1.1线性空间的定义、基和维数

最新向量空间的定义教案(50分钟)

向量空间的定义教案 (50分钟)

“向量空间的定义”教案（50分钟） I 教学目的 1、使学生初步掌握向量空间的概念。 2、使学生初步了解公理化方法的含义。 3、使学生初步尝试现代数学研究问题的特点。 II 教学重点 向量空间的概念。 Ⅲ 教学方式 既教知识，又教思想方法。 Ⅳ 教学过程 第六章 向量空间 §6.1 定义和例子 一、向量空间概念产生的背景 1）αββα+=+ 数 a+b, ab; 2）)()(γβαγβα++=++ 几何向量 αβα a ,+; 3）αα=+0 多项式 f(x)+g(x),af(x); 4）0='+αα 函数 f(x)+g(x),af(x); 5）βαβαa a a +=+)( 矩阵 A+B ，aA; 6）αααb a b a +=+)( …… 7）)()(ααb a ab = 8）αα=1 二、向量空间的定义 定义1 令F 是一个数域，F 中的元素用小写拉丁字母a,b,c,…来表示。令V 是一个非空集合，V 中元素用小写希腊字母 ,,,γβα来表示。把V 中的元素叫做向量，而把F 中的元素叫做数（标）量，如果下列条件被满足，就称V 是F 上的向量空间： 1 在V 中定义了一个加法，对于V 中任意两个向量βα,，有唯一确定的向量与它们对应，这个向量叫做βα与的和，并且记作βα+。

即若,,V V ∈∈βα则V ∈+→βαβα),(。 2 有一个数量与向量的乘法，对于F 中每一个数a 和v 中每一个向量α有v 中唯一确定的向量与它们对应，这个向量叫做a 与α的积，并且记作αa 。 即V a a V F a ∈→∈∈ααα),(,,。 3 向量的加法和数与向量的乘法满足下列算律： 1）αββα+=+； 2）)(γβαγβα++=++； 3）在V 中存在一个零向量，记作0，它具有以下性质：对于V 中每一个向量 α，都有αα=+0； 4）对于V 中每一向量α，在V 中存在一个向量α'，使得0=+'αα，这样的α'叫做α的负向量。 5）βαβαa a a +=+)(； 6）ba a b a +=+αα)(； 7）)()(ααb a ab =； 8）αα=1。 注1：定义1称为公理化定义，以公理化定义为基础进行研究的方法称为公理化方法。 公理化方法???形式以理化方法 实质公理化方法 注2：数域F 称为基础域。 三、向量空间的例子 例1 解析几何里，V 2或V 3对于向量的加法和实数与向量的乘法来说作成实数域上的向量空间。 例2 M mn （F ）对于矩阵的加法和数乘来说作成F 上的向量空间。 特别，},,2,1,|),,,{(21n i F a a a a F i n n =∈=关于矩阵加法和数乘构成的F 上的向量空间称为F 上的n 元列空间。

线性空间的性质

学院数学与信息科学学院 专业信息与计算科学 年级2011级 姓名魏云 论文题目线性空间的性质 指导教师韩英波职称副教授成绩 2013年3月16日

学年论文成绩评定表

目录 摘要 (1) 关键字 (1) Abstract (1) Key words (1) 前言 (1) 1 线性空间的概念 (2) 2 线性空间的相关理论 (3) 2.1 线性空间的一些简单性质 (3) 2.2 向量的线性关系 (3) 2.3 基、维数、坐标 (6) 3 两个特殊的子空间 (7) 3.1 欧几里得空间的定义与性质 (7) 3.2 酉空间的介绍 (8) 4 线性空间的同构 (8) 4.1 同构映射与线性空间同构的定义 (8) 4.2 同构映射的性质 (9) 参考文献 (10)

线性空间的性质 摘要：本文首先介绍了与线性空间相关的一系列基本概念，然后归纳总结了线性空间的一些相关性质，包括线性空间的维数、基及坐标；同构映射以及性质等，还包括了向量的线性关系，同时介绍了一些特殊的线性空间，以及它们的简单性质. 关键词：线性空间；基；维数；同构 The properties of linear vector space Abstract: In thesis, we introduce a series of basic concepts of the linear vector space firstly, and then summarized some properties of the linear space, including linear vector space definition, linear vector space, the nature of the linear vector space dimension, base and coordinates, isomorphism mapping and judgments. The thesis also includes linear vector space relationship, some special linear spaces and their simple properties. Key words: Linear space; Base ; Dimension; Isomorphism 前言：线性空间是线性代数最基本的数学概念之一，是线性代数的主要研究对象，它用公理化的方法引入了一个代数系统.同时线性空间与线性变换也是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念，线性空间的理论和方法在自然科学和工程技术领域中都有广泛的应用.下面我们主要研究线性空间及、向量的线性关系、基、维数、坐标、特殊的线性空间以及线性空间的同构问题. 1.线性空间的概念

线性空间与子空间

第一讲 线性空间 一、 线性空间的定义及性质 [知识预备] ★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成 的整体 集合的表示：枚举、表达式 集合的运算：并（），交（） 另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。 ★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R ）和复数域（C ）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。 1． 线性空间的定义： 设V 是一个非空集合，其元素用x,y,z 等表示；K 是一个数域，其元素用k,l,m 等表示。如果V 满足[如下8条性质，分两类] （I ）在V 中定义一个“加法”运算，即当x,y V ∈时，有唯一的和 x y V +∈（封闭性），且加法运算满足下列性质 （1）结合律 ()()x y z x y z ++=++； （2）交换律 x y y x +=+；

（3）零元律 存在零元素o ，使x +o x =； （4）负元律 对于任一元素x V ∈，存在一元素y V ∈，使x y +=o ，且称y 为x 的负元素，记为（x -） 。则有()x x +-= o 。 （II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当x V ∈，k K ∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质 （5）数因子分配律 ()k x y kx ky +=+； （6）分配律 ()k l x kx lx +=+； （7）结合律 ()()k lx kl x =； （8）恒等律 1x x =； [数域中一定有1] 则称V 为数域K 上的线性空间。 注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合， 如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。 （2）两种运算、八条性质 数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。 （3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭 性。唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满足。 当数域K 为实数域时，V 就称为实线性空间；K 为复数域，V 就称为复线性空间。 例1． 设R +＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为

01 线性空间与子空间

第一讲 线性空间 一、 线性空间的定义及性质 [知识预备] ★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成 的整体 集合的表示：枚举、表达式 集合的运算：并（U ），交（I ） 另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。 ★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R ）和复数域（C ）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。 1． 线性空间的定义： 设V 是一个非空集合，其元素用x,y,z 等表示；K 是一个数域，其元素用k,l,m 等表示。如果V 满足[如下8条性质，分两类] （I ）在V 中定义一个“加法”运算，即当x,y V ∈时，有唯一的和x y V +∈（封闭性），且加法运算满足下列性质 （1）结合律 ()()x y z x y z ++=++； （2）交换律 x y y x +=+； （3）零元律 存在零元素o ，使x +o x =； （4）负元律 对于任一元素x V ∈，存在一元素y V ∈，使

x y +=o ，且称y 为x 的负元素，记为（x -） 。则有()x x +-= o 。 （II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当x V ∈，k K ∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质 （5）数因子分配律 ()k x y kx ky +=+； （6）分配律 ()k l x kx lx +=+； （7）结合律 ()()k lx kl x =； （8）恒等律 1x x =； [数域中一定有1] 则称V 为数域K 上的线性空间。 注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合， 如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。 （2）两种运算、八条性质 数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运 算和数乘运算则可以十分抽象。 （3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭 性。唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满足。 当数域K 为实数域时，V 就称为实线性空间；K 为复数域，V 就称为复线性空间。 例1． 设R +＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为 x y=xy , k k x x =o 证明：R +是实数域R 上的线性空间。 [证明] 首先需要证明两种运算的唯一性和封闭性

1-1线性空间

第一专题 线性空间和线性变换 矩阵是研究线性模型最基本的工具之一。根据本书的性质，我们假定读者已具备了这方面的基础知识。本书的目的是对本科《线性代数》教材中没有论及或讨论不够充分，而在线性模型讨论中经常用到的一些矩阵知识，给予系统而扼要地叙述。 §1 线性空间 一、线性空间的概念与性质 线性空间是由具体的几何平面和空间的特征经过抽象提炼出来的一个数学概念。粗略地说，在一个非空集合上定义了线性运算，并且这种运算满足一定的规则，那么这个非空集合就成为一个线性空间。因此，一个线性空间必须有由线性运算规定的代数结构(由集合与满足一定运算规律的一些代数运算合在一起组成的系统)，以便于用数学方法对它研究。为了说明它的来源，在引入定义之前，先看几个熟知的例子。 例1 在解析几何中，我们讨论过三维空间中的向量。向量的基本属性是可以按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量乘法。我们看到，不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的。 例 2 为了解线性方程组，我们讨论过以n 元有序数组)(21n ,a ,,a a 作为元素的n 维向量空间。对于它们，也有加法和数量乘法，那就是： ),()()(22112121n n n n b ,a ,b ,a b a ,b ,,b b ,a ,,a a ).()(2121n n ,ka ,,ka ka ,a ,,a a k 从这些例子中我们可以看到，所考虑的对象虽然不同，但它们有一个共同点，那就是它们都有加法和数量乘法这两种运算。抽取它们的共同点，把它们统一起来加以研究，我们可以引入线

性空间的概念。 在第一个例子中，我们用实数和向量相乘。在第二个例子中用什么数和向量相乘，就要看具体情况。例如，在有理数域中解线性方程组时，用有理数去作数量乘法就足够了，而在复数域中解线性方程组时，就需要用复数去作运算。可见，不同的对象与不同的数域相联系。当我们引入抽象的线性空间的概念时，也必须选定一个确定的数域作为基础。 定义1 设F 是一个数集，其中包含0和1。如果F 中任意两个数（它们可以相同）的和、差、积、商（除数不是0）仍是F 中的数，那么称F 为数域。 显然，全体实数集R 、全体复数集C 、全体有理数集Q 等都是数域。而全体正实数集 R ，全体整数集Z 等都不是数域。 定义2 设V 是一非空集合,F 是数域（本书特指实数域）,对V 中任意两个元 ,,定义一个加法运算,记为“+”:V （元 称为 与 的和）；定义一个数乘运算:F k V k , （元 k 称为k 与 的数积）。这两种运算（也称为V 的线性运算）,满足下列规则,则称V 为数域F 上的线性空间（或向量空间）。 加法满足下面四条规则： (1) ； (2) )()( ； (3) 在V 中存在零元素0；对任何V ，都有 0； (4) 对任何V ，都有 的负元素V ，使0 ，记 ； 数量乘法满足下面两条规则： (5) 1； (6) αα)()( ； 数量乘法与加法满足下面两条规则；

高等代数北大版教案-第6章线性空间资料

第六章 线性空间 §1 集合映射 一 授课内容:§1 集合映射 二 教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算,求和号 与乘积号的定义. 三 教学重点:集合映射的有关定义. 四 教学难点:集合映射的有关定义. 五 教学过程: 1.集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 定义:(集合的交、并、差) 设S 是集合,A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集,记作B A ?；把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集,记做B A ?；从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集,记做B A \. 定义:(集合的映射) 设A 、B 为集合.如果存在法则f ,使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素(记做)(a f ),则称f 是A 到B 的一个映射,记为 ).(,:a f a B A f α→ 如果B b a f ∈=)(,则b 称为a 在f 下的像,a 称为b 在f 下的原像.A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像,记做)(A f ,即 {}A a a f A f ∈=|)()(. 若,'A a a ∈≠?都有),'()(a f a f ≠ 则称f 为单射.若 ,B b ∈?都存在 A a ∈,使得b a f =)(,则称f 为满射.如果f 既是单射又是满射,则称f 为双射,或称一一对应. 2.求和号与求积号 (1)求和号与乘积号的定义 为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号. 设给定某个数域K 上n 个数n a a a ,,,21Λ,我们使用如下记号:

01 线性空间

《矩阵论》简介 廖桂生 liaogs@https://www.wendangku.net/doc/544474406.html, 这是一门数学课，要求按数学课来学习，概念清晰，逻辑性、抽象思维，严密系统性。主要内容分为两条线，即线性空间与线性变换及矩阵，矩阵分解与矩阵函数；第二条线为线性方程求解问题，存在唯一解的求解算法，没有解或有无穷多组解之广义逆矩阵。 同时，会用矩阵论解决科学技术与工程问题，训练并领会数学与工程之间的桥梁。 要求：尽量做题，数学训练 联系工程，掌握工具 第一讲线性空间 一、线性空间的定义及性质 [知识预备] ★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体 集合的表示：枚举、表达式 集合的运算：并（），交（） 另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。 ★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。

1． 线性空间的定义： 设V 是一个非空集合，其元素用x,y,z 等表示；K 是一个数域，其元素用k,l,m 等表示。如果V 满足[如下8条性质，分两类] （I ）在V 中定义一个“加法”运算，即当x,y V ∈时，有唯一的和x y V +∈（封闭性） ，且加法运算满足下列性质 （1）结合律 ()()x y z x y z ++=++； （2）交换律 x y y x +=+； （3）零元律 存在零元素o ，使x +o x =； （4）负元律 对于任一元素x V ∈，存在一元素y V ∈，使 x y +=o ，且称y 为x 的负元素，记为（x -）。则有()x x +-= o 。 （II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当x V ∈，k K ∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质 （5）数因子分配律 ()k x y kx ky +=+； （6）分配律 ()k l x kx lx +=+； （7）结合律 ()()k lx kl x =； （8）恒等律 1x x =； [数域中一定有1] 则称V 为数域K 上的线性空间。 注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合， 如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。 （2）两种运算、八条性质 数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。

基与维数的几种求法

线性空间基和维数的求法 方法一 根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数，即:在线性空间V 中,如果有n 个向量n αα,,1 满足: （1)n ααα,2,1 线性无关。 (2)V 中任一向量α总可以由n ααα,,21, 线性表示。 那么称V 为n 维(有限维)线性空间,n 为V 的维数，记为 dim v n =,并称n ααα,,2,1 为线性空间V 的一组基。 如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V 为无限维的。 例１ 设{}0V X AX ==,A 为数域P 上m n ?矩阵，X 为数域P 上 n 维向量,求V 的维数和一组基。 解 设矩阵A 的秩为r ,则齐次线性方程组0AX =的任一基础解系都是V 的基，且V 的维数为n r -。 例2 数域P 上全体形如0a a b ?? ?-?? 的二阶方阵,对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成的线性空间,求此空间的维数和一组基。 解 易证0100,1001???? ? ? -????为线性空间0,a V a b p a b ????=∈?? ?-???? ｜的一组线性无关的向量组，且对V 中任一元素0a a b ?? ?-?? 有00100+1001a a b a b ?????? = ? ? ??????? 按定义0100,1001???? ? ????? 为V 的一组基,V 的维数为2。

方法二 在已知线性空间的维数为n 时,任意n 个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。 例３ 假定[]n R x 是一切次数小于n 的实系数多项式添上零多 项式所形成的线性空间，证明：()()()21 1,1,1,,1n x x x ----构成[]n R x 的 基。 证明 考察()()1121110n n k k x k x -?+-++-= 由1n x -的系数为0得0n k =,并代入上式可得2n x -的系数 10n k -= 依此类推便有110n n k k k -====, 故()() 1 1,1, ,1n x x ---线性无关 又[]n R x 的维数为n ,于是()() 1 1,1,,1n x x ---为[]n R x 的基。 方法三 利用定理：数域p 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数。 例４ 设0110A -?? = ??? ,证明： 由实数域上的矩阵A 的全体实系数多项式()f A 组成的空间() 0110V f A A ?-? ??==?? ???? ? ｜与复数域C 作为实数域R 上的线性空间{}'V a bi R =+∈｜a,b 同构,并非求它们的维数。 证明 V 中任一多项式可记为()()=,,f A aE bA a b R +∈,建立'V 到

线性空间线性空间的定义及性质知识预备集合笼统的说

第一讲线性空间 一、线性空间的定义及性质 [知识预备] ★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体。 集合的表示：枚举、表达式 集合的运算：并（），交（） 另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。 ★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。 1．线性空间的定义： 设V是一个非空集合，其元素用z x, ,等表示；K是一个数域， y 其元素用m ,等表示。如果V满足[如下8条性质，分两类]: k, l （I）在V中定义一个“加法”运算，即当V x∈ ，时，有唯一的和 y +（封闭性），且加法运算满足下列性质: x∈ y V （1）结合律z = +) ( ) (； + y + z x y x+ （2）交换律x +； = y y x+ （3）零元律存在零元素O，使x +； x= O

（4）负元律 对于任一元素V x ∈，存在一元素V y ∈，使O y x =+，且称y 为x 的负元素，记为)(x -。则有O x x =-+)(。 （II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当K k V x ∈∈,时，有唯一的V kx ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质: （5）数因子分配律 ky kx y x k +=+)(； （6）分配律 lx kx x l k +=+)(； （7）结合律 x kl lx k )()(=； （8）恒等律 x x =1； 则称V 为数域K 上的线性空间。 注意以下几点： 1）线性空间是基于一定数域来的。同一个集合，对于不同数域，就可能构成不同的线性空间，甚至对有的数域能构成线性空间，而对其他数域不能构成线性空间。 2）两种运算、八条性质。数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运算和数乘运算则是抽象的、形式的。 3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭性是否满足。 当数域K 为实数域时， V 就称为实线性空间； K 为复数域， V 就称为复线性空间。 例1． 设=+R {全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为 x xy y = , k x x k =

线性空间维数与基的求法

线性空间维数与基的求法 维数与基是线性空间V 的一个基本属性，它的确立对于我们认识线性空间有着很大的作用。因为确定了维数和基以后n 线性空间V 上任意向量的坐标（即n 元数组）也就相应确定了，在学习了线性空间的同构的知识后会知道，任意n 维线性空间V 都与n P 同构，这样，我们可以通过n P 的性质来研究任意n 线性空间V 的性质。 同时对维数与基概念的把握也是我们后面学习线性空间的同构、线性变换、欧氏空间的基础。但是，鉴于它是线性空间的一个基本概念，多数教科书对于该部分的处理往往是泛泛而谈，比如文献1250P 例3更是一笔带过，这对学生深入理解相关概念造成了一定的障碍。虽然它的求法没有统一的方法，但却有着一致的要求，即要符合定义。本文计划从以下两方面对维数与基的求法做进一步的归纳和总结，同时也是对《高等代数》250P 例3的补充说明，希望对初学者认识线性空间以及后续的学习有一定的帮助。 一、数域P 上的线性空间V ——数域P 的作用和角色 凡是涉及数与空间中向量（取自集合V 中的元素）的乘积，即通常所说的数量乘法，其中的数都是取自数域P 。例如：线性变换、同构定义中的第二条保持数量乘法，判别向量的线性相关性等这些问题都是依赖数域P 的。同一线性空间V 指定数域的不同，通常对于我们的结果也会造成很大差别。 1.数域P 对线性空间V 的线性变换判别的影响 例1：把复数域看作复数域上的线性空间，ξξ=A 解：举反例如下，系数k 取自复数域i k =，)())(()(ai b bi a i k +-A =+A =A α ai b --=， 而ai b bi a i bi a i k +=-=+A =A )())(()(α，显然)()(ααA ≠A k k ，故变换A 不是线性的。 例2：把复数域看作实数域上的线性空间，ξξ=A 解：系数k 取自实数域R k ∈，kbi ka kbi ka bi a k k -=+A =+A =A )())(()(α， kbi ka bi a k bi a k k -=-=+A =A )())(()(α，容易验证A 也保持向量的加法，故A 是线性的。 可见，同一线性空间的同一变换在不同数域上有些是线性的，有些不是线性的。 2.数域P 对线性变换特征值及矩阵可否对角化的影响 文献1中关于线性变换特征值的定义是要求符合等式ξλξ0=A 中的0λ是取自线性

线性空间的维数

§3 维数·基与坐标 一、向量的线性相关与线性无关 定义 2 设V 是数域P 上的一个线性空间，r ααα,,,.21 )1(≥r 是V 一组向量,r k k k ,,,21 是数域P 中的数，那么向量 r r k k k αααα+++= 2211. 称为向量组r ααα,,,.21 的一个线性组合，有时也说向量α可以用向量组r ααα,,,.21 线性表出. 定义3 设 r ααα,,,.21 ; (1) s βββ.,,21 (2) 是V 中两个向量组，如果（1）中每个向量都可以用向量组（2）线性表出，那么称向量（1）可以用向量组（2）线性表出.如果（1）与（2）可以互相线性表出，那么向量组（1）与（2）称为等价的. 定义4 线性空间V 中向量r ααα,,,.21 )1(≥r 称为线性相关，如果在数域P 中有r 个不全为零的数r k k k ,,,21 ，使 0.2211=+++r r k k k ααα . (3) 如果向量r ααα,,,.21 不线性相关，就称为线性无关.换句话说，向量组r ααα,,,.21 称为线性无关，如果等式（3）只有在021===r k k k 时才成立. 几个常用的结论： 1. 单个向量α线性相关的充要条件是0=α.两个以上的向量r ααα,,,.21 线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合. 2. 如果向量组r ααα,,,.21 线性无关，而且可以被s βββ.,,21 线性表出，那么s r ≤. 由此推出，两个等价的线性无关的向量组，必含有相同个数的向量.

3. 如果向量组r ααα,,,.21 线性无关，但βααα,,,,.21r 线性相关，那么β可以由被r ααα,,,.21 线性表出，而且表示法是唯一的. 在一个线性空间中究竟最多能有几个线性无关的向量，显然是线性空间的一个重要属性. 定义5 如果在线性空间V 中有n 个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，那么V 就称为n 维的；如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V 就称为无限维的. 定义6 在n 维线性空间V 中，n 个线性无关的向量n εεε,,,21 称为V 的一组基.设α是V 中任一向量，于是αεεε,,,,21n 线性相关，因此α可以被基n εεε,,,21 线性表出： n n a a a εεεα+++= 2211. 其中系数n a a a ,,,21 是被向量α和基n εεε,,,21 唯一确定的，这组数就称为α在基n εεε,,,21 下的坐标，记为),,,(21n a a a . 由以上定义看来，在给出空间V 的一组基之前，必须先确定V 的维数. 定理1 如果在线性空间V 中有n 个线性无关的向量n ααα,,,.21 ，且V 中任一向量都可以用它们线性表出，那么V 是n 维的，而n ααα,,,.21 就是V 的一组基. 例1 在线性空间n x P ][中， 12,,,,1-n x x x 是n 个线性无关的向量，而且每一个次数小于n 的数域P 上的多项式都可以被它们线性表出，所以n x P ][是n 维的，而12,,,,1-n x x x 就是它的一组基. 例2 在n 维的空间n P 中，显然

基与维数的几种求法

基与维数的几种求法 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

线性空间基和维数的求法 方法一 根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间V 中，如果有n 个向量n αα,,1 满足: (1)n ααα,2,1 线性无关。 (2)V 中任一向量α总可以由n ααα,,21, 线性表示。 那么称V 为n 维（有限维）线性空间，n 为V 的维数，记为dim v n =，并称n ααα,,2,1 为线性空间V 的一组基。 如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V 为无限维的。 例1 设{}0V X AX ==，A 为数域P 上m n ?矩阵，X 为数域P 上n 维向量，求V 的维数和一组基。 解 设矩阵A 的秩为r ，则齐次线性方程组0AX =的任一基础解系都是V 的基，且V 的维数为n r -。 例2 数域P 上全体形如0a a b ?? ?-??的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的 乘法所组成的线性空间，求此空间的维数和一组基。 解 易证0100,1001???? ? ? -????为线性空间0,a V a b p a b ????=∈?? ?-???? ｜的一组线性无关的向量组，且对V 中任一元素0a a b ?? ?-??有00100+1001a a b a b ?????? = ? ? ??????? 按定义0100,1001???? ? ?????为V 的一组基，V 的维数为2。 方法二 在已知线性空间的维数为n 时，任意n 个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。