第八章 第一节 椭圆
高考数学总复习 第8章 第5讲 椭 圆配套练习 理 新人教A版
第八章 第5讲 (时间：45分钟 分值：100分) 一、选择题 1. [2013·海淀模拟]2 解析：将原方程变形为x 2 ＋y 21 m ＝1， 由题意知a 2＝1m ，b 2 ＝1， ∴a ＝ 1 m ，b ＝1.∴ 1m ＝2，∴m ＝14 . 故应选A. 4. 已知椭圆x 2 4＋y 2 ＝1，F 1，F 2为其两焦点，P 为椭圆上任一点．则|PF 1|·|PF 2|的最大 值为( ) A. 6 B. 4 C. 2 D. 8 答案：B 解析：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a ＝4，|PF 1|·|PF 2|＝mn ≤(m ＋n 2 )2 ＝4(当且 仅当m ＝n ＝2时，等号成立)．故选B. 5．[2013·湖南郴州]设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈(1 2 ，1)，则实数k 的取值 范围是( ) A ．(0,3) B ．(3，16 3) C ．(0,3)∪(16 3，＋∞) D ．(0,2) 答案：C 解析：当k >4时，c ＝k －4，由条件知14 2019-2020年高三数学一轮复习第九章平面解析几何第五节椭圆夯基提能作业本理 1.已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是( ) A. B.(1,+∞) C.(1,2) D. 2.(xx黑龙江齐齐哈尔一中期末)已知椭圆的焦点在x轴上,离心率为,直线x+y-4=0与y轴的交点为椭圆的一个顶点,则椭圆的方程为( ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 3.矩形ABCD中,|AB|=4,|BC|=3,则以A,B为焦点,且过C,D两点的椭圆的短轴的长为( ) A.2 B.2 C.4 D.4 4.设椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若△PF1F2是直角三角形,则△PF1F2的面积为( ) A.3 B.3或 C. D.6或3 5.已知椭圆+=1(0 椭圆 【学习目标】 1.能 正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆的方程； 2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率）解决相关问题； 3.能够把直线与椭圆的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、椭圆的定义及其标准方程 椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数(21212F F a PF PF >=+)，这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 椭圆的标准方程： 1.当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=； 2.当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b x a y )0(>>b a ，其中222b a c -=； 要点诠释：求椭圆的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设椭圆方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b 的值. 要点二、椭圆的几何性质 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准方程 22 221(0)x y a b a b +=>> 22 221(0)x y a b b a +=>> 椭圆 椭圆的定义与标准 方程方程 椭圆的几何性质 直线与椭圆的位置关系 椭圆的综合问题 最大（小）值问题 椭圆的弦问题 椭圆离心率及离心率的范围问题 (,0)F c -，(,0)F c (0,)F c -，(0,)F c 直线与椭圆的位置关系 将直线的方程y kx b =+与椭圆的方程22 221x y a b +=(0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一 元二次方程，其判别式为Δ. ①Δ＞0?直线和椭圆相交?直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②Δ＝0?直线和椭圆相切?直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③Δ＜0?直线和椭圆相离?直线和椭圆无公共点． 直线与椭圆的相交弦 设直线y kx b =+交椭圆22 221x y a b +=(0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则 12||PP 12|x x - 同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 椭圆经典例题分类汇总 1.椭圆第一定义的应用 例1 椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02， A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+y x ； （2）当()02， A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116 42 2=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率2 1=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论． 解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由2 1= e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12． 由21= e ，得4191=-k ，即4 5-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ． 说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论． 例3 已知方程1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由?? ???-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53< 出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆． 例4 已知1cos sin 2 2=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围． 分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围． 解：方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x ．因为焦点在y 轴上，所以0sin 1cos 1>>-αα． 因此0sin >α且1tan -<α从而)4 3,2( ππα∈． 说明：(1)由椭圆的标准方程知 0sin 1>α，0cos 1>-α ，这是容易忽视的地方． (2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，α sin 12=b ． (3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件πα<≤0 例5 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322 =+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程． 分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式． 解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点， 即定点()03， -A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径， 即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点， 半长轴为4，半短轴长为7342 2=-=b 的椭圆的方程：17162 2=+y x ． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法． 2.焦半径及焦三角的应用 例1 已知椭圆13 42 2=+y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得 2=a ，3=b ，∴1=c ，2 1= e ． ∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=． 又由焦半径公式知： 第五节 椭 圆 授课提示：对应学生用书第161页 [基础梳理] 1．椭圆的定义 (1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于| F 1F 2|)的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距． (2)集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0. ①当2a >|F 1F 2|时，M 点的轨迹为椭圆； ②当2a ＝|F 1F 2|时，M 点的轨迹为线段F 1F 2； ③当2a <|F 1F 2|时，M 点的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程和几何性质 图形 标准方程 x 2 a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0) y 2 a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0) 续表 性质 范围 －a ≤x ≤a －b ≤y ≤b －b ≤x ≤b －a ≤y ≤a 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A 1(－a ，0)，A 2(a ，0) B 1(0，－b )，B 2(0，b ) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) B 1(－b ，0)，B 2(b ，0) 轴 长轴A 1A 2的长为2a ； 短轴B 1B 2的长为2b 焦距 |F 1F 2|＝2c 离心率 e ＝c a ∈(0，1) a ，b ，c 的关 系 a 2＝ b 2＋ c 2 1．e 与b a ：因为e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝1－????b a 2，所以离心率e 越大，则b a 越小，椭圆就越扁； 离心率e 越小，则b a 越大，椭圆就越圆． 2．点与椭圆的位置关系 已知点P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)，则 (1)点P (x 0，y 0)在椭圆内?x 20 a 2＋y 2 0b 2＜1； (2)点P (x 0，y 0)在椭圆上?x 20 a 2＋y 2 0b 2＝1； 第五章数字摄影测量及其发展 测绘1402班寇浪浪 ※1.摄影测量发展的三个阶段及特点： 模拟摄影测量：利用光学或机械仪器对重叠的像片重建三维几何，测绘地形图。 解析摄影测量：计算机取代光学或机械仪器，解析摄影测量产品是数字地图、数字高程。 数字摄影测量：使用数字影像，利用计算机存储、处理数字影像，输出数字地图、数字高程、数字正摄影像，与遥感和GIS集成。 2.全数字化摄影测量：计算机对数字/数字化影像进行全自动数字处理方法。 1）自动影像匹配与定位（计算机视觉方法）：特征提取和影像匹配，空间几何定位， 建立高程和正射影像。 2）自动影像判读（遥感）：灰度、特征和纹理等图像理解。 3. 数字摄影测量的发展： 20世纪30年代------自动化测图的研究； 1950年------第一台自动测图仪； 60年代，美国研制自动解析测图仪，由计算机实现数字相关； 1988年，第16届国际摄影测量与遥感大会，进入数字摄影测量的迅速发展阶段。 4.获得数字图像的方法： 1）利用数字化扫描仪对像片进行扫描，称为数字化影像。 2）数字摄影机（CCD阵列扫描仪或摄影机）或数码像机获得的数字影像； 3）直接由二维离散数学函数生成数字图像。 5. 影像数字化： 将透明正片或负片放在影像数字化器上，把像片上像点的灰度值用数字形式记录下来。 6.数字图像处理的基本算法： 代数运算、几何运算、图像变换、图像增强、图像编码、图像复原、模式识别、图像融合 7.影像灰度：（透过率T、不透过率O参看教材P140） 透明像片上影像的灰度值反映像片的透明程度，即透光能力。像点愈黑，透过的光愈少； 当光线全部透过时，透过率为1，影像的灰度为0；当光线透过1%，影像的灰度为2。 航空底片的灰度在0.3---1.8之间。 第5讲 椭圆 板块四 模拟演练·提能增分 [A 级 基础达标] 1．[2016·湖北八校联考]设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 2 5＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线 段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2| |PF 1| 的值为( ) A.514 B.513 C.49 D.59 答案 B 解析 由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2.设线段PF 1的中点为M ，则有OM ∥PF 2，∵OM ⊥F 1F 2，∴PF 2⊥F 1F 2， ∴|PF 2|＝b 2a ＝5 3 .又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，∴|PF 2||PF 1|＝53×313＝5 13 .故选B. 2．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于1 2，则C 的方程是( ) A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 2 3＝1 C.x 24＋y 2 2＝1 D.x 24＋y 2 3 ＝1 答案 D 解析 依题意，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且c ＝1，e ＝c a ＝12 ?a ＝2，b 2＝a 2－c 2 ＝3， 因此椭圆C 的方程是x 24＋y 2 3 ＝1. 3．“－3 [A.基础达标] 1．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 2 2 ＝1所截得的线段的中点坐标是( ) A.????23，53 B.????43，73 C.????－23，13 D.????－132 ，－112 解析：选C.设截得线段两端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，中点为(x 0，y 0)，由?????y ＝x ＋1，x 24＋y 2 2＝1， 代入消元整理得3x 2＋4x －2＝0，Δ＝42＋4×6>0，x 1＋x 2＝－43，所以x 0＝x 1＋x 22＝－2 3 ，y 0 ＝x 0＋1＝1 3 . 2．已知直线l 过点(3，－1)，椭圆C 的方程为x 225＋y 2 36 ＝1，则直线l 与椭圆C 的公共点 的个数为( ) A ．1 B ．1或2 C ．2 D ．0 解析：选C.把点(3，－1)代入x 225＋y 236＝1得3225＋（－1） 2 36 <1，所以点(3，－1)在椭圆内 部，故直线l 与椭圆有两个公共点． 3．已知直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆C ：x 22 ＋y 2 ＝1交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的 中点不在圆x 2＋y 2＝5 9 内，则m 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) B ．[－3，－1]∪[1，3] C ．[－1，1] D ．(－3，－1]∪[1，3) 解析：选D.联立? ????x －y ＋m ＝0， x 2＋2y 2＝2得：3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0，由Δ>0得m ∈(－3，3)， ? ??? ?x 1＋x 2＝－4m 3 ， x 1x 2＝2m 2－2 3 ， y 1＋y 2＝x 1＋m ＋x 2 ＋m ＝2m 3，故AB 中点坐标为(－2m 3，m 3)，因为AB 中点不在圆x 2＋y 2＝59内，所以(－2m 3)2＋(m 3)2≥5 9 ，即m 2≥1， 故m ∈(－3，－1]∪[1，3)． 4．直线y ＝－3x 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)交于A 、B 两点，以线段AB 为直径的圆 恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率为( ) A.32 B.3－1 第5讲椭圆 学习目标【目标分解一】理解并牢记椭圆的定义与满足的条件 【目标分解二】熟记椭圆的几何性质 【目标分解三】理解椭圆中的几个重要三角形，并会灵活应用 重点椭圆定义和性质的理解和记忆 合作探究随堂手记 【课前自主复习区】 一．椭圆的定义 条件结论1结论2 平面内的点M与平面内 的两个点F1，F2M点的 轨迹为F1、F2为椭圆的 距离之和为常数，即， ＝2a为椭圆的焦距2a＞ 标准方程x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0) y2 a2＋ x2 b2＝1(a＞b＞0) 图形 性质 范围 对称性 对称轴： 对称中心： 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0) 轴 a ， b ，c 的关系 a 2＝ 三、要点整合 1.椭圆的定义中2a ＞|F 1F 2|条件不可缺，当2a ＝|F 1F 2|时，其轨迹为 ，当2a ＜|F 1F 2|时， ． 2.求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置。焦点位置的判断依据为： 。 3.椭圆中几个比较重要的三角形： ①特征三角形【如右图：含有a ，b ，c 关系】 ②焦点三角形【椭圆上一点A 与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|AF 1||AF 2|；通过整体代入可求其面积等．】 ③以焦点弦为一条底边，另一焦点为顶点的三角形（请补充画完示意图） 【结论：1°周长为定值 2°面积的简单求法： 】 四、课前自测区 1.教材习题改编 椭圆C ：x 225＋y 2 16＝1的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A 、B 两点，则△F 1AB 的周长为( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 2．若直线x －2y ＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( ) A.x 25＋y 2 ＝1 B ．x 24＋y 2 5＝1 C.x 2 5＋y 2 ＝1或x 24＋y 2 5＝1 D ．以上答案都不对 3．(2016·高考全国卷乙)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1 4，则该椭圆的离心率为( ) [A.基础达标] 1．已知椭圆x 216＋y 29 ＝1及以下3个函数：①f (x )＝x ；②f (x )＝sin x ；③f (x )＝cos x ||，其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个 解析：选B.过原点连续的奇函数等分椭圆面积．易知f (x )＝x ||，f (x )＝sin x 为奇函数||，f (x )＝cos x 为偶函数||，故①②满足要求． 2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个顶点在直线x ＋43 y ＝4上||，则此椭圆的焦点坐标是( ) A ．(±5||，0) B ．(0||，±5) C ．(±7||，0) D ．(0||，±7) 解析：选C.直线x ＋43 y ＝4在坐标轴上的截距为4、3||，所以a ＝4||，b ＝3||，所以c ＝42－32＝7||，故椭圆的焦点坐标为(±7||，0)． 3.如图||，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的顶点与焦点||，若∠ABC ＝90°||，则该椭圆的离心率为( ) A.－1＋52 B.5－1 C.2－12 D.2－1 解析：选A.因为Rt △AOB ∽Rt △BOC ||，所以a b ＝b c ||，即b 2＝ac ||， 又b 2＝a 2－c 2||，所以a 2－c 2＝ac ||， 即c 2＋ac －a 2＝0||， 所以e 2＋e －1＝0||，又e ∈(0||，1)||， 所以e ＝－1＋52 . 4．如图||，已知ABCDEF 是边长为2的正六边形||，A 、D 为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)长轴的两个端点||，BC 、EF 分别过椭圆两个短轴的端点||，则椭圆的方程是( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 23＋y 24 ＝1 C.x 24＋y 2＝1 D.x 23 ＋y 2＝1 解析：选A.因为a ＝|AO |＝2||，b ＝2×32＝ 3. 故该椭圆的方程为x 24＋y 23 ＝1. 5．设AB 是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴||，若把线段AB 分为100等份||，过每个分点作AB 的垂线||，分别交椭圆的上半部分于点P 1||，P 2||，…||，P 99||，F 1为椭圆的左焦点||，则|F 1A |＋|F 1P 1|＋|F 1P 2|＋…＋|F 1P 99|＋|F 1B |的值是( ) 则此椭圆方程为( ) 2 2 x y_ / A — +」=1 A. 4 十 3 2 尙 + y 2= 1 2 2 B &+y = 1 B. 8 + 6 = 1 2 D .^+y 2 = 1 4 2 2 歩+ y a b 课时规范练 A 组基础对点练 2 2 1已知椭圆2X5+和=1(m>0)的左焦点为F 1(— 4,0)，则m =( ) A . 2 B . 3 C . 4 D . 9 解析：由 4= .25 — m 2(m>0)? m = 3，故选 B. 答案：B 2.方程kx 2 + 4y 2= 4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是( ) A . k>4 B . k = 4 C . k<4 D . 0 第八章 第五节 椭圆 一、选择题 1．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 2 9＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点． 在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为 ( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 解析：根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6. 答案：A 2．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2 ＋y 2 ＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 2 41的交点个数为 ( ) A ．至多一个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 解析：∵直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2 ＋y 2 ＝4没有交点， ∴4 m 2＋n 2>2，∴m 2 ＋n 2 <4，∴m 29＋n 24 GAGGAGAGGAFFFFAFAF 椭圆经典例题分类汇总 1.椭圆第一定义的应用 例1 椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+y x ； （2）当()02， A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116 42 2=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 例 2 已知椭圆 19822=++y k x 的离心率2 1 =e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论． 解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由2 1=e ， 得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12． 由2 1=e ，得4 19 1=-k ，即4 5-=k ． GAGGAGAGGAFFFFAFAF ∴满足条件的4=k 或4 5-=k ． 说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论． 例3 已知方程 1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由?? ???-≠-<-<-,35, 03, 05k k k k 得53< 第一篇基础知识 （部分题给出答题要点） 第二章海图 1.试述海图局部比例尺和普通比例尺（基准比例尺）的概念。（27、28页） 答：海图局部比例尺：设A为地面上的任意一点，在它的每个方向上有线段AB，如果将它投影到地图上去，变成图上线段ab, 则该地图在A点这个方向的局部比例尺（C）为： 普通比例尺（基准比例尺）：一般地图上所注明的比例尺，称为普通比例尺或基准比例尺。它可能是图上各个局部比例尺的平均值，或者是图上某点或某线的局部比例尺。航海上，有时为了便于几张海图联合起来使用，常取某点或某线的局部比例尺，作为几张图共同的基准比例尺，此时，上述基准点或基准线可能不在某张图的覆盖范围内。 2.什么是海图的极限精度？试述海图比例尺与海图极限精度的关系。 海图的极限精度：海图上0.1mm所代表的实地水平长度叫做比例尺的精度，或叫做海图的极限精度 海图比例尺决定海图的精度，人眼只能够分辨清楚图上大于0.1mm间距的两个点，因此当比例尺很小时，能够分辨出的图上最小距离所代表的实际距离也就越大，海图的精度也就越差。当比例尺大时，能够分辨出的图上最小距离所代表的实际距离也就越小，海图的精度也就越高。 3.在航行中为什么要选用大比例尺海图？ 答：海图比例尺越大，海图作业的作图精度就越高，比例尺越大，图上所绘制的资料就越详细、准确，海图的可靠性程度就越高。 4.请解释英版海图图式“PA”、“PD”、“ED”、“SD”、“Rep”的含义。 5.试述海图上底质的注记顺序。 6.试说明海图上各种礁石的含义。 7水上航标怎样进行识别？ 8.灯标的基本灯质有哪几种？ 9试述明礁、干出礁、适淹礁、暗礁的区别 10、试述墨卡托海图上比例尺有何特征？ 第二篇船舶定位 第三章船位误差理论 1.什么叫位置线？它有何特性？ 答：当驾驶员测量某物标的参数（如方位、距离、某两物标的方位差和距离差等）得到一观测值，并在海图上画出符合该观测值的点的轨迹，称为船舶的位置线。 船舶位置线理论上具有如下特性： 1）时间性：位置线和观测时间是对应的，即运动的船舶在不同时刻具有不同的位置线； 2）绝对性：在位置线上的所有的点都必然符合同一观测值，反之亦然。 第5讲 椭圆 1．已知方程x 2 2－k ＋y 2 2k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________． [解析] 因为方程x 2 2－k ＋y 2 2k －1 ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则由?????2－k >0， 2k －1>0，2k －1>2－k 得?????k <2，k >12，k >1， 故k 的取值范围为(1，2)． [答案] (1，2) 2．中心在坐标原点的椭圆，焦点在x 轴上，焦距为4，离心率为2 2 ，则该椭圆的方程为________． [解析] 依题意，2c ＝4，c ＝2，又e ＝c a ＝2 2 ，则a ＝22，b ＝2，所以椭圆的标准方程为x 28＋y 2 4 ＝1. [答案] x 28＋y 2 4 ＝1 3．已知点M (3，0)，椭圆x 2 4＋y 2 ＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A ，B ，则△ABM 的周长 为________． [解析] M (3，0)与F (－3，0)是椭圆的焦点，则直线AB 过椭圆左焦点F (－3，0)，且AB ＝AF ＋BF ，△ABM 的周长等于AB ＋AM ＋BM ＝(AF ＋AM )＋(BF ＋BM )＝4a ＝8. [答案] 8 4．“m ＞n ＞0”是“方程mx 2 ＋ny 2 ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的________条件． [解析] 把椭圆方程化成x 21m ＋y 21n ＝1.若m ＞n ＞0，则1n ＞1m ＞0.所以椭圆的焦点在y 轴上．反 之，若椭圆的焦点在y 轴上，则1n ＞1 m ＞0即有m ＞n ＞0.故为充要条件． [答案] 充要 5．如图，椭圆x 2a 2＋y 2 2 ＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 点在椭圆上，若 PF 1＝4，∠F 1PF 2 ＝120°，则a 的值为________． 高中数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程 单元测试 一、选择题（每小题5分，共60分） 1．椭圆12 2 =+my x 的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ） A ． 41 B ．2 1 C ．2 D ．4 2．过抛物线x y 42 =的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则||AB 等于（ ） A ．10 B ．8 C ．6 D ．4 3．若直线y ＝kx ＋2与双曲线62 2 =-y x 的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是（ ） A ．315(- ，)315 B ．0(，)315 C ．315(-，)0 D ．3 15 (-，)1- 4．（理）已知抛物线x y 42 =上两个动点B 、C 和点A （1，2）且∠BAC ＝90°，则动直线BC 必过定点（ ） A ．（2，5） B ．（-2，5） C ．（5，-2） D ．（5，2） （文）过抛物线)0(22 >=p px y 的焦点作直线交抛物线于1(x P ，)1y 、2(x Q ，)2y 两点，若p x x 321=+，则||PQ 等于（ ） A ．4p B ．5p C ．6p D ．8p 5.已知两点)4 5,4(),45,1(--N M ,给出下列曲线方程：①0124=-+y x ;②32 2=+y x ; ③122 2=+y x ;④12 22=-y x .在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（ ） （A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④ 6．已知双曲线122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）的两个焦点为1F 、2F ，点A 在双曲线第一象限 的图象上，若△21F AF 的面积为1，且2 1 tan 21=∠F AF ，2tan 12-=∠F AF ，则双曲线方程为（ ） A ．1351222=-y x B ．1312522=-y x C ．1512322 =-y x D ．112 5322=-y x 7．圆心在抛物线)0(22 >=y x y 上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是（ ） 第五节椭__圆 错误! １．椭圆的定义 （１）满足以下条件的点的轨迹是椭圆： １在平面内； ２与两个定点F１、F２的距离之和等于常数； ３常数大于|F１F２|. （２）焦点：两定点． （３）焦距：两焦点间的距离． ２．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 错误!＋错误!＝１ （a>b>0） 错误!＋错误!＝１ （a>b>0） 图形 性 质 范围 —a≤x≤a —b≤y≤b —b≤x≤b —a≤y≤a 对称性 对称轴：x轴、y轴 对称中心：（0,0） 顶点 A１（—a,0），A２（a,0） B１（0，—b），B２（0， b） A１（0，—a），A２（0， a） B１（—b,0），B２（b,0） 轴长轴A１A２的长为２a 短轴B１B２的长为２b 焦距|F１F２|＝２c 离心率e＝错误!，e∈（0,１） a，b，c的关系c２＝a２—b２ １．椭圆的定义中易忽视２a＞|F１F２|这一条件，当２a＝|F１F２|其轨迹为线段F１F２，当２a＜|F１F２|不存在轨迹． ２．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）．３．注意椭圆的范围，在设椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）上点的坐标为P（x，y）时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．[试一试] 若直线x—２y＋２＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（） Ａ．错误!＋y２＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１ Ｃ．错误!＋y２＝１或错误!＋错误!＝１Ｄ．以上答案都不对 解析：选C 直线与坐标轴的交点为（0,１），（—２,0），由题意知当焦点在x轴上时，c＝２，b＝１，∴a２＝５，所求椭圆的标准方程为错误!＋y２＝１． 当焦点在y轴上时，b＝２，c＝１， ∴a２＝５，所求椭圆标准方程为错误!＋错误!＝１．故选Ｃ． １．求椭圆标准方程的方法 （１）定义法：根据椭圆定义，确定a２，b２的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程． （２）待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a２，b２，从而写出椭圆的标准方程． ２．椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a—c. ３．求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b２＝a２—c２就可求得e（0＜e 第五讲椭圆 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点一椭圆的定义 平面内与两个定点F1、F2的__距离的和等于常数(大于|F1F2|)__的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的__焦点__，两焦点间的距离叫做椭圆的__焦距__． 注：若集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c为常数，则有如下结论： (1)若a＞c，则集合P为__椭圆__； (2)若a＝c，则集合P为__线段F1F2__； (3)若a＜c，则集合P为__空集__． 知识点二椭圆的标准方程和几何性质 标准方程x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0) y2 a2＋ x2 b2＝1(a＞b＞0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为__2a__； 短轴B1B2的长为__2b__ 焦距|F1F2|＝__2c__ 离心率e＝ c a∈(0,1) a、b、c__c2＝a2－b2__ 重要结论 1．a ＋c 与a －c 分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值． 2．过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦|AB |＝2b 2 a ，称为通径． 3．若过焦点F 1的弦为AB ，则△ABF 2的周长为4a ． 4．e ＝ 1－b 2a 2． 5．椭圆的焦点在x 轴上?标准方程中x 2项的分母较大，椭圆的焦点在y 轴上?标准方程中y 2项的分母较大． 6．AB 为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则 (1)弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1 k 2|y 1－y 2|； (2)直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0 a 2y 0 ． 双基自测 题组一 走出误区 1．(多选题)下列结论正确的是( CD ) A ．平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 B ．椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆 C ．方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆 D ．x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0)的焦距相同 题组二 走进教材 2．(必修2P 42T4)椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( C ) A ．4 B ．8 C ．4或8 D ．12 [解析] 当焦点在x 轴上时，10－m >m －2>0， 10－m －(m －2)＝4，∴m ＝4． 当焦点在y 轴上时，m －2>10－m >0，m －2－(10－m )＝4，∴m ＝8． ∴m ＝4或8． 3．(必修2P 68A 组T3)过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 2 4 ＝1有相同焦点的椭圆的方程为( A ) 第五节 椭 圆 预习设计 基础备考 知识梳理 1．椭圆的概念 平面内与两定点21F F 、的距离的和等于常数（ ||21F F ）的点的轨迹叫椭圆，这两定点叫做椭圆的 两焦点间的距离叫做 集合,2||,2||||}{2121c F F a MF MF M P ==+=其中>a ,0,0>c 且a ，c 为常数）． (1)若 ,则集合P 为椭圆； (2)若 ,则集合P 为线段； (3若 ,则集合P 为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质 典题热身 1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆13 22 =+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是 ( ) 32.A 6.B 34.C 12.D 答案：C 2.如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( ) )1,0.(A )2,1.(B )2,0.(C ? )1,0.(?D 答案：A 3．椭圆14 2 2=+y m x 的焦距等于2，则m 的值为 ( ) 35.或A 8.B 5.c 16.D 答案：A 4．已知椭圆C 的短轴长为6，离心率为 ,5 4 则椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为( ) 9.A 1.B 91.或C D ．以上都不对 答案：C 5．（2011．．郑州模拟）如图，A 、B 、C 分别为椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 的顶点与焦点，若,90 =∠ABC 则该椭圆的离心率为( ) 251. +-A 221.-B 12.-C 2 2 .D 答案：A 课堂设计 方法备考 题型一 椭圆的定义及其应用 【例1】一动圆与已知圆1)3(:2 2 1=++y x O 外切，与圆:2O 81)3(2 2 =+-y x 内切，试求动圆圆心的轨迹方程． 题型二 求椭圆的标准方程 【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是（-12，O ），(12，O)，椭圆上一点P 到两焦点的距离的和等于26； (2)焦点在坐标轴上，且经过点)2,3(-A 和);1,32(-B (3)焦距是2，且过点).0,5(-p 题型三 椭圆的几何性质及其应用 【例3】已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的长、短轴端点分别为A.B ，从此椭圆上一点M(在x 轴上方) 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点.//,1OM AB F (1)求椭圆的离心率e ； (2)设Q 是椭圆上任意一点，21F F 、分别是左、右焦点，求21QF F ∠的取值范围，2019-2020年高三数学一轮复习第九章平面解析几何第五节椭圆夯基提能作业本理
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