3、（广东文4理10）若向量,a b r r 满足||||1a b ==r r ，,a b r r 的夹角为60°，则a a a b ?+?r r r r =______； 答案：3 2 ； 解析：1311122 a a a b ?+?=+??=r r r r ， 4、（天津理10） 设两个向量22 (2,cos )a λλα=+-r 和(,sin ),2 m b m α=+r 其中,,m λα为 实数.若2,a b =r r 则m λ 的取值范围是 ( A.[6,1]- B.[4,8] C.(,1]-∞ D.[1,6]- 【答案】A 【分析】由22 (2,cos )a λλα=+-r ,(,sin ),2 m b m α=+r 2,a b =r r 可得 2222cos 2sin m m λλαα+=??-=+?，设k m λ =代入方程组可得222 22cos 2sin km m k m m αα+=??-=+?消去m 化简得2 2 22cos 2sin 22k k k αα??-=+ ? --?? ，再化简得
高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的， 0 与任意向量平行零向量a ＝0 ｜a ｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 ｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a 大 小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r （1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法
向量解题技巧
向量解题技巧
一、怎么样求解向量的有关概念问题 掌握并理解向量的基本概念 １.判断下列各命题是否正确 (1)若c a c b b a 则,,； (2)两向量b a 、相等的充要条件是b a 且共线、b a ； (3) b a 是向量 b a 的必要不充分条件； (1)若D C B A 、、、是不共线的四点，则C D B A 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； (2) D C B A 的充要条件是A 与C 重合， D B 与重合。 二、向量运算及数乘运算的求解方法 两个不共线的向量，加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的。两个有相同起点的向量的差是连结两向量的终点，方向指向被减向量的向量，若起点不同，要平移到同一起点；重要结论：a 与b 不共线，则 b a b a 与是以a 与b 为邻边的平行四边形两条对角线 所表示的向量。在求解向量的坐标运算问题时，注意向量坐标等终点坐标减起点坐标，即若),(),,(2 2 1 1 y x B y x A ， 则 A O B O B A ) ,(),(),(12121122y y x x y x y x 。 例1 若向量_______2),1,0(),2,3(的坐标是则a b b a 例2 若向量____)2,1(),1,1(),1,1( c c b a 则 b a D b a C b a B b a A 2 123.2123.2321.2321. 例3 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已
知两点),3,1(),1,3( B A 若点 满足C B O A O C O ，其中R ,且 1 ，则点 C 的轨迹为（ ） 52. 02.0)2()1.( 01123.22 y x D y x C y x B y x A 例4 O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ) (C A C A B A B A A O P O ，),0[ ，则P 的轨迹一定过ABC 的（） . A 外心 . B 内心 . C 重心 . D 垂心 例5 设G 是ABC 内的一点，试证明: (1)若G 是为ABC 重心，则0 C B B G A G ； (2)若0 C B B G A G ，则G 是为ABC 重心。 三、三点共线问题的证法 证明A,B,C 三点共线，由共线定理(共线 与C A B A )，只需证明存在实数 ，使C A B A ，，其中必须有公共点。 共线的坐标表示的充要条件，若 ) ,(),,(2211y x b y x a ， 则 ) (0//12211221y x y x y x y x b a b a 例1 已知A 、B 两点，P 为一动点，且B tA A O P O ，其中t 为一变量。 证明：1.P 必在直线AB 上；2.t 取何值时，P 为A 点、
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高中数学经典解题技巧：平面向量【编者按】平面向量是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试解答题的必选，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下平面向量的经典解题技巧。 首先，解答平面向量这方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1．平面向量的实际背景及基本概念 （1）了解向量的实际背景。 （2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。 （3）理解向量的几何意义。 2．向量的线性运算 （1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。 （2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。 （3）了解向量线性运算的性质及其几何意义。 3．平面向量的基本定理及坐标表示 （1）了解平面向量的基本定理及其意义。 （2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 （3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。 （4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 4．平面向量的数量积 （1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 （2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系。 （3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 （4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直 关系。 5. 向量的应用 （1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。 （2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。
高中数学平面向量-综合测试题
平面向量 综合测试题 （时间：120分钟 满分：150分） 学号：______ 班级：______ 姓名：______ 得分：______ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 向量a ，b ，c ，实数λ,下列命题中真命题是( ) A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若λ a ＝0，则λ＝0或a ＝0 C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c 2．已知向量a ＝(1,0)与向量b ＝(－1，3)，则向量a 与b 的夹角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 3. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A.PA →＋PB →＝0 B.PC →＋PA →＝0 C.PB →＋PC →＝0 D.PA →＋PB →＋PC →＝0 4．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n ＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－12 D.12 5．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 6．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.322 B.3152 C ．－322 D ．－3152 7. 已知|a |＝2|b |，|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )
高考平面向量知识点总结
高考平面向量知识点总结 16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式： a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+； ②结合律：()() a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为 () 11,x y ， () 22,x y ，则 ()1212,x x y y AB =--． 19、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③() a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==． 20、向量共线定理：向量() 0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ ，使b a λ=． 设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向 b a C B A a b C C -=A -AB =B
黄冈中学高考数学典型例题3运用向量法解题
黄冈中学高考数学典型例题3运用向量法解题
黄冈中学高考数学典型例题详解运用向量法解题每临大事,必有静气;静则神明,疑难冰释; 积极准备,坦然面对;最佳发挥,舍我其谁? 平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度，本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问题. ●难点磁场 (★★★★★)三角形ABC中，A(5，－1)、B(－1，7)、C(1，2)， 求：(1)BC边上的中线AM的长； (2)∠CAB的平分线AD的长； (3)cos ABC的值. 2
3 ●案例探究 ［例1］如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面 ABCD 是菱形，且 ∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD . (1)求证：C 1C ⊥BD . (2)当1 CC CD 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面 C 1B D ？请给出证明. 命题意图：本题主要考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等问题以及对立体几何图形的解读能力. 知识依托：解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，这就使几何问题代数化，使繁琐的论证变得简单. 错解分析：本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再就是要清楚已知条件中提供的角与向量
4 夹角的区别与联系. 技巧与方法：利用a ⊥b ?a ·b =0来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可. (1)证明：设CD =a , CB =b ,1 CC =c ,依题意， |a |=|b |，CD 、CB 、 1 CC 中两两所成夹角为θ， 于是-==a －b ，CC ?1 =c (a －b )=c ·a － c ·b =|c |·|a |cos θ－|c |·|b |cos θ=0,∴C 1C ⊥ BD . (2)解：若使A 1C ⊥平面C 1BD ，只须证A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DC 1， 由)()(1 1 1 1 CC AA C CA -?+=? =(a +b +c )·(a －c )=|a |2+a ·b －b ·c －|c |2=|a |2－|c |2+|b |·|a |cos θ－|b |·|c |·cos θ=0,得 当|a |=|c |时，A 1C ⊥DC 1，同理可证当|a |=|c |时，A 1C ⊥BD ， ∴1 CC CD =1时，A 1C ⊥平面C 1BD .
2009高考数学重拳运用向量法解题
难点3运用向量法解题 平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力 度，本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问题 ?难点磁场 知识依托：解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，这就使几何问题代数化，使繁琐的论证变 得简单? 错解分析：本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再就是要清楚已知条件中提供 的角与向量夹角的区别与联系 ? 技巧与方法：利用 a 丄b= a ? b =0来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可 —b , CC 1 B D = c (a — b )=c ? a — c ? b =|c | ? |a |cos 0 — |c | - |b |cos 0 =0, C i C 丄 BD. (2) 解：若使 A i C 丄平面 C i BD ，只须证 A i C 丄BD , A i C 丄DC i , 由 CA i GD =(CA AA) (CD -CC i ) 2 2 2 2 =(a +b +c ) ? (a — c )=|a | + a ? b — b ? c — |c | =|a \ — |c | +|b | ? |a |cos 0 — |b | ? |c | ? cos 0 =0,得 当|a |=|c |时，A i C 丄DC i ，同理可证当|a |=|c |时，A i C 丄BD , CD 亠 十= ?- =1 时，A i C 丄平面 C i BD. CC i ［例 2］如图，直三棱柱 ABC —A 1B 1C 1,底面△ ABC 中，CA=CB=1 , / BCA=90°, AA 1=2, M 、N 分别是A i B i 、A i A 的中点. (1) 求BN 的长； ⑵求cos
巧用向量解题
巧用向量解题 张建峰 高中新教材新增了平面向量的内容并作为独立的章节来学习后，就成为高考的一个新内容， 也是高考的热点。平面向量在图象平移、定比分点、解三角形中有很重要的作用。除此之外在代数、三角函数、解析几何中应用都很广泛，下面笔者就此进行探讨。 向量基础知识 1.向量的数量积定义：空'色二klQ|g祐。 cos 6 = ° " 2.向量夹角公式：a与b的夹角为贝U ⑷创。 3.向量共线的充要条件：b与非零向量a共线厂存在唯一的' ■■-,使-「。 4.两向量平行的充要条件：向量肚兀丄必=(乃平行O兀必一心片=°。 5.向量垂直的充要条件：非零向量滋丄必a if = 0 6.向量不等式： 7.向量的坐标运算：向量"ImHh "(4丿2),则=広内。 二.向量的应用 1.利用向量证明等式 对于某些恒等式证明，形式中含有数量积定义和向量坐标运算来证明。 例1.已知a、B是任意角，求证: cos(a-jff)或符合向量的坐标运算形式，可运用向量的C->S(G -FF)= COSGCQE j54- fin a sin 0 证明：在单位圆上，以X轴为始边作角a,终边交单位圆于A,以X轴为始边作角B,终边—9 ―* 交单位圆于B,有。—3 们的常几-(cos^ 血旳 ― 所以CM ? QB- coscos/? + sinff sin/? ―1_-_3 又有CM ? QB ￡AQB- cosfff- ff) 即cos(c - P)- coscccosj3+ sin a sin 0成立。
当求解问题中（式子）含有乘积或乘方时，可巧妙地利用向量数量积坐标表达式: At ?“心乃+山，0创伞|问，构造向量解之。 所以 由数量积的坐 标运算可得: 又因为 所以 3. 利用向量求值 对于求值问题，巧妙地运用向量的数量积定义构造等量关系，求出所需量的值。 3 COS d +cos/?- cos(cs +0)= — ，求锐角a>3° (1 - cos ^7) cos ffl + sin ^sin a = — COE /J J 设梆= 器n 如！ ? = fcos a, sin.a) 翩科=—-cos 卩、|??|= ^(1- cos/7)a + sin 2 /? = ^2-2 cos p 则 2 H=i /H 3 _________ 翩N 勻删I 加I ，彳导 —cos fl < J2 ■ 2COE 0 由 2 ? ^ 例2. w f 叭 a, b, r, d 是正数。 求证: 证明: O 解：由条件得 例3.已知 岡 m dm 戊 4-JJC , \k\ = O b d m ?
高中数学平面向量测试题及答案[001]
平面向量测试题 一、选择题： 1。已知ABCD 为矩形，E 是DC 的中点，且?→?AB =→a ，?→?AD ＝→b ，则?→ ?BE ＝（ ） （A ） →b +→a 2 1 （B ） →b －→a 2 1 （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） →a －→ b 2 1 2．已知B 是线段AC 的中点，则下列各式正确的是（ ） （A ） ?→?AB ＝－?→?BC （B ） ?→?AC ＝?→?BC 2 1 （C ） ?→?BA ＝?→?BC （D ） ?→?BC ＝?→ ?AC 2 1 3．已知ABCDEF 是正六边形，且?→?AB ＝→a ，?→?AE ＝→b ，则?→ ?BC ＝（ ） （A ） )(2 1→→-b a （B ） )(2 1 →→-a b （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） )(2 1→ →+b a 4．设→a ，→b 为不共线向量，?→?AB ＝→a +2→b ,?→?BC ＝－4→a －→b ,?→ ?CD ＝ －5→ a －3→ b ,则下列关系式中正确的是 （ ） （A ）?→?AD ＝?→?BC （B ）?→?AD ＝2?→ ?BC （C ）?→?AD ＝－?→ ?BC （D ）?→?AD ＝－2?→ ?BC 5．将图形F 按→ a ＝（h,k ）（其中h>0,k>0）平移，就是将图形F （ ） （A ） 向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。 （B ） 向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。 （C ） 向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。 （D ） 向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6．已知→a ＝（)1,2 1，→ b ＝(), 2 22 3- ，下列各式正确的是（ ） （A ） 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a （B ） →a ·→b ＝1 （C ） →a ＝→b （D ） →a 与→b 平行 7．设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量，且k → 1e ＋→ 2e 与→ 1e ＋k → 2e 共线，则k 的值是（ ） （A ） 1 （B ） －1 （C ） 1± （D ） 任意不为零的实数 8．在四边形ABCD 中，?→?AB ＝?→?DC ，且?→?AC ·?→ ?BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） （A ） 矩形 （B ） 菱形 （C ） 直角梯形 （D ） 等腰梯形 9．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且?→ ?PN ＝－2?→ ?PM ，则P 点的坐标为（ ） （A ） （－14，16）（B ） （22，－11）（C ） （6，1） （D ） （2，4）
向量方法在高中数学解题中的应用
向量方法在高中数学解题中的应用 王贤举 摘要：向量具有丰富的物理背景。它既是几何的研究对象，又是代数的研究对象，是沟通代数、几何的桥梁。通过向量法使代数问题几何化、使几何问题代数化、使代数问题和几何问题相互转化的一些实例，体现向量法在解决中学代数问题和几何问题的一些作用和优点。 关键词：高中数学；向量法；解题；应用 Abstract: The vector has rich physical backgrounds. It is both the object of geometry and the object of algebra, and also is the bridge of algebra and geometry. By some examples about vector methods that make some algebra problems into geometry problems, or make some geometry problems into algebra problems, or make algebra problems and geometry problems transform mutually, it manifests the merit of vector methods in solving algebra and geometry problems in senior high school mathematics. Key word: Senior high school mathematics; Vector methods; Problem solving; Application 1、向量与高中数学教学 向量是既有大小，又有方向的量【1】，是数学中的重要概念之一。向量具有丰 富的物理背景，如力、位移、速度、加速度、动量、电场强度等都是向量。在高 中数学新课程中设置向量的容，是基于以下几方面原因： 1.1向量是几何的研究对象 物体的位置和外形是几何学的基本研究对象。向量可以表示物体的位置，也 是一种几何图形（几何里用有向线段表示向量：所指的方向为向量的方向，线段 的长度表示向量的大小），因而它成为几何学的基本研究对象。作为几何学的研 究对象，向量有方向，可以刻画直线、平面等几何对象及它们的位置关系；向量 有长度，可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。
《利用平面向量的解题技巧》
利用平面向量的解题技巧 平面向量是一个解决数学问题的很好工具，它具有良好的运算和清晰的几何意义。在数学的各个分支和相关学科中有着广泛的应用。下面举例说明。 一、用向量证明平面几何定理 例1. 用向量法证明：直径所对的圆周角是直角。 已知：如图1，AB 是⊙O 的直径，点P 是⊙O 上任一点（不与A 、B 重合），求证：∠APB ＝90°。 图1 证明：联结OP ，设向量b OP a OA =→ =→，，则a OB -=→且b a OP OA PA -=→-→=→，b a OP OB PB -=→ -→=→ 0|a ||b |a b PB PA 2222=-=-=→ ?→∴ → ⊥→∴PB PA ，即∠APB ＝90°。 二、用向量求三角函数值 例2. 求值：7 6cos 74cos 72cos πππ++ 解：如图2，将边长为1的正七边形ABCDEFO 放进直角坐标系中，则 ) 01(OA ，=→ ， ) 7 12sin 712(cos FO )710sin 710(cos EF )78sin 78(cos DE )7 6sin 76(cos CD )74sin 74(cos BC )72sin 72(cos AB ππππππππππππ，，，，，， ，，，，，=→=→=→=→=→=→
图2 又0FO EF DE CD BC AB OA =→ +→+→+→+→+→+→ 07 12cos 710cos 78cos 76cos 74cos 72cos 1=++++++∴ππππππ 又7 2cos 712cos 74cos 710cos 76cos 78cos ππππππ===，， 2176cos 74cos 72cos 0)7 6cos 74cos 72(cos 21- =++∴=+++∴ππππ ππ 三、用向量证明不等式 例3. 证明不等式)b b )(a a ()b a b a (2 221222122211++≤+ 证明：设向量)b b (b )a a (a 2121，，，==，则222 12221b b |b |a a |a |+=+=，， 设a 与b 的夹角为θ，22 2122 21 2211b b a a b a b a | b ||a |b a cos +++=?= θ 又1|cos |≤θ 则)b b )(a a ()b a b a (2 221222122211++≤+ 当且仅当a 、b 共线时取等号。 四、用向量解物理题 例 4. 如图3所示，正六边形PABCDE 的边长为b ，有五个力 →→→→PD PC PB PA 、、、、→ PE 作用于同一点P ，求五个力的合力。
高一数学必修四第二章平面向量测试题及答案
一、选择题: (本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1．设点P（3，-6），Q（-5，2），R的纵坐标为-9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为（）。 A、-9 B、-6 C、9 D、6 2．已知=(2,3), b=(-4,7)，则在b上的投影为（）。 A、B、C、D、 3．设点A（1，2），B（3，5），将向量按向量=（-1，-1）平移后得 向量为（）。 A、（2，3） B、（1，2） C、（3，4） D、（4，7）4．若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=sinBcosC，那么ΔABC是（）。 A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形5．已知| |=4, |b|=3, 与b的夹角为60°，则| +b|等于（）。A、B、C、D、 6．已知O、A、B为平面上三点，点C分有向线段所成的比为2，则（）。 A、B、 C、D、 7．O是ΔABC所在平面上一点，且满足条件，则点O是ΔABC的（）。 A、重心 B、垂心 C、内心 D、外心8．设、b、均为平面内任意非零向量且互不共线，则下列4个命题：(1)( ·b)2= 2·b2(2)| +b|≥| -b| (3)| +b|2=( +b)2
(4)(b ) -( a )b 与 不一定垂直。其中真命题的个数是（ ）。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 9．在ΔABC 中，A=60°，b=1， ，则 等 于（ ）。 A 、 B 、 C 、 D 、 10．设 、b 不共线，则关于x 的方程 x 2+b x+ =0的解的情况是（ ）。 A 、至少有一个实数解 B 、至多只有一个实数解 C 、至多有两个实数解 D 、可能有无数个实数解 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）. 11．在等腰直角三角形ABC 中，斜边AC=22，则CA AB =_________ 12．已知ABCDEF 为正六边形，且AC =a ，AD =b ，则用a ，b 表示AB 为______. 13．有一两岸平行的河流，水速为1，速度为 的小船要从河的一边驶 向对岸，为使所行路程最短，小船应朝________方向行驶。 14．如果向量 与b 的夹角为θ，那么我们称 ×b 为向量 与b 的“向量积”， ×b 是一个向量，它的长度| ×b |=| ||b |sin θ，如果| |=3, |b |=2, ·b =-2，则| ×b |=______。 三、解答题：（本大题共4小题，满分44分.） 15．已知向量 = , 求向量b ，使|b |=2| |，并且 与b 的夹角 为 。（10分）
20高考数学平面向量的解题技巧
20高考数学平面向量 的解题技巧 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题． 【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.
(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD = 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力． 解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0, 故选A ． 例2．（2006年安徽卷）在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =______.（用a b 、表示） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+由得，12 AM a b =+，所 以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+. 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 21-- （C ） BA BC 21- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a =71,,22b ? ?= ??? ? ? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ???- ??53,54 (B) ???- ??53,54或?? ? ??-53,54 （C ）???- ??31,322 （D ）???- ??31,322或??? ? ?-31,322 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问 题. 解：设所求平面向量为,c 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????4或-时5
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