线性代数模拟试题及答案
《线性代数期末模拟试题一》
（填成立或不成立）。
3. 设〉1厂2,〉3均为3维列向量，记矩阵A =（：1,：2,：3）,记矩阵
（填行或列）初等变换而得到。
、填空（本题20分每小题2分）
1?设det （a j ）为四阶行列式 若M 23表示元素a 23的余子式，A 23表示元素a 23的代
数余子式，则 M 23 + A 23= ___________
a 11
2.三阶行列式 0 a 22
a
31
a
i3
0中只有位于两条对角线上的元素均不为零, a
33
则该
三阶行列式的所有项中有
_________ 项不为零，这一结论对n 阶行列式
‘2 1
、
4.设矩阵A = 0 3 B =
<_1 2」
r
1 7 -2
5
4丿
且矩阵C 二AB ，所以矩阵 C 一定可以由矩阵B 经过
5.设矩阵A 可逆, 1 4 2
7 2 0 -1 3 1
B =(〉1 -2〉2, >2 ? >3, >1 一 >3
6.设向量组0102,4304，若只（01,。203）=2 只（。2巴3,。4）=3,贝U。1 一定7 ?非齐次线性方程组Ax = b有唯一的解是对应的齐次方程组Ax = O只有零解的充分但不必要条件。
可以由向量唯一的线性表示。
8?设3阶矩阵A的行列式A =0，则矩阵A一定有一个特征值。
9. n阶矩阵A有n个特征值1, 2,…，n , n阶矩阵B与A相似，则B -
10.向量组: P：；1,山2］；1,(填是或不是)向量空间R2一个规范正交基
、单项选择(本题10分，每小题2分)
注意：请务必将你的选择题的答案按要求填入下表，否则答案无效!
1. 设矩阵A为n阶方阵，则关于非齐次线性方程组Ax二b的解下列说法() 不正确
(A)若方程组有解，则系数行列式A=0;
(B)若方程组无解，则系数行列式 A =0;
(C)若方程组有解，则或者有唯一解或者有无穷多解
(D) 系数行列式A H O 是方程组有唯一解的充分必要条件 2. 设A 为n 阶可逆矩阵，下列正确的是( )
(A) (2A)T =2A T ；
(B) (2A)」=2A ，；
(C) [(A 」)f [(A T )]J ； (D) [(A T )T ]J =[(A 」)」]T O
3. 奇异方阵经过( )后，矩阵的秩有可能改变。 (A)
初等变换； (B) 左乘初等矩阵；
(C)左、右同乘初等矩阵； (D) 和一个单位矩阵相加。
4 ?设非齐次线性方程组Ax 二b 的系数矩阵A 是4 5矩阵，且A 的行向量组线性 无关，则有( )。
(A) A 的列向量组线性无关；
(B) 增广矩阵B 的行向量组线性无关；
(C) 增广矩阵B 的任意4个列向量组线性无关； (D) 增广矩阵B 的列向量组线性无关。
5?设，=2是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵1
A 2 有一个特征值为( )
2丿 '7
(A) 4/3 ； (B) 3/4 ； (C) 1/2； (D) 1/4 三、计算(2道题，共16 分)
M “，M 32,M 33,M 34分别是第三行各个元素的对应的余子式)
4 0
2
2 2
-7 0 0 ，求 M 31 + M 32 + M 33 + M 34 (其中 3
-2 2
3 2 1 ?设行列式
D= 0
广 1 0 1'
已知A , B 为3阶矩阵，E 表示3阶单位阵，且A= 0
2 0
^1 0 b
（1）求A’ ；（2）证明矩阵（A-E ）为逆矩阵； （3）若矩阵A ，B 满足AB
A 2
B ，证明A E 。
问k 取何值时，方程组
X 1 X 2
X 1 3X 2 6X 3 X 4
3咅 - X 2 - kx
3
15X 4
X [ - 5X 2 - 10X 3 12X 4 二 1
1?有唯一解；2?有无穷多解，并求通解。
五、（本题12分）
1 1 1 b 1 a 1 % b 2
b 2 a 2
2?计算
-■-
---
b n-1
b
n_1
b n_
1
b n
b n
b n
四、（本题12分）
得分
1 1
a 1… a 1
a 2
…
a 2
■--
(nX1)
b
nV …
a
n —1
b n …
a n
n+1
2X 3 3X 4 二 1
二 3
二 3
六、（本题10分）
向量组A : a 1^t 2^（3^（4,由四个向量组成，其中
■V
1
-3
2
—6 a
1 = 1 ，口
2 = 5 ，
3 =
-1 ，a 4 = 10
6
<1」
<4 J
<2」
求: （ 1）向量组A 的秩RA ; （2）向量组A 线性相关性；（3）向量组A 的一个最 大无关组。
已知二次型 f (x 1
,x 2,x 3^x 12 x2 xl 2ax 2x 3 - 2x 1x 3 (其中 a 为待定系 数）经过正交变换x =Py 化为f =2y ； - y l ，试回答下列问题:
（1） 写出二次型的矩阵A 可以含待定系数a ； （2） 写出A 的全部特征值；
⑶利用（1）、（2）求出a 的值
在R 3中，取两组基
:组：：1=(1,0,-1)丁，:- 2=(1,-1,0)丁，: 3=(0,1,-2)T ［组：=(2,1,0)T ，
-2 ^-1,2,1)T ，飞二(1,1,0)T
七、（本题10分）
八、（本题5 分）
若向量
b 在基-，:匕，下的坐标为1, -1, -1，求它在基一：1「2「3下的坐标
九、（本题5分）得分