九年级下数学锐角三角函数导学案
C B C
B
C B
A 课题：28．1锐角三角函数（1）
目标导航： 【学习目标】
⑴: 经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。
⑵: 能根据正弦概念正确进行计算 【学习重点】
理解正弦（sinA ）概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实． 【学习难点】
当直角三角形的锐角固定时，，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。 【导学过程】 一、自学提纲：
1、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m ，?求AB
2、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m ，?求BC
二、合作交流：
问题： 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，?在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？
思考1：如果使出水口的高度为50m ，那么需要准备多长的水管？ ； 如果使出水口的高度为a m ，那么需要准备多长的水管？ ； 结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值 思考2：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边 的比值是一个定值吗？?如果是，是多少？
结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值 三、教师点拨：
从上面这两个问题的结论中可知，?在一个Rt △ABC 中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠
A 的对边与斜边的比都等于1
2
，是一个固定值；?当∠A=45°时，∠A 的对边与斜边的比
都等于
2
，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A 取其他一定度数的锐角时，?它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究：任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′，使得∠C=∠C ′=90°，
斜边c
对边a
b
C B A
(2)13
5
3C
B A
(1)
34
C
B A
∠A=∠A ′=a ，那么
''
''
BC B C AB A B 与
有什么关系．你能解释一下吗？
结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，?∠A 的对边与斜边的比 正弦函数概念：
规定：在Rt △BC 中，∠C=90，
∠A 的对边记作a ，∠B 的对边记作b ，∠C 的对边记作c ．
在Rt △BC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦， 记作sinA ，即sinA= =
a
c
． sinA ＝
A a A c ∠=∠的对边的斜边 例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°=
；
当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°= ．
四、学生展示：
例1 如图，在Rt △ABC 中， ∠C=90°，求sinA 和sinB 的值．
随堂练习 （1）： 做课本第79页练习．
随堂练习 （2）：
1．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是﹙ ﹚
A ．4
3 B ．3
4 C ．53 D ．54
2．如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90o
，若AB ＝5，AC ＝4，则sinA ＝（ ）
3． 在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sinA=2
3
，则边AC 的长是( )
A ．
B ．3
C ．4
3
D ．
4．如图，已知点P 的坐标是（a ，b ），则sin α等于（ ）
A ．a b
B ．b
a C 2222D a
b a b ++
五、课堂小结：
C
B A
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A?的对边与斜边的比都是．
在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A?的，?记作，
六、作业设置：
课本第85页习题28．1复习巩固第1题、第2题．（只做与正弦函数有关的部分）
七、自我反思：
本节课我的收获: 。
课题：28．1锐角三角函数（2）
【学习目标】
⑴:感知当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实。
⑵:逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。
重点：难点：
【学习重点】
理解余弦、正切的概念。
【学习难点】
熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算。
【导学过程】
一、自学提纲：
1、我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？
2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。
已知AC= 5 ，BC=2，那么sin∠ACD＝（）
A
B．2
3
C
D
3、如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，
且AB＝5，BC＝3．则sin∠BAC= ；sin∠ADC= ．4、?在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A确定时，
∠A的对边与斜边的比是，
?现在我们要问：
∠A的邻边与斜边的比呢？
∠A的对边与邻边的比呢？
为什么？
二、合作交流：
探究：A
B
C
D
A B
∠A的邻边b
∠A的对边a 斜边c
C
B
A
斜边c 对边a
b
C B
A
6C
B A
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？
如图：Rt △ABC 与Rt △A`B`C`，∠C=∠C` =90o ，∠B=∠B`=α，
那么与有什么关系？
三、教师点拨： 类似于正弦的情况，
如图在Rt △BC 中，∠C=90°，当锐角A 的大小确定时，∠A 的邻边与斜边的比、∠把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA=
A ∠的邻边斜边=a
c
；
把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tanA=A A ∠∠的对边的邻边=a
b
．
例如，当∠A=30°时，我们有cosA=cos30°=
；
当∠A=45°时，我们有tanA=tan45°= ．
（教师讲解并板书）：锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数． 对于锐角A 的每一个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应，所以sinA 是A 的函数．同样地，cosA ，tanA 也是A 的函数．
例2：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=?6，sinA=35
，求cosA 、tanB 的值．
四、学生展示：
练习一：完成课本P81 练习1、2、3 练习二： 1.在中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则有（）
A ．
B ．
C ．
D ．
2. 在中，∠C ＝90°，如果cos A=45 那么
的值为（）
A ．35
B ．54
C ．34
D ．43
3、如图：P 是∠的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4）， 则cos α＝_____________.
五、课堂小结：
在Rt △BC 中，∠C=90°，我们把
锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦， 记作sinA ，即sinA= =
a
c
． sinA ＝
A a A c ∠=∠的对边的斜边 把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，
记作 ，即 把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，
记作 ，即 六、作业设置：
课本 第85页 习题28．1复习巩固第1题、第2题．（只做与余弦、正切有关的部分） 七、自我反思：
本节课我的收获: 。
课题：28．1锐角三角函数（3）
【学习目标】
⑴: 能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。 ⑵: 能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式 【学习重点】
熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式 【学习难点】
30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程 【导学过程】
一、自学提纲： 一个直角三角形中，
一个锐角正弦是怎么定义的？
一个锐角余弦是怎么定义的？
一个锐角正切是怎么定义的？ 二、合作交流：
两块三角尺中有几个不同的锐角？ 是多少度？ 你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？． 三、教师点拨： 归纳结果 30° 45° 60° siaA cosA tanA
例3：求下列各式的值．
（1）cos 260°+sin 260°． （2）
cos 45sin 45?
?
-tan45°．
例4：（1）如图（1），在Rt △ABC 中，∠C=90，6，3A 的度数．
（2）如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 3a ． 四、学生展示：
一、课本83页 第1 题
课本83页 第 2题 二、选择题．
1．已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=3
5
，AB=15，则AC 的长是（ ）．
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12 2．下列各式中不正确的是（ ）．
A ．sin 260°+cos 2
60°=1 B ．sin30°+cos30°=1
C ．sin35°=cos55°
D ．tan45°>sin45° 3．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（ ）．
A ．2
B 32．1
4．已知∠A 为锐角，且cosA ≤1
2
，那么（ ）
A ．0°<∠A ≤60°
B ．60°≤∠A<90°
C ．0°<∠A ≤30°
D ．30°≤∠A<90°
5．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=1
2 ，
cosB=
2
1
，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．锐角三角形 D ．不能确定
6．如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，BC=3，AC=4，设∠BCD=a ，则tana?的值为（ ）．
A ．34
B ．43
C ．35
D ．45
7．当锐角a>60°时，cosa 的值（ ）．
A ．小于12
B ．大于12
C ．大于 3
2
D ．大于1
8．在△ABC 中，三边之比为a ：b ：c=132，则sinA+tanA 等于（ ）．
A ．
3231
3331.3.
62
2
2B C D ++
9．已知梯形ABCD 中，腰BC 长为2，梯形对角线BD 垂直平分AC 3?则∠CAB 等于（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．45°
D ．以上都不对
10．sin 272°+sin 2
18°的值是（ ）．
A ．1
B ．0
C ．12
D ． 3
2
11．若（ 3 tanA-3）2
+│2cosB- 3 │=0，则△ABC （ ）． A ．是直角三角形 B ．是等边三角形
C ．是含有60°的任意三角形
D ．是顶角为钝角的等腰三角形 三、填空题．
12．设α、β均为锐角，且sin α-cos β=0，则α+β=_______．
13．cos 45sin 301
cos 60tan 452?-?
?+?
的值是_______．
14．已知，等腰△ABC?的腰长为4 3 ，?底为30?°，?则底边上的高为______，?周长为______．
15．在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知tanB= 5
2
，则cosA=________．
五、课堂小结：要牢记下表： 30° 45° 60° siaA cosA
六、作业设置：
课本第85页习题28．1复习巩固第3题
七、自我反思：
本节课我的收获: 。
课题：28．1锐角三角函数（4）执笔人：靳立明审核人：
【学习目标】
让学生熟识计算器一些功能键的使用
【学习重点】
运用计算器处理三角函数中的值或角的问题
【学习难点】
知道值求角的处理
【导学过程】
求下列各式的值．
（1）sin30°·cos45°+cos60°; （2）2sin60°-2cos30°·sin45°
（3）
2cos60
2sin302
?
?-
; （4）
sin45cos30
32cos60
?+?
-?
-sin60°（1-sin30°）．
（5）tan45°·sin60°-4sin30°·cos45°tan30°
（6）
sin45
tan30tan60
?
?-?
+cos45°·cos30°
合作交流：
学生去完成课本83 84页
学生展示：
用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值学生去完成课本83 86页的题目自我反思：
本节课我的收获: 。
28．2解直角三角形（1）
【学习目标】
⑴: 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 ⑵: 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
⑶: 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 【学习重点】
直角三角形的解法． 【学习难点】
三角函数在解直角三角形中的灵活运用 【导学过程】 一、自学提纲：
1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系
a b A b a A c b A c a A ====
cot ;tan ;cos ;sin b a
B a b B c a B c b B =
===cot ;tan ;cos ;sin
如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成. 的对边的邻边
；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠=
∠∠=∠=∠=
cot tan cos sin
(2)三边之间关系 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．
a 2 +
b 2 =
c 2 (勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据． 二、合作交流：
要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足， (如图).现有一个长6m 的梯子，问: (1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m)
(2)当梯子底端距离墙面2.4 m 时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1o ) 这时人是否能够安全使用这个梯子
三、教师点拨：
例1在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b=2，
例2在Rt △ABC 中， ∠B =35o ，b=20，解这个三角形．
四、学生展示： 完成课本91页练习 补充题
1．根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），求出________?其它所有元素的过程，即解直角三角形．
2、在Rt △ABC 中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．
的邻边
的对边A A ∠∠3、 在△ABC 中，∠C
为直角，AC=6，BAC ∠的平分线AD=43，解此直角三角形。 4、Rt △ABC 中，若sinA=
4
5
，AB=10，那么BC=_____，tanB=______． 5、在△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．
6、在△ABC 中，∠C=90°，sinA=
3
5
，则cosA 的值是（ ） A ．35 B ．45 C ．916
.2525
D
五、课堂小结：
小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”
六、作业设置：
课本 第96页 习题28．2复习巩固第1题、第2题．
七、自我反思：
本节课我的收获: 。
28．2解直角三角形（2）
【学习目标】
⑴: 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题． ⑵: 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
⑶: 渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识 【学习重点】
将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决． 【学习难点】
实际问题转化成数学模型 【导学过程】 一、自学提纲：
1．解直角三角形指什么？
2．解直角三角形主要依据什么？
(1)勾股定理： (2)锐角之间的关系： (3)边角之间的关系：
tanA=
二、合作交流： 仰角、俯角
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水
斜边的邻边A A ∠=
cos 斜边
的对边A A ∠=sin
平线下方的角叫做俯角．
三、教师点拨：
例3 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，结果精确到0. 1 km)
例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?
四、学生展示：
一、课本93页练习第1 、2题
五、课堂小结：
六、作业设置：
课本第96页习题28．2复习巩固第3、4题
七、自我反思：
本节课我的收获: 。
28．2解直角三角形（3）
【学习目标】
⑴: 使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角
⑵: 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．
⑶:巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．
【学习重点】
用三角函数有关知识解决方位角问题
【学习难点】
学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型
【导学过程】
一、自学提纲：
坡度与坡角
坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），
一般用i表示。即ｉ＝，常写成i=1：m的形式如i=1:2.5
把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．
结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关
系？
这一关系在实际问题中经常用到。
二、教师点拨：
例5如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？
例6同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)
四、学生展示：
完成课本91页练习
补充练习
(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；
______，
坡角 ______度．
2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：
①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；
②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．
五、课堂小结：
六、作业设置：
课本 第96页 习题28．2复习巩固第5、6、7题
七、自我反思：
本节课我的收获: 。
课题：锐角三角函数定义检测
学习目标
理解一个锐角的正弦、余弦、正切的定义．能依据锐角三角函数的定义，求给定锐角的三角函数值．
课堂学习检测
一、填空题
1．如图所示，B 、B ′是∠MAN 的AN 边上的任意两点，BC ⊥AM 于C 点，B ′C ′⊥
AM 于C ′点，则△B 'AC ′∽______，从而
AC
B A B
C C B )
()(='=''，又可得 ①
=''
'B
A C
B ______，即在Rt △AB
C 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比是一个______值；
②
='
'
B A
C A ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比也是一个______；
③
='
'
'C A C B ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比还是一个______．
第1题图
2．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．
第2题图
①斜边)(sin =A ＝______， 斜边)
(sin =
B ＝______； ②斜边
)
(cos =A ＝______， 斜边
)
(cos =B ＝______；
③的邻边A A ∠=
)
(tan ＝______，
)
(tan 的对边
B B ∠=
＝______．
3．因为对于锐角α 的每一个确定的值，sin α 、cos α 、tan α 分别都有____________与它
______，所以sin α 、cos α 、tan α 都是____________．又称为α 的____________． 4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．
5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝1，b ＝3，则c ＝______，
sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．
6．在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，若a ＝16，c ＝30，则b ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin C ＝______，cos C ＝______，tan C ＝______．
7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若∠A ＝30°，则∠B ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．
二、解答题
8．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3． 求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．
9．已知Rt △ABC 中，,12,4
3
tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．
综合、运用、诊断
10．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．
DE ∶AE ＝1∶2．
求：sin B 、cos B 、tan B ．
11．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=
∠4
3sin AOC 求：AB 及OC 的长．
12．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，?=∠5
3
sin AOC
(1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ． 13．已知：如图，△ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ，?=
3
1sin A
(1)求AB 边上的高CD ； (2)求△ABC 的面积S ； (3)求tan B ．
14．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ．
拓展、探究、思考
15．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，按要求填空：
(1),sin c
a A =
∴=?=c A c a ,sin ______； (2),cos c
b A =
∴b ＝______，c ＝______； (3),tan b
a A =
∴a ＝______，b ＝______；
(4),2
3
sin =
B ∴=B cos ______，=B tan ______；
(5),5
3
cos =B ∴=B sin ______，=A tan ______；
(6)∵=B tan 3，∴=B sin ______，=A sin ______．
课题：特殊锐角三角函数定义检测
学习目标
1．掌握特殊角(30°，45°，60°)的正弦、余弦、正切三角函数值，会利用计算器求一个锐角的三角函数值以及由三角函数值求相应的锐角．
2．初步了解锐角三角函数的一些性质．
课堂学习检测
一、填空题
二、解答题
2．求下列各式的值．
(1)o 45cos 230sin 2-?
(2)tan30°－sin60°·sin30°
(3)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45°
(4)?+?+?
+?-?45sin 30cos 30tan 1
30sin 145cos 222 3．求适合下列条件的锐角α ．
(1)2
1cos =α (2)3
3tan =
α
(3)2
22sin =
α (4)33)16cos(6=- α 4．用计算器求三角函数值(精确到0.001)．
(1)sin23°＝______； (2)tan54°53′40″＝______． 5．用计算器求锐角α (精确到1″)． (1)若cos α ＝0.6536，则α ＝______；
(2)若tan(2α ＋10°31′7″)＝1.7515，则α ＝______．
综合、运用、诊断
6．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，?=
13
12sin A
求此菱形的周长．
7．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5．
求：sin ∠ACB 的值．
8．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，延长CA 至D 点，使AD ＝AB ．求：
(1)∠D 及∠DBC ； (2)tan D 及tan ∠DBC ；
(3)请用类似的方法，求tan22.5°．
9．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：
(1)∠BAD ；
(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．
10．已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，3
1
tan =
∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．
拓展、探究、思考
11．已知：如图，∠AOB ＝90°，AO ＝OB ，C 、D 是上的两点，∠AOD ＞∠AOC ，
求证：
(1)0＜sin ∠AOC ＜sin ∠AOD ＜1； (2)1＞cos ∠AOC ＞cos ∠AOD ＞0；
(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而______； (4)锐角的余弦函数值随角度的增大而______．
12．已知：如图，CA ⊥AO ，E 、F 是AC 上的两点，∠AOF ＞∠AOE ．
(1)求证：tan ∠AOF ＞tan ∠AOE ；
(2)锐角的21世纪教育网值随角度的增大而______．
13．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，求证：
(1)sin 2A ＋cos 2A ＝1； (2)?=
A
A
A cos sin tan 课题：解直角三角形(一)检测
学习目标
理解解直角三角形的意义，掌握解直角三角形的四种基本类型．
课堂学习检测
一、填空题
1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，
第1题图
①三边之间的等量关系：
__________________________________． ②两锐角之间的关系：
__________________________________． ③边与角之间的关系：
==B A cos sin ______； ==B A sin cos _______；
==
B A tan 1
tan _____； ==B A
tan tan 1
______． ④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．
第④小题图
在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ． CD 2＝_________；AC 2＝_________； BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________． ⑤直角三角形的主要线段(如图所示)．
第⑤小题图
直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________，斜边的中点是_________． 若r 是Rt △ABC (∠C ＝90°)的内切圆半径，则r ＝_________＝_________． ⑥直角三角形的面积公式． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， S △ABC ＝_________．(答案不唯一)
2．关于直角三角形的可解条件，在直角三角形的六个元素中，除直角外，只要再知道_________(其中至少_________)，这个三角形的形状、大小就可以确定下来．解直角三角形的基本类型可分为已知两条边(两条_________或斜边和_________)及已知一边和一个锐角(_________和一个锐角或_________和一个锐角) 3已知条件
解法
一条边和
斜边c 和锐角∠A ∠B ＝______，a ＝______，b ＝______ 直角边a 和锐角∠A ∠B ＝______，b ＝______，c ＝______
两条边
两条直角边a 和b c ＝______，由______求∠A ，∠B ＝______ 直角边a 和斜边c
b ＝______，由______求∠A ，∠B ＝______
4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．
(1)已知：a ＝35，235=c ，求∠A 、∠B ，b ；
(2)已知：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ；
(3)已知：32
sin =
A ，6=c ，求a 、b ； (4)已知：,9,2
3
tan ==b B 求a 、c ；
(5)已知：∠A ＝60°，△ABC 的面积,312=S 求a 、b 、c 及∠B ．
综合、运用、诊断
5．已知：如图，在半径为R 的⊙O 中，∠AOB ＝2α ，OC ⊥AB 于C 点．
(1)求弦AB 的长及弦心距；
(2)求⊙O 的内接正n 边形的边长a n 及边心距r n ．
6．如图所示，图①中，一栋旧楼房由于防火设施较差，想要在侧面墙外修建一外部楼梯，由地面到二楼，再从二楼到三楼，共两段(图②中AB 、BC 两段)，其中CC ′＝ BB ′＝3.2m ．结合图中所给的信息，求两段楼梯AB 与BC 的长度之和(结果保留到0.1m)．(参考数据：sin30°＝0.50，cos30°≈0.87，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82)
7．如图所示，某公司入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm ，台阶面的宽为30cm ，为了方便残疾人士，拟将台阶改为坡角为12°的斜坡，设原台阶的起点为A ，斜坡的起点为C ，求AC 的长度(精确到1cm)．
拓展、探究、思考
8．如图所示，甲楼在乙楼的西面，它们的设计高度是若干层，每层高均为3m ，冬天太阳光与水平面的夹角为30°．
九年级下数学锐角三角函数导学案 (1)
C B A C B A C B A B 课题：28．1锐角三角函数（1） 【导学过程】 一、自学提纲： 1、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m ，?求AB 2、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m ，?求BC 二、合作交流： 问题： 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，?在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？ 思考1：如果使出水口的高度为50m ，那么需要准备多长的水管？ ； 如果使出水口的高度为a m ，那么需要准备多长的水管？ ； 结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值 思考2：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边 的比值是一个定值吗？?如果是，是多少？ 结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值 三、教师点拨： 从上面这两个问题的结论中可知，?在一个Rt △ABC 中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于 1 2 ，是一个固定值；?当∠A=45°时，∠A 的对边与斜边的比都等于22，也是 一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A 取其他一定度数的锐角时，?它的对边与斜边 的比是否也是一个固定值？ 探究：任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′，使得∠C=∠C ′=90°， ∠A=∠A ′=a ，那么 '' '' BC B C AB A B 与有什么关系． 结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形
7.6用锐角三角函数解决问题(2)学案
7.6用锐角三角函数解决问题(2)学案 学习目标: 通过具体的一些实例,能将实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系。 教学过程: 一、复习巩固: 1、在△ＡBC中，∠C=9０°,∠Ａ=45°,则ＢＣ：AC:AB = 。 2、在△ABC中，∠Ｃ＝90°。 （1)已知∠A＝30°,BC=8cｍ，（2)已知∠A=60°,ＡC＝3ｃm, 求:AB与AC的长; 求：ＡB与ＢC的长。 二、例题学习： 问题1：“五一”节，小明和同学一起到游乐场游玩，游乐场的大型摩天轮的半径为20ｍ，旋转１周需要１2ｍin。小明乘坐最底部的车厢(离地面约０．３m)开始1周的观光,2min后小明离地面的高度是多少(精确到0.1m)？ 拓展延伸：１、摩天轮启动多长时间后,小明离地面的高度将首次到达15.３m? 2、小明将有多长时间连续保持在离地面3０.3m以上的空中? 三、练习巩固
, B B A 1、如图，单摆的摆长A B 为90cm ，当它摆动到∠B ＡB '的位置时,∠BAB '＝30°。问这时摆球B ＇ 较最低点B 升高了多少? 2、已知跷跷板长4m ，当跷跷板的一端碰到地面时,另一端离地面32m.求此时跷跷板与地面的夹角. 3、如图,在离水面高度为5米的岸上有人用绳子 拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为30°,此人以每秒0.5米收绳.问：8秒后船向岸边移动了多少米?（结果精确到0.１米) 四、小结 五、课堂作业
B A O B A 初三数学课堂作业 １、如图,先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树,要求相邻两树之间的水平距离为５米，那么这两树在坡面上的距离A Ｂ为 （ ） A. αcos 5 B. αcos 5 C ． αsin 5 D. αsin 5 第１题 第3题 第４题 2.(０9甘肃定西)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角(梯子与地面的夹角）不能大于6０°,否则就有危险，那么梯子的长至少为 （ ） A ．8米??B.83米? C .833米? Ｄ.433 米 3.(0９潍坊)如图,小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得30BAD ∠=°,在C 点测得60BCD ∠=°,又测得50AC =米,则小岛B 到公路l 的距离为( )米. A ．２5 ??Ｂ.253 C.10033 ?D ．25253+ ４．已知跷跷板长4m ，当跷跷板的一端碰到地面时,另一端离地面2m 。时跷跷板与地面的夹角为＿＿＿__ ＿＿__。 7.如图,秋千链子的长度为3m,当秋千向两边摆动时,两边摆动的角度均为30°.求它摆动到最高位置与最低 位置的高度之差。 5.海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶,在A 处看见灯塔B 在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C 处，发现此时灯塔B 在海船的北偏西45°方向，求此时灯塔B 到Ｃ处的距离. 6. 单摆的摆长ＡB 为90cm,当它摆动到A Ｂ’的位置时, ∠BAB’＝11°,问这时摆球B’ 较最低点B 升高了多少(精确到1ｃm)? sin110.191?≈cos110.982?≈tan110.194?≈
初中数学锐角三角函数的难题汇编含答案
初中数学锐角三角函数的难题汇编含答案 一、选择题 1．如图，点O 为△ABC 边 AC 的中点，连接BO 并延长到点D,连接AD 、CD ，若BD=12，AC=8，∠AOD ＝120°，则四边形ABCD 的面积为（ ） A ．23 B ．22 C ．10 D ．243 【答案】D 【解析】 【分析】 分别过点A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为M 、N ，通过题意可求出AM 、CN 的长度，可计算三角形ABD 和三角形CBD 的面积，相加即为四边形ABCD 的面积. 【详解】 解：分别过点A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为M 、N ， ∵点O 为△ABC 边 AC 的中点，AC=8， ∴AO=CO=4， ∵∠AOD ＝120°， ∴∠AOB=60°，∠COD=60°， ∴342 AM AM sin AOB AO ===∠， 342 CN CN sin COD CO ===∠， ∴AM=23CN=3 ∴12231232ABD BD AM S ?===g △ 12231232BD CN S ?===g △BCD ， ∴=123123243ABD BCD ABCD S S S +==△△四边形 故选：D. 【点睛】
本题考查了三角函数的内容，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键. 2．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在AC 上找一点B ，取145ABD ∠=o ，500BD m =，55D ∠=o ，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ） A ．500sin55m o B ．500cos55m o C ．500tan55m o D ．500cos55m o 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知利用∠D 的余弦函数表示即可． 【详解】 在Rt △BDE 中，cosD= DE BD ， ∴DE=BD ?cosD=500cos55°． 故选B ． 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键． 3．如图，在ABC ?中，4AC =，60ABC ∠=?，45C ∠=?，AD BC ⊥，垂足为D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为（ ） A ．22 B ．223 C ．23 D ．322 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ADC 中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD 的长度，在Rt △ADB 中，由AD 的长度及∠ABD 的度数可求出BD 的长度，在Rt △EBD 中，由BD 的长度及∠EBD 的度数可求出DE 的长度，再利用AE=AD?D E 即可求出AE 的长度． 【详解】 ∵AD ⊥BC ∴∠ADC=∠ADB=90?
2019年最新中考数学专题复习：锐角三角函数
锐角三角函数 三只钟的故事 一只小钟被主人放在了两只旧钟当中，两只旧钟滴答、滴答的走着。 一只旧钟对小钟说：“来吧，你也该工作了。可是我有点担心，你走完三千两百万次以后，恐怕会吃不消的。” “天哪！三千两百万次。”小钟吃惊不已，“要我做这么大的事？办不到，办不到！”另一支旧钟说：“别 听他胡说八道，不用害怕，你只要每秒滴答摆一下就行了。” “天下哪有这么简单的事情？”小钟将信将疑，“如果这样，我就试试吧。”小钟很轻松地每秒滴答摆一 下，不知不觉中，一年过去了，它摆了三千两百万次。 成功就是这样，把简单的事做到极致，就能成功。 例1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值是（） A．B．C．D． 例2.如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，则AC的长为（） A．1 B．C．3 D．
例3．cos 60°的值等于（ ） A ． B ． C ． D ． 例4．如图，在半径为1的⊙O 中，∠AOB =45°，则sinC 的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 练习一 锐角三角函数 1．已知sinA= 2 1 （∠A 为锐角），则∠A=_________，cosA_______，tanA=__________． 2．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，1a =，2b =，则cosA=________，tanA=_________． 3．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AB=5，BC=3，则sinA=________， tanA=_________． 4．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，∠A=30o，4b =，则a =__________，c =__________． 5．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，若sinA= 5 3 ，则cosB=_________． 6．已知cosA= 2 3 ，且∠B=90o-∠A ，则sinB=__________． 7．若∠A 是锐角，且cosA=sinA ，则∠A 的度数是（ ） A 、30o B 、45o C 、60o D 、不能确定 8．如图，电线杆AB 的中点C 处有一标志物，在地面D 点处测得标志物的仰角为45°，若点D 到电线杆底部点B 的距离为 a ，则电线杆AB 的长可表示为 A ．a B ．2a C ．3 2a D ．52 a D C B A
中考数学总复习学案：第27课时 锐角三角函数
第27课时 锐角三角函数 一、填空题 1．在△ABC 中，AB=2，的度数是______． 2．计算2sin30°-2cos60°+tan45°=________． 3．在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinB=_____． 4．在△ABC 中，若AC=3，则cosA=________． 第5题图 第6题图 5．如图所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°这时测得大树在地面 上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（? 6．李小同叔叔下岗后想自主创业搞大棚蔬菜种植，?需要修一个如图所示的育苗棚，棚宽a=3m ， 棚顶与地面所成的角约为25°，长b=9m ，则覆盖在顶上的塑料薄膜至少需________m 2．（利用计算器计算，结果精确到1m 2） 二、选择题 7．若Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，则下列各式中，正确的是（ ） A ．sinB=23 B ．cosB=23 C ．tanB=23 D ．tanB=32 8．点（-sin60°，cos60°）关于y 轴对称的点的坐标是（ ） A ．，12） B ．（12） C ．（-，-12） D ．（-12，-32） 9．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．某同学站在离旗杆 12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，?若这位同学的目高 1.6米，则旗杆的高度约为（ ） A ．6.9米 B ．8.5米 C ．10.3米 D ．12.0米 10.．某市在“旧城改造”中，?计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环 境．已知这种草皮每平米售价30元，则购买这种草皮至少需要（? ）
初中数学锐角三角函数定义大全
初中数学：锐角三角函数定义大全 锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的锐角三角函数。 正弦（sin）等于对边比斜边；sinA=a/c 余弦（cos）等于邻边比斜边；cosA=b/c 正切（tan）等于对边比邻边；tanA=a/b 余切（cot）等于邻边比对边；cotA=b/a 正割（sec)等于斜边比邻边；secA=c/b 余割(csc)等于斜边比对边。cscA=c/a 互余角的三角函数间的关系 sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα. 平方关系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) 积的关系： sinα=tanα·cosα cosα=cotα·sinα tanα=sinα·secα cotα=cosα·cscα secα=tanα·cscα cscα=secα·cotα 倒数关系： tanα·cotα=1
sinα·cscα=1 cosα·secα=1 特殊的三角函数值 0°30°45°60°90° 01/2√2/2√3/21←sinA 1√3/2√2/21/20←cosA 0√3/31√3None←tanA None√31√3/30←cotA 诱导公式 sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosα tan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotα
sin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2－α）=tanαsin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotα
模式1中考数学第一轮复习导学案-锐角三导学案-锐角三角函数100
锐角三角函数 ◆ 课前热身 1．sin30°的值为（ ） A ． 32 B ． 22 C ． 12 D ． 33 2.在等腰直角三角形ABC 中，∠C =90o，则sin A 等于（ ） A ． 12 B ． 22 C ．32 D ．1 3.在Rt ABC △中，9032C AB BC ∠===°，，，则cos A 的值是 ． 4．如图，△ABC 中，∠C=90°，AB=8，cosA= 4 3 ，则AC 的长是 5.计算：tan 60°=________． 【参考答案】 ** 2.B 3. 4.6 5. ◆考点聚焦 知识点 锐角三角函数、锐角三角函数值的符号、锐角三角函数值的变化规律、特殊角三角函数值 大纲要求 1．了解锐角三角函数的定义，并能通过画图找出直角三角形中边、角关系，?这也是本节的重点和难点． 2．准确记忆30°、45°、60°的三角函数值． 3．会用计算器求出已知锐角的三角函数值． 4．已知三角函数值会求出相应锐角． 5．掌握三角函数与直角三角形的相关应用，这是本节的热点． 考查重点与常见题型 1.求三角函数值，常以填空题或选择题形式出现； 2.考查互余或同角三角函数间关系，常以填空题或选择题形式出现； 3.求特殊角三角函数值的混合运算，常以中档解答题或填空题出现.
◆备考兵法 充分利用数形结合的思想，对本节知识加以理解记忆． ◆考点链接 1．sin α，cos α，tan α定义 sin α＝____，cos α＝_______，tan α＝______ ． 2．特殊角三角函数值 ◆典例精析 例1（内蒙古包头）已知在Rt ABC △中，3 90sin 5 C A ∠==°，，则tan B 的值为（ ） A ．43 B ．45 C ．54 D ． 34 【解析】本题考查三角函数的定义和勾股定理，在RTΔABC 中，∠C=90°，则sin a A c =， tan b B a =和222a b c +=； 由3 sin 5 A =知，如果设3a x =，则5c x =，结合222a b c +=得4b x =；∴44 tan 33 b x B a x ===，所以选A ． 【答案】A 例2（湖北荆门）104cos30sin 60(2)(20092008)-??+---=______． 【解析】本题考查特殊角的三角函数值．零指数幂．负整数指数幂的有关运算， 104cos30sin 60(2)(20092008)-??+---=3313412222 ??? ?+--= ???，故填3 2． 【答案】 3 2 例3（黑龙江哈尔滨）先化简．再求代数式的值．22 ()211 1a a a a a ++÷+-- 其中a ＝tan60° －2sin30°． 30° 45° 60° sin α cos α tan α α a b c
2018年中考数学《锐角三角函数》专题练习含答案
2018中考数学专题练习《锐角三角函数》 (时间:100分钟 满分:120分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.下列各数是有理数的是( ) A. B. 4π C. sin 45? D. 1 cos60? 2一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除并改造成供轮椅行走的斜坡，数据如图1所示，则下列关系或说法正确的是( ) A.斜坡AB 的坡度是10o B.斜坡AB 的坡度是tan10? C. 1.2tan10AC =?米 D. 1.2 cos10AB = ? 米 3.在ABC ?中，A ∠，B ∠都是锐角，且1 sin 2 A = ，cos 2B =，则ABC ?三个角 的大小关系是( ) A. C A B ∠>∠>∠ B. B C A ∠>∠>∠ C. A B C ∠>∠>∠ D. C B A ∠>∠>∠ 4.如图2，在R t A B C ?中，90A ∠=?，AD BC ⊥于点D ，:3:2BD CD =，则t a n B 的值是( ) A. 32 B. 2 3 C. D. 5.如图3，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长 线于点E ，30A ∠=?，则s sin E 的值为( ) A. 1 2 B. 2 C. D.
6.数学社团的同学们对某塔的高度进行了测量，如图4，他们在A 处仰望塔顶，测得仰角为30o，再往楼的方向前进60 m 至B 处，测得仰角为60o，若学生的身高忽略不计， 1.7≈，结果精确到1m ，则该楼的高度CD 为( ) A.47 m B.51 m C.53 m D.54 m 7.如图5，点O 是摩天轮的圆心，长为110米的AB 是其垂直地面的直径，小莹在地面C 点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A 的仰角为33o，测得圆心O 的仰角为21o，则小莹所在C 点到直径AB 所在直线的距离约为(参考数据:tan330.65?≈，tan 210.38?≈)( ) 图 5 A.169米 B.204米 C.240米 D.407米 8.如图6，在ABC ?中，已知90ABC ∠=?，点D 沿BC 自B 向C 运动(点D 与点B ， C 不重合)，作BE AD ⊥于E ，CF AD ⊥交AD 的延长线于F ，则BE CF +的值( ) A.不变 B.增大 C.减小 D.先变大，再变小 9.如图7，轮船从B 处以每小时50海里的速度沿南偏东30o方向匀速航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东75o的方向上，轮船航行半小时到达C 处，在C 处观测灯塔A 位于北偏东60o的方向上，则C 处与灯塔A 的距离是( ) A. B.
第二十八章锐角三角函数学案
第二十八章锐角三角函数 28.1锐角三角函数 第1课时 1.了解直角三角形中一个锐角固定，它的对边与斜边的比也随之固定的规律. 2.理解并掌握锐角的正弦的定义. 3.能初步运用锐角的正弦的定义在直角三角形中求一个锐角的正弦值. 一、温故互查： 1. 什么叫Rt△？它的三边有何关系？ 2.Rt△中角、边之间的关系是：①°② 二、设问导读： 阅读教材P74-77页，自学两个思考及探究，自学例1. ①在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c；∠A的对边与斜边的比叫做∠A的_______，即sinA=________. ②在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a=3、b=4，则sinB=______. ③在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则sinA= )()( =____. ④在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，则sinA= )()( =____. ⑤在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，则sinA= )()( =____. 三、自我检测： 1如图，求sinA和sinB的值. 2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则sinA的值是________. 3.正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin∠AOB=_________. 第3题图第6题图 4在Rt△ABC中，各边的长度都扩大为原来的3倍，那么锐角A的正弦值________.
5.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC=2，sinA= 3 2 ，则求AC 的长. 6.如图，P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，且OP ＝5，PA ＝4，则sin ∠APO=_______. 四、巩固训练： 1.如图长5米的梯子以倾斜角∠CAB 为30°靠在墙上，则A 、B 间的距离为多少？ 2.若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上，则A 、B 间距离为多少？ 3.若长5米的梯子靠在墙上，使A 、B 间距为2.5米，则倾斜角∠CAB 为多少度？ 4.点P （2，4）与x 轴的夹角为α，则sinα=______. 5.在Rt △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，∠C 是直角，求证：sin 2A+sin 2B=1. 6.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，AD ＝5，BC ＝6，则sin ∠BCD=______. 五、拓展延伸 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，且a ∶b ∶c ＝3∶4∶5，求证：sinA+sinB=5 7. 六、 课堂小结 七、作业|：《名校课堂》第53页——第54页
(人教版初中数学)锐角三角函数
锐角三角函数 一．〖基础训练〗 1、在△ABC 中,∠C ＝90°,则sinA= ,cosA= tanA= cotA= . 2、根据直角三角形的 元素（至少有一个边）,求出 其它所有元素的过程,即解直角三角形 3．Rt △ABC 中,若sinA ＝45 ,AB ＝10,那么BC ＝ ,tanB ＝ 4．写出适合条件的锐角α Sin600= , tan300= ,cos α＝32 ,α= , 5、在△ABC 中,∠C ＝90°,AC=6,BC=8,那么sinA= 6、sin300+tan450= . 7、若sin α=cos70°,则角α等于 A ．70°； B ．60°； C ．45°； D ．20°． 8、（讲解）若∠A 为锐角,且cosA ≤ 12 ,那么（ ） A 、00≤A ≤600 B 、600≤A ≤900 C 、00≤A ≤300 D 、300≤A ≤90 0 二．〖中考在线〗（讲解） 1、（2004年中考题）．在△ABC 中,∠C ＝90°,sinA ＝35 ,则cosA 的值是（ ） （A ） 35 （B ）45 （C ）925 （D ）1625 2、如图,(2003年第21题)在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,tanB=cos ∠DAC. (1)求证：AC=BD （2）若sinC=1213 ,BC=12,求AD 的长. 三．〖考点训练〗 1．Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AB ＝6,AC ＝2,则sinA ＝（ ） （A ） 13 （B ）23 （C ）23 2 （D ）23 2．已知∠A ＋∠B ＝90°,则下列各式中正确的是（ ） A B C D
《锐角三角函数》第一课时导学案
28．1《锐角三角函数》第一课时——正弦 【学习目标】 1:经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。 2:能根据正弦概念正确进行计算 【学习重点】 理解正弦（sinA）概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实． 【学习难点】 当直角三角形的锐角固定时，，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。 B 【导学过程】 一、自学提纲：A C 1、如图在△ R t ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m，?求AB 2、如图在△ R t ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m，?求BC A B C 二、合作交流： 问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，?在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？ 思考1：如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？；如果使出水口的高度为a m，那么需要准备多长的水管？； 结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值 思考2：在△ R t ABC中，∠C=90°，∠A=45°，∠A对边与斜边的比值是一个定值吗？?如果是，是多少？B A C 结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值
BC B ' C ' 三、教师点拨： 从上面这两个问题的结论中可知，?在一个 △R t ABC 中，∠C=90°，当∠A=30° 时，∠A 的对边与斜边的比都等于 1 2 ，是一个固定值；?当∠A=45°时，∠A 的 对边与斜边的比都等于 2 2 ，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问： 当∠A 取其他一定度数的锐角时，?它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 探究：任意画 Rt△ABC 和 Rt △A ′B′C′，使得∠C=∠C′=90°， ∠A=∠A′=a，那么 与 AB A ' B ' 有什么关系．你能解释一下吗？ 结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大 小如何，?∠A 的对边与斜边的比 正弦函数概念： 规定：在 Rt △B C 中，∠C=90， ∠A 的对边记作 a ，∠B 的对边记作 b ，∠C 的对边记作 A 斜边c b B 对边a C c ． 在 △R t BC 中，∠C=90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦， 记作 sinA ，即 sinA= = a c ． sinA ＝ ∠ A 的对边 a = ∠ A 的斜边 c 例如，当∠A=30°时，我们有 sinA=sin30°= ； 当∠A=45°时，我们有 sinA=sin45°= ． 四、学生展示： 例 1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，求 sinA 和 sinB 的值． B 3 B 3 5 13 A 4 C C A (1) (2)
初三数学锐角三角函数通用版
初三数学锐角三角函数通用版 【本讲主要内容】 锐角三角函数 包括：正弦、余弦、正切。 【知识掌握】 【知识点精析】 1. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA 。 即 c a A A sin == 斜边的对边∠；把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即c b A A cos =∠=斜边的邻边；把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即 b a A A A t an =∠∠=的邻边的对边。 2. 锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数。 3. 特殊角的三角函数值： 30° 45° 60° sin α 1 2 22 32 cos α 32 22 12 tan α 33 1 3 4. 记忆方法： 【解题方法指导】 例1. （2000年成都市）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，D 是AC 的中点，那么tan ∠DBC 的值是________。 锐 角 α 三 角 函 数
分析：在Rt △ABC 中，由∠ABC ＝60°，可知3BC AC 60tan == ，即AC ＝3BC ，又CD ＝ 1 2 AC ，tan ∠DBC 可求。 解：在△ABC 中， ∵∠C ＝90°，∠ABC ＝60°， ∴tan ∠ABC ＝tan60°＝3BC AC =， ∴AC ＝3BC 。 又D 是AC 中点， ∴DC ＝ 12AC ＝32 BC 。 ∴2 3 BC BC 23 BC DC DBC tan = ==∠。 评析：在解题中紧紧扣住tan α的定义。 例2. （2001年四川）在Rt △ABC 中 ，CD 是斜边AB 上的高，已知3 2 ACD sin = ∠，那么=AB BC ______。 分析：由Rt △ABC 中CD ⊥AB 于D ，可得∠ACD ＝∠B ，由sin ∠ACD ＝ 2 3 ，那么sinB ＝23，设AC ＝2，AB ＝3，则BC ＝32522-=，则AB BC 可求。 解：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ， ∴∠ACD ＝∠B 。 又sin ∠ACD ＝sinB ＝ 23 ， 可设AC ＝2，AB ＝3， ∴BC ＝32522-=。
《用锐角三角函数解决问题(3)》导学案
7.6 用锐角三角函数解决问题（3）学案 学习目标： 进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力． 学习过程： 课前准备 仰角、俯角的定义：如右图，从下往上看，视线与 水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．右图中的∠1就是仰角，∠2就是俯角． 探究新知 例题1、为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点观测气球，测得仰角为27°，然后他向气球方向前进了50m ，此时观测气球，测得仰角为40°。若小明的眼睛离地面1.6m ，小明如何计算气球的高度呢？ 例2、在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图所示的办公楼迎街的墙面上垂挂一长为30米的宣传条幅AE ，张明同学站在离办公楼的地面C 处测得条幅顶端A 的仰角为50°，测得条幅底端E 的仰角为30°. 问张明同学是在离该单位办公 x m h m A D B 27 50m 40
楼水平距离多远的地方进行测量？（精确到整数米）（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20，sin30°=0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58） 知识运用 1.如图，小明欲利用测角仪测量树的高度。已知他离树的水平距离BC为10m，测角仪的高度CD为1.5m，测得树顶A的仰角为33°.求树的高度AB。 （参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65） 2、为了改善楼梯的安全性能，准备将楼梯的倾斜角由65度调整为40度，已知原来的楼梯的长为4米，调整后的楼梯要占多长的一段楼梯地面. 当堂反馈 1、如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的 仰角为? 60，看这栋高楼底部的俯角为? 30，热气球与高 楼的水平距离为66 m，这栋高楼有多高？（结果精确到 C A B
中考数学锐角三角函数真题汇编
中考数学真题汇编:锐角三角函数 (WORD版本真题试卷+名师解析答案，建议下载保存) 一、选择题 1.的值等于（） A. B. C. 1 D. 【答案】B 2.如图，过点，，，点是轴下方上的一点，连接，，则的度数是（） A. B. C. D. 【答案】B 3.如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的直径是( ) A.3 B. C. D. 【答案】D
4.如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面CD的坡度，坡长米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：，，） A. 12.6米 B. 13.1米 C. 14.7米 D. 16.3米 【答案】B 5.一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据：）（） A. 4.64海里 B. 5.49海里 C. 6.12海里 D. 6.21海里 【答案】B 6.如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（） A. B. C. D. 【答案】B
7. 如图，已知在中，，，，则的值是（） A. B. C. D. 【答案】A 8. 如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B 在同一条直线上）（） A. B. C. D. h?cosα 【答案】B 二、填空题 9.如图．一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在处测得岛礁在东北方向上，继续航行1．5小时后到达处此时测得岛礁在北偏东方向,同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向为了在台风到来之前用最短时间到达处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行 ________小时即可到达(结果保留根号) 【答案】 10.如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=________。
《锐角三角函数》学案
1.1锐角三角函数（1）学案 学习目标: 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系. 2.能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算. 学习重点: 1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系. 学习难点: 理解正切的意义，并用它来表示两边的比. 学习方法: 引导—探索法. 学习过程: 一、生活中的数学问题: 1.千年古寺青檀寺中有一座报国塔，小明很想知道 古塔的高度，但小明没有足够长的尺子，怎么办呢？于 是聪明的小明想了这样的办法：小明在塔前的A 处仰望 塔顶，测得仰角∠1的大小，再往塔的方向前进50米到 B 处又测得仰角的大小，根据这些他就求出了塔的高 度．你知道他是怎么做的吗？ 通过本章的学习，我们就会揭开小明这样做的谜 底．从今天这节课开始，我们就来学习九年级（下）第一章的内容：直角三角形的边角关系． 2．你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 3⑴如图：梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ ⑵以下三组中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ A B 1 2
二、呈现问题，探索新知 ⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系? ⑵222111B AC C B AC C 和有什么关系？ ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢? ⑷由此你得出什么结论? （5）概念的生成 由于直角三角形中的锐角A 确定以后，它的对边与邻边之比也随 之确定，因此我们有如下定义： 如图，在Rt△ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边之 比便随之确定，这个比叫做∠A 的 (tangent)，记作tanA ，即 tanA ＝ ． 三、巩固提高，应用新知 例1 如图是甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？ 坡度 如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向 上每前进100m 就升高60m ,那么山坡的坡度i (即tan α)就是: 603tan 1005 i α===．
中考数学真题汇编 锐角三角函数
中考数学真题汇编:锐角三角函数 一、选择题 1.的值等于（） A. B. C. 1 D. 【答案】B 2.如图，过点，，，点是轴下方上的一点，连接，， 则的度数是（） A. B. C. D. 【答案】B 3.如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的 直径是( ) A.3 B.
C. D. 【答案】D 4.如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面CD的坡度 ，坡长米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离米，则旗杆AB的高度约为 （） （参考数据：，，） A. 12.6米 B. 13.1 米 C. 14.7 米 D. 16.3米 【答案】B 5.一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后 两位）（参考数据：）（） A. 4.64海里 B. 5.49海 里 C. 6.12海 里 D. 6.21海里 【答案】B
6.如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（） A. B. C. D. 【答案】B 7. 如图，已知在中，，，，则的值是（） A. B. C. D. 【答案】A 8. 如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B 在同一条直线上）（）
A. B. C. D. h?cosα 【答案】B 二、填空题 9.如图．一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在处测得岛礁在东北方向上，继续航 行1．5小时后到达处此时测得岛礁在北偏东方向,同时测得岛礁正东方向上的避风港在 北偏东方向为了在台风到来之前用最短时间到达处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航 行________小时即可到达 (结果保留根号) 【答案】 10.如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=________。 【答案】 11.如图，把三角形纸片折叠，使点、点都与点重合，折痕分别为，，得到 ，若厘米，则的边的长为________厘米. 【答案】 12.如图，在菱形中，，分别在边上，将四边形沿翻折， 使的对应线段经过顶点，当时，的值为________.
初三数学锐角三角函数含答案
锐角三角函数 中考要求 重难点 1．掌握锐角三角函数的概念，会熟练运用特殊三角函数值； 2．知道锐角三角函数的取值范围以及变化规律； 3．同角三角函数、互余角三角函数之间的关系； 4．将实际问题转化为数学问题，建立数学模型． 课前预习 “正弦”的由来 公元五世纪到十二世纪，印度数学家对三角学作出了较大的贡献．尽管当时三角学仍然还是天文学的一个计算工具，是一个附属品，但是三角学的内容却由于印度数学家的努力而大大的丰富了．三角学中“正弦”和“余弦”的概念就是由印度数学家首先引进的，他们还造出了比托勒密更精确的正弦表． 托勒密和希帕克造出的弦表是圆的全弦表，它是把圆弧同弧所夹的弦对应起来的．印度数学家不同，他们把半弦(AC)与全弦所对弧的一半(AD)相对应，即将AC与∠AOC对应，这样，他们造出的就不再是“全弦表”，而是“正弦表”了．印度人称连结弧(AB)的两端的弦(AB)为“吉瓦”，是弓弦的意思；称AB的一半(AC) 为“阿尔哈吉瓦”．后来“吉瓦”这个词译成阿拉伯文时被误解为“弯曲”、“凹处”，阿拉伯语是“dschaib”．十二世纪，阿拉伯文被转译成拉丁文，这个字被意译成了“sinus”．三角学输入我国，开始于明崇祯4年(1631年)，这一年，邓玉函、汤若望和徐光启合编《大测》，作为历书的一部份呈献给朝廷，这是我国第一部编译的三角学．在《大测》中，首先将sinus译为“正半弦”，简称“正弦”，这就成了正弦一词的由来．
例题精讲 模块一 三角函数基础 一、锐角三角函数的定义 如图所示，在Rt ABC △中，a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠的对边． （1）正弦：Rt ABC ?中，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作sin A ，即sin a A c =． （2）余弦：Rt ABC ?中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作cos A ，即cos b A c =． （3）正切：Rt ABC ?中，锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作tan A ，即tan a A b =． 注意： ① 正弦、余弦、正切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意三角形随便套用定义． ② sin A 、cos A 、tan A 分别是正弦、余弦、正切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为sin 与A 、 cos 与A 、tan 与A 的乘积． ③ 在直角三角形中，正弦、余弦、正切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值，当这个锐角确定后，这些比值都是固定值． 二、特殊角三角函数 这些特殊角的三角函 数值一定要牢牢记住！ 三、锐角三角函数的取值范围 在Rt ABC ?中，90C ∠=?，000a b c a c b c >>><<，，，，，又sin a A c =，cos b A c =，tan a A b =，所以 0sin 10cos 1tan 0A A A <<<<>，，． 四、三角函数关系 a A
《锐角三角函数》导学案
24. 3 锐角三角函数(1) 【学习目标】 经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、的比值固定这一事实。能根据三角函数的概念进行计算 【学习重点】理解三角函数的概念 【学习难点】当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、的比值固定这一事实。 【课标要求】掌握锐角三角函数 【知识回顾】 如图所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．你知道计算的方法吗？ 图25.1.2 【自主学习】 探究1：任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C=∠C′=90°， ∠A=∠A′，那么 '' '' BC B C AB A B 与有什么关系．你能解释一下吗？ 结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，?∠A的对边与斜边的比∠A的邻边与斜边的比∠A的对边与邻边的比∠A的邻边与对边的比
概念：在Rt△BC中，∠C=90，∠A的对边记作a，∠B的对边记作b，∠C的对边记作c． 在Rt△BC中，∠C=90°， 我们把叫做∠A的正弦，记作，即． 我们把叫做∠A的余弦，记作，即． 我们把叫做∠A的正切，记作，即． 【例题学习】 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求△ABC 中∠B的三个三角函数值． 你有什么发现？ 【巩固训练】 1．如图，在直角△ABC中，∠C＝90o，若AB＝5，AC＝4，则sinA＝（） A．3 5 B． 4 5 C． 3 4 D． 4 3 2．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=2 3 ，则边AC的长是( ) A．13 B．3 C．4 3 D． 5 3在中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C 的对边，则有（） A ． ．．． C B A
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