高中不等式证明例题(一题多解)

多种方法证明高中不等式

例1证明不等式n n

2131211<+

+++

(n ∈N *

)

证法一：(1)当n 等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立； (2)假设n =k (k ≥1)时，不等式成立，即1+

k

13121+

++ ＜2k ，

,

121

1

)1(1

1

)1(21

121131211+=++++<

+++=

++

<+++++k k k k k k k k k k 则∴当n =k +1时，不等式成立.

综合(1)、(2)得：当n ∈N *时，都有1+

n

13121+

++ ＜2n .

另从k 到k +1时的证明还有下列证法：

,

1

11

1212212:.121

12,01),1(21)1(2,0)1()1()1(2)1(21)1(22+=

+++>

++=-++<++

∴>++<++∴>+-=+++-=+--+k k k k

k k k k k k k k k k k k k k k k k k k 又如

.121

12+<++

∴k k k

证法二：对任意k ∈N *，都有：

.

2)1(2)23(2)12(221

31211),

1(21

2

2

1n n n n k k k k k k k =--++-+-+<++++--=-+<

+=

因此

证法三：设f (n )=),13

12

11(2n

n +

++

+-

那么对任意k ∈N

*

都有：

1

)1(])1(2)1[(1

1]1)1(2)1(2[111

1)1(2)()1(2

>+-+=

++-+?+=

-+-++=+--+=-+k k k k k k k k k k k k k k k k f k f

∴f (k +1)＞f (k )

因此，对任意n ∈N * 都有f (n )＞f (n －1)＞…＞f (1)=1＞0， ∴.2131211n n <+

+++

例2求使y x +≤a y x +(x ＞0，y ＞0)恒成立的a 的最小值. 解法一：由于a 的值为正数，将已知不等式两边平方，得： x +y +2xy ≤a 2(x +y )，即2xy ≤(a 2－1)(x +y )，

①∴x ，y ＞0，∴x +y ≥2xy ，②当且仅当x =y 时，②中有等号成立. 比较①、②得a 的最小值满足a 2－1=1， ∴a 2=2，a =2 (因a ＞0)，∴a 的最小值是2. 解法二：设y

x xy

y x xy y x y x y x y

x y

x u ++

=+++=

++=++=

212)(2. ∵x ＞0，y ＞0，∴x +y ≥2xy (当x =y 时“=”成立)， ∴

y x xy +2≤1，y

x xy

+2的最大值是1. 从而可知，u 的最大值为211=+， 又由已知，得a ≥u ，∴a 的最小值为2. 解法三：∵y ＞0， ∴原不等式可化为

y

x

+1≤a 1+y

x

， 设

y x =tan θ，θ∈(0，2

π

). ∴tan θ+1≤a 1tan 2+θ；即tan θ+1≤a se c θ ∴a ≥sin θ+cos θ=2sin(θ+

4

π

)，

③又∵sin(θ+

4π)的最大值为1(此时θ=4

π). 由③式可知a 的最小值为2.

例3 已知a ＞0，b ＞0，且a +b =1.求证：(a +a 1)(b +b 1)≥4

25

证法一：(分析综合法）

欲证原式，即证4(ab )2+4(a 2+b 2)－25ab +4≥0，即证4(ab )2－33(ab )+8≥0，即证ab ≤4

1

或ab ≥8.

∵a ＞0，b ＞0，a +b =1，∴ab ≥8不可能成立 ∵1=a +b ≥2ab ，∴ab ≤4

1，从而得证. 证法二：(均值代换法) 设a =21+t 1，b =2

1+t 2.

∵a +b =1，a ＞0，b ＞0，∴t 1+t 2=0，|t 1|＜21，|t 2|＜2

1

.

425

4

11625412316254

1)45(41)141)(141()21)(21()

141)(14

1(211)21(211)21(1

1)1)(1(224

2

222222

22222222211212

2221122212122=≥-++=--+=-++++++=++++++++=+++?+++=+?

+=++∴t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t b b a a b b a a 显然当且仅当t =0，即a =b =2

1

时，等号成立.

证法三：(比较法）

∵a +b =1，a ＞0，b ＞0，∴a +b ≥2ab ，∴ab ≤4

1

4

25)1)(1(0

4)8)(41(4833442511425)1)(1(2222≥

++∴≥--=++=-+?+=-++b b a a ab ab ab ab ab b a b b a a b b a a 证法四：(综合法)

∵a +b =1， a ＞0，b ＞0，∴a +b ≥2ab ，∴ab ≤4

1

.

4

251)1(41 16251)1(169)1(43411122

2

≥+-?

???

???????????≥≥+-?≥-?=-≥-∴ab ab ab ab ab ab 4

25

)1)(1(≥

++b b a a 即 证法五：(三角代换法）

∵a ＞0，b ＞0，a +b =1，故令a =sin 2α，b =cos 2α，α∈(0，

2

π

) .

4

25

)1)(1(4252sin 4)

2sin 4(412sin 125162sin 24.3142sin 4,12sin 2sin 416)sin 4(2sin 42cos sin 2cos sin )

cos 1)(cos sin 1(sin )1)(1(2

2

22

2222222224422

22≥++≥-??????≥≥+-=-≥-∴≤+-=

+-+=++=++b b a a b b a a 即得ααααααα

ααααααα

ααα

例4.已知a ，b ，c 为正实数，a +b +c =1. 求证：(1)a 2+b 2+c 2≥3

1

(2)232323+++++c b a ≤6

证明：(1)证法一：a 2+b 2+c 2－3

1=3

1(3a 2+3b 2+3c 2－1)

=31［3a 2+3b 2+3c 2－(a +b +c )2］

=3

1

［3a 2+3b 2+3c 2－a 2－b 2－c 2－2ab －2ac －2bc ］

=31

［(a －b )2+(b －c )2+(c －a )2］≥0 ∴a 2+b 2+c 2≥3

1

证法二：∵(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ≤a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+a 2+c 2+b 2+c 2 ∴3(a 2+b 2+c 2)≥(a +b +c )2=1 ∴a 2+b 2+c 2≥3

1

证法三：∵33222c b a c b a ++≥++∴a 2+b 2+c 2≥3

c

b a ++ ∴a 2+b 2+

c 2≥3

1

证法四：设a =3

1+α，b =3

1+β，c =3

1+γ. ∵a +b +c =1，∴α+β+γ=0

∴a 2+b 2+c 2=(3

1+α)2+(3

1+β)2+(3

1+γ)2

=31+32 (α+β+γ)+α2+β2+γ

2

=31+α2+β2+γ2≥3

1 ∴a 2+b 2+c 2≥3

1

6

2

9

)(32323232

3

323,23323,2

1

231)23(23:)2(=+++<+++++∴+<++<

+++

3

)

23()23()23(3232323+++++≤+++++c b a c b a

33

6

)(3=+++=

c b a

∴232323+++++c b a ≤33＜6 ∴原不等式成立.

例5.已知x ，y ，z ∈R ，且x +y +z =1，x 2+y 2+z 2=2

1，证明：x ，y ，z ∈［0，3

2］

证法一：由x +y +z =1，x 2+y 2+z 2=21，得x 2+y 2+(1－x －y )2=2

1，整理成关于y 的一元二次方程得：

2y 2－2(1－x )y +2x 2－2x +2

1=0，∵y ∈R ，故Δ≥0

∴4(1－x )2－4×2(2x 2－2x +21)≥0，得0≤x ≤32，∴x ∈［0，3

2］ 同理可得y ，z ∈［0，3

2］

证法二：设x =31+x ′，y =31+y ′，z =3

1+z ′，则x ′+y ′+z ′=0， 于是21=(31+x ′)2+(31+y ′)2+(3

1+z ′)2 =31+x ′2+y ′2+z ′2+3

2 (x ′+y ′+z ′)

=31+x ′2+y ′2+z ′2≥31+x ′2+2)(2

z y '+'=31+2

3x ′2

故x ′2≤91，x ′∈［－31，31］，x ∈［0，32］，同理y ，z ∈［0，3

2

］

证法三：设x 、y 、z 三数中若有负数，不妨设x ＜0，则x 2＞0，2

1

=x 2+y 2+z 2≥

x 2

+21

232)1(2)(2222+-=+-=+x x x x z y ＞2

1，矛盾.

x 、y 、z 三数中若有最大者大于32，不妨设x ＞32，则2

1

=x 2+y 2+z 2≥

x 2

+2)(2z y +=x 2+2)1(2x -=23x 2

－x +21

=23x (x －32)+21＞2

1

；矛盾. 故x 、y 、z ∈［0，3

2

］

例6 .证明下列不等式：

(1)若x ，y ，z ∈R ，a ，b ，c ∈R +，则c

b a y b a

c x a c b ++

+++22z 2

≥2(xy +yz +zx ) (2)若x ，y ，z ∈R +，且x +y +z =xyz ， 则

z

y

x y x z x z y +++++≥2(z y x 111++)

)()()()()()(222)

(4)(2))(()(2)]()()([)(2)(:)2()

(20

)()()()2()2()2()(22:)1.(62222222222

2233333322222222222222222

222222

222222222

22≥-+-+-+-+-+-?++≥+++++?+++++≥+++++++?++≥+++++??++≥+++++++≥+++++∴≥-+-+-=-++-++-+=++-+++++y x z x z y z y x y x xy x z zx z y yz xyz z xy yz x xy y x zx x z yz z y xyz z xy yz x x z z y y x xy y x zx x z yz z y z y x zx yz xy y x xy x z zx z y yz xyz zx yz xy z y

x y x z x z y z y x zx yz xy z c b a y b a c x a c b x a c z c a z c b y b c y b a x a b zx x a c

z c a yz z c b y b c xy y b a x a b zx yz xy z c

b a y b a

c x c b 所证不等式等介于

证明证明

∵上式显然成立，∴原不等式得证.

例7.已知i ，m 、n 是正整数，且1＜i ≤m ＜n . (1)证明：n i A i m ＜m i A i n ； (2)证明：(1+m )n ＞(1+n )m

7.证明：(1)对于1＜i ≤m ，且A i m =m ·…·(m －i +1)，

n i n n n n n n

m i m m m m m m i i m i i m 11A ,11A +-??-?=+-??-?= 同理， 由于m ＜n ，对于整数k =1，2，…，i －1，有

m

k

m n k n ->

-， 所以i m i i n i i i m

i i n n m m

n A A ,A A >>即

(2)由二项式定理有：

(1+m )n =1+C 1n m +C 2n m 2+…+C n

n m n ，

(1+n )m =1+C 1m n +C 2m n 2+…+C m m n m ，

由(1)知m i

A i

n

＞n i

A i m (1＜i ≤m )，而C i m

=!

A C ,!A i i i n

i n i m =

∴m i C i n ＞n i C i m (1＜m ＜n )

∴m 0C 0n =n 0C 0n =1，m C 1n =n C 1

m =m ·n ，m 2C 2n ＞n 2C 2m ，…， m m C m n ＞n m C m m ，m m +1C 1+m n ＞0，…，m n C n n ＞0， ∴1+C 1n m +C 2n m 2+…+C n n m n ＞1+C 1m n +C 2m n 2+…+C m m n m ，

即(1+m )n ＞(1+n )m 成立.

例8.若a ＞0，b ＞0，a 3+b 3=2，求证：a +b ≤2，ab ≤1. 证法一：因a ＞0，b ＞0，a 3+b 3=2，所以 (a +b )3－23=a 3+b 3+3a 2b +3ab 2－8=3a 2b +3ab 2－6

=3［ab (a +b )－2］=3［ab (a +b )－(a 3+b 3)］=－3(a +b )(a －b )2≤0. 即(a +b )3≤23，又a +b ＞0，所以a +b ≤2，因为2ab ≤a +b ≤2， 所以ab ≤1.

证法二：设a 、b 为方程x 2－mx +n =0的两根，则?

?

?=+=ab n b

a m ，

因为a ＞0，b ＞0，所以m ＞0，n ＞0，且Δ=m 2－4n ≥0 ① 因为2=a 3+b 3=(a +b )(a 2－ab +b 2)=(a +b )［(a +b )2－3ab ］=m (m 2－3n )

所以n =m

m 32

32-

② 将②代入①得m 2

－4(m

m 32

32-

)≥0， 即m

m 383+-≥0，所以－m 3+8≥0，即m ≤2，所以a +b ≤2，

由2≥m 得4≥m 2，又m 2≥4n ，所以4≥4n ， 即n ≤1，所以ab ≤1.

证法三：因a ＞0，b ＞0，a 3+b 3=2，所以

2=a 3+b 3=(a +b )(a 2+b 2－ab )≥(a +b )(2ab －ab )=ab (a +b )

于是有6≥3ab (a +b )，从而8≥3ab (a +b )+2=3a 2b +3ab 2+a 3+b 3=

(a +b )3，所以a +b ≤2，(下略）

证法四：因为3

33)2

(2b a b a +-+

8

))((38]2444)[(2

2222b a b a ab b a ab b a b a -+=

----++=≥0， 所以对任意非负实数a 、b ，有233b a +≥3

)2

(b a +

因为a ＞0，b ＞0，a 3+b 3

=2，所以1=233b a +≥3)2

(b a +，

∴2

b a +≤1，即a +b ≤2，(以下略）

证法五：假设a +b ＞2，则

a 3+

b 3=(a +b )(a 2－ab +b 2)=(a +b )［(a +b )2－3ab ］＞(a +b )ab ＞2ab ，所以ab ＜1， 又a 3+b 3=(a +b )［a 2－ab +b 2］=(a +b )［(a +b )2－3ab ］＞2(22－3ab )

因为a 3+b 3=2，所以2＞2(4－3ab )，因此ab ＞1，前后矛盾，故a +b ≤2(以下略)