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人教版初中数学九年级第二十七章-相似-习题-含答案

第二十七章-相似-习题-含答案

专题总结及应用

一、知识性专题

专题1 比例线段

【专题解读】解决有关比例线段的问题时，常常利用三角形相似来求解．

例1 如图27－96所示，A ，B ，D ，E 四点在⊙O 上，AE ，BD

的延长线相交于点C ，AE ＝8，OC ＝12，∠EDC ＝∠BAO ．

(1)求证

CD CE AC CB

=； (2)计算CD ·CB 的值，并指出CB 的取值范围．分析利用△CDE ∽△CAB ，可证明

CD CE AC CB

=．证明：(1)∵∠EDC ＝∠BAO ，∠C ＝∠C ， ∴△CDE ∽△CAB ，∴CD CE AC CB

=. 解：(2)∵AE ＝8，OC ＝12，

∴AC ＝12+4＝16，CE =12－4＝8．

又∵

CD CE AC CB

=， ∴CD ·CB ＝AC ·CE ＝16×8＝128．连接OB ，在△OBC 中，OB ＝

AE ＝4，OC =12， ∴8＜BC ＜16．【解题策略】将证

CD CE AC CB

=转化为证明△CDE ∽△CAB . 专题2 乘积式或比例式的证明

【专题解读】证明形如22a c b d =，33a c b d =或abc def =1的式子，常将其转化为若干个比例式之积来解决．如要证22a c b d

=，可设法证a c b x =，a x b d =，然后将两式相乘即可，这里寻找线段x 便是证题的关键。

例2 如图27－97所示，在等腰三角形ABC 中，过A 作AD ⊥BC ，过C 作CE ⊥AB ，

又作DF ⊥CE ，FG ⊥AD ，求证2

FG BD AG AD =．分析欲证2

FG BD AG AD =，可将其分成三个比例式BD FG AD x =，BD y AD AG =，BD x AD y =，再将三式相乘即可．不难得知x 就是CD ，而线段y 在原图中没有，由相似关系可延长FG 交

AB 于K ，则y 就是GK ，只要证明

BD GD AD GK

=就可以了．证明：延长FG 交AB 于K ，连接DK ，

∵DF ⊥EC ，BE ⊥EC ，∴DF ∥BE ，

∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，

∴BD ＝DC ，∴EF ＝C F ．

∵FG ∥BC ，∴∠1＝∠2，

∴Rt △FDC ≌Rt △E K F ，

∴K F ＝DC ，∠3＝∠4，

∴四边形K FCD 是平行四边形，∴∠2＝∠5，

∴∠EKD ＝∠3+∠5＝∠4+∠2＝90°，

∴DK ⊥AB ，

∴DF ∥AB ，∴∠BAD ＝∠FDG ，

∴Rt △ADB ∽Rt △DGF ，∴BD FG AD GD

=．① ∵GK ∥BD ，∴△AKG ∽△ABD ，∴

BD KG AD AG

=．② 在△ABD 中，∠ADB ＝90°，DK ⊥AB ，∴△ADB ∽△AKD ．又△AKD ∽△KGD ,△ADB ∽△KGD ，∴BD CD AD KG

=．③ 由①×②×③，得33BD FG AD AG

=．例3 如图27－98所示，在△ABC 中，已知∠A ：∠B ：∠C =1：2：4，求证

111AB AC BC +=.

分析原式等价于BC BC AB AC +＝1，也就是BC AC BC AB AC

-=，在CA 上取一点D ，使CD ＝BC ，原式就变成BC AD AB AC

=，要证明这个比例式，需要构造相似三角形，为此作∠ACB 的平分线CE ，交AB 于点E ，连接DE ，显然有△BCE ≌△DCE ，从而易证AD ＝DE ＝CE ，于是只需证BC CE AB AC

=即可．证明：∵∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：4，

∴设∠A ＝x ，则∠B ＝2x ，∠C ＝4x

作CE 平分∠BCA ，交AB 于E ，

在AC 边上取一点D ，使CD ＝CB ，连接DE ，

∴△DCE ≌△BCE ，

∴∠CDE ＝∠B ＝2x ，∠DEC ＝∠BEC =3x ，

又∠CDE ＝∠A +∠DEA ，∴∠DEA ＝x ，∴AD ＝DE ，

又∵DE ＝EC ，∴AD ＝CE ．

在△ABC 和△ACE 中，∠CAB ＝∠CAE ，∠ACE ＝∠B ＝2x ，

∴△ABC ∽△ACE ，∴

BC CE AB AC =，即

BC AD AC CD AC BC AB AC AC AC --===， ∴

BC AC BC AB AC AC =-,∴BC BC AB AC +=1 即111AB AC BC

+=. 二、规律方法专题

专题3：相似三角形的性质

【专题解读】相似三角形是初中数学重要的内容之一，其应用广泛，可以证明线段相

等、平行、垂直，也可以计算图形的面积及线段的比值等，解题的关键是识别(或构造)相似三角形的基本图形．

例4 如图27－99所不，在△ABC 中，看DE ∥BC ，12

AD BD =，DE ＝4 cm ，则BC 的长为 ( )

A ．8 cm

B ．12 cm

C ．11 cm

D ．10 cm

分析由DE ∥BC ，可得△ADE ∽△ABC ，

DE AD BC AB =．因为12AD BD =，所以13AD AB =,所以13

DE BC =．因为DE =4 cm ，所以BC =12 cm 故选B.

例5 如图27－100所示，在△ABC 中，AB ＝BC ＝12 cm ，∠ABC ＝

80°，BD 是∠ABC 的平分线，DE ∥BC.

(1)求∠EDB 的度数；

(2)求DE 的长．

分析 (1)由DE ∥BC ，得∠EDB ＝∠DBC ＝

12∠ABC ，可求∠EDB ．(2)由DE ∥BC ，得△ADE △ACB ，则DE AE BC AB

=，再证出BE ＝DE ，可求DE ．解：(1)∵DE ∥BC ，∴∠EDB ＝∠DBC .

∵BD 平分∠ABC ，

∴ ∠DBC ＝

12∠ABC ＝12

×80°＝40°，∴∠EDB ＝40°． (2)∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ，

∵DE ∥BC ，∴∠EDB ＝∠DBC ，

∴∠EDB ＝∠EBD ，∴BE ＝DE ．

∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ACB ， ∴

DE AE AB BE AB DE BC AB AB AB --===. ∴121212

DE DE -=，∴DE =6 cm 【解题策略】将比例式中的AE 转化为AB －DE ，逐步由未知转化为已知，建立关于DE 的关系式来求解．

例6 如图27－101所示，点D ，E 在BC 上，且FD ∥AB ，FE ∥AC ，求证△ABC ∽△FDE ．

分析由已知可证∠FDE ＝∠B ，∠FED ＝∠C ，从而可证△ABC ∽△FDE ．

证明：∵FD ∥AB ，FE ∥AC ，

∴∠FDE ＝∠B ，∠FED ＝∠C ，

∴△ABC ∽△FDE ．

例7 （08·无锡）如图27－102所示，已知点正是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF ⊥AE 于点F ，求证△ABF ∽△EAD ．

分析由矩形的性质可知∠BAD ＝∠D ＝90°，再由BF ⊥AE 可证∠AFB ＝∠D 和∠DAE ＝∠FBA ，从而证明△ABF ∽△EAD ．

证明：在矩形ABCD 中，∠BAD ＝∠D =90°，

∵BF ⊥AE ，∴∠AF B ＝∠D ＝90°，

∴∠ABF +∠BAE ＝90°．

又∵∠DAE +∠BAE ＝∠BAD ＝90°，

∴∠ABF ＝∠EAD ，

∴△ABF ∽△EAD ，

三、思想方法专题

专题4 分类讨论思想

【专题解读】分类讨论思想是一种重要的数学思想，我们在研

究问题的解法时，应把可能出现的各种情况都加以考虑，这样才能全

面、严谨地思考问题．

例8 在△ABC 中，AB ＞BC ＞AC ，D 是AC 的中点，过点D 作

直线l ，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线l 有条．

分析如图27－103所示，过点D 作AB 的平行线，或过点D 作DF ∥BC ，或作∠CDH ＝∠B ，或作∠ADG ＝∠B ，故填4．

专题5 建模思想

【专题解读】本章建模思想多用于将实际问题转化为几何图形，然后根据相似的性质解决问题．

例9 如图27－104所示，小明想用皮尺测量池塘A ，B 间的距离，

但现有皮尺无法直接测量池塘A ，B 间的距离，学习有关的数学知识后，

他想出了一个主意，先在地面上取一个可以直接到达A ，B 两点的点O ，

连接OA ，OB ，分别在OA ，OB 上取中点C ，D ，连接CD ，并测得CD

＝a ，由此他知道A ，B 间的距离是( )

A ．12

a B ．2a C ．a D ．3a 分析 ∵D ，C 分别为OB ，OA 的中点，∴CD 是△ABO 的中位线，∴CD ＝

12AB ，∴AB ＝2CD ＝2a ．故选D ．

【解题策略】此题将所求问题转化为三角形中位线的问题来解决．

例10 如图27－105所示，九年级(1)班课外活动小组利用标杆

测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD ＝3 m ，标杆与旗杆的水平距

离BD ＝15 m ，人的眼睛与地面的高度EF ＝1．6 m ，人与标杆CD 的

水平距离DF ＝2 m ，求旗杆AB 的高度．

分析利用相似三角形得比例式，构建线段关系求线段长．

解：因为CD ⊥FB ，AB ⊥FB ，所以CD ∥AB ，

所以△CGE ∽△AHE ，所以

CG EG AH EH =，即CD EF FD AH FD BD

-=+，所以

3 1.62215

AH -=+，解得AH ＝11．9，所以AB ＝AH +HB ＝AH +EF ＝11.9+1.6＝13.5(m)．

故旗杆AB 的高度为13．5 m ．

专题6 转化思想

【专题解读】本章中的转化思想主要用于解决一些比例线段的问题．

例11 如图27－106所示，已知E 为ABCD 的边CD 延长线上

的一点，连接BE 交AC 于O ，交AD 于F ．求证BO 2＝OF ·OE ．分析要证BO 2＝OF ·OE ，只需证

OF OB OB OE

=，而OB ，OE ，OF 在一条直线上，因此不能通过三角形相似证得，于是想到要用中间比，而由已知可证△AOF ∽△COB 和△AOB ∽△COE ，即有

OF AO OB OC =，OB AO OE OC =，从而得证．证明：在ABCD 中，AB ∥CE ，AD ∥BC ，

∴△AOF ∽△COB ，△AOB ∽△COE ，

∴

AO OF OC OB =，AO OB OC OE =， ∴OF OB OB OE

=， ∴OB 2＝OF ·OE ．

例12 在△ABC 和△DEF 中，AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D ，如果△ABC 的周长是16，面积是12，那么△DEF 的周长、面积依次为 ( )

A ．8，3

B ．8，6

C ．4，3

D ．4，6

分析由AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D ，得△ABC ∽△DEF ，且相似比为2，则41ABC DEF S S =△△，所以S △DEF ＝124＝3，△DEF 的周长为162

＝8．故选A ．例13 已知△ABC 与△DEF 相似且面积比为4：25，则△ABC 与△DEF 的相似比为．

分析利用相似三角形的性质求解．故填2：5．

例14 已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，且S △ABC ：S △A ′B ′C ′＝1：2，则AB ：A ′B ′＝．

分析根据相似三角形面积比等于相似比的平方，且S △ABC ：S △A ′B ′C ′＝1：2，得AB ：A ′B ′＝1：2.故填1：2.

2011中考真题精选

1. （2010广东，3，3分）将左下图中的箭头缩小到原来的2

1，得到的图形是（）

考点：相似图形

分析：根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除错误答案．

解答：解：∵图中的箭头要缩小到原来的错误！未找到引用源。，∴箭头的长、宽都要缩小到原来的错误！未找到引用源。；

选项B箭头大小不变；选项C箭头扩大；选项D的长缩小、而宽没变．故选A．

点评：本题主要考查了相似形的定义，联系图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．

2.（2011，台湾省，22,5分）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（）

舞蹈社溜冰社魔術社

上學期 3 4 5

下學期 4 3 2

A、舞蹈社不变，溜冰社减少

B、舞蹈社不变，溜冰社不变

C、舞蹈社增加，溜冰社减少

D、舞蹈社增加，溜冰社不变

考点：比例的性质。

专题：计算题。

分析：若甲：乙：丙=a：b：c，则甲占全部的错误！未找到引用源。，乙占全部的错误！未找到引用源。，丙占全部的错误！未找到引用源。．

解答：解：由表得知上、下学期各社团人数占全部人数的比例如下：

舞蹈社溜冰社魔術社

上學期错误！未

找到引用

源。=错

误！未找

到引用

源。错误！未找

到引用源。

=错误！未

找到引用

源。

错误！未找

到引用源。

=错误！未

找到引用

源。

下學期错误！未

找到引用

源。=错

误！未找

到引用

源。

错误！未找

到引用源。

=错误！未

找到引用

源。

错误！未找

到引用源。

=错误！未

找到引用

源。

∴舞蹈社增加，溜冰社不变．

故选D．

点评：本题考查了比例的性质：两内项之积等于两外项之积．

3.（2011，台湾省，33,5分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F两点分别在AB、DC 上．若AE=4，EB=6，DF=2，FC=3，且梯形AEFD与梯形EBCF相似，则AD与BC的长度比为何？（）

A．B．D．

C．

题3图

A、1：2

B、2：3

C、2：5

D、4：9

考点：相似多边形的性质。

分析：根据两个梯形相似，则对应边的比相等，即可求解．

解答：解：∵梯形AEFD∽梯形EBCF，且DF：FC=2：3

∴AD：EF=EF：BC=2：3?AD：EF：BC=4：6：9

∴AD：BC=4：9．

故选D．

点评：本题主要考查了相似多边形的性质，正确理解性质是关键．

4. （2011贵州毕节，7，3分）两个相似多边形的面积比是16

:9，其中较小多边形周长为36cm，则较大多边形周长为( )

A．48cm B．54cm C．56cm D．64cm

考点：相似多边形的性质。

分析：根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可．

解答：解：两个相似多边形的面积比是9：16，面积比是周长比的平方，则大多边形与小多边形的相似比是4：3．相似多边形周长的比等于相似比，因而设大多边形的周长为x，则有错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，解得：x=48．大多边形的周长为48cm．故选A．

点评：本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．

（2011福建莆田，25，14分）已知菱形ABCD的边长为1，∠ADC=60o，等边△AEF两边分别交DC、CB于点E、F。

（1）（4分）特殊发现：如图1，若点E、F分别是DC、CB的中点，求证菱形ABCD对角母AC、BD的交点O即为等边△AEF的外心；

（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边△AEF的外心为点P。

①（4分）猜想验证：如图2，猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；

②（5分）拓展运用：如图3，猜想△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA

于点M，交边DC的延长线于点N，试判断

DM DN

是否为定值，若是，请求出该定值；

若不是，请说明理由。

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；菱形的性质；三角形的外接圆与外心．

分析：（1）首先分别连接OE 、0F ，由四边形ABCD 是菱形，即可得AC ⊥BD ，BD 平分∠ADC ．AO =DC =BC ，又由E 、F 分别为DC 、CB 中点，即可证得0E =OF =OA ，则可得点O 即为△AEF 的外心；

（2）①首先分别连接PE 、P A ，过点P 分别作PI ⊥CD 于I ，PJ ⊥AD 于J ，即可求得∠IPJ 的度数，又由点P 是等边△AEF 的外心，易证得△PIE ≌△PJA ，可得PI =PJ ，即点P 在∠ADC 的平分线上，即点P 落在直线DB 上．

②当AE ⊥DC 时．△AEF 面积最小，此时点E 、F 分别为DC 、CB 中点．连接B D 、AC 交于点P ，由（1）可得点P 即为△AEF 的外心．由△G BP ∽△M DP ，即可为定值2．解答：（1）证明：如图1，分别连接OE 、0F ，

∵四边形ABCD 是菱形，

∴AC ⊥BD ，BD 平分∠ADC ．AO=DC=BC ，

∴∠COD =∠COB =∠AOD =90°．

∠ADO = ∠ADC = ×60°=30°，

又∵E 、F 分别为DC 、CB 中点，

∴OE = CD ，OF = BC ，AO = AD ，

∴0E=OF =OA ，

∴点O 即为△AE F 的外心．

（2）①猜想：外心P 一定落在直线DB 上．

证明：如图2，分别连接PE 、P A ，过点P 分别作PI ⊥CD 于I ，PJ ⊥AD 于J ，

∴∠PIE =∠PJD =90°，

第25题图2 A B C

D E

F I

J P A

B C

D 第25题图1 O F E

∵∠ADC=60°，

∴∠IP J=360°-∠PIE -∠PJD -∠JDI =120°，

∵点P 是等边△AEF 的外心，

∴∠EP A =120°，PE =P A ，

∴∠I PJ =∠EP A ，

∴∠IPE =∠JP A ，

∴△P IE ≌△PJA ，

∴PI =PJ ，

∴点P 在∠ADC 的平分线上，即点P 落在直线DB 上．

② 为定值2．

当AE ⊥DC 时．△AEF 面积最小，

此时点E 、F 分别为DC 、CB 中点．

连接BD 、AC 交于点P ，由（1）

可得点P 即为△AEF 的外心．

如图3．设MN 交BC 于点G ，

设DM =x ，DN =y （x ≠0．y ≠O ），则CN=y -1，

∵BC ∥DA ，

∴△GBP ∽△MDP ．

∴BG =DM =x ．

∴CG =1-x

∵BC ∥DA ，

∴△GBP ∽△NDM ，

∴ ，

∴x +y =2xy ，

∴ + =2，

即 =2

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的外心的判定与性质，以及菱形的性质等知识．此题综合性很强，图形也比较复杂，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应（2011甘肃兰州，27，12分）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD （AD >AB ），将纸片折叠一次，使点A 与点C 重合，再展开，折痕EF 交AD 边于点E ，交BC 边于点F ，分别连结AF 和CE 。

（1）求证：四边形AFCE 是菱形；

（2）若AE =10cm ，△ABF 的面积为24cm 2，求△ABF 的周长；

（3）在线段AC 上是否存在一点P ，使得2AE 2=AC ·AP ？若存在，请说明点P 的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由. 第25题图3 B A

D E

F M N

初中数学九年级上下册知识点总结

[九年级(上册) 第一章证明(二) ※等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 ※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的直角三角形，其中一个锐角等于30o，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。 ※有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形。 ※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有： ①勾股定理：2 2 2 c b a =+（注意区分斜边与直角边） ②在直角三角形中，如有一个内角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现） ※垂直平分线．．．．．是垂直于一条线段．．并且平分这条线段的直线．．。（注意着重号的意义） <直线与射线有垂线，但无垂直平分线> ※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 ※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ※三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。（如图1所示， AO=BO=CO ） ※角平分线上的点到角两边的距离相等。 ※角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 ※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。 (如图2所示，OD=OE=OF) 第二章一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02 =++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。 ※把02 =++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。 ※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为0)(2 =+m x 的形式> ②公式法 a ac b b x 242-±-= （注意在找ab c 时须先把方程化为一般形式） ③分解因式法把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”） A C B O 图1 图2 O A C B D E F

人教版初一数学七年级数学上册练习题【附答案】

人教版七年级数学上册精品练习题七年级有理数一、境空题（每空2分，共38分） 1、31-的倒数是____；3 21的相反数是____. 2、比–3小9的数是____；最小的正整数是____. 3、在数轴上，点A 所表示的数为2，那么到点A 的距离等于3个单位长度的点所表示的数是 4、两个有理数的和为5，其中一个加数是–7，那么另一个加数是____. 5、某旅游景点11月5日的最低气温为ο2-，最高气温为8℃，那么该景点这天的温差是____.οC 6、计算：.______)1()1(101100=-+- 7、平方得4 12的数是____；立方得–64的数是____. 8、+2与2-是一对相反数，请赋予它实际的意义：___________________。 9、绝对值大于1而小于4的整数有____________，其和为_________。 10、若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则 3 (a + b) 3-cd =__________。 11、若0|2|)1(2=++-b a ，则b a +=_________。 12、数轴上表示数5-和表示14-的两点之间的距离是__________。 13、在数5-、 1、 3-、 5、 2-中任取三个数相乘，其中最大的积是___________，最小的积是____________。 14、若m ，n 互为相反数，则│m-1+n │=_________．二、选择题（每小题3分，共21分） 15、有理数a 、b 在数轴上的对应的位置如图所示：则（） 0-11a b A ．a + b ＜0 B ．a + b ＞0; C ．a －b = 0 D ．a －b ＞0 16、下列各式中正确的是（） A ．22)(a a -= B ．33)(a a -=; C ．|| 22a a -=- D ．|| 33a a = 17、如果0a b +>，且0ab <，那么（）Ａ．0,0a b >> ;Ｂ．0,0a b << ;Ｃ．a 、b 异号;D. a 、b 异号且负数和绝对值较小 18、下列代数式中，值一定是正数的是( ) A ．x 2 B.|－x+1| C.(－x)2+2 D.－x 2+1 19、算式（-34 3）×4可以化为（）（A ）-3×4-43×4 （B ）-3×4+3 （C ）-3×4+4 3×4 （D ）-3×3-3 20、小明近期几次数学测试成绩如下：第一次85分，第二次比第一次高8分，第三次比第二次低12分，第四次又比第三次高10分．那么小明第四次测验的成绩是…………（） A 、90分 B 、75分 C 、91分 D 、81分 21、一家商店一月份把某种商品按进货价提高60％出售，到三月份再声称以8折（80％）大拍卖，那么该商品三月份的价格比进货价………………………………………（）

最最新人教版九年级数学下册全册教案

第二十六章反比例函数 17．1．1反比例函数的意义一、教学目标 1．使学生理解并掌握反比例函数的概念 2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式 3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想二、重、难点 1．重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式 2．难点：理解反比例函数的概念三、例题的意图分析教材第46页的思考题是为引入反比例函数的概念而设置的，目的是让学生从实际问题出发，探索其中的数量关系和变化规律，通过观察、讨论、归纳，最后得出反比例函数的概念，体会函数的模型思想。教材第47页的例1是一道用待定系数法求反比例函数解析式的题，此题的目的一是要加深学生对反比例函数概念的理解，掌握求函数解析式的方法；二是让学生进一步体会函数所蕴含的“变化与对应”的思想，特别是函数与自变量之间的单值对应关系。补充例1、例2都是常见的题型，能帮助学生更好地理解反比例函数的概念。补充例3是一道综合题，此题是用待定系数法确定由两个函数组合而成的新的函数关系式，有一定难度，但能提高学生分析、解决问题的能力。

四、课堂引入 1．回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？ 2．体育课上，老师测试了百米赛跑，那么，时间与平均速度的关系是怎样的？五、例习题分析例1．见教材P47 分析：因为y 是x 的反比例函数，所以先设x k y = ，再把x ＝2和y ＝6代入上式求出常数k ，即利用了待定系数法确定函数解析式。例1．（补充）下列等式中，哪些是反比例函数（1）3x y = （2）x y 2-= （3）xy ＝21 （4）25+=x y （5）x y 23-= （6）31+=x y （7）y ＝x －4 分析：根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成x k y = （k 为常数，k ≠0）的形式，这里（1）、（7）是整式，（4）的分母不是只单独含x ，（6）改写后是x x y 31+=，分子不是常数，只有（2）、（3）、（5）能写成定义的形式例2．（补充）当m 取什么值时，函数23)2(m x m y --=是反比例函数？分析：反比例函数x k y =（k ≠0）的另一种表达式是1-=kx y （k ≠0），后一种写法中x 的次数是－1，因此m 的取值必须满足两个条件，即m －2≠0且3－m 2＝－1，特别注意不要遗漏k ≠0这一条件，也要防止出现3－m 2＝1的错误。解得m ＝－2

人教版初一数学命题练习题

人教版初一数学命题练习题一、选择题（共4小题） 1. 下列语句： ①不带“”号的数都是正数； ②如果是正数，那么一定是负数； ③射线和射线是同一条射线； ④直线和直线是同一条直线，其中说法正确的有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 下列语句不是命题的是 A. 相等的角是对顶角 B. 延长到，使 C. 两条直线相交有且只有一个交点 D. 等角的余角相等 3. 用反证法证明“在同一平面内，若，，则”时，应假设 A. B. C. ， D. 与相交 4. 有下列四个命题：①相等的角是对项角；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；③等角的补角相等；④平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中真命题的个数为 A. B. C. D. 二、填空题（共3小题） 5. 把命题“对顶角相等”改写成“如果那么”的形式：． 6. 判断下列命题是真命题还是假命题（填“真”或“假”）． 7. 由于证明需要，可以在原来的图形上添画一些线，像这样的线叫做，通常画成线．三、解答题（共3小题） 8. 已知：如图，，，，求的度数．完成如下推理填空：解：（已知），，又（已知），，，，又（已知），

，． 9. 将下列命题改写成“如果，那么”的形式．（1）同旁内角互补，两直线平行；（2）两个实数的平方之和是正数；（3）对顶角相等． 10. 用“如果，那么”的形式写出下列命题的逆命题，并判断这个逆命题的真假．如果两个角互为邻补角，那么它们的和为．

答案第一部分 1. B 【解析】①不带“”号的数不一定是正数，错误； ②如果是正数，那么一定是负数，正确； ③射线和射线不是同一条射线，错误； ④直线和直线是同一条直线，正确． 2. B 3. D 4. B 第二部分 5. 如果两个角是对顶角，那么它们相等 6. 真 7. 辅助线，虚第三部分 8. 同旁内角互补，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行；；；平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换； 9. （1）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．（2）如果一个数等于其他两个实数的平方之和，那么这个数是正数．（3）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 10. 如果两个角的和为，那么这两个角互为邻补角；假．

初三数学下册知识点总结

第26章二次函数 1. 二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c (a≠0)。 2．求二次函数的解析式：已知二次函数图象上三点的坐标，可设解析式y=ax2+bx+c，并把这三点的坐标代入，解关于a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值, 从而求出解析式---待定系数法。 3．二次函数的顶点式： y=a(x-h)2+k (a≠0)；由顶点式可直接得出二次函数的顶点坐标（h, k），对称轴方程 x=h和函数的最值 y最值= k。 4．求二次函数的解析式：已知二次函数的顶点坐标（h,k）和图象上的另一点的坐标，可设解析式为y=a(x -h)2+ k，再代入另一点的坐标求a，从而求出解析式。 5. 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象及几个重要点的公式： 6. 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)中，a、b、c与Δ的符号与图象的关系： (1) a＞0 <=> 抛物线开口向上； a＜0 <=> 抛物线开口向下。 (2) c＞0 <=> 抛物线从原点上方通过； c=0 <=> 抛物线从原点通过； c＜0 <=> 抛物线从原点下方通过。 (3) a, b异号 <=> 对称轴在y轴的右侧； a, b同号 <=> 对称轴在y轴的左侧； b=0 <=> 对称轴是y轴。 (4) b2－4ac＞0 <=> 抛物线与x轴有两个交点； b2－4ac =0 <=> 抛物线与x轴有一个交点（即相切）； b2－4ac＜0 <=> 抛物线与x轴无交点。 7．二次函数图象的对称性：已知二次函数图象上的点与对称轴，可利用图象的对称性求出已知点的对称点，这个对称点也一定在图象上。

第27章相似形 2．比例的基本性质： a:b=c:d d c b a = ad=b c ；

人教版初一数学角练习题

人教版初一数学角练习题一、选择题（共4小题） 1. 如图，能用，，三种方法，表示同一个角的是 A. B. C. D. 2. 如图所示，已知是直线上一点，，平分，则的度数是 A. B. C. D. 3. 如图，是直线上一点，平分，．则图中互余的角、互补的角各有对． A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 下列关系式正确的是 A. B. C. D. 二、填空题（共3小题） 5. 把化成度的形式，则度． 6. 如图，在的内部引出，两条射线，则图中共有个角，它们分别是．

7. 如图，点，，在一条直线上，，是的平分线，则度．三、解答题（共3小题） 8. 如图，一渔船在海上点开始绕点航行，开始时点在点的东偏北，然后绕点航行到，测得继续绕行，最后到达点且，．（1）求的度数；（2）说明渔船最后到达的点在什么位置． 9. 如图，已知，如果把沿着翻折过来，射线与将会有怎样的位置关系? 10. 证明：如图，点，，在同一条直线上，，分别平分和．

（1）求的度数；（2）如果，求的度数．

答案第一部分 1. B 【解析】A、顶点处有四个角，不能用表示，错误； B、顶点处有一个角，能同时用，，表示，正确； C、顶点处有四个角，不能用表示，错误； D、顶点处有三个角，不能用表示，错误． 2. D 3. B 【解析】平分，，互余的角有和，和，和，和共对，互补的角有和，和，和，和，和，和，和共对． 4. D 【解析】根据度、分、秒的换算规律换算，可得答案．第二部分 5. 【解析】． 6. ，，，，，， 7. 第三部分 8. （1）点在点的东偏北，即，所以，因为，所以．（2）因为，所以，所以，因为，即点在点的北偏西且距离点的位置． 9. 射线在的外部． 10. （1）如图，是的平分线，．是的平分线，．

人教版初中数学九年级下册单元测试第27章相似

第二十七章相似全章测试一、选择题 1．如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ＝1，DB ＝2，则 BC DE 的值为( ) 第1题图 A ． 32 B ．41 C ．3 1 D ．21 2．如图所示，△ABC 中DE ∥BC ，若AD ∶DB ＝1∶2，则下列结论中正确的是( ) 第2题图 A ． 2 1 =BC DE B ． 2 1 =??的周长的周长ABC ADE C ．的面积的面积ABC ADE ??3 1 = D ．的周长的周长ABC ADE ??3 1 = 3．如图所示，在△ABC 中∠BAC ＝90°，D 是BC 中点，AE ⊥AD 交CB 延长线于E 点，则下列结论正确的是( ) 第3题图 A ．△AED ∽△AC B B ．△AEB ∽△ACD C ．△BAE ∽△ACE D ．△AEC ∽△DAC 4．如图所示，在△ABC 中D 为AC 边上一点，若∠DBC ＝∠A ，6= BC ，AC ＝3，则CD 长为( )

第4题图 A ．1 B ． 23 C ．2 D ．2 5 5．若P 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B ，C 的一点，过点P 作直线截△ABC ，截得的三角形与原△ABC 相似，满足这样条件的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．如图所示，△ABC 中若DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式正确的是( ) 第6题图 A ． BC DE DB AD = B ．AD EF B C BF = C ．FC BF EC AE = D ．BC DE AB EF = 7．如图所示，⊙O 中，弦AB ，CD 相交于P 点，则下列结论正确的是( ) 第7题图 A ．P A ·A B ＝P C ·PB B ．P A ·PB ＝PC ·P D C ．P A ·AB ＝PC ·CD D ．P A ∶PB ＝PC ∶PD 8．如图所示，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，对于下列中的每一个条件第8题图

人教版八年级数学上册练习题

初中数学试卷灿若寒星整理制作八年级数学练习题（1）一．选择题 1．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( ) A ．7，24，25 B ．321，421，521 C ．3，4，5 D ．4，721，82 1 2．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( ) A ．1倍 B ．2倍 C ．3倍 D ．4倍 3．在下列说法中是错误的（） A ．在△ABC 中，∠C ＝∠A 一∠ B ，则△AB C 为直角三角形 B ．在△AB C 中，若∠A ∶∠B ∶∠C ＝5∶2∶3则△ABC 为直角三角形 C ．在△ABC 中，若a ＝53c ，b ＝5 4c ，则△ABC 为直角三角形 D ．在△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝2∶2∶4，则△ABC 为直角三角形 4．四组数:①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④3a ，4a ，5a (a ＞0)中，可以构成直角三角形的边长的有( ) A ．4组 B ．3组 C ．2组 D ．1组 5．三个正方形的面积如图1，正方形A 的面积为（） A ． 6 B ． 36 C ． 64 D ． 8 6．一块木板如图2所示，已知AB ＝4，BC ＝3，DC ＝12，AD ＝13，∠B ＝90°，木板的面积为( ) A ．60 B ．30 C ．24 D ．12 7．直角三角形的两直角边分别为5cm ，12cm ，其中斜边上的高为（） A ．6cm B ．8．5cm C ．1330cm D ．13 60cm 8．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm ，另一只朝左挖，每分钟挖6cm ，10分钟之后两只小鼹鼠相距（） A ．50cm B ．100cm C ．140cm D ．80cm 9．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ，当它把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（） A D B C 图2 图1 A 100 64

沪教版2020初三数学九年级上册期末试题和答案

沪教版2020初三数学九年级上册期末试题和答案一、选择题 1．一组数据0、－1、3、2、1的极差是（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 2．抛物线223y x x =++与y 轴的交点为（） A ．(0,2) B ．(2,0) C ．(0,3) D ．(3,0) 3．如图，点I 是△ABC 的内心，∠BIC ＝130°，则∠BAC ＝（） A ．60° B ．65° C ．70° D ．80° 4．若关于x 的一元二次方程x 2－2x －k ＝0没有实数根，则k 的取值范围是（） A ．k ＞－1 B ．k≥－1 C ．k ＜－1 D ．k≤－1 5．若一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m 的取值范围是（） A ．m≥1 B ．m≤1 C ．m ＞1 D ．m ＜1 6．下列函数中属于二次函数的是( ) A ．y ＝ 12 x B ．y ＝2x 2-1 C ．y ＝23x + D ．y ＝x 2＋ 1x ＋1 7．若圆锥的底面半径为2，母线长为5，则圆锥的侧面积为（） A ．5π B ．10π C ．20π D ．40π 8．一个扇形的半径为4，弧长为2π，其圆心角度数是（） A ．45 B ．60 C ．90 D ．180 9．如图，已知等边△ABC 的边长为4，以AB 为直径的圆交BC 于点F ，CF 为半径作圆，D 是⊙C 上一动点，E 是BD 的中点，当AE 最大时，BD 的长为（） A ．3 B ．5 C ．4 D ．6 10．已知反比例函数k y x = 的图象经过点（m ，3m ），则此反比例函数的图象在（） A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、四象限 D ．第三、四象限 11．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，则sin B 的值是（）

人教版初二数学上册习题及答案

因式分解专题过关 1．将下列各式分解因式（1）3p2﹣6pq （2）2x2+8x+8 2．将下列各式分解因式（1）x3y﹣xy （2）3a3﹣6a2b+3ab2． 3．分解因式（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）（2）（x2+y2）2﹣4x2y2 4．分解因式：（1）2x2﹣x （2）16x2﹣1 （3）6xy2﹣9x2y﹣y3 （4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2 5．因式分解：（1）2am2﹣8a （2）4x3+4x2y+xy2 6．将下列各式分解因式：（1）3x﹣12x3（2）（x2+y2）2﹣4x2y2 7．因式分解：（1）x2y﹣2xy2+y3 （2）（x+2y）2﹣y2 8．对下列代数式分解因式：

（1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）（2）（x﹣1）（x﹣3）+1 9．分解因式：a2﹣4a+4﹣b2 10．分解因式：a2﹣b2﹣2a+1 11．把下列各式分解因式：（1）x4﹣7x2+1 （2）x4+x2+2ax+1﹣a2 （3）（1+y）2﹣2x2（1﹣y2）+x4（1﹣y）2（4）x4+2x3+3x2+2x+1 12．把下列各式分解因式：（1）4x3﹣31x+15；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4；（3）x5+x+1；（4）x3+5x2+3x﹣9；（5）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2．

因式分解专题过关 1．将下列各式分解因式（1）3p2﹣6pq；（2）2x2+8x+8 分析：（1）提取公因式3p整理即可；（2）先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．解答：解：（1）3p2﹣6pq=3p（p﹣2q），（2）2x2+8x+8，=2（x2+4x+4），=2（x+2）2． 2．将下列各式分解因式（1）x3y﹣xy （2）3a3﹣6a2b+3ab2．分析：（1）首先提取公因式xy，再利用平方差公式进行二次分解即可；（2）首先提取公因式3a，再利用完全平方公式进行二次分解即可．解答：解：（1）原式=xy（x2﹣1）=xy（x+1）（x﹣1）；（2）原式=3a（a2﹣2ab+b2）=3a（a﹣b）2． 3．分解因式（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．分析：（1）先提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式继续分解；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解．解答：解：（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x），=（x﹣y）（a2﹣16），=（x﹣y）（a+4）（a﹣4）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2，=（x2+2xy+y2）（x2﹣2xy+y2），=（x+y）2（x﹣y）2． 4．分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．

九年级上数学全套试卷及答案

2005～2006学年度上期目标检测题九年级数学第一章证明（Ⅱ）班级姓名学号成绩一、判断题（每小题2分，共10分）下列各题正确的在括号内画“√”，错误的在括号内画“×”. 1、两个全等三角形的对应边的比值为1 . （） 2、两个等腰三角形一定是全等的三角形. （） 3、等腰三角形的两条中线一定相等. （） 4、两个三角形若两角相等，则两角所对的边也相等. （） 5、在一个直角三角形中，若一边等于另一边的一半，那么，一个锐角一定等于30°.（）二、选择题（每小题3分，共30分）每小题只有一个正确答案，请将正确答案的番号填在括号内. 1、在△ABC 和△DEF 中，已知AC=DF ，BC=EF ，要使△ABC ≌△DEF ，还需要的条件是（） A 、∠A=∠D B 、∠C=∠F C 、∠B=∠E D 、∠C=∠D 2、下列命题中是假命题的是（） A 、两条中线相等的三角形是等腰三角形 B 、两条高相等的三角形是等腰三角形 C 、两个内角不相等的三角形不是等腰三角形 D 、三角形的一个外角的平分线平行于这个三角形的一边，则这个三角形是等腰三角形 3、如图(一)，已知AB=AC ，BE=CE ，D 是AE 上的一点，则下列结论不一定成立的是（） A 、∠1=∠2 B 、AD=DE C 、BD=C D D 、∠BDE=∠CDE 4、如图（二），已知AC 和BD 相交于O 点，AD ∥BC ，AD=BC ，过O （一）任作一条直线分别交AD 、BC 于点E 、F ，则下列结论：①OA=OC ②OE=OF ③AE=CF ④OB=OD ，其中成立的个数是（） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 5、若等腰三角形的周长是18，一条边的长是5，则其他两边的长是（）（二） A 、5，8 B 、6.5，6.5 C 、5，8或6.5，6.5 D 、8，6.5 6、下列长度的线段中，能构成直角三角形的一组是（） A 、543，，； B 、6， 7， 8； C 、12， 25， 27； D 、245232，， 7、如图（三），AC=AD BC=BD ，则下列结果正确的是（）（三） A 、∠ABC=∠CA B B 、OA=OB C 、∠ACD=∠BDC D 、AB ⊥CD 8、如图（四），△ABC 中，∠A=30°，∠C=90°AB 的垂直平分线交AC 于D 点，交AB 于E 点，则下列结论错误的是（） A 、AD=D B B 、DE=DC C 、BC=AE D 、AD=BC （四）

北师大版初中数学九年级(下册)知识点汇总

北师大版初中数学九年级(下册)知识点汇总第一章直角三角形边的关系 ※一. 正切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即的邻边的对边 A A A ∠∠= tan ; ①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan ”乘以“A ”； ④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切； ⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大； ∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。 ※二. 正弦．．：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边 A A ∠= sin ; ※三. 余弦：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边 A A ∠= cos ; ※余切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即的对边的邻边 A A A ∠∠= cot ; ※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。

图 1 （通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A 为锐角，则 ①)90cos(sin A A ∠-?=； )90sin(cos A A ∠-?= ②)90cot(tan A A ∠-?=； )90tan(cot A A ∠-?= ※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．． ※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．． ※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。 ※同角的三角函数间的关系：倒数关系：tg α·ctg α=1。 ※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。 ◎在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则有 (1)三边之间的关系：a 2+b 2=c 2； (2)两锐角的关系：∠A ＋∠B=90°； 0o 30 o 45 o 60 o 90 o sin α 0 2 1 2 2 2 3 1 cos α 1 23 2 2 2 1 0 tan α 0 3 3 1 3 — cot α — 3 1 3 3

初中数学九年级下册中考模拟试题

初中数学中考模拟试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）： 1．（4分）﹣6的相反数是（） A．6 B．1 C．0 D．﹣6 2．（4分）某校学生到校方式情况的统计图如图所示，若该校步行到校的学生有100人，则乘公共汽车到校的学生有（） A．75人B．100人C．125人D．200人 3．（4分）某运动会颁奖台如图所示，它的主视图是（） A．B．C．D． 4．（4分）下列选项中的整数，与最接近的是（） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（4分）温州某企业车间有50名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如下表：） A．5个B．6个C．7个D．8个 6．（4分）已知点（﹣1，y 1），（4，y 2 ）在一次函数y=3x﹣2的图象上，则y 1 ， y 2 ，0的大小关系是（） A．0＜y 1＜y 2 B．y 1 ＜0＜y 2 C．y 1 ＜y 2 ＜0 D．y 2 ＜0＜y 1 7．（4分）如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα=，

则小车上升的高度是（） A ．5米 B ．6米 C ．6.5米 D ．12米 8．（4分）我们知道方程x 2+2x ﹣3=0的解是x 1=1，x 2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3） 2 +2（2x+3）﹣3=0，它的解是（） A ．x 1=1，x 2=3 B ．x 1=1，x 2=﹣3 C ．x 1=﹣1，x 2=3 D ．x 1=﹣1，x 2=﹣3 9．（4分）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD ，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S 的小正方形EFGH ．已知AM 为Rt △ABM 较长直角边，AM=2 EF ，则正方形ABCD 的面积为（） A ．12S B ．10S C ．9S D ．8S 10．（4分）我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，，，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P 1P 2，P 2P 3，P 3P 4，…得到螺旋折线（如图），已知点P 1（0，1），P 2（﹣1，0），P 3（0，﹣1），则该折线上的点P 9的坐标为（）

(完整word版)人教版初一数学(上)全章小练习题集

有理数单元测试 1.若x =7，则x = ；若42=-x ，则x = . 14．已知a ＜0，ab ＜0，并且∣a ∣>∣b ∣，那么a ，b ，－a ，－b 按照由小到大的顺序排列是_____________． 3.若 0)3(22=++-y x ,则x +y = . 4、如果x ＜0，y ＞0且x 2＝4，y 2 ＝9，那么x ＋y ＝ 5．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则=++b a cd 2 ． 6. 计算：（每小题5分，共30分）（1）、206137+-+- （2）、 ()()()()499159--+--+- （3）、(－5)×6＋(－125) ÷(－5) （4）、532)2(1---+-+；（5）、8+2×32－(－2×3)2 （6）、－1 2008×[(－2)5－32－)7 1 (145-÷]－2.5 7.（本题满分4分）若220x y -++=，求y x -的相反数。 8. （本题满分4分）把下列各数分别填入相应的集合里. ()88.1,5,2006,14.3,7 22 , 0,34 ,4++----- （1）正数集合：｛ …｝；（2）负数集合：｛ …｝；（3）整数集合：｛ …｝；（4）分数集合：｛ …｝ 9.（8分）（1）计算：－33×(－2)＋42÷(－2)3－∣－22∣÷5； 10、计算：（20分）（1）)41(855.2-?÷-；（2）)24(9 4 41227-÷?÷- （3）2 1 3443811-??÷-. （4）2)2(2)1(3210÷-+?- （5）20042009 4) 25.0(?- 11、（8分）已知03=++-y x y ，求 xy y x -的值.

初中数学九年级知识点大全

初三数学各章节重要知识点梳理第21章二次根式 1．二次根式：一般地，式子)0a (,a ≥叫做二次根式. 注意：（1）若0a ≥这个条件不成立，则 a 不是二次根式；（2）a 是一个重要的非负数，即；a ≥0. 2．重要公式：（1）)0a (a )a (2≥=,（2）???<-≥==) 0a (a )0a (a a a 2 ； 3．积的算术平方根：)0b ,0a (b a ab ≥≥?= 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积； 4．二次根式的乘法法则： )0b ,0a (ab b a ≥≥=?. 5．二次根式比较大小的方法：（1）利用近似值比大小；（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；（3）分别平方，然后比大小. 6．商的算术平方根： )0b ,0a (b a b a >≥=，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 7．二次根式的除法法则：（1） )0b ,0a (b a b a >≥= ；（2）)0b ,0a (b a b a >≥÷=÷；（3）分母有理化的方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式. 8．最简二次根式：（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式是整式，② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式；（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母；（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式. 10．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 12．二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等. 第22章一元二次方程 1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时，ax 2 +bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ；其中a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少. 3. 一元二次方程根的判别式: 当ax 2 +bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2 -4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题： Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根；Δ＜0 <=> 无实根； 4．平均增长率问题--------应用题的类型题之一（设增长率为x ）： (1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2 . （2）常利用以下相等关系列方程：第三年=第三年或第一年+第二年+第三年=总和. 第23章旋转 1、概念：把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．旋转三要素：旋转中心、旋转方面、旋转角 2、旋转的性质：（1）旋转前后的两个图形是全等形；（2）两个对应点到旋转中心的距离相等（3）两个对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角 3、中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 4、中心对称的性质：（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．（2）关于中心对称的两个图形是全等图形． 5、中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 6、坐标系中的中心对称第24章圆 1、（要求深刻理解、熟练运用）

初中数学九年级下册《图形的相似》教案

第二十七章相似 27.1 图形的相似 1．从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似；(重点) 2．理解成比例线段的概念，会确定线段的比．(难点) 一、情境导入如图是两张大小不同的世界地图，左边的图形可以看作是右边的图形缩小得来的．由于不同的需要，对某一地区，经常会制成各种大小的地图，但其形状( 包括地图中所描绘的各个部分 )肯定是相同的．日常生活中我们会碰到很多这种形状相同、大小不一定相同的图形，在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似图形．像这样的图形有哪些性质？下面我们就一起探讨一下吧！二、合作探究探究点一：相似图形观察下面图形，指出(1)～(9)中的图形有没有与给出的图形(a)、(b)、(c)形状相同的？解析：通过观察寻找与(a)，(b)，(c)形状相同的图形，在所给的9个图形中仔细观察，然后作出判断．解：通过观察可以发现：图形(4)、(8)与图形(a)形状相同；图形(6)与图形(b)形状相同；图形(5)与图形(c)形状相同．方法总结：判断两个图形的形状是否相同，应仔细观察，当两个图形的形状除了大小没有其他任何差异时，我们才可以说这两个图形形状相同．变式训练：见《学练优》本课

时练习“课堂达标训练” 第1题探究点二：比例线段【类型一】判断四条线段是否成比例下列各组中的四条线段成比例的是( ) A ．4cm ，2cm ，1cm ，3cm B ．1cm ，2cm ，3cm ，5cm C ．3cm ，4cm ，5cm ，6cm D ．1cm ，2cm ，2cm ，4cm 解析：选项A.从小到大排列，由于1×4≠2×3，所以不成比例，不符合题意；选项B.从小到大排列，由于1×5≠2×3，所以不成比例，不符合题意；选项C.从小到大排列，由于3×6≠4×5，所以不成比例，不符合题意；选项D.从小到大排列，由于1×4＝2×2，所以成比例，符合题意．故选D. 方法总结：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】利用成比例线段的定义，求线段的长已知线段a 、b 、c 、d 是成比例线段，其中a ＝2m ，b ＝4m ，c ＝5m ，则d ＝( ) A ．1m B ．10m C.52m D.85 m 解析：∵线段a 、b 、c 、d 是成比例线段，∴a ∶b ＝c ∶d ，而a ＝2m ，b ＝4m ，c ＝5m ，∴d ＝b ·c a ＝4×52 ＝10(m)．故选B. 方法总结：求线段之比时，要先统一线段的长度单位，然后根据比例关系求值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型三】利用比例尺求距离若一张地图的比例尺是1∶150000，在地图上量得甲、乙两地的距离是5cm ，则甲、乙两地的实际距离是( ) A ．3000m B ．3500m C ．5000m D ．7500m 解析：设甲、乙两地的实际距离是x cm ，根据题意得1∶150000＝5∶x ，x ＝750000(cm)，750000cm ＝7500m.故选D. 方法总结：比例尺＝图上距离∶实际距离．根据比例尺进行计算时，要注意单位的转换．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题探究点三：相似多边形【类型一】利用相似多边形的性质求线段和角如图所示，给出的两个四边形是相似形，具体数据如图所示，求出未知边a 、b 的长度及角α的值．

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