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数列教材分析及教学建议

《数列》教材分析及教学建议

大境中学潘文俊

一、源于生活

数列，特别是等差数列与等比数列，有着较为广泛的实际应用。如各种产品尺寸常要分成若干等级，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级，比如鞋的尺码；当其中的最大尺寸与最小尺寸相差较大时(这种情况是多数)，常按等比数列进行分级，比如汽车的载重量、包装箱的重量等。特别值得一提的是，数列在产品尺寸标准化方面有着重要作用。例如在我国已颁布的供各种生产部门设计产品尺寸用的国家标准，就是按等比数列对产品尺寸进行分级的。

二、地位作用

数列在整个中学数学教学内容中，处于一个知识汇合点的地位，很多知识都与数列有着密切联系，过去学过的数、式、方程、函数、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分的应用，而学习数列又为后面学习数列的极限作了铺垫。最后，由于不少关于恒等变形、解方程(组)以及一些带有综合性的数学问题都与等差数列、等比数列有关，学习这一章便于对学生进行综合训练，从而有助于培养学生综合运用知识解决问题的能力。

三、教材编写特点

数列从知识上看较为简单易学，这样可借助于其知识联系面广的特点对初中所学内容起到复习和深化的作用；（如：解方程、一次函数、二次函数、等比性质等）

数列本身是一种特殊函数，让它紧接在第二章“函数”之后，有助于加深对函数概念的理解。

四、具体特点

(一)在启发学生思维上下功夫

本章内容，是培养学生观察问题、启发学生思考问题的好素材，因而在编写教材时注意充分利用这一点，使学生在获得知识的基础上，观察和思维能力得到提高。

【1】

在问题的提出和概念的引入方面，为了引起学生的兴趣，在本章的“前言”里用了一个有关国际象棋棋盘的古代传说作为引入的例子。它用一个涉及求等比数列的前n项和的麦粒数的计算问题给学生造成了一个不学本章知识、难获问题答案的悬念，又在学了等比数列后回过头来解开这个悬念；在讲等差数列与等比数列的概念时，都是先写出几个数列，让学生先观察它们的共同特点，然后在归纳共同特点的基础上给出相应的定义。

在推导结论时，注意发挥它们在启发学生思维方面的作用。例如在讲等差数列前n项和的公式时，没有平铺直叙地推导公式，而是先提出问题：

1+2+3+...+100=?

并指出著名数学家高斯10岁时便很快算出它的结果，以激发学生的求解热情，然后让学生在观察高斯算法的基础上，发现上述数列的一个对称性质：任意第k项与倒数第k项的和均等于首末两项的和，从而为顺利地推导求和公式铺平了道路。

在例、习题的表述方面，适当配备了一些采用疑问形式的题，以增加问题的启发成分。如P113页的例二在原来教材中本是一道证明题，而现教材将它改为：“已知数列的通项公式为a n=pn十q，其中p、q是常数，且p≠0，那么这种数列是否一定是等差数列?如果是，其首项与公差是什么?”又如，将一个证明题改用了疑问形式表述:“如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，那么这个数列有什么特点？”这样就增加了题目的研究性。增加了像“小结与复习”里例2那样的先猜想结论，然后证明结论的例题，以培养学生综合运用猜想证明等手段的能力。在讲有些例题时，加了一小段“分析”，通过不多的几句话点明解题的思路。如对于上面提到的例题，加的一段“分析”是：“由

等差数列定义，要判定{a n}是不是等差数列，只要看是不是一

个与n无关的常数就行了”。话虽不多，但突出了“从定义出发”这种最基本的证明方法。

（二）注意渗透一些重要的数学思想方法

由于本章处在知识交汇点的地位，所蕴含的数学思想方法较为丰富，教材在这方面也力求充分挖掘。上面几次提到教材注意从函数的观点去看数列，在这种整体的、动态的观点之下使数列的一些性质显现得更加清楚，某些问题也能得到更好的解决（在后面会有详细说明）；方程或方程组的思想也是体现得较为充分的，不少的例、习题均属这种模式：已知数列满足某某条件，求这个数列。这类问题一般都要通过列出方程或方程组。然后求解；关于递推的思想

【2】

【3】

方法，不仅在数列的递推公式里有所体现，而且它已成为理解数学归纳法原理的必要观念；观察、归纳、猜想、证明等思想方法的组合运用在本章里得到了较好地展示。（比如：给一个数列的有限项，让我们写出一个通项公式，这样的问题更具开放性的特点，更利于培养学生的探究意识，是一种真正意义上的数学学习，再此，教师应有意识的让学生感受这种学习方式的价值）

五、教学建议 1、数列概念的理解

关于数列的概念，除了描述性定义，我们还应给出一个在映射、函数观点下的定义，即：“从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值”。这样就可以将数列与函数联系起来，不仅可以加深对数列概念的理解，而且有助于运用函数的观点去研究数列。关于给出数列的两种方法，其中数列的通项公式，可明确指出它就是相应函数的解析式。点破了这一点，数列与函数的内在联系揭示得就更加清楚了。

建议：对于数列的定义，最好通过改造基本的函数如：正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数等基本函数得到与之对应的数列，在画出图像后，从定义域、解析式、值域、单调性、奇偶性、周期性等几个角度对它们进行认识，从而初步体会“数列是特殊的函数”这一重要特性，进而也回顾了“函数”的相关知识，使得学生的知识体系得以自然的延伸。例1、将以下函数改造为数列：例2、

2)(=x f （常数列）

、x x f 2)(=（正偶数列）、12)(+=x x f （等差数列）、

x f 1)(=

（单调性的应用在今后会常遇到）、x

x x f 2)(2

（等差数列的和）、

i n )(x

x f ?=π、

cos

)(x

x f ?=π。（有周期的数列）

有意识的利用数列的函数性质来解决相关问题。例3、在数列}{n a 中，c

n b n a a n

+??=

其中c b 、、a 均为正常数，则n a 与1+n a 的大小

关系为_______________.（利用函数图像的变换确定单调性）例4、若数列}{n a 前8项的值各异，且n n a a =+8

对任意的*

n ∈都成立，则下

列数列中可选遍}{n a 前8项值的数列为（）（利用函数的周期性

【4】

)()8(x f x f =+）

A 、}{12+k a

B 、}{13+k a

C 、}{14+k a

D 、}{16+k a 例5、数列}{n a 满足n

n n a a a a a -===++1221

,6,3，则._________

2008

=a （只需证

明周期为6）例6、已知n

)(13

11*

N n n

∈+

???++

=且112)(++-=n n S S n f 。试确定

m 的取值范围使

得对于一切大于1的自然数n ，不等式2

]

[log

2011)]1([log

)(m m n f m m

->恒成

立。（单调性）

例7、（01年上海理科22题）对任意,),(D x x f ∈可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：输入数据D x o ∈，经数列发生器输出 )(1o x f x =

若,1D x ?则数列发生器结束工作；若D x ∈1，则将1x 反馈回输入端，再输出

)(12x f x =，并依此规律继续下去。现定义

24)(+-=

x x x f , 函数值即为数列的项

a) 若输入,65

49=

o x 则由数列发生器产生数列{}n x ，请写出数列{}n x 的所

有项；（函数的代入求值）

b) 若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据的值；

（解方程） c) 若输入o x 时，产生的无穷数列{}n x 满足：对任意正整数n,均有

2、通项公式、递推公式

正如并非每一函数均有解析表达式一样，也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数)，因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展。递推是数学里的一个非常重要的概念和方法，今后的数学归纳法证明问题的基本思想实际上也是“递推”。在数列的研究中，不仅很多重要的数列是用递推公式给出的（斐波纳契数列

【5】

)1(12≥+=++n a a a n n n ），而且它也是获得一个数列的通项公式的途径：先

得出较为容易写出的数列的递推公式，然后再根据它推得通项公式。建议：对于数列的通项公式，建议执行以下标准：

1、给出一个数列的有限项，能写出它的一个通项公式，并意识到数列的通项公式并不唯一（可能因为给出的项是有限的，从而导致通项不确定；也有可能即使已经知道某个数列有无穷多项而其通项公式也有可能是不唯一的）。 1、牢记以下几个常见数列：)(*N n ∈

n a n =、n a n 2=、2

a n =、n

a n

、n

a )

1(-=、9

a --=

、)

1(1+=

n n a n

2、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）、;327,16

83,41 （2）、;8180,49

48,25

（3）、-2，6，-12，20；（4）、5，55，555，5555。 3、设}{n a 是集合},,022{Z t s t s s

∈<≤+且中所有的数从小到大排列成的数列，即

,...12,10,9,6,5,3654321======a a a a a a 将数列各项按照上小下大，左小右大的原

则写成如下三角形数表： 3

5 6

9 10 12

___ ___ ___ ___

___ ___ ___ ___ ___

(1)、写出这个三角形数表的第四行、第五行各数； (2)、求100a .

4、（04. 上海春季高考）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜

测第n 个图中有____12+-n n _______个点. （1）（2）（3）（4）（5）。。。。。。。。。。。。。。。

。。

。。。。。。。。。。。。。。。。。。

。。。。。。。。

。。

【6】

2、利用n s 求通项n a 时学生最易忽视1=n 的情况，即：分类意识；另外，分成1=n 与2≥n 两种情况求解后，学生也极易忽视求并集的意识，教师务必要让学生意识到分类的必然性即：1-n s 中的1-n 是至少为1的整数，故必有2≥n 和1=n 两种情况。注意：n n n a S S ≠-+1。 1、设数列{n a }的前n 项和为n n

S n

-=2

3（*

n ∈），则数列{n a }的通项公式为

__________;

2、设数列{n a }的前n 项和为232

+-=n n S n

（*

n ∈），则数列{n a }的通项公式

为________;

3、关于递推关系式，应使学生明白当数列没有解析式时，有时也可以利用递推关系式来描述，而另一方面也应清楚;有时利用递推关系式是能够推导数列的通项公式的。（这一点在推导等差、等比数列时应再次强调，其实我们还会遇到一些将一般数列转化成等差、等比数列的情形，届时应再让学生进一步体会递推关系式的“发生器”作用），但是，这项内容也是极易膨胀的，考虑到学生是在高一学习，我们必须牢牢把握教学要求，只要能初步体会一下用递推方法给出数列的思想，能根据递推公式写出一个数列的前几项就行了。至于从数列的递推关系式推导通项公式，应视学生接受能力而定，建议在章节复习时再让学生会利用一些简单的递推关系式求通项（尽可能不要涉及三项的情况）。或干脆等到高考复习时再加以拓展。

一点感想：新知识的教学一定要戒急戒躁，不要急于一步到位，而应力求把应知应会的基本知识、基本方法、基本技能落到实处，再此提两个建议：一、要下功夫把课本上的例、习题、复习题一道一道地让学生会做、做对；二、尽可能在教学中利用变式题突破重、难点。例如：关于数列9

a --=

9，99，999，9999 1，11，111，1111 5，55，555，5555

0.9，0.99，0.999，0.9999 0.1，0.11，0.111，0.1111

【7】

0.5，0.55，0.555，0.5555 0.1，0.01，0.001，0.0001 0.9，0.09，0.009，0.0009

1、已知数列}{n a ，12,111+==+n n a a a ，写出该数列的前5项及它的一个通项公式。（感受由递推产生数列的过程）

2、已知数列}{n a 满足)

2()

1(1,111

≥-=

-=-n n n a a a n n ，写出该数列的前5项及它的

一个通

公式。（通过递推得到有限项，再由有限猜一个通项公式） 3、已知数列}{n a 满足2,111=-=-n n a a a （2≥n ）

，求数列}{n a 的通项公式。（迭加，为等差数列作准备） 4、已知数列}{n a 满足)

2()

1(1,111

≥-=

-=-n n n a a a n n ，求数列}{n a 的通项公式。（进

一步利用迭加法求通项） 3、等差数列

在等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：例如从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线)。在推导等差数列前n 项和的公式时，突出了数列的一个重要的对称性质：与任一项前后等距离的两项的平均数都与该项相等，认识这一点对解决问题会带来一些方便。 1、判断一个数列是等差数列的直接依据就是定义。务必强调等差数列定义

中“从第二项起”这一条件。例1：数列}{n a 中，2

=a ，32=a ，21=-+n n a a )2(≥n ，数列}{n a 是等差数列吗？

例2、证明：在数列}{n a ，1

5lg

+=n n a ，判断该数列是否为等差数列？

例3、“z

y x lg ,lg ,lg 成等差数列”是“xz

y =2

” 成立的__________条件。（注意真

数的要求）

例4、命题甲：c b 、、a 成等差数列，命题乙：p

+，p