建模——捕食者

食饵——捕食者模型

摘要：建立具有自身阻滞作用的两个种群食饵-捕食者模型，并结

合模型的数值解和相轨线，对模型的稳定性进行了分析。

关键词：种群，数值解，平衡点，相轨线，Volterra 模型

（一）模型准备

自然界中不同种群之间还存在着这样一种制约的生存方式：种群甲靠有限的自然资源生存，而种群乙靠掠取甲为生。就像生活在草原上的狼与羊，种群之间捕食与被捕食的关系普遍存在，这样两个肉弱强食的种群，它们的发展和演进又会遵循一些什么样的规律呢？

（二）模型假设

有羊和狼两个种群，记食饵（羊群）和捕食者（狼群）在时刻t 的数量分别为)(t x ，)(t y ，1r 为羊群的固有增长率，1N 为环境容许的最大羊群量，2N 为环境容许的最大狼群量。

1、假设羊群可以独立生存，而可被其直接利用的自然资源有限，设总量为“1”。羊群数量的增长率可以分为两部分考虑：其一，因为草原上的资源有限，所以它的增长服从Logistic 规律，

即)1(1

1.

N x

x r x -

=， 其二，当两个种群在同一个自然环境中生存时，由于狼群以掠取羊群为生，所以它对羊群的增长产生了负面影响，可以合理地在因子)1(1

N x

-

中再减去一项，该项与狼群的数量y （相对于2N 而言）成正比，于是得到羊群增长的方程为：

)1()(2

111.

N y N x x r t x σ--

= （1） 1σ的意思是：单位数量的狼（相对2N 而言）掠取1σ倍的羊（相对1N 而言）

。 2、假设狼群没有羊群的存在会灭亡，设其死亡率为2r ，则狼群独自存在时，有：

y r t y 2.

)(-=，

又因为羊群的存在为狼群提供了食物，所以它对狼群的增长产生了促进作用，而

狼群的增长又受到自身的阻滞作用，于是得到狼群增长的方程为：

)1()(1

222.

N x N y y r t y σ+-

-= （2） 2σ的意思是：单位数量的羊（相对1N 而言）供养2σ倍的狼（相对2N 而言）

。 （三）模型建立

根据模型假设中的方程（1）、（2），可得到如下的数学模型：

???

?

??

?+--=--=)1()()1()(1222.2111.

N x N y y r t y N y N x x r t x σσ （四）模型求解

利用数学软件求微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察，猜测它

的解析解的构造，然后从理论上研究其平衡点，验证前面的猜测。

数值解：

记羊群和狼群的初始数量分别为： 00)0(,)0(y y x x == （3） 为求微分方程（1），（2）及初始条件（3）的数值解)(),(t y t x （并作图）及相轨线)(x y ，设4,5.1,100,2000,4.0,1212121======σσN N r r ，用MATLAB 软件编制程序如下：

function f=fun2(t,x); sigma1=1.5;sigma2=4; r1=1;r2=0.4; N1=2000;N2=100;

f=[r1.*x(1).*(1-x(1)./N1- sigma1.*x(2)./N2);r2.*x(2).* (-1-x(2)./N2 +sigma2.*x(1)./N1)]

>>[t,x]=ode45('fun2',[0,35],[1580,30])

>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),

数值解)(),(t y t x 的图形 >> plot(x(:,1),x(:,2)),grid,

相轨线)(x y 的图形

从数值解及)(),(t y t x 的图形可以看出它们的数量变化情况，随着时间的推移，都趋于一个稳定的值，从数值解中可以近似的得到该稳定值为：（714，43）。

为了研究两个种群食饵-捕食者的结局，即∞→t 时)(),(t y t x 的趋向，只需对它的平衡点进行稳定性分析。

首先，根据微分方程（1），（2）解代数方程组

???

?

???

=+--==--=0)1(),(0)1(),(12222111N x N y y r y x g N y N x x r y x f σσ

解方程组得到3个平衡点： ）

，00(1P ，)0,(12N P ，)1)

1(,1)1((2

12221113σσσσσσ++-++N N P ，

因为仅当平衡点位于平面坐标系的第一象限时（x ，0≥y ）才有实际意义，所以，对3P 而言要求01>σ，12>σ。

按照判断平衡点稳定性的方法计算：

?????

?

???

???+-----=????

??=)21()21(12221222

112111N x N y r N y r N x r N y N x r g g f f A y x

y x

σσσσ i p y x g f p |)(+-=，3,2,1=i i p A q |det =,3,2,1=i

将3个平衡点p ,q 的结果及稳定条件列入下表中：

从上面3个平衡点可以看出，只有3P 点才表明羊群和狼群在同一片草原上互相依存。

（五）模型分析

从模型求解中的数值解)(),(t y t x 的图形和数值结果可以看出羊群和狼群的数量最终都会趋于一个稳定值，且这个稳定值为（714,43）。这就说明羊群和狼

群的数量保持在该值附近时，它们能够在同一个环境中一直生存下去。

下面把之前Matlab 微分方程数值解所取的参数

4,5.1,100,2000,4.0,1212121======σσN N r r 代入该平衡点进行验证： >>r1=1;r2 =0.4;N1 =2000;N2 =100;a1=1.5;a2=4;

>>x=(N1.*(1+a1))./(1+a1.*a2);y=(N2.*(-1+a2))./(1+a1.*a2); >>[x;y] ans=

714.2857 42.8571 即：112231212

(1)(1)

(

,)11N N P σσσσσσ+-+++=（714.2857,42.8571）

这与数值计算的结果相一致，表明3P 点为稳定平衡点。

（六）模型评价

该模型考虑了羊和狼的自身阻滞作用，根据这个模型我们可以得到，羊和狼

的数量达到一定程度时，它们的数量将稳定在一定范围内，并且趋近于一个近似的稳定值。说明羊和狼在满足一定的条件下，它们生存的数量变化最终都会趋于稳定，达到现实生活中的生态平衡。

参 考 文 献 [1]姜启源 谢金星 叶俊 编.数学模型 第三版.北京：高等教育出版社，2003.8（2010重印）

[2]唐家德.基于Matlab 的三种群Volterra 模型数值求解 [3]姜启源 编. 数学模型 第1版. 北京：高等教育出版社

食饵—捕食者模型稳定性分析

食饵—捕食者模型稳定性分析 【摘要】自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有相互依存、又有相互制约的生活方式：种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫等。本文是基于食饵—捕食者之间的有关规律，建立具有自身阻滞作用的两种群食饵—捕食者模型，分析平衡点的稳定性，进行相轨线分析，并用数值模拟方法验证理论分析的正确性。 【关键词】食饵—捕食者模型相轨线平衡点稳定性

一、问题重述 在自然界中，存在这种食饵—捕食者关系模型的物种很多。下面讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性。 二、问题分析 本文选择渔场中的食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)为研究对象，建立微分方 程，并利用数学软件MATLAB 求出微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察，猜测出它的解析解构造。然后，从理论上研究其平衡点及相轨线的形状，验证前面的猜测。 三、模型假设 1.假设捕食者（鲨鱼）离开食饵无法生存； 2.假设大海中资源丰富，食饵独立生存时以指数规律增长； 四、符号说明 )(t x /)(1t x ——食饵(食用鱼)在时刻t 的数量； )(t y /)(2t x ——捕食者(鲨鱼)在时刻t 的数量； 1r ——食饵(食用鱼)的相对增长率； 2r ——捕食者(鲨鱼)的相对增长率； 1N ——大海中能容纳的食饵(食用鱼)的最大容量；

2N ——大海中能容纳的捕食者(鲨鱼)的罪的容量； 1σ——单位数量捕食者（相对于2N ）提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食 者(相对于1N )消耗的供养甲实物量的1σ倍； 2σ——单位数量食饵（相对于1N ）提供的供养捕食者的实物量为单位数量捕食 者(相对于2N )消耗的供养食饵实物量的2σ倍； d ——捕食者离开食饵独立生存时的死亡率。 五、模型建立 食饵独立生存时以指数规律增长，且食饵(食用鱼)的相对增长率为1r ，即 rx x ='，而捕食者的存在使食饵的增长率减小，设减小的程度与捕食者数量成正 比，于是)(t x 满足方程 axy rx ay r x t x -=-=')()( (1) 比例系数a 反映捕食者掠取食饵的能力。 由于捕食者离开食饵无法生存，且它独立生存时死亡率为d ，即dy y -='，而食饵的存在为捕食者提供了食物，相当于使捕食者的死亡率降低，且促使其增长。设这种作用与食饵数量成正比，于是)(t y 满足 bxy dy bx d y t y +-=+-=')()( (2) 比例系数b 反映食饵对捕食者的供养能力。

捕食食饵模型

生物模型:设生物群体的数量N 是时间t 连续函数. 物种捕食模型: 捕食者P 的存在依赖于被捕食者的存在, 增长率由于被捕食者N 的存在而增大, 没有被捕食者时将自然趋向死亡. 被捕食者N 的增长率由于捕食者P 的存在而减少, 模型为 ???????+-=-=P N c r t N P c r t N p n )(d dP )(d d 21 (12) 其中 21,,,c c r r p n >0是常数. 相空间为N ≥0, P ≥0, 奇点有两个, (0, 0) 和 (N *, P *) = )/,/(12c r c r n p , 当N , P 不等于零时, 轨道方程可由方程的两式消去d t 而得变量分离方程; 0d d d d 12=-+-P P r P c N N r N c n p (13) 从点(N *, P *)积分到点(N , P )得 C P P P P r N N N N r P N H n p =--+--=]* ln )1*[(]*ln )1*[(:),( (14) 由不等式 0ln 1:)(≥--=x x x f , 对任意x >0恒成立, 且当x 1≠ 时, 0)(>x f , )(x f 在),1[∞上从零严格单调增加到无穷大. )(x f 在]1,0(上从无穷大严格单调减少到零. 因此, ),(P N H 关于(N *,P *)点是定正函数, 且在从(N *,P *)点出发的任一射线上随着与(N *,P *)点的距离增加而从零严格单调增加至无穷大. 因此对于任一 C > 0, 轨道方程(14)表示一条闭轨, 对应于方程的周期解. 设其周期为T =T (C ), 我们可以证明在闭轨上N , P 的平均值分别为N *, P *. 证: ???==--=-0d 1)(d *) (d )*(220P P c P r N c P N N t N N p T , 同理可证另一个关系式.

捕食者-被捕食者模型稳定性分析

捕食者-被捕食者模型 稳定性分析 本页仅作为文档封面，使用时可以删除 This document is for reference only-rar21year.March

被捕食者—捕食者模型稳定性分析 【摘要】自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有相互依存、又有相互制约的生活方式：种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫等。本文是基于食饵—捕食者之间的有关规律，建立具有自身阻滞作用的两种群食饵—捕食者模型，分析平衡点的稳定性，进行相轨线分析，并用数值模拟方法验证理论分析的正确性。 【关键词】食饵—捕食者模型相轨线平衡点稳定性

一、问题重述 在自然界中，存在这种食饵—捕食者关系模型的物种很多。下面讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性。 二、问题分析 本文选择渔场中的食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)为研究对象，建立微分方程， 并利用数学软件MATLAB 求出微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察，猜测出它的解析解构造。然后，从理论上研究其平衡点及相轨线的形状，验证前面的猜测。 三、模型假设 1.假设捕食者（鲨鱼）离开食饵无法生存； 2.假设大海中资源丰富，食饵独立生存时以指数规律增长； 四、符号说明 )(t x /)(1t x ——食饵(食用鱼)在时刻t 的数量； )(t y /)(2t x ——捕食者(鲨鱼)在时刻t 的数量； 1r ——食饵(食用鱼)的相对增长率；

食饵—捕食者模型

《数学模型》课程 食饵—捕食者模型 3. 讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性，并用matlab 软件画出图形。 自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有相互依存、又有相互制约的生活方式：种群甲靠丰富的天然资源生长，而种群乙靠捕食甲为生，形成鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，落叶松和蚜虫等等都是这种生存方式的典型，生态学称种群甲为食饵，种群乙为捕食者。二者共同组成食饵—捕食者系统。 一食饵—捕食者 选用食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)为研究对象,设)(t x /)(1t x 为食饵(食用鱼)在时刻t 的数量，)(t y /)(2t x 为捕食者(鲨鱼)在时刻t 的数量，1r 为食饵(食用鱼)的相对增长率，2r 为捕食者(鲨鱼)的相对增长率；1N 为大海中能容纳的食饵(食用鱼)的最大容量，2N 为大海中能容纳的捕食者(鲨鱼)的最大容量，1σ为单位数量捕食者（相对于2N ）提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食者(相对于1N )消耗的供养甲实物量的1σ倍；2σ为单位数量食饵（相对于1N ）提供的供养捕食者的实物量为单位数量捕食者(相对于2N )消耗的供养食饵实物量的2σ倍；d 为捕食者离开食饵独立生存时的死亡率 二模型假设 1.假设捕食者（鲨鱼）离开食饵无法生存；

2.假设大海中资源丰富，食饵独立生存时以指数规律增长； 三模型建立 食饵(食用鱼)独立生存时以指数规律增长，且食饵(食用鱼)的相对增长率为 1r ，即rx x ='，而捕食者的存在使食饵的增长率减小，设减小的程度与捕食者数量成正比，于是)(t x 满足方程 axy rx ay r x t x -=-=')()( (1) 比例系数a 反映捕食者掠取食饵的能力。 由于捕食者离开食饵无法生存，且它独立生存时死亡率为d ，即dy y -='，而食饵的存在为捕食者提供了食物，相当于使捕食者的死亡率降低，且促使其增长。设这种作用与食饵数量成正比，于是)(t y 满足 bxy dy bx d y t y +-=+-=')()( (2) 比例系数b 反映食饵对捕食者的供养能力。 方程(1)、(2)是在自然环境中食饵和捕食者之间依存和制约的关系，这里没有考虑种群自身的阻滞作用，是Volterra 提出的最简单的模型。结果如下。 不考虑自身阻滞作用:数值解 令x(0)=x0,y(0)=0,设r=1,d=0.5,a=0.1,b=0.02,x0=25,y0=2 使用Matlab 求解 求解如下 1）先建立M 文件 function xdot=shier(t,x) r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02; xdot=[(r-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)).*x(2)]; 2)在命令窗口输入如下命令： ts=0:0.1:15; >> x0=[25,2]; >> [t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x],

自身具有阻滞作用的食饵--捕食者模型简单分析

具有自身阻滞作用的食饵—捕食者模型简单分析 【摘要】种群之间的食饵—捕食者模型由于在自然界中由于资源有限和其他作用，种群自身也会阻滞自身的增长，从而他们构成了自身具有阻滞作用的食饵—捕食者系统。对其进行平衡点的稳定性分析，验证在自然界中的两种种群构成食饵—捕食者系统的相互关系。 【关键字】食饵—捕食者自身阻滞作用平衡点稳定性 一、问题重述 对于V olterra模型，多数食饵—捕食者系统观察不到那种周期动荡，而是趋于某种平衡状态，即系统存在稳定的平衡点。在V olterra模型中考虑自身阻滞作用的Logistic项建立具有自身阻滞作用的食饵—捕食者模型，并对模型的稳定性进行分析。 二、问题背景和分析 自然界中不同种群之间存在着既有依存、又有制约的生存方式：种群甲靠丰富的自然资源生长，而种群已靠捕食种群甲为生，食用于和鲨鱼、美洲兔和山猫、落叶松和蚜虫等都是这种生存方式的典型。生态学称甲为食饵（Prey），种群已为捕食者（Predator），二者构成了食饵—捕食者系统。然而在自然界中由于资源有限和其他作用，种群自身也会阻滞自身的增长，从而他们构成了自身具有阻滞作用的食饵—捕食者系统。 三、模型假设 食饵在自然界中生存若没有捕食者情况下独立生存，自身增长符合Logistic 增长，而捕食者在离开食饵没有其他的食饵，在有食饵的情况自身增长亦符合Logistic增长。

五、模型建立、求解与分析 5.1模型建立 当某个自然环境中只有一个种群生存时，可以同Logistic 模型（阻滞增长）述这个种群的演变过程，即： . (1)x x rx N =- 。 对于食饵种群在自然环境中生存时他不受捕食者捕食的增长为： . 1 1111 ()(1)x x f x r x N ==- ， 在有捕食者的情况下食饵还受到捕食者的捕食，故其还受到捕食者的干预从使食饵增长率减小，在此情况下食饵的增长为： . 12111112 ()(1)x x x f x r x N N σ==- -。 对于捕食者在自然环境中生存没有食饵其死亡导致数量减少，从而为： . 2 2222 ()(1)x x g x r x N ==-- ， 在有食饵的情况下，食饵降低了捕食者的死亡率是捕食者的增长模型为： . 21 222221 ()(1)x x x g x r x N N σ==--+。 得到自身具有阻滞作用的食饵—捕食者模型： . 12111112 ()(1)x x x f x r x N N σ==- -。 . 21222221 ()(1)x x x g x r x N N σ==-- + 5.2模型平衡点求解 根据以上模型设()0f x =和()0g x =，解其方程组即可得到平衡点。

食饵捕食模型

楚雄师范学院数学系《数学建模》课程 教学论文 题目：具有自身阻滞作用的两种群食饵—捕食模型 专业：信息与计算科学 班级：08级3班 学号：152 学生姓名：罗文枢 完成日期：2011 年 6 月

具有自身阻滞作用的两种群食饵—捕食模型 摘要：在自然界中，更多的生物是杂居在一起的，各种生物根据其生理特点、食物来源分成了不同的层次，各层次之间及同一层次的生物种群之间有着各样的联系，尤其是相互之间影响非常大的生物种群，需要放在一起讨论，在这里，我们一两种群为例进行建模和讨论，具有自身阻滞作用的两种群食饵—捕食者模型。捕食—食饵模型是数学生态学研究的重要内容,影响种群波动的因素很多,自身阻滞作用就是其中重要的一种因素。因为资源环境是有限的，相互竞争是不可避免的，所以自身阻滞也是影响平衡位置的不稳定性和周期波动现象的主要因素。时滞可以对生态系统的性质产生相当大的影响,理论生态学家们普遍认为在种群的相互作用中,自身阻滞作用是不可避免的。本文主要通过对两类具有自身阻滞作用的典型的捕食-食饵模型的研究,通过分析发现时滞对模型的稳定性有非常重要的作用。事实上只要在Volterra模型加入考虑自身阻滞作用的Logsitic项就可以得到这种现象了。 关键字：自身阻滞，稳定性分析，相轨线分析，平衡点分析，Logistic模型；

一.问题重述： 讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵—捕食者模型，首先根据两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性。 二．问题分析： 本论文主要是讨论具有自身阻滞作用的食饵—捕食者模型。我们用Logistic模型来描述这个种群数量的演变过程，即食饵会受到自然界中的资源所限制，它不仅会无限的增大，而且捕食者也会受到食饵的数量的影响。此种情况下会出现以下的3种现象： 1.当捕食者灭绝时，食饵也不会无限的增长，即指数函数型增长，因为有自身的阻滞作用，它达到某个数量就不在会增长而趋于稳定了； 2.当食饵受到自然资源的影响的灭绝时，捕食者也会因食物而灭绝； 3.当两种群都不灭绝时，它们会趋于某个非零的有限值，从而达到稳定状态。 三．模型假设： 1.假设在某特定环境中只存在食饵和捕食者两种群； 2.假设食饵和捕食者均能正常生长，没有疾病等原因促使死亡； 3.假设两种群的增长率不变； 4.食饵由于捕食者的存在使增长率降低，假设降低的程度与捕食者数量成正比； 5.捕食者由于食饵为它提供食物的作用使其死亡率降低或使之增长，假设增长的程度与食饵数量成正比。 四．符号说明： ()t x ：食饵在时刻t的数量； 1 ()t x ：捕食者在时刻t的数量； 2 R：食饵独立生存时以指数规律增长，相对增长率； 1 R：捕食者独立生存时以指数规律增长，相对增长率； 2 N：食饵生存的最大容量； 1 N：捕食者生存的最大容量； 2

基础生态学实验Lotka-Volterra捕食者-猎物模型模拟

基础生态学实验 Lotka-Volterra捕食者-猎物模型模拟

【实验原理】 dN/dt=r1N-C1NP 猎物种群动态 dP/dt=-r2N+C2NP 捕食者种群动态 N：猎物的密度 r1：猎物种群的增长率 C1：捕食者发现和进攻猎物的效率，即平均每一捕食者捕食猎物的常数P：捕食者密度 -r2：捕食者在没有猎物时的条件下的死亡率 C2：捕食者利用猎物而转变为更多捕食者的捕食常数

【实验目的】 在掌握Lotka-Volterra 捕食者-猎物模型的生态学意义与各参数意义的基础上，通过改变参数值的大小，在计算机模拟捕食者种群与猎物种群数量变化规律，从而加深对该模型的认识。 【实验器材】 1、计算机 2、模拟运行软件 3、种群生物学模拟软件包（Populus），5.5 版本，美国明尼苏达大学 【实验步骤】 设置初始值，之后保持N0、P0不变，分别改变d2、g、r1、c的大小（具体数据见下表），观察记录每组数据下捕食者-猎物模型中两种群密度变化情况，

与对照组进行比较。 实验数据设置记录表 【实验结果与分析】 Part I 研究捕食者-猎物模型中两种群密度变化情况与捕食者死亡率（d）的关系 图1.1 对照组捕食者—猎物模型种群密度随时间变化的图（d=0.2）

图1.2 实验组1捕食者—猎物模型种群密度随时间变化的图（d=0.3） 图1.3 对照组捕食者—猎物模型种群密度图（d=0.2） 图1.4实验组1捕食者—猎物模型种群密度图（d=0.3） 表1研究种群密度变化情况与d的关系实验数据记录表

由以上图表可知： 捕食者死亡率d增长对猎物种群密度变化的影响反而要大于其对捕食者种群密度的变化。d减小，可见猎物种群密度明显增加，且两者种群密度波动周期变长。 这是由于捕食者死亡率d直接影响捕食者密度，使其降低，从而使猎物种群密度增加，而猎物种群密度的增加又利于捕食者繁殖，使捕食者种群增加。综上，多方面因素的作用导致猎物种群密度明显增加，而捕食者种群密度基本不变。 Part II 研究捕食者-猎物模型中两种群密度变化情况与转化常数（g）的关系 图2.1 对照组捕食者—猎物模型种群密度随时间变化的图（g=0.25）

数学建模实验三--Lorenz模型与食饵模型

数学建模实验三 Lorenz 模型与食饵模型 一、实验目的 1、学习用Mathematica 求常微分方程的解析解和数值解，并进行定性分析； 2、学习用MATLAB 求常微分方程的解析解和数值解，并进行定性分析。 二、实验材料 2.1问题 图3.3.1是著名的洛仑兹(E.N.Lorenz)混沌吸引子，洛仑兹吸引子已成为混沌理论的徽标，好比行星轨道图代表着哥白尼、开普勒理论一样。洛仑兹是学数学出身的，1948年起在美国麻省理工学院（MIT ）作动力气象学博士后工作，1963年他在《大气科学杂志》上发表的论文《确定性非周期流》是混沌研究史上光辉的著作。以前科学家们不自觉地认为微分方程的解只有那么几类：1)发散轨道；2)不动点；3)极限环 ；4)极限环面。除此以外，大概没有新的运动类型了，这是人们的一种主观猜测，谁也没有给出证明。事实上这种想法是非常错误的。1963年美国麻省理工学院气象科学家洛仑兹给出一个具体模型，就是著名的Lorenz 模型，清楚地展示了一种新型运动体制：混沌运动，轨道既不收敛到极限环上也不跑掉。而今Lorenz 模型在科学与工程计算中经常运用的问题。例如，数据加密中。我们能否绘制出洛仑兹吸引子呢？ 图3.3.1 洛仑兹(E.N.Lorenz)混沌吸引子 假设狐狸和兔子共同生活在同一个有限区域内，有足够多的食物供兔子享用，而狐狸仅以兔子为食物.x 为兔子数量,y 表狐狸数量。假定在没有狐狸的情况下，兔子增长率为400％。如果没有兔子，狐狸将被饿死，死亡率为90％。狐狸与兔子相互作用的关系是，狐狸的存在使兔子受到威胁，且狐狸越多兔子增长受到阻碍越大，设增长的减小与狐狸总数成正比，比例系数为0.02。而兔子的存在又为狐狸提供食物，设狐狸在单位时间的死亡率的减少与兔子的数量成正比，设比例系数为0.001。建立数学模型，并说明这个简单的生态系统是如何变化的。 2.2预备知识 1、求解常微分方程的Euler 折线法 求初值问题 ? ??=='00)(),,(y x y y x f y （12.1）

捕食者猎物模型

经典的捕食者-猎物模型是由洛特卡和沃尔泰拉提出的。 若以捕食者密度为纵坐标、猎物密度为横座标、按时间顺序作出相位图，就可以得到一个封闭环（如下图）。相位图表示两个种群的密度将按封闭环的轨道逆时针方向无限循环，其中心点即为平衡点，通过平衡点作互相垂直的线，将相位图分为4块,在垂直线右面捕食者种群增加(P1→P2→P3)，在左面减少(P3→P2→P1)；在水平线下面，猎物种群增加(N1→N2→N3)，在上面减少(N3→N2→N1)。因此，洛特卡－沃尔泰拉模型表明猎物－捕食者种群动态中分为4个时期： ①猎物增加(N2→N3)，捕食者也增加(P1→P2)； ②猎物减少(N3→N2)，捕食者继续增加(P2→P3)； ③猎物(N2→N1)和捕食者(P3→P2)都减少；。 ④捕食者继续减少(P2→P1)，而猎物增加(N1→N2)。如此循环不息。 １（2014?杭州一模）科学家通过研究种问捕食关系，构建了捕食者一猎物模型，如图甲所示（图中箭头所指方向代表曲线变化趋势）；图乙为相应的种群数量变化曲线．下列叙述错误的是（） A．甲图所示模型能解释捕食者和猎物的种群数量均能维持相对稳定 B．甲图曲线变化趋势反映了生态系统中普遍存在的负反馈调节 C．甲图中①②③④种群数量变化与乙图中abcd依次对应 D．乙图中P为猎物的种群数量，H为捕食者的种群数量 【解析】A、据图甲分析，由于负反馈调节，捕食者和猎物的种群数量均能维持相对稳定，A正确；B、甲图曲线变化趋势反映了生态系统中普遍存在的负反馈，即猎物的种群数量增加，捕食者的种群数量也增加，这样猎物的种群增长受到抑制，B正确；C、甲图中①区域表示猎物种群数量增加引起捕食者的种群数量增加，对应乙图中a，②区域猎物种群数量减少，捕食者种群数量继续增加，对应乙图中b，③区域表示随着猎物种群数量的减少，捕食

食饵捕食者模型

食饵——捕食者模型 摘要 自然界中不同种群之间存在着一种有趣的既有依存，又有制约的生存方式：种群甲靠丰富的自然资源生长，而种群乙靠捕食种群甲为生。生态学上称种群甲为食饵)(Pr ey ，种群乙为捕食者)(Pr edator ，二者共处组成食饵——捕食者系统（简称P P -系统）。为了对食饵、捕食者的数量关系做出分析和预测，建立了食饵——捕食者模型：根据微分方程稳定性理论辅之以相轨线分析，对具有自身阻滞作用的两种群的数量关系做出分析和预测。 关键词 食饵——捕食者，模型，生态学，Logistic 规律。 问题重述 讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵——捕食者模型，首先根据两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性。 模型建立 种群甲（食饵）靠丰富的自然资源生长，而种群乙（捕食者）靠捕食种群甲为生，食饵（甲）和捕食者（乙）在t 时刻的数量分别记为)(t x ，)(t y ，r 是甲的固有增长率，种群甲和乙的最大容量分别为N 、M 。数量的演变均遵从Logistic 规律。于是对种群甲有 )1()(N x rx t x -= 其中因子)1(N x -反映由于甲对有限资源的消耗导致的对它本身增长的阻滞作用， N x 可解释为相对于N 而言单位数量的甲消耗别的供养甲的食物量（设食物总量为1）。 当两个种群在同一自然环境中生存时，考察由于乙消耗同一种有限资源对甲 的增长产生的影响，可以合理的在因子)1(N x -中再减去一项，该项与种群乙的 数量y （相对于M 而言）成正比，于是得到种群甲增长的方程为 )1()(1M y N x rx t x σ--= （1） 这里的意义是：单位数量乙（相对于M 而言）消耗的供养甲的食物量为单位数 量甲（相对N ）消耗的供养甲的食物量的1σ倍。

题型一-高中生物学中“模型建构”

题型一高中生物学中“模型建构” 1．(2015·天津卷，1)如图表示生态系统、群落、 种群和个体的从属关系。据图分析，下列叙述正确的是() A．甲是生物进化的基本单位 B．乙数量达到环境容纳量后不再发生波动 C．丙是由生产者和消费者构成的 D．丁多样性的形成受无机环境影响 解析根据生态系统、群落、种群和个体的从属关系可以判断出，甲是个体、乙是种群、丙是群落、丁是生态系统。生物进化的基本单位是种群，而不是个体，A错误；在自然环境中种群的增长往往呈S型增长，达到K值即环境容纳量后，由于受到各种因素的影响，数量在K值附近呈现波动，B错误；生态系统中的群落根据功能划分包括生产者、消费者和分解者，C错误；生态系统是无机环境和生物群落相互作用的统一整体，所以其多样性的形成受无机环境的影响，D正确。 答案D 2．(2014·福建卷，4)细胞的膜蛋白具有物质运输、信息传递、免疫识别等重要生理功能。下列图中，可正确示意不同细胞的膜蛋白及其相应功能的是()

解析血红蛋白存在于红细胞内，不是在细胞膜上，A错误；抗原对T淋巴细胞来说是信号分子，通过T淋巴细胞膜上的受体来接受，而不是抗体，B错误；受体具有特异性，胰高血糖素应作用于胰岛B细胞上的胰高血糖素受体，而不是胰岛素的受体，C错误；骨骼肌作为反射弧中的效应器，骨骼肌细胞上有接受神经递质的受体，同时葡萄糖进入细胞也需要载体协助，D正确。 答案D 解答此类试题的总体思路：加强对基础知识的理解→迁移、整合→联系实际形成应用能力。也就是说，在复习中要狠抓基础知识，搞清概念的内涵和外延，明确原理的内容、适用对象和条件，尤其要对教材中主要模型加以梳理整合。在此基础上要学会对相关概念、原理的迁移和整合，达到举一反三的目的；最后学会应用相关原理、概念去解决生产生活中的实际问题，也就是要培养应用能力。 1．模型及类型 (1)模型：模型是人们为了某种特定目的而对认识对象所作的一种简化的概括性的描述，这种描述可以是定性的，也可以是定量的；有的借助于具体的实物或其他形象化的手段，有的则通过抽象的形式来表达。 (2)模型类型： ①概念模型：即构建相关概念、原理及生理过程的内在包含关系。 ②物理模型：物理模型是指以实物或图画形式直观地表达认识对象的特征。如沃森和克里克

捕食者死亡率具比率型的捕食者_食饵模型

2009年11月 襄樊学院学报 Nov.,2009 第30卷第11期 Journal of Xiangfan University V ol.30 No.11 捕食者死亡率具比率型的捕食者-食饵模型 肖氏武1 ，陈旭松2 (1.襄樊学院 数学与计算机科学学院，湖北 襄樊 441053; 2.襄樊职业技术学院 公共课部，湖北 襄樊 441021) 摘要 ：建立捕食者死亡率依赖于捕食者与食饵的比率的捕食-食饵模型，分别考虑捕食者的 功能性反应为双线性型与比率依赖型的情形，在一定条件下得到正平衡点全局稳定和极限环的存 在性，并进行了数值模拟. 关键词：比率依赖；捕食者-食饵模型；极限环 中图分类号：O175. 1 文献标识码：A 文章编号：1009-2854(2009)11-0009-05 在现实世界里，任何生物种群都处于某一群落中与别的种群发生着一定的联系，而真正的单种群只有在生物学家的实验室里才存在. 由于捕食者与食饵的这种捕食现象在自然界中普遍存在且相当重要，因此研究捕食者与食饵之间的动力学关系已经是并将长期成为生物界与生物数学方面的重要研究课题之一[1-3]. 虽然在过去的四十多年里，捕食者-食饵理论取得了很大的进步，但是在这方面还是有很多数学和生态学上的问题没解决[3-6]. 在捕食者-食饵相互作用的理论的研究中，一个具有里程碑的进展是被Hairston N. G . [7]和 Rosenzweig M. L.[8]等人揭示的现在被称为富足性谬论(Paradox of enrichment)的发现. 在生物数学领域中，数学家的很多工作被看作是数学对生物学的重要贡献. 直到现在，在生态学家之间对此也引起争议. 当然，争论的焦点并不是模型的数学分析，而是建立的模型本身. 最近，有很多确定的生物和生物物理证据[9-10]显示，在很多情况下，特别是当捕食者必须寻找食物(因此必须分享或竞争食物)时，一个更合理的捕食者-食饵理论应该建立在所谓的比率依赖理论的基础之上. 比率依赖是指每一个捕食者个体的增长率应该是关于食饵与捕食者数量的比的函数，因此，又称之为捕食者功能性反应. 这些理论为众多的领域和实验及观察结果所支持[9, 11]. 一般地，具比率型的捕食者-食饵模型可取如下形式 ()()()()dx x x x yp dt y dy x cyq r y dt y ??=?????=??? 1 基本模型 Tanner J. T. 提出一类被称为Holling-Tanner 的混合型捕食者-食饵模型[12-13] (1)(1)dx x cxy ax dt K x m dy fy dy dt x ?=????+??=??? 这里，,,,,,a K c m f d 为正常数，其生物意义显然可知. 基本假设是如果食饵密度x 为常数，捕食者的捕获力为x f . 显然，Holling--Tanner 模型中关于捕食者的方程类似于比率依赖型，而关于食饵的方程是典型的 收稿日期：2009-08-17 作者简介：肖氏武(1971— ), 男, 湖北天门人, 襄樊学院数学与计算机科学学院副教授.

食饵—捕食者模型

楚雄师范学院数学系《数学模型》课程 食饵—捕食者模型 3. 讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性，并用matlab 软件画出图形。 自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有相互依存、又有相互制约的生活方式：种群甲靠丰富的天然资源生长，而种群乙靠捕食甲为生，形成鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，落叶松和蚜虫等等都是这种生存方式的典型，生态学称种群甲为食饵，种群乙为捕食者。二者共同组成食饵—捕食者系统。 一食饵—捕食者 选用食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)为研究对象,设)(t x /)(1t x 为食饵(食用鱼)在时刻t 的数量，)(t y /)(2t x 为捕食者(鲨鱼)在时刻t 的数量，1r 为食饵(食用鱼)的相对增长率，2r 为捕食者(鲨鱼)的相对增长率；1N 为大海中能容纳的食饵(食用鱼)的最大容量，2N 为大海中能容纳的捕食者(鲨鱼)的最大容量，1σ为单位数量捕食者（相对于2N ）提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食者(相对于1N )消耗的供养甲实物量的1σ倍；2σ为单位数量食饵（相对于1N ）提供的供养捕食者的实物量为单位数量捕食者(相对于2N )消耗的供养食饵实物量的2σ倍；d 为捕食者离开食饵独立生存时的死亡率 二模型假设 1.假设捕食者（鲨鱼）离开食饵无法生存；

2.假设大海中资源丰富，食饵独立生存时以指数规律增长； 三模型建立 食饵(食用鱼)独立生存时以指数规律增长，且食饵(食用鱼)的相对增长率为 1r ，即rx x ='，而捕食者的存在使食饵的增长率减小，设减小的程度与捕食者数 量成正比，于是)(t x 满足方程 axy rx ay r x t x -=-=')()( (1) 比例系数a 反映捕食者掠取食饵的能力。 由于捕食者离开食饵无法生存，且它独立生存时死亡率为d ，即dy y -='，而食饵的存在为捕食者提供了食物，相当于使捕食者的死亡率降低，且促使其增长。设这种作用与食饵数量成正比，于是)(t y 满足 bxy dy bx d y t y +-=+-=')()( (2) 比例系数b 反映食饵对捕食者的供养能力。 方程(1)、(2)是在自然环境中食饵和捕食者之间依存和制约的关系，这里没有考虑种群自身的阻滞作用，是Volterra 提出的最简单的模型。结果如下。 不考虑自身阻滞作用:数值解 令x(0)=x0,y(0)=0,设r=1,d=0.5,a=0.1,b=0.02,x0=25,y0=2 使用Matlab 求解 求解如下 1）先建立M 文件 function xdot=shier(t,x) r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02; xdot=[(r-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)).*x(2)]; 2)在命令窗口输入如下命令： ts=0:0.1:15; >> x0=[25,2]; >> [t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x],

Lotka – Volterra 捕食者 – 猎物模型模拟

基础生态学实验 Lotka – Volterra 捕食者–猎物模型模拟 姓名王超杰 学号201311202926 实验日期2015年5月14日 同组成员董婉莹马月娇哈斯耶提 沈丹

一、【实验原理】 Lotka-Volterra捕食者-猎物模型是对逻辑斯蒂模型的延伸。它假设：除不是这存在外，猎物生活于理想环境中（其出生率与死亡率与种群密度无关）；捕食者的环境同样是理想的，其种群增长只收到可获得的猎物的数量限制。本实验利用模拟软件模拟Lotka-Volterra捕食者-猎物模型，并以此研究该模型的规律特点。 捕食者—猎物模型简单化假设：①相互关系中仅有一种捕食者和一种猎物。②如果捕食者数量下降到某一阀值以下，猎物数量种数量就上升，而捕食者数量如果增多，猎物种数量就下降，反之，如果猎物数量上升到某一阀值，捕食者数量就增多，而猎物种数量如果很少，捕食者数量就下降。③猎物种群在没有捕食者存在的情况下按指数增长，捕食者种群在没有猎物的条件下就按指数减少。因此有 猎物方程：dN/dt=r1N-C1 PN； 捕食者方程：dP/dt=-r2P+C2PN。 其中N和P分别指猎物和捕食者密度，r1 为猎物种群增长率，-r2为捕食者的死亡率，t为时间，C1为捕食者发现和进攻猎物的效率，即平均每一捕食者捕杀猎物的常数，C2为捕食者利用猎物而转变为更多捕食者的捕食常数。 Lotka-Volterra捕食者-猎物模型揭示了这种捕食关系的两个种群数量动态是此消彼长、 往复振荡的变化规律。 二、【实验目的】 在掌握Lotka-Volterra 捕食者-猎物模型的生态学意义与各参数意义的基础上，通过改变参数值的大小，在计算机模拟捕食者种群与猎物种群数量变化规律，从而加深对该模型的认识。 三、【实验器材】 Windows 操作系统对的计算平台，具有年龄结构的种群增长模型的计算机模拟运行软件Populus。 四、【试验方法与步骤】 题目：探究捕食者存在时，捕食者与猎物数目之间随时间变化的规律 1.模拟建立两个虚拟种群，且物种之间存在捕食关系。初始种群内个体数P0=10；N0=20。 捕食者死亡率d2=0.6；猎物种群增长率r1 =0.9；g=0.5;C=0.1。代时为60 2.改变捕食者死亡率d2，观察实验结果，给出生态学描述及解释。 3.改变猎物种群增长率r2, 观察实验结果，给出生态学描述及解释。 4.改变捕食者发现和进攻猎物的效率C，观察实验结果，给出生态学描述及解释。 五、【实验结果】 1.P0=10；N0=20。d2=0.6；r1 =0.9；g=0.5;C=0.1。代时为60

自身阻滞作用下的食饵—— 捕食者模型

楚雄师范学院数学系《数学模型》课程 教学论文 自身阻滞作用下的食饵—捕食者模型题目： 专业：数学与应用数学 班级：数学系09级01班 学号： 20091021135 学生姓名：韩金伟 完成日期： 2011 年 12 月 楚雄师范学院数学系09级01班韩金伟学号：20091021135

楚雄师范学院数学系09级01班 韩金伟 学号：20091021135 自身阻滞作用下的食饵——捕食者模型 V olterra （Logistic ）考虑自身阻滞作用的食饵——捕食者模型 一、模型要求 讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵——捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性，并用matlab 软件画出图形。 二、问题叙述 针对两种群的生存关系食饵（食用鱼）和捕食者（鲨鱼）的V olterra 模型，我们在实际的生态系统中观察不到V olterra 模型显示的那种周期性震荡，而是趋向于某种平衡状态，即系统存在稳定平衡点。在V olterra 模型中，我们看到他并没有考虑种群的自身阻滞作用对模型的影响。为此，我们现在就在V olterra 模型中加入考虑种群自身阻滞作用Logistic 项重新建立模型对食饵（食用鱼）和捕食者（鲨鱼）的关系加以分析。 三、建立模型 食饵（食用鱼）和捕食者（鲨鱼）在时刻t 的数量分别记作)(),(21t x t x ，因为大海中资源丰富，假设在它们生存的空间里容纳食饵和捕食者的最大容纳量分 别为21N N ，，当食饵独立存在时以指数规律增长，（相对）增长率为1r ，即11x r x = ，而捕食者的存在使食饵的增长率减小，设减小的程度与捕食者的数量成正比，即 22N x ，食饵数量的增长对自身也有一定的阻滞作用，阻滞率为11N x ，于是)(1t x 满足方程 )1(r )(2 211111N x N x x t x σ--= （1） 1σ反映单位数量的乙（相对于甲）捕食单位数量甲（相对于乙）的能力。 捕食者离开食饵无法生存，设它独立存在时死亡率为2r ，即22x r y -= ，而食饵的存在为捕食者提供了食物，相当于使捕食者的死亡率降低，且促使其增长，设这种作用与食饵数量成正比，即 1 1 N x ，而捕食者的增长又对自身产生了阻滞作用，阻滞率为 2 2 N x ，于是)(2t x 满足方程

捕食者_被捕食者模型稳定性分析报告

被捕食者—捕食者模型稳定性分析 【摘要】自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有相互依存、又有相互制约的生活方式：种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫等。本文是基于食饵—捕食者之间的有关规律，建立具有自身阻滞作用的两种群食饵—捕食者模型，分析平衡点的稳定性，进行相轨线分析，并用数值模拟方法验证理论分析的正确性。 【关键词】食饵—捕食者模型相轨线平衡点稳定性

一、问题重述 在自然界中，存在这种食饵—捕食者关系模型的物种很多。下面讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性。 二、问题分析 本文选择渔场中的食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)为研究对象，建立微分方 程，并利用数学软件MATLAB 求出微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察，猜测出它的解析解构造。然后，从理论上研究其平衡点及相轨线的形状，验证前面的猜测。 三、模型假设 1.假设捕食者（鲨鱼）离开食饵无法生存； 2.假设大海中资源丰富，食饵独立生存时以指数规律增长； 四、符号说明 )(t x /)(1t x ——食饵(食用鱼)在时刻t 的数量； )(t y /)(2t x ——捕食者(鲨鱼)在时刻t 的数量； 1r ——食饵(食用鱼)的相对增长率； 2r ——捕食者(鲨鱼)的相对增长率； 1N ——大海中能容纳的食饵(食用鱼)的最大容量；

2N ——大海中能容纳的捕食者(鲨鱼)的罪的容量； 1σ——单位数量捕食者（相对于2N ）提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食者(相对于1N )消耗的供养甲实物量的1σ倍； 2σ——单位数量食饵（相对于1N ）提供的供养捕食者的实物量为单位数量捕食者(相对于2N )消耗的供养食饵实物量的2σ倍； d ——捕食者离开食饵独立生存时的死亡率。 五、模型建立 食饵独立生存时以指数规律增长，且食饵(食用鱼)的相对增长率为1r ，即 rx x ='，而捕食者的存在使食饵的增长率减小，设减小的程度与捕食者数量成正比，于是)(t x 满足方程 axy rx ay r x t x -=-=')()( (1) 比例系数a 反映捕食者掠取食饵的能力。 由于捕食者离开食饵无法生存，且它独立生存时死亡率为d ，即dy y -='，而食饵的存在为捕食者提供了食物，相当于使捕食者的死亡率降低，且促使其增长。设这种作用与食饵数量成正比，于是)(t y 满足 bxy dy bx d y t y +-=+-=')()( (2) 比例系数b 反映食饵对捕食者的供养能力。

Lotka-Volterra捕食者-猎物模型模拟实验报告

Lotka-Volterra捕食者-猎物模型 姓名：吴艳 学号：200911201040 班级：生命科学学院09级一班同组人：张甜田，雷如飞，何毅 日期：2011-5-20

·摘要 Lotka-Volterra捕食者-猎物模型是对逻辑斯蒂模型的延伸。它假设：除不是 这存在外，猎物生活于理想环境中（其出生率与死亡率与种群密度无关）；捕食者的环境同样是理想的，其种群增长只收到可获得的猎物的数量限制。本实验利用模拟软件模拟Lotka-Volterra捕食者-猎物模型，并以此研究该模型的规律特点。 ·实验原理 捕食者—猎物模型简单化假设：①相互关系中仅有一种捕食者和一种猎物。 ②如果捕食者数量下降到某一阀值以下，猎物数量种数量就上升，而捕食者数量如果增多，猎物种数量就下降，反之，如果猎物数量上升到某一阀值，捕食者数量就增多，而猎物种数量如果很少，捕食者数量就下降。③猎物种群在没有捕食者存在的情况下按指数增长，捕食者种群在没有猎物的条件下就按指数减少。 因此有猎物方程：dN/dt=r1N-C1 PN和捕食者方程：dP/dt=-r2P+C2PN。其中N 和P分别指猎物和捕食者密度，r1 为猎物种群增长率，-r2 为捕食者的死亡率，t为时间，C1为捕食者发现和进攻猎物的效率，即平均每一捕食者捕杀猎物的常数，C2为捕食者利用猎物而转变为更多捕食者的捕食常数。 ·实验目的 在掌握Lotka-Volterra捕食者-猎物模型的生态学意义和各参数意义的基础上，通过改变相应参数值的大小，在计算机上模拟捕食者种群与猎物种群的数量变化规律，从而加深对该模型的认识。 ·实验内容 观察记录每组数据下捕食者-猎物模型中两种群的增长情况。 ·实验结果与分析 2组对照组： 时间-猎物种群密度与时间-捕食者种群密度曲线：

数学建模实验三Lorenz模型与食饵模型

数学建模实验三 Lorenz 模型与食饵模型 一、 实验目的 1、 学习用Mathematica 求常微分方程的解析解和数值解，并进行定性分析； 2、 学习用MATLAB 求常微分方程的解析解和数值解，并进行定性分析。 二、 实验材料 2.1问题 图3.3.1是著名的洛仑兹(E.N.Lorenz)混沌吸引子，洛仑兹吸引子已成为混沌理论的徽 标，好比行星轨道图代表着哥白尼、开普勒理论一样。洛仑兹是学数学出身的， 1948年起 在美国麻省理工学院(MIT )作动力气象学博士后工作， 1963年他在《大气科学杂志》上 发表的论文《确定性非周期流》是混沌研究史上光辉的著作。以前科学家们不自觉地认为微 分方程的解只有那么几类：1)发散轨道；2)不动点；3)极限环；4)极限环面。除此以外，大 概没有新的运动类型了， 这是人们的一种主观猜测，谁也没有给出证明。事实上这种想法是 非常错误的。1963年美国麻省理工学院气象科学家洛仑兹给出一个具体模型，就是著名的 Lorenz 模型，清楚地展示了一种新型运动体制：混沌运动，轨道既不收敛到极限环上也不 跑掉。而今Lorenz 模型在科学与工程计算中经常运用的问题。例如，数据加密中。我们能 否绘制出洛仑兹吸引子呢？ 假设狐狸和兔子共同生活在同一个有限区域内， 有足够多的食物供兔子享用， 而狐狸仅 以兔子为食物.X 为兔子数量，y 表狐狸数量。假定在没有狐狸的情况下，兔子增长率为400%。 如果 没有兔子，狐狸将被饿死，死亡率为 90%。狐狸与兔子相互作用的关系是，狐狸的存 在使兔子受到威胁，且狐狸越多兔子增长受到阻碍越大，设增长的减小与狐狸总数成正比， 比例系数 为0.02。而兔子的存在又为狐狸提供食物， 设狐狸在单位时间的死亡率的减少与兔 子的数量成正比，设比例系数为 0.001。建立数学模型，并说明这个简单的生态系统是如何 变化的。 2.2预备知识 1、求解常微分方程的 Euler 折线法 求初值问题 = f (x,y), ? yX) =y 。 (12.1 ) 图3.3.1洛仑兹(E.N.Lorenz)混沌吸引子