离散数学_刘任任_课后答案习题14
习题十四
1．试判断下列语句是否为命题，并指出哪些是简单命题，哪些是复合命题。
（1）2是有理数。
解：是命题，且为简单命题
（2）计算机能思考吗？
解：非命题
（3）如果我们学好了离散数学，那么，我们就为学习计算机专业课程打下了良好的基础。解：是命题，且为复合命题。
（4）请勿抽烟！
解：非命题。
（5）X+5＞0
解：非命题。
（6）π的小数展开式中，符号串1234出现奇数次。
解：是命题，且为简单命题。
（7）这幅画真好看啊！
解：非命题。
（8）2050年元旦的那天天气晴朗。
解：是命题，且为简单命题。
（9）李明与张华是同学
解：是命题，且为简单命题。
（10）2既是偶数又是质数。
解：是命题，且为复合命题。
2．讨论上题中命题的真值，并将其中的复合命题符号化。
解：（1）F （3）T （6）不知真假（8）不知真假（9）真或假，视情况而定（10）T （3）P：我们学好了离散数学。Q：我们为学习计算机专业课程打下了良好的基础。
P→Q
（10）P：2是质数；Q：2是偶数；P∧Q
3．将下列命题符号化
（1）小王很聪明，但不用功
解：P：小王很聪明；Q：小王不用功；P∧Q
（2）如果天下大雨，我就乘公共汽车上班。
解：P：天下大雨；Q：我乘公共汽车上班；P→Q
（3）只有天下大雨，我才乘公共汽车上班
解：P：天下大雨；Q：我乘公共汽车上班；Q→P
（4）不是鱼死，就是网破
解：P：鱼死；Q：网破；P∨Q
（5）李平是否唱歌，将看王丽是否伴奏而定。
解：P：李平唱歌Q：王丽伴奏P Q
4．求下列命题公式的真值表： （1）P →(Q ∨R)
()
1
1
1
10000110110000111110111001111111101QVR P QVR R Q P →
(2)P ∧（QV ?R ）
解：()
1
1
011010111001111011000100
010110000101110111777R Q P R QV R R Q P ∨∧
（3）())(Q Q P P →→∧
解：()())((1
1
1
1010011111
10001
Q
Q P P Q P P Q P Q P →→∧→∧→
（4）()Q Q P ∧→7
解：()()0
1
1
0010000111
01001
Q Q P Q P Q P Q P ∧→?→?→
（5）()()Q P Q P ∧?∨
1
1
100001111100101)()(Q P Q P Q P Q P Q P ∧?∨∧∨
5．用真值表方法验证下列基本等值式 （1）分配律
解：1）)()()(R P Q P R Q P ∨∧∨?∧∨
1
1
00000000111100111111000111111110010001001111111111110101)()()(R P Q P R P Q P R Q P R Q R Q P ∨∧∨∨∨∧∨∧
∴)()(R P Q P R Q P ∨∧∨?∧∨ （2）De Morgen 律
ⅰ) ()Q P Q P ?∨?∧77 ⅱ) ()Q P Q P 777∧?∨
ⅰ) ()111100010110101101001
0000111
77777Q P Q P Q P Q P Q P ∨∧∧
ⅱ) ()1
1
1
1
00101100100101
0000111
77777Q
P Q P Q P Q P Q P ∧∨∨ (3) 吸收律
ⅰ)()P Q P P ?∨∧ ⅱ) ()P Q P P ?∧∨
ⅰ) ()0
1
1
00001111
1101
Q P P Q P Q P ∨∧∨
ⅱ) ()0
1
00001111
1001
Q P P Q P Q P ∧∨∧
6．用等值演算的方法证明下列等值式： （1）()()P Q P Q P ?∧∨∧7
解：()()()P Q Q P Q P Q P ?∨∧?∧∨∧77 （2）()()()()R Q P R P Q P ∧→?→∧→( 解：
()()))(()(7)7()7()()(R Q P R Q P R P Q P R P Q P ∧→?∧∨?∨∧∨?→∧→
（3）())(7)()(7Q P Q P Q P ∧∧∨??
解：()())7()7(7)()(7)(7P Q Q P P Q Q P Q P ∨∧∨?→∧→??
()()()()?∧∨∧?∨∨∨?P Q Q P P Q Q P 77)7(7)7(7
()()()∧∨∧∨?∨∧∧∨∧)7()(7)7()7(Q Q Q P P Q P Q Q P
()()()()Q P Q P P Q Q P P Q P P ∧∧∨?∨∧∨?∨∧∨7)77()77()7(
7．设A 、B 、C 为任意命题公式，试判断以下的说法是否正确，并简单说明之。 （1）若B A C B C A ?∨?∨则,
。
解：不正确。 如A 为真，B 为假，C 为真时， C B C A ∨?∨成立，但B A ?不成立。 （2）若B A C B C A ?∧?∧则,
。
解：不正确，如A 为真，B 为假，C 为假时，C B C A ∧?∧成立，但B A ?不成立。 （3）若B A B A ??则,
77。
解：成立。7A ，7B 同真时，A 、B 同假，7A 、7B 假时，A ，B 同真。
8．下表是含两个命题变元的所有命题公式F 1~F 16的真值表，试写出每个命题公式Fi 的最多两个命题变元的具体形式，i=1,2……16。
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
11001100110011000111110000111100001011111111000000000016151413121110987654321F F F F F F F F F F F F F F F F Q P 解：0:1F Q P F ∧:2 Q P F 7:3∧ P F :4 Q P F ∧7:5 Q F :6
()Q P F ?7:1 Q P F ∨:8 Q P F ?∧?:9 Q P F ?:10 Q F 7:11 Q P F 7:12∨ P F 7:13 Q P F →:14 ()Q P F ∧7:15 1:16F
11．求下列命题公式的析取范式和合取范式： （1）()R Q P →∧7
解：原式?()()R Q P R Q P R Q P ∨?∨?∨∨?∨∧777（析、合取范式） （2）()R Q P →→
原式()()()R Q P R Q P R Q P ∨∧?∨∨?→∨?7777 ∴析取范式为：()R Q P ∨∧7
又()()()R Q R P R Q P ∨∧∨?∨∧77 ∴合取范式为：()()R Q R P ∨∧∨7 (3)()()P Q Q P ∨→→77 解：原式()()P Q Q P ∨→∨?7
()()()()()P
Q Q Q P P Q Q P P Q Q P ∨?∨∧?∨∨∧?∨∨∨?77)77(77777∴析、合取范式均为:P Q ∨7 (4)()R P Q P ∧∧→7
解：原式()()R Q P R P Q P R P Q P ∧?∧?∧∧?∧?∧∧∨?77 ∴析、合取范式均为：()R Q P ∧?∧ 12．求下列命题的主析取范式和主合取范式 （1）()()Q P Q P 777?→∨
解：原式()()()→∨?→∧→→∨?Q P P Q Q P Q P 77)7()7(77
()
)()77(P Q Q P ∨∧∨()()()())()77(7)77()77(7)()77(777P Q Q P Q P Q P P Q Q P Q P ∨∨∨∧∨∨∨?∨∧∨∨∨?()P Q P Q Q P ∨?∨∨∧∧?)(1
∴主合取式为P Q ∨=M 0
∴主析取式为m 1∨m 2∨m 3=)()()(Q P Q P Q P ∧∨?∧∨∧??
（2）()())7(7R Q Q P P →∨→∨
解：原式?()R Q P R Q P P R Q Q P P ∨∨?∨∨∨?∨∨∨∨)()))(((
∴主合取式为：R Q P ∨∨=M 0
∴主析取式为：7654321m m m m m m m ∨∨∨∨∨∨
即：()()()()∨∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧R Q P R Q P R Q P R Q P 7777777
()()()R Q P R Q P R Q P ∧∧∨∧∧∨∧∧77
（3）()()Q P R P ?∧→7 解：原式
()()()()()()Q P Q P R P P Q Q P R P ?∨∧∨∧∨?→∧→∧→?77 ()()
)()(())()7()()(R R Q P R R Q P Q Q R P ?∧∨?∨∧?∧∨∨∧?∧∨∨?
∨
∨?∨∧∨∨∧∨∨∧∨∨∧∨∨?)7()7()77()7()(R Q P R Q P R Q P Q R P Q R P )7()7()7()()(R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P ∨∨∧∨∨?∧∨∨∧∨∨?∨?∨
)()7(R Q P R Q P ∨?∨∧∨?∨∧
∴主合取范式为：
)()7()7()7()(R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P ?∨?∨∧∨∨∧∨∨?∧∨∨∧∨∨
=M 0 ∧ M 2∧ M 3∧M 4 ∧M 5 。
∴主析取范式为：761m m m ∨∨=)()7()7(Q R P R Q P R Q P ∧∧∨∧∧∨∧?∧ 13．通过求主析取范式，证明：Q P Q P P ∨?∧∨)7( 证：
)7()()7()7())7(()7(Q P Q P Q P Q P Q Q P Q P P ∧∨∧∨∧?∧∨∨∧?∧∨ ∨∧∨∧?∨∧∨∨∧?∨)7()())7(())7(()(Q P Q P P P Q Q Q P Q P )7()7()()()7(Q P Q P Q P Q P P Q ∧∨∧∨∧?∧∨∧
∴两式的主析取范式相同，即
)7(Q P P ∧∨为真时，Q P ∨亦为真，此时)()7(Q P Q P P ∨→∧∨成立
而)7(Q P P ∧∨为假时，不论Q P ∨为何值)()7(Q P Q P P ∨→∧∨成立 ∴)()7(Q P Q P P ∨→∧∨为重言式 故)()7(Q P Q P P ∨?∧∨
14．构造下面推理的证明： （1）前提：().7,7,
77R R Q Q P ∨∧
证论：7P 证明：（1）7R 前提引入
（2）7Q ∨R 前提此入
（3）7Q 析取三段论（1）、（2） （4）7（P ∧7Q ） 前提引入
（5）7P ∨Q 等值置换（4） （6）7P 析取三段论（3）、（5） （2） 前提：P →（Q →S ），Q ，P ∨7R
证论：R →S 证明：（1）R 附加前提
（2）P ∨7R 前提
（3）P 析取三段式（1）、（2） （4）P →（Q →S ） 前提
（5）7P ∨（7Q ∨S ）等价置换（4） （6）7Q ∨S 析取三段式（3）、（5）
（7）Q 前提
（8）S 析取三段式（6）、（7） （3） 前提P →Q ， 结论：P →（P ∧Q ） 证明：（1）P 附加前提
（2）P →Q 前提
（3）Q 假言推理（1）、（2）
（4）Q P ∧ 合取 （4）前提：S Q R P Q P →→∨,,
结论：R S ∨
证明：（1）Q P ∨ 前提
（2）R P → 前提 （3）S Q → 前提
（4）R S ∨ 构造二难性（1）、（2）、（3） （5）前提：()Q P R S Q P ,7,
∨→→
结论：S R →
证 明：（1）R 附加前提 （2）P R ∨7 前提
（3）P 析取三段式（1）、（2） （4）()S Q P →→ 前提
（5）()S Q P ∨∨77 等值置换（4） （6）S Q ∨7 析取三段式（3）、（5） （7）Q 前提
（8）S 析取三段式（6）、（7） （6）前提：Q P 77∧ 结论：()Q P ∧7
证明：（1）Q P 77∧ 前提 （2）P 7 简化（1） （3）Q P 77∨ 附加（2） （4）()Q P ∧7 等值置换（3）
15、某公安人员审查一件盗窃案，已知的事实如下： （1）甲或乙盗窃了电视机；
（2）若甲盗窃了电视机，则作案的时间不能发生在午夜前； （3）若乙的口供正确，则午夜时屋里的灯光未灭； （4）若乙的口供不正确，则作案时间发生在午夜之前； （5）午夜时屋里的灯光灭了。
试利用逻辑推理来确定谁盗窃了电视机。
解：P ：甲盗窃了电视机； Q ：乙盗窃了电视机； R ：作案时间发生在午夜前； S ：乙的口供正确；
T: 午夜时屋里的灯光灭了。 前提：T R S T S R P Q P ,,,,
→??→?→∨
（1）T 前提 （2）T S ?→ 前提
（3）7S 拒取式（1）、（2） （4）R S →7 前提
（5）R 假言推理（3）、（4） （6）R P 7→ 前提
（7）7P 拒取式（5）、（6） （8）Q P ∨ 前提 （9）Q 析取三段式 结论：乙盗窃了电视机。 16、判断下面的推理是否正确：
（1）如果a 、b 两数之积为0，则a 、b 中至少有一个数为0。a 、b 两数之积不为 P Q 7P
零，所以，a 、b 均不为零
7Q 解：不正确 。因推理形式为：Q P Q P 77,
?→
（2）若a 、b 两数之积是负的，则a 、b 中恰有一个数为负数。 a 、b 两数之积是 P Q 7Q
非负的，所以，a 、b 中不是恰有一个为负数。
7P 解：正确。因推理形式为：P Q Q P 77,
?→
（3）如果今天是星期一，则明天是星期三。今天是星期一，所以，明天是星期三。
P Q 解：正确。因推理形式为：Q P Q P ?→,
（4）如果西班牙是一个国家, 则北京是一个城市。北京是一个城市，所以，西班牙是
P Q
一个国家。
解：错误。因推理形式为：P Q Q P ?→,
17、给出下列定理的证明序列 ① ()()B A B A A →→→→)(
解：（1）()()()()()()()(B A A B A B A A B A A →→→→→→→→→→ （L 1） （2） ()
()()()()()()(B A A B A B A A B A A →→→→→→→→→→
()()()(()))()(())()()(B A A B A A B A B A A B A A →→→→→→→→→→→→→→（
（L 2）
(3) ()()()(())()()()()(B A A B A A B A B A A B A A →→→→→→→→→→→→→
(1), (2) , MP
(4) ()()()()()()()(B A A B A B A A B A A →→→→→→→→→→
()(()B A B A A B A A →→→→→→→→)()( (L 2)
(5) ()()B A B A A →→→→)( (3)、（4）, MP
② ()())()(C A C B B A →→→→→
解：（1）()()()(()))()()(B A C A C B B A B A →→→→→→→→→ L 1 （2）()()()(())()()()()(B A B A C A C B B A B A →→→→→→→→→→→
(()()())(B A B A C A C B B A →→→→→→→→→→))()()(
（3）()()()()))()())((((B A B A C A C B B A B A →→→→→→→→→→→
MP （1）、（2）
（4）()()()()))()())((((B A B A C A C B B A B A →→→→→→→→→→→
()()()))((C A C B B A →→→→→→ L 2
18、利用演绎定理证明：
1、┝())B A A B ?→?→→（ 解：先证：()A B →┝ ()B A 77→
（1）()A B → 假设
（2）()()B A A B 77→→→ L 3
（3）B A 77→ （1）,（2）, MP
从而由演绎定理得：┝()()B A A B 77→→→
2、┝())(A A B A →→→
解：先证：()A B A →→┝A
（1）())()))()))((((A B A A A B A A B A →→→→→→→→→
（2）()())()))(((())(((→→→→→→→→→→→→A B A A B A A B A A B A
()))(())()))((A B A A B A A B A →→→→→→→→→
（3）()())()))((((())(A B A A B A A B A A B A →→→→→→→→→→→ （1）、（2）, MP （4）()())()))((((())(→→→→→→→→→→→→A B A A B A A B A A B A
()))((A A B A →→→ L 2
（5）()B B A →→
（6）())(A A B A →→→ （3）、（4）, MP
（7）A
从而由演绎定理得: ┝())(A A B A →→→ 3、┝()()A B B A →→→7 解：先证 ()B A →7┝ ()A B →
（1）()B A →7 假设 （2）()())(B A A B A →→→→777 L 1
（3）()B A A →→77 （1）、（2），MP （4）(()())(A B A B A A →→→→→77 L 3
（5）()A B A →→ （3）、（4），MP （6）()B A B →→ L 1 （7）A B → （5）、（6），HS
(完整版)离散数学试卷及答案
离散数学试题（A卷答案） 一、（10分）求(P↓Q)→(P∧?(Q∨?R))的主析取范式 解：(P↓Q)→(P∧?(Q∨?R))??(?( P∨Q))∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q)∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q∨P)∧(P∨Q∨?Q)∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q)∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q∨(R∧?R))∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨R) ? M∧1M ? m∨3m∨4m∨5m∨6m∨7m 2 二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。 乙说：王教授不是上海人，是苏州人。 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。 王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人？ 解设设P：王教授是苏州人；Q：王教授是上海人；R：王教授是杭州人。则根据题意应有： 甲：?P∧Q 乙：?Q∧P 丙：?Q∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以，丙至少说对了一半。因此，可得甲或乙必有一人全错了。又因为，若甲全错了，则有?Q ∧P，因此，乙全对。同理，乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为：
((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此，王教授是上海人。 三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则由定理4.19知，tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系，则由闭包的定义知r (R )?'R 。由定理4.15和由定理4.16得sr (R )?s ('R )＝'R ，进而有tsr (R )?t ('R )＝'R 。 综上可知，tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 四、（15分）集合A ＝{a ，b ，c ，d ，e }上的二元关系R 为R ＝{，，，，，，，，
屈婉玲版离散数学课后习题答案【3】
第四章部分课后习题参考答案 3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值: (1) 对于任意x,均有2=(x+)(x). (2) 存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 解： F(x): 2=(x+)(x). G(x): x+5=9. (1)在两个个体域中都解释为) ?，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。 (x xF (2)在两个个体域中都解释为) xG ?，在（a）(b)中均为真命题。 (x 4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解: (1)F(x): x能表示成分数 H(x): x是有理数 命题符号化为: )) F x∧ ?? x ? ( ) ( (x H (2)F(x): x是北京卖菜的人 H(x): x是外地人 命题符号化为: )) F ?? x x→ (x ( H ) ( 5. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快. (3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解: (1)F(x): x是火车; G(x): x是轮船; H(x,y): x比y快 命题符号化为: )) F y x G ? y ? ∧ x→ , ( )) ( H ) x ((y ( (2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快
命题符号化为: ))),()(()((y x H x F x y G y →?∧?? 9.给定解释I 如下: (a) 个体域D 为实数集合R. (b) D 中特定元素=0. (c) 特定函数(x,y)=xy,x,y D ∈. (d) 特定谓词(x,y):x=y,(x,y):x 离散数学辅助教材 概念分析结构思想与推理证明 第一部分 集合论 离散数学习题解答 习题一（第一章集合） 1. 列出下述集合的全部元素： 1）A={x | x ∈N∧x是偶数∧x＜15} 2）B={x|x∈N∧4+x=3} 3）C={x|x是十进制的数字} [解] 1）A={2，4，6，8，10，12，14} 2）B= 3）C={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9} 2. 用谓词法表示下列集合： 1）{奇整数集合} 2）{小于7的非负整数集合} 3）{3，5，7，11，13，17，19，23，29} [解] 1）{n n∈I∧(?m∈I)(n=2m+1)}； 2）{n n∈I∧n≥0∧n<7}； 3）{p p∈N∧p>2∧p<30∧?(?d∈N)(d≠1∧d≠p∧(?k∈N)(p=k?d))}。 3. 确定下列各命题的真假性： 1） 2）∈ 3）{} 4）∈{} 5）{a，b}{a，b，c，{a，b，c}} 6）{a,b}∈(a，b，c，{a，b，c}) 7）{a，b}{a，b，{{a，b，}}} 8）{a，b}∈{a，b，{{a，b，}}} [解]1）真。因为空集是任意集合的子集； 2）假。因为空集不含任何元素； 3）真。因为空集是任意集合的子集； 4）真。因为是集合{}的元素； 5）真。因为{a，b}是集合{a，b，c，{a，b，c}}的子集； 6）假。因为{a,b}不是集合{a，b，c，{a，b，c}}的元素； 7）真。因为{a，b}是集合{a，b，{{a，b}}}的子集； 8）假。因为{a,b}不是集合{a，b，{{a，b}}}的元素。 4. 对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性： 1）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。 2）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。 3）如果A B∧B∈C，则A∈C。 [解] 1）假。例如A={a}，B={a，b}，C={{a}，{b}}，从而A∈B∧B∈C但A∈C。 2）假。例如A={a}，B={a，{a}}，C={{a}，{{a}}}，从而A∈B∧B∈C，但、A ∈C。 3）假。例如A={a}，B={a，b}，C={{a}，a，b}，从而ACB∧B∈．C，但A∈C。5．对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性： 1）如果A∈B∧B C，则A∈C。 2）如果A∈B∧B C，则A C。 3）如果A B∧B∈C，则A∈C。 3）如果A B∧B∈C，则A C。 [解] 1）真。因为B C x（x∈B x∈C），因此A∈B A∈C。 2）假。例如A={a}，B={{a}，{b}}，C={{a}，{b}，{c}}从而A∈B∧B C，但A C。 3）假。例如A={a}，B={{a，b}}，C={{a，{a，b}}，从而A B∧B∈C，但A C。 4）假。例如A={a}，B={{a，b}}，C={{a，b}，b}，从而A B∧B∈C，但A C。 6．求下列集合的幂集： 1）{a，b，c} 2）{a，{b，c}} 3）{} 4）{，{}} 5）{{a，b}，{a，a，b}，{a，b，a，b}} [解] 1）{，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}} 2）{，{a}，{{b，c}}，{a，{a，b}}} 3）{，{}} 4）{，{}，{{}}，{，{}}} 试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P:您努力,Q:您失败。 2、 “除非您努力,否则您将失败”符号化为 ; “虽然您努力了,但还就是失败了”符号化为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P P (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2) T T F F 则公式x ??真值为 。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不就是对称的又不就是反对称的关系 R= ;A 上既就是对称的又就是反对称的关系R= 。 5、设代数系统 二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。 1-1 过程控制有哪些主要特点？为什么说过程控制多属慢过程参数控制？ 1．控制对象复杂、控制要求多样 2. 控制方案丰富 3．控制多属慢过程参数控制 4．定值控制是过程控制的一种主要控制形式 5．过程控制系统由规范化的过程检测控制仪表组成 1-2 什么是过程控制系统？典型过程控制系统由哪几部分组成？ 过程控制系统：一般是指工业生产过程中自动控制系统的变量是温度、压力、流量、液位、成份等这样一些变量的系统。 组成：参照图1-1。 1-4 说明过程控制系统的分类方法，通常过程控制系统可分为哪几类？ 解答： 分类方法说明： 按所控制的参数来分，有温度控制系统、压力控制系统、流量控制系统等；按控制系统所处理的信号方式来分，有模拟控制系统与数字控制系统；按控制器类型来分，有常规仪表控制系统与计算机控制系统；按控制系统的结构和所完成的功能来分，有串级控制系统、均匀控制系统、自适应控制系统等；按其动作规律来分，有比例（P）控制、比例积分（PI）控制，比例、积分、微分（PID）控制系统等；按控制系统组成回路的情况来分，有单回路与多回路控制系统、开环与闭环控制系统；按被控参数的数量可分为单变量和多变量控制系统等。 通常分类： 1．按设定值的形式不同划分：（1）定值控制系统 （2）随动控制系统 （3）程序控制系统 2．按系统的结构特点分类：（1）反馈控制系统 （2）前馈控制系统 （3）前馈—反馈复合控制系统 1-5 什么是定值控制系统? 在定值控制系统中设定值是恒定不变的，引起系统被控参数变化的就是扰动信号。1-8 评价控制系统动态性能的常用单项指标有哪些？各自的定义是什么？ 解答： 单项性能指标主要有：衰减比、超调量与最大动态偏差、静差、调节时间、振荡频率、上升时间和峰值时间等。 衰减比：等于两个相邻的同向波峰值之比n ； 过渡过程的最大动态偏差：对于定值控制系统，是指被控参数偏离设定值的最大值A ； 超调量：第一个波峰值1y 与最终稳态值y （∞）之比的百分数σ； 1100%() y y σ=?∞ 残余偏差C ： 过渡过程结束后，被控参数所达到的新稳态值y （∞）与设定值之间的偏差C 称为残余偏差，简称残差； 调节时间：从过渡过程开始到过渡过程结束所需的时间； 振荡频率：过渡过程中相邻两同向波峰（或波谷）之间的时间间隔叫振荡周期或工作周期，其倒数称为振荡频率； 峰值时间：过渡过程开始至被控参数到达第一个波峰所需要的时间。 2-19 为什么说转子流量计是定压式流量计？而差压式流量计是变压降式流量计？ 1）转子流量计是定压式流量计(P47) 虽然转子流量计也是根据节流原理测量流量的，但它是利用节流元件改变流体的流通面积来保持转子上下的压差恒定。所以是定压式。 2）差压式流量计是变压降式流量计(P45) 是基于流体流动的节流原理，利用流体流经节流装置是产生的压差实现流量测量的。所以是变压降式。 2-22 电磁流量计的工作原理是什么？它对被测介质有什么要求？ 1）原理：利用导电液体通过磁场时在两固定电极上感应出电动是测量流速。 2）对被测介质的要求：导电液体，被测液体的电导率应大于水的电导率(Ωμ100cm)，不能测量油类或气体的流量。 2-24 超声波流量计的特点是什么？ 超声波流量计的非接触式测量方式，不会影响被测流体的流动状况，被测流体也不会对流量计造成磨损或腐蚀伤害，因此适用范围广阔。 习题一 1.下列句子中,哪些是命题？在是命题的句子中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？ （1）中国有四大发明. 答：此命题是简单命题，其真值为1. （2）5是无理数. 答：此命题是简单命题，其真值为1. （3）3是素数或4是素数. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为1. x+< （4）235 答：不是命题. （5）你去图书馆吗？ 答：不是命题. （6）2与3是偶数. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为0. （7）刘红与魏新是同学. 答：此命题是简单命题，其真值还不知道. （8）这朵玫瑰花多美丽呀！ 答：不是命题. （9）吸烟请到吸烟室去！ 答：不是命题. （10）圆的面积等于半径的平方乘以π. 答：此命题是简单命题，其真值为1. （11）只有6是偶数，3才能是2的倍数. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为0. （12）8是偶数的充分必要条件是8能被3整除. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为0. （13）2008年元旦下大雪. 答：此命题是简单命题，其真值还不知道. 2.将上题中是简单命题的命题符号化. 解:（1）p：中国有四大发明. （2）p:是无理数. （7）p:刘红与魏新是同学. （10）p:圆的面积等于半径的平方乘以π. （13）p:2008年元旦下大雪. 3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值. （1）5是有理数. 答：否定式：5是无理数.p：5是有理数.q：5是无理数.其否定式q的真值为1. （2）25不是无理数. 答：否定式：25是有理数. p ：25不是无理数. q ：25是有理数. 其否定式q 的真值为1. （3）2.5是自然数. 答：否定式：2.5不是自然数. p ：2.5是自然数. q ：2.5不是自然数. 其否定式q 的真值为1. （4）ln1是整数. 答：否定式：ln1不是整数. p ：ln1是整数. q ：ln1不是整数. 其否定式q 的真值为1. 4.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2与5都是素数 答：p ：2是素数，q ：5是素数，符号化为p q ∧，其真值为1. （2）不但π是无理数，而且自然对数的底e 也是无理数. 答：p ：π是无理数，q ：自然对数的底e 是无理数，符号化为p q ∧，其真值为1. （3）虽然2是最小的素数，但2不是最小的自然数. 答：p ：2是最小的素数，q ：2是最小的自然数，符号化为p q ∧?，其真值为1. （4）3是偶素数. 答：p ：3是素数，q ：3是偶数，符号化为p q ∧，其真值为0. （5）4既不是素数，也不是偶数. 答：p ：4是素数，q ：4是偶数，符号化为p q ?∧?，其真值为0. 5.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2或3是偶数. （2）2或4是偶数. （3）3或5是偶数. （4）3不是偶数或4不是偶数. （5）3不是素数或4不是偶数. 答: p ：2是偶数，q ：3是偶数，r :3是素数，s :4是偶数, t :5是偶数 (1) 符号化: p q ∨，其真值为1. (2) 符号化：p r ∨，其真值为1. (3) 符号化：r t ∨，其真值为0. (4) 符号化：q s ?∨?，其真值为1. (5) 符号化：r s ?∨?，其真值为0. 6.将下列命题符号化. （1）小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨. 答：p ：小丽从筐里拿一个苹果，q ：小丽从筐里拿一个梨，符号化为: p q ∨. （2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课. 答：p ：刘晓月选学英语，q ：刘晓月选学日语，符号化为: ()()p q p q ?∧∨∧?. 7.设p ：王冬生于1971年，q ：王冬生于1972年，说明命题“王冬生于1971年或1972年”既可以化 答:列出两种符号化的真值表： 离散数学期末试题及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )， )(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=?||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射. 3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧?)(； (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ). 第二章命题逻辑 §2.2 主要解题方法 2.2.1 证明命题公式恒真或恒假 主要有如下方法： 方法一.真值表方法。即列出公式的真值表，若表中对应公式所在列的每一取值全为1，这说明该公式在它的所有解释下都是真，因此是恒真的；若表中对应公式所在列的每 一取值全为0，这说明该公式在它的所有解释下都为假，因此是恒假的。 真值表法比较烦琐，但只要认真仔细，不会出错。 例2.2.1 说明G= (P∧Q→R)∧(P→Q)→(P→R)是恒真、恒假还是可满足。 解：该公式的真值表如下： 表2.2.1 由于表2.2.1中对应公式G所在列的每一取值全为1，故 G恒真。 方法二.以基本等价式为基础，通过反复对一个公式的等价代换，使之最后转化为一个恒真式或恒假式，从而实现公式恒真或恒假的证明。 例2.2.2 说明G= ((P→R) ∨? R)→ (? (Q→P) ∧ P)是恒真、恒假还是可满足。 解：由(P→R) ∨? R=?P∨ R∨? R=1，以及 ? (Q→P) ∧ P= ?（?Q∨ P）∧ P = Q∧? P∧ P=0 知，((P→R) ∨? R)→ (? (Q→P) ∧ P)=0，故G恒假。 方法三.设命题公式G含n个原子，若求得G的主析取范式包含所有2n个极小项，则G是恒真的；若求得G的主合取范式包含所有2n个极大项，则G是恒假的。 方法四. 对任给要判定的命题公式G，设其中有原子P1，P2，…，P n，令P1取1值，求G的真值，或为1，或为0，或成为新公式G1且其中只有原子P2，…，P n，再令P1取0值，求G真值，如此继续，到最终只含0或1为止，若最终结果全为1，则公式G恒真，若最终结果全为0，则公式G 一．判断题（共10小题，每题1分，共10分） 在各题末尾的括号内画 表示正确，画 表示错误： 1．设p、q为任意命题公式，则(p∧q)∨p ? p ( ) 2．?x(F(y)→G(x)) ? F(y)→?xG(x)。( ) 3．初级回路一定是简单回路。( ) 4．自然映射是双射。( ) 5．对于给定的集合及其上的二元运算，可逆元素的逆元是唯一的。( ) 6．群的运算是可交换的。( ) 7．自然数集关于数的加法和乘法 列为。 19．n阶无向简单连通图G的生成树有条边。 20．7阶圈的点色数是。 三、运算题（共5小题，每小题8分，共40分） 21．求?xF(x)→?yG(x,y)的前束范式。 22．已知无向图G有11条边，2度和3度顶点各两个，其余为4度顶点，求G 的顶点数。 23．设A={a,b,c,d,e,f}，R=I A?{ 填空10% （每小题 2 分） 1、若P，Q，为二命题，P Q 真值为0 当且仅当。 2、命题“对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数” 令F（x）：x 为实数，L（x, y） : x y 则命题的逻辑谓词公式为。 3、谓词合式公式xP（x） xQ（x）的前束范式为。 4、将量词辖域中出现的和指导变元交换为另一变元符号，公式其余的部分不变，这种方法称为 换名规则。 5、设x 是谓词合式公式A的一个客体变元，A的论域为D，A（x）关于y 是自由的，则被称为存 在量词消去规则，记为ES。 选择25% （每小题分） 1、下列语句是命题的有（）。 A、明年中秋节的晚上是晴天； C、xy 0 当且仅当x 和y 都大于0； D 、我正在说谎。 2、下列各命题中真值为真的命题有（）。 A、2+2=4当且仅当3是奇数； B、2+2=4当且仅当 3 不是奇数； C、2+2≠4 当且仅当3是奇数； D、2+2≠4当且仅当 3 不是奇数； 3、下列符号串是合式公式的有（） A、P Q ； B、P P Q； C、( P Q) (P Q)； D、(P Q) 。 4、下列等价式成立的有（ ）。 A、P QQ P ； B、P(P R) R； C、P (P Q) Q； D 、P (Q R) (P Q) R。 5、若A1,A2 A n和B为 wff ，且A1 A2 A n B 则 （ ）。 A、称A1 A2 A n 为 B 的前 件； B 、称 B 为A1,A2 A n 的有效结论 C 、 x(M (x) Mortal (x)) ； D 、 x(M(x) Mortal (x)) 8、公式 A x(P(x) Q(x))的解释 I 为：个体域 D={2} ，P(x) ：x>3, Q(x) ：x=4则 A 的 真 值为（ ） 。 A 、 1； B 、 0； C 、 可满足式； D 、无法判定。 9、 下列等价关系正确的是（ ）。 A 、 x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x)； B 、 x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x)； C 、 x(P(x) Q) xP(x) Q ； D 、 x(P(x) Q) xP(x) Q 。 10 、 下列推理步骤错在（ ）。 ① x(F(x) G(x)) P ② F(y) G(y) US ① ③ xF(x) P ④ F(y) ES ③ ⑤G(y) T ②④I ⑥ xG(x) EG ⑤ A 、②； B 、④； C 、⑤； D 、⑥ 逻辑判断 30% 1、 用等值演算法和真值表法判断公式 A ((P Q) (Q P)) (P Q) 的类型。 C 、当且仅当 A 1 A 2 A n D 、当且仅当 A 1 A 2 A n B F 。 6、 A ，B 为二合式公式，且 B ，则（ ）。 7、 A 、 A C 、 A B 为重言式； B 、 B ； E 、 A B 为重言式。 人总是要死的”谓词公式表示为（ ）。 论域为全总个体域） M （x ） ： x 是人； Mortal(x) x 是要死的。 A 、 M (x) Mortal (x) ； B M (x) Mortal (x) 离散数学课后答案 习题一 6.将下列命题符号化。 （1）小丽只能从框里那一个苹果或一个梨. （2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课. 答： （1）（p Λ?q ）ν（?pΛq）其中p:小丽拿一个苹果，q:小丽拿一个梨（2）（p Λ?q ）ν（?pΛq）其中p:刘晓月选学英语，q:刘晓月选学日语 14.将下列命题符号化. (1) 刘晓月跑得快, 跳得高. (2)老王是山东人或河北人. (3)因为天气冷, 所以我穿了羽绒服. (4)王欢与李乐组成一个小组. (5)李辛与李末是兄弟. (6)王强与刘威都学过法语. (7)他一面吃饭, 一面听音乐. (8)如果天下大雨, 他就乘班车上班. (9)只有天下大雨, 他才乘班车上班. (10)除非天下大雨, 他才乘班车上班. (11)下雪路滑, 他迟到了. (12)2与4都是素数, 这是不对的. (13)“2或4是素数, 这是不对的”是不对的. 答： (1)p∧q, 其中, p: 刘晓月跑得快, q: 刘晓月跳得高. (2)p∨q, 其中, p: 老王是山东人, q: 老王是河北人. (3)p→q, 其中, p: 天气冷, q: 我穿了羽绒服. (4)p, 其中, p: 王欢与李乐组成一个小组, 是简单命题. (5)p, 其中, p: 李辛与李末是兄弟. (6)p∧q, 其中, p: 王强学过法语, q: 刘威学过法语. (7)p∧q, 其中, p: 他吃饭, q: 他听音乐. (8)p→q, 其中, p: 天下大雨, q: 他乘班车上班. (9)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨. (10)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨. (11)p→q, 其中, p: 下雪路滑, q: 他迟到了. (12) ? (p∧q)或?p∨?q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数. (13) ? ? (p∨q)或p∨q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数. 16. 19.用真值表判断下列公式的类型: (1)p→ (p∨q∨r) (2)(p→?q) →?q 一、填空 20% （每小题2分） 1．设 }7|{)},5()(|{<∈=<∈=+x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶数） 则 =?B A 。 2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。 3．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则 )()))(((S R P R Q P ?∨→?∧→∨?的真值= 。 4．公式P R S R P ?∨∧∨∧)()(的主合取范式为 。 5．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ?→? 在I 下真值为 。 6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为 则 R 2 = 。 7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为 则 R= 。 8．图的补图为 。 9．设A={a ，b ，c ，d} ，A 上二元运算如下： 那么代数系统的幺元是 ，有逆元的元素为 ，它们的逆元分别为 。 10．下图所示的偏序集中，是格的为 。 二、选择 20% （每小题 2分） 1、下列是真命题的有（ ） A ． }}{{}{a a ? ； B ．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ； C ． }},{{ΦΦ∈Φ； D ． }}{{}{Φ∈Φ。 2、下列集合中相等的有（ ） A ．{4，3}Φ?； B ．{Φ，3，4}； C ．{4，Φ，3，3}； D ． {3，4}。 3、设A={1，2，3}，则A 上的二元关系有（ ）个。 A．23 ；B．32 ；C．332?；D．223?。 4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（） R 是自反的； A．若R，S 是自反的，则S R 是反自反的； B．若R，S 是反自反的，则S R 是对称的； C．若R，S 是对称的，则S R 是传递的。 D．若R，S 是传递的，则S 5、设A={1，2，3，4}，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下 t s p R= t s ∈ =则P（A）/ R=（） < > ∧ A ) (| || |} ( , {t , | s A．A ；B．P(A) ；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；D．{{Φ}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}} 6、设A={Φ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“?”的哈斯图为（） 7、下列函数是双射的为（） A．f : I→E , f (x) = 2x ；B．f : N→N?N, f (n) = 《现代控制理论》刘豹著（第3版）课后习题答案 《现代控制理论》刘豹著(第3版)课后习题答案第一章习题答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令，则所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示。以电压为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻上的电压作为输出量的输出方程。 解：由图，令，输出量有电路原理可知： 既得写成矢量矩阵形式为： 1-3 参考例子1-3. 1-4 两输入，，两输出，的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。 解：系统的状态空间表达式如下所示： 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。 解：令，则有相应的模拟结构图如下： 1-6 已知系统传递函数,试求出系统的约旦标准型的实现， 并画出相应的模拟结构图解： 1-7 给定下列状态空间表达式‘画出其模拟结构图求系统的传递函数解： 1-8 求下列矩阵的特征矢量解：A的特征方程解之得： 当时，解得： 令得当时，解得： 令得当时，解得： 令得1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型解：A的特征方程当时，解之得令得当时，解之得令得当时，解之得令得约旦标准型1-10 已知两系统的传递函数分别为W1(s)和W2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果解：串联联结并联联结1-11 已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解： 1-11 已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解： 1-12 已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为解法1： 解法2： 求T,使得得所以所以，状态空间表达式为 离散数学课后习题答案(左孝凌版) 1-1，1-2解： a)是命题，真值为T。 b)不是命题。 c)是命题，真值要根据具体情况确定。 d)不是命题。 e)是命题，真值为T。 f)是命题，真值为T。 g)是命题，真值为F。 h)不是命题。 i)不是命题。 （2）解： 原子命题：我爱北京天安门。 复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。 （3）解： a)(┓P ∧R)→Q b)Q→R c)┓P d)P→┓Q （4）解： a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。 Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。 R∧Q:我在看电视边吃苹果。 c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。 （Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。 (5) 解： a)设P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Q b)设P：小李看书。Q：小李听音乐。P∧Q c)设P：气候很好。Q：气候很热。P∨Q d)设P： a和b是偶数。Q：a+b是偶数。P→Q e)设P：四边形ABCD是平行四边形。Q ：四边形ABCD的对边平行。P Q f)设P：语法错误。Q：程序错误。R：停机。（P∨ Q）→ R (6) 解： a)P:天气炎热。Q:正在下雨。 P∧Q b)P:天气炎热。R:湿度较低。 P∧R c)R:天正在下雨。S:湿度很高。 R∨S d)A:刘英上山。B:李进上山。 A∧B e)M:老王是革新者。N:小李是革新者。 M∨N f)L:你看电影。M:我看电影。┓L→┓M g)P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。 P∧Q∧R h)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q 1-3 （1）解： 离散数学习题答案 习题一及答案：（P14-15） 14、将下列命题符号化： （5）李辛与李末是兄弟 解：设p ：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p （6）王强与刘威都学过法语 解：设p ：王强学过法语；q ：刘威学过法语；则命题符号化的结果是 p q ∧ （9）只有天下大雨，他才乘班车上班 解：设p ：天下大雨；q ：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p → （11）下雪路滑，他迟到了 解：设p ：下雪；q ：路滑；r ：他迟到了；则命题符号化的结果是()p q r ∧→ 15、设p ：2+3=5. q ：大熊猫产在中国. r ：太阳从西方升起. 求下列复合命题的真值： （4）()(())p q r p q r ∧∧???∨?→ 解：p=1，q=1，r=0， ()(110)1p q r ∧∧??∧∧??， (())((11)0)(00)1p q r ?∨?→??∨?→?→? ()(())111p q r p q r ∴∧∧???∨?→??? 19、用真值表判断下列公式的类型： （2）()p p q →?→? 解：列出公式的真值表，如下所示： 20、求下列公式的成真赋值： （4）()p q q ?∨→ 解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是： ()10p q q ?∨??????00 p q ????? 所以公式的成真赋值有：01，10，11。 习题二及答案：（P38） 5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ?→∧∧ 解：原式()p q q r ?∨∧∧q r ?∧()p p q r ??∨∧∧ ()()p q r p q r ??∧∧∨∧∧37m m ?∨，此即公式的主析取范式， 所以成真赋值为011，111。 6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： （2）()()p q p r ∧∨?∨ 解：原式()()p p r p q r ?∨?∨∧?∨∨()p q r ??∨∨4M ?，此即公式的主合取范式， 所以成假赋值为100。 7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式： （1）()p q r ∧∨ 解：原式()(()())p q r r p p q q r ?∧∧?∨∨?∨∧?∨∧ ()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ?∧∧?∨∧∧∨?∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ??∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧ 13567m m m m m ?∨∨∨∨，此即主析取范式。 主析取范式中没出现的极小项为0m ，2m ，4m ，所以主合取范式中含有三个极大项0M ，2M ，4M ，故原式的主合取范式024M M M ?∧∧。 9、用真值表法求下面公式的主析取范式： 离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝_____{3}______________; ρ(A) - ρ(B)＝ ____{{3}，{1，3}，{2,3},{1,2,3}}__________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = ___2^(n^2)________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是____A1 = {(a,1), (b,1)}, A2 = {(a,2), (b,2)}, A3 = {(a,1), (b,2)}, A4 = {(a,2), (b,1)},_________ _____________, 其中双射的是______A3, A4__________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取式是____P∧?Q∧R (m5)____. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为___12______，分枝点数为_______3_________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝______{4}______; A?B＝____{1,2,3,4}_________;A－B＝______{1,2}_______ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______自反性____________, _________对称性_________, _________传递性_____________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有_____（1,0,0）__________， ______(1,0,1)________, ________(1,1,0)________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则R1?R2= ___{(1,3),(2,2),(3,1)}____,R2?R1 =_____{(2,4), (3,3), (4,2)}_____, R12=_______{(2,2), (3,3)}_________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = ______2^(m*n)___________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = _____{x | -1 ≤x < 0, x ∈R}_______ , B-A = ______{x | 1 < x < 2, x ∈R}_____ , A∩B = ______{x | 0 ≤x ≤1, x ∈R}__________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ ________{(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)}_________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束式是_____?y?x(P(y)→Q(x))________ _____.离散数学第三版课后习题答案
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