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全等三角形9种经典几何模型

初中数学几何模型

【模型1】倍长

1、倍长中线；

2、倍长类中线；

3、中点遇平行延长相交

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【模型2】遇多个中点，构造中位线

1、直接连接中点；

2、连对角线取中点再相连

【例1】在菱形ABCD 和正三角形BEF 中，∠ABC =60°，G 是DF 的中点，连接GC 、GE ．（1）如图1，当点E 在BC 边上时，若AB =10，BF =4，求GE 的长；

（2）如图2，当点F 在AB 的延长线上时，线段GC 、GE 有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想；并给予证明；

（3）如图3，当点F 在CB 的延长线上时，(2)问中关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明.

图1D

【例2】如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 上一点，连接DE 、EF ，且AE =AF ，BAF DAE ∠=∠． (1)求证：CE =CF ；

(2)若?=∠120ABC ，点G 是线段AF 的中点，连接DG ，EG ．求证：DG 上GE ．

E C

D O C

【例3】如图，在四边形ABCD 中，AB =CD ，E 、F 分别为BC 、AD 中点，BA 交EF 延长线于G ，CD 交EF 于H ．求证：∠BGE =∠CHE ．

A B

【模型1】构造轴对称

【模型2】角平分线遇平行构造等腰三角形

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【例4】如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 边于E ，EF ⊥AE 交CD 边于F ，交AD 边于H ，延长BA 到点G ，使AG =CF ，连接GF ．若BC =7，DF =3，EH =3AE ，则GF 的长为.

【条件】OA OB OC OD AOB COD ==∠=∠，，

【结论】OAC OBD ?；AEB OAB COD ∠=∠=∠（即都是旋转角）；OE AED ∠平分；

A B E

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【例5】如图，正方形ABCD 的边长为6，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 在CD 上，且DE =2CE ，过点C 作CF ⊥BE ，垂足为F ，连接OF ，则OF 的长为 .

【例6】如图，ABC 中，90BAC ?∠=，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，点E 在AC 边上，连结BE ，AG ⊥BE 于F ，交BC 于点G ，求DFG ∠

D C

【例7】如图，在边长为62ABCD 中，E 是AB 边上一点，G 是AD 延长线上一点，BE ＝DG ，连接EG ，CF ⊥EG 于点H ，交AD 于点F ，连接CE 、BH 。若BH ＝8，则FG ＝.

18题图

E D

【模型1】

【条件】如图，四边形ABCD 中，AB =AD ，180BAD BCD ABC ADC ?∠+∠=∠+∠= 【结论】AC 平分BCD ∠

【模型2】

【条件】如图，四边形ABCD 中，AB =AD ，90BAD BCD ?∠=∠= 【结论】452ACB ACD BC CD ?

∠=∠=+=

① ②

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

【例

8】如图，矩形ABCD 中，AB =6，AD =5，G F ，则

D A

B DF 为.

【例9】如图，正方形ABCD 的边长为3，延长CB 至点M ，使BM =1，连接AM ，过点B 作BN AM ⊥，垂足为N ，O 是对角线AC 、BD 的交点，连接ON ，则ON 的长为.

【例10】如图，正方形ABCD 的面积为64，BCE F 是CE 的中点，AE 、BF 交于点G ，则DG 的长为.

【模型1】

【条件】如图，四边形ABCD 中，180BAD BCD ABC ADC ?∠+∠=∠+∠=，

2EAF BAD E BC F CD ∠=∠，点在直线上,点在直线【结论】BE DF EF 、、满足截长补短关系

【模型2】【条件】在正方形ABCD 中，已知E 、F 分别是边BC 、CD 、

AF 分别与对角线BD 交于点M 、N . 【结论】

(1) BE +DF =EF ；(2) S △ABE +S △ADF =S △AEF ；(3) AH =AB ；(4) C (5) BM 2+DN 2=MN 2；

(6) △ANM ∽△DNF ∽△BEM ∽△AEF ∽△BNA ∽△DAM ；

(由AO ：AH =AO ：AB =1：2可得到△ANM 和△AEF 的相似比为1：2)； (7) S △AMN =S 四边形MNFE ；(8) △AOM ∽△ADF ，△AON ∽△ABE ； (9) △AEN 为等腰直角三角形，∠AEN =45°；△AFM 为等腰直角三角形，∠AFM =45°. (1. ∠EAF =45°；2.AE ：AN =1：2)；

(10)A 、M 、F 、D 四点共圆，A 、B 、E 、N 四点共圆，M 、N 、F 、C 、E 五点共圆.

【模型2变型】

【条件】在正方形ABCD 中，已知E 、F 分别是边CB 、=45° 【结论】BE +EF =DF 【模型2变型】【条件】在正方形ABCD 中，已知E 、F 分别是边CB 、=45°

【结论】DF +EF =BE

【例11】如图，ABC ?和DEF ??，DEF ?的顶点E 与ABC ?的斜边BC 的中点重合．将线段DE 与线段AB 相交于点P ，射线EF 与线段AB ．若

AQ =12，BP =3，则PG =.

全等三角形常见的几何模型图文稿

全等三角形常见的几何模型集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）

1、绕点型（手拉手模型）（1）自旋转：???????，造中心对称遇中点旋全等遇等腰旋顶角，造旋转，造等腰直角旋遇，造等边三角形旋遇自旋转构造方法0000 018090906060 （2）共旋转（典型的手拉手模型）例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和 △ BCE ，连接AE 与CD ，证明：（1） △ABE ≌△DBC （2） A E=DC （3） A E 与DC 的夹角为60。（4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB （6） B H 平分∠AHC （7） G F ∥AC 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：（1） △ABE ≌△DBC （2） A E=DC （3） A E 与DC 的夹角为60。（4） A E 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC 变式练习2、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： (1)△ABE ≌△DBC (2)AE=DC (3)AE 与DC 的夹角为60。（4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC

3、（1）如图1，点C是线段AB上一点，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边△ACM和△CB N，连接AN，BM．分别取BM，AN的中点E，F，连接CE，CF，EF．观察并猜想△CEF的形状，并说明理由．（2）若将（1）中的“以AC，BC为边作等边△ACM和△CBN”改为“以AC，BC为腰在AB的同侧作等腰△ACM和△CBN，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．例4、例题讲解： 1. 已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B,C重合），以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF. (1)如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF②AC=CF+CD. (2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD 之间存在的数量关系。 2、半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。例1、如图，正方形ABCD的边长为1，AB,AD上各存在一点P、Q，若△APQ的周长为2，求PCQ 的度数。

全等三角形地经典模型(一)

作弊？漫画释义三角形9级全等三角形的经典模型（二）三角形8级全等三角形的经典模型（一）三角形7级倍长中线与截长补短满分晋级 3 全等三角形的经典模型（一）

D C B A 45°45° C B A 等腰直角三角形数学模型思路： ⑴利用特殊边特殊角证题（AC=BC 或904545??°，，）.如图1； ⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2； ⑶补全为正方形.如图3，4. 图1 图2 图3 图4 思路导航知识互联网题型一：等腰直角三角形模型

A B C O M N A B C O M N 【例1】已知：如图所示，Rt △ABC 中，AB =AC ，90BAC ∠=°，O 为BC 的中点， ⑴写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的关系（不要求证明） ⑵如果点M 、N 分别在线段AC 、AB 上移动，且在移动中保持 AN =CM .试判断△OMN 的形状，并证明你的结论. ⑶如果点M 、N 分别在线段CA 、AB 的延长线上移动，且在移动中保持AN =CM ，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明．【解析】 ⑴OA =OB =OC ⑵连接OA , ∵OA =OC 45∠=∠=BAO C ° AN =CM ∴△ANO ≌△CMO ∴ON =OM ∴∠=∠NOA MOC ∴90∠+∠=∠+∠=?NOA BON MOC BON ∴90∠=?NOM ∴△OMN 是等腰直角三角形 ⑶△ONM 依然为等腰直角三角形，证明：∵∠BAC =90°，AB =AC ，O 为BC 中点 ∴∠BAO =∠OAC =∠ABC =∠ACB =45°， ∴AO =BO =OC ， ∵在△ANO 和△CMO 中， AN CM BAO C AO CO =?? ∠=∠??=? ∴△ANO ≌△CMO （SAS ） ∴ON =OM ，∠AON =∠COM ，又∵∠COM -∠AOM =90°， ∴△OMN 为等腰直角三角形．【例2】两个全等的含30o ，60o 角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，,,E A C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 的中点M ，连接ME ，MC ．试判断EMC △的形状，并说明理由．【解析】EMC △是等腰直角三角形．典题精练 A B C O M N M E D C B A

全等三角形经典模型总结

全等三角形相关模型总结一、角平分线模型 (一）角平分线的性质模型辅助线：过点G作GE⊥射线AC A、例题 1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB 的距离是cm. 2、如图，已知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC. B、模型巩固 1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A＋∠C＝180°.

（二）角平分线＋垂线，等腰三角形必呈现 A、例题辅助线：延长ED交射线OB于F 辅助线：过点E作EF∥射线OB 例1、如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F . 求证： 1 () 2 BE AC AB =-. 例2、如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，且AB＝AD，作CM⊥AD交 AD的延长线于M. 求证： 1 () 2 AM AB AC =+.

（三）角分线，分两边，对称全等要记全两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B，使OB＝OA，从而使△OAC≌△OBC . A、例题 1、如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC 交AC于Q，求证：AB＋BP＝BQ＋AQ . 2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由.

B、模型巩固 1、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，P是线段AD上任意一点（不与A重合）. 求证：AB－AC＞PB－PC . 2、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分线交AC于D，求证：AD＋BD＝BC . 3、如图，△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于D，求证：AC＋CD＝AB .

学而思初二数学秋季班第3讲.全等三角形的经典模型(一).提高班.教师版

1 初二秋季·第3讲·提高班·教师版作弊？三角形9级全等三角形的经典模型（二）三角形8级全等三角形的经典模型（一）三角形7级倍长中线与截长补短满分晋级漫画释义 3 全等三角形的经典模型（一）

2 D C B A 45°45° C B A 等腰直角三角形数学模型思路： ⑴利用特殊边特殊角证题（AC=BC 或904545??°，，）.如图1； ⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2； ⑶补全为正方形.如图3，4. 图1 图2 图3 图4 思路导航知识互联网题型一：等腰直角三角形模型

3 初二秋季·第3讲·提高班·教师版 A B C O M N A B C O M N 【例1】已知：如图所示，Rt △ABC 中，AB =AC ，90BAC ∠=°，O 为BC 的中点， ⑴写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的关系（不要求证明） ⑵如果点M 、N 分别在线段AC 、AB 上移动，且在移动中保持 AN =CM .试判断△OMN 的形状，并证明你的结论. ⑶如果点M 、N 分别在线段CA 、AB 的延长线上移动，且在移动中保持AN =CM ，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明．【解析】 ⑴OA =OB =OC ⑵连接OA , ∵OA =OC 45∠=∠=BAO C ° AN =CM ∴△ANO ≌△CMO ∴ON =OM ∴∠=∠NOA MOC ∴90∠+∠=∠+∠=?NOA BON MOC BON ∴90∠=?NOM ∴△OMN 是等腰直角三角形 ⑶△ONM 依然为等腰直角三角形，证明：∵∠BAC =90°，AB =AC ，O 为BC 中点 ∴∠BAO =∠OAC =∠ABC =∠ACB =45°， ∴AO =BO =OC ， ∵在△ANO 和△CMO 中， AN CM BAO C AO CO =?? ∠=∠??=? ∴△ANO ≌△CMO （SAS ） ∴ON =OM ，∠AON =∠COM ，又∵∠COM -∠AOM =90°，典题精练 A B C O M N

全等三角形9种经典几何模型

1 初中数学几何模型【模型1】倍长 1、倍长中线； 2、倍长类中线； 3、中点遇平行延长相交 E A B C F A B C ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【模型2】遇多个中点，构造中位线 1、直接连接中点； 2、连对角线取中点再相连【例1】在菱形ABCD 和正三角形BEF 中，∠ABC =60°，G 是DF 的中点，连接GC 、GE ．（1）如图1，当点E 在BC 边上时，若AB =10，BF =4，求GE 的长；（2）如图2，当点F 在AB 的延长线上时，线段GC 、GE 有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想；并给予证明；（3）如图3，当点F 在CB 的延长线上时，(2)问中关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明. 图1D F D 【例2】如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 上一点，连接DE 、EF ，且AE =AF ，BAF DAE ∠=∠． (1)求证：CE =CF ； (2)若?=∠120ABC ，点G 是线段AF 的中点，连接DG ，EG ．求证：DG 上GE ．

2 E C O D E C O D O C 【例3】如图，在四边形ABCD 中，AB =CD ，E 、F 分别为BC 、AD 中点，BA 交EF 延长线于G ，CD 交EF 于H ．求证：∠BGE =∠CHE ． H G E F A B D C 【模型1】构造轴对称【模型2】角平分线遇平行构造等腰三角形 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【例4】如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 边于E ，EF ⊥AE 交CD 边于F ，交AD 边于H ，延长BA 到点G ，使AG =CF ，连接GF ．若BC =7，DF =3，EH =3AE ，则GF 的长为. H G F E A D B C 【条件】OA OB OC OD AOB COD ==∠=∠，，【结论】OAC OBD ?；AEB OAB COD ∠=∠=∠（即都是旋转角）；OE AED ∠平分；

全等三角形的经典模型(一)

作弊？满分晋级三角形9级全等三角形的经典模型（二）三角形8级全等三角形的经典模型（一）三角形7级倍长中线与截长补短漫画释义 3 全等三角形的经典模型（一）

45°45° C B A 等腰直角三角形数学模型思路： ⑴利用特殊边特殊角证题（AC=BC 或904545??°，，）.如图1； ⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2； ⑶补全为正方形.如图3，4. 图1 图2 图3 图4 知识互联网思路导航题型一：等腰直角三角形模型 D C B A

【例1】已知：如图所示，Rt △ABC 中，AB =AC ，90BAC ∠=°，O 为BC 的中点， ⑴写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的关系（不要求证明） ⑵如果点M 、N 分别在线段AC 、AB 上移动，且在移动中保持 AN =CM .试判断△OMN 的形状，并证明你的结论. ⑶如果点M 、N 分别在线段CA 、AB 的延长线上移动，且在移动中保持AN =CM ，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明．【解析】 ⑴OA =OB =OC ⑴连接OA , ⑴OA =OC 45∠=∠=BAO C ° AN =CM ⑴⑴ANO ⑴⑴CMO ⑴ON =OM ⑴∠=∠NOA MOC ⑴90∠+∠=∠+∠=?NOA BON MOC BON ⑴90∠=?NOM ⑴⑴OMN 是等腰直角三角形 ⑴⑴ONM 依然为等腰直角三角形，证明：⑴⑴BAC =90°，AB =AC ，O 为BC 中点 ⑴⑴BAO =⑴OAC =⑴ABC =⑴ACB =45°， ⑴AO =BO =OC ， ⑴在⑴ANO 和⑴CMO 中， AN CM BAO C AO CO =?? ∠=∠??=? ⑴⑴ANO ⑴⑴CMO （SAS ）典题精练 A B C O M N A B C O M N A B C O M N

全等三角形的经典模型(一)

D C B A 45°45° C B A 作弊？等腰直角三角形数学模型思路： ⑴利用特殊边特殊角证题（AC=BC 或904545??°，，）.如图1； ⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2； ⑶补全为正方形.如图3，4. 思路导航知识互联网漫画释义三角形9级全等三角形的经典模三角形8级三角形7级满分晋级 3 全等三角形的经典模型（一）题型一：等腰直角三角形模型

A B C O M N A B C O M N 图 1 图2 图3 图4 【例1】已知：如图所示，Rt △ABC 中，AB =AC ，90BAC ∠=°，O 为BC 的中点， ⑴写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的关系（不要求证明） ⑵如果点M 、N 分别在线段AC 、AB 上移动，且在移动中保持 AN =CM .试判断△OMN 的形状，并证明你的结论. ⑶如果点M 、N 分别在线段CA 、AB 的延长线上移动，且在移动中保持AN =CM ，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明．【解析】 ⑴OA =OB =OC ⑵连接OA , ∵OA =OC 45∠=∠=BAO C ° AN =CM ∴△ANO ≌△CMO ∴ON =OM ∴∠=∠NOA MOC ∴90∠+∠=∠+∠=?NOA BON MOC BON 典题精练

∴90∠=?NOM ∴△OMN 是等腰直角三角形 ⑶△ONM 依然为等腰直角三角形，证明：∵∠BAC =90°，AB =AC ，O 为BC 中点 ∴∠BAO =∠OAC =∠ABC =∠ACB =45°， ∴AO =BO =OC ， ∵在△ANO 和△CMO 中， ∴△ANO ≌△CMO （SAS ） ∴ON =OM ，∠AON =∠COM ，又∵∠COM -∠AOM =90°， ∴△OMN 为等腰直角三角形．【例2】两个全等的含30o ，60o 角的三角板ADE 和三角板 ABC ，如图所示放置，,,E A C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 的中点M ，连接ME ，MC ．试判断EMC △的形状，并说明理由．【解析】EMC △是等腰直角三角形．证明：连接AM ．由题意，得 ∴DAB △为等腰直角三角形. ∵DM MB =， ∴,45MA MB DM MDA MAB ==∠=∠=o ． ∴105MDE MAC ∠=∠=o ， ∴EDM △≌CAM △． ∴,EM MC DME AMC =∠=∠． A B C O M N M E D C B A M E D C B A

初二数学全等三角形经典模型及例题详解

辅助线模型考点分析：全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础。判断三角形全等的公理有 SAS、ASA、AAS、SSS 和 HL，如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。一些较难的证明题要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。典型例题人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。全等三角形辅助线找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种：（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。例1：如图，Δ ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD 平分∠ABC交AC 于点D，CE 垂直于 BD，交BD 的延长线于点E。求证：BD=2CE。思路分析： 1）题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用

2）解题思路：要求证 BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有 BD 平分∠ABC 的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。解答过程：证明：延长BA，CE 交于点F，在ΔBEF 和ΔBEC 中， ∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°， ∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而CF=2CE。又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。在ΔABD 和ΔACF 中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°， ∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。解题后的思考：等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应用不但可以提高解题的能力，而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系，为同学们开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想，它是解决问题的关键。（2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。例2：如图，已知ΔABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AD 又是BC 边上的中线。求证：ΔABC 是等腰三角形。思路分析： 1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识。 2）解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了AD 又是BC 边上的中线这一条件，而且要求证AB=AC，可倍长AD 得全等三角形，从而问题得证。解答过程：

完整word版,初中三角形全等之旋转和对称经典模型

一?旋转的定义在平面内，将一个图形绕一个定点0沿某个方向转动一个角度，就叫做图形的旋转，定点0称为旋转中心，转动的角称为旋转角；二?旋转的性质（1 ）旋转前后的图形全等；即对应线段相等，对应角相等. （2）对应点到旋转中心的距离相等. （3 ）任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角. 三.旋转对称图形把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角大于0°，小于360 ° ）四?旋转对称图形把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角大于0 °，小于360 ° ）五.典型模型 1、等线段共点等边三角形共顶点

2、绕点型(手拉手模型) (1 )自旋转: 自旋转构造放方法： ①遇60°旋60 °,构造等边三角形； ②遇90°旋90 °，构造等腰直角三角形; ③遇等腰旋转顶角，构造旋转全等； ④遇中点180。，构造中心对称。共顶点等腰直角三角形

4 (2)共旋转模型变形

说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。 3?中点旋转（拓展）

说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。 4、半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角, 分之一的角拼接在一起，成对称全等。通过旋转将另外两个和为二

(完整版)全等三角形的经典模型(一)

全等三角形的经典模型（一）漫画释义作弊？三角形7 级倍长中线与截长补短三角形9 级全等三角形的经典模型（二）三角形8 级全等三角形的经典模型（一）满分晋级秋季班第二讲秋季班第三讲秋季班第四讲

等腰直角三角形数学模型思路： ⑴利用特殊边特殊角证题（AC=BC 或90°，45 ，45 ）.如图1； ⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题. 如图2； ⑶补全为正方形. 如图3， 4. 图3 图4

已知：如图所示， Rt △ABC 中，AB=AC ， BAC 90°，O 为 BC 的中点， ⑴写出点 O 到△ ABC 的三个顶点 A 、B 、C 的距离的关系（不要求证明） ⑵如果点 M 、N 分别在线段 AC 、 AB 上移动，且在移动中保持 AN=CM.试判断△ OMN 的形状，并证明你的结论 . ⑶如果点 M 、 N 分别在线段 CA 、 AB 的延长线上移动，且在移动中保持 AN=CM ，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明．证明： ∵∠ BAC=90°， AB=AC ，O 为 BC 中点 ∴∠ BAO=∠OAC=∠ABC=∠ACB=45°， ∴AO=BO=OC ， ∵ 在 △ ANO 和 △ CMO 中， AN CM BAO C AO CO ∴△ ANO ≌△ CMO （ SAS ） ∴ON=OM ，∠AON=∠COM ，又∵∠ COM ∠ AOM =90°， ∴△ OMN 为等腰直角三角形．两个全等的含 30o ， 60o 角的三角板 ADE 和三角板 ABC ，如图所示放置， E,A,C 三点在一条直线上，连接 BD ，取 BD 的中点 M ，连接 ME ，MC ．试判断 △EMC 的形状，并说明理由．解析】 △ EMC 是等腰直角三角形典题精练解析】 ⑴OA=OB=OC ⑵连接 OA, ∵OA=OC BAO C 45° AN=CM ∴△ ANO ≌△ CMO ∴ON=OM ∴ NOA MOC ∴ NOA BON MOC BON 90 ∴ NOM 90 ∴△ OMN 是等腰直角三角形 ⑶△ ONM 依然为等腰直角三角形，例 1】例 2】 M A

全等三角形的相关模型总结汇编

全等的相关模型总结一、角平分线模型应用 1.角平分性质模型：辅助线：过点G 作GE ⊥射线AC （1）.例题应用： ①如图1，在中ABC ?，,cm 4,6,900 ==∠=∠BD cm BC CAB AD C 平分，那么点D 到直线AB 的距离是 cm. ②如图2，已知，21∠=∠，43∠=∠.BAC AP ∠平分求证：. 图1 图2 ①2 （提示：作DE ⊥AB 交AB 于点E ） ②21∠=∠ ，PN PM =∴，43∠=∠ ，PQ PN =∴，BAC PA PQ PM ∠∴=∴平分,. (2).模型巩固：练习一：如图3，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=CD ，BD 平分BAC ∠.

.求证：?=∠+∠180C A 图3 练习二：已知如图4，四边形ABCD 中， ..,1800BAD AC CD BC D B ∠==∠+∠平分求证：图4 练习三：如图5， ,,900 CAB AF D AB CD ACB ABC Rt ∠⊥=∠?平分，垂足为，中，交CD 于点E ，交CB 于点F. (1)求证：CE=CF. (2)将图5中的△ADE 沿AB 向右平移到' ' ' E D A ?的位置，使点' E 落在BC 边上，其他条件不变，如图6所示，是猜想：' BE 于CF 又怎样的数量关系？请证明你的结论. 图5 图6 练习四：如图7，90A AD BC =?，∠∥，P 是AB 的中点，PD 平分∠ADC．

求证：CP 平分∠DCB．图7 练习五：如图8，AB ＞AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，自D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ．求证：BE=CF ．图8 练习六：如图9所示，在△ABC 中，BC 边的垂直平分线DF 交△BAC 的外角平分线AD 于点D ，F 为垂足，DE ⊥AB 于E ，并且AB>AC 。求证：BE －AC=AE 。练习七：如图10，D 、E 、F 分别是△ABC 的三边上的点，CE=BF ，且△DCE 的面积与△DBF 的面积相等，求证：AD 平分∠BAC 。 B C A D E F A D E C B P 2 1 4 3 F E D C B A 图9

全等三角形的经典模型(一)

A B C O M N A B C O M N 【例1】已知：如图所示，Rt△ABC 中，AB =AC ，90BAC ∠=°，O 为BC 的中点， ⑴写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的关系（不要求证明） ⑵如果点M 、N 分别在线段AC 、AB 上移动，且在移动中保持 AN =CM .试判断△OMN 的形状，并证明你的结论. ⑶如果点M 、N 分别在线段CA 、AB 的延长线上移动，且在移动中保持AN =CM ，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明．【解析】 ⑴OA =OB =OC ⑵连接OA , ∵OA =OC 45∠=∠=BAO C ° AN =CM ∴△ANO ≌△CMO ∴ON =OM ∴∠=∠NOA MOC ∴90∠+∠=∠+∠=?NOA BON MOC BON ∴90∠=?NOM ∴△OMN 是等腰直角三角形 ⑶△ONM 依然为等腰直角三角形，证明：∵∠BAC =90°，AB =AC ，O 为BC 中点 ∴∠BAO =∠OAC =∠ABC =∠ACB =45°， ∴AO =BO =OC ， ∵在△ANO 和△CMO 中， AN CM BAO C AO CO =?? ∠=∠??=? ∴△ANO ≌△CMO （SAS ） ∴ON =OM ，∠AON =∠COM ，又∵∠COM -∠AOM =90°， ∴△OMN 为等腰直角三角形．【例2】两个全等的含30，60角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，,,E A C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 的中点M ，连接ME ，MC ．试判断EMC △的形状，并说明理由．【解析】EMC △是等腰直角三角形．典题精练 A B C O M N M E D C B A

(完整版)全等三角形常见的几何模型

1、绕点型（手拉手模型）（1）自旋转：?????? ?，造中心对称遇中点旋全等遇等腰旋顶角，造旋转，造等腰直角旋遇，造等边三角形旋遇自旋转构造方法00 00018090906060 （2）共旋转（典型的手拉手模型）例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：（1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。（4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC （7） GF ∥AC 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：（1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。（4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC H F G E D E B D

变式练习2、如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明： (1)△ABE≌△DBC (2)AE=DC (3)AE与DC的夹角为60。（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC （1）如图 1，点C是线段AB上一点，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边△ACM和△CBN，连接AN，BM．分别取BM，AN的中点E，F，连接CE，CF，EF．观察并猜想△CEF的形状，并说明理由．（2）若将（1）中的“以AC，BC为边作等边△ACM和△CBN”改为“以AC，BC为腰在AB的同侧作等腰△ACM 和△CBN，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．例4、例题讲解： 1. 已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B,C重合），以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F 逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF. (1) 如图1，当点D在边BC上时，求证：① BD=CF ?②AC=CF+CD. (2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系。 H B D

全等三角形经典模型总结资料

全等三角形经典模型总结

全等三角形相关模型总结一、角平分线模型 (一）角平分线的性质模型辅助线：过点G作GE⊥射线AC A、例题 1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB的距离是 cm. 2、如图，已知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC. B、模型巩固 1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A＋∠C＝180°.

（二）角平分线＋垂线，等腰三角形必呈现 A、例题辅助线：延长ED交射线OB于F 辅助线：过点E作EF∥射线OB 例1、如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD 于F . 求证： 1 () 2 BE AC AB =-. 例2、如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，且AB＝ AD，作CM⊥AD交AD的延长线于M. 求证： 1 () 2 AM AB AC =+.

（三）角分线，分两边，对称全等要记全两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B，使OB＝OA，从而使△OAC≌△OBC . A、例题 1、如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB＋BP＝BQ＋AQ . 2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由 .

全等三角形的经典模型(一)及典型习题

45°45° C B A D C B A A B C O M N 等腰直角三角形数学模型思路： ⑴利用特殊边特殊角证题（AC=BC 或904545??°，，）.如图1； ⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2； ⑶补全为正方形.如图3，4. 图1 图2 图3 图4 【例1】已知：如图所示，Rt △ABC 中，AB =AC ，90BAC ∠=°，O 为BC 的中点，思路导航典题精练知识互联网题型一：等腰直角三角形模型全等三角形的经典模型（一）

E D C B A P C B A ⑴写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的关系（不要求证明） ⑵如果点M 、N 分别在线段AC 、AB 上移动，且在移动中保持 AN =CM .试判断△OMN 的形状，并证明你的结论. ⑶如果点M 、N 分别在线段CA 、AB 的延长线上移动，且在移动中保持AN =CM ，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明．【例2】两个全等的含30o ，60o 角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，,,E A C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 的中点M ，连接ME ，MC ．试判断EMC △的形状，并说明理由．【例3】已知：如图，ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=°，D 是AC 的中点，AF BD ⊥于E ，交BC 于F ，连接DF ．求证：ADB CDF ∠=∠．【例4】如图，等腰直角ABC △中，90AC BC ACB =∠=，°，P 为ABC △内部一点，满足 PB PC AP AC ==，，求证：15BCP ∠=?． M E D C B A

人教版八年级数学全等三角形的常见模型总结

人教版八年级数学全等三角形常见模型总结要点梳理全等三角形的判定与性质类型一：角平分线模型应用 1.角平分性质模型：（利用角平分线的性质）辅助线：过点G 作GE ⊥射线AC 例题解析例：（1）如图1，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6cm ，BD=4cm ，那么点D 到直线AB 的距离是 cm. （2）如图2，已知，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP 平分∠ BAC. 图1 图2 【答案】①2 （提示：作DE ⊥AB 交AB 于点E ） ②21∠=∠Θ，PN PM =∴，43∠=∠Θ，PQ PN =∴，BAC PA PQ PM ∠∴=∴平分,. 类型二：角平分线模型应用 2.角平分线，分两边，对称全等(截长补短构造全等)

两个图形的辅助线都是在射线OA上取点B，使OB=OA，从而使△OAC≌△OBC. 例题解析例1：在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。证明：如图（1），过O作OD∥BC交AB于D， ∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°， ∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO， ∴△ADO≌△AQO， ∴OD=OQ，AD=AQ，又∵OD∥BP， ∴∠PBO=∠DOB，又∵∠PBO=∠DBO， ∴∠DBO=∠DOB， ∴BD=OD，又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°， ∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°， ∴∠BOP=∠BPO， ∴BP=OB， ∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。解题后的思考：（1）本题也可以在AB上截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长法”。（2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下： ①如图（2），过O作OD∥BC交AC于D，则△ADO≌△ABO从而得以解决。

等腰三角形经典模型-精品.pdf

等腰三角形经典模型 1．角平分线+平行：如图，在△ABC 中，∠ACB 和∠ABC 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 角AB 于M ，交AC 于N ，若BM+CN=9，则线段MN 的长为（） A.6 B.7 C.8 D.9 2．两圆一中垂：在平面直角坐标系x0y 中，已知点A （2，3），在坐标轴上找一点P ，使得△AOP 是等腰三角形，则这样的点P 共有个。 3．等边三角形类弦图问题：如图， E 、 F 分别是等边三角形ABC 的边AB ，AC 上的点，且BE=AF ，CE 、BF 交于点P . （1）求证：CE=BF （2）求∠BPC 的度数。4．绕直角顶点旋转：如图，在△ ABC 中，AB=CB ，∠ABC =90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE=CF. （1）求证：Rt △ABE ≌Rt △CBF （2）若∠CAE=30°，求∠ACF 的度数 5．等腰共定点问题：如图，△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上一点，以CD 为边作等边三角形CDE ，使点E 、A 在直线DC 的同侧，连接AE. 求证：AE ∥BC 6．如图，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，且 A 、 B 、D 三点共线，下列结论:① AE=CD ；②BF=BG ；③HB 平分∠AHD ；④∠AHC=60°；⑤△BFG 是等边三角形；⑥FG ∥AD 。其中正确的有（）个 A.3 B.4 C.5 D.6 7．如图，在RtABC 中，BAC=90°，AC=2AB ，点D 是AC 的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，是三角板的两个端点分别与A 、D 重合，连接BE 、EC ，试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想。 8．将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若AB=6cm ，则AC= C B A A E A B C C H E D A B D C A B C F A B E F C B A N M C B A E P E E F G D

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