柱坐标球坐标下的导热微分方程

柱坐标球坐标下的导热微分方程

张卓 1102610126 市政学院 建筑换环境与设备工程

摘要：利用热力学第一定律，把物体内各点的温度关联起来，建立起温度场的 通

用微分方程，亦及导热微分方程。在不同的坐标系中，导热微分方程有不同 的形式。掌握在不同坐标系中导热微分方程的不同形式有利于我们更简单的分析问题。

关键词：柱坐标，球坐标，导热微分方程

1.柱坐标系下的导热微分方程

在d τ时间内，沿r 轴方向导入与导处微元体的净热量为

d d d d d d

d z r r r

r T r r r

d r

r r

τ

φλφ

φ

φ?

??

??????=

??-

=-+ 同理，在此时间内，沿?轴方向和沿z 轴方向，导入与导出微元体的净热量分别

为

d d d d d d d z r T r d τ

φφφ

φλφφφφφφ

φ

φ

???

?

??????=??-

=-+1

d d d d d d

d z r z z

r

z T z z

d z

z z

τ

φλφ

φ

φ??? ??????=

??-

=-+

I=d d d d d d d d d d d d z r z r z r r z T z T r r T r r τφτ

φτφλφλφλ??

?

?

?????+???

? ??????+??

? ?

?????1 在d τ时间内，微元体中内热源的发热量为

II=d d d d q z r v r τ?

在d τ时间内，微元体中热力学能的增量为

III=τ?τ

ρd d d d z r r T

c ??

由能量守恒定律得

导入与导出微元体的净热量 + 微元体内热源的发热量 = 微元体中热力学能的增量 即

I+II=III

代入上面三项并化简得

q r v z T z T r T r r r T c

+??

?

??????+???? ??????+??? ??????=??λφλφλτρ211 2.球坐标系下的导热微分方程

在d τ时间内 d d d r

q

r

r

τφθθφs i n 2

=

d d d d r d d

d r r r

r T r r

d r

r r

τφθθλφ

φ

φs i n

2??

?

??????=

??-

=-+

d d d d d d

d d d d d d d q

r r r T T

r d τ

θφθ

θ

τφτφθ

θ

θθλθθ

φφ

θθ

λ

θφφθ

θ

θ

??

?

??????=

??-

=-??-==+s i n s i n s i n

d d d d d d

d d d d d q r

r

r T r

T

r r d τ

φθφφ

θθφ

φ

θ

φλφφ

φφ

φθλφφ

φ

φ

φ

s i n 1

s i n 1???? ??????=

??-

=-??-==+

则导入与导出微元体的净热量为 I=

d d d d d d d d d d d d r r

r r T T r T r τ

φθτφθτ

φθθφλφθθλθθλsin 1

sin sin 2???? ??????+??? ??????+??? ??????

在d τ时间内，微元体中内热源的发热量为

II=d d d d r q r v τφθθsin 2

在d τ时间内，微元体热力学能的增量为

III=d d d d r

r T

c

τ

φθθτ

ρsin 2

??

由 I+III=II ，代入化简得

q r r r r v T T r T r T c

+???

??????+???? ??????+??? ??????=??θθλθθ

φλφθλτρsin sin 11122222sin 通过上述的推导过程我们可以看出，当分析同一个问题时，我们可以选择多种

不同的分析方法。使用不同的分析方法会使我们分析问题的过程不一样，但是不会影响问题分析的结果。遇到不同的情况就要选择不同的分析方法。就上述问题

而言，当分析的对象是一般平面物体，选择直角坐标系比较方便。但是当所分析的对象为轴对称物体（圆柱，圆筒或圆球），采用柱坐标系或球坐标系更为方便。

参考文献

【1】. 传热学（第五版），章熙明，梅飞鸣，中国建筑工业出版社，2007

【2】. 工科数学分析，张宗达，哈尔滨工业大学出版社，2008

1.8 圆柱坐标系和球坐标系

1.8 圆柱坐标系与球坐标系 1.8.1 圆柱坐标系 （1）建立圆柱坐标系 空间任一点P 的位置由坐标（ρ，φ，z ）确定，如图（a ）所示。其中： ① ρ 是P 点到z 轴的距离，即位置矢量r 在xoy 平面上的投影； ② φ 是正x 轴转到半平面o ABC 的方位角(0≤φ ≤2π)； ③ z 是位置矢量r 在z 轴上的投影，即P 点到xoy 平面的距离。 这三个坐标确定之后，就确定了三个坐标面： ① 以z 为轴、ρ为半径的圆柱面； ② 正xoz 半平面绕z 轴逆时钟旋转φ角度所得半平面； ③ 距xoy 平面为z 的平行平面。 这三个坐标面交汇于P 点，且在P 点处相互正交。为反映这一特征，在P 点处分别沿三个坐标增加的方向各取一个单位矢量e ρ、e φ和e z ，三单位矢量有以下特点： ① 三个单位矢量相互正交，且满足右手关系 e ρ ? e φ = e z e φ ? e z = e ρ （1.8.1） e z ? e ρ = e φ (b ) y x y e x (平面) ) ρ =常数 (圆柱面y

② 除e z 是常矢外，e ρ和e φ 的方向都有可能随 P 点的不同而变化，它们是坐标函数: y x y x e e e e e e φφφφφρcos sin sin cos +-=+= e ρ、e φ、e z 对坐标ρ、φ、z 求偏导 ???? ? ??????=??=??=??=??-=??=??=??=??=??0000000z z z z z z e , e , e e ,e e ,e e ,e e , e φ ρ φρφρ φρφφρ φρρ 矢量F （ρ、φ、z ）在圆柱坐标系下的表示式 z z A A A e e e A ++=φφρρ (1.8.2) （2）线元矢量、面元和体积元 当点的位置发生微小变化导致了微分位移，用线元矢量d l 表示 z z e e e l d d d d ++=φρφρρ (1.8.3) 三个坐标微分增量d ρ、d φ、d z 所形成的体积元d V z V d d d d φρρ= （1.8.4） 两坐标变量的微小变化将形成三个典型面元，它们的正方向分别沿坐标ρ、φ、z 的 正方向 (a ) (b ) ρ φ d s ρ

高中数学1.4柱坐标系与球坐标系简介教案新人教版选修4-4

四柱坐标系与球坐标系简介 课题：球坐标系与柱坐标系 教学目的： 知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法 能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐 标之间的变换公式。 德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系 教学难点：利用它们进行简单的数学应用 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学? 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。 问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？ 学生回顾 在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法 极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理 二、讲解新课： 1、球坐标系 设P 是空间任意一点，在 oxy 平面的射影为 Q,连接OR 记| OP |= r ，OP 与0Z 轴正 向所夹的角为 ，P 在oxy 平面的射影为 Q, Ox 轴按逆时针方向旋转到 0Q 时所转过的最小 正角为 ，点P 的位置可以用有序数组 （r,,）表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫 球坐标系（或空间极坐标系） 有序数组（r,,）叫做点P 的球坐标，其中 空间点P 的直角坐标（x, y, z ）与球坐标（r, 2 x 2 y 2 2 z r x rsi n cos y r si n sin z r cos 2、柱坐标系 有序数组（p , 9 ,Z ）叫点P 的柱坐标，其中p 》0, 0 <9 <2n , z € R 空间点P 的直角坐标（x, y, z ）与柱坐标（p , 9 ,Z ）之间的变换关系为： x cos y sin r > 0, 0< < , o w v 2 。 ,）之间的变换关系为： 设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为 平面oxy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组 系叫做柱坐标系 Q 用（P , 9 ）（ P> 0,0 <0 <2n ）表示点在 （p , 9 ,Z ）表示把建立上述对应 关系的坐标

《球坐标系与柱坐标系》教学案1

1.9《球坐标系与柱坐标系》教学案 教学目的： 知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法 能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式. 教学重点： 体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系 教学难点： 利用它们进行简单的数学应用 授课类型： 新授课 教学模式： 启发、诱导发现教学. 教 具： 多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度. 问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？ 学生回顾 在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法 极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理 二、讲解新课： 1、球坐标系 设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，连接OP ，记| OP |=r ，OP 与OZ 轴正向所夹的角为θ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为?，点P 的位置可以用有序数组),,(?θr 表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系). 有序数组),,(?θr 叫做点P 的球坐标，其中r ≥0，0≤θ≤π，0≤?＜2π. 空间点P 的直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(?θr 之间的变换关系为：

??? ????====++θ? θ?θcos sin sin cos sin r z r y r x r z y x 2 222 2、柱坐标系 设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，用(ρ，θ)表示点在平面oxy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组(ρ，θ，Z )表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系. 有序数组(ρ，θ，Z )叫点P 的柱坐标，其中ρ≥0， 0≤θ<2π， z ∈R . 空间点P 的直角坐标(x ， y ， z )与柱坐标(ρ，θ，Z )之间的变换关系为： 3、数学应用 例1建立适当的球坐标系，表示棱长为1的正方体的顶点. 变式训练 建立适当的柱坐标系， 表示棱长为1的正方体的顶点. 例2.将点M 的球坐标)65,3, 8(ππ化为直角坐标. 变式训练 1.将点M 的直角坐标)2,1,1(--化为球坐标. 2.将点M 的柱坐标)8,3,4(π 化为直角坐标. 3.在直角坐标系中点),,(a a a a (＞0)的球坐标是什么？ 例3.球坐标满足方程r =3的点所构成的图形是什么？并将此方程化为直角坐标方程. 变式训练 标满足方程ρ=2的点所构成的图形是什么？ ?????===z z y x θ ρθρsin cos

高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介1柱坐标系学案含解析新人教A版选修4_4

1．柱坐标系 柱坐标系 (1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz ，设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为 Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有 之间的)z ，θ，ρ(表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组R)∈z ()z ，θ，ρ(序数组一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点 R. ∈z ，2π＜θ≥0,0≤ρ，其中)z ，θ，ρ(P 的柱坐标，记作P (2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为 ???? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z. 由公式求出ρ，再由tan θ＝y x 求θ. 由公式???? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， z ＝z ， 得ρ2＝x 2＋y 2 ， 即ρ2 ＝12 ＋(3)2 ＝4，∴ρ＝2. tan θ＝y x ＝3， 又x >0，y >0，点在第一象限．∴θ＝π 3 ， ∴点A 的柱坐标为? ?? ??2，π3，5. 已知点的直角坐标，确定它的柱坐标关键是确定ρ和θ，尤其是θ，要注意求出tan θ后，还要根据点所在象限确定θ的值(θ的范围是 已知点P 的柱坐标为? ?? ??4，π3，8， 求 它的直角坐标． 直接利用公式求解．

由变换公式???? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， z ＝z 得 x ＝4cos π 3 ＝2，y ＝4sin π3 ＝23，z ＝8. ∴点P 的直角坐标为(2,23，8)． 已知柱坐标，求直角坐标，利用变换公式 ???? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z 即可． 3．点N 的柱坐标为? ?? ??2，π2，3，求它的直角坐标． 解：由变换公式???? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， z ＝z ， 得 x ＝ρcos θ＝2cos π 2 ＝0，y ＝ρsin θ＝2sin π2 ＝2， 故点N 的直角坐标为(0,2,3)． 4．已知点A 的柱坐标为(1，π，2)，B 的柱坐标为? ?? ??2，π2，1，求A ，B 两点间距离． 解：由x ＝ρcos θ，得x ＝cos π＝－1. 由y ＝ρsin θ，得y ＝sin π＝0. ∴A 点的直角坐标为(－1,0,2)． 同理，B 点的直角坐标为(0,2,1)． ∴|AB |＝ －1－ ＋－ ＋ － ＝ 6. 故A ，B 两点间的距离为 6. 课时跟踪检测(五) 一、选择题 1．设点M 的直角坐标为(1，－3，2)，则它的柱坐标是( ) A.? ????2，π3，2 B.? ????2，2π3，2 C.? ????2，4π3，2 D.? ?? ??2，5π3，2

柱坐标系与球坐标系的简介

四、柱坐标系与球坐标系简介 一、导学目标： 知识与技能:借助具体实例了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法; 过程与方法: 与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别。 情感态度与价值观:：类比法的建立方法，蕴藏了对立统一的辩证唯物主义思想。 导学重点：柱坐标系、球坐标系概念的理解与应用 导学难点：用柱坐标、球坐标表示空间的点 二、导学策略： 教学方法：探究法、讲授法 教学手段：多媒体辅助教学 三、教学过程： （一）、课程导入： 建立平面（或空间）直角坐标系后，平面上（或空间）的点可以用直角坐标表示；建立极坐标系后，平面上的点可以用极坐标表示。类似地，是否建立空间极坐标系，用极坐标表示空间的点呢？ （二）、新知探究： 1

2 1、阅读本节知识，回答以下问题： 1）柱坐标系的定义？如何用柱坐标系描述空间的点？ 2）球坐标系的定义？如何用球坐标系描述空间的点？ 2、探究结果： 1）、设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ， 用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点在平面oxy 上的 极坐标。点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示。 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系。 有序数组(ρ,θ,Z)叫点P 的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, -∞＜Z ＜+∞ 柱坐标系又称半极坐标系,它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部 分建立起来的. 空间点P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为： cos sin x y z z ρθρθ=?? =??=? 2）、设P 是空间任意一点，在oxy

热传导方程

前言 本文只是针对小白而写，可以使新手对热传导理论由很浅到不浅的认识，如想更深学习热传导知识，请转其它文档。 一、概念与常量 1、温度场： 指某一时刻下，物体内各点的温度分布状态。 在直角坐标系中：； 在柱坐标系中：； 在球坐标系中：。 补充：根据温度场表达式，可分析出导热过程是几维、稳态或非稳态的现象，温度场是几维的、稳态的或非稳态的。 2、等温面与等温线： 三维物体内同一时刻所有温度相同的点的集合称为等温面； 一个平面与三维物体等温面相交所得的的曲线线条即为平面温度场中的等温线。 3、温度梯度： 在具有连续温度场的物体内，过任意一点P温度变化率最大的方向位于等温线的法线方向上。称过点P的最大温度变化率为温度梯度(temperature gradient)。用grad t表示。 定义为： 补充：温度梯度表明了温度在空间上的最大变化率及其方向，是向量，其正向与热流方向恰好相反。对于连续可导的温度场同样存在连续的温度梯度场。

在直角坐标系中： 3、导热系数 定义式：单位 导热系数在数值上等于单位温度降度(即1)下，在垂直于热流密度的单位面积上所传导的热流量。导热系数是表征物质导热能力强弱的一个物性参数。 补充：由物质的种类、性质、温度、压力、密度以及湿度影响。 二、热量传递的三种基本方式 热量传递共有三种基本方式：热传导；热对流；热辐射 三、导热微分方程式（统一形式：） 直角坐标系： 圆柱坐标系： 球坐标系： 其中，称为热扩散系数，单位，为物质密度，为物体比热容，为物体导热系数，为热源的发热率密度，为物体与外界的对流交换系数。 补充： 1处研究的对象为各向同性的、连续的、有内热源、物性参数已知的导热物体。 2稳态温度场，即则有：，此式称为泊松方程。 3无内热源的稳态温度场，则有：，此式称为拉普拉斯方程。 四、单值条件 导热问题的单值条件通常包括以下四项： 1几何条件：表示导热物体的几何形状与大小（一维、二维或三维）

柱坐标系与球坐标系的简介第一八版

四、 柱坐标系与球坐标系简介 一、导学目标： 知识与技能: 借助具体实例了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法; 过程与方法: 与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别。 情感态度与价值观:：类比法的建立方法，蕴藏了对立统一的辩证唯物主义思想。 导学重点：柱坐标系、球坐标系概念的理解与应用 导学难点：用柱坐标、球坐标表示空间的点 二、导学策略： 教学方法：探究法、讲授法 教学手段：多媒体辅助教学 三、教学过程： （一）、课程导入： 建立平面（或空间）直角坐标系后，平面上（或空间）的点可以用直角坐标表示；建立极坐标系后，平面上的点可以用极坐标表示。类似地，是否建立空间极坐标系，用极坐标表示空间的点呢？ （二）、新知探究： 1、阅读本节知识，回答以下问题： 1）柱坐标系的定义？如何用柱坐标系描述空间的点？ 2）球坐标系的定义？如何用球坐标系描述空间的点？ 2、探究结果： 1）、设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ， 用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点在平面oxy 上的 极坐标。点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示。 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系。 有序数组(ρ,θ,Z)叫点P 的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, -∞＜Z ＜+∞ 柱坐标系又称半极坐标系,它是由平面极坐标系及空间 直角坐标系中的一部 分建立起来的. 空间点P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为： cos sin x y z z ρθρθ=??=??=? 2）、设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影 为Q 。连接OP ，记| OP |=r ，OP 与OZ 轴正向所 夹的角为φ，P 在oxy 平面的射影为Q 。 Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为 θ，点P 的位置可以用有序数组(r,φ,θ)表示，我们把 建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)。有序数组(r,φ,θ)叫做点P 的球坐标，其中， 0,0,02r ?πθπ≥≤≤≤< 。 空间点P 的直角坐标(x, y, z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换关系为：

柱坐标系与球坐标系

柱坐标系与球坐标系 1、柱坐标系 设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ， 用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面oxy 上的极坐标， 点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,z)表示. 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系. 有序数组(ρ,θ,Z)叫点P 的柱坐标，记作(ρ,θ,Z). 其中ρ≥0, 0≤θ＜ 2π, -∞＜Z ＜+∞ 2，柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系 及空间直角坐标系中的一部分建立起来的. 空间点P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标 (ρ,θ,Z) 之间的变换公式为： 3 应用：例1：设点的直角坐标为(1，1，1)，求它:在柱坐标系中的坐标. 解得ρ= ，θ= 点在柱坐标系中的坐标为 （ ， ，1）. 注：求θ时要注意角的终边与点的射影所在位置一致。 练习： 1、设点的直角坐标为(1,1,1)，求它在柱坐标系中的坐标. 注：求θ时要注意角的终边与点的射影所在位置一致。 3，柱坐标系： r 为常数 圆柱面 半平面 平 面 x y z o P(ρ,θ,Z) Q θ 4π?? ???===z z y x θρθρsin cos ?? ???===z 1sin 1cos 1θρθρ224π?),,(z y x M ),(θr P ?θr z x y z o 点在柱坐标系中的坐标为(2,,1)4π求它的直角坐标。的柱坐标为、设点),7,6,2(2πM (3,1,7) 为常数θ为常数z

球坐标系 1，球坐标系： 设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ， 连接OP ，记| OP |=r ，OP 与OZ 轴正向所夹的角为φ. 设P 在oxy 平面上的射影为Q ， Ox 轴按逆时 针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数组(r,φ,θ)表示. 空间的点与有序数组(r,φ,θ)之间建立了一种对应关系. 我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系 (或空间极坐标系) . 有序数组(r,φ,θ)叫做点P 的球坐标， 2 , 空间点P 的直角坐标(x, y, z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换关系为； 3 应用：例：设点的球坐标为(2， ， ) 求它的直角坐标.？ 点在直角坐标系中的坐标为（ －1 ，1 ，－ ）. 4 小结： 数轴 平面直角坐标系 坐标系 平面极坐标系 空间直角坐标系 柱坐标系 球坐标系 坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化， 从而产生了坐标法. y o P Q X Z 其中 πθπ?20,0,0<≤≤≤≥r x y z o P(r,φ,θ) Q θ r φ 称为高低角 －的方位角，被测点称为 球坐标中的角应用，在测量实践中，文学中有着广泛的球坐标系在地理学、天 ?θ?θ090),,(r P ?? ???===?θ?θ?cos sin sin cos sin r z r y r x 43π43π22222r z y x =++） ，，（为直角坐标。 、将下列点的球坐标化例65381ππM

柱坐标系与球坐标系简介教案

四 柱坐标系与球坐标系简介 课题：球坐标系与柱坐标系 教学目的： 知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法 能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。 德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系 教学难点：利用它们进行简单的数学应用 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。 问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？ 学生回顾 在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法 极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理 二、讲解新课： 1、球坐标系 设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，连接OP ，记| OP |=r ，OP 与OZ 轴正向所夹的角为θ，P 在oxy 平面的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为?，点P 的位置可以用有序数组),,(?θr 表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系) 有序数组),,(?θr 叫做点P 的球坐标，其中r ≥0，0≤θ≤π，0≤?＜2π。 空间点P 的直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(?θr 之间的变换关系为： ???????====++θ ?θ?θcos sin sin cos sin 2 222r z r y r x r z y x 2、柱坐标系 设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点在 平面oxy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系 有序数组(ρ,θ,Z)叫点P 的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z ∈R 空间点P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为： ?? ???===z z y x θ ρθρsin cos

热传导方程抛物型偏微分方程和基本知识

1. 热传导的基本概念 1.1温度场 一物体或系统内部，只要各点存在温度差，热就可以从高温点向低温点传导， 即产生热流。因此物体或系统内的温度分布情况决定着由热传导方式引起的传热速率（导热速率）。 温度场：在任一瞬间，物体或系统内各点的温度分布总和。 因此，温度场内任一点的温度为该点位置和时间的函数。 〖说明〗 若温度场内各点的温度随时间变化，此温度场为非稳态温度场，对应于非稳 态的导热状态。 若温度场内各点的温度不随时间变化，此温度场为稳态温度场，对应于稳态 的导热状态。 若物体内的温度仅沿一个坐标方向发生变化，且不随时间变化，此温度场为 一维稳态温度场。 1.2 等温面 在同一时刻，具有相同温度的各点组成的面称为等温面。因为在空间同一点不可能同时有两个不同的温度，所以温度不同的等温面不会相交。 1.3 温度梯度 从任一点起沿等温面移动，温度无变化，故无热量传递；而沿和等温面相交 的任一方向移动，温度发生变化，即有热量传递。温度随距离的变化程度沿法向最大。 温度梯度：相邻两等温面间温差△t与其距离△n之比的极限。 〖说明〗 温度梯度为向量，其正方向为温度增加的方向，与传热方向相反。 稳定的一维温度场，温度梯度可表示为：grad t = dt/dx

2. 热传导的基本定律——傅立叶定律 物体或系统内导热速率的产生，是由于存在温度梯度的结果，且热流方向和 温度降低的方向一致，即与负的温度梯度方向一致，后者称为温度降度。 傅立叶定律是用以确定在物体各点存在温度差时，因热传导而产生的导热速率大小的定律。 定义：通过等温面导热速率，与其等温面的面积及温度梯度成正比： q = dQ/ds = -λ·dT/dX 式中：q 是热通量（热流密度），W/m2 dQ是导热速率，W dS是等温表面的面积，m2 λ是比例系数，称为导热系数，W/m·℃ dT / dX 为垂直与等温面方向的温度梯度 “－”表示热流方向与温度梯度方向相反 3. 导热系数 将傅立叶定律整理，得导热系数定义式： λ= q/(dT/dX) 物理意义：导热系数在数值上等于单位温度梯度下的热通量。因此，导热系 数表征物体导热能力的大小，是物质的物性常数之一。其大小取决于物质的组成结构、状态、温度和压强等。 导热系数大小由实验测定，其数值随状态变化很大。 3.1 固体的导热系数 金属：35～420W/(m·℃)，非金属：0.2～3.0W/ (m·℃) 〖说明〗

人教A版高中数学选修4-4同步练习-柱坐标系与球坐标系简介

第一讲 坐标系 四、柱坐标系与球坐标系简介 A 级 基础巩固 一、选择题 1．在柱坐标中，方程ρ＝2表示空间中的( ) A ．以x 轴为中心轴，底半径为2的圆柱面 B ．以y 轴为中心轴，底半径为2的圆柱面 C ．以z 轴为中心轴，底半径为2的圆柱面 D ．以原点为球心，半径为2的球面 解析：由柱坐标的几何意义可知，方程ρ＝2表示以z 轴为中心，底面半径为2的圆柱面． 答案：C 2．若点M 的球坐标为? ?? ?? 8，π3， 5π6，则它的直角坐标为( ) A ．(－6，23，4) B ．(6，23，4) C ．(－6，－23，4) D ．(－6，23，－4) 解析：由x ＝8sin π3cos 5π 6＝－6， y ＝8sin π3sin 5π 6 ＝23， z ＝8cos π 3＝4，得点M 的直角坐标为(－6，23，4)． 答案：A 3．设点M 的直角坐标为(2，0，2)，则点M 的柱坐标为( )

A ．(2，0，2) B ．(2，π，2) C ．(2，0，2) D ．(2，π，2) 解析：设点M 的柱坐标为(ρ，θ，z )， 所以ρ＝x 2 ＋y 2 ＝2，tan θ＝y x ＝0， 所以θ＝0，z ＝2，所以点M 的柱坐标为(2，0，2)． 答案：A 4．空间点P 的柱坐标为(ρ，θ，z )，关于点O (0，0，0)的对称的点P 的坐标为(0<θ≤π)( ) A ．(－ρ，－θ，－z ) B ．(ρ，θ，－z ) C ．(ρ，π＋θ，－z ) D ．(ρ，π－θ，－z ) 解析：点P (ρ，θ，z )关于点O (0，0，0)的对称点为P ′(ρ，π＋θ，－z )． 答案：C 二、填空题 5．空间点P 的柱坐标为? ?? ??6，π 3，4，则点P 关于z 轴的对称点 为________． 答案：? ?? ??6，4π 3，4 6．已知点M 的球坐标为? ???? 4，π4，3π4，则它的直角坐标为_______，它的柱坐标是________． 答案：(－2，2，22) ? ?? ??22，3π4，22 7．已知在柱坐标系中，点M 的柱坐标为? ?? ??2，2π 3，5，且点M 在数轴Oy 上的射影为N ，则|OM |＝________，|MN |＝________．

球坐标系与柱坐标系

4.1.3球坐标系与柱坐标系 1．球坐标系、柱坐标系的理解． 2．球坐标、柱坐标与直角坐标的互化． [基础·初探] 1．球坐标系与球坐标 (1)在空间任取一点O作为极点，从O点引两条互相垂直的射线Ox和Oz作为极轴，再规定一个长度单位和射线Ox绕Oz轴旋转所成的角的正方向，这样就建立了一个球坐标系． 图4-1-5 (2)设P是空间一点，用r表示OP的长度，θ表示以Oz为始边，OP为终边的角，φ表示半平面xOz到半平面POz的角，则有序数组(r，θ，φ)就叫做点P 的球坐标，其中r≥0,0≤θ≤π，0≤φ＜2π. 2．直角坐标与球坐标间的关系 图4-1-6 若空间直角坐标系的原点O，Ox轴及Oz轴，分别与球坐标系的极点、Ox 轴及Oz轴重合，就可以得到空间中同一点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，θ，φ)之间的关系，如图4-1-6所示．

x 2＋y 2＋z 2＝r 2， x ＝r sin_θcos_φ， y ＝r sin_θsin_φ， z ＝r cos_θ. 3．柱坐标系 建立了空间直角坐标系O -xyz 后，设P 为空间中任意一点，它在xOy 平面上的射影为Q ，用极坐标(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面xOy 上的极坐标，这时点P 的位置可以用有序数组(ρ，θ，z )(z ∈R )表示，把建立上述对应关系的坐标系叫柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z ∈R . 图4-1-7 4．直角坐标与柱坐标之间的关系 ??? x ＝ρcos θ， y ＝ρsin θ，z ＝z . [思考·探究] 1．空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系有何联系和区别？ 【提示】 柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景，柱坐标系中一点在平面xOy 内的坐标是极坐标，竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同；球坐标系中，则以一点到原点的距离和两个角(高低角、极角)刻画点的位置．空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系都是空间坐标系，空间点的坐标都是由三个数值的有序数组组成． 2．在空间的柱坐标系中，方程ρ＝ρ0(ρ0为不等于0的常数)，θ＝θ0，z ＝z 0分别表示什么图形？

第八章 热传导和扩散问题的傅里叶解

第八章 热传导方程的傅里叶解 第一节 热传导方程和扩散方程的建立 8.1.1 热传导方程的建立 推导热传导方程和前面弦振动所用的数学方法完全相用，不同之处在于具体的物理规律不同。这里用到的是热学方面的两个基本规律，即能量守恒和热传导的傅里叶实验定律。 热传导的傅里叶实验定律：设有一块连续的介质，选定一定的坐标系，并用(,,,)u x y z t 表示介质内空间坐标为的一点在t 时刻的温度。若沿x 方向有一定的温度差，在x 方向也就一定有热量的传递。从宏观上看，单位时间内通过垂直x 方向的单位面积的热量q 与温度的沿x 方向的空间变化率成正比，即 x u q k x ?=-? （8-1.1） q 称为热流密度，k 称为导热系数。公式中的负号表示热流的方向和温度变化的方向正好相 反，即热量由高温流向低温。 研究三维各向同性介质中的热传导，在介质中三个方向上存在温度差，则有 x u q k x ?=-?，y u q k y ?=-?，z u q k z ?=-? 或 q k u =-?r 即热流密度矢量q r 与温度梯度u ?成正比。 下面以一维均匀细杆为例，根据傅里叶实验定律和能量守恒定律推导介质中的热传导方程。 第一步，定变量。研究介质x 位置处在t 时刻的温度(,)u x t 。 第二步，取局部。在介质内部隔离出从x 到x x +?一段微元长度，在t 到t t +?时间内温度的变化(,)(,)u u x t t u x t ?=+?-。 第三步，立假设。假设均匀介质的横截面积为A ，质量密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k 。

第四步，找规律。隔离出来的微元长度在t 到t t +?时间内吸收的热量为： Q c m u c A x u ρ=????=???? （8-1.2） 在t 到t t +?时间内，同过x 位置处的横截面的热量为： 1x x x Q q A t k u A t =???=-?? （8-1.3） 在t 到t t +?时间内，同过x x +?位置处的横截面的热量为： 2x x x x x Q q A t k u A t +?+?=???=-?? （8-1.4） 如果在微元段内有其他的热源，假设在单位时间单位体积内产生的热量为(,)F x t ，则该热源在微元内产生的热量为： (,)3Q F x t t A x =???? （8-1.5） 第五步，列方程。根据能量守恒定律，净流入的热量应该等于介质在此时间内温度升高所需要的热量。 123Q Q Q Q =-+ 即 (,)x x x x x c A x u k u A t k u A t F x t t A x ρ+?????=-??+??+???? (,)x x x x x u u u c k F x t t x ρ+?-??? =+?? 得到： (,)t xx k F x t u u c c ρρ = + 令 a = (,)(,)F x t f x t c ρ= 则得到热传导方程为 (,)2t xx u a u f x t =+ （8-1.6） 当介质内部无其他热源时，热传导方程是齐次的，为 2t xx u a u = （8-1.7） 8.1.2 扩散方程的建立

数学教案(球坐标系与柱坐标系)

课题：球坐标系与柱坐标系 教学目的： 知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法 能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。 德育目标： 教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系 教学难点：利用它们进行简单的数学应用 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。 问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？ 学生回顾 在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法 极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理 二、讲解新课： 1、球坐标系 设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，连接OP ，记| OP |=r ，OP 与OZ 轴正向所夹的角为θ，P 在oxy 平面的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为?，点P 的位置可以用有序数组),,(?θr 表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系) 有序数组),,(?θr 叫做点P 的球坐标，其中r ≥0，0≤θ≤π，0≤?＜2π。 空间点P 的直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(?θr 之间的变换关系为： ???????====++θ ? θ?θcos sin sin cos sin 2 222r z r y r x r z y x 2、柱坐标系 设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点在 平面oxy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系 有序数组(ρ,θ,Z)叫点P 的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z ∈R 空间点P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为： ?????===z z y x θρθ ρsin cos

球坐标系与柱坐标系

球坐标系与柱坐标系 教学目的： 知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法 能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。 教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系 教学难点：利用它们进行简单的数学应用 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。 问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？ 学生回顾 在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法 极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理 二、讲解新课： 1、球坐标系 设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，连接OP ，记| OP |=r ，OP 与OZ 轴正向所夹的角为θ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为?，点P 的位置可以用有序数组),,(?θr 表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)。 有序数组),,(?θr 叫做点P 的球坐标，其中r ≥0，0≤θ≤π，0≤?＜2π。 空间点P 的直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(?θr 之间的变换关系为： ???????====++θ ? θ?θcos sin sin cos sin 2 222r z r y r x r z y x 2、柱坐标系 设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，用(ρ,θ)表示点在平面oxy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系。 有序数组(ρ,θ,Z)叫点P 的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z ∈R 。 空间点P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为： ?????===z z y x θ ρθρsin cos

柱坐标系和球坐标系(教师)

7 柱坐标系和球坐标系 主备： 审核： 学习目标： 1.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法； 2.了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式. 学习重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系. 学习难点：利用它们进行简单的数学应用. 学习过程： 一、课前准备 阅读教材1618P P -的内容，了解柱坐标系的定义, 以及如何用柱坐标系描述空间中的点.并思考下面的问题： 空间中的点的表示法是不是唯一的？到目前为止，你知道了几种表示空间一个点的位置的方法？ 答：不是唯一的.到目前为止，我们知道了三种表示空间点的位置的方法：空间直角坐标，柱坐标系，球坐标系. 二、新课导学： （一）新知： 1.柱坐标系： （1）设P 是空间任意一点，在xOy 平面的射影为Q ，用(,)(0,02)ρθρθπ≥≤<表示点 Q 在平面xOy 上的极坐标，点P 的位置可用有 序数组(,,)z ρθ表示. 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系.有序数组(,,)z ρθ叫点P 的柱坐标，记作(,,)z ρθ.其中0ρ≥， 02θπ≤<，z R ∈. （2）柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建 立起来的. （3）空间点P 的直角坐标(,,)x y z 与柱坐标(,,)z ρθ之间的变换公式为 cos sin x y z z ρθρθ=?? =??=? . 2.球坐标系： （1）设P 是空间任意一点，连接OP ， 记||OP r =，OP 与Oz 轴正向所夹的角为?. 设 P 在xOy 平面的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向

旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点P 的位置就可以用有序数组(,,)r ?θ表示.空间的点与有序数组(,,)r ?θ之间建立了一种对应关系. 我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系 (或空间极坐标系) . 有序数组 (,,)r ?θ叫做点P 的球坐标，其中0,0,02r φπθπ≥≤≤≤<. （2）点P 球坐标(,,)r ?θ与直角坐标(,,)x y z 的互化公式： ①2222 x y z r ++=；②sin cos sin sin cos x r y r z r ?θ?θ?=??=??=? . （二）典型例题 【例1】建立适当的球坐标系，分别表示棱长为1的正方体的顶点. 【解析】如图，建立球坐标系，则各个顶点的坐标分别为(1, ,0)2 A π ，1 ,0)4 A π ，,)24 B ππ， 1,)4 B π? ，其中tan ?=α为锐角， (1,,)22C ππ ，1,)42 C ππ，(0,0,0) D ，1(1,0,0)D . 动动手：在例1 中，建立适当的柱坐标系，写出各个顶点的柱坐标. 【解析】如上图建立柱坐标系，则各个点的坐标如下： (1,0,0)A ，1(1,0,1)A ，,0)4B π ，1,1)4 B π， (1,,0)2 C π， 1(1,,1)2 C π，(0,0,0) D ，1(0,0,1)D . 【例2】已知点1P 的柱坐标是)1,6 ,2(1π P ,2P 的柱坐标是)3,3 2, 4(2-π P ,求21P P . 【解析】点1P 的柱坐标是)1,6 , 2(1π P 转化为直角坐标为,1,16 sin 2,36 cos 2=====z y x π π ，即)1,1,3(1P ， 点2P 的柱坐标是)3,3 2, 4(2-π P 转化为直角坐标为,3,323 2sin 4,232cos 4-===-==z y x π π，即)3,32,2(2--P ， 所以， 126PP = =. 动动手：在球坐标系中，求)6,3, 3(π πP 与)3 2,3,3(π πQ 两点间的距离.

四 柱坐标系与球坐标系简介

四、球坐標系與柱坐標系簡介 教學目的： 知識目標：瞭解在柱坐標系、球坐標系中刻畫空間中點的位置的方法 能力目標：瞭解柱座標、球座標與直角坐標之間的變換公式。 德育目標：通過觀察、探索、發現的創造性過程，培養創新意識。 教學重點：體會與空間直角坐標系中刻畫空間點的位置的方法的區別和聯繫 教學難點：利用它們進行簡單的數學應用 授課類型：新授課 教學模式：啟發、誘導發現教學. 教 具：多媒體、實物投影儀 教學過程： 一、復習引入： 情境：我們用三個數據來確定衛星的位置，即衛星到地球中心的距離、經度、緯度。 問題：如何在空間裏確定點的位置？有哪些方法？ 學生回顧 在空間直角坐標系中刻畫點的位置的方法 極座標的意義以及極座標與直角坐標的互化原理 二、講解新課： 1、球坐標系 設P 是空間任意一點，在oxy 平面的射影為Q ，連接OP ，記| OP |=r ，OP 與OZ 軸正向所夾的角為θ，P 在oxy 平面的射影為Q ，Ox 軸按逆時針方向旋轉到OQ 時所轉過的最小正角為?，點P 的位置可以用有序數組),,(?θr 表示，我們把建立上述對應關係的坐標系叫球坐標系(或空間極坐標系) 有序數組),,(?θr 叫做點P 的球座標，其中r ≥0，0≤θ≤π，0≤?＜2π。 空間點P 的直角坐標),,(z y x 與球座標),,(?θr 之間的變換關係為： ???????====++θ ? θ?θcos sin sin cos sin 2 222r z r y r x r z y x 2、柱坐標系 設P 是空間任意一點，在oxy 平面的射影為Q ，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示點在 平面oxy 上的極座標，點P 的位置可用有序數組(ρ,θ,Z)表示把建立上述對應關係的坐標系叫做柱坐標系 有序數組(ρ,θ,Z)叫點P 的柱座標，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z ∈R 空間點P 的直角坐標(x, y, z)與柱座標(ρ,θ,Z)之間的變換關係為： ?=x θρcos

热传导方程及其定解问题的导出

第一章 热传导方程 本章介绍最典型的抛物型方程—热传导方程,在研究热传导,扩散等物理现象时都会 遇到这类方程. §1 热传导方程及其定解问题的导出 热传导方程的导出 物理模型 在三维空间中,考虑一均匀,各向同性的物体Ω,假定它内部有热源,并且与周围介质有热交换,需要来研究物体内部温度的分布和变化. 以函数),,,(t z y x u 表示物体Ω在位置),,(z y x 及时刻t 的温度.物体内部由于各部分温度不同,产生热量的传递,它们遵循能量守恒定律. 能量守恒定律 物体内部的热量的增加等于通过物体的边界流入的热量与由物体内部的热源所生成的热量的总和. 在物体Ω内任意截取一块D .现在时段],[21t t 上对D 使用能量守恒定律. 设),,,(t z y x u u =是温度(度),c 是比热(焦耳∕度·千克),ρ是密度(千克/米3 ), q ρ 是 热流密度(焦耳/秒·米2 ),0f 是热源强度(焦耳/千克·秒). 注意到在dt 时段内通过D 的边界D ?上小块dS 进入区域D 的热量为dSdt n q ρρ?-(n ρ 是 D ?的外法向),从而由能量守恒律,我们有 ,)||(21 21 120??????????+?-=-?==t t D t t D D t t t t dxdydz f dt ds n q dt dxdydz u u c ρρρ ρ （） 大家知道,热量流动的原因是因为在物体内部存在温差.依据传热学中的傅立叶实验定律,在一定条件下,热流向量与温度梯度成正比 ,u k q ?-=ρ （梯度? ?? ? ????????==?z u y u x u gradu u ,,） （） 这里负号表明热量是由高温向低温流动,k 是物体的导热系数. ,n u k n u k n q ρρρρ??-=??-=? 从而式可改写为