高思导引--四年级第二十一讲-排列组合教师版

第21讲 排列组合

内容概述

了解排列、组合公式的来由及含义，掌握具体的计算方法；辨析排列、组合之间酌区别与联系，并能够合理应用．

典型问题

兴趣篇

1. 计算：2

4(1)A

410(2)A

3336(3)3A A ?+

【答案】(1)12 (2)5040 (3)138

【解析】根据排列公式 )1()1(+-?-?=n m m m A n

m Λ计算 2433

41036(1)4312(2)109875040(3)3138A A A A =?==???=?+=

2．费叔叔、小悦、冬冬和阿奇四个人站成一排照相，一共有多少种不同的排列方法? 【答案】24

【解析】这种排列是有序的2412344

4=???=A

3．体育课上，老师从10名男生中挑出4人站成一排，—共有多少种不同的排列方法? 【答案】5040

【解析】先从10人中选出4人，再让4人全排列5040210244

4410=?=?A C

4．费叔叔、小悦、冬冬、阿奇四个人一块乘公共汽车去公园，上车后发现有8个空座位，他们一共有多少种不同的坐法? 【答案】1680

【解析】先让4人选座位，再让4人全排列168024704

448=?=?A C

5．用1至7这7个数字一共能组成多少个没有重复数字的三位数?如果把这些三位数从小到大排起来，312是其中第几个? 【答案】（1）210；（2）第61人

【解析】第一个位置有7中选择第二个位置有6个选择第三个位置有5个选择

个

是第个，开头的有个，百位是开头的有百位是61312302301)2(210)1(151617=??A A A

6.计算：2

5(1)C

47(2)C

3366(2)A C ?

【答案】（1）10 （2）35 （3）2400 【解析】根据组合公式

2433

5766547654(1)10(2)35(3)120202*********n n m m

n n A C C C A C A ????=====?=?=????

7．图21-1中有六个点，任意三个点都不在一条直线上．请问：

(1)以这些点为端点，一共可以连出多少条线段? (2)以这些点为顶点，一共可以连出多少个三角形? 【答案】（1）15条；（2）20个

【解析】（1）不在同一直线两点确定一条直线2

615C =（2)不在同一直线三点确定一个三角形3620C =个

8．费叔叔把10张不同的游戏卡片分给冬冬和阿奇，并且决定给冬冬8张，给阿奇2张．一共有多少种不同的分法? 【答案】45

【解析】先选出8张冬冬，剩下2张就是阿奇的8

1020C =

9．小悦要从八门课程中选学三门，一共有多少种选法?如果数学课与钢琴课时间冲突，不能同时学，她一共有多少种选法? 【答案】50

【解析】用排除法八门中任选三门，有56种，数学课与钢琴课同时上有6种，减去不符合

题意的6种，31

8656650C C -=-=种

10．象棋兴趣小组一共有9名同学，请问：

(1)如果从中选3名同学在第二天的早上、中午、晚上分别做值日，共有多少种选法? (2)如果从中选3名同学去参加一次全市比赛，共有多少种选法? 【答案】（1）504种 ； （2）84种

【解析】（1）先选出3人再全排列，39987504A =??=种（2）这种选人是无序的3

984C =

种

拓展篇

1. 计算：2

5(1)A

37(2)A 4266(3)A A -

【答案】（1）20；（2）210；（3）330 【解析】

25(1)5420A =?=37(2)765210A =??=4266(3)654365330A A -=???-?=

2．如图21-2所示，有5面不同颜色的小旗，任取3面排成一行表示一种信号，用这5面小旗一共可以表示出多少种不同的信号?

【答案】60

【解析】先从5面旗选出3面旗，再让三面旗全排列3

560A =种

3．3名同学一块去图书馆借科幻小说，发现书架上只剩下9本，且各不相同．如果每人只借1本，那么共有多少种不同的借法? 【答案】504

【解析】先从9本书选出3本书，再让3本书全排列3

9504A =种

4．用1、2、3、4、5这五个数码可以组成多少个没有重复数字的四位数?将这些四位数从小到大排列起来，4125是第几个? 【答案】（1）120；（2）74个

【解析】（1）第一个位置有5种选法，第二个位置有4种选法，第三个位置有三种选法，

第四个位置有2种选法，45120A =（2）千位以1开头的有111

43224A A A ??=个千位以2开头的有11143224A A A ??=个千位以3开头的有111

43224A A A ??=个千位以4开头第一个

4123，第二个就是4125所以243274?+=个

5. 计算：3

9(1)C

321010(2)2C C -? 45(3)C ，15C 710(4)C ，310C

【答案】（1）84；（2）30；（3）5,5；（4）120,120

【解析】39(1)84C =；32

1010(2)21209030C C -?=-= ；

45(3)5

C =，

155

C =

710(4)120C =，310120C =

6．如图21-3所示，从端点O 出发的射线共有7条，图中一共有多少个锐角? 【答案】21

【解析】夹角最大两条直线间夹角小于90度，所以这两条直线间的任两条直线组成的角小

于90度，2

776221

C=?÷=个

7．如图21-4所示，在一个圆周上有8个点，以这些点为顶点或端点，一共可以画出多少条线段?多少个三角形?多少个四边形?

【答案】（1）28条；（2）56个；（3）70个；

【解析】（1）不在同一直线两点确定1条直线，2

828

C=条（2）不在同一直线三点确定1

个三角形，3

856

C=个（3）不在同一直线四点确定1个四边形，4

870

C=个

8．9支球队进行足球比赛，实行单循环制，即每两队之间只比赛一场．每场比赛后胜方得3分，平局双方各得1分，负方不得分．请问：一共要举行多少场比赛?9支队伍的得分总和最多为多少?

【答案】（1）36场（2）108分

【解析】（1）9个队中每2个队比一场2

936

C=场（2）分总和最多，那就是全赢363108

?=

分

9．学校十佳歌手大赛的10名获奖选手中，每3人都要照一张合影．问：需要拍多少张照片? 【答案】120张

【解析】没有排序问题所以3

8120

C=

10．在新学期的班会上，大家要从11名候选人中选出班干部．请问：

(1)选出三人组成班委会，那一共有多少种选法?

(2)从剩下的候选人中，选出三人分别担任语文、数学、英语的课代表，一共有多少种选法?

【答案】（1）165种（2）336种

【解析】（1）从11人中选出3人3

11165

C=种（2）从剩下3人选出3人全排列

33 83566336

C A

?=?=种

11．费叔叔带着小悦、冬冬、阿奇去参加一次聚会，主持人要求每个人从12个颜色不同的彩球中领取一个．请问：

(1)小悦是第一个取球的人，她一共选出了4个球，准备回头分给大家，那一共有多少种选法?

(2)小悦回到座位后，把这4个球分给大家，一共有多少种分法?

(3)最后他们四人手中拿到的球一共有多少种可能?

【答案】（1）495种；（2）24种；（3）11880种

【解析】（1）从12个球中选出4个没有排序问题4

12495

C=种（2）把四个不同色的球分

给4个人4

424

A=种（3）先从12个不同色的球选出4个不同色的球，再分给4个人，

44 1244952411880

C A

?=?=种

12．周末大扫除，老师要从第一组的10名男生和10名女生中选出5人留下打扫卫生．请问：

(1)如果老师随意选择，一共有多少种选择方法?

(2)如果老师决定选出2名男生和3名女生，一共有多少种选择方法? 【答案】（1）15504种；（2）5400种

【解析】（1）从20人中选出5人3

2015504

C=种（2)从10名男生选2人，从10名女生

选3人23

10105400

C C

?=种

超越篇

1．有一些四位数，它们由4个互不相同且不为零的数字组成，并且这4个数字的和等于11．将所有这样的四位数从小到大依次排列，第20个是多少?

【答案】5132

【解析】因为由4个互不相同且不为零的数字组成，并且这4个数字的和等于11，只有数

字1,2,3,5满足千位1开头有11

326

A A

?=个，千位2开头有11

326

A A

?=个，千位3开头有

11 326

A A

?=个，千位5开头有第一个5123第二个5132 6+6+6+2=20

2．在身高互不相同的6个人中，选出3个人站成第一排，另外3个人站成第二排．请问：

(1)如果可以随便站，那么一共有多少种排法?

(2)如果要求第二排最矮的人也比第一排最高的人高，那么一共有多少种不同的排法? 【答案】（1）720种；（2）36种

【解析】（1）先从6人中选出3个人为第一排，再全排列，剩下3人为一排再全排列

333 633720

C A A

??=种（2）最高三人为第二排，其余三人为第一排，让它们每排分别全排

列，33

3336

A A

?=种

3．小口袋中有4个球，大口袋中有6个球，这些球颜色各不相同．请问：

(1)任意取4个球出来，那么共有多少种不同的结果?

(2)取出4个球，而且恰好从每个口袋中各取2个球，共有多少种不同结果?

【答案】（1）210种；（2）90种

【解析】（1）从小口袋取出4个大口袋取0个，从小口袋取出3个大口袋取1个，从小口袋取出2个大口袋取2个，从小口袋取出1个大口袋取3个，从小口袋取出0个大口袋取4

个41322314 44646466180902415210

C C C C C C C C

+?+?+?+=++++=种(2)每个袋子取

两个，是无序的22

4661590

C C

?=?=种

4. 在1至30这30个自然数中任意挑选出两个不同的数，使得它们的和是偶数，一共有多少种不同的挑选方法? 【答案】210种

【解析】和为偶数，共2种情况：奇＋奇 偶＋偶。 1至30有15个奇数与15个偶数，所

以共2×C 152

=210种

5. 如图21-5所示，两条直线上分别有6个点和4个点．以这些点为顶点，可以连出多少个三角形?

【答案】96个

【解析】 三角形构成共两类：上2下1， 上1下2. C 62

×C 41

＋C 61

×C 42

=96个

6. 从15名同学中选出5人，上场参加篮球比赛．请问：

(1)如果甲、乙两人必须人选，共有多少种选法?

(2)如果甲、乙两人中至少有一人人选，共有多少种选法? (3)如果甲、乙、丙三人中恰好入选一人，共有多少种选法? (4)如果甲、乙、丙不能同时都人选，共有多少种选法?

【答案】（1）286种；（2）1716种；（3）1458种；（4）2937种 【解析】（1）甲乙必入选，则剩下13人内选3人， 共C 133

=286种 （2）对立事件，减去都不如选的情况 共C 155

－C 135=1716种

（3）恰好入选1人，另12人中选4人 共 C 31

×C 124

=1485种 （4）不能同时入选的对立事件为同时入选 共C 155

－C 122

=2937种

7.一体育课上，老师将冬冬、阿奇和另7名同学分成3组做游戏，每组3人．一共有多少种分组方法?如果要求冬冬和阿奇分到同一组，有多少种分组方法? 【答案】（1）280种（2）70种

【解析】2285(1)2810280C C ?=?=种12

75(2)71070C C ?=?=种

8. 大、小两个口袋中，装有一些同样的小球．大口袋里装有9个小球，分别编号为l ，2，3，…，9；小口袋里装有6 个小球，分别编号为1，2，3，…，6．从这两个口袋中分别摸出3 个

小球，这6个小球的编号一共有多少种可能情况? 【答案】764种

【解析】共有球 编号为 7 8 9的各一个，1 2 3 4 5 6 的各两个。每边各取3个，取出

的6个球按编号分类

第一类, 7 8 9 中有一个， 则最多两个号可以重复 共

12113536465618018018378C C C C C C ????+?+=++=??种

第二类：7 8 9 中有两个 则最多

1个号可以重复

2124

365618045225C C C C ????+=+=??

第三类 ：7 8 9都取，则没有号可重复，只有3

620C =种

第四类： 789 都不取， 最多可以有3个号可重复，共有

3221466646562090301141C C C C C C +?+?+=+++=种

共有:764种.

高思竞赛数学导引 五年级第四讲 包含与排除学生版

第4讲包含与排除 内容概述 有重叠部分酌若干对象的计数问题．能利用文氏图进行辅助分析，弄清文氏图中每部分的含义；结合文氏图理解两个对象和三个对象酌容斥原理；灵活处理具有一些不确定性酌计数问题，以及其他形式的重复计数问题． 典型问题 兴趣篇 1．暑假里，小悦和冬冬一起讨论“金陵十八景”．他们发现十八景中的每一处都有人去过，而且有五处是两人都去过的．如果小悦去过其中的卜二景，那么冬冬去过其中的几景？ 2．在一群小朋友中，有12人看过动画片《黑猫警长》，有21人看过动画片《大闹天宫》，并且有8人两部动画片都看过．请问：至少看过其中一部的小朋友有多少人？ 3．五年级一班45个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人．请问：语文成绩得满分的有多少人？ 4．某餐馆有27道招牌菜．小悦吃过其中的13道，冬冬吃过其中的7道，而且有2道菜是两人都吃过的．请问：有多少道招牌菜是两人都没有吃过的？ 5．如图4-I，已知甲、乙、丙三个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6、8、5，同时被这三个圆覆盖的部分的面积为2．请问： (1)只被甲或乙覆盖，却不被丙覆盖的部分的面积是多少？ (2)只被这3个圆中某一个圆覆盖的部分的面积是多少？ 6．在一个由30人组成的合唱队中，每个人都爱喝红茶、绿茶、花茶中的一种或者几种，其中有10个人爱喝红茶，12个人不爱喝红茶却爱喝绿茶，请问：只爱喝花茶的有多少人？ 7．光明小学五年级课外活动有体育、音乐、书法三个小组，参加的人数分别是54人、46

人、36人．同时参加体育小组和音乐小组的有4人，同时参加体育小组和书法小组的有7人，同时参加音乐小组和书法小组的有10人，三组都参加的有2人．光明小学五年级参加课外活动的一共有多少人？ 8．卫生部对120种食物是否含有维生素A、C、E进行调查，结果发现：含维生素A的有62种，含维生素C的有90种，含维生素E的有68种，同时含维生素A和C的有48种，同时含维生素A和E的有36种，同时含维生素C和E的有50种，同时含这三种维生素的有25种．请问： (1)这三种维生素都不含的食物有多少种？(2)仅含维生素A的食物有多少种？ 9．操场上有50名同学在跑步或跳绳，其中女生有18名，跳绳的同学有31名，跑步的男生有14名．跳绳的女生有多少名？ 10．学校举行棋类比赛，分为象棋、围棋和军棋三项，每人最多参加其中两项．根据报名的人数，学校决定对象棋的前9名、围棋的前10名和军棋的前11名发放奖品．请问：最少有几人获得奖品？ 拓展篇 1．在一个办公室中，有7个人爱喝茶，10个人爱喝咖啡，3个人既爱喝茶又爱喝咖啡，如果每个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种，那么这个办公室里共有多少人？ 2．五年级二班有40名同学，其中有25:人没参加数学小组，有18人参加航模小组，有10人两个小组都参加．那么只参加了这两个小组之一的学生共有多少人？ 3．在1至100这100个自然数中，既不能被2整除也不能被3整除的数有多少个？ 4．渔乡小学举行长跑和游泳比赛，共305人参加．参加长跑比赛的有150名男生和90名女生，参加游泳比赛的有120名男生和70名女生，有110名男生两项比赛都参加了，请问：只参加游泳比赛而没有参加长跑比赛的女生有多少人？

高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法

高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法 排列组合问题联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题,弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1．分类计数原理（加法原理) 完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有 m种不同的方法，在第 1 2类办法中有 m种不同的方法，…，在第n类办法中有n m种不同的 2 方法, 种不同的方法. 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤,做第1步有 m种不同的方法,做第 1 ２步有 m种不同的方法，…,做第n步有n m种不同的方法，那么完2 成这件事共有: 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 ３.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序）问题,元素总数是多少及取出多少个元素. ４.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略

一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1．由0，1，2,3,4,５可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 占了这两个位置 . 先排末位共有13C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有34 A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间, 也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法? 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也 看成一个复合元素，再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中４枪，４枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 ２0 三．不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有４个舞蹈,2个相声,３个独唱,舞蹈节目不能 连续出场,则节目的出场顺序有多少种? 解：分两步进行第一步排2个相声和３个独唱共有55A 种，第二步将4 舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种4 6 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 443

完整word版,高思导引四年级第十八讲行程问题三教师版

第18讲行程问题三 内容概述 运动过程较为复杂的行程问题，一般通过分段、比较等办法进行考虑，在往返问题中考虑多次相遇和多次追及的过程，需要注意从整体考虑两个对象的路程和或路程差，并从中找到规律. 典型问题 兴趣篇 1．莉莉和莎莎一起从家去学校，莉莉步行，莎莎骑车．莎莎到学校后发现自己没带文具盒，便立刻骑车回家去取，到家取出文具盒后又马上骑向学校，结果她和莉莉一起到校．如果莉莉每分钟走53米，那么莎莎骑车每分钟行进多少米? 答案：159 详解：视从家到学校的路程为一个全程，由题意知道莎莎到校，再返回家，再到学校，一共走了三个全程，在同样时间内莉莉走了一个全程，即莎莎速度是莉莉的三倍 53×3=159 2．小燕上学时骑车，回家时步行，路上共用50分钟．如果往返都步行，则全程需要70分钟．求小燕往返都骑车所需的时间． 答案：30分钟 详解：视从家到学校的路程为一个全程，往返情况：骑车+步行=50 步行+步行=70得知 一个全程骑车比步行多用20分钟 70－2×20=30分钟 3．一天，小悦到离自己家4000米的表哥家去玩．早晨7：20时，小悦从家出发向表哥家走去，每分钟行60米，同时表哥骑车从家出发来接她．表哥到小悦家后才发现小悦已经走了，又立即返回去追．表哥骑车每分钟行260米．当表哥追上小悦后，带着她一起回表哥家，这时骑车速度变为每分钟骑175米．请问：当他们到达表哥家时还差几分钟就到8点了? 答案：差4分钟 详解：表哥从自己家到小悦家的时间是4000/260=200/13分，在这段时间小悦行走了4000/260×60=12000/13米同时这个距离也是表哥要返回去追小悦时两个人之间的路程差，路程差÷速度差=追及时间，所以追及时间是4000/260×60/（260-60）=60/13分；追上小悦时距离小悦家的路程为60/13×260=1200米，这时距离表哥家还有4000－1200=2800米，走这2800米的速度为175米/分所以用的时间是2800÷175=16分， 因此本题所用总时间分三部分从表哥家到小悦家的时间200/13，追及时间60/13，回去时间16，共200/13+60/13+16=36分钟20+36=56分。所以距离8点还有4分钟。 4．培英学校和电视机厂之间有一条公路，原计划下午2点时培英学校派车去电视机厂接劳

排列组合(20份)

排列组合与概率总结复习 两个基本原理： 1.加法原理（分类计数原理）:做一件事,完成它有n 类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法, 在第二类办法中有2m 种不同的方法, ……,在第n 类办法中有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有：n m m m m N +???+++=321种不同的方法. 2.乘法原理（分步计数原理）: 做一件事,完成它有n 个步骤,做第一步有1m 种不同的方法, 做第二步有有2m 种不同的方法, ……, 做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有： n m m m m N ???????=321种不同的方法. 特别注意：分类是独立的、一次性的；分步是连续的、多次的。 三组基本概念： 1．排列 1）排列：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。 2）排列数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同元素 中取出m 个元素的排列数。通常用m n A 表示。 特别地，当n m =时，称为全排列，当n m 时，称为选排列。 2． 组合 1）组合：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。 2）组合数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元 素中取出m 个元素的组合数,记作m n C 。 3． 事件与概率 1）事件的分类：（1）必然事件：在一定的条件下必然要发生的事件；（2）不可能事件：在一定的条件下不可能发生的事件；（3）随机事件：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件。 2）一些特殊事件： （1）等可能事件：对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；另外，所有不同的试验结果，它们出现的可能性是相等的。 （2）互斥事件：不可能同时发生的两个事件，我们把它称为互斥事件。如果事件A 1，A 2，…，A n 中的任何两个都是互斥事件，那么就说事件A 1，A 2，…，A n 彼此互斥。 （3）对立事件：必有一个发生的两个互斥事件叫做对立事件。事件A 的对立事件通常记作 A 。特别地，有 B A +、B A ?的对立事件分别是B A ?、B A +，即B A B A ?=+、B A B A +=?。 （4）相互独立事件：一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响的两个事件叫做相互独立事件。 3）事件的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率 n m 总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P (A )。 一些重要公式： 1．排列数公式 ：

高思竞赛数学导引五年级第十讲几何计数学生版

第10讲几何计数 内容概述 合理使用各种已学的计数方法来解决几何计数问题；学会利用图形的位置和形状进行恰当的分类；掌握方格表中长方形个数的计算方法；注意利用图形的对称性来简化计算． 典型问题 兴趣篇 1．如图10-1，线段AB、BC、CD、DE的长度都是3厘米．请问：图中一共有多少条线段？ 这些线段的长度之和是多少厘米？ 2．小明把巧克力棒摆成了如图10-2所示的形状，其中每一条小短边代表一个巧克力棒．请问： (1)一共有多少个巧克力棒？(2)这些巧克力棒共构成了多少个三角形？ (3)嘴馋的小明吃掉一个巧克力棒后（图中两端带有箭头的小边），剩下的图形中还有多少个三角形？ 3．如图10-3，它是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形，图中包含“冰”的各种大小的正三角形一共有多少个？ 4．如图104和10-5，数一数，两个图形中分别有多少个三角形？ 5．如图10-6，在一个4x4的方格表中，共有多少个正方形？ 6．如图10-7，数一数图中一共有多少条线段？多少个矩形？ 7．如图10-8，AB、CD、EF、MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？

8．如图10-9，125个黑色与白色小立方体相间排列拼成了一个大立方体，其中露在表面上的黑色小立方体有多少个？ 9．如图10-10，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵．用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？ 10．如图10-11，在2x3的长方形中，每个小正方形的面积都是1．请问：以A、B、C、D、E、，、G为顶点且面积为1的三角形共有多少个？ 拓展篇 1．如图10-12，数一数，图中有多少个三角形？ 2．如图10-13，数一数下面的三个图形中分别有多少个三角形． 3．如图10-14，数一数，图中有多少个三角形？ 4．如图10-15，数一数．，图中共有多少个长方形？（正方形是一种特殊的长方形） 5．如图10-16，四条边长度都相等的四边形称为菱形，用16个同样大小的菱形组成如图的 一个大菱形．数一数，图中共有多少个菱形？

解排列组合难题二十一方法

解排列组合难题二十一种方法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =+++ 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =??? 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.

高思导引--四年级第二十一讲-排列组合教师版

第２1讲?排列组合 内容概述 了解排列、组合公式的来由及含义,掌握具体的计算方法；辨析排列、组合之间酌区别与联系，并能够合理应用. 典型问题 兴趣篇 1. 计算：24(1)A ?4 10(2)A ??33 36(3)3A A ?+ 【答案】(1)12 (2)50４0 (3）138 【解析】根据排列公式 )1()1(+-?-?=n m m m A n m 计算 2433 41036(1)4312(2)109875040(3)3138A A A A =?==???=?+= ２.费叔叔、小悦、冬冬和阿奇四个人站成一排照相,一共有多少种不同的排列方法? 【答案】24 【解析】这种排列是有序的2412344 4=???=A ３．体育课上,老师从１0名男生中挑出４人站成一排,—共有多少种不同的排列方法? 【答案】504０ 【解析】先从１0人中选出4人，再让4人全排列5040210244 4410=?=?A C 4．费叔叔、小悦、冬冬、阿奇四个人一块乘公共汽车去公园，上车后发现有8个空座位,他们一共有多少种不同的坐法？ 【答案】168０ 【解析】先让4人选座位,再让4人全排列168024704 448=?=?A C 5．用1至7这７个数字一共能组成多少个没有重复数字的三位数?如果把这些三位数从小到大排起来，312是其中第几个？ 【答案】（１）210；(2)第6１人 【解析】第一个位置有７中选择第二个位置有6个选择第三个位置有5个选择 个 是第个，开头的有个，百位是开头的有百位是61312302301)2(210)1(151617=??A A A 6.计算:2 5(1)C 47(2)C ?33 66(2)A C ? 【答案】(１)１0 （2）35 (3)2400 【解析】根据组合公式

高思竞赛数学导引 五年级第 十一讲 约数和倍数学生版

第11讲约数与倍数 内容概述 掌握约数与倍数酌概念．学会约数个数与约数和的计算方法；掌握最大公约数、最小公倍数的常用计算方法；能够利用最大公约数和最小公倍数的性质解决相关的整数问题． 典型问题 兴趣篇 1．(1)请写出105的所有约数；(2)请写出72的所有约数． 2．(1) 20000的约数有多少个？ (2) 720的约数有多少个？ 3．计算：(1) (28,72), [28,72]; (2) (28,44,260), [28, 44, 260]. 4．两个数的差是6，它们的最大公约数可能是多少？ 5．(1)求1085和1178的最大公约数和最小公倍数；(2)求3553，3910和1411的最大公约数． 6．教师节到了，校工会买了320个苹果、240个桔子、200个香蕉来慰问退休老职工．请问：用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、桔子、香蕉各有多少个？ 7．一块长方形草地，长120米，宽90米，现在在它的四周种树，要求四个角和各边中点都要求种树，且相邻两棵树之间的距离都相等，请问：最少要种多少棵树？ 8．甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是90.如果甲数是18，那

么乙数是多少？ 9．有甲、乙两个数，它们的最小公倍数是甲数的27倍．已知甲数是2、 4、6、8、10、12、14、16的倍数，但不是18的倍数；乙数是两位 数．乙数是多少？ 10．小悦、冬冬、阿奇在黑板上各写了一个自然数，这三个自然数的最大公约数是35，最小公倍数是70.这三个数的和可能是多少？ 拓展篇 1．72共有多少个约数？其中有多少个约数是3的倍数？ 2．5400共有多少个约数？并求出所有约数乘积的质因数分解形式．3．两数乘积为2800，已知其中一个数的约数个数比另一个数的约数个数多1．这两个数分别是多少？ 4．计算：(1) (391, 357), [391, 357]; (2) (18, 24, 36), [18, 24, 36]. 5．1547、1573、1859这三个数的最大公约数是多少？最小公倍数是多少？ 6．张阿姨把225个苹果、350个梨和150个桔子平均分给小朋友们，最后剩下9个苹果、26个梨和6个桔子没分出去，请问：每个小朋友分了多少个苹果？ 7．一个数和16的最大公约数是8，最小公倍数是80.这个数是多少？8．两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是18，最小公倍数是216.这两个数分别是多少？

高中数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法10页

高中数学轻松搞定排列组合难页10题二十一种方法． 高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排 列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学目标

1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。能运用解题策略解决简单的综合应用掌握解决排列组合问题的常用策略; 2. 题。提高学生解决问题分析问题的能力. 学会应用数学思想和方法解决排列组合问题 3. 复习巩固) 加法原理1.分类计数原理(2种不同的方法，在第完成一件事，有类办法，在第1类办法中有mn1种不同的方法，类办法中有类办法中有种不同的方法，…，在第mmn n2那么完成这件事共有2种不同的方法．分步计数原理（乘法原理）2.2种不同的方法，做第个步骤，做第1步有完成一件事，需要分成mn1种不同的方法，那么完成这件步有步有种不同的方法，…，做第mmn n2事共有2种不同的方法．分类计数原理分步计数原理区别3. 分类计数原理方法相互独立，任何

一种方法都可以独立地完成这件事。 不能完每步中的方法完成事件的一个阶段，分步计数原理各步相互依存，成整个事件．: 解决排列组合综合性问题的一般过程如下 1. 认真审题弄清要做什么事或是分步与分类同时即采取分步还是分 类,2.怎样做才能完成所要做的事, ,确定分多少步及多少类。进行元素总数是,无序)问题确定每一步或每一类是排列问题3.(有序)还是组合(. 多少及取出多少个元素因此必须掌握一些常用的解往往类与步交叉，4.解决排列组合综合性问题，题策略 .特殊元素和特殊位置优先策略一. 可以组成多少个没有重复数字五位奇数1.例由0,1,2,3,4,5以免不合要求的元素占了这应该优先安排,,解:由于末位和首位有特殊要求2 131CAC344． . 两个位置先排末位共有1C3然后排首位共有1C4最后排其它位置共有3A4由分步计数原理得311C288CA?434

高思导引-四年级第十九讲-格点与割补教师版

第19讲??格点与割补 内容概述 明确格点多边形的概念，学会通过分割和添补的方法计算其面积；学会利用割补法计算不规则图形的面积;掌握格点多边形的面积计算公式. 典型问题 兴趣篇 1.图１9-ｌ中相邻两格点问的距离均为1厘米．三个多边形的面积分别是多少平方厘米? 答案：4平方厘米２平方厘米8平方厘米 【分析】方法:正方形格点阵中多边形面积公式:（N+L 2 -1)×单位正方形 面积,其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数． 有N＝0，L＝１0,则用粗线围成图形的面积为:(0+1０÷2－1)×１=４（平方厘米) 有Ｎ＝0，Ｌ=10,则用粗线围成图形的面积为:（1＋4÷2-１)×1=2(平方厘米） 有N=5,L=8,则用粗线围成图形的面积为:(5+8÷２－1)×１=8(平方厘米) 2．图１９－2中相邻两格点问的距离均为l厘米．三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米? 答案：5平方厘米5平方厘米0.５平方厘米 【分析】方法：正方形格点阵中多边形面积公式:(N+L 2 －1）×单位正方 形面积，其中N为图形内格点数，Ｌ为图形周界上格点数. 有Ｎ=4,L=4,则用粗线围成图形的面积为：（4+４÷２-1)×1=５(平方厘米) 有Ｎ=4,L=4，则用粗线围成图形的面积为:(4+4÷２－1)×1=５(平方厘米）有N=０,L=3，则用粗线围成图形的面积为:（0+3÷2－１）×１=0.５(平方厘米) 3．图１9-3中每个小正方形的面积均为２平方厘米.阴影多边形的面积是多少平方厘米?

答案:19平方厘米 【分析】方法:交点组成了正方形格点,正方形格点阵中多边形面积公式: （N+L 2 -１)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数. 有N=7，L=１7,则用粗线围成图形的面积为：(7+7÷2-1)×2＝19(平方厘米) 4．图1９-４是一个三角形点阵,其中能连出的最小的等边三角形的面积为ｌ平方厘米.三个多边形的面积分别为多少平方厘米? 答案:6平方厘米６平方厘米14平方厘米 【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：（2N+L－２)x单位正三角形面积,其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数． 有N=0,L=８,所以用粗线围成的图形的面积为:(０×2+８-2)×１=6(平方厘米). 有Ｎ＝２，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(2×2+4-2)×1＝6(平方厘米）. 有N=４，L=7,所以用粗线围成的图形的面积为：（4×2+7－2）×1＝１4(平方厘米).５．如图19-５所示,如果每个小等边三角形的面积都是１平方厘米．四边形ABCD和三角形EFＧ的面积分别是多少平方厘米? 答案：20平方厘米10平方厘米 【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式:（2N＋Ｌ-２)x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数． 有N＝9,L=4,所以用粗线围成的图形的面积为：（９×2+4-2)×1=２0(平方厘米)． 有N＝4,L=4，所以用粗线围成的图形的面积为:（4×2+4-2）×1=1０(平方厘米）． ６．图１９－6中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积.（单位：厘米)

高三数学排列组合20种解题方法汇总含例题及解析

排列组合解法 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同 的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排 列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522 522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪， 4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列 数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：73 73/A A

排列组合方法归纳大全

排列组合方法归纳大全 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为

四.定序问题倍缩空位插入策略 例人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 练习题： 1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法 六.环排问题线排策略 例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 七.多排问题直排策略 例人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是

高思竞赛数学导引-五年级第五讲-分数与循环小数学生版

第5讲 分数与循环小数 内容概述 掌握分数与小数互相转化的方法，并在分数与循环小数混合运算中进行合理应用；学会通过分数的形式判断相应的小数类型；注意利用周期性分析循环小数的小数部分． 典型问题 兴趣篇 1．把下列分数化为小数： ;334,113,92)2(;2513,813,43)1(?37 4,133,72)4(;907,225,65)3( 2．把下列循环小数转化为分数： .83.0,80.0)3(;53.0,10.0)2(;4.0,1.0)1(&&&&&&&& 3．把下列循环小数转化为分数：321.0,321.0,21.0,7.0&&&&&&& 4．计算：;7.05.03.0)3(;4.03.02.0)2(;3.02.01 .0)1(&&&&&&&&&++++++ .32.021.0)5(;312.021.01.0)4(&&&&&&+++ 5．.41235.035124.024513.013452.052341 .0&&&&&&&&&&++++ 6．计算下列各式，并用小数表示计算结果：.815.083.0)2(;153.068 .1)1(&&&&&&&÷? 7．将算式6.03.06.03.06.03.0&&&&&&÷+?-+的计算结果用循环小数表示是多少？

8．将算式 12 111110191+++的计算结果用循环小数表示是多少？ 9．冬冬将32.1&乘以一个数口时，把32.1&误看成1. 23，使乘积比正确结果减少0. 3．则正 确结果应该是多少？ 10．真分数 7a 化成小数后，如果从小数点后第一位起连续若干个数字之和是2000．a 应该是多少？ 拓展篇 1．将下列分数化为小数：?13 10,72,944, 65,83 2．把下列循环小数转化为分数：.13846536.6,3071.3,3351.0,84 .0&&&&&&&& 3．(1)把下面这些分数化为小数后，哪些是有限小数，哪些是纯循环小数，哪些是混循环小数： ;1111 11,625135,30884,19218,15017,7715,172,5031,43 (2)把下列分数化成循环小数：?143 12,3714,353 4．计算：;4312.021.01.0)2(;54.013.020 .0)1(&&&&&&&&&&++++ .011021.0212.076.0)4(;96.035.021.0.)3(&&&&&&&&&&&&++++

高思导引 四年级第十二讲 复杂竖式教师版

第12讲复杂竖式 内容概述 需要较强推理能力的竖式问题．学会运用奇偶分析、整体分析、分粪讨论等技巧性较高的方法． 典型问题 兴趣篇 1．图12-1是一个字母竖式，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字．请把竖式用数字表示出来． 2．在图12-2中的各个方框内填人恰当的数字后，可使算式成立，并且个位上的5个数字从上向下看，恰好是图12-3中顺时针次序的连续5个数字，十位上的5个数字也有这样的性质．请问：竖式中计算的结果是多少? 3. 请把1至9这9个数字填在图12-4的方框中（其中有3个数字已经填好），使得加法和乘法这两个算式都成立. 4. 图12-5是一个乘法竖式，请在其中的10个方框内分别填入0至9这10个数字，使得竖式成立.

5.如图12-6，在乘法竖式的每个方框中填入一个数字，使其成为正确的竖式，那么所得的乘积应该是多少？ 6. 如图12-7，在乘法竖式的每个方框中填入一个数字，使其成为正确的竖式，那么所得的 乘积应该是多少？ 7. 在图12-8的方框内填入恰当的数字，可以得到一个正确的乘法竖式. 已知这样的填法有两种，这两种填法所得到的两个不同的乘积相差多少？ 8. 在图12-9的方框内填上适当的数字，使得竖式成立，请写出所有的答案. 9. 请把图12-10中的除法竖式补充完整.

10. 请把图12-11中的除法竖式补充完整. 这个算式的被除数、除数以及商的总和是多少？ 拓展篇 1. 在图12-12中的字母竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字. 已知个位向十位的进位为2，且E是奇数，则A、B、C、D分别代表什么数字？ 2. 在图12-13中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字. 请给出两种使竖式成立的填法. 3. 在图12-14所示的乘法竖式中，每个方框和字母都代表一个数字，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，请问：A、B、C、D各代表什么数字？ 4. 在图12-15所示的乘法竖式中，每个方框和汉字都代表一个数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字. 请问：这个乘法算式最后的乘积是多少？

超全超全的排列组合的二十种解法

排列有两种定义，但计算方法只有一种，凡是符合这两种定义的都用这种方法计算。定义的前提条件是m≦n，m与n均为自然数。①从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。②从n个不同元素中，取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。 ③用具体的例子来理解上面的定义：4种颜色按不同颜色，进行排列，有多少种排列方法，如果是6种颜色呢。从6种颜色中取出4种进行排列呢。 解：A(4,4)=4x(4-1)x(4-2)x(4-3)x(4-4+1)=4x1x2x3x1=24。 A(6,6)=6x5x4x3x2x1=720。 A(6,4)=6!/(6-4)!=(6x5x4x3x2x1)/2=360。 [计算公式] 排列用符号A(n,m)表示，m≦n。 计算公式是：A(n,m)＝n(n-1)(n-2)……(n-m+1)＝n!/(n-m)! 此外规定0!=1，n!表示n(n-1)(n-2) (1) 例如：6!=6x5x4x3x2x1=720，4!=4x3x2x1=24。 组合的定义及其计算公式 1 组合的定义有两种。定义的前提条件是m≦n。 ①从n个不同元素中，任取m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 ②从n个不同元素中，取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。 ③用例子来理解定义：从4种颜色中，取出2种颜色，能形成多少种组合。 解：C(4,2)=A(4,2)/2!={[4x(4-1)x(4-2)x(4-3)x(4-4+1)]/[2x(2-1)x(2-2+1)]}/[2x(2-1)x(2-2+1)]=[( 4x3x2x1)/2]/2=6。 [计算公式] 组合用符号C(n,m)表示，m≦n。 公式是：C(n,m)=A(n,m)/m! 或C(n,m)=C(n,n-m)。

高思竞赛数学导引 五年级第二十二讲 牛吃草问题与钟表问题学生版

第22讲牛吃草问题与钟表问题 内容概述 牛吃草问题是一类特殊的工程问题，钟表问题是一类特殊的行程问题．牛吃草问题的难点在于草的总量有变化，因此要注意单位“1”的选取．掌握钟表问题的相关知识，学会将掐针成角度问题转化为指针闻的环形追及问题或相遇问题，学会用比例分析两个速度不同的钟表之间的时间对比关系． 典型问题 兴趣篇 1．有一片牧场，草每天都在均匀地生长．如果在牧场上放养24头牛，那么6天就把草吃完了；如果只放养21头牛，那么8天才把草吃完．请问： (1)要使得草永远吃不完，最多可以放养多少头牛？(2)如果放养36头牛，多少天可以把草吃完？ 2．学校有一片均匀生长的草地，可以供18头牛吃40天，或者供12头牛与36只羊吃25天，如果1头牛每天的吃草量相当于3只羊每天的吃草量．请问：这片草地让17头牛与多少只羊一起吃，刚好16天吃完？ 3．一片均匀生长的草地，如果有15头牛吃草，那么8天可以把草全部吃完；如果起初这15头牛在草地上吃了2天后，又来了2头牛，则总共7天就可以把草吃完．如果起初这15头牛吃了2天后，又来了5头牛，再过多少天可以把草吃完？ 4．有一座时钟现在显示上午10点整，问： (1)多少分钟后，分针与时针第一次重合？(2)再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？

5．小悦早上6点半起床，赶到学校时发现手表上的时针和分针恰好第一次张开成一条直线，那么小悦到达学校的时间是几点几分？ 6．阿奇在9点与10点之间开始解一道数学题，当时手表的时针和分针正好成一条直线．当阿奇解完这道题时，时针和分针刚好第一次重合．请问：阿奇解这道题用了多少分钟？ 答案：11 832分 7．下午6点多时冬冬吃完晚饭开始看动画片，动画片开始时他看手表，发现时针和分针的夹角为110°．在新闻联播前动画片放完了，冬冬又看手表，发现时针和分针的夹角仍是110°．那么动画片一共放了多少分钟？ 8．在早晨6点到7点之间有一时刻，钟面上的“6”字恰好在时针与分针的正中央．请问：这一时刻是6点多少分？ 9．小悦的手表比家里的闹钟走得要快一些．这天中午12点时，小悦把手表和闹钟校准，但当闹钟走到下午1点时，手表显示的时间是1点5分．请问： (1)当闹钟显示当天下午5点的时候，手表显示的时间是几点几分？ (2)当手表显示当天下午6点半的时候，闹钟显示的时间是几点几分？ 10．一个快钟每小时比标准时间快1分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟，现在将两个钟同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示9点整时，慢钟恰好显示8点整．请问：这个时候的标准时间是多少？

高思导引-四年级-竖式问题教师版汇编

学习-----好资料 第5讲竖式问题 内容概述 以字母或汉字表示数字的竖式问题，学会选择适当的突破口，并逐步解决问题；能够将文字叙述的题目转化为数字谜形式，便于直观地解决问题。 典型问题 兴趣篇 1.如图5-1所示，每个英文字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字，其中“G”代表“5”，“A”代表“9”，“D”代表“0”，“H”代表“6”.问：“I”代表的数字是多少？ 分析：也一定有A+E=HC=4，A+D=D，所以,它们的和一定有进位，所以 ，、2、F分别是1没有用，所以1、2、3、8B，现在还剩进位，所以E=7I=3. 的加法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代）在图5-22. （1 表相同的数字，那么每个汉字各代表什么数字？的减法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相在图5-3(2) 同的数字，那么每个汉字各代表什么数字？分析：，卒=1（1）观察可得：车

，马=卒，所以兵=5=0，兵+兵马，所炮=，+1=5，所以马=4炮+=2 以炮5240+5210=10450 =2=马，所以：兵，=12）观察可得：炮，兵—兵=马，一定有借位，所以马=9，炮—兵（292=929—1221 的竖式中，相同的汉字代表相同的3. 在图5-4+如果23+解数字，不同的汉字代表不同的数字，”所代表的三，那么“字++谜=30 数数字谜位数是多少？ 更多精品文档． 学习-----好资料

不同的汉字代表不同的数字，每个汉字代表一个数字，图5-5所示的竖式中，4. ”代表的四位数是多少？那么“北京奥运 分析：奥++京，北+奥=0，所以可得要进位，所以；京=8 观察可得：北=1，北+京=9 ，运位，所以：奥=0+运=8，所以要进2=1809 北京奥运 ABCDE所示的乘法竖式成立，那么5. 已知图5-6是多少？ 相同的符号代5-7的竖式中，6. (1) 在图 表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，那么☆、△、○分别代表什么数字？的竖式中，相同的符号代表5-8(2) 在图不同的符号代表不同的数字，相同的数字，那么☆、△、○分别代表什么数字？分析：三种可能，因为是三 位数5、9,×△=△，所以△=1、）（1△，○=1，☆乘一位数等于四位数，所以1排除，经分析：△=5=2=2 ，○，当△=5时，☆=4、）△=15、6三种可能，排除12 （=3○=5时，△

完整版排列组合的二十种解法最全的排列组合方法总结

教学目标 1. 进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2. 掌握解决排列组合问题的常用策略 ；能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分 析问题的能力 3. 学会应用数学思想和方法解决排列组合问题 复习巩固 1. 分类计数原理（加法原理） 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有 m i 种不同的方法，在第 2类办法中有m 2种不同的方 法，…，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有： N m i m 2 L m n 种不同的方法. 2. 分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有叶种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，… 做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有: N mi m 2 L m n 种不同的方法. 3. 分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下 ： 1. 认真审题弄清要做什么事 2. 怎样做才能完成所要做的事 ，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少 类。 3. 确定每一步或每一类是排列问题 （有序）还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素 . 4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数 . 解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置 . 先排末位共有C ； 然后排首位共有C 1 最后排其它位置共有 A 3 由分步计数原理得C 4C ；A ； 288 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法 ，若以元素分析为主，需 先安排特殊元素，再处理其它元素.若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位 置。若 有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里 多少不同的种法？ 二. 相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元 素进行排 A 3 ,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，冋有 A 5 A 2 A 2 480种不同的