2020-2021北京高三一轮复习03不等式学生版
不等式专题考纲
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知识点梳理：
一：不等式性质及其应用
1.不等式的概念：用不等号（<、>、≤、≥、≠）表示不等关系的式子叫做不等式．
2.不等式的性质：
不等式性质1：（对称性）如果>a b ，那么b a ． 不等式性质2：（传递性）如果>a b ，且>b c ，则>a c ．
不等式性质3：加法法则（同向不等式可加性）()a b a c b c c >?+>+∈R ； 推论：,a b c d a c b d >>?+>+.
不等式性质4：乘法法则 若a b >，则000.c ac bc c ac bc c ac bc >?>??
=?=??
，，
推论1: 0,0a b c d ac bd >>>>?>；
推论2：()
*22
00a b n a b >>∈?>>N ；
推理3：()
*00>>∈?>>n n
a b n N a b ；
推理4：(
)
01且+
>>∈>a b n N n 3．两个实数的大小比较：
（1）数轴法：对于任意两个实数a 和b ，对应数轴上的两点，右边的点对应的实数比左边点对应的
实数大．
（2）作差比较法：,0>a b ；0a b a b -?>a b a b （作差与0比较） （3）作商比较法：,0>a b ：1>?>a a b b ；1=?=a a b b ；1
a b b
（作商与1比较） （4）特殊值法 （5）函数的性质 （6）分子有理化
例题讲解
考点1：不等式性质及其应用
【例1】（2019秋?海淀区校级期中）已知0a b <<，则下列不等式正确的是( )
A ．2a a b >+
B ．a b b +>
C ．2a ab >
D ．2b ab >
【例2】（2018秋?东城区期末）已知0a <，0b >，那么下列不等式中一定成立的是( )
A ．0b a -<
B ．||||a b >
C ．2a ab <
D ．
11
a b
<
【例3】（（2018秋?朝阳区期中）已知0x y >>，则下列不等关系中正确的是( )
A ．cos cos x y >
B ．33log log x y <
C ．112
2
x y < D ．11()()33
x y <
【例题4与的大小为 （用“=”，“ >”或“<”填空）
二、解不等式
（一）绝对值不等式
1.绝对值的几何意义：设a 是一个实数，在数轴上|a |表示实数a 对应的点与原点的距离；|x -a |表示实数x 对应的点与实数a 对应的点之间的距离.
2.关于绝对值的几个结论
定理：对任意实数a 和b ，有||a b a b +≤+
推论： ①.
a b a b -≤+；
②.a b a c c b -≤-+-； ③.a b c a b c ++≤++； 3.绝对值不等式的解法
①含绝对值的不等式|
|<与||>的解集
②含绝对值的不等式|x |a 的解集 ()()0f x c c ≥>?()()f x c f x c ≥≤-或；
()()0f x c c ≤>?()c f x c -≤≤.
（二）分式不等式
1.分式不等式的概念：分母中含有未知数的不等式称为分式不等式.
2.分式不等式的解法：
① 不等式两边同乘以分母的平方，将之化为两个一元一次不等式组处理.
② 两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式组
求解．
（三）一元二次不等式
1．一元二次不等式概念：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式．
2.一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以0a >为例）：
注：有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根
的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决． 其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式；
②参数大于最大值或小于最小值； ③变更主元利用函数与方程的思想求解．
3..解一元二次不等式：通常先将不等式化为20ax bx c ++>或
20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间；
例题讲解
考点1：绝对值不等式
【例1】（2019秋?西城区校级期中）解下列关于x 的不等式|21|3x -<；
考点2：分式不等式
【例1】（2018秋?东城区期末）不等式1
03
x x --的解集为 ．
【例2】（2018秋?东城区校级期中）下列选项中，使不等式1
x x
<成立的x 的取值范围是( )
A ．(-∞，1)(0-?，1)
B ．(1-，0)(1?，)+∞
C ．(0,1)
D ．(1,)+∞
考点3：一元二次不等式解法
【例1】（2019?北京模拟）不等式2230x x +->的解集为( )
A ．{|31}x x -<<
B ．{13}x x -<<
C ．{3xlx <-或1}x >
D ．{|1x x <-或3}x >
考点4：一元二次方程根的分布
【例1】（2019秋?海淀区校级期中）关于x 的方程2(3)70x m x m +-+-=的两根都大于3，则m 的取
值范围是()
A ．(-∞，1(1-+?，)+∞
B ．7
(2
-，1-
C ．(-∞，7
)(12
--?，)+∞
D ．(-∞，1-
【例2】若关于x 的不等式22840x x a --->在{|14}x x <<内有解，则a 的取值范围是( )
A ．4a <-
B ．4a >-
C ．10a >-
D ．10a <-
五、均值不等式
1．均值定理：如果,a b +∈R （+R 表示正实数），那么2
a b
+，当且仅当a b =时，有等号成立．此结论又称均值不等式或基本不等式． 2.常用的均值不等式
（1）若,∈a b R ，则222+≥a b ab （当且仅当=a b 时，取=号）
若,∈a b R ，则22
2
+≤a b ab （当且仅当=a b 时，取=号）
（2）若*,∈a b R ，则
2
+≥a b
=a b 时，取=号）
若*,∈a b R ，则+≥a b =a b 时，取=号） 若*,∈a b R ，则2
2+??
≤ ???
a b ab （当且仅当=a b 时，取=号）
（3）若0>x ，则1
2+
≥x x
（当且仅当1=x 时，取=号） 若0 2+ ≤-x x （当且仅当1=-x 时，取=号） （4）若0>ab ，则 2+≥a b b a （当且仅当=a b 时，取=号） （5）若,∈a b R ，则22 2()22 ++≤a b a b （当且仅当=a b 时，取=号） 3. 均值不等式的几何解释： 对于任意正实数a b ， ，以AB a b =+的线段为直径做圆，在直线AB 上取点C ，使,AC a CB b ==，过点C 作垂直于直线AB 的弦DD '，连接AD 、DB 、如图已知Rt ACD Rt DCB ??，那么 2DC AC BC =?，即CD 2a b +，显然 2 a b +，当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立． 4.求最小值的步骤：一正、二定、三相等 一正：*,∈a b R 二定：+a b 或ab 为定值（和或积为定值） 三相等：a 式子等于b 式时取最值 例题讲解 考点1：均值不等式 【例1】（2019秋?丰台区期中）已知a ，b R +∈，且2ab =，那么下列结论一定成立的是( ) A ．4a b + B ．4a b + C ．224a b + D ．224a b + 【例2】（2019秋?朝阳区校级期中）已知0a >，那么4 2a a -+的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．5 【例3】（2019秋?海淀区校级期中）下列不等式正确的是( ) A ．22 3 23x x + B ．224a b ab + C 2 a b + D ．44a a + 【例4】已知0x >，0y >，1x y +=，则1111x y ? ???++ ? ?? ???的最小值为 考点2：对勾函数 ab b a D ' D C B A 【例1】已知4 ≥ x，那么 4 + x x 的最小值是() A．4 B．5 C．6 D． 【例2】设函数 1 ()21(0) f x x x x =+-<，则() f x（） A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数 练习A 【练1】已知0a b >>，则下列不等式中正确的是( ) A ．||||a b < B ． 11a b < C ．a b ->- D ．22a b < 【练2】（2018?东城区一模）已知a ，b R ∈，且a b >，则下列不等式一定成立的是( ) A ．220a b -> B ．cos cos 0a b -> C ． 11 0a b -< D ．0a b e e ---< 【练3】（2017春?西城区校级期末）若非零实数a ，b ，c 满足a b c >>，则一定成立的不等式是( ) A ．ac bc > B ．ab ac > C ．||||a c b c ->- D ． 111a b c << 【练4】已知11 ()()a b ππ <，则下列关系正确的是( ) A ．10a b >>> B ．a b < C ．a b > D ．10b a >>> 【练5】已知x ，y R ∈，且0x y >>，则( ) A ． 11 0x y -> B ．sin sin 0x y -> C ．11 ()()022 x y -< D ．0lnx lny +> 【练6】（2018秋?通州区期中）某人从甲地到乙地往返的速度分别为a 和()b a b <，其全程的平均速 度为v ，则( ) A ．2 a b v += B ．v =C ．a v << D 2 a b v +< 【练7】（2018?北京模拟）不等式220x x +-<的解集为( ) A ．{|21}x x -<< B ．{|12}x x -<< C ．{|2x x <-或1}x > D ．{|1x x <-或2}x > 【练8】（2019秋?海淀区校级期中）若0a >，0b >，2ab =，则2a b +的最小值为( ) A ． B ．4 C ． D ．6 【练9】（2019?北京模拟）已知0a >，0b >，4ab =，那么a b +的最小值是( ) A ． B ．3 C ．4 D ．6 【练10】（2018春?海淀区校级期末）已知0lga lgb +=，则()lg a b +的最小值为( ) A ．lg 2 B ． C ．lg - 2 D ．2 【练11】（2018秋?海淀区校级期中）比较大小：0.31()2 > 0.51()2 【练12】若1P =，Q =P 与Q 的大小关系是 ． 【练13】（2018秋?东城区校级期中）不等式 1 012x x --的解是 ． 【练14】（2019?石景山区一模）已知集合{5A =-，1-，2，4，5}，请写出一个一元二次不等式， 使得该不等式的解集与集合A 有且只有一个公共元素，这个不等式可以是 ． 【练15】（2019秋?朝阳区校级期中）函数4 1(0)y x x x =-+>的最小值为 ．此时x = ． 【练16】（2019秋?西城区校级期中）函数2 ()(1)1 f x x x x =+>-的最小值是 ；取到最小值时， x = ． 【练17】（2019秋?西城区校级期中）若x 、y R +∈，且134y x +=，则y x 的最大值为 ． 【练18】（2019秋?海淀区校级期中）已知a ，b 是正实数，且2a b +=，则41 a b +的最小值为 ． 【练19】（2019秋?海淀区校级期中）求下列不等式的解集． （1）213 422 x x -<---； （2）22(3)(12)x x +-． （3）52 3 21 x x - > + 【练20】（1）求 2 y=的最小值． （2）求函数 2 y=的最值． 练习B 【练1】若01m <<，则( ) A ．log (1)log (1)m m m m +>- B ．log (1)0m m +> C ．2 1(1)m m ->+ D ．113 2 (1)(1)m m ->- 【练2】（2018春?海淀区校级期中）设a ，b R ∈，下列不等式中一定成立的是( ) A ．232a a +> B ．220a b +> C ．3322a b a b ab ++ D ．12a a + 【练3】（2017秋?海淀区校级期中）关于x 的不等式20x ax b -+<的解集为{|14}x x -<<，则不等式||5bx a +>的解集为( ) A ．1 (2-，2) B ．(-∞，1 )(22 -?，)+∞ C ．1 (2,)2 - D ．(-∞，1 2)(2 -?，)+∞ 【练43x >-的解集为 ． 【练5】（2017秋?海淀区校级期中）已知关于x 的方程220ax x ++=的两个实根一个小于0，另一个 大于1，则实数a 的取值范围是 ． 【练6】（2018春?海淀区期中）不等式1x lnx >+的解集为 ． 【练7】（2018春?海淀区期中）不等式1 1x lnx ->的解集为 ． 【练8】（2019?北京模拟）已知0x >，0y >，且41 1x y +=，若23x y m m +++恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 【练9】（2019秋?海淀区校级月考）函数()(x x f x ae be a R -+=+∈，)b R +∈，已知()f x 的最小值为4， 则点(,)a b 到直线20x y +=距离的最小值为 ． 【练10】设0x >，0y >，25x y += 的最小值为 ． 【练11】（2018?朝阳区二模）已知0x >，0y >，且满足4x y +=，则lgx lgy +的最大值为 ． 【练12】（2017?朝阳区模拟）已知1a >，1b >，且22()ab a b +=+，则ab 的最小值为 ． 【练13】函数22425 (1)1 x x y x x x ++=>++的最小值是 ． 【练14】（2019秋?海淀区校级期中）已知a 、b + 【练15】（2019秋?海淀区校级期中）已知一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{|}x x αβ<<，且0αβ<<，求不等式20cx bx a ++<的解集． 【练16】（2017秋?海淀区校级期中）已知一元二次方程2210ax x ++=． （1）写出“方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根”充要条件． （2）写出“方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根”一个必要而不充分条件，并给予证明． 【练17】（2019秋?海淀区校级期中） （1）已知0x >，0y >，且满足81 1x y +=．求x y +的最小值． （2）若把（1）中的“811x y +=”改为“21x y +=”，其他条件不变，求81 x y +的最小值． 【练182()a b c ++． 【练19】求实数a 的取值范围，使得关于x 的方程22(1)260x a x a +-++=分别满足下列条件： （1）有两个不同的，且都大于1的实数根； （2）至少有一个正实数根． 【练20】（2017秋?海淀区校级期中）已知函数2(1)(1)f x ln x -=-． （1）求函数()f x 的解析式，并判断()f x 的奇偶性； （2）解关于x 的不等式()(21)f x ln x +． 【练21】已知集合2{|log (3)2}A x x =-，集合2|12B x x ?? =??+?? ，求A B ． 【练22】求函数2 y = 作业 【题1】（2018秋?西城区校级月考）0a b <<，下列不等式中正确的是( ) A ．22b a < B ． 11 a b < C ． 1b a > D < 【题2】下列选项中正确的是( ) A ．若a b >，则22ac bc > B ．若a b >，c d <，则 a b c d > C ．若0ab >，a b >，则 11a b < D ．若a b >，c d >，则a c b d ->- 【题3】（2018秋?西城区期末）如果0a b <<，那么下列不等式中正确的是( ) A ．2b ab > B ．2ab a > C ．22a b > D ．||||a b < 【题4】（2018春?西城区期末）如果a b >，那么下列不等式一定成立的是( ) A ．||||a b > B ．33a b > C ． 11 a b < D ．22a b < 【题5】（2019?石景山区一模）若1x y a b >>>>，则下列各式中一定正确的是( ) A ．x y a b > B ．lnx lny < C ．sin sin x y > D ． a b x y < 【题6】（2019秋?海淀区校级期中）若1x 和2x 分别是一元二次方程22530x x +-=的两根．则 12||x x -= ． 【题7】若不等式220ax bx +->的解集是(-∞，2)(1-?，)+∞，则a b += ． 【题8】（2018秋?海淀区校级期中）不等式22x x -<的解集为 ． 【题9】如果方程22320x ax a -+=的一根小1，另一根大于1，那么实数a 的取值范围是 ． 【题10】（2018秋?西城区期末）不等式1 11 x >-的解集为 ． 【题11】（2017秋?西城区校级期中）集合{|||3A x x a =-，}x R ∈，21 {|1}4 x B x x -=<+．若A B ?， 求实数a 的取值范围． 【题12】求实数a 的取值范围，使得关于x 的方程22(1)260x a x a +-++=分别满足下列条件： （1）有两个不同的，且都大于1的实数根； （2）至少有一个正实数根． 【题13】（2018秋?东城区期末）若实数x ，y 满足21x y +=，则x y 的最大值为( ) A ．1 B ．14 C ．18 D ． 116 【题14】（2018秋?海淀区期中）已知函数()log a f x x =，()x g x b =，的图象都经过点1(,2)4 ，则ab 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【题15】（2018?北京模拟）已知0a >，0b >，且28a b +=，那么ab 的最大值等于( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 【题16】（2019秋?丰台区期中）已知0x >，0y >，3x y +=，则xy 的最大值为 ． 【题17】函数4 2(0)y x x x =++>的最小值为 ． 【题18】已知3x >，那么函数1 33 y x x = +--的最小值是 ； 【题19】（2017春?东城区校级期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知两点(3,0)A ，(0,4)B ，点(,)M x y 为直线AB 上的动点，则xy 的最大值是 ． 【题20】（2017春?朝阳区期末）已知正实数m ，n 满足3m n +=，则mn 的最大值为 ． 【题21】（2017秋?海淀区校级月考）函数2 1x y x =-在(1,)x ∈+∞上的最大值为 ． 【题22】（2019秋?海淀区校级期中） （1）已知0x >，求函数254 x x y x ++=的最小值； （2）已知1 03 x <<求函数(13)y x x =-的最大值． 【题23】（2019秋?海淀区校级期中）（1）已知54x < ，求14245 y x x =-+-的最大值； （2）已知102x <<，求1 (12)2 y x x =-的最大值． 【题24】（2019秋?海淀区校级期中）已知0a >，0b >，21a b +=，求11 t a b =+的最小值． 【题25】（2019秋?海淀区校级期中）若0x >，0y >，且280x y xy +-=，求x y +的最小值．