用绝对值的几何意义解题 作业版

用绝对值的几何意义解题

大家知道，|a|的几何意义是：数轴上表示a的点到原点的距离；|a－b|的几何意义是：数轴上表示数a、b的两点的距离．对于某些问题用绝对值的几何意义来解，直观简捷，事半功倍．

一、求代数式的最值

例1 已知a是有理数，| a－2007|+| a－2008|的最小值是________．.

例2 |x－2|－| x－5| 的最大值是_______，最小值是_______．

二、解绝对值方程

例3 方程|x－1|+|x＋2|＝4的解为__________．

三、求字母的取值范围

例4若 |x+1|+|2－x|＝3，则x的取值范围是________．

例5对于任意数x，若不等式|x＋2|+|x－4|＞a恒成立，则a的取值范围是___________．

四、解不等式

例6不等式|x＋2|+|x－3|＞5的解集是__________．

五、判断方程根的个数

例7 方程|x+1|+|x+99|+|x＋2|＝1996共有（）个解．

A.．4； B． 3； C． 2； D．1

六、综合应用

例8（第15届江苏省竞赛题，初一）已知|x＋2|+|1－x|＝9－|y－5|－|1+y|，求x+ y最大值与最小值．

绝对值几何意义和绝对值方程

绝对值几何意义和绝对值方程 Ⅰ重点突破 重点针对复习 【重点知识点1】绝对值的几何意义 [针对训练1] （南雅-15）1.阅读材料，回答下列问题： 数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示； 在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为|3﹣1|＝2； 在数轴上，有理数5与﹣2对应的两点之间的距离为|5﹣（﹣2）|＝7； 在数轴上，有理数﹣2与3对应的两点之间的距离为|﹣2﹣3|＝5； 在数轴上，有理数﹣8与﹣5对应的两点之间的距离为|﹣8﹣（﹣5）|＝3；…… 如图1，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离表示为|a﹣b|或|b﹣a|，记为|AB|＝|a﹣b|＝|b﹣a|． （1）数轴上有理数﹣10与﹣5对应的两点之间的距离等于；数轴上有理数x与﹣5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为；若数轴上有理数x与﹣1对应的两点A，B之间的距离|AB|＝2，则x等于； （2）如图2，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为﹣2，动点P表示的数为x． ①若点P在点M，N之间，则|x+2|+|x﹣4|＝；若|x+2|+|x﹣4|═10，则x＝； ②根据阅读材料及上述各题的解答方法，|x+2|+|x|+|x﹣2|+|x﹣4|的最小值等于．

2.先阅读，后探究相关的问题 【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看做|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为和，B，C两点间的距离是； （2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为；如果|AB|＝3，那么x为； （3）若点A表示的整数为x，则当x为时，|x+4|与|x﹣2|的值相等； （4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是． 3．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝． （2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为； （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是． （4）当a＝时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是．

绝对值的意义及应用

绝对值的意义及应用 绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|. 一. 绝对值的实质： 正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即 也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。 总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。 二. 绝对值的几何意义： 一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。 例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( ) A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b (第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题) 解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0． 所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)． 三. 绝对值的性质： 1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。 2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。 3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。 4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。 四. 含绝对值问题的有效处理方法 1. 运用绝对值概念。即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。

例2. 已知：|x-2|+x-2＝0， 求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。 解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2) 根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零， ∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2 (1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4； (2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝4 2. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。 例3. 已知|x-2|+x与x-2+|x|互为相反数，求x的最大值． 解：由题意得(|x-2|+x)+(x-2+|x|)＝0，整理得|x-2|+|x|+2x-2＝0 令|x-2|＝0，得x＝2，令|x|＝0，得x＝0 以0，2为分界点，分为三段讨论： (1)x≥2时，原方程化为x-2+x+2x-2＝0，解得x＝1，因不在x≥2的范围内，舍去。 (2)0≤x＜2时，原方程化为2-x+x+2x-2＝0，解得x＝0 (3)x＜0时，原方程化为2-x-x+2x-2＝0，从而得x＜0 综合(1)、(2)、(3)知x≤0，所以x的最大值为0 3. 整体参与运算过程．即整体配凑，借用已知条件确定绝对值里代数式的正负，再用绝对值定义去掉绝对值符号进行运算。 例4. 若|a-2|＝2-a，求a的取值范围。 解：根据已知条件等式的结构特征，我们把a-2看作一个整体，那么原式变形为|a-2|＝-(a-2)，又由绝对值概念知a-2≤0，故a的取值范围是a≤2 4. 运用绝对值的几何意义．即通过观察图形确定绝对值里代数式的正负，再用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算． 例5. 求满足关系式|x-3|-|x+1|＝4的x的取值范围． 解：原式可化为|x-3|-|x-(-1)|＝4 它表示在数轴上点x到点3的距离与到点-1的距离的差为4 由图可知，小于等于-1的范围内的x的所有值都满足这一要求。

绝对值几何意义知识点、经典例题及练习题带答案

绝对值的几何意义 【考纲说明】 1、 理解绝对值的几何意义，了解绝对值的表示法，会计算有理数的绝对值； 2、 能够利用数形结合思想来理解绝对值的几何意义，根据绝对值的意义及性质进行简单应用。 【趣味链接】 正式篮球比赛所用球队质量有严格的规定,下面是6个篮球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数，检测结果为：-20，+10、+12、-8、-11 请指出那个篮球的质量好一些,并用绝对值的知识进行说明。 【知识梳理】 1、绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。 2、绝对值的性质： （1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质； a （a ＞0） （2） |a|= 0 （a=0） （代数意义） -a (a ＜0) （3） 若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0； （4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a ， 且|a|≥-a ； （5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义） （6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=| |||b a （b≠0）； （7） |a|2=|a 2|=a 2 ； （8） |a+b|≤|a|+|b| |a -b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a -b|

【经典例题】 【例1】（2011青岛）若ab<|ab|，则下列结论正确的是（ ） A.a ＜0，b ＜0 B.a ＞0，b ＜0 C.a ＜0，b ＞0 D.ab ＜0 【例2】（2011莱芜）下列各组判断中，正确的是（ ） A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞b C. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b| D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b) 2 【例3】（2011日照）有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( ) A ．2a+3b-c B ．3b-c C ．b+c D ．c-b 【例4】（2009淮安）如果a a -=||，下列成立的是（ ） A ．0>a B ．0

绝对值几何意义应用

仅供参考学习个人收集整理 绝对值几何意义应用 一、几何意义类型：0a?a?a 类型一、0：表示数轴上地点地距离；到原点 ab??b?a bb aa 地距离（或点；类型二、：表示数轴上地点到点到点地距离） )?baa?b??()?ab?(?b?b aa?地距离）：表示数轴上地点到点类型三、到点；地距离（点ax?ax ：表示数轴上地点地距离；到点类型四、)a?(?x?a?x xa?. 类型五、到点：表示数轴上地点地距离二、例题应用：4?xx?4x ，则、地几何意义是数轴上表示地点与表示地点之间地距离，若例1.（1）=2?x. 3x?1?x?3x ，则（2）地几何意义是数轴上表示地点与表示地点之间地距离，若、?x. 15??qm若3）、如图所示数轴上四个点地位置关系，且它们表示地数分别为m、n、p、q.，（1 n?q?n，pp?m?，15m???m?8np??q?n?1，qp3 ;若，则，n?p?.则 a?b?b?c?a?cc，，ba，，如果在数轴上地对应点为A，（4）、不相等地有理数B，C. 在数轴上地位置关系B，，C 则点A a?b?9，c?d?16且a?b?c?d?25da、cb、、，求均为有理数，拓展：已知 b?a?d?c的值. ??且a?b?c?d?25.25a?b?c?a (9b?)??16?ddc???解析： ?b?9?a，c?d?16?b?a?d?c?9?16??7. 3x??x?32?x?x时，取最大值，最大）（例2.1、①当取最小值；②时，当 值为. 1 / 8 个人收集整理仅供参考学习 x?3?x?2?7x?; 利用绝对值在数轴上地几何意义得（2）、①已知，

绝对值与方程及几何意义解题

绝对值与一元一次方程 一、形如| x +a | = b 方法：去绝对值符号 例1：| 2x – 1 | = 3 例2：4+2|x| = 3 |x|+2 二、绝对值的嵌套方法：由外向内逐层去绝对值符号 例1：| 3x – 4|+1| = 2 例2：x– 2|-1| =3 三、形如：| ax + b | = cx+d绝对值方程 方法：变形为ax + b =±（cx+d）且 cx+d≧0才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值方程时必须检验。 例1: | 5x + 6 | = 6x+5 例2: | x - 5 |+2x =-5 利用“零点分段“法化简 方法：求零点，分区间，定正负，去符号 例1：化简：| x + 5 |+| 2x - 3 | 例2：|| x -1 |-2|+ |x +1| 练习化简：1、| x + 5 |+| x - 7 | +| x+ 10 | 2、

四、“零点分段法”解方程 “零点分段法”即令各绝对值代数式为零，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可。 例1：| x + 1 |+| x - 5 | =4 例2：| 2x - 1 |+| x - 2 | =2| x +1 | 练习：解方程 1、3| 2x – 1 | = |-6| 2、││3x-5│+4│=8 3、│4x-3│-2=3x+4 4、│2x-1│+│x-2│=│x+1│

提高题： 1、若关于X的方程││x-2│-1│=a有三个解，求a的值和方程的解 2、设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,?求b 的值. (“华杯赛”邀请赛试题) 3、讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况.

绝对值应用(绝对值的几何意义)(北师版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题 问题1：绝对值的几何意义： ①表示在数轴上，x所对应的点与_______的距离． ②表示在数轴上____________________________对应点之间的距离． ③表示____________________________对应点之间的距离． 绝对值应用（绝对值的几何意义）（北师版）一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知，则a，b的值分别为( ) A.a=3，b=5 B.a=-3，b=5 C.a=3，b=-5 D.a=-3，b=-5 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：绝对值的非负性 2.若，则ab=( )

A.0 B.3 C.-3 D.±3 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：绝对值的非负性 3.若与互为相反数，则a+b=( ) A.-1 B.1 C.5 D.-5 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：绝对值的非负性 4.若x为有理数，则的最小值为( )

C.3 D.5 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：绝对值的几何意义 5.若x为有理数，则的最小值为( ) A.1 B.3

答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：绝对值的几何意义 6.若x为有理数，则的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：绝对值的几何意义

7.若x为有理数，则的最小值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：绝对值的几何意义 8.当x=____时，有最_____值，是_____．( ) A.0，小，6 B.0，大，6 C.0，小，0 D.0，大，0 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：利用绝对值的非负性求最值 9.当x=____时，有最_____值，是_____．( ) A.4，小，3 B.4，大，-3 C.4，小，-3 D.0，大，3 答案：C

绝对值几何意义知识点、经典例题及练习题带答案

绝对值的几何意义 【考纲说明】 1、 理解绝对值的几何意义，了解绝对值的表示法，会计算有理数的绝对值； 2、 能够利用数形结合思想来理解绝对值的几何意义，根据绝对值的意义及性质进行简单应用。 【趣味链接】 正式篮球比赛所用球队质量有严格的规定,下面是6个篮球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数，检测结果为：-20，+10、+12、-8、-11 请指出那个篮球的质量好一些,并用绝对值的知识进行说明。 【知识梳理】 1、绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。 2、绝对值的性质： （1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质； a （a ＞0） （2） |a|= 0 （a=0） （代数意义） -a (a ＜0) （3） 若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0； （4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a ， 且|a|≥-a ； （5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义） （6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=| |||b a （b≠0）；

（7） |a|2=|a 2|=a 2 ； （8） |a+b|≤|a|+|b| |a -b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a -b| 【经典例题】 【例1】（2011青岛）若ab<|ab|，则下列结论正确的是（ ） A.a ＜0，b ＜0 B.a ＞0，b ＜0 C.a ＜0，b ＞0 D.ab ＜0 【例2】（2011莱芜）下列各组判断中，正确的是（ ） A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞b C. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b| D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b) 2 【例3】（2011日照）有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( ) A ．2a+3b-c B ．3b-c C ．b+c D ．c-b 【例4】（2009淮安）如果a a -=||，下列成立的是（ ） A ．0>a B ．0

初中数学 绝对值的化简和几何意义

模块一 绝对值的基本概念 （1）非负性：||0a ≥（补充：20a ≥）． 对应题型：绝对值的化简． 方法：判断“||”里面整体的正负性． 易错点：求一个多项式的相反数． 对应策略：求一个多项式的相反数即求多项式中每个单项式的相反数． ①a b -的相反数是a b -+； ②a b c ++的相反数是a b c ---； ③132a b -+的相反数132a b -+-． （2）双解性：||(0)a b b =≥，则a b =±． （3）绝对值的代数意义：(0)||0(0)(0)a a a a a a >?? ==??-?=? -≤? 变式结论：①若||a a =，则0a ≥； ②若||a a =-，则0a ≤． 模块二 零点分段法（目的：去无范围限定的绝对值题型） 零点：使绝对值为0的未知数值即为零点． 方法： ①寻找所有零点，并在数轴上表示； ②依据零点将数轴进行分段； ③分别根据每段未知数的范围去绝对值． 易错点：分类不明确，不会去绝对值． 化简：|1||2|x x -+-． ①零点为1，2，故将数轴分为3个部分， 即1x <，12x ≤<，2x ≥． ②当1x <时，原式23x =-+； 当12x ≤<时，原式(1)(2)1x x =---=； 当2x ≥时，原式23x =-． 模块三 几何意义 ||x 的几何意义：数轴上表示数x 的点与原点 的距离； ||x a -的几何意义：数轴上表示数x 的点与数a 的点之间的距离； ||||x a x b -+-的几何意义：数轴上表示数x 的点与数a 、b 两点的距离之和． 举例： ①|1|=|(1)|x x +--表示x 到1-的距离． ②|1||2|x x +++表示x 到1-和x 到2-的距离之和． ③|1||2|x x +-+表示x 到1-和x 到2-的距离之差． 基本结论：令123n a a a a ≤≤≤≤…， 123||||||+||n x a x a x a x a -+-+-+-… ． 方法：直接套用几何意义画数轴． ①当n 为奇数时，当1 2 n x a +=时取最小值； ②当n 为偶数时，当1 2 2 n n a x a +≤≤时取最小 值． 常见变形： ①|1|2|3|3|4|x x x -+-+-在34x ≤≤时取得最小值． ②()111 113|2|2|3|236x x x x -+-=-+-在2x =时取得最小值． ③|1||2|x x ---既有最小值也有最大值．

绝对值的性质及运用

基本要求：借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值 略高要求：会利用绝对值的知识解决简单的化简问题 【知识点整理】 绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号. ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. ④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a 的绝对值： ①(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-?=?-≤? 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c = 绝对值的其它重要性质： （1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-； （2）若a b =，则a b =或a b =-； （3）ab a b =?；a a b b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==； a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离． a b -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离． 【例题精讲】 模块一、绝对值的性质 【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ） A ．±2 B ．2 C ．-2 D ．4 【例2】下列说法正确的有（ ） ①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相绝对值

绝对值的几何意义--实际应用问题

绝对值的几何意义--实际应用问题 【知识点】 一个数的绝对值越小，距离原点越近 【练习题】 1.四只毛毛虫在数轴上的位置如下，则距离原点最近的是______ 2.一只蚂蚁在数轴上来回爬行，记录的位置分别为：-2、-1、4、-3则距离原点 最远的位置是______ 3.矿井下A、B、C三处的高度分别为-35.2m，-129.1m，-72.6m，最深的是______ （填“A、B、C”） 4.记录1、2、3号3个零件的长度，大于标准值为+，小于标准值为-，记录结 果（单位：mm）分别为+0.10、-0.07、-0.02，则最接近标准值的是______号 5.某班测量身高，超过平均身高记为正数，低于平均身高记为负数，甲、乙两 位同学的记录情况分别为+3，-5。最接近平均身高的是______（填“甲、乙”）6.某商店全年第一、第二、第三、第四季度盈亏情况（盈利为正，亏损为负）

依次是：68万元、-140万元、-95万元、145万元，则亏损最多的是第______季度（填“一、二、三、四”） 7.检验4个工件，其中超过标准质量的克数记作正数，不足标准质量的克数记 作负数。从轻重的角度看，最接近标准的工件是（） A.-2 B.-3 C.3 D.7 8.某次数学单元测试，1班第1小组4位同学的平均成绩达到80分，组长在登 记成绩时，以80分为基准，超过80分的分数登记为正数，低于80分的分数登记为负数，甲、乙、丙、丁4位同学的分数记录情况为：10、-2、5、-13。 则最接近80分的是______同学。（填“甲、乙、丙、丁”） 9.某公路养护小组若干人各自乘车沿南北方向公路巡视维修，某天早晨他们从 A地出发，约定A地以北为正方向，A地以南为负方向，他们几人当天相对与A地的行驶记录分别如下（单位：千米）：+18，+9，-2，-14，+5，-19。 当天距离A地最远的距离是______千米。 10.某市监管部门抽查一商店4个水果罐头的质量，超出标准质量记为正，不足 质量记为负，则最接近标准质量的罐头是（） A.-3 B.4 C.2 D.1

绝对值的性质及化简

绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号. ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. ④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a 的绝对值： ①(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-?=?-≤? 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c = 绝对值的其它重要性质： （1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-； （2）若a b =，则a b =或a b =-； （3）ab a b =?； a a b b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==； （5）a b a b a b -≤+≤+， 对于a b a b +≤+，等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立； 对于a b a b -≤+，等号当且仅当a 、b 异号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立． 绝对值几何意义 当x a =时，0x a -=，此时a 是x a -的零点值． 零点分段讨论的一般步骤： 找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分化简求值． a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离． a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离． 例题精讲 绝对值的性质及化简

巧用绝对值的“几何意义”求多个绝对值之和的最小值问题

巧用绝对值的“几何意义”求多个绝对值之和的最小值问题 【例1】求 y=｜x+3｜+｜x+2｜+｜x+1｜+｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜的最小值，并指出y为最小值时，x的值为多少 初一引进绝对值的概念，但多数学生对绝对值的问题只是浅尝辄止。绝对值有两个方面的意义，一个是代数意义，另一个几何意义，但一般教学往往侧重于代数意义而忽略了其几何意义。 绝对值的代数意义：｜a｜=a, (a≥0)；｜a｜=－a, (a＜0)。 绝对值的几何意义：｜a｜是数轴上表示数a的点到原点的距离。 众所周知，如果数轴上有两点A,B，它们表示的数分别为a, b（a≤b)，则A,B之间的距离：｜AB｜=｜a-b｜（如图1）。 设点X在数轴上表示的点为x,则｜x-a｜+｜x-b｜表示点X到点A和点B的距离之和：｜XA｜+｜XB｜， 由图2可以看出，如果X在A，B两点之间，那么｜XA｜+｜XB｜可以取到最小值｜AB｜，即：当a≤x≤b时，｜x-a｜+｜x-b｜取最小值｜a-b｜； 同样，设点C在数轴上表示的点为c，（a≤b≤c)，则｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜表示点X到点A、点B和点C的距离之和：｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜， 由图3可以看出，如果X落在B点，那么｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜可以取到最小值｜AC｜，即：当x=b时，｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜取最小值｜a-c｜。 一般说来，设f(x)=｜x-a?｜+｜x-a?｜+｜x-a?｜+???+｜x-a n｜， 其中a?≤a?≤…≤a n，那么： 当n为偶数时，f min(x)=f(a)，其中a n/2≤a≤a n/2+1； 且f(a)=(a n-a1)+(a n-1-a2)+???+(a n/2+1-a n/2) =(a n+a n-1+??? a n/2+1)-(a1+a2+???+a n/2) 当n为奇数时，f min(x)=f(a（n+1）/2)； 且f(a)=(a n-a1)+(a n-1-a2)+???+【a(n+1）/2+1-a(n+1）/2-1】 =【a n+a n-1+??? a(n+1）/2+1】-【a1+a2+???+ a(n+1）/2-1】

绝对值几何意义应用

绝对值几何意义应用

绝对值几何意义应用 一、几何意义类型： 类型一、0-=a a ：表示数轴上的点a 到原点0的距离； 类型二、 a b b a -=-：表示数轴上的点a 到点b 的距离（或 点b 到点a 的距离）； 类型三、)(b a b a --=+)(a b --=：表示数轴上的点a 到点b -的距离（点b 到点a -的距离）； 类型四、a x -：表示数轴上的点x 到点a 的距离； 类型五、)(a x a x --=+：表示数轴上的点x 到点a -的距离. 二、例题应用： 例1.（1）、4-x 的几何意义是数轴上表示x 的点与表示 的点之间的距离，若4-x =2，则 = x . （2）、3+x 的几何意义是数轴上表示x 的点与表示 的点之间的距离，若13=+x ，则 = x . （3）、如图所示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为m 、n 、p 、q.若15=-q m ， 8 10=-=-m p n q ，，则=-p n ;若15=-q m ， ，，q n n p m p -= -=-3 1 8 则=-p n .

的几何意义得; ③已知4 + -x x，利用绝对值在数轴上 + 3= 2 的几何意义得; 拓展：若8 1 +a a，则整数a的个数是 - + 2= 2 7 4 . ④当x满足条件时，利用绝对值在数轴上的几何意义2 3+ -x x取得最小值， + 这个最小值是. 由上题③图可知，5 +x + x，故而当 - 3 2≥≤ -x时，最小值是5. 3 2≤ ⑤若a -2 + 3时，探究a为何值，方程有 x= x +

解？无实数解？ 档案：5≥a ；a <5. 特别要注意的是：当x 在32≤≤-x 这个范围内任取一个数时，都有523=++-x x . 例题拓展：①若23++-x x >a 恒成立，则a 满足什么条件？答案：a <5. ②若23++-x x a 恒成立，则a 满足什么条件？答案：a ＜5-. 由上图当x ≤2-时， 2 3+--x x 5=；当x ≥3时， 23+--x x 5 -=；当2-＜x ＜3， 5 -＜23+--x x ＜5，所以5-≤23+--x x ≤5.则a ＜5-. ④若23+--x x 5. 拓展应用：已知()()()36131221=++-++--++z z y y x x ，求z y x 32++

绝对值及其几何意义

绝对值及其几何意义 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】

绝对值及其几何意义 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数。 如：|5|=5；|-5|=5；|0|=0 绝对值的几何意义：可以借助数轴来加以认识，一个数的绝对值在数轴上表示这个数的点到___________的距离。 如|a|表示数轴上表示数a的点到________的距离， 推而广之：∣x-a∣的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数______的点之间的距离，∣x-a∣+∣x-b∣的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数_______ 两点的距离之和。 对于一些比较复杂的绝对值问题，如果用常规的方法做会比较繁琐，而运用绝对值的几何意义解题，往往能取得事半功倍的效果。 例1：已知，∣x-4∣=3，求x的值。 解法一(代数法，分类讨论)(“零点分段法”)： 解法二(几何法)：由绝对值的几何意义可知，∣x-4∣=3表示数x的点到_________的距离为_____，结合数轴不难发现这样的点共有______个，分别是____和____，故 x=_______. 例2：求∣x-1∣+∣x+2∣的最小值。 解法一(代数法)(“零点分段法”)： 解法二(几何法)：由绝对值的几何意义可知， 分析：本题若采用“零点分段法”讨论亦能解决，但若运用绝对值的几何意义解题，会显得更加简洁。

解：根据绝对值的几何意义可知，∣x-1∣表示数轴上点x到_______的距离， ∣x+2∣表示数轴上点x到_________的距离。 实际上此题是要在数轴上找一点x，使该点到两点的距离之和最短，由数轴可知，x 应在数轴上__________________________________的点，且最短距离为 ______________， 即∣x-1∣+∣x+2∣的最小值为_______。 推广：①：∣x-a∣+∣x-b∣的最小值为___________。 ②∣∣x-a∣-∣x-b∣∣的几何意义是数轴上一点x到a、b两点之间距离之差 的绝对值，它有一个最_______(大或小)值________。 例3：对于任意实数，若不等式∣∣x+1∣-∣x-2∣∣＜k恒成立，则实数k的取值范围是什么 解：(提示：k是式子∣∣x+1∣-∣x-2∣∣的最大值还是最小值) 例4：如果∣x-3∣+∣x+1∣=4，则x的取值范围是什么 解： 绝对值的几何意义的运用是一个较好的技巧，这种简捷、巧妙的方法，应引起重视。绝对值的性质： （1）绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质； （2）|a|={a,a>0 0,a=0 ?a,a<0 （代数意义） （3）若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0； （4）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a，且|a|≥-a； （5）若|a|=|b|，则a=b或a=-b；（几何意义）

绝对值的几何意义

. 绝对值的几何意义的几－b||a【知识要点】大家知道，|a|的几何意义是：数轴上表示a的点到原点的距离；的两点的距离．对于某些问题用绝对值的几何意义来解，直、b何意义是：数轴上表示数a 观简捷，事半功倍．【例题精讲】 的绝对值点的距离，这是，|a|可以理解为|a-0|表示数a到原【例题】我们知道点、B两表示，那么A分上两个点A．B，别用a，b几何意义．进一步地，数轴问题：论，回答以下之间的距离为AB=|a-b|，利用此结两5的上数轴表示-2和3的两点之间的距离是______，（1）数轴上表示8和 __________；之间的距离是，数轴上表示-3和-7的两点点之间的距离是___________轴用数何意义是_____________，利上点A用a表示，则|a-3|=5的几（2）数轴 ___________________；出a的值是绝及对值的几何意义写是小值能取得的最对值的几何意义写出该式(3) 利用数轴及绝_____________. 点拨】【思路案；式，可得答距据数轴上两点间的离公（1）根值；，可得a的点距离相等的点有两个（2）根据到一案．小，可得答两端点的距离的和最（3）根据线段上的点与线段析】【解的和5上表示-2的距离是 5，数轴解：（1）数轴上表示8和3的两点之间；离是 4间和-7的两点之的距两点之间的距离是 7，数轴上表示-3两3表示a和何意义是数轴上2）数轴上点A 用a表示，则|a-3|=5的几（；-2或8义意写出a的值是是5，利用数轴及绝对值的几何离点之间的距-2x与离与点点x与-1的距出|x+1|+|x+2|表示的几何意义数上轴3 （）说意义写出该式能取得的最小绝对值的几何值是 1，和距离的，利用数轴及故答案为：5，7，4；数轴上表示a与3两点之间的距离是5，-2或8；数轴上点x与-1的距离与点x与-2的距离的和是1． 【总结升华】本题考查了绝对值，（1）数轴上两点间的距离公式，（2）到一点距离相等的点有两个；（3）线段上的点与线段两端点的距离的和最小． 【例题】阅读下列材料： 我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即 |x|=|x-0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离； 这个结论可以推广为|x-x|表示在数轴上数x，x对应点之间的距离；2211在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义： 例1：解方程|x|=2．容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的x=±2； 例2：解不等式|x-1|＞2．如图，在数轴上找出|x-1|=2的解，即到1的距离为2的点对应

巧用绝对值的“几何意义”求多个绝对值之和的最小值问题

巧用绝对值的“几何意义”求多个绝对值之和的最小值问题【例1】求y=｜x+3｜+｜x+2｜+｜x+1｜+｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜的最小值，并指出y为最小值时，x的值为多少 初一引进绝对值的概念，但多数学生对绝对值的问题只是浅尝辄止。绝对值有两个方面的意义，一个是代数意义，另一个几何意义，但一般教学往往侧重于代数意义而忽略了其几何意义。 绝对值的代数意义：｜a｜=a, (a≥0)；｜a｜=－a, (a＜0)。 绝对值的几何意义：｜a｜是数轴上表示数a的点到原点的距离。 众所周知，如果数轴上有两点A,B，它们表示的数分别为a, b（a≤b)，则A,B之间的距离：｜AB｜=｜a-b｜（如图1）。 设点X在数轴上表示的点为x,则｜x-a｜+｜x-b｜表示点X到点A和点B的距离之和：｜XA｜+｜XB｜， 由图2可以看出，如果X在A，B两点之间，那么｜XA｜+｜XB｜可以取到最小值｜AB｜，即：当a≤x≤b时，｜x-a｜+｜x-b｜取最小值｜a-b｜； 同样，设点C在数轴上表示的点为c，（a≤b≤c)，则｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜表示点X到点A、点B和点C的距离之和：｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜， 由图3可以看出，如果X落在B点，那么｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜可以取到最小值｜AC｜，即：当x=b时，｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜取最小值｜a-c｜。 一般说来，设f(x)=｜x-a｜+｜x-a｜+｜x-a｜++｜x-a n｜， 其中a≤a≤…≤a n，那么： 当n为偶数时，f min(x)=f(a)，其中a n/2≤a≤a n/2+1； 且f(a)=(a n-a1)+(a n-1-a2)++(a n/2+1-a n/2) =(a n+a n-1+ a n/2+1)-(a1+a2++a n/2) 当n为奇数时，f min(x)=f(a（n+1）/2)； 且f(a)=(a n-a1)+(a n-1-a2)++【a(n+1）/2+1-a(n+1）/2-1】 =【a n+a n-1+ a(n+1）/2+1】-【a1+a2++ a(n+1）/2-1】 也就是说，偶数个绝对值相加，当x处于最中间的两个点所表示的数之间时，其值为最小，x可能有无数个取值；奇数个绝对值相加，当x等于最中间那个点所表示的数时，其值为最小，x只有一个取值。利用这个原理来解决【例1】的问题将非常容易地得到结论：y=｜x-（-3）｜+｜x-（-2）｜+｜x-（-1）｜+｜x-0｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜，所以x=0时y最小，最小值为12。 下面我们利用这一原理解决更多的问题。 【例2】已知y=｜x+1｜+2｜x-1｜+｜x-2｜，求y的最小值。 【解】y=(2｜x+1｜+6｜x-1｜+3｜x-2｜)=（｜x-（-1）｜+｜x-（-1）｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-2｜+｜x-2｜） ∵有11个绝对值相加，11为奇数，∴当x=a5，即x=1时，y最小为：(2｜1+1｜+3｜1-2｜)=（4+3）=7/3 【例3】已知｜a+3｜+｜a-5｜=8，求a的取值范围。 【解】∵当-3≤a≤5时，｜a+3｜+｜a-5｜的最小值为8，∴a的取值范围是 -3≤a≤5 【例4】已知2｜a+1｜+｜a-2｜+｜b+1｜+4｜b-5｜=9，求a b的值。 【解】∵2｜a+1｜+｜a-2｜=｜a+1｜+｜a+1｜+｜a-2｜，当a=-1时，最小值为3；｜b+1｜+4｜b-5｜=｜b+1｜+｜b-5｜+｜b-5｜+｜b-5｜+｜b-5｜，当b=5时，最小值为6，

绝对值及其几何意义

绝对值及其几何意义 绝对值是初中代数乃至高中代数的重要内容，它伴随着我们学习代数知识的全过程。我们知道：一个正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数。这是绝对值的代数意义。 绝对值的几何意义可以借助数轴来加以认识，一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离，如a表示数轴上表示数a的点到原点的距离，推而广之：∣x-a∣的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数a的点之间的距离，∣x-a∣+∣x-b∣的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数a、b 两点的距离之和。 对于一些比较复杂的绝对值问题，如果用常规的方法做会比较繁琐，而运用绝对值的几何意义解题，往往能取得事半功倍的效果。下面通过几个例题谈谈绝对值的几何意义的妙用。 例1：已知，∣x-4∣=3，求x的值。 解：由绝对值的几何意义可知，∣x-4∣=3表示x到4的距离为3，结合数轴不难发现到4这个点的距离为3的点共有二个，分别是1和7，故x=1或7. 例2：求∣x-1∣+∣x+2∣的最小值。 分析：本题若采用“零点分段法”讨论亦能解决，但若运用绝对值的几何意义解题，会显得更加简洁。 解：根据绝对值的几何意义可知，∣x-1∣表示数轴上点x到1的距离， ∣x+2∣=∣x-（-2）∣表示数轴上点x到-2的距离。实际上此题是要在数轴上找一点x，使该点到两点的距离之和最短，由数轴可知，x应在数轴上1到-2（含-2及1）当中的任一点，且最短距离为3，即∣x-1∣+∣x+2∣的最小值为3。 此题实际上也说明了这么一个结论：∣x-a∣+∣x-b∣的最小值为∣a-b∣。通过分析我们亦不难理解，∣∣x-a∣-∣x-b∣∣的几何意义是数轴上一点x到a、b两点之间距离之差的绝对值，它有一个最大值∣a-b∣，即-3≤∣x-a∣-∣x-b∣≤3。我们再看下面的一个问题： 例3：对于任意实数，若不等式∣∣x+1∣-∣x-2∣∣＜k恒成立，则实数k的取值范围是什么？ 解：由∣∣x+1∣-∣x-2∣∣的几何意义可知，它表示数轴上一点x到-1和2两点距离之差的绝对值，它有一个最大值为3即∣∣x+1∣-∣x-2∣∣≤3，而∣∣x+1∣-∣x-2∣∣恒小