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2002年全国数学竞赛试题

2002年全国数学竞赛试题
2002年全国数学竞赛试题

2002年全国初中数学竞赛试题

(2002年4月7日上午 9:30——11:30)

一、选择题(每小题5分,共30分)

1、设a <b <0,a 2+b 2=4ab ,则

b

a b

a -+的值为 A 、3 B 、6 C 、2 D 、3 2、已知a =1999x +2000,

b =1999x +2001,

c =1999x +2002,则多项式a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca 的值为

A 、0

B 、1

C 、2

D 、3 3、如图,点

E 、

F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点,连AF 、CE 交于点

G ,则

ABCD

AGCD S S 矩形四边形等于

A 、6

5 B 、5

4 C 、4

3 D 、3

2 4、设a 、b 、c 为实数,x =a 2-2b +

3

π

,y =b 2-2c +

3

π

,z =c 2-2a +

3

π

,则x 、y 、

z 中至少有一个值

A 、大于0

B 、等于0

C 、不大于0

D 、小于0

5、设关于x 的方程ax 2+(a +2)x +9a =0,有两个不等的实数根x 1、x 2,且x 1<1<x 2,那么a 的取值范围是

A 、72-<a <52

B 、a >52

C 、a <72-

D 、11

2

-<a <0 6、A 1A 2A 3…A 9是一个正九边形,A 1A 2=a ,A 1A 3=b ,则A 1A 5等于

A 、22b a +

B 、22b ab a ++

C 、

()b a +2

1

D 、a +b 二、填空题(每小题5分,共30分)

7、设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2+ax +a =2的两个实数根, 则(x 1-2x 2)(x 2-2x 1)的最大值为 。

A

B

C D

F G

8、已知a 、b 为抛物线y =(x -c )(x -c -d )-2与x 轴交点的横坐标,

a <

b ,则b

c c a -+-的值为 。

9、如图,在△ABC 中,∠ABC =600,点P 是△ABC 内的一点, 使得∠APB =∠BPC =∠CPA ,且PA =8,PC =6,则PB = 。

10、如图,大圆O 的直径AB =acm ,分别以OA 、OA 为直径作 ⊙O 1、⊙O 2,并在⊙O 与⊙O 1和⊙O 2的空隙间作两个等圆⊙O 3和⊙O 4, 这些圆互相内切或外切,则四边形O 1O 2O 3O 4的面积为 cm 2。

11、满足(n 2-n -1)n +2=1的整数n 有 个。

12、某商品的标价比成本高p %,当该商品降价出售时,为了不亏本,售价的折扣(即降价的百分数)不得超过d %,则d 可以用p 表示为 。 三、解答题(每小题20分,共60分)

13、某项工程,如果由甲、乙两队承包,5

2

2天完成,需付180000元;由乙、丙两队

承包,433天完成,需付150000元;由甲、丙两队承包,7

6

2天完成,需付160000元。现

在工程由一个队单独承包,在保证一周完成的前提下,哪个队的承包费用最少?

14、如图,圆内接六边形ABCDEF 满足AB =CD =EF ,且对角线AD 、BE 、CF 交于一点Q ,设AD 与CE 的交点为P 。

A

B

C

P

A B

(1) 求证:EC AC ED QD =(2)求证:22

CE

AC PE CP =

15、如果对一切x 的整数值,x 的二次三项式ax 2+bx +c 的值都是平方数(即整数的平方)。

证明:(1)2a 、2b 、c 都是整数;

(2)a 、b 、c 都是整数,并且c 是平方数;反过来,如果(2)成立,是否对一切的x 的整数值,x 的二次三项式ax 2+bx +c 的值都是平方数?

A

B

C

D E

F

P

Q

2018全国初中数学竞赛试题及参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题 答题时注意: 1.用圆珠笔或钢笔作答; 2.解答书写时不要超过装订线; 3.草稿纸不上交. 一、选择题<共5小题,每小题7分,共35分. 每道小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分) 1.设1a ,则代数式32312612a a a +--的值为( >. .,0y >,且满足3y y x xy x x y ==,,则x y +的值为( >. .

2018年广东省初中数学竞赛初赛试卷(含答案)

2018年广东省初中数学竞赛初赛试卷 说明:考试时间:60分钟。总分120分。每小题4分。在每小题给出的四个选项中,只有 1.直角坐标平面上将二次函数y=-2(x -1)2 -2的图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位,则其顶点为( )。 A. (0,0) B. (1,-2) C. (0,-1) D.(-2,1) 2.下列的计算正确的是( ). A .(ab 4)4=ab 8; B.(-3pq)2 =-6p 2 q 2 C. x 2 - 21x +41=( x -2 1)2;D.3(a 2)3-6a 6=-3a 6 3.如图1.以直角三角形ABC 三边为直径的半圆面积分别是S 1、S 2、S 3,直角三角形ABC 面积是S ,则它们之间的关系为( ). A. S= S 1+S 2+S 3 B. S 1= S 2+S 3 C. S= S 1+S 2 C. S= S 1 4. 一辆公共汽车从车站开出,加出速行驶一段时间后匀速行驶,过了一段时间,汽车到达下一个车站.乘客上下车后汽车开始加速,一段时间后又开始匀速行驶,下面可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是( ). (A) 时间 速度 (B) 时间 速度

(C) 时间 速度0 (D) 时间 速度 5.如图所示,在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形(a >b ),再把剩余的部分剪拼成一个矩形,通过计算图形(阴影部分 的面积,验证了一个等式是( ). A. a 2 -b 2 =(a+b )(a-b ) B. (a+b )2 = a 2 +2ab+ b 2 C. (a-b )2 = a 2 -2ab+ b 2 D.(a+2b )(a-b )= a 2+ab-2b 2 6.在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干,要搬运这些箱子很困难,可是仓库管理员要落实一下箱子的数量,于是就想出一个办法:将这堆货物的三种视图画了出来,如图.你能根据三视图,帮他清点一下箱子的数量吗?这些正方体箱的个数是( ). A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 主视图 左视图 俯视图 7.在Rt △ABC 中,∠C=90°,则下列式子中不一定成立的是( ). A.sinA=sinB B. cosA=cosB C.sinA=cosB D. sin(A+B)=sinC 8.体育课上全班女生进行了百米测验,达标成绩为18秒,下面是第一小组8名女生的成绩记录,其中正号表示成绩大于18秒,负号成表示绩小于18秒,则这组女生的达标率是( ). A. 41 B.2 C.4 D.8 9.函数y=kx 和y=x k (k ﹤0)在同一坐标系中的图象是( ).

2012年全国高中数学联赛模拟试题二

2012年全国高中数学联赛模拟试题二 一、选择题:每题6分,满分36分 1、数列10021,,,x x x 满足如下条件:对于k x k ,100,2,1 =比其余99个数的和小k ,已知 n m x = 50,m ,n 是互质的正整数,则m+n 等于( ) A 50 B 100 C 165 D 173 2、若2 6cos cos ,22sin sin = +=+y x y x ,则)sin(y x +等于( ) A 2 2 B 2 3 C 2 6 D 1 3、P 为椭圆 19 162 2 =+y x 在第一象限上的动点,过点P 引圆92 2 =+y x 的两条切线PA 、PB ,切点分 别为A 、B ,直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ,则MON S ?的最小值为( ) A 2 9 B 32 9 C 4 27 D 34 27 4.函数2 0.3()log (2)f x x x =+-的单调递增区间是( ) . (A) (,2)-∞- (B) (,1)-∞ (C) (-2,1) (D) (1,) +∞ 5.已知,x y 均为正实数,则22x y x y x y + ++的最大值为( ) . (A) 2 (B) 23 (C) 4 (D) 43 6.直线y=5与1y =-在区间40, πω????? ? 上截曲线 sin (0, 0)2y m x n m n ω =+>>所得的弦长相等且不为零,则下列描述正确的是( ) . (A )35,n= 2 2 m ≤ (B )3,2m n ≤= (C )35,n=2 2 m > (D )3,2m n >= 二、填空题:每小题9分,满分54分 7、函数)(x f 满足:对任意实数x,y ,都有 23 ) ()()(++=-y x xy f y f x f ,则=)36(f . 8、正四面体ABCD 的体积为1,O 为为其中心. 正四面体D C B A ''''与正四面体ABCD 关于点O 对 称,则这两个正四面体的公共部分的体积为 . 9、在双曲线xy =1上,横坐标为 1 +n n 的点为n A ,横坐标为 n n 1+的点为)(+∈N n B n .记坐标为 (1,1)的点为M ,),(n n n y x P 是三角形M B A n n 的外心,则=+++10021x x x . 10.已知sin(sin )cos(cos )x x x x +=-,[]0,,x π∈ 则=x . 11.设,A B 为抛物线2 2(0)y px p =>上相异两点,则2 2 O A O B AB +- 的最小值为 ___________________. 12.已知A B C ?中,G 是重心,三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且

全国初中数学竞赛试题及解答

A B C D 全国初中数学竞赛试卷及解析 一、选择题(本题共6小题,每小题5分,满分30分.每小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个结论,其中只有一个是正确的。请将正确答案的代号填在题后的括号里) 1、设a ,b ,c 的平均数为M ,a ,b 的平均数为N ,N ,c 的平均数为P ,若c b a ,则M 与P 的大小关系是( ) A 、P M B 、P M C 、P M D 、不确定 答案:B 解析:∵3c b a M ,2b a N ,222c b a c N P ,12 2c b a P M ∵ c b a ∴012 2122 c c c c b a P M ,即0 P M ,即P M 2、某人骑车沿直线旅行,先前进了a 千米,休息了一段时间,又原路返回b 千米(a b ),再前进c 千米,则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是( ) 答案:C 解析:因为图(A )中没有反映休息所消耗的时间;图(B )虽表明折返后S 的变化,但没有表示消耗的时间;图(D )中没有反映沿原始返回的一段路程,唯图(C )正确地表述了题意。 3、甲是乙现在的年龄时,乙10岁;乙是甲现在的年龄时,甲25岁,那么( ) A 、甲比乙大5岁 B 、甲比乙大10岁 C 、乙比甲大10岁 D 、乙比甲大5岁 答案:A 解析:由题意知3×(甲-乙)151025 ∴甲-乙=5。 4、一个一次函数图象与直线4 95 45 x y 平行,与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ,并且过点(-1,-25),则在线段AB 上(包括端点A 、B ),横、纵坐标都是整数的点有( ) A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、7个 答案:B 解析:在直线AB 上,横、纵坐标都是整数的点的坐标是N x 41 ,N y 525 ,(N 是整数).在线段AB 上这样的点应满足041 N ,且0525 N ,∴54 1 N ,即1 N ,2,3,4,5 5、设a ,b ,c 分别是ABC 的三边的长,且 c b a b a b a ,则它的内角A 、B 的关系是

2014年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)

2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案 第一试 一、选择题: 1.已知x ,y 为整数,且满足(1x +1y ) (1x 2+1y 2)=-23(1x 4-1y 4),则x +y 的可能的值有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.已知非负实数x ,y ,z 满足x +y +z =1,则t =2xy +yz +2xz 的最大值为( ) A .47 B .59 C .916 D .1225 3.在△ABC 中,AB =AC ,D 为BC 的中点,BE ⊥AC 于E ,交AD 于P ,已知BP =3,PE =1,则AE =( ) A .62 B .2 C .3 D .6 4.6张不同的卡片上分别写有数字2,2,4,4,6,6,从中取出3张,则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是( ) A .12 B .25 C .23 D .34 5.设[t ]表示不超过实数t 的最大整数,令{t }=t -[t ].已知实数x 满足x 3+1x 3=18,则 {x }+{1x }=( ) A .12 B .3-5 C .12 (3-5) D .1 6.在△ABC 中,∠C =90°,∠A =60°,AC =1,D 在BC 上,E 在AB 上,使得△ADE 为等腰直角三角形, ∠ADE =90° ,则BE 的长为( ) A .4-23 B .2-3 C .12 (3-1) D .3-1 二、填空题: 1.已知实数a ,b ,c 满足a +b +c =1, 1 a +b -c + 1 a +c -b + 1 b +c -a =1,则abc =__ 2.使得不等式917<n n +k <815 对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为________. 3.已知P 为等腰△ABC 内一点,AB =BC ,∠BPC =108°,D 为AC 的中点,BD 与PC 交于点E ,如果点P 为△ABE 的内心,则∠P AC =________.

(完整word版)No.31全国高中数学联合竞赛模拟试题.doc

No.31 高中数学联赛模拟试卷 1、已知0 a b, x a b b, y b b a,则 x, y 的大小关系是. 2、设a b c , n N ,且 1 1 c n 恒成立,则 n 的最大值为 a b b a c 3、对于m 1 的一切实数 m ,使不等式 2 x 1 m(x2 1) 都成立的实数x 的取值范围是 4 、已知 f x log sin x, 0, ,设 a f sin cos , b f sin cos , 2 2 c f sin 2 ,那么 a、b、 c的大小关系是 cos sin 5、不等式4x 2 2 3 x 2000 . 的解集是 1999 6、函数f x x 2 2x 2 2 x 1 的最小值为 2x 7、若a,b,n R ,且a b n ,则 1 1 1 1 的最小值是. a b 8、若3x2 xy 3y 2 20 ,则 8x 2 23y 2的最大值是. 9、设n N ,求 | n 1949 | | n 1950 | | n 2001 |的最小值. 1 1 L 1 10、求s 1 ,则 s 的整数部分 2 3 106 11、圆周上写着红蓝两色的数。已知,每个红色数等于两侧相邻数之和,每个蓝色数等于两侧相邻数之和的一半。证明,所有红色数之和等于0。(俄罗斯) 12、设a, b, c R ,求证:a2 b2 c2 a b c . b c c a a b 2 (第二届“友谊杯”国际数学竞赛题)

乌鲁木齐市高级中学数学竞赛培训题 2 参考答案 1、解法 1 x a b b a , y b b a a . a b b b b a 0 a b, a b b b b a, x y . 解法 2 x a b b b b a x y b b a a b , a b b a, 1, x y . b y 解法 3 1 1 1 1 a b b b b a x y a b b b b a a a a b b a 1 1 0, x y . = a 0, x y 解法 4 原问题等价于比较 a b b a 与 2 b 的大小 . 由 x 2 y 2 ( x y) 2 , 得 2 ( a b b a )2 2(a b b a) 4b , a b b a 2 b . a b b a , a b b a 2 b , x y . 解法 5 如图 1,在函数 y x 的图象上取三个不同的 y C 点 A ( b a , b a )、B ( b , b )、C ( a b , a b ). B 由图象,显然有 k BC k AB ,即 a b b b b a , A (a b) b b (b a) 即 a b b b b a ,亦即 x y . O b-a b b+a x a 图 1 解法 6 令 f (t) a t t , f (t ) 单 a t t 调递减,而 b b a , f (b) f (b a) ,即 a b b b b a , x y . 2、解法 1 原式 a c a c n . n a c a c .而 a c a c a b b c a b b c min a b b c a b b c b c a b 2 + b c a b 4 ,且当 b c a b ,即 a c 2b a b b c a b b c a b b c 时取等号. a c a c 4 . n 4.故选 C . a b b c min

全国初中数学竞赛试题及答案79416

中国教育学会中学数学教学专业委员会 全国初中数学竞赛试题 一、选择题(共5小题,每小题6分,共30分.) 1(甲).如果实数a,b,c在数轴上的位置如图所示,那 22 ||()|| a a b c a b c ++-++可以化简为(). (A)2c a-(B)22 a b -(C)a-(D)a 1(乙).如果22 a=- 1 1 1 2 3a + + + 的值为(). (A)2 -(B)2(C)2 (D) 22 2(甲).如果正比例函数y = ax(a ≠ 0)与反比例函数 y = x b(b ≠0 )的图象有两个交点,其中一个交点的坐标为(-3,-2),那么另一个交点的坐标为(). (A)(2,3)(B)(3,-2)(C)(-2,3) (D)(3,2) 2(乙).在平面直角坐标系xOy中,满足不等式x2+y2≤2x +2y的整数点坐标(x,y)的个数为(). (A)10 (B)9 (C)7 (D)5 3(甲).如果a b,为给定的实数,且1a b <<,那么

1121 a a b a b ++++,, ,这四个数据的平均数与中位数之差的 绝对值是( ). (A )1 (B ) 214a - (C )12 (D )1 4 3(乙).如图,四边形ABCD 中,AC ,BD 是对角线, △ABC 是等边三角形.30ADC ∠=?,AD = 3,BD = 5, 则CD 的长为( ). (A )23 (B )4 (C )52 (D )4.5 4(甲).小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说:“你若给我2元,我的钱数将是你的n 倍”;小玲对小倩说:“你若给我n 元,我的钱数将是你的2倍”,其中n 为正整数,则n 的可能值的个数是( ). (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 4(乙).如果关于x 的方程 2 0x px q p q --=(,是正整数)的正根小于3, 那么这样的方程的 个数是( ). (A ) 5 (B ) 6 (C ) 7 (D ) 8 5(甲).一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6.掷两次骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3的概率为0123p p p p ,,,,则 0123p p p p ,,,中最大的是( ). (A )0p (B )1p (C )2p (D )3p 5(乙).黑板上写有1 11123100 , , ,, 共100个数字.每次操作先从黑板上的数中选取2个数 a b ,,然后删去a b ,,并在黑板上写上数a b ab ++,则经过99次操作后,黑板上剩下的数 是( ). (A )2012 (B )101 (C )100 (D )99 二、填空题(共5小题,每小题6分,共30分) 6(甲).按如图的程序进行操作,规定:程序运行 从“输入一个值x ”到“结果是否>487?”为一次

2018全国高中数学联赛试题

2018年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷) 一、填空题:本大题共 8小题,每小题 8分,共64分. 1.设集合{1,2,3,,99}A = ,{2}B x x A =∈,{2}B x x A =∈,则B C 的元素个数 . 解析:因为{1,2,3,,99}A = ,所以{2,4,6,,198}B = ,{1,2,3,,49}C = ,于是 {2,4,6,,48}B C = ,共24个元素. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上,使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60 ,则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 解析:过点P 作平面α的垂线,这垂足为O ,则点Q 的轨迹是以O 为圆心,分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-= 9 8πππ-=. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行,记为,,,,,a b c d e f ,则abc def +是偶数的概率为 . 解析:(直接法)将1,2,3,4,5,6随机排成一行,共有6 6720A =种不同的排法,要使 abc def +为偶数,abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数. (1)若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形; (2)若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形; 共有648种情形.综上所述,abc def +是偶数的概率为 6489 72010 =. (间接法)“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”, abc def +是偶数分成两种情况:“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”,每 P O M N α

高中数学竞赛模拟试题一汇总

高中数学竞赛模拟试题一 一 试 (考试时间:80分钟 满分100分) 一、填空题(共8小题,5678=?分) 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是 。 2、设()f n 为正整数n (十进制)的各数位上的数字的平方之和,比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =, 1()(()) k k f n f f n +=, 1,2,3... k =,则 =)2010(2010f 。 3、如图,正方体1 111D C B A ABCD -中,二面角 1 1A BD A --的度数 是 。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数,能构成递增等差数列的概率是 。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+,则c a b +的最大值是 。 6、在平面直角坐标系xoy 中,给定两点(1,2)M -和(1,4)N ,点P 在X 轴上移动,当MPN ∠取最大值时,点P 的横坐标是 。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ,则∑=n i i a 01 的值是 。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最 小值为 。

二、解答题(共3题,分44151514=++) 9、设数列}{n a 满足条件:2,121==a a ,且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证:对于任何正整数n ,都有:n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:,0>x ,m 为正常数.直线l 与曲线M 的实轴不垂直,且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点,O 为坐标原点。 (1)若||||||CD BC AB ==,求证:AOD ?的面积为定值; (2)若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1,求证:||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根,函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. (Ⅰ)求);(min )(max )(x f x f t g -= (Ⅱ)证明:对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ,若1sin sin sin 321=++u u u ,则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二 试 (考试时间:150分钟 总分:200分) 一、(本题50分)如图, 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相 切,,,,E F G H 为切点,并且EG 、FH 的 延长线交于P 点。 求证:直线PA 与BC 垂直。 二、(本题50分)正实数z y x ,,,满 足 1≥xyz 。证明: E F A B C G H P O 1。 。 O 2

2018年全国初中数学竞赛试题及解答

2018年全国初中数学竞赛试题及解答 一、选择题(只有一个结论正确) 1、设a,b,c 的平均数为M ,a,b 的平均数为N ,N ,c 的平均数为P ,若a>b>c ,则M 与P 的大小关系是( ) (A )M =P ;(B )M >P ;(C )M <P ;(D )不确定。 2、某人骑车沿直线旅行,先前进了a 千米,休息了一段时间,又原路返回b 千米(ba 1,b>b 1, c>c 1,,则S 与S 1的大小关系一定是( )。 (A )S >S 1;(B )S <S 1;(C )S =S 1;(D )不确定。 二、填空题 7、已知: a 23 331a a a ++=________。 8、如图,在梯形ABCD 中,AB∥DC,AB =8,BC = ∠BCD=45°,∠BAD=120°,则梯形ABCD 的面积等于________。 9、已知关于的方程 (a-1)x 2 +2x-a-1=0的根都是整数,那么符合条件的整数有_______个。 10、如图,工地上竖立着两根电线杆AB 、CD ,它们相距15米,分别自两杆上高出地面4米、6米的A 、C 处,向两侧地面上的E 、D ;B 、F 点处,用钢丝绳拉紧,以固定电线杆。那么钢丝绳AD 与BC 的交点P 离地面的高度为________米。

初中数学竞赛预赛试题及答案

20XX 年全国初中数学竞赛预赛 试题及参考答案 (竞赛时间:20XX 年3月2日上午9:00--11:00) 一、选择题(共6小题,每小题6分,共36分) 以下每小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分) 1.若a 是最大的负整数,b 是绝对值最小的有理数,c 是倒数等于它本身的自然数,则201520132014c b a ++的值为【 】 (A )2013 (B )2014 (C )2015 (D )0 【答】D . 解:最大的负整数是-1,∴a =-1; 绝对值最小的有理数是0,∴b =0; 倒数等于它本身的自然数是1,∴c =1. ∴201520132014c b a ++= 20152013 1020141+?+-)(=0. 2. 已知实数z y x ,,满足542 2.x y z x y z ++=??+-=?, 则代数式144+-z x 的值是【 】 (A )3- (B )3 (C ) 7- (D )7 【答】A . 解:两式相减得3-3-3441 3.x z x z =-+=-,则 3.如图,将表面展开图(图1)还原为正方体,按图2所示摆放,那么,图1 中的线段MN 在图2中的对应线段是【 】 (A )a (B )b (C )c (D )d 图2 图1 d c b a N M 【答】C . 解:将图1中的平面图折成正方体,MN 和线段c 重合.不妨设图1中完整的正方形为完整面,△AMN 和△ABM 所在的面为组合面,则△AMN 和△ABM 所在的面为两个相邻的组合面,比较图 N M B A B A 图2 图1 d c b a N M (第3题图)

最新全国初中数学竞赛试题及答案

全国初中数学竞赛试 题及答案

仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢3 1997年全国初中数学联赛试题 第一试 一.选择题 本题共有6小题,每一个小题都给出了以(A), (B), (C), (D)为代号的四个答案,其中只有一个答案是正确的.请将正确的答案用代号填在各小题的括号内. 1.下述四个命题 (1)一个数的倒数等于自身,那么这个数是1; (2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形; (3)2a 的平方根是a ±; (4)大于直角的角一定是钝角. (A)1个 (B)2个; (C)3个; (D)4个. 答( ) 2.已知354 234 -<<+x ,那么满足上述不等式的整数x 的个数是 答( ) (A)4; (B)5; (C)6; (D)7. 答( ) 3.若实数c b a ,,满足9222=++c b a ,代数式222)()()(a c c b b a -+-+-的最大值是 (A)27 (B)18; (C)15; (D)12. 答( )

仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢3 4.给定平面上n 个点,已知1,2,4,8,16,32都是其中两点之间的距离,那么点数n 的最小可能值是 (A)4; (B)5; (C)6; (D)7. 答( ) 5.在梯形ABCD 中,DC AD =,030=∠B ,060=∠C ,E,M,F,N 分别为 AB,BC,CD,DA 的中点,已知BC =7,MN =3,则EF 之值为 (A)4 (B)2 14 (C)5; (D)6. 答( ) 6.如图,已知B A ∠=∠,1AA ,1PP ,1BB 均垂直于 11B A ,171=AA ,161=PP ,201=BB ,1211=B A ,则AP+PB 等于 (A )12; (B )13; (C )14; (D )15. 答( ) 二、填空题 1.从等边三角形内一点向三边作垂线,已积压这三条垂线的长分别为1,3,5,则这个等边三角形的面积是 . 2.当a 取遍0到5的所有实数值时,满足)83(3-=a a b 的整数b 的个数是 .

2017年全国数学竞赛真题AB卷

2017年全国高中数学联赛A 卷 一试 一、填空题 1.设)(x f 是定义在R 上的函数,对任意实数 x 有1)4()3(x f x f .又当70x 时,)9 (log )(2x x f ,则)100(f 的值为__________. 2.若实数y x,满足 1cos 22y x ,则y x cos 的取值范围是__________. 3.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的方程为1109:2 2y x ,F 为C 的上焦点,A 为C 的 右顶点,P 是C 上位于第一象限内的动点, 则四边形OAPF 的面积的最大值为__________. 4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过 1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5.正三棱锥ABC P 中,1AB ,2AP ,过AB 的平面将其体积平分,则棱PC 与平面所成角的余弦值为__________. 6.在平面直角坐标系xOy 中,点集1,0,1,),(y x y x K .在K 中随机取出三个点,则这三点中存在两点之间距离为 5的概率为__________. 7.在ABC 中,M 是边BC 的中点,N 是线段BM 的中点.若3A ,ABC 的面积为3,则AN AM 的最小值为__________. 8.设两个严格递增的正整数数列n n b a ,满足:20171010b a ,对任意正整数n ,有n n n a a a 12,n n b b 21,则11b a 的所有可能值为__________. 二、解答题 9.设m k,为实数,不等式12m kx x 对所有b a x ,成立.证明:22a b . 10.设321,,x x x 是非负实数,满足1321x x x ,求)53)(53(3 21321x x x x x x 的最 小值和最大值.

2018年全国初中数学竞赛(初一组)初赛试题参考答案

第1页(共1页)一、1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.D 二、7.-18.30°9.3或-110.221 三、11.(1)19×11=12×?è??19-111;………………………………………………………………………………5分(2)1()2n -1()2n +1;12×?è?? 12n -1-12n +1;…………………………………………………………………………………………………………10分 (3)a 1+a 2+a 3+…+a 100=12×?è??1-13+12×?è??13-15+12×?è??15-17+12×?è??17-19+?+12×?è?? 1199-1201=12×?è?? 1-13+13-15+15-17+17-19+?+1199-1201……………………………………………15分=12×?è??1-1201=12×200201=100201.…………………………………………………………………………………………………20分四、12.(1)130°.…………………………………………………………………………………………………5分 (2)∠APC =∠α+∠β. 理由:过点P 作PE ∥AB ,交AC 于点E .……………………………………………………………10分因为AB ∥CD , 所以AB ∥PE ∥CD . 所以∠α=∠APE , ∠β=∠CPE .所以∠APC =∠APE +∠CPE =∠α+∠β.…………………………………………………………15分 (3)当点P 在BD 延长线上时, ∠APC =∠α-∠β;……………………………………………………20分当点P 在DB 延长线上时, ∠APC =∠β-∠α.……………………………………………………25分五、13.(1)根据题意,得t =?è??120-12050×550+5×2+12050≈6.3()h .答:三人都到达B 地所需时间约为6.3h.………………………………………………………………5分 (2)有,设甲从A 地出发将乙载到点D 行驶x 千米,放下乙后骑摩托车返回,此时丙已经从A 地出发步行至点E ,继续前行后与甲在点F 处相遇,甲骑摩托车带丙径直驶向B,恰好与乙同时到达. …………………………………………………………………………………………………………10分 根据题意,得2?x -x 50?550+5+120-x 50=120-x 5.…………………………………………………………15分解得x ≈101.5.…………………………………………………………………………………………20分则所用总时间为t =101.550+120-101.55≈5.7()h .答:有,方案如下:甲从A 地出发载乙,同时丙步行前往B 地,甲载乙行驶101.5千米后放下乙,乙步行前往B 地,并甲骑摩托车返回,与一直步行的丙相遇.随后甲骑摩托车载丙径直驶向B 地,恰好与步行的乙同时到达,所需时间为5.7h.………………………………………………………………………25分

2018年全国初中数学竞赛试题及答案

1 2018年全国初中数学竞赛试题及答案 考试时间:2018年4月1日上午9:30—11:30 一、选择题:(共5小题,每小题6分,满分30分.以下每小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后括号里.不填、多填或错填都得0分) 1.方程组?????=+=+6 12y x y x 的实数解的个数为( ) (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 解:选(A )。当x ≥0时,则有y -|y|=6,无解;当x<0时,则y +|y|=18,解得:y=9,此时x=-3. 2.口袋中有20个球,其中白球9个,红球5个,黑球6个.现从中任取10个球,使得白球不少于2个但不多于8个,红球不少于2个,黑球不多于3个,那么上述取法的种数是( ) (A )14 (B )16 (C )18 (D )20 解:选(B )。只用考虑红球与黑球各有4种选择:红球(2,3,4,5),黑球(0,1,2,3)共4×4=16种 3.已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数,且三个关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax , 02 =++a cx bx ,02 =++b ax cx 恰有一个公共实数根,则 ab c ca b bc a 2 22++的值为( ) (A )0 (B )1 (C )2 (D )3 解:选(D )。设这三条方程唯一公共实数根为t ,则20a t b t c ++ =,20bt ct a ++=,2 0ct at b ++= 三式相加得:2 ()(1)0a b c t t ++++=,因为210t t ++≠,所以有a+b+c=0,从而有333 3a b c abc ++=, 所以 ab c ca b bc a 222++=333 a b c abc ++=33abc abc = 4.已知△ABC 为锐角三角形,⊙O 经过点B ,C ,且与边AB ,AC 分别相 交于点D ,E .若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等,则⊙O 一定经 过△ABC 的( ) (A )内心 (B )外心 (C )重心 (D )垂心 解:选(B )。如图△ADE 外接圆的圆心为点F ,由题意知:⊙O 与⊙F 且弧DmE =弧DnE ,所以∠EAB =∠ABE ,∠DAC =∠ACD , 即△ABE 与△ACD 都是等腰三角形。分别过点E ,F 作AB ,AC 相交于点H ,则点H 是△ABC 的外心。又因为∠KHD =∠ACD , 所以∠DHE+∠ACD =∠DHE+∠KHD =180°,即点H ,D ,C ,E 在同一个圆上, 也即点H 在⊙O 上,因而⊙O 经过△ABC 的外心。 5.方程2563 2 3 +-=++y y x x x 的整数解x (,)y 的个数是( ) (A )0 (B )1 (C )3 (D )无穷多 解:选(A )。原方程可变形为:x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2,左边是6的倍数,而右边不是6的倍数。

2019初中数学竞赛初赛试题

2019初中数学竞赛初赛试题 A级基础题 1.(2013年北京)在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球,把 它们分别标号为1,2,3,4,5,从中随机摸出1个小球,其标号大于2的概率为( ) A.15 B.25 C.35 D.45 2.(2013年上海)将“定理”的英文单词theorem中的7个字母分别写 在7张相同的卡片上,字面朝下随意放在桌子上,任取1张,那么取 到字母e的概率为____________. 3.(2013年湖北宜昌)2012~2013NBA整个常规赛季中,科比罚球投篮 的命中率大约是83.3%,下列说法错误的是( ) A.科比罚球投篮2次,一定全部命中 B.科比罚球投篮2次,不一定全 部命中 C.科比罚球投篮1次,命中的可能性较大 D.科比罚球投篮1次,不命 中的可能性较小 4.(2013年福建福州)袋中有红球4个,白球若干个,它们只有颜色上 的区别.从袋中随机地取出1个球,如果取到白球的可能性较大,那么 袋中白球的个数可能是( ) A.3个 B.不足3个 C.4个 D.5个或5个以上 5.(2013年海南益阳)有三张大小、形状及背面完全相同的卡片,卡片 正面分别画有正三角形、正方形、圆,从这三张卡片中任意抽取一张,卡片正面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是________. 6.在一个不透明的盒子中,共有“一白三黑”四个围棋子,它们除了 颜色之外没有其他区别.

(1)随机地从盒中提出一子,则提出白子的概率是多少? (2)随机地从盒中提出一子,不放回再提第二子.请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果,并求恰好提出“一黑一白”子的概率. B级中等题 7.(2013年重庆)从3,0,-1,-2,-3这五个数中,随机抽取一个数,作为函数y=(5-m2)x和关于x的方程(m+1)x2+mx+1=0中m的值,恰好使所得函数的图象经过第一、三象限,且方程有实数根的概率为 ________. 8.(2013年湖北襄阳)襄阳市辖区内旅游景点较多,李老师和刚初中毕业的儿子准备到古隆中、水镜庄、黄家湾三个景点去游玩.如果他们各自在这三个景点中任选一个作为游玩的第一站(每个景点被选为第一站的可能性相同),那么他们都选择古隆中为第一站的概率是________. 9.在一个口袋中有4个完全相同的小球,把它们分别标上1,2,3,4.小明先随机地摸出1个小球,小强再随机的摸出1个小球.记小明摸出球的标号为x,小强摸出的球标号为y.小明和小强在此基础上共同协商一个游戏规则:当x>y时,小明获胜,否则小强获胜. (1)若小明摸出的球不放回,求小明获胜的概率; (2)若小明摸出的球放回后小强再随机摸球,问他们制定的游戏规则公平吗?请说明理由. 10.(2012年江西)如图7­2­3,大小、质地相同,仅颜色不同的两双拖鞋(分左、右脚)共四只,放置在地板上[可表示为(A1,A2),(B1,B2)]. (1)若先将两只左脚拖鞋中取出一只,再从两只右脚拖鞋中随机取出一只,求恰好匹配成相同颜色的一双拖鞋的概率; (2)若从这四只拖鞋中随机地取出两

全国高中数学联合竞赛试题(校模拟)附答案

全国高中数学联合竞赛试题(校模拟) 第 一 试 时间:10月16日 一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1、设锐角θ使关于x 的方程2 4cos cot 0x x θθ++=有重根,则θ的弧度数为( ) A. 6 π B. 512 12 or π π C. 56 12 or π π D. 12 π 2、已知2 2 {(,)|23},{(,)|}M x y x y N x y y mx b =+===+。若对所有 ,m R M N ∈≠? 均有,则b 的取值范围是( ) A. ???? B. ? ?? C. (,33 - D. ???? 3、 312 1 log 202x +>的解集为( ) A. [2,3) B. (2,3] C. [2,4) D. (2,4] 4、设O 点在ABC ?内部,且有230OA OB OC ++= ,则ABC ?的面积与AOC ?的面积 的比为( ) A. 2 B. 32 C. 3 D. 53 5、设三位数n abc =,若以a ,b ,c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n 有( ) A. 45个 B. 81个 C. 165个 D. 216个 6、顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆周上的点,B 是底面圆内的点,O 为底面圆的圆心,AB OB ⊥,垂足为B ,OH PB ⊥,垂足为H ,且PA=4,C 为PA 的中点,则当三棱锥O -HPC 的体积最大时,OB 的长是( ) A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 7、在平面直角坐标系xoy 中,函数()sin cos (0)f x a ax ax a =+>在一个最小正周期长的 区间上的图像与函数()g x = ________________。 8、设函数:,(0)1f R R f →=满足,且对任意,,x y R ∈都有 (1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+,则()f x =_____________________。

2020年全国初中数学竞赛试题及答案

初三数学竞赛试题 2009年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分) 1.已知非零实数a,b 满足,则等于(). (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 【答】C.解:由题设知a≥3,所以,题设的等式为,于是,从而=1. 2.如图,菱形ABCD的边长为a,点O是对角线AC上的一点,且OA=a,OB=OC=OD=1,则a等于(). 【答】A.解:因为△BOC ∽△ABC,所以,即,所以,. 由,解得. 3.将一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷两次,记第一次掷出的点数为,第二次掷出的点数为,则使关于x,y的方程组只有正数解的概率为(). (A)(B)(C)(D) 【答】D.解:当时,方程组无解.当时,方程组的解为 由已知,得即或由,的实际意义为1,2,3,4,5,6,可得 共有 5×2=10种情况;或共3种情况. 又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况,故所求的概率为. 4.如图1所示,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,. 动点P从点 B出发,沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y. 把y 看作x的函数,函数的图像如图2所示,则△ABC的面积为(). (A)10 (B)16 (C)18 (D)32

【答】B. 解:根据图像可得BC=4,CD=5,DA=5,进而求得AB=8,故S△ABC=×8×4=16. 5.关于x,y的方程的整数解(x,y)的组数为(). (A)2组(B)3组(C)4组(D)无穷多组 【答】C.解:可将原方程视为关于的二次方程,将其变形为. 由于该方程有整数根,则判别式≥,且是完全平方数.由≥,解得≤.于是 1 4 9 16 116 109 88 53 4 显然,只有时,是完全平方数,符合要求. 当时,原方程为,此时; 当y=-4时,原方程为,此时.

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