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高考专题几何概型

几何概型

[知识梳理]

1．几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个基本特点

3．几何概型的概率公式

P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)

试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

[诊断自测]

1．概念思辨

(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．()

(2)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．()

(3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．()

(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．()

答案(1)√(2)×(3)√(4)√

2．教材衍化

(1)(必修A3P137例2)在区间[10,20]内的所有实数中，随机取一个

实数a ，则这个实数a <13的概率是( )

A.13

B.17

C.310

D.7

10 答案 C

解析因为a ∈[10,13)，所以P (a <13)＝13－1020－10＝3

10.

故选C.

(2)(必修A3P 142A 组T 2)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )

答案 A

解析如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝1

3，所以P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )．故选A.

3．小题热身

(1)(优质试题·承德质检)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )

A.14

B.12

C.34

D.78

答案 C

解析设通电x 秒后第一串彩灯闪亮，y 秒后第二串彩灯闪亮．依题意得0≤x ≤4,0≤y ≤4，其对应区域的面积为S ＝4×4＝16.

又两串彩灯闪亮的时刻相差不超过2秒，即|x －y |≤2，如图，易知阴影区域的面积为S ′＝16－12×2×2－1

2×2×2＝12，

∴P ＝S ′S ＝1216＝3

4.故选C.

(2)(优质试题·贵阳质检)如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．

答案 0.18

解析由题意知，S 阴S 正

＝180

1000＝0.18.

∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.

题型1 与长度(角度)有关的几何概型

典例1

(优质试题·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )

A.13

B.12

C.23

D.3

将时间长度转化为实数的区间长度，代入几何概型概率

公式．

答案 B

解析解法一：7：30的班车小明显然是坐不到的．当小明在7：50之后8：00之前到达，或者8：20之后8：30之前到达时，他等车的时间将不超过10分钟，故所求概率为10＋1040＝1

2.故选B.

解法二：当小明到达车站的时刻超过8：00，但又不到8：20时，等车时间将超过10分钟，7：50～8：30的其他时刻到达车站时，等车时间将不超过10分钟，故等车时间不超过10分钟的概率为1－2040＝1

2.故选B.

典例2

(优质试题·重庆高考)在区间[0,5]上随机地选择一个数

p ，则方程x ＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．

首先由题意列出不等式组求解区间，然后代入几何概型

公式．

答案 2

解析设方程x 2＋2px ＋3p －2＝0的两个根分别为x 1，x 2，由题意得，

????

Δ＝4p 2－4(3p －2)≥0，

x 1＋x 2＝－2p <0，x 1

x 2

＝3p －2>0，

解得2

结合p ∈[0,5]得p ∈? ??

??23，1∪[2,5]，故所求概率为

???1－23＋(5－2)

＝2

[条件探究1] 若将典例2条件“两个负根”变为“无实根”，试求其概率．

解由Δ＝4p 2－4(3p －2)<0，解得1

[条件探究2] 若将典例2条件“两个负根”变为“一正一负两根”，试求其概率．

解欲使该方程有一正一负两根，只需

Δ＝4p 2－4(3p －2)>0，x 1x 2＝3p －2<0，

解得p <2

3，所以有一正一负两根的概率

为p ＝215.

方法技巧

1．与长度有关的几何概型

(1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为

P (A )＝构成事件A 的区域长度

试验的全部结果所构成的区域长度.

(2)与时间、不等式及其解有关的概率问题

与时间、不等式及其解有关的概率问题可依据转化与化归思想将其转化为与长度有关的几何概型，利用几何概型概率公式进行求解．见典例1,2.

2．与角度有关的几何概型

当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．

冲关针对训练

1．(优质试题·江西赣州十四县联考)已知定义在区间[－3,3]上的单调函数f (x )满足：对任意的x ∈[－3,3]，都有f [f (x )－2x ]＝6，则在[－3,3]上随机取一个实数x ，使得f (x )的值不小于4的概率为( )

A.16

B.56

C.13

D.12

答案 C

解析由题意设对任意的x ∈[－3,3]，都有f (x )－2x ＝a ，

其中a 为常数，且a ∈[－3,3]，则f (a )＝6，f (a )－2a ＝a ， ∴6－2a ＝a ，得a ＝2，故f (x )＝2x ＋2，由f (x )≥4得x ≥1，

因此所求概率为3－13＋3

＝1

3.故选C.

2．如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ︵

，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．

答案 13

解析因为在∠DAB 内任作射线AP ，则等可能基本事件为“∠DAB 内作射线AP ”，所以它的所有等可能事件所在的区域H 是∠DAB ，当射线AP 与线段BC 有公共点时，射线AP 落在∠CAB 内，区域H

为∠CAB ，所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率为∠CAB

∠DAB

＝30°90°＝13.

题型2 与面积有关的几何概型

角度1 与随机模拟相关的几何概型

典例 (优质试题·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )

A.4n m

B.2n m

C.4m n

D.2m n 答案 C

解析如图，数对(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )表示的点落在边长为1的正方形OABC 内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内，则由几何概型的概率公式可得m n ＝14π12?π＝4m

n .故选C.

角度2 与线性规划有关的几何概型

典例

(2014·湖北高考)由不等式组????

x ≤0，y ≥0，

y －x －2≤0

确定的平面

区域记为Ω1，不等式组?

????

x ＋y ≤1，

x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1

中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )

A.18

B.14

C.34

D.7

8 答案 D

解析区域Ω1为直角△AOB 及其内部，S △AOB ＝1

2×2×2＝2.区域Ω2是直线x ＋y ＝1和x ＋y ＝－2夹成的条形区域．由题意得所求的概率P ＝S 四边形AODC S △AOB

＝2－1

42＝7

8.故选D.

角度3 与定积分有关的几何概型

典例 (优质试题·福建高考)如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f (x )＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．

答案 5

解析由题图可知S

阴影＝S 矩形

ABCD －??1

2x 2

d x ＝1×4－x 33|2

1＝4－? ????83－13＝5

3，则所求事件的概率P ＝S 阴影S 矩形ABCD

＝534＝512. 方法技巧

1．与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路利用平面几何、解析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率．见角度1典例．

2．与线性规划交汇问题的解题思路

先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率．见角度2典例．

3．与定积分交汇问题的解题思路

先确定基本事件对应区域的形状构成，再将其面积转化为某定积

分的计算，并求其大小，进而代入公式求概率．见角度3典例．

冲关针对训练

1．在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2＋y 2

b 2

＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于3

2的椭圆的概率为( )

A.12

B.1532

C.1732

D.3132 答案 B

解析 ∵x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于3

2的椭圆，∴a >b >0，a <2b ，它对应的平面区域如图中阴影部分所示，则方程x 2

a 2＋y 2

b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于3

2的椭圆的概率为P ＝S 阴影S 矩形＝1－12×(1＋3)×2＋12×12×12×4

＝1532，故选

2．欧阳修的《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3 cm 的圆，中间有边长为1 cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，则正好落入孔中的概率是________．

答案 4

9π

解析由题意易得P ＝12π·? ????322＝4

9π.

题型3 与体积有关的几何概型

典例1

(优质试题·兰州名校检测)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )

A.4π81

B.81－4π81

C.127

D.827 答案 C

解析由已知条件，蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P ＝1333＝1

27.故选C.

典例2

已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为4，高为3，则在

正三棱锥内任取一点P ，则点P 满足V 三棱锥P －ABC <1

2V 三棱锥S －ABC 的概率是________．

答案 78

解析设三棱锥P －ABC 的高为h .由V 三棱锥P －ABC <1

2V 三棱锥S －ABC ，得13S △ABC ·h <12·13S △ABC ·3，解得h <32，即点P 在三棱锥的中截面以下的空间．∴点P 满足V 三棱锥

P －ABC

<12V

三棱锥S －ABC

的概率是P ＝1－

13·14S △ABC ·321

3S △ABC ·

3＝7

8. 方法技巧

与体积有关的几何概型问题

如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用空间几何体的体积表示，则其概率的计算公式为：

P (A )＝构成事件A 的区域体积

试验的全部结果所构成的区域体积

. 求解的关键是计算事件的总体积以及事件A 的体积．

冲关针对训练

1．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )

A.π12 B ．1－π12 C.π6 D ．1－π6

答案 B

解析正方体的体积为：2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：12×43πr 3＝12×43π×13

＝23π，则点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－23π8＝1－π

12.故选B.

2．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M －ABCD 的体积小于1

6的概率为________．

答案 12

解析过M 作平面RS ∥平面AC ，则两平面间的距离是四棱锥M －ABCD 的高，显然M 在平面RS 上任意位置时，四棱锥M －ABCD 的体积都相等．若此时四棱锥M －ABCD 的体积等于16.只要M 在截面以下即可小于16，当V M －ABCD ＝16时，即13×1×1×h ＝16，解得h ＝12，即点M 到底面ABCD 的距离，所以所求概率P ＝1×1×12

1×1×1

＝1

1．(优质试题·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )

A.14

B.π8

C.12

D.π

4 答案 B

解析不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，S 正方形＝4.

由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π

2，所以由几何概型知所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π

24＝π8.故