考研积分上限的函数(变上限积分变限积分)知识点全面总结

考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点

()()x

a

F x f t dt =?

形如上式的积分，叫做变限积分。 注意点：

1、在求导时，是关于x 求导，用课本上的求导公式直接计算。

2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。 （即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。）

关于积分上限函数的理论

定理1如果)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在（a ，b ）上可积，而)(x f 可积，则?=x

a dt

t f x F )()(在],[b a 上连续。

定理2如果)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在（a ，b ）上可积。 定理3如果)(x f 在],[b a 上连续，则?=x

a dt t f x F )()(在],[

b a 上可导，而且有

).(])([)(x f dt t f dx d x F x

a

==

'? ==========================================

注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。这是积分上限函数的良好性质。而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。

（Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。

重要推论及计算公式：

推论1 )(])([x f dt t f dx d b

x -=? <变上限积分改变上下限，变号。>

推论2 )()]([])([)

(x x f dt t f dx

d x c ???'=? <上限是复合函数的情况求导。>

推论3 )()]([)()]([])([)

()

(x x f x x f dt t f dx d x x ??ψψψ?'-'=? <上下限都是变的时候，

用上限的减去下限的。>

题型中常见积分限函数的变形和复合情况：

（1）比如 ?-=x

dt t f t x x F 0)()()(

(被积函数中含x , 但x 可提到积分号外面来.)

在求)(x F '时，先将右端化为????-=-x

x

x

x

dt t tf dt t f x dt t tf dt t xf 0

)()()()(的形式，再对x 求

导。分离后左边的部分要按照(uv)＇=u ＇v + uv ＇进行求导！（重点） （2）比如 ?-=x

dt x t tf x F 0)()(

( f 的自变量中含x , 可通过变量代换将x 置换到f 的外面来)

在求)(x F '时，先对右端的定积分做变量代换x t u -=（把x 看作常数），此时，du dt =，0=t 时，x u -=；x t =时，0=u ，这样，)(x F 就化成了以u 作为积分变量的积分下限函数：

???---+=+=0

)()()()()(x

x

x

du u uf du u f x du u f u x x F ，然后再对x 求导。

( 3 ) 比如 ?=1

)()(dt xt f x F

(这是含参数x 的定积分,

在求)(x F '时，时，0=u ；1=t 时，x u =，于是，)(x F 就化成了以u 作为积分变量的积分上限函数：

?=x

du u f x x F 0

)(1)(，然后再对x 求导。

有积分限函数参与的题型举例 （1） 极限问题： 例1 ?

?-→x x x dt

t t t tdt

2

3

)sin (sin lim

2

（提示：0/0型，用洛必达法则，答：12）

例2 x

dt t x

x ?

+∞

→0

sin lim

（提示：洛必达法则求不出结果，用夹逼准则，0=<|sinx|=<1。 答：π

2

）

例3 已知极限1sin 1

lim

00=++-?→x x x dt c

t t a bx e ，试确定其中的非零常数.,,c b a

（答：.1,1,1==-=c b a ） （2） 求导问题

例4 已知 ??

?

??=-=??.

sin ,

)cos 1(00t

t udu y du u x 求.dx dy (参数方程，你懂的！答:)cos 1(2sin t t t -) 例5 已知 .0cos 0

=+??

xy

y

t tdt dt e 求

.dx

dy

(答: )cos()cos(xy x e xy y y

+-)

例6 求?-x

dt t x dx d 0

2)sin( (答: 2sin x )

例7 设)(x f 在),(+∞-∞内连续且,0)(>x f 求证 ??=x x

dt

t f dt t tf x 00)()()(? 在),0(+∞内单调增加. （同济高数课本Unit5-3例题7）

（3） 最大最小值问题

例8 在区间],1[e 上求一点ξ, 使得下图中所示的阴影部分的面积为最小.

(提示: 先将面积表达为两个变限定积分之和:??-+=e

x

x

dt t tdt x A )ln 1(ln )(1

, 然后求出)(x A ',

再求出其驻点. 答:e =ξ.)

例9 设0≥x ，

n 为正整数. 证明 ?-=x

n tdt t t x f 022sin )()( 的最大值不超过.)

32)(22(1

++n n

(提示:先求出函数的最大值点, 然后估计函数最大值的上界.)

(4) 积分问题

例10 计算?10)(dx x xf ，其中?=21sin )(x dt t

t

x f .

(提示: 当定积分的被积函数中含有积分上限函数的因子时, 总是用分部积分法求解, 且取

)(x u 为积分上限函数. 答: ).11(cos 21

-)

例11 设)(x f 在),(+∞-∞内连续, 证明

.])([))((0

???

=-x u

x

du dt t f du u x u f

(提示: 对右端的积分施行分部积分法.)

例12 设??

?

??><≤<-≤≤=.2,00,212,

10)(x x x x x x x f 求?=Φx dt t f x 0

)()(在),(+∞-∞内的表达式.

(说明: 这类题在概论课中求连续型随机变量的分布函数时会遇到. 求表达式时, 注意对任一取定的x , 积分变量t 在],0[x 内变动.

答: .2

1,21)2(211,102

1,00)(22????

????

?>≤<--≤≤<=Φx x x x x x x )

(5) 含有未知函数的变上限定积分的方程（称为积分方程）的求解问题 例13 设函数)(x ?连续，且满足

.)()()(0

??-+=x

x

x dt t x dt t t e x ??? 求).(x ?

(答: )sin (cos 2

1

)(x e x x x ++=

?) （说明：这类问题总是通过两端求导，将所给的积分方程化为微分方程，然后求解. 注意初值条件隐含在积分方程内. 答: x x x sin cos )(+=?）

例14 设)(x f 为正值连续函数, ,1)0(=f 且对任一0>x , 曲线)(x f y = 在区间],0[x 上的一段弧长等于此弧段下曲边梯形的面积, 求此曲线方程. (说明: 根据题设列出的方程将含有)(x f 的积分上限函数.

答: ))0(2

)(>+=

-x e e x f x

x (6) 利用积分上限函数构造辅助函数以证明积分不等式等.

例15 设)(),(x g x f 均在],[b a 上连续, 证明以下的Cauchy-Swartz 不等式:

.)()())()((222???≤b

a

b

a

b

a

dx x g dx x f dx x g x f

说明: 本题的通常证法是从不等式0)]()([≥-?b

a

dx x tg x f 出发, 由关于t 的二次函数非负的

判别条件即可证得结论. 但也可构造一个积分上限函数, 利用该函数的单调性来证明. 提示如下:

令.)()(])()([)(222????-=x

a

x

a

x

a

dt t g dt t f dt t g t f x F 则.0)(=a F

求出)(x F '并证明.0)(≤'x F 从而)(x F 单调减少, 于是得 .0)()(=≤a F b F 由此可得结论. 这种证法有一定的通用性. 例如下例.

例16 设)(x f 在[0,1]上连续且单调减少. 证明: 对任一,10<<λ 有

.)()(1

??

≥dx x f dx x f λλ

(提示: 即证

.1

)()(1

??

≥

dx x f dx

x f λ

λ

于是作,)()(0

x

dt t f x F x

?=

只需证)(x F 单调减少即

可得结论.)

利用积分上限函数构造辅助函数, 还常用于证明与微分中值定理有关 的某些结论. 比如下题.

例17 设)(),(x g x f 在],[b a 上连续. 求证: 存在),(b a ∈ξ, 使 ??=ξ

ξ

ξξa

b

dx x f g dx x g f )()()()(.

(提示: 令???=b

x

x a

dt t g dt t f x F )()()(. 对)(x F 在],[b a 上用Rolle 定理即可证得结论)

关于积分限函数的奇偶性与周期性

定理4 设()x f 连续，()()?=x

dt t f x 0?.如果()x f 是奇（偶）函数，则()x ?是偶（奇）函数；

如果()x f 是周期为T 的函数，且()00

=?T

dx x f ,则()x ?是相同周期的周期函数.

证 设()x f 奇, 则

()()()()()()()x du u f du u f u d u f dt t f x x

f x x u

t x ??==--=--=

=-??

??

-=-0

奇

,

即()x ?为偶函数.

设()x f 偶, 则

()()()()()()()x du u f du u f u d u f dt t f x x

f x

x u

t x ??-=-=--=--=

=-???

?

-=-0

偶

,

即()x ?为奇函数. 若()00

=?T

dx x f ，则

()()()()()()()x dt t f x dt t f dt t f dt t f T x T

T x x

x T x ???=+=+==+??

??

++0

,

即)(x ?为周期为T 的周期函数.

例18 设)(x f 在),(+∞-∞内连续, ?-=x

dt t f x t x F 0

)()2()(. 证明:

(a) 如果)(x f 是偶函数, 则)(x F 也是偶函数;

(b) 如果)(x f 是单调减少函数, 则)(x F 也是单调减少函数.

复变函数积分方法总结

复变函数积分方法总结
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复变函数积分方法总结
数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新
形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，
也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数：
z=x+iy i2=-1 ，x,y 分别称为 z 的实部和虚部，记作
x=Re(z),y=Im(z)。 arg z=θ? θ?称为主值 -π＜θ?≤π ，
Arg=argz+2kπ 。利用直角坐标和极坐标的关系式 x=rcosθ ，
y=rsinθ,故 z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式 eiθ=cosθ+isinθ。
z=reiθ。
1.定义法求积分：
定义：设函数 w=f(z)定义在区域 D 内，C 为区域 D 内起点为 A 终点
为 B 的一条光滑的有向曲线，把曲线 C 任意分成 n 个弧段，设分点为
A=z0 ，z1，…，zk-1，zk，…，zn=B，在每个弧段 zk-1 zk(k=1,2…n)上任
取一点?k 并作和式 Sn=
(zk-zk-1)=
?zk 记?zk= zk-
zk-1，弧段 zk-1 zk 的长度 =
{?Sk}(k=1,2…,n),当
0 时，
不论对 c 的分发即?k 的取法如何，Sn 有唯一的极限，则称该极限值为
函数 f(z)沿曲线 C 的积分为：
=
?zk
设 C 负方向(即 B 到 A 的积分记作)
.当 C 为闭曲线时，f(z)
的积分记作
(C 圆周正方向为逆时针方向)
例题：计算积分
,其中 C 表示 a 到 b 的任一曲

积分上限函数小结

小结 积分上限函数（或变上限定积分）()()x a F x f t dt =?的自变量是上限变量x ， 在求导时，是关于x 求导，但在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。弄清上限变量和积分变量的区别是对积分限函数进行正确运算的前提。 1．关于积分上限函数的理论 定理1 如果)(x f 在],[b a 上可积，则?=x a dt t f x F )()(在],[ b a 上连续. 定理 2 如果)(x f 在],[b a 上连续，则?=x a dt t f x F )()(在],[b a 上可导，且 ).(])([)(x f dt t f dx d x F x a == '? 注：（Ⅰ）从以上两个定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。这是积分上限函数的良好性质。而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数 )(x f '甚至不一定是连续的。 （Ⅱ）定理（2）也称为原函数存在定理。它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。定理（2）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。 推论1 )(])([x f dt t f dx d b x -=? 推论2 )()]([])([) (x x f dt t f dx d x c ???'=? 推论3 )()]([)()]([])([) ()(x x f x x f dt t f dx d x x ??ψψψ?'-'=? 2．积分限函数的几种变式 （1） 比如 ?-=x dt t f t x x F 0)()()( (被积函数中含x , 但x 可提到积分号外面来.) 在求)(x F '时，先将右端化为????-=-x x x x dt t tf dt t f x dt t tf dt t xf 0 )()()()(的形 式，再对x 求导。 （2）比如 ?-=x dt x t tf x F 0)()(

复变函数的积分及其计算方法

复变函数的积分及其计算方法 石睿 (北京林业大学工学院自动化10-1班,学号:101044118) 摘要：复变函数的积分是研究解析函数的一个重要工具,解析函数的很多重要性质都是通过复积分证明的。本文主要介绍柯西定理和柯西积分公式。 关键词：柯西定理；柯西积分公式 引言：首先介绍复积分的概念、性质和计算法，然后介绍解析函数积分的柯西积分定理及其推广——复合闭路定理. 在此基础上，建立柯西积分公式，然后利用这一重要公式证明解析函数的导数仍然是解析函数这一重要结论. 复积分的概念： 设C 是平面上一条光滑的简单曲线，其起点为A ，终点为B 。函数f(z)在C 上有定义。把曲线C 任意分成n 个小弧段。设分点为A=z 0,z 1,…,z n-1,z n =B,其中z k =x k +iyl k (k=0,1,2,…,n)，在每个弧段 zk-1zk 上任取一点ζ k =ξ k +i η k ，做合式k n k k n k k k k n Δz )f(ζ)z (z )f(ζ S ∑∑==-?=-?= 1 1 1，其中 k k k k k y i x z z z ?+?=-=?-1 。 记 当λ→0时，如果和式的极限存在，且此极限值不依赖与ζk 的选择，也不依赖对 C 的分法，那么就称此极限值为f(z)沿曲线C 自A 到B 的复积分，记作 复积分的计算方法： 复积分可以通过两个二元实变函数的线积分来计算 设 ???==,)(,)(:t y y t x x C .βα≤≤t 则???'+'+'-'=β α β α t t y t y t x u t x t y t x v i t t y t y t x v t x t y t x u z z f C d )}()](),([)()](),([{d )}()](),([)()](),([{d )( ?'+'+= β αt t y i t x t y t x iv t y t x u d )}()()]}{(),([)](),([{ |,|max 1k n k z ?=≤≤λ.)(lim d )(1 0k n k k C z f z z f ??=∑ ? =→ζλ

考研——积分上限的函数(变上限积分、变限积分)知识点全面总结

考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点 ()()x a F x f t dt =? 形如上式的积分，叫做变限积分。 注意点： 1、在求导时，是关于x 求导，用课本上的求导公式直接计算。 2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。 （即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。） 关于积分上限函数的理论 定理1如果)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在（a ，b ）上可积，而)(x f 可积，则?=x a dt t f x F )()(在],[b a 上连续。 定理2如果)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在（a ，b ）上可积。 定理3如果)(x f 在],[b a 上连续，则?=x a dt t f x F )()(在],[ b a 上可导，而且有 ).(])([)(x f dt t f dx d x F x a == '? ========================================== 注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。这是积分上限函数的良好性质。而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。 （Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。

复变函数与积分变换公式

复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.2 1i =-. 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ- 中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+??

复变函数经典例题

第一章例题 例1.1试问函数把平面上的下列曲线分别变成平面上的何种曲线？ （1）以原点为心，2为半径，在第一象项里的圆弧； （2）倾角的直线； （3）双曲线。 解设，则 因此 （1）在平面上对应的图形为：以原点为心，4为半径，在上半平面的半圆周。（2）在平面上对应的图形为：射线。 （3）因，故，在平面上对应的图形为：直线 。 例1.2设在点连续，且，则在点的某以邻域内恒不为0. 证因在点连续，则，只要，就有 特别，取，则由上面的不等式得 因此，在邻域内就恒不为0。 例1.3设 试证在原点无极限，从而在原点不连续。

证令变点，则 从而（沿正实轴） 而沿第一象限的平分角线，时，。 故在原点无确定的极限，从而在原点不连续。 第二章例题 例2.1在平面上处处不可微 证易知该函数在平面上处处连续。但 当时，极限不存在。因取实数趋于0时，起极限为1，取纯虚数而趋于零时，其极限为－1。故处处不可微。 例 2.2函数在满足定理2.1的条件，但在不可微。 证因。故 但

在时无极限，这是因让沿射线随 而趋于零，即知上式趋于一个与有关的值。 例2.3讨论的解析性 解因, 故 要使条件成立，必有，故只在可微，从而，处处不解析。例2.4讨论的可微性和解析性 解因, 故 要使条件成立，必有，故只在直线上可微，从而，处处不解析。 例2.5讨论的可微性和解析性，并求。 解因, 而 在复平面上处处连续且满足条件，从而在平面上处处可微，也处处解析。且 。 例2.6设确定在从原点起沿负实轴割破了的平面上且，试求 之值。 解设，则

由代入得 解得：，从而 。 例2.7设则 且的主值为。 例2.8考查下列二函数有哪些支点 (a) (b) 解（a）作一条内部含0但不含1的简单闭曲线, 当沿正方向绕行一周时,的辐角得到增量,的辐角没有改变, 即 从而 故的终值较初值增加了一个因子，发生了变化，可见0是的支点。同理1 也是其支点。 任何异于0，1的有限点都不可能是支点。因若设是含但不含0，1的简

复变函数积分方法总结

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复变函数积分方法总结 数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数： z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作 x=Re(z),y=Im(z)。 arg z=θ?θ?称为主值 -π＜θ?≤π， Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ。z=re iθ。1.定义法求积分： 定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0，z1，…，z k-1，z k，…，z n=B，在每个弧段z k-1 z k(k=1,2…n)上任取一点ξk并作和式S n=ξ(z k-z k-1)=ξ?z k记?z k= z k- z k-1， 弧段z k-1 z k的长度=,n),当0时，不论对c的分发即ξk的取法如何，S n有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z) 沿曲线C的积分为： =ξ?z k 设C负方向(即B到A的积分记作).当C为闭曲线时，f(z)的积分记作 (C圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分 ,其中C表示a到b的任一曲线。（1）解：当C为闭合曲线时，=0.

∵f(z)=1 S n=ξ(z k-z k-1)=b-a ∴ =b-a,即 =b-a. (2)当C为闭曲线时，=0. f(z)=2z;沿C连续，则积分存在，设ξk=z k-1,则 ∑1= （ ）(z k-z k-1) 有可设ξk=z k，则 ∑2= （ ）(z k-z k-1) 因为S n的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以 S n= (∑1+∑2)==b2-a2 ∴=b2-a2 1.2 定义衍生1：参数法： f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入得： = - vdy + i + udy 再设z(t)=x(t)+iy(t) (≤t≤) = 参数方程书写：z=z0+(z1-z0)t（0≤t≤1）；z=z0+re iθ，(0≤θ≤2π) 例题1：积分路线是原点到3+i的直线段 解：参数方程 z=（3+i）t =′ =(3+i)3 =6+i 例题2：沿曲线y=x2计算（ ）

变限积分确定的函数的性质及其应用

变限积分确定的函数的性质及应用 摘要 由变限定积分和变限反常积分定义的一类函数，有重要的理论价值和应用价值。本文给出了变限积分的定义及其性质，主要讨论变限积分的求导问题以及奇偶性周期性等方面问题，较系统地讨论了这类函数的性质,得到若干结果，并简要介绍了它们的几点应用。 关键词：变限积分；函数；可积；连续；收敛。

ABSTRACT Limited by the variable and variable limit integral improper integral defined a class of functions, there are important theoretical and practical value. In this paper, changing the definition and nature of limit points, discuss the derivation of integral limits change issues and other aspects of the periodic parity, more systematic discussion of the nature of such functions, by a number of results, and a brief introduction Some of their applications. Key word: variable limit integral, function, integral, continuity, convergence.

复变函数积分方法总结

复变函数积分方法总结 经营教育 乐享 [选取日期] 复变函数积分方法总结 数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数： z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。arg z=θ? θ?称为主值-π＜θ?≤π，Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式 e iθ=cosθ+isinθ。z=re iθ。 1.定义法求积分： 定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0，z1，…，

z k-1，z k，…，z n=B，在每个弧段z k-1 z k(k=1,2…n)上任取一点?k并作和式S n=?(z k-z k-1)=??z k记?z k= z k- z k-1，弧段z k-1 z k的长度 ={?S k}(k=1,2…,n),当0时，不论对c的分发即?k的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C的积分为： =??z k 设C负方向(即B到A的积分记作).当C为闭曲线时，f(z)的积分记作(C圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分,其中C表示a到b的任一曲线。（1）解：当C为闭合曲线时，=0. ∵f(z)=1 S n=?(z k-z k-1)=b-a ∴=b-a,即=b-a. (2)当C为闭曲线时，=0. f(z)=2z;沿C连续，则积分存在，设?k=z k-1,则 ∑1= （）(z k-z k-1) 有可设?k=z k，则 ∑2= （）(z k-z k-1) 因为S n的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以 S n= (∑1+∑2)==b2-a2 ∴=b2-a2 1.2 定义衍生1：参数法： f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入得：

复变函数极限

复变函数的极限 于秀芝 (渤海大学数学系辽宁锦州121000 中国) 摘要：这是一篇讨论复变函数极限的论文，把我们所熟悉的数学分析中实变函数极限的定义、定理、性质，推广到复变函数中，并加以证明。但是实变函数极限的定义、定理、性质，并不完全适用于复变函数。例如：复变函数的极限没有保序性、正性，复变函数没有左、右极限等等。同时，复变函数极限的定义与数学分析中的二元函数极限的定义相似，故它又具有二元函数的某些性质。本篇论文由四个方面组成。首先，我们讨论的是复变函数在某个定点时极限的定义，即描述性极限的定义和表达式极限的定义。其次，我们讨论的是复变函数极限的定理，如Heine定理、Cauchy 准则、复合函数极限的定理等等，并给出了详细的证明。再次，我们讨论的是复变函数极限的性质，即唯一性、绝对值的极限、局部有界性、四则运算法则等等，同时，我们也给了详细的证明。最后，我们讨论的是复变函数在无穷远点的极限。在这方面，我们将极限从有限的定点逐渐引入到无穷远点，进而给出了函数在无穷远点处极限的定义、运算法则、定理，并给予了相应的应用。 关键词：Heine 定理Cauchy 准则极限复数列 Complex variable function limit Yu Xiuzhi (Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract：This is a discussion about complex variable function limit paper. It promotes the definition, theorem, nature of the real variable function limit to the complex variable function limit and performs to prove it .But the definition, the theorem, the nature of the real variable function limit aren’t completely suitable for the complex variablefunction.For example, complex variable f unction limit doesn’t have order nature,positive nature , and complex variable function doesn’t have left limit and right limit , and so on . Simultaneously,the definition of the complex variable function limit and the definition of the dual function limit of mathematica lanalysis is similar.So it also has some natures of dual function limit.This paper has four aspects.First,We discuss the defination of the complex variable function in some apex time , namely the definition of description limit and the definition of expression limit.Next,we discuss the theorem of the complex variable function limit.For example ,Heine theorem, Cauchy criterion,the theorem of composite function limit,and so on. And it has produced the detailed proof. Once more,we discuss the nature of the complex variable function limit. Namely unique nature , absolute value limit nature ,partially having nature, mathematical operations principle nature ,and so on . At the same time, we have also gave the detailed proof. Finally ,we discuss the complex variable function limit in the infinite point. In this aspect, we gradually introduce the limit from the limited fixed point to the infinite point, and then we have produced the definition and the theorem of limit in the infinite point . And we have gave the corresponding application. Key words: Heine theorem Cauchy criterion Limit Duplicate sequence 一、复变函数极限的定义 1．定义

变上限定积分函数及其导数教案

高等数学教案 变上限定积分函数及其导数 教学内容：变上限定积分函数及其导数。 知识目标：使学生掌握变上限定积分函数的定义； 使学生了解原函数存在定理的证明； 使学生会熟练运用原函数存在定理求导数。 情感目标：通过原函数存在定理体会积分和微分之间的联系。 教学重点：通过对变上限定积分的掌握和原函数存在定理的结论会求 变上限定积分函数的导数。 教学难点：原函数存在定理的证明。 教学设计：对高职生来说，原函数存在定理的证明过程是本节课的难点，所以采用提前给出储备知识减弱学生负担，同时又辅以数形结合 来形象展示。对变上限积分函数的导数采用讲练结合来强化重点。 教学方法：讲练结合+任务驱动 教学过程： 一课程导入 在前面我们通过两个实例曲边梯形的面积和变速直线运动的路程引入了定积分的概念。求定积分的过程实际上是求和式的极限一般来说，根据定义求定积分计算是很复杂的，所以，必须寻求一种简单而有效的方法。牛顿-莱布尼兹在创建微积分时，就发现定积分和不定积分有密切的联系。我们第二讲要讲的牛顿-莱布尼兹公式，从而把求定积分的问题转化为求不定积分（既原函数）的问题，为人们计算定积分提供了简便的方法。本节课所要讲的原函数存在定理，在微分

和积分之间建立了关系，牛顿和莱布尼兹利用这种关系用来计算计算定积分，得出了著名的牛顿-莱布尼兹公式。 二 储备知识 引导学生复习下面一些知识点，为后面的知识做准备。 1 原函数：若)()(x f x =Φ'，则)(x Φ是)(x f 的一个原函数。 2 可导的概念：若x x f x ??→?)(lim 0存在 ，则)(x f 可导。 3 复合函数求导：)()())(((x u u f x u f dx d '?'= 4 定积分的积分区间可加性：dx x f dx x f dx x f b c b ???+=c a a )()()(。 5 定积分积分中值定理 ：)())(()(b a a b f dx x f b a ≤≤-=?ξξ。 三 给出课堂任务目标 给出本节课的任务目标，以便让学生明白本节课的主要任务。 本堂课主要有三个任务目标 ：1 掌握变上限积分函数的概念； 2 了解原函数存在定理的证明； 3 会熟练运用原函数存在定理求导数。 四 课程内容 1变上限定积分函数的概念 设)(x f 在],[b a 上连续，],[b a x ∈，则)(x f 在],[x a ，即定积分?x a dx x f )(存在，这样很容易混淆，又定积分的值与积分变量无关，我们把积分变量换成t,即得?x a dt f )t (。若固定积分下限a ，则对任意一个],[ b a x ∈，定积分?x a dt f )t (都有唯一的值与x 对应，所以?x a dt f )t (是上限变量x 的函数，称它为变上限定积分函数， 记作?=Φx a dt f x )t ()(。 从定积分的几何意义来解释变上限积分是x 的函数。

(完整版)复变函数与积分变换重要知识点归纳

复变函数复习重点 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+??

复变函数积分方法总结

复变函数积分方法总结内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）

复变函数积分方法总结 经营教育 乐享 [选取日期] 复变函数积分方法总结 数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数： z=x+iy i2=-1 ，x,y 分别称为z 的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。 arg z =θ? θ?称为主值 -π＜θ?≤π ，Arg=argz+2k π 。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcos θ ，y=rsin θ,故z= rcos θ+i rsin θ；利用欧拉公式e iθ=cos θ+isin θ。z=re i θ。 1.定义法求积分： 定义：设函数w=f(z)定义在区域D 内，C 为区域D 内起点为A 终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为A=z 0 ，z 1，…，z k-1， z k ，…，z n =B ，在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)

S n =∑f (?k )n k ?1(z k -z k-1)= ∑f (?k )n k ?1?z k 记?z k = z k - z k-1，弧段z k-1 z k 的长度 δ=max 1≤k ≤n {?S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c 的分发即?k 的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为： ∫f (z )dz c =lim δ 0 ∑ f (?k )n k ?1 ?z k 设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f (z )dz c ?.当C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f (z )dz c (C 圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。 （1） 解：当C 为闭合曲线时，∫dz c =0. ∵f(z)=1 S n =∑f (?k )n k ?1(z k -z k-1)=b-a ∴lim n 0 Sn =b-a,即1)∫dz c =b-a. (2)当C 为闭曲线时，∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续，则积分∫zdz c 存在，设?k =z k-1,则 ∑1= ∑Z n k ?1（k ?1）(z k -z k-1) 有可设?k =z k ，则 ∑2= ∑Z n k ?1（k ?1）(z k -z k-1) 因为S n 的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以 S n = (∑1+∑2)= ∑k ?1n z k (z k 2?z k ?12)=b 2-a 2 ∴ ∫2zdz c =b 2-a 2 1.2 定义衍生1：参数法： f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy 带入∫f (z )dz c 得： ∫f (z )dz c = ∫udx c - vdy + i ∫vdx c + udy 再设z(t)=x(t)+iy(t) (α≤t ≤β)

变上限积分求导

变上限定积分求导法则： 例如：原函数存在定理：()( )()0x f t dt f x ' =? 如果该函数()f t 再添一个变量x ，那么公式就变为 ()() ()()0 x x xf t dt f t dt xf x '=+? ? 相当于：x 是一个常数，提取在变上限定积分()0x f t dt ?的前面。 举例：（2008年高职升本试卷） 若()f x 在(),-∞+∞内连续，()()()02x F x x t f t dt =-? 证明：（1）若()f x 为奇函数，则()F x 为奇函数。 （2）若()f x 非增，则()F x 非减。 证明：（1）若()f x 为奇函数，则证明()()F x F x -+=0即可。 ()()()()002x x F x x t f t dt xf t dt ''????'=-=-??????????()02x tf t dt '?????? ? =()()()()()002x x f t dt xf x xf x f t dt xf x +-=-?? ()()()()00 2()x x F x x t f t dt x f t dt --''????'-=--=--????? ?????()02x tf t dt -'??????? =()()()()()0 ()(1)2()(1)x x f t dt x f x x f x f t dt xf x ---+-------=---?? 故：()()()()()()00 x x F x F x f t dt xf x f t dt xf x -''+-=----?? ()()()0 0 0x x x x f t dt f t dt f t dt --=+==??? 由拉格朗日定理，可知：()() F x F x C ''+-≡（C 为常数） 当0x =时代入，可得：()()F x F x -+=0。 （2）若()f x 非增，则证明()0F x '>。 由()F x '= ()()0 x f t dt xf x -?

变限积分函数的性质及其应用

404 §3 变限积分函数的性质及其应用 由于定积分概念是利用极限工具给出的，所以利用定积分的定义计算定积分是十分困难的，有时甚至是不可能的。为了让定积分概念能得到实际应用，必须寻找简便有效的计算定积分的方法，那么我们必须探求定积分更加深刻的性质。本节将介绍两个重要的定理，通过沟通定积分与不定积分的关系，给出了一个解决定积分计算问题的有效途径。 3.1 变限积分 定积分有一个十分特殊而重要的性质，它对进一步考察微分和积分的关系起十分关键的作用。但需要先介绍一个概念： 注 由于 ?? -=x b b x dt t f dt t f )()(，因此，只要讨论变上限函数即可。 证 利用连续函数的定义及定积分的性质即可证得。 对[a ，b ]上的任一点x ，只要[],x x a b +?∈，按照Φ的定义有 ()()x x x a a x x x fdt f dt +??Φ=Φ+?-Φ=- ? ? 。 又函数 )(x f 在[a ， b ]上可积，则)(x f 在[a ， b ]上有界，即存在正数M ，对 一切[],x a b ∈有()f x M ≤。又当0x ?≥时有 x x x x x x x x x f d t f d t M d t M x +?+?+??Φ=≤≤=?? ? ? 。

405 又不难验证，当0x ?<时，上述不等式M x ?Φ≤?仍然成立。从而有 lim 0x ?→?Φ=。这就证得Φ 在[],a b 上的连续性。 3.2 微积分学基本定理 1 变限积分的可微性 ——微积分学基本定理 当函数得可积性问题获得解决后，接着是要找到一种计算定积分得有效方法。下面将通过揭示定积分与不定积分之间的内在联系来完成这一任务。下面的两个定理，由于所起的重要作用而被称为微积分学基本原理。 证 ],[b a x ∈?，任取0≠?x ，且],[b a x x ∈?+，则 ? ? - = Φ-?+Φ=?Φ?+x a x x a t d t f t d t f x x x )()()()( ? ? ? ? ?+?+= - + = x x x x a x x x x a t d t f t d t f t d t f t d t f )()()()(， 由积分中值定理知，存在ξ 介于x 与x +?x 之间，使得 x f ?=?Φ)(ξ， 由于x x →?→ ?ξ0，再由导数定义及)(x f 的连续性知 )()(lim )(lim lim )(00x f f f x x x x x ===??Φ =Φ'→→?→?ξξξ。 注 (1) 当],[b a C f ∈时， ? = Φx a dt t f x )()(可导且在点∈x ] , [b a 的导数 恰为被积函数在上限的值。 亦即 )(x Φ是)(x f 的一个原函数。即连续函数必有原函数，因此定理1又称原函数存在定理。 (2) 变上限函数与分段函数有点类似，是一个难点，从而也是一个考试的热点，它常与极限、求导、最值等知识结合出现形成综合性的题目，应与重视。我们将这里拓宽一下。 若)(x ?可导，则)(x ?与变上限函数)(x Φ构成了复合函数?) ()(x a t d t f ?，由复 合函数求导法则知

关于积分上限函数的小结

关于积分上限函数 积分上限函数（或变上限定积分）()()x a F x f t dt =?的自变量是上限变量x ， 在求导时，是关于x 求导，但在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。弄清上限变量和积分变量的区别是对积分限函数进行正确运算的前提。 1． 关于积分上限函数的理论 定理1 如果)(x f 在],[b a 上可积，则?=x a dt t f x F )()(在],[ b a 上连续. 定理2 如果)(x f 在],[b a 上连续，则?=x a dt t f x F )()(在],[b a 上可导，且 ).(])([)(x f dt t f dx d x F x a == '? 注：（Ⅰ）从以上两个定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。这是积分上限函数的良好性质。而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数 )(x f '甚至不一定是连续的。 （Ⅱ）定理（2）也称为原函数存在定理。它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。定理（2）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。 推论1 )(])([x f dt t f dx d b x -=? 推论2 )()]([])([) (x x f dt t f dx d x c ???'=?

推论3 )()]([)()]([])([) ()(x x f x x f dt t f dx d x x ??ψψψ?'-'=? 2． 积分限函数的几种变式 （1） 比如 ?-=x dt t f t x x F 0)()()( (被积函数中含x , 但x 可提到积分号外面来.) 在求)(x F '时，先将右端化为????-=-x x x x dt t tf dt t f x dt t tf dt t xf 0 )()()()(的形 式，再对x 求导。 （2）比如 ?-=x dt x t tf x F 0)()( ( f 的自变量中含x , 可通过变量代换将x 置换到f 的外面来) 在求)(x F '时，先对右端的定积分做变量代换x t u -=（把x 看作常数），此时， du dt =，0=t 时，x u -=；x t =时，0=u ，这样，)(x F 就化成了以u 作为 积分变量的积分下限函数： ???---+=+=0 00)()()()()(x x x du u uf du u f x du u f u x x F ，然后再对x 求导。 ( 3 ) 比如 ?=1 )()(dt xt f x F (这是含参数x 的定积分, 可通过变量代换将x 变换到积分限的位置上去) 在求)(x F '时，先对右端的定积分做变量代换xt u =（把x 看作常数），此时， x du dt = ，0=t 时，0=u ；1=t 时，x u =，于是，)(x F 就化成了以u 作为积分变量的积分上限函数：?=x du u f x x F 0)(1)(，然后再对x 求导。 3． 有积分限函数参与的题型举例 （1） 极限问题： 例1 ?? -→x x x dt t t t tdt 2 3 )sin (sin lim 2 （答：12）

关于积分上限函数的小结.doc

关于积分上限函数 积分上限函数(或变上限定积分)F(x)= 的自变量是上限变量兀， Ja 在求导时，是关于兀求导，但在求积分时，则把兀看作常数，积分变量r在积分区间上变动。弄清上限变量和积分变量的区别是对积分限函数进行正确运算的前提。 1.关于积分上限函数的理论 定理1如果/(X)在［。,饲上可积，则F(X)= ( 在［a,h］上连续. 定理2如果/⑴在［a.b］±连续，则F(x)=［f(t)dt在⑷切上可导，且r(x) = ￡［f/(r)t/z］= /(%). 注：(I)从以上两个定理可看出，对门力作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。这是积分上限函数的良好性质。而我们知道，可导函数/(兀)经过求导后，其导函数广(兀)甚至不一定是连续的。 (n)定理(2)也称为原函数存在定理。它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。定理(2)把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。 推论1 = -/(%) 推论2 f I=川0⑴］0(0 dx 4 推论3 ⑴如=⑴］0⑴一/"⑴］0(兀)

2.积分限函数的几种变式 (1)比如F(x) = ^(x-t)f(t)dt (被积函数中含X,但X可提到积分号外面来.) 在求”(兀)时，先将右端化为f xf^dt -［=⑴刃的形式，再对尢求导。 (2)比如F(x)= ^tf(t-x)dt (f的自变量中含X,可通过变量代换将X置换到f的外面来) 在求F(力时，先对右端的定积分做变量代换u=t-x(把兀看作常数)，此时, dt = du , / = 0时，w = -x ; t = x时，w = 0 ,这样，FO)就化成了以”作为积分变量的积分下限函数：F(x) = f (x + u)f(u)du = x f(u)du + uf(u)du ,然后再对x求导。 J-x J-x 丄JV (3)比如F(x) = ^f(xt)dt (这是含参数x的定积分，可通过变量代换将x变换到积分限的位置上去) 在求F(力时，先对右端的定积分做变量代换u = xt(把兀看作常数)，此时, dt = —y t = 0时,w = 0 ; t = 1时,u = x ,于是，F(x)就化成了以“作为积 x 分变量的积分上限函数：F(兀) = ￡(/(u)du ,然后再对x求导。 3.有积分限函数参与的题型举例 (1)极限问题： .2 3 f sin 2 tdt 例1 lini ------------------ (答：12) ' >0 ￡ t(t - sin t)dt